浅析古典概型 1018202班于春旭1101800214 经过一学期的概率论与数理统计的学习，从最开始的随机事件与概率到多维随机变量，再到数理统计，参数估计。对于概率的一些基本知识已经有所掌握。那么回过头来，让我们去分析一下概率论中最为基础的也是最为贴近平时生活的一种概型，古典概型。 所谓古典概型是一种概率模型。古典概率讨论的对象局限于随机试验所有可能结果为有限个等可能的情形，即基本空间由有限个元素或基本事件组成，其个数记为n，每个基本事件发生的可能性是相同的。若事件A包含m个基本事件，则定义事件A发生的概率为p（A）=m/n，也就是事件A发生的概率等于事件A所包含的基本事件个数除以基本空间的基本事件的总个数，这是P.-S.拉普拉斯的古典概率定义，或称之为概率的古典定义。历史上古典概率是由研究诸如掷骰子一类赌博游戏中的问题引起的。计算古典概率，可以用穷举法列出所有基本事件，再数清一个事件所含的基本事件个数相除，即借助组合计算可以简化计算过程。 例如：掷一次硬币的实验（质地均匀的硬币），只可能出现正面或反面，由于硬币的对称性，总认为出现正面或反面的可能性是相同的；如掷一个质地均匀骰子的实验，可能出现的六个点数每个都是等可能的；又如对有限件外形相同的产品进行抽样检验，也属于这个模型。是概率论中最直观和最简单的模型；概率的许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的。一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型。 相较于其他概型，古典概型有以下特点：1、实验的样本空间只包括有限个元素；2、实验中每个基本事件发生的可能性相同。 求古典概型的概率的基本步骤：（1）算出所有基本事件的个数n；（2）求出事件A包含的所有基本事件数m；（3）代入公式P(A)=m/n，求出P（A）。 古典概率模型是在封闭系统内的模型，一旦系统内的某个事件的概率在其他概率确定前被确定，其他事件概率也会跟着发生改变。概率模型会由古典概型转变为几何概型。 除开以上的基础内容外，关于古典概型，可以做一些的简单案例解析，以便与我们更好地理解。 众所周知，古典概型起源于赌博，所以有许多经典问题都十分生活化。而且有些问题的解题思路灵活，方法十分直观简单，这也正是古典概型的魅力所在。以下是几个例子：1．分赌本问题 最初吸引数学家研究赌博问题的就是分赌本问题：甲、乙两人赌技相同，各出赌注500元。约定：谁先胜三局，则谁拿走全部1000元。现在赌了三局，甲两胜一负，因故要中止赌博，问这1000元要如何分才公平？ 这个问题在当时持续了很长一段时间没有得到解决，且众说纷纭。有人认为按已胜的局数分，即甲拿2/3，乙拿1/3，但仔细分析，这样分是不合理的，因为设想再继续赌下去，结果无非是以下四种：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙。把已赌过的三局与此对照，可以看出，对前三个结果，都是甲先胜三局，因而得1000元，只在最后一个结果中乙才得1000元，在赌技相同的情况下，这四个结果出现的可能性相等，即甲、乙最终获胜的可能性之比为3:1（或甲最终获胜的概率为3/4，乙最终获胜的概率为1/4），所以全部赌本按这个比例来分，即甲分750元，乙分250元才算公平合理。 这个例子告诉我们，看问题不能只看表面，而应深入地分析，才能揭开问题的本质。
高中古典概率中等题目精选(附答案)
第4n+1次家教材料，编辑了我觉得很好的又很基本的题目. 一、选择题（11分，每题一分） 1、从长度为1，3，5，7，9五条线段中任取三条能构成三角形的概率是( ) A 、 2 1 B 、 10 3 C 、 5 1 D 、 5 2 2、将8个参赛队伍通过抽签分成A 、B 两组，每组4队，其中甲、乙两队恰好不在同组的概率为( ) A 、 74 B 、 21 C 、 72 D 、 53 3、袋中有白球5只，黑球6只，连续取出3只球，则顺序为“黑白黑”的概率为( ) A 、 11 1 B 、 33 2 C 、 33 4 D 、 33 5 4、将4名队员随机分入3个队中，对于每个队来说，所分进的队员数k 满足0≤k≤4，假设各种方法是等可能的，则第一个队恰有3个队员分入的概率是( ) A 、 8116 B 、 8121 C 、 818 D 、 81 24 5、将骰子抛2次，其中向上的数之和是5的概率是( ) A 、 9 1 B 、 4 1 C 、 36 1 D 、9 6、下列事件中，随机事件的个数为( ) (1)物体在重力作用下会自由下落、 (2)方程x2+2x+3＝0有两个不相等的实根、 (3)某传呼台 每天的某一时段内收到的传呼要求次数不超过10次、 (4)下周日会下雨、 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 7、下列试验能构成事件的是( ) A 、掷一次硬币 B 、射击一次 C 、标准大气压下，水烧至100℃ D 、摸彩票中头奖 8、先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的各个面分别是标有点数1， 2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为,x y ，则2log 1x y 的概率为（ ） Ａ．16 Ｂ． 5 36 Ｃ．112 Ｄ．12
概率初步 李桂梅 烟台机械工程学校
课题：概率初步 新授课
期待吧！首先我们一起来做下面几个随机试验并利用你们预习的几个概念判断下列事件属于哪种事件呢 1、连续抛一枚质地均匀的硬币，恰有一次正面向上 2、抛一颗骰子向上点数小于6 3、袋内装有红、黄、蓝3个大小形状完全相同的球，从中任取1个球，是白球预习情况并为本节 内容的学习做准备。 概念形成 . . 问题探究：你能求出这些随机试验的样本空间 中基本事件总数是多少吗每个基本事件发生的 可能性相等吗 思考：这几个随机试验有哪些特点 古典概型概念：在随机试验中，出现的结果只 有有限个，且它们出现的可能性是相等的，这 样的试验称为古典概型。 是不是所有的随机试验都是古典概型呢 火眼金睛巩固概念 , 判断下列随机试验是否是古典概型，不是的说 明理由。 1、从一副扑克牌中任意抽取一张牌，观察抽到 的牌上的数。 2、种下一粒种子，观察它是否发芽 结合实例 动手操作 自主观察 总结规 律，得出 概念。 ( 通过判断 加深对古 典概型的 两个条件 的理解 承上启下， 给出古典 概型概念。 通过自己 动手操作、 细心观察 总结古典 概型的两 个特点。 】 四个与生 活紧密相 关的例子 明确古典 概型特点。
概念巩固 & ! 公式探求3、向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点 落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是 古典概率吗为什么 : 4、随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果 只有有限个：命中10环、命中9环……命中5 环和不中环.你认为这是古典概率吗为什么 设悬激趣提出问 题 / 情境：在篮球比赛前，有这样一位裁判员，想 以抽签方式决定两支球队的进攻方向，他准备 三张大小花色相同的扑克牌，1张红桃，2张黑 桃，让其中一方队长从三牌中任意的抽一张， 抽到红桃则有选择权，抽到黑桃，则选择权给 对方。 学生分组 讨论，互 相抢答为 所在小组 加分 @ " 学生分组 讨论，各 组代表积 极发表结 插入视频 由为中国 获得首金 的易思玲 打靶为例 培养学生 爱国主义 思想，树立 为国争光 的信心。 — 创设情境 利用古典 概型概念 提出问题 为后面的 古典概率
12．2．2 概率的古典定义及其计算 定义 如果随机试验具有如下特征： （1）事件的全集是由有限个基本事件组成的； （2）每一个基本事件在一次试验中发生的可能性是相同的； 则这类随机试验称为古典概型． 定义 在古典概型中，如果试验的基本事件总数为n ，事件A 包含的基本事件个数为m ，那么事件A 发生的概率为P （A ）=n m 。 这个定义叫做概率的古典定义。它同样具备概率统计定义的三个性质。 例1 从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字中，随机地取出一个数字，求这个数字是奇数的概率。 解 设A={取出的是一个奇数}，则基本事件总数为n=9，事件A 包含了5个基本事件（抽到1，3，5，7，9），即m=5，所以，P （A ）=9 5=n m 。 例2 在10个同样型号的晶体管中，有一等品7个，二等品2个，三等品1个，从这10个晶体管中任取2个，计算： （1）2个都是一等品的概率； （2）1个是一等品，1个是二等品的概率。 解 基本事件总数为从10个晶体管中任取2个的组合数，故n=210C =45。 （1）设A={取出2个都是一等品}，它的种数m=27C =21，其概率为P （A ）=15 74521==n m ； （2）设B={取出2个，1个是一等品，1个是二等品}，它的种数m=1217C C =14，所以 P （B ）=45 14=n m 。 例3 储蓄卡上的密码是一组四位数号码，每位上的数字可以在0到9这10个数字中选取，问： （1）使用储蓄卡时如果随意按下一组四位数字号码，正好按对这张储蓄卡的密码的概率是多少？ （2）某人没记准储蓄卡的密码的最后一位数字，他在使用这张储蓄卡时如果随意按下密码的最后一位数字，正好按对密码的概率是多少？ 解 （1）由于储蓄卡的密码是一组四位数字号码，且每位上的数字有从0到9这10中取法，这种号码共有410组。又由于是随意按下一组四位数字号码，按下其中哪一组号码的可能性都相等，可得正好按对这张储蓄卡的密码的概率1P =4 101。 （2）按四位数字号码的最后一位数字，有10中按法，由于最后一位数字是随意按的，按下其中各个数字的可能性相等，可得按下的正好是密码的最后一位数字的概率10 12=P 。 课堂练习：习题12.2 1—4 订正讲解 12．3．1 概率的加法公式 1．互斥事件概率的加法公式
浅议古典概型中的抽样问题 靖江市第一中学 侯琰 摘 要：古典概型是最基本的一种概率模型。在概率这一章中，古典概型占有很重要的地位。古典概型与实际问题联系紧密，案例千变万化，而解决古典概型最基本的思想是列举。本文针对古典概型中易错的放回与不放回，有序与无序问题进行探讨，从而归纳总结出解决古典概型中抽样问题的思想方法和解题技巧。 关键词：古典概型 抽样方法 列举 放回 不放回 有序 无序 苏教版数学3的古典概型，是在随机事件的概率之后，几何概型之前的情况下教学的。古典概型起着承前启后的作用，所以在概率论中占有相当重要的地位。 在“随机事件的概率”这一节中，已经提出了用频率近似估计概率的这种方法。而这种方法必须依赖大量的重复试验，操作起来并不实际，而古典概型的提出，避免了这个问题，而且得到的是概率精确值。 古典概型（Classical probability model ）必须满足条件： ① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性都相等 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n 1 ，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的
基本事件，则事件A 发生的概率为 ()n m A P =， 由计算公式可以看出解决古典概型的关键是求出基本事件的总数n 和事件A 包含的基本事件个数m ，一般有画韦恩图、列表格、画树形图等列举方法。 古典概型的案例千变万化，列举是基本思想，有的题目看似简单，但因学生概念理解不透、审题不清常常造成错解。因此如能配合分类分步、排列组合的思想，解决问题可事半功倍。 古典概型中的放回与不放回，有序与无序是学生比较出错的问题。数学3的各章知识前后相辅相成，是比较连贯的。“算法”一章主讲完成一件事情的方法与步骤，“概率”则主讲完成一件事情的方法种数；“统计”一章中介绍的三种抽样方法均属于不放回抽样,“概率”这章则更进一步探讨放回与不放回抽样的概率问题。（结构如图） 根据是否放回，抽样方法可以分成两类：①是一类；②③是一类。（是否放回的关键是看“被抽取的个体有无可能被重复抽取”。） 根据是否有序，抽样方法可以分成两类：①②是一类；③是一类。（“有序”问题常出现的字眼：“依次”“逐次”“顺次”。放回抽样，一抽一放，必然有顺序，所以属于“有序”问题。凡“有序”问题，因为关键在于“按步骤完成事情”，所以用分步的思想来求总的基本事件n 、事件A 的基本事件m 。而组合问题，不讲究次序，一般带有放回抽样（有序）① 抽样方法 不放回抽样 排列（有序）② 组合（无序）③
第4n+1次家教材料，编辑了我觉得很好的又很基本的题目. 一、选择题（11分，每题一分） 1、从长度为1，3，5，7，9五条线段中任取三条能构成三角形的概率是( ) A 、 2 1 B 、 10 3 C 、 5 1 D 、 5 2 2、将8个参赛队伍通过抽签分成A 、B 两组，每组4队，其中甲、乙两队恰好不在同组的概率为( ) A 、 74 B 、 21 C 、 72 D 、 53 3、袋中有白球5只，黑球6只，连续取出3只球，则顺序为“黑白黑”的概率为( ) A 、 11 1 B 、 33 2 C 、 33 4 D 、 33 5 4、将4名队员随机分入3个队中，对于每个队来说，所分进的队员数k 满足0≤k≤4，假设各种方法是等可能的，则第一个队恰有3个队员分入的概率是( ) A 、 8116 B 、 8121 C 、 818 D 、 81 24 5、将骰子抛2次，其中向上的数之和是5的概率是( ) A 、 9 1 B 、 4 1 C 、 36 1 D 、9 6、下列事件中，随机事件的个数为( ) (1)物体在重力作用下会自由下落、 (2)方程x2+2x+3＝0有两个不相等的实根、 (3)某传呼台 每天的某一时段内收到的传呼要求次数不超过10次、 (4)下周日会下雨、 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 7、下列试验能构成事件的是( ) A 、掷一次硬币 B 、射击一次 C 、标准大气压下，水烧至100℃ D 、摸彩票中头奖 8、先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的各个面分别是标有点数1，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为,x y ，则2log 1x y 的概率为（ ） Ａ． 16 Ｂ． 536 Ｃ．112 Ｄ．12 9、4、从一批产品中取出三件产品，设A =“三件产品全不是次品”，B =“三件产品 全是次品”，C =“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ） A. A 与C 互斥 B. B 与C 互斥 C. 任何两个均互斥 D. 任何两个均不互斥
3.2.1 古典概型（第一课时） [自我认知]: 1.在所有的两位数(10-99)中,任取一个数,则这个数能被2或3整除的概率是 ( ) A.1 3 B. 2 3 C. 1 2 D. 5 6 2.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率为90%,则甲、乙两人下成和棋的概率为 ( ) A. 60% B. 30% C. 10% D. 50% 3.根据多年气象统计资料,某地6月1日下雨的概率为0.45,阴天的概率为0.20,则该日晴天的概率为 ( ) A. 0.65 B. 0.55 C. 0.35 D. 0.75 4.某射手射击一次,命中的环数可能为0,1,2,…10共11种,设事件A：“命中环数大于8”,事件B：“命中环数大于5”,事件C：“命中环数小于4”,事件D：“命中环数小于6”,由事件A、B、C、D中,互斥事件有 ( ) A. 1对 B. 2对 C. 3对 D.4对 5.产品中有正品4件,次品3件,从中任取2件,其中事件：①恰有一件次品和恰有2件次品； ②至少有1件次品和全都是次品；③至少有1件正品和至少有一件次品；④至少有1件 次品和全是正品.4组中互斥事件的组数是 ( ) A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 6.某人在打靶中连续射击2次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 ( ) A.至多有一次中靶 B. 两次都中靶 C.两次都不中靶 D.只有一次中靶 7.对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A=﹛两次都击中﹜,B=﹛两次都没击中﹜,C=﹛恰有一次击中﹜,D=﹛至少有一次击中﹜,其中彼此互斥的事_____________________,互为对立事件的是__________________。 8.从甲口袋中摸出1个白球的概率是1 2 ,从乙口袋中摸出一个白球的概率是 1 3 ,那么从两个 口袋中各摸1个球,2个球都不是白球的概率是___________。 9.袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球,从中任取一球,摸出红球、白球的概率各是0.40和0.35,那么黑球共有______________个 [课后练习] 10．在下列试验中,哪些试验给出的随机事件是等可能的？ ①投掷一枚均匀的硬币,“出现正面”与“出现反面”。 ②一个盘子中有三个大小完全相同的球,其中红球、黄球、黑球各一个,从中任取一个球,“取 出的是红球”,“取出的是黄球”,“取出的是黑球”。 ③一个盒子中有四个大小完全相同的球,其中红球、黄球各一个,黑球两个,从中任取一球, “取出的是红球”,“取出的是黄球”,“取出的是黑球”。 班次姓名
12． 古 典 概 型 1．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34 2．有5条线段，长度分别为1、3、5、7、9从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率是( ) A. 110 B. 310 C.12 D.25 3．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是( ) A.110 B.310 C.25 D. 710 4．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( ) A.110 B.310 C.35 D.910 5．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为 顶点的四边形是矩形的概率等于( ) A.110 B.18 C.16 D.15 6.先后抛掷硬币三次，则至少一次正面向上的概率是（ ） A. 18 B. 38 C. 58 D. 78 7.从装有2个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A.至少有1个是黑球与都是黑球； B.至少有1个是红球与都是黑球 C.至少有1个黑球与至少有1个红球 D.恰有1个黑球与恰有2个黑球 8.从甲、乙、丙、丁4人中选3人当代表，则甲选中的概率是（ ） A. 14 B. 12 C. 13 D. 34 9.同时掷3枚均匀的硬币，下列互为对立事件的是（ ） A.至少有1枚正面和最多有1枚正面 B.最多1枚正面和恰有1枚正面 C.至多1枚正面和至少有2枚正面 D.至少有2枚正面和恰有1枚正面 10.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ） A. 23 B. 910 C. 35 D. 25
浅谈概率论在生活中的应用 软件学院 潘昆豪 10212050 摘要：概率论是数学学科中的重要分支，它在生活中的应用无处不在。随机现象存在 于日常生活的方方面面和科学技术的各个领域。不知你相不相信你的直觉，但在日常生活中，我们的直觉往往是靠不住的。在概率论这门数学分支中，有许许多多的例子说明，直觉会导致错误的结论，而正确的答案又与我们的常识矛盾。本文通过日常生活中著名的随机数学悖论，浅析概率论在生活中的应用。 关键字：随机数学悖论应用 一、随机数学定义及应用 随机数学是研究随机现象统计规律性的一个数学分支，涉及四个主要部分：概率论、随机过程、数理统计、随机运筹。概率论是后三者的基础。大约在17世纪欧洲的数学家们就开始探索用古典概率来解决赌博提出的一些问题。后来，关于诸如人口统计，天文观测，产品检查和质量控制，以及天气、水文与地震预报等社会问题和自然科学问题的研究，大大促进了随机数学的发展。在17～19世纪，经过伯努利(Bernoulli)，拉普拉斯(Laplace)，马尔可夫(Markov)等著名数学家的努力，随机数学有了长足的发展，但它严格的数学基础却是在20世纪30年代由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)发表了名著《概率论的基本概念》(1933年)以后建立的。在这本著作中，他用近代测度论的思想，总结了前人的成果，提出了概率论的公理化体系，从而为近代概率论奠定了严密的理论基础.此后，随机数学的理论研究与广泛应用获得了飞速的发展，至今它的基本理论与思想已渗透到现代科学技术、经济、管理等各个领域。 随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中；同时这也大大推动了概率论本身的发展。使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家j.伯努利，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率。随后a.de棣莫弗和p.s.拉普拉斯又导出了第二个基本极限定理（中心极限定理）的原始形式。拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了《分析的概率理论》，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。19世纪末，俄国数学家p.l.切比雪夫、a.a.马尔可夫、a.m.李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。20世纪初受物理学的刺激，人们开始研究随机过程。这方面a?n?柯尔莫哥洛夫、n.维纳、a?a?马尔可夫、a?r?辛钦、p
关于古典概率的计算（抽签问题） 1. 两种抽样方法 在古典概率的计算中，将涉及到两种不同的抽取方法，我们以例子来说明：设袋内装有n 个不同的球，现从中依次摸球，每次摸一只，就产生两种摸球的方法。 （1） 每次摸出一只后，仍放回原袋中，然后再摸下一只，这种摸球的方法称为有放 回的抽样。显然，对于有放回的抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限 地进行下去。 （2） 每次摸出一球后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种摸球的方法称 为无放回的抽样。显然，对于无放回的抽样，依次摸出的球不出现重复，且摸 球只能进行有限次。 2. 计算古典概型的基本原则 初学者往往对于一些古典概率的计算望而生畏，究其原因，大都是没有掌握好计算古典概率的基本原则。拿到一个问题，首先应该分清问题是否与顺序有关？元素是否允许重复？如问题与顺序有关，元素不允许重复，那么应考虑用排列的工具，如此等等，计算 当然，我们并不排除对于某些问题用特殊的方法去解决。 3．例1 （抽签问题）袋中有a 根红签，b 根白签，它们除颜色不同外，其它方面没有差别， 现有a+b 个人依次无放回的去抽签，求第k 个人抽到红签的概率。 解：这是一个古典概型问题，问题相当于把一根一根抽出来，求第k 次抽到红签的概率。如 考虑把签一一抽 排成一列，问题与顺序有关，是一个排列问题，就产生以下几种解法： 记A k =“第k 个人抽到一根红签”。 （1） 把a 根红签和b 根白签看作是不同的（例如设想把它们编号），若把抽出的 签依次排成一列，则每个排列就是试验的一个基本事件，基本事件总数就 等于a+b 根不同签的所有全排列的总数为（a+b ）！ 事件A k 包含的基本事件的特点是：在第k 个位置上排列的一定是红签，有 a 种排法；在其它a+b-1个位置上的签的排列种数为（a+b-1）！，所以A k 包 含的基本事件数为a.（a+b-1）！，所求概率为： P A k =a . a +b?1 ！ a + b ！=a a + b （1≤k ≤a +b ） （2） 把a 根红签、b 根白签均看作是没有区别的，仍把抽出的签依次排列成一 列，这是一个含有相同元素的全排列，每一个这样的全排列就是一个基本 事件，基本事件总数就等于（a+b ）根含有相同签的全排列总数为 a +b ！ a ！. b ！。 事件A k 可看成在第k 个位置上放红签，只有一种放法，在其余的a+b-1个 位置上放余下的a+b-1根签，其中a-1根是没有区别的红签，b 根是没有区 别的白签，共有 a +b?1 ！ a?1 ！b ！种放法，所以A k 包含的基本事件数为 a +b?1 ！ a?1 ！b ！，
《概率论与数理统计》课程论文浅谈概率论的思想发展及应用 能源科学与工程学院 于晓滢 1130240415 哈尔滨工业大学
摘要 概率论是一门历史悠久的学科，关于它的起源众说纷纭，不过大家都承认的是，概率论是研究偶然、随机现象的规律性的数学理论,它拥有着自己独立的研究问题和有代表性的思想方法，并在现代生活的多个方面发挥着作用，拥有着不可替代的地位。本文将总结概率论中所应用的几种典型思想方法及演变，并陈述概率论在当代生活中的几种必要应用，让我们对这一学科有一个更深刻的了解。
目录 摘要 ................................................................................................................................................. I 第1章概率论的诞生 (1) 1.1前言 (1) 1.2诞生与发展 (1) 第2章概率论的思想 (2) 2.1古典概型思想 (2) 2.2几何概型思想 (2) 2.3分析概率论 (2) 2.4分析研究的深入 (3) 2.5公理化思想 (3) 第3章概率论思想的应用 (4) 3.1前言 (4) 3.2与数学建模思想的融合 (4) 3.3临床诊断的应用 (4) 3.4不等式的证明 (5) 结论 (7) 参考文献 (8)
1.1前言 英国数学家格雷舍(Glaisber,1848一1928)曾经说过: “任何企图将一种科目和它的历史割裂开来,我确信,没有哪一种科目比数学的损失更大。”每一种理论的产生都有其历史背景与历史渊源，了解概率论的产生的历史背景，有助于了解对该学科研究对象、研究方法的深入理解，有利于总结成功和失败的经验教训，为后人的研究奠定坚实的基础，方便对这一学科做出更大的贡献。 1.2诞生与发展 人们对偶然现象的规律性探求，经历了很长的时期，但因受到生产力水平和科技水平的限制，研究很难继续进行下去，速度缓慢，以至人们一直认为偶然现象的规律性是“神秘且难以捉摸”的，直到唯物辩证法产生,人们才开始从研究偶然性与必然性这一对矛盾的对立统一中加深了认识。在文艺复兴时期，工业革命逐步蔓延，随着工业、航海等事业的不断发展，各类问题随之出现，急需一门分析研究随机现象的数学学科，这时概率论应时应景地出现了。 对于起源，很多人说是源于赌博其实这并不全面，以研究赌博问题著称的惠更斯在他1657年出版的《论赌博中的计算》集子中有一段很深刻的话:“在任何场合我认为如果读者仔细研究对象,当可注意到你所处理的不只是赌博而已,其中实际上包含着很有趣很深刻的理论的基础。” 从十七世纪开始到现在，概率论一步步地发展：有贝努利在大数定律的证明及对独立重复试验的研究；德莫哇佛尔在正态分布概型和中心极限定理方面的贡献；法国博物学家蒲丰对于探讨概率的统计定义和概率的几何定义所作出的贡献。虽然期间也存在着许多波折，但在如切比雪夫，马尔科夫，李雅普诺夫等多名优秀科学家所做的不懈研究中，概率论朝着越来越好的方向发展，直至目前，作为数学的分支, 概率论的高度抽象性、广泛应用性、严谨性的特点愈来愈明显地显示出来，并在不同方面、不同领域得以广泛应用为人们的生产生活做出了巨大贡献。
概率论与数理统计练习题 第一次 随机事件与古典概型 一．填空 1. 设S 为样本空间，A,B,C 是任意的三个随机事件，根据概率的性质，则（1）P(A )=＿＿＿＿＿＿＿；(2)P(B-A)=P(B A )=＿＿＿＿＿＿＿；(3)P(A U B U C)= ＿＿＿＿＿； 2. 设A,B,C 是三个随机事件，试以A ，B ，C 的运算来表示下列事件：（1）仅有A 发生＿＿＿＿＿＿＿；（2）A ，B ，C 中至少有一个发生＿＿＿＿＿＿＿；（3）A ，B ，C 中恰有一个发生＿＿＿＿＿＿＿；（4）A ，B ，C 中最多有一个发生＿＿＿＿＿＿＿；（5）A ，B ，C 都不发生＿＿＿＿＿＿＿；（6）A 不发生，B ，C 中至少有一个发生＿＿＿＿＿＿＿； 3. A,B,C 是三个随机事件，且p(A)=p(B)=p(C)=1/4, P(AC)=1/8;P(AB)=P(BC)=0,则A ，B ，C 中至少有一个发生的概率为: ＿＿＿＿＿＿＿；A ，B ，C 中都发生的概率为: ＿＿＿＿＿＿＿；A ，B ，C 都不发生的概率为: ＿＿＿＿＿＿＿； 4. 袋中有n 只球,记有号码 1,2,3,…………n . (n>5) 则事件(1)任意取出两球,号码为1,2的概率为＿＿＿＿＿＿＿；(2)任意取出三球,没有号码为1的概率为＿＿＿＿＿＿＿；(3) 任意取出五球,号码1,2,3中至少出现一个的概率为＿＿＿＿＿＿＿； 5. 从一批由此及彼5件正品,5件次品组成的产品中,任意取出三件产品,则其中恰有一件次品的概率为＿＿＿＿＿＿＿； 二．某码头只能容纳一只船，现预知将独立来到两只船，且在24小时内各时刻来到的可能性都相同，如果他们需要的停靠时间分别为3小时与4小时，试求有一只船要在江中等待的概率？ 三．已知A ，B 两个事件满足条件P(AB)=P(A B ),且P(A)=p; 求P(B). 第二次 条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式 一．填空 1． 条件概率的计算公式P(B|A)= ＿＿＿＿＿＿＿；乘法公式P(AB)= ＿＿＿＿＿； 2． 12,,,n A A A 为样本空间S 的一个事件组，若 12,,,n A A A 两两互斥，且 1 2 n A A A =S,则对S 中的事件B 有全概率公式＿＿＿＿＿＿＿； 3． 设B 为样本空间S 的一个事件, 123,,A A A 为样本空间 S 的一个事件组,且满足：（1） 123,,A A A 互不相容，且P(i A )>0 (I=1,2,3) ; (2) S=1 23A A A 则贝叶斯公式为＿＿＿； 4 两事件A,B 相互独立的充要条件为＿＿＿＿＿＿＿； 5 已知在10只晶体管中，有2只次品，在其中取两次，每次随机地取一只，做不放回抽样，则（1） 两只都是正品的概率为＿＿＿＿＿＿＿；（1）一只正品，一只为次品的概率为＿＿＿＿＿＿＿；（3）两只都为次品的概率为＿＿＿＿＿＿＿；（4）第二次取出的是次品的概率＿＿＿＿＿＿＿； 二．某工厂有甲，乙，丙3个车间，生产同一种产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，3 个车间中产品的废品率分别为5%，4%，2%，求全厂产品的废品率。 已知男人中有5%的是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机挑选一人，恰好是色盲患者。问此人是男人的概率。 三．一个机床有1/3的时间加工零件A ，其余时间加工零件B ；加工A 时，停车的概率为0.3，加工B 时停
浅谈古典概型在生活中的应用 【摘要】古典概型古典概型是一种特殊的数学模型,也是一种最基本的概率模型,在概率论中占有相当重要的地位，它概括了许多实际问题，比如遗传问题、出拳游戏问题以及鱼群数目问题. 【关键词】 古典概型 生活中 基本事件 【作者单位】 山东枣庄科技职业技术学院 【正文】 古典概型是是概率论发展初期的主要研究对象，使我们可以解决一类随机事件（等可能事件）的概率，而且可以得到概率精确值，同时避免了大量的重复试验.古典概型的特点：⑴所有的基本事件只有有限个；⑵每个基本事件发生的概率相等；⑶不需要通过大量重复的试验，只要通过对一次试验可能出现的结果进行分析即可.古典概型的概率计算公式，P （A ）=A 包含的基本事件的个数/基本事件的总数.本文结合例题介绍概率论中3个比较著名的古典概型问题,供同学们读者了解古典概率模型及其在生活中的应用. 例1 （遗传问题）每个人的基因都有两份，一份来自父亲，另一份来自母亲.同样地，他的父亲和母亲的基因也有两份.在生殖的过程中，父亲和母亲各自随机地提供一份基因给他们的后代. 以褐色的眼睛为例.每个人的基因都一份基因显示他的眼睛颜色:(1）眼睛为褐色;(2）眼睛不为褐色.如果孩子得到的父母的基因都是“眼睛为褐色” 的基因，则孩子的眼睛为褐色，如果孩子得到的父母的基因都是“眼睛不为褐色”的基因，则孩子的眼睛不为褐色（是什么颜色取决于其他的基因）.如果孩子得到的基因中一份为“眼睛为褐色”的，另一份为“眼睛不为褐色”的，则孩子的眼睛不会出现两种可能，而只会眼睛颜色为褐色的情况.生物学家把“眼睛为褐色”的基因叫做显现基因. 为方便起见，我们用字母B 代表“眼睛为褐色”这个显现基因，用b 代表“眼睛不为褐色”这个基因.每个人的基因都有两份，控制一个人眼睛颜色的基因有BB,bb （表示父亲提供基因B ，母亲提供基因b ），bB,bb,注意在BB,Bb,bB 和bb 这4种基因中只有bb 基因显示为眼睛颜色不为褐色，其他的基因都显示眼睛颜色为褐色. 假设父亲和母亲控制眼睛颜色的基因都为Bb,则孩子眼睛不为褐色 的概率有多大？ 【解析】父亲和母亲控制眼睛颜色的基因都为Bb ，从而孩子有可 能产生的基因有4种，即BB ，Bb,bB ,bb(如右图).又父亲或母亲提供 给孩子基因B 或b 的概率是一样的，所有可以认为孩子的基因是这4种 中的任何一种的可能性是一样的,因此，这是一个古典概型问题.只有当孩子的基因为bb 时，眼睛才不为褐色，所以，“孩子眼睛不为褐色” 这个随机事件发生的概率为10.254 . 例2（出拳游戏问题）甲、乙两人玩出拳游戏 (剪刀、锤子、布),求： (1)平局的概率；(2)甲赢的概率；(3)乙赢的概率. 【解析】甲有3种不同的出拳方法,每一种出法是等可能的,乙同样有等可能的3种不同出法.一次出拳游戏共有3×3=9种不同的结果,可以认为这9种结果是等可能的.所以一次游戏是(试验)是古典概型,它的基本事件总数为9.平局的含义是两人出法相同,例如都出了锤.甲赢的含义是甲出锤且乙出剪, 甲出剪且乙出布, 甲出布且乙出锤这三种情况.乙赢的含义是乙出锤且甲出剪,乙出剪且甲出布,乙出布且甲出出锤这三种情况. 设平局事件为A,甲赢为事件B,乙赢为事件C,由右图容易得到：
古典概率的题型与列举方法 古典概型本质上有三种题型：“依次放回取”、“依次不放回取”与“同时取”，列举的手段有：列“树枝图”和列“数对表”，因此学习古典概率时，要抓住题型并把握列举的方法，下面就古典概型的三种基本题型与列举法的具体操作举例说明，供参考。 一、依次不放回取 例1．口袋里装有2个白球和2个黑球，大小形状完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一个球，求第二个人摸到白球的概率. 解析：用a ，b 表示白球，用1，2表示黑球，则所有基本事件如“树枝图”：共有24个基本事件，其中“第二个人摸到 白球的事件A 含有12个基本事 件，如”树枝图”中加横线部分 的事件，因此P （第二个人摸到 白球的概率）=121242 =。 点评：本题中的摸球问题相当于从4个球中依次不放回取4次，而依次不放回取的关键是取出的球不重复且顺序唯一，因此比较适宜列举手段是“树枝图”。. 二、依次放回取 例2．某人有4把钥匙，其中有2把钥匙能把门打开，现每次随机地取1把钥匙试着开门，试过的钥匙不仍掉，求第二次和能打开门的概率。 解析：用a ，b 表示能打开门的钥匙，用1，2表示不能 打开门的钥匙，则所有基本事件如右边的 “数对表”，共有 16个基本事件，其中“第二次才能打开门”的事件含有4个 基本事件，如“数对表”中加横线部分的事件。 因此P （第二次打开门的概率）=41164 =。 点评：试过的钥匙不扔掉，相当于从a ，b ，1，2中依次放回取出2个数字或字母，考虑到有不同的顺序，故采用的列举手段是“数对表”，能清晰地分清先后顺序。 三、同时取 例3．柜子里有3双不同的鞋，随机地取2只.试求下列事件的概率： ①取出的鞋不成对；②取出的鞋都是左脚；③取出的鞋都是同一只脚；④取出的鞋一只是左脚的一只是右脚的，但不成对。
摘要：通过介绍古典概率的计算方法，使学生在解题过程中能正确分析题意，运用适当的方法获得准确的答案，从而提高分析问题和解决问题的能力。应用古典概率知识分别对抽签问题、方案决策问题、购物问题、线路设计问题进行了概率分析，旨在说明概率的实际应用。 关键词：古典概率；排列组合； Abstract: This paper introduces calculations of classical probability that cause students to correctly analyze the question in the solution process and acquire the accurate answer via an appropriate method. Therefore, in so doing, students' ability to analyze and solve problems can be improved. Application of classical probability knowledge to draw respectively, decision making problems, shopping, circuit design problems on the probability analysis, aims to show that the probability of practical application. Keywords: classical probability；permutation and combination
浅谈概率论思维 陈烨（1101000122） 摘要：概率论思维是人脑和概率论研究对象交互作用并按照一般思维规律认识概率论内容的内在理性活动. 它具有随机性、广阔性、概括性、灵活性、指向性和深刻性.本文结合实例简述来启迪学生数学思维，培养学生思维品质。 关键词：概率论；思维品质；培养 概率论是从数量上研究随机现象统计规律的一门科学，这就决定了它具有不同于研究确定性现象的初等数学、高等代数、数学分析等学科的独特的思维方式，同时它以特有的思维方式吸引着众多学生．概率论思维是从属于一般思维的特色思维, 它是人脑和概率论研究对象交互作用并按照一般思维规律认识概率内容的内在理性活动. 概率论思维品质主要表现为思维的广阔性、深刻性、灵活性、敏捷性，创新性．这几个方面既有各自的特点，又互相联系，互相补充．（1) 概率论思维的随机性 由于概率论是从数量上研究随机现象统计规律的学科, 它的思维体系, 处理问题的主要方法和结果同大家已经熟悉的研究确定性现象的各个数学分支像代数、几何、数学分析等有着许多不同的特点, 因而在研究概率问题时不能完全拘泥于传统的数学思维, 而要用随机的目光透过表面上的偶然, 去寻找内部蕴涵着的必然. 例口袋中有a 只黑球, b 只白球, 它们除颜色不同外, 其他方面没有差别, 现把球随机地一只只摸出来, 求第k 次摸出的一个球是黑球的概率( 1 《k 《a+ b) .
此题可用全概率公式求解, 也可以由概率的古典定义利用排列或组合计算出两种基本事件数获解.但若利用每只球在各次抽取的随机性, 就可抓住刻画欲求概率的事件的本质特点。 解：考虑第k 次摸球, a+ b 只球中任何一只都有可能在第k 次被摸到, 故样本点总数为a+ b, 摸到黑球只有a 种可能, 故p=a/(a + b). (2)概率论思维品质的广阔性 概率论思维品质的广阔性是指针对一个概率问题，主体思维活动的范围的广泛和全面的程度，解题时常表现为一题多解或一法多用．例有n个不同的小球，随机的投入N个盒子中（N> n），假定每个盒子能容纳小球数不限，求指定的n个盒子中各有一球的概率． 解设A 表示指定的n 个盒子中各有一球，则P(A)=n!/N^n 此题可以向很多古典概率问题迁移，达到一法多用．如果把盒子看成365 d（或12 个月）以研究n个人的生日问题；如果把盒子看成每周7 d，又可以研究工作的安排问题；如果把小球看做人，盒子看做房子，又可以研究住房分配问题等． (3)概率论思维的概括性 大千世界无处不有随机因素在起作用. 概率论思维的概括性就是表现在它能揭示这些千变万化, 事物抽象的形式结构和数量关系的本质特征和规律. 例如
古典概型及其概率计算公式 一、选择题（共15小题） 1．（2014?孝感二模）已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}．定义映射f：M→N，则从中任取一个映射满足由点A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3））构成△ABC且AB=BC B 2．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为 B 3．（2011?双流县三模）一个盒子中装有4张卡片，上面分别写着如下四个定义域为R的函数：f1（x）=x3，f2（x）=|x|，f3（x）=sinx，f4（x）=cosx，现从盒子中任取2张卡片，将 B 4．（2010?邯郸二模）集合A={1，2，3，4}，a∈A，b∈A，c∈A，则以a，b，c为三边构成 B 5．甲、乙、丙3位教师安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安 B 6．在集合{1，2，3，4，5}中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量=（a，b）从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成平行四边形的个数为n，其中面积等于4的平行四边形的个数为m，则=（） B 7．有6张卡片，其中二张为a，二张为b，二张为c，从这6张卡片中等可能随机取出4张， B
8．（2010?德阳二模）若以连续掷两次骰子（各面分别标有1﹣6点的正方体）分别得到的点 22 B 9．袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，则摸出2个或3个白球的 B B 11．一个质量均匀的正四面体型的模具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，若连续投掷三次，取三次面向上的数字分别作为三角形的边长，则其能构成钝角三角形的概率为 B 12．（2014?天门模拟）设平面向量=（m，1），=（2，n），其中m，n∈{1，2，3，4}．记“使得⊥（﹣）成立的（m，n）”为事件A，则事件A发生的概率为（） B 13．（2014?马鞍山二模）我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将这五种不同属性的物质任意排成一列，设 B 14．（2010?内江二模）从集合{﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0，1，2，3，4，5}中，随机选出5 个数组成子集，使得这5个数中的任何两个数之和不等于1，则取出这样的子集的概率为 B 15．设函数，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，B