一、选择题
1．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为（ ） A ．
23
B ．
13
C ．1 2
D ．
56
2．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，2013华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想是一个弱化形式，问题可以描述为：存在无穷多个素数p ，使得2p +是素数，素数对(,2)p p +称为孪生素数对，问：如果从30以内的素数组成的孪生素数对中随机抽取一对，这对孪生素数的积超过20的概率为（ ）． A ．
23
B ．
34
C ．
45
D ．
56
3．下列命题：
①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A 与B 是对立事件． 其中正确命题的个数是( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．某次战役中，狙击手A 受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2、0.4、0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立．若A 至多射击两次，则他能击落敌机的概率为（ ） A ．0.23
B ．0.2
C ．0.16
D ．0.1
5．一个不透明的袋子中装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0，1，2，3.现甲从中摸出1个球后放回，乙再从中摸出1个球，谁摸出的球上的数字大谁获胜，则甲、乙各摸一次球后，甲获胜且乙摸出的球上数字为偶数的概率为（ ） A ．
14
B ．
13
C ．
49
D ．
316
6．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A =“甲击中靶”，事件B =“乙击中靶”，事件E =“靶未被击中”，事件F
=“靶被击中”，事件G =“恰一人击中靶”，对下列关系式
（A 表示A 的对立事件，B 表示B 的对立事件）：①E AB =，②F AB =，
③F A B =+，④G A B =+，⑤G AB AB =+，⑥()()1P F P E =-，⑦()()()P F P A P B =+．其中正确的关系式的个数是（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
7．设两个独立事件A 和B 同时不发生的概率是p ,A 发生B 不发生与A 不发生B 发生的概率相同,则事件A 发生的概率为( )
A ．2p
B ．
2
p C ．1 D ．1
8．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）
A．“至少有1个白球”和“都是红球”
B．“至少有2个白球”和“至多有1个红球”
C．“恰有1个白球” 和“恰有2个白球”
D．“至多有1个白球”和“都是红球”
9．某学校组织高一和高二两个年级的同学，开展“学雷锋敬老爱老”志愿服务活动，利用暑期到敬老院进行打扫卫生、表演文艺节目、倾听老人的嘱咐和教诲等一系列活动.现有来自高一年级的4名同学，其中男生2名、女生2名；高二年级的5名同学，其中男生3名、女生2名.现从这9名同学中随机选择4名打扫卫生，则选出的4名同学中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级的概率是（）
A．
1
126
B．
5
21
C．
6
35
D．
4
21
10．一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或红球的概率是（）
A．0.3 B．0.55 C．0.7 D．0.75
11．箱子里有3双颜色不同的手套（红蓝黄各1双），有放回地拿出2只，记事件A表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”，则事件A的概率为（）
A．1
6
B．
1
3
C．
1
5
D．
2
5
12．某班级举办投篮比赛，每人投篮两次.若小明每次投篮命中的概率都是0.6，则他至少投中一次的概率为（）
A．0.24B．0.36C．0.6D．0.84
13．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中随机取出3个球，用完后装回盒中，用X表示此时盒中旧球个数，则4
P X的值为（）
A．
27
100
B．
9
110
C．
27
220
D．
9
220
二、解答题
14．在新高考中我市采用了“3+1+2”模式，对化学?生物?地理和政治等四门选考科目，制定了计算转换T分(即记入高考总分的分数)的“等级转换赋分规则”(详见附1和附2)，具体的转换步骤为：①原始分Y等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分.我校高二年级在期末考试后，政治?化学两选考科目的原始分分布如表：
化学学科
各等级对应的原始分区
间
[90，
100]
[77，89][69，76][66，68][63，65]
政治：64，72，66，92，78，66，82，65，76，67，74，80，70，69，84，75，68，71，60，79
化学：72，79，86，75，83，89，64，98，73，67，79，84，77，94，71，81，74，69，91，70
并根据上述数据制作了如下的茎叶图：
（1）茎叶图中各序号位置应填写的数字分别是：①应填___________，②应填
___________，③应填___________，④应填___________，⑤应填___________，⑥应填___________.
（2）甲同学选考政治学科，其原始分为82分，乙同学选考化学学科，其原始分为91分.基于新高考实测的转换赋分模拟，试分别探究这两位同学的转换分，并从公平性的角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法.
（3）若从我校政治?化学学科等级为A的学生中，随机挑选2人次(两科都选，且两科成绩都为A等的学生，可有两次被选机会)，试估计这2人次挑选，其转换分都不少于91分的概率.
附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间.
等级A B C D E
原始分从高到低排序的等级人数占
比
约15%约35%约35%约13%约2%转换分T的赋分区间
[86，
100]
[71，85][56，70]
[41，
55]
[30，
40]
附2：计算转换分T的等比例转换赋分公式：22
11
Y Y T T
Y Y T T
--
=
--(其中：Y1，Y2别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；T1，T2分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限.T的计算结果按四舍五入取整).
15．日前，《北京传媒蓝皮书：北京新闻出版广电发展报告（2016~2017）》公布，其中提到，2015年9月至2016年9月，北京市年度综合阅读率较上年增长1%，且数字媒体阅读率首次超过了纸质图书阅读率.
为了调查某校450名高一学生（其中女生210名）对这两种阅读方式的时间分配情况，该校阅读研究小组通过按性别分层抽样的方式随机抽取了15名学生进行调查，得到这15名学生分别采用这两种阅读方式的平均每周阅读时间，数据如下（单位：小时）： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数字阅读时间 23 58 30 60 41 51 64 53 55 67 51 25 33 45 47 纸质阅读时间
28
66
36
53
45
62
48
47
42
52
5
21
30
42
42
（2）请用茎叶图表示上面的数据，并通过观察茎叶图，对这两种阅读方式进行比较，写出两个统计结论；
（3）平均每周纸质阅读时长超过数字阅读时长的学生中，随机抽取两名学生，求这两名学生中至少有一名学生数字阅读时间不超过40小时的概率.
16．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人为了解全校学生本学期开学以来(60天)的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生"按学生的课外阅读时间(单位：小时)各分为5组：[)0,10，
[)10,20，[)20,30，[)30,40，[]40,50，得其频率分布直方图如图所示.
（1）估计全校学生中课外阅读时间在[)30,40小时内的总人数是多少；
（2）从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率；
（3）国家规定：初中学生平均每人每天课外阅读时间不小于半小时若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间.根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生课外阅读时间？
17．城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费；若太少又难以满足乘客需求.某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）： 组别
候车时间
人数
（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；
（2）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．
18．甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确
完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是2
3
，且每题正确完成与否互不
影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望;
(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?
19．
11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
20．自2013年10月习近平主席提出建设“一带一路”的合作倡议以来，我国积极建立与沿线国家的经济合作伙伴关系.某公司为了扩大生产规模，欲在海上丝绸之路经济带（南线）：泉州-福州-广州-海口-北海（广西）-河内-吉隆坡-雅加达-科伦坡-加尔各答-内罗毕-雅典-威尼斯的13个城市中选择3个城市建设自己的工业厂房，根据这13个城市的需求量生产某产品，并将其销往这13个城市.
（1）求所选的3个城市中至少有1个在国内的概率；
（2）已知每间工业厂房的月产量为10万件，若一间厂房正常生产，则每月或获得利润100万；若一间厂房闲置，则该厂房每月亏损50万，该公司为了确定建设工业厂房的数目()*
1013,
n n n N
≤≤∈，统计了近5年来这13个城市中该产品的月需求量数据，得如下频数分布表：
若以每月需求量的频率代替每月需求量的概率，欲使该产品的每月总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房多少间？
21．某社区对安全卫生进行问卷调查，请居民对社区安全卫生服务给出评价（问卷中设置仅有满意、不满意）.现随机抽取了90名居民，调查情况如下表：
（1）利用分层抽样的方法从对安全卫生服务评价为不满意的居民中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中男、女居民各有1人的概率；
（2）试通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为男居民与女居民对社区安全卫生服务的评价有差异？
附：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，n a b c d
=+++.
22．某组织在某市征集志愿者参加志愿活动，现随机抽出60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出100名市民中愿意参加志愿活动和不愿意参加志愿活动的男女生比例情况，具体数据如图所示.
(1)完成下列22
?列联表，并判断是否有99%的把握认为愿意参与志愿活动与性别有关？
愿意 不愿意 总计
男生 女生 总计
(2)现用分层抽样的方法从愿意参加志愿活动的市民中选取7名志愿者，再从中抽取2人作为队长，求抽取的2人至少有一名女生的概率. 参考数据及公式：
()20P K k ≥ 0.1 0.05 0.025 0.01
0k
2.706
3.841
5.024
6.635
()
()()()()
()2
2n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.
23．某企业为了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大量统计数据．从这些统计数据中随机抽取了9个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）．若用时不超过40（分钟），则称这个工人为优秀员工．
（1）求这个样本数据的中位数和众数；
（2）从样本数据用时不超过50分钟的工人中随机抽取2个，求至少有一个工人是优秀员工的概率．
24．由袁隆平团队研发的第三代杂交水稻于2019年10月21日至22日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3公斤，第三化杂交水稻的综合优势可以推动我国的水
稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条先进的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工，创建一个新产品，已知该产品的质量以某项指标值()70100k k ≤<为衡量标准，质量指标的等级划分如表：
为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的指标值，在以组距为5画频率分布直方图（设“
Y =频率
组距
”时，发现Y 满足：20339
,163002,16
n n n Y a n --?≤?
=???>?，n *∈N ，()551n k n ≤<+．
（1）试确定n 的所有取值，并求a ；
（2）从样本质量指标值不小于85的产品中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中一次性随机抽取2件产品，求至少有
1件A 级品的概率； （3）求样本质量指标值k 的平均数k （各分组区间的数据以该组区间的中点值代表）． 25．某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：
（1）若广告费与销售额具有相关关系，求回归直线方程；
（2）在已有的五组数据中任意抽取两组，求两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5的概率.
参考公式：1
22
1
n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx ==-?=
-∑∑，a y bx =-.
26．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．
（1）求抽取的学生身高在[120，130）内的人数；
（2）若采用分层抽样的方法从身高在[120，130），[130，140），[140，150]内的学生中共抽取6人，再从中选取2人，求身高在[120，130）和[130，140）内各1人的概率．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
由古典概型概率公式分别计算出事件A 和事件B 发生的概率，又通过列举可得事件A 和事件B 为互斥事件，进而得出事件A 或事件B 至少有一个发生的概率即为事件A 和事件B 的概率之和． 【详解】
事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”， ∴P (A )2163=
=，P (B )2163
==， 又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6， 所以事件A 和事件B 为互斥事件，
则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为 P （A ∪B ）＝P (A )+P (B )112
333
=+=， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题．
2．B
解析：B
【分析】
列举出30以内的素数组成的孪生素数对有4个，这对孪生素数的积超过20包含的基本事件有3个，由此能求了这对孪生素数的积超过20的概率.
【详解】
30以内的素数组成的孪生素数对有（3，5），(5，7)，(11，13)，(17，19)，从30以内的素数组成的孪生素数对中随机抽取—对，基本事件个数n=4，
这对孪生素数的积超过20包含的基本事件有:(5，7),(11，13), (17，19），共3个，
所以这对孪生素数的积超过20的概率为
3
4 p=，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.
3．A
解析：A
【分析】
根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案．
【详解】
由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－
P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.
【点睛】
本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．
4．A
解析：A
【解析】
A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.20.40.1
、、,未命中敌机的概率为0.3,且各次射击相互独立，若A射击一次就击落敌机，则他击中利敌机的机尾，故概率为
0.1；若A射击2次就击落敌机，则他2次都击中利敌机的机首，概率为
0.20.20.04
?=；或者A第一次没有击中机尾、且第二次击中了机尾，概率为
0.90.1?0.09
?=,若A至多射击两次，则他能击落敌机的概率为0.1?0.04?0.09?0.23
++= ,故选A.
5．A
解析：A 【分析】
先求得甲、乙各摸一次球所包含的基本事件，在列举出甲、乙各摸一次球后，甲获胜且乙摸出的球上数字为偶数所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】
由题意，甲、乙各摸一次球，所有可能的结果有4416?=（种），
甲摸的数字在前，乙摸的数字在后，则甲获胜的情况有()1,0，()2,0，()2,1，()3,0，
()3,1，()3,2，共6种，
其中甲、乙各摸一次球后，甲获胜且乙摸出的球上数字为偶数有()1,0，()2,0，()3,0，
()3,2，共有4种，
所求概率为41164
P ==. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式，属于基础题，解题时要准确理解题意，正确求得试验中包含的基本事件的总数数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
6．B
解析：B 【分析】
根据事件关系，靶为被击中即甲乙均未击中；靶被击中即至少一人击中，分为恰有一人击中或两人都击中，依次判定即可. 【详解】
由题可得：①E AB =，正确；②事件F
=“靶被击中”，AB 表示甲乙同时击中，
F AB AB AB =++，所以②错误；
③F A B =+，正确，④A B +表示靶被击中，所以④错误；⑤G AB AB =+，正确；⑥,E F 互为对立事件，()()1P F P E =-，正确；⑦()()()()P F P A P B P AB =+-，所以⑦不正确． 正确的是①③⑤⑥． 故选：B 【点睛】
此题考查事件关系和概率关系的辨析，需要熟练掌握事件的关系及其运算，弄清事件特征及其概率特征准确辨析.
7．C
【分析】
利用A 发生B 不发生与A 不发生B 发生的概率相同，事件A 和B 同时不发生的概率是p ，建立方程，即可求得事件A 发生的概率． 【详解】
根据题意设事件A 发生的概率为a ，事件B 发生的概率为b ，
则有(1)(1)(1)(1)a b p a b a b --=??-=-?
①②
由②知a b =，代入①
得1a =
故选：C . 【点睛】
本题主要考查相互独立事件的概率的计算，解题的关键是正确理解题意，列出方程，属于中档题.
8．C
解析：C 【分析】
结合互斥事件与对立事件的概念,对选项逐个分析可选出答案. 【详解】
对于选项A, “至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件,不符合题意;
对于选项B, “至少有2个白球”表示取出2个球都是白色的,而“至多有1个红球”表示取出的球1个红球1个白球,或者2个都是白球,二者不是互斥事件,不符合题意;
对于选项C, “恰有1个白球”表示取出2个球1个红球1个白球, 与“恰有2个白球”是互斥而不对立的两个事件,符合题意;
对于选项D, “至多有1个白球”表示取出的2个球1个红球1个白球,或者2个都是红球,与“都是红球”不是互斥事件,不符合题意. 故选C. 【点睛】
本题考查了互斥事件和对立事件的定义的运用,考查了学生对知识的理解和掌握,属于基础题.
9．D
解析：D 【分析】
对这两名男生来自高一或高二两种情况讨论，当男生来自高一时，同时任选2名女生，有
2224C C 种方法，当男生来自高二时，有2234C C 种方法，并求概率.
【详解】
当两名男生来自高一年级，22
24149121C C P C ==，当两名男生来自高二，223424
91
7
C C P C == 12114
21721
P P P =+=
+=,
【点睛】
本题考查了古典概型的概率，难度不大，关键是能正确分类.
10．D
解析：D 【分析】
由题意可知摸出黑球的概率，再根据摸出黑球，摸出红球为互斥事件，根据互斥事件的和即可求解. 【详解】
因为从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25， 所以摸出黑球的概率是1(0.450.25)0.3-+=， 因为从盒子中摸出1个球为黑球或红球为互斥事件， 所以摸出黑球或红球的概率0.30.450.75P =+=，故选D. 【点睛】
本题主要考查了两个互斥事件的和事件，其概率公式()()()P AUB P A P B =+，属于中档题.
11．B
解析：B 【分析】
本题可以先算出在六个手套中取回两个有多少种可能，再计算出事件A 中有多少种可能，最后得出结果． 【详解】
分别设3双手套为：121212a a b b c c 、、，111a b c 、、分别代表左手手套，222a b c 、、分别代表右手手套；
从箱子里的3双不同的手套中，随机拿出2只，所有的基本事件是：
n 6636=?=，共有36个基本事件；
事件A 包含：()()()()()122112212112a b b a a c c a a b b a ，、，、，、，、，、，、
()()()()()()211212212112a c c a b c c b b c c b ，、，、，、，、，、，一共12个基本事件，
故事件A 的概率为()121
P 363
A ==，故选
B ． 【点睛】
在计算过程中，一定要注意左右手的手套是不一样的．
12．D
解析：D 【分析】
先求出对立事件：一次都未投中的概率，然后可得结论． 【详解】
由题意小明每次投篮不中的概率是10.60.4-=，再次投篮都不中的概率是20.40.16=， ∴他再次投篮至少投中一次的概率为10.160.84-=． 故选：D ． 【点睛】
本题考查相互独立事件同时发生的概率公式，在出现至少、至多等词语时，可先求其对立事件的概率，然后由对立事件概率公式得出结论．
13．C
解析：C 【分析】
X =4表示取出的3个球中有2个旧球，1个新球，由此能求出P (X =4) . 【详解】
若4X =，则取出的3个球中有2个旧球，1个新球，
所以()21
393
1227
4220
C C P X C ===. 故选：C 【点睛】
本题主要考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.
二、解答题
14．（1）①6，②7，③8，④9，⑤8，⑥9；（2）甲乙两位同学的转换分都为87分，看法答案见解析；（3）1
5
. 【分析】
（1）根据已知数据与茎叶图的关系得出答案．
（2）根据高考实测的转换赋分模拟公式及结果得出答案． （3）列举法写出所有基本事件，然后按概率公式计算． 【详解】
解：（1）由题意知①6②7③8④9⑤8⑥9
（2）甲同学选考政治学科可以的等级A ，根据等比例转换赋分公式：9882100828186
T
T --=
--得T =87
乙同学选考化学学科可以的等级A ，根据等比例转换赋分公式：10091100919086
T
T --=--得
T =87
故甲乙两位同学的转换分都为87分.
从公平性的角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法：
一，从茎叶图可得甲乙同学原始分都排第三，转换后都是87分，因此高考这种“等级转换
赋分法”具有公平性与合理性.
二，甲同学与乙同学原始分差9分，但转换后都是87分，高考这种“等级转换赋分法”对尖子生不利.
（3）政治学科等级为A的学生有82，84，92根据等比例转换赋分公式：87，88，95
该校化学学科等级为A的学生有91，94，98根据等比例转换赋分公式：87，92，97
设转换分都不少于91分为M
法一：(列举法)所有基本事件：(82，84)(82，92)(82，91)(82，94))(82，98)(84，92)(84，91)(84，94)(84，98)(92，91)(92，94)(92，98)(91，94)
(91，98)(94，98)共15个基本事件，时间M包含3个基本事件
所以P(M)=
31 155
=
法二：政治学科等级为A的学生有82，84，92三人，转换分不少于91分有1人；政治学科等级为A的学生有91，94，98三人，转换分不少于91分有2人.由古典概型2
3
2
6
1
()
5
C
P M
C
==.
【点睛】
思路点睛：此题是概率统计综合题，需要理清题目信息，正确理解相关概念.
15．（1）8；（2）答案见解析；（3）
7
10
.
【分析】
（1）根据分层抽样的原理计算可得答案；
（2）由已知数据得出被调查的15名学生分别采用两种阅读方式的平均每周阅读时间茎叶图，由表中的数据可得统计结论；
（3）由表中数据可知平均每周纸质阅读时间超过数字阅读时间的学生的编号分别是1，2，3，5，6，其中数字阅读时间不超过40小时的学生的编号是1，3.运用列举法所有的基本事件，再由古典概率公式可得答案．
【详解】
（1）
450210
158
450
-
?=（名）.
所以被调查的15名学生中共有8名男生.
（2）被调查的15名学生分别采用两种阅读方式的平均每周阅读时间茎叶图如下：
通过观察比较分析可知，平均每周的数字阅读时间比纸质阅读时间长，纸质阅读时间数据
更集中；
（3）由表中数据可知平均每周纸质阅读时间超过数字阅读时间的学生的编号分别是1，2，3，5，6，其中数字阅读时间不超过40小时的学生的编号是1，3.
从这5名学生中，随机抽取两名学生，所有可能的抽取结果为(1,2)，(1,3)，(1,5)，
(1,6)，(2,3)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共10个基本事件，
设“从这5名学生中随机抽取两名学生，这两名学生中至少有一名学生数字阅读时间不超过40小时”为事件A ，共有7个基本事件，分别为(1,2)，(1,3)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，
(3,5)，(3,6)，
则7()10
P A =. 【点睛】
方法点睛：在解决概率统计的应用问题时，注意理解问题的情景，将生活中的数据转化成数学统计中的数据，再运用相应的统计知识解决． 16．（1）720人；（2）7
10
；（3）该校需要增加初中学生课外阅读时间. 【分析】
（1）先利用分层抽样确定初中生和高中生的人数，再利用频率分布直方图求解初中生和高中生阅读时间在
[)30,40小时内频率，即可得出结果；（2）先求出阅读时间不足10个小时
的初中生和高中生的人数，再利用列举法求出总的事件个数和满足题意的事件个数，利用古典概率模型求解即可；（3）利用频率分布直方图求解出平均数，判断即可得出结论. 【详解】
解：（1）由分层抽样知，抽取的初中生有1800
1006018001200
?=+名，
高中生有1006040-=名， 初中生中，阅读时间在
[)30,40小时内的频率为
()10.0050.030.040.005100.20-+++?=，
∴所有的初中生中，阅读时间在
[)30,40小时内的学生约有0.21800360?=人；
同理，高中生中，阅读时间在[)30,40小时内的频率为
()10.0050.0250.0350.005100.30-+++?=，
学生人数约有0.301200360?=人， 该校所有学生中，阅读时间在
[)30,40小时内的学生人数约有360360720+=人.
（2）记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，至少抽到2名初中生”为事件A ，
初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005100.05?=， 样本人数为0.05603?=人；
高中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005100.05?=，
样本人数为0.05402?=人
记这3名初中生为A ?B ?C ，这2名高中生为d ?e ，
则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，所有可能结果共10种， 即：ABC ，ABd ，ABe ，ACd ，ACe ，Ade ，BCd ，BCe ，Bde ，Cde ； 而事件A 的结果有7种，
它们是：ABC ，ABd ，ABe ，ACd ，ACe ，BCd ，BCe ； ∴至少抽到2名初中生的概率为()710
P A =
； （3）初中生平均每阅读时间50.05150.3250.4350.2450.0524=?+?+?+?+?=(小时)，
600.530?=(小时)，
因为2430<，该校需要增加初中学生课外阅读时间. 【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概率模型概率的求法，考查了利用频率分布直方图求解平均数的问题，考查了运算求解能力.属于中档题. 17．（1）32；（2）815
． 【详解】
试题分析：（1）根据15名乘客中候车时间少于10分钟频数和为8，可估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）将两组乘客编号，进而列举出所有基本事件和抽到的两人恰好来自不同组的基本事件个数，代入古典概型概率公式可得答案． 试题
（1）候车时间少于10分钟的概率为
268
1515+=， 所以候车时间少于10分钟的人数为8
603215
?
=人． （2）将第三组乘客编号为1234,,,a a a a ，第四组乘客编号为12,b b ．从6人中任选两人包含以下基本事件：1213141112(,),(,),(,),(,),(,)a a a a a a a b a b ，
23242122(,),(,),(,),(,)a a a a a b a b ，343132(,),(,),(,)a a a b a b ，4142(,),(,)a b a b ，12()b b ,，
10分
其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件,所以,所求概率为815
． 考点：频率分布表；古典概型及其概率计算公式．
18．(1) 甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2； (2)甲通过面试的概率较大． 【分析】
（1）设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为X ，Y ，由于~(6,3,4)X H ，
2~3,3Y B ??
???
，分别写出分布列，再求期望值均为2；
（2）由于均值相等，可通过比较各自的方差. 【详解】
（1）设X 为甲正确完成面试题的数量，Y 为乙正确完成面试题的数量， 依题意可得：~(6,3,4)X H ，
∴1223461(1)5C C P X C ?===，4212363(2)5C C P X C ?===，30423
61
(3)5
C C P X C ?===， ∴X 的分布列为：
∴1232555
EX =?
+?+?=． 2~3,3Y B ?? ???
，
∴0303211(0)3327P Y C ????=== ? ?????，1
2
132162(1)C 33279P Y ????
==== ?
?
??
??
， 2
1
2321124(2)C 33279P Y ????==== ? ?????，3
33218(3)3327P Y C ????=== ? ?
????
， ∴Y 的分布列为：
∴01232279927
EY =?+?+?+?=． （2）2221312(12)(22)(32)5555
DX =
?-+-?+-?=， 212
1333(3
)DY np p =-=??=，
∵DX DY <，
∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大． 【点睛】
本题考查超几何分布和二项分布的应用、期望和方差的计算，考查数据处理能力，求解时注意概率计算的准确性. 19．（1）0.5；（2）0.1
【分析】
(1)本题首先可以通过题意推导出()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果； (2)本题首先可以通过题意推导出4P X 所包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球
均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果．
【详解】
(1)由题意可知，()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球” 所以20.50.40.50.60.5P X
(2)由题意可知，4P X 包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”
所以40.50.60.50.4+0.50.40.50.40.1P X
【点睛】
本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出()2P X =以及4P X 所包含的事
件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档
题．
20．(1)
115
143；(2)12间
. 【解析】
分析：（1）根据对立事件的概率及古典概型求解即可．（2）设该产品每月的总利润为
Y ，分别求出10,11,12,13n =时每月总利润的数学期望，根据其中期望最大的来决定建设
厂房的数量．
详解：（1）记事件A 为“该公司所选的3个城市中至少有1个在国内”，
则()()3831328115
111143143
C P A P A C =-=-=-=，
所以该公司所选的3个城市中至少有1个在国内的概率为115
143
. （2）设该产品每月的总利润为Y ， ①当10n =时，1000Y =万元． ②当11n =时，Y 的分布列为
所以()9500.111000.91085E Y =?+?=万元. ③当12n =时，Y 的分布列为
所以()9000.110500.412000.51110E Y =?+?+?=万元. ④当13n =时，Y 的分布列为
所以()8500.110000.411500.313000.21090E Y =?+?+?+?=万元. 综上可知，当12n =时()1110E Y =万元最大，故建设厂房12间．
点睛：（1）离散型随机变量的期望与方差的应用，是高考的重要考点，不仅考查学生的理解能力与数学计算能力，而且不断创新问题情境，突出学生运用概率、期望与方差解决实际问题的能力．
（2）在实际问题中，一般地将期望最大(或最小)的方案作为最优方案，若各方案的期望相同，则选择方差最小(或最大)的方案作为最优方案．
21．（1）
8
15
；（2）在犯错的概率不超过0.05的前提下，可以认为男居民与女居民对社区安全卫生服务的评价有差异. 【分析】
（1）根据总人数解得10a =，完善列联表，根据分层抽样比例关系计算得到人数，再计算概率得到答案.
（2）计算25 3.841K =>，对比临界值表得到答案. 【详解】
（1）由已知253560a ++=，解得10a =， 所以22?列联表如下：
男 女 合计 满意 35 25 60 不满意 10 20 30 合计
45
45
90
所以所抽取的2人中男、女居民各有1人的概率为11242
68
15
C C p C ==； （2）由()2
290352025105 3.84160454530
K ?-?==>???，
所以在犯错的概率不超过0.05的前提下，可以认为男居民与女居民对社区安全卫生服务的