高一数学上册幂函数的性质与图像知识点
高一数学上册幂函数的性质与图像知识点
幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。下文是高一数学上册幂函数的性质与图像知识点，欢迎阅读!
定义:
形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
定义域和值域:
当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;
如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：
在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域
性质:
对于a的.取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：
首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数;
排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数;
排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a 就不能是负数。
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;
如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。
在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域。
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.
可以看到：
(1)所有的图形都通过(1，1)这点。
(2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。
(3)当a大于1时，幂函数图形下凹;当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。
(4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。
(5)a大于0，函数过(0，0);a小于0，函数不过(0，0)点。
(6)显然幂函数无界。
幂函数知识要点 一．定义：形如y=x a（是常数）的函数，叫幂函数。 二．图象幂函数的图象和性质；由d取值不同而变化，如图如示： 三．幂函数的性质： n>0时,(1)图象都通过点(0,0),(1,1) (2)在(0,+∞)，函数随的增大而增大 n<0时,(1)图象都通过(1，1）
(2)在(0,+∞)，函数随x的增加而减小 (3)在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近。 注意事项： 1．判断幂函数的定义域的方法可概括为（对指数）“先看正负，是负去零，再看奇偶，是偶非负” 2．根据幂函数的定义域，值域及指数特点画其图象。 函数位于第一象限的图象在“n>1”时，往上翘；0 利用幂函数的性质比较数的大小。 例3．比较的大小。 分析：三个量比较大小，先考虑取值的符号。 启示：当直接比较大小难以进行时，可以考虑借助一些中间量特殊值，如0，1或其他数来解决。 分析：在指数运算中，注重运算顺序和灵活运用乘法合成。 启示：此处化简过程可与初中代数式的运算联系。 五．自测题： 1.计算的值（） 2．下列命题中正确的是（） A.当n=0时，函数y=x n的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点 C.若幂函数y=x n的图象关于原点对称，则y=x n在定义域内y随x的增大而增大 D.幂函数的图象不可能在第四象限 3．实数a,b满足0 高一数学幂函数知识点总结 一、一次函数定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx(k为常数，k≠0) 二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数) 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1.作法与图形：通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点) 2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。 3.k，b与函数图像所在象限： 当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大; 当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b>0时，直线必通过一、二象限; 当b=0时，直线通过原点 当b<0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数 的图像。 这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通 过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的 表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……② (3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。 一、高中数学函数的有关概念 1.高中数学函数函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照 某个确定的对应关系f，使对于函数A中的任意一个数x，在函数B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从函数A 到函数B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x 的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的函数{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 高中数学：幂函数的概念、图象和性质 1、幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数；其定义域是使有意义的值的集合。 例1、已知幂函数，且当时为减函数。求幂函数的解析式。 分析：正确理解幂函数的概念、幂函数的图象与性质。求幂函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白幂函数的定义是解题的关键。 解答：由于为幂函数， 所以，解得，或。 当时，，在上为减函数； 当时，，在上为常函数，不合题意，舍去。 故所求幂函数的解析式为。 2、幂函数的图象和性质 图象： 定 义域值域奇 偶性奇偶奇 非奇非 偶 奇 单 调性上增 上减， 上增 上增上增 ， 上分别减 定 点 ， （1）所有的幂函数在上都有定义，并且图象都过点； （2）如果，则幂函数的图象过点和，并且在区间上是增函数； （3）如果，则幂函数的图象过点，并在区间上是减函数。在第一象限内，当从趋向于原点时，图象在轴右方无限地逼近轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴； （4）当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数。 例2、比较，，的大小。 分析：先利用幂函数的增减性比较与的大小，再根据幂函数的图象比较与的大小。 解答： 而在上单调递增，且， 。故。 例3、若函数在区间上是递减函数，求实数m的取值范围。 分析：本题考查简单幂函数的性质以及函数图象的平移问题。 函数是一个比较常用的幂函数，它也叫做反比例函数，其定义域是，是一个奇函数，对称中心为（0，0），在和 上都是递减函数。一般地，形如的函数都可以通过对 的图象进行变换而得到，所以这些函数的性质都可以借助的性质来得到。 解答：由于，所以函数的图象是由幂 函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，所以其图象如图所示。 其单调递减区间是和，而函数在区间上是递减函数，所以应有。 例4、若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象 上，定义，试求函数的最大值及其单调区间。分析：首先根据幂函数的定义求出，然后在同一坐标系下画出函数和的图象，得出的函数图象，最后根据图象求出最大值和单调区间。 第6讲 幂函数 考点1 幂函数的定义 形如a y x =的函数称为幂函数，其中底数x 为自变量. 1.下列函数是否为幂函数？ ①y x = ②2y x = ③-1y x = ④y ⑤3y x = ⑥2y x = ⑦3y x =+ ⑧23y x = ⑨3y x = 2.已知函数23()(1)m f x m m x -=--是幂函数，m = . 3.下列函数中，定义域为R 的是 A. 2y x -= B. 2y x = C. y D. 1y x -= 考点2 幂函数的图像与性质 考法1 幂函数的图像 ①所有幂函数图像都过点________； ②0a >时，幂函数的图像通过_________，并且在区间[)0+∞，上是_____. ③0a <时，幂函数的图像不通过_______，并且在区间(0)+∞， 上是_____. ④幂函数y x α =的图象，在第一象限内， 直线1x =的右侧，图象由上至下，指数 . 1.下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是 A.①2 y x =②13 y x = ③y =④1y x -= B.①3y x =②2y x = ③y ④1y x -= C.①2 y x =②3 y x = ③y =④1 y x -= D.①13 y x = ②y =③2y x =④1y x -= 2.已知幂函数()f x 的图像过1(2，则(4)f = . 3.（1992·全国卷）图中曲线是幂函数n y x =在第一象限的图像，已知n 取1 2,2 ±±四个值,则相应于曲线1234,,,C C C C 的n 依次为 A. 112,,,222-- B. 112,,,222-- C. 11,2,2,22-- D. 112,,2,22 -- 4.若幂函数2 221(1)m m y m m x --=--在(0,)+∞上是增函数，则m = . 考法2幂函数的性质（奇偶性） 奇函数的定义： . 偶函数的定义： . 1.判断下列函数的奇偶性 （1）()f x x = （2）3 ()f x x x =+ （3）2 ()f x x x =+ （4）()1f x x =+ 2.（2012·陕西）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 A. 1y x =+ B. 2y x =- C. 1 y x = D. y x x = 3.（2010·陕西）函数13 y x =的图像是 3 幂函数及函数图像变换 知识点1 幂函数 1．幂函数的定义 一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数． 2.幂函数的性质： （1）幂函数的图象都过点 ； （2）当0α>时，幂函数在[0,)+∞上 ；当0α<时，幂函数在(0,)+∞上 ； （3）当2,2α=-时，幂函数是 ；当11,1,3,3 α=-时，幂函数是 ． （4）任何幂函数都不过 象限； （5）当0α>时，幂函数的图象过 ． 3．幂函数的图象在第一象限的分布规律： （1）在经过点(1,1)平行于y 轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从 到 分布； （2）幂指数的分母为偶数时，图象只在 象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于 轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限 关于 对称． 考向一 幂函数的定义 【例1】?讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性： （1）5 y x = （2）43 y x -= （3）54 y x =（4）35 y x - =（5）12 y x - = 分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式． 解：（1）定义域R ，值域R ，奇函数，在R 上单调递增． （2）定义域(,0)(0,)-∞?+∞，值域(0,)+∞，偶函数，在(,0)-∞上单调递增， 在(0,)+∞ 上单调递减． （3）定义域[0,)+∞，值域[0,)+∞，偶函数，非奇非偶函数，在[0,)+∞上单调递增． （4）定义域(,0)(0,)-∞?+∞，值域(,0)(0,)-∞?+∞，奇函数，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递减． 幂函数的图像与性质 教学目的 通过对幂函数几种不同情况图像的观察、分析，掌握幂函数图像的特征，进一步掌握幂函数的性质，提高观察和分析的能力． 教学过程 一、学生练习 在同一坐标系中画出下列幂函数的图像： (提醒学生：画坐标系时，单位长度要取大一些．) 在学生练习的同时，教师在黑板上画出上述幂函数的图像，如图1所示(用不同颜色表示各函数的图像)． 并让学生通过观察来思考下列几个问题． (通过教师和学生之间的对话来进行．) (1)你画出的这几个函数图像中，有没有经过第四象限的？在我们研究的所有幂函数中，是否存在某个函数，它的图像经过第四象限？学生能正确回答．因为对于一切幂函数，当x＞0时，总有y＞0． 分为三类？(ii)如果能，那么属于同一类函数的幂指数，有什么共同点？ (学生议论，教师引导、归纳小结．) y≥0， 有y≥0，对于x＜0，则当q为奇数时，有y＜0；当q为偶数时，有y＞0．所以，当p为奇数，q为奇数时，图像经过一、三两个象限；当p为奇数，q为偶数时，图像经过一、二两个象限． 0＜x＜1时，图像在y=x的下方；当x＞1时，图像在y=x的上方．并且能进一步发现，所画出的几个函数图像，它们之间的位置关系因幂指数的大小不同，按一定的规律排列，其中任意一个函数的图像总是夹在一个较小幂指数和一个较大幂指数的两个函 由对几个特殊例子的观察所得到的上述想法，能否作为普遍的规律存在呢？ (引导学生根据幂的概念和同底数幂大小比较的办法，得到肯定的结论．) (ii)图像按经过的象限可归纳为三类：当n的分子是奇数，而分母是偶数时，图像只经过第一象限；当n的分子、分母都是奇数时，图像经过一、三两个象限；当n的分子是偶数，而分母是奇数时，图像经过一、二两个象限． [将幂函数(n≥1)的上述特征预先写在小黑板上或使用投影仪．] 二、提出新问题 高一数学上册幂函数的性质与图像知识点 高一数学上册幂函数的性质与图像知识点 幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。下文是高一数学上册幂函数的性质与图像知识点，欢迎阅读! 定义: 形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域: 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数; 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下： 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域 性质: 对于a的.取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a 就不能是负数。 总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数; 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况. 可以看到： (1)所有的图形都通过(1，1)这点。 (2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。 (3)当a大于1时，幂函数图形下凹;当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。 (4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。 (5)a大于0，函数过(0，0);a小于0，函数不过(0，0)点。 (6)显然幂函数无界。 第六章幂函数、指数函数和对数函数 6.1幂函数 (1) 6.2指数函数 (6) 第1课时指数函数的概念、图象与性质 (6) 第2课时指数函数的图象与性质的应用 (11) 6.3对数函数 (16) 第1课时对数函数的概念、图象与性质 (16) 第2课时对数函数的图象与性质的应用 (20) 6.1幂函数 知识点1幂函数的概念 一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．知识点2幂函数的图象和性质 1．幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示： 2．幂函数的性质 y＝x y＝x2y＝x3y＝x y＝x－1 定义域R R R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞) 值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞) 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非奇函数 偶函数 单调性 在(－∞， ＋∞)上单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞) 上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减 定点 (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1) 考点 类型1 幂函数的概念 【例1】 (1)下列函数： ①y ＝x 3 ；②y ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 12x ；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝ a x (a >1)．其中幂函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (2)已知y ＝(m 2＋2m －2)x m 2－2 ＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值． (1)B [幂函数有①⑥两个．] (2)[解] 由题意得⎩⎨⎧ m 2＋2m －2＝1， 2n －3＝0， 解得⎩ ⎪⎨⎪ ⎧ m ＝－3，n ＝3 2或⎩ ⎪⎨⎪ ⎧ m ＝1，n ＝32. 所以m ＝－3或1，n ＝3 2. 1．幂函数y ＝x α满足的三个特征 (1)幂x α前系数为1； (2)底数只能是自变量x ，指数是常数； (3)项数只有一项． 职高高一数学幂函数知识点 随着社会的发展和科技的进步，数学作为一门基础学科，在我 们的学习中扮演着不可或缺的角色。职高高一数学课程中，幂函 数是一个重要的内容，它具有广泛的应用和深远的影响。本文将 介绍职高高一数学幂函数的知识点。 一、幂函数的定义与性质 1. 定义：幂函数是指形如$f(x)=ax^b$的函数，其中$a$和$b$都 是实数，且$a\neq0$。 2. 幂数$b$的意义：幂数$b$决定了幂函数的特性，当$b>0$时，幂函数呈现递增趋势；当$b<0$时，幂函数呈现递减趋势。 3. 底数$x$的取值范围：幂函数中，底数$x$可以是正数、负数 和零，但要避免底数为零时的幂函数定义问题。 二、幂函数的图像与特性 1. 当幂数$b$为偶数时，幂函数的图像关于y轴对称，即左半 部分的图像与右半部分的图像相同。 2. 当幂数$b$为奇数时，幂函数的图像关于原点对称，即关于y 轴和x轴均对称。 3. 当$b$为正整数时，幂函数在定义域内递增，当$b$为负整数时，幂函数在定义域内递减。 三、幂函数的特殊形式与应用 1. 直线函数：当幂数$b$为0时，幂函数退化成直线函数，即$f(x)=a$，其图像为平行于x轴的直线。 2. 反比例函数：当幂数$b$为-1时，幂函数变成反比例函数，即$f(x)=\frac{a}{x}$，其图像为一条经过原点的双曲线。 3. 指数函数：当底数$a$为正实数时，幂函数变成指数函数，即$f(x)=a^x$，其图像为一条通过点$(0,1)$的递增曲线。 4. 应用领域：幂函数在自然科学、经济学、生物学等各个领域中都有广泛的应用。比如人口增长模型中的指数增长，金融领域中的复利计算等。 四、幂函数的解析式与图像绘制 1. 对于幂函数$f(x)=ax^b$，其中$a$和$b$都是已知的常数，可以通过确定参数的值来确定函数的解析式和图像。 2. 绘制图像时，需要选择代表性的点，计算相应的函数值，然后在坐标平面上作图，通过已知的点连接得到幂函数的图像。 高一数学上册（秋季）辅导教案 学员姓名： 学科教师： 年 级： 辅导科目： 授课日期 ××年××月××日 时 间 A / B / C / D / E / F 段 主 题 幂函数的图像与性质 教学内容 1. 了解幂函数的概念，会应用概念解题； 2. 掌握幂函数的图像与性质。 （以提问的形式回顾） 1. 幂函数的概念：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数． 2. 性质： （1）幂函数的图像都过点 ；任何幂函数都不过 象限； （2）当0a >时，幂函数在[0,)+∞上单调性是 ；当0a <时，幂函数在(0,)+∞上单调性是 ； （3）当2,2a =-时，幂函数奇偶性是 ；当1 1,1,3,3 a =-时，幂函数的奇偶性是 ． 3. 图像： （采用教师引导，学生轮流回答的形式） 例1. 已知函数()() 2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =-（4）2 5 m =-（5）1m =- 试一试：已知函数()() 22 23 m m f x m m x --=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲线。 简解：2 20230 m m m m ⎧+>⎪⎨-->⎪⎩解得：()(),13,m ∈-∞-+∞U 小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。 例2. 比较大小： （1）11 221.5,1.7 （2）33 ( 1.2),( 1.25)-- 解：（1）∵12 y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴11 221.5 1.7< （2）∵3 y x =在R 上是增函数， 1.2 1.25->-，∴33( 1.2)( 1.25)->- 试一试：比较大小：112 5.25,5.26,5.26--- 解：∵1y x -=在(0,)+∞上是减函数，5.25 5.26<，∴115.25 5.26-->； ∵ 5.26x y =是增函数，12->-，∴125.26 5.26-->； 例3. 已知幂函数()()213 22 p p Z f x x p -++=∈在()0,+∞上是增函数，且在定义域上是偶函数，求p 的值，并 高一数学幂函数知识点 一、幂函数的定义和特点 幂函数是指形如y = ax^b的函数，其中a和b都是常数，且a 不等于0。幂函数的特点是可变基和可变底，并且具有以下几点性质： 1. 当a>0且b>0时，幂函数的图像在整个正数域上都是单调递增的； 2. 当a>0且b<0时，幂函数的图像在整个正数域上都是单调递减的； 3. 当a<0且b为整数奇数时，幂函数的图像在整个实数域上都是单调递增的； 4. 当a<0且b为整数偶数时，幂函数的图像在正数域上是单调递减的，而在负数域上是单调递增的。 二、幂函数的图像变换 对于幂函数y = ax^b，我们可以通过对参数a和b进行变换来得到新的幂函数的图像。常见的图像变换有： 1. 平移： 在x轴上平移时，将x替换为x-h，其中h为平移的距离； 在y轴上平移时，将y替换为y-k，其中k为平移的距离。 2. 垂直伸缩： 在y轴方向上的伸缩，将y替换为ay，其中a为缩放因子。 3. 水平伸缩： 在x轴方向上的伸缩，将x替换为hx，其中h为缩放因子。 三、幂函数的求导 对于y = ax^b来说，其中a和b都是常数。求导的过程如下： 1. 对于a的求导：由于a是常数，所以导数为0； 2. 对于x的求导：由于x的幂函数为x^b，所以导数为 b*ax^(b-1)。 根据以上计算规则，我们可以得到幂函数y = ax^b的导函数为 dy/dx = b*ax^(b-1)。 四、幂函数的应用 幂函数在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。以下是几个 常见的应用领域： 1. 金融领域：幂函数可以用来描述贷款利率、投资回报率等与 时间和资金量相关的关系。 2. 生物学领域：幂函数可以用来描述生物种群的增长规律、物 种多样性与面积关系等。 3. 经济学领域：幂函数可以用来描述收入分配、市场需求和供 给等经济现象。 4. 物理学领域：幂函数可以用来描述粒子在力场中的运动规律、声音强度与距离关系等。 总结： 高一数学知识点幂函数知识点总结幂函数是数学中的一种基本函数形式，它的形式为f(x) = x^a，其中 a为常数。在高一数学中，学习幂函数是非常重要的一部分，本文将对 高一数学知识点中的幂函数进行总结和归纳。 一、幂函数的定义和性质 幂函数可用 y = x^a 表示，其中a为常数。以下是幂函数的一些基 本性质： 1. 自变量的取值范围：幂函数的自变量x可以是任意实数。当a为 正偶数时，幂函数定义域为正实数集；当a为负偶数时，幂函数定义 域为负实数集；当a为奇数时，幂函数的定义域为全体实数集。 2. 定义域和值域：因为幂函数的定义域为全体实数集，所以其值域 也是全体实数集。 3. 奇偶性：当a为正偶数时，幂函数是偶函数；当a为负偶数时， 幂函数是奇函数；当a为奇数时，幂函数既不是偶函数也不是奇函数。 4. 单调性：若a>0，则幂函数在定义域上是递增函数；若a<0，则 幂函数在定义域上是递减函数。 5. 图像特点：幂函数的图像一般存在一个不可见的特殊点(0,0)，当 a>0时，图像在第一象限中单调递增，通过点(1,1)；当a<0时，图像在 第四象限中单调递增，通过点(1,1)；当a为负偶数时，图像经过点(- 1,1)。 二、幂函数的图像与变换 1. 幂函数的基本图像：以y = x^2为例，当x取非负实数时，幂函 数是递增曲线，在定义域上图像呈现开口向上的抛物线；当x取负实 数时，幂函数的图像和x轴关于y轴对称。 2. 幂函数的图像平移：对于幂函数y = x^a，其中a为常数，在x轴 向右平移c个单位长度的函数为y = (x-c)^a，表示为：f(x) --> f(x+c)。 3. 幂函数的图像伸缩：对于幂函数y = x^a，其中a为正常数，可以 进行垂直方向的伸缩，即在y轴方向上缩放一定倍数。若倍数k > 1， 函数为y = kx^a；若0 < k < 1，函数为y = kx^a。 三、幂函数与指数函数的关系 指数函数与幂函数是密切相关的，两者具有相似的性质。 1. 指数函数与幂函数的转化：指数函数可以通过对幂函数的变形得到，而幂函数也可以通过对指数函数的变形得到。例如，指数函数y = a^x可以通过取对数变形为幂函数y = log(a)x，其中log(a)为以a为底的对数函数。 2. 幂函数的求导：对于幂函数y = x^a，其中a为常数，我们可以先 对该函数取对数，然后再对其求导。这样可以简化幂函数的求导过程，变成对数函数的求导，即y = a*ln(x)。 四、幂函数应用举例 高一数学知识点幂函数的总结高一数学知识点关于幂函数的总结 幂函数定义： 形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域： 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q 为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域。 性质： 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0， +∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数; 幂函数图像及性质总结 幂函数是高中数学中的一个重要概念，它是指形式为f(x)=ax^k的函数，其中a 为非零实数，k为实数。幂函数在数学中具有广泛的应用，在图像的研究中，掌握 幂函数的图像及其性质是非常重要的。 首先，我们来看幂函数的图像特点。当k为正数时，幂函数的图像呈现出“增长”或“递减”的趋势。当k>1时，曲线会明显上升，形成类似于指数函数的图像特征。而当0 常见的幂函数 函 数 y x = 2y x = 3y x = 12 y x = 1y x -= 0y x = 定义域 值 域 图 象 奇偶性 定点 图象形状 直线 抛物线 拐线 抛物线 双曲线 幂函数的基本性质： ①所有幂函数在(0,)+∞上都有定义，并且图象都经过点(1,1)； ②若0α>，则幂函数的图象过原点，并且在区间[0,)+∞上为增函数； ③若0α<，则幂函数的图象在区间(0,)+∞上是减函数，在第一象限内，图象随着x 值的变化而趋近与坐标轴； ④当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数； 例1、幂函数()f x 的图象过点1(4,)2 ，且()8f x =，则x = ； 例2、讨论下列函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出图象； ①4 ()f x x = ② 14 ()f x x = ③ 3 ()f x x -= ④ 23 ()f x x = 例3、已知幂函数39 m y x -=(*)m ∈N 的图象关于y 轴对称，且在(0,)+∞上函数值随着x 的增大而 减小，求满足3 3 (1)(32)m m a a --+<-的a 的取值范围； 例4、① 函数23 y x =的定义域是 ，值域是 ； ② 函数23 y x -=的定义域是 ，值域是 ； ③ 函数32 y x =的定义域是 ，值域是 ； ④ 函数32 y x -=的定义域是 ，值域是 ； 例5、若幂函数p y x =与q y x =的图象关于y x =对称，则实数,p q 满足的关系式是 ； 例6、点(2,2)在幂函数()f x 的图象上，点1 (2,)4 -在幂函数()g x 的图象上，问当x 为何值时，有：①()()f x g x >；②()()f x g x =；③()()f x g x <； 例7、函数2y ax bx =+与log (0,)b a y x ab a b =≠≠在同一直角坐标系中的图象可能是 （ ） 例8、若函数()y f x =是函数(0,1)x y a a a =>≠且的反函数，且(2)1f =，则()f x = ； 例9、函数6()12log f x x =-的定义域为 。 例10、函数3()log (3)f x x =+的反函数的图象与y 轴的交点坐标是 ； 例11、设lg ,0()10,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩ ，则((2))f f -= ； 例12、下列函数有没有反函数？有反函数的求出它们的反函数，并写出反函数的定义域； ①2 y x =-；②21y x =-+；③121y x =+；④1(1)1(1) x x y x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩ ；④21 2x y -= 幂函数 分数指数幂 正分数指数幂的意义是：m n a =0a >，m 、n N ∈，且1n >〕 负分数指数幂的意义是：m n a -= 〔0a >，m 、n N ∈，且1n >〕 1、 幂函数的图像与性质 幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当11 2,1,,,323 n =±±±的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论： ① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限． ② 11 ,,1,2,332a = 时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1 ,1,22 a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数． ④ 任何两个幂函数最多有三个公共点． y 0n < 幂函数根本性质 〔1〕所有的幂函数在〔0，+∞〕都有定义，并且图象都过点〔1，1〕； 〔2〕α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 〔3〕α＜0时，幂函数的图象在区间〔0，+∞〕上是减函数. 规律总结 1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进展讨论； 2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的根本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横〞，即α＞0〔α≠1〕时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． 2、 幂函数的应用 例1、 幂函数n m y x =〔m 、n N ∈，且m 、n 互质〕的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有 〔 〕 O * y O * y O * y 幂函数知识点总结 幂函数是数学中常见的一类函数，它的形式可以表示为f(x) = x^a，其中a为 常数。幂函数的特点是变量x的指数是常数，因此它的图像通常呈现出一种非常 特殊的形状。 1.幂函数的定义域和值域： 幂函数的定义域为实数集R，即它对于任意实数x都有定义。而值域则取决于 幂函数的指数a的取值范围。 当a为正数时，幂函数的值域为正实数集(0, +∞)，即函数的值始终大于0；当 a为负数时，幂函数的值域为负实数集(-∞, 0)，即函数的值始终小于0；当a为0时，幂函数的值域只包含一个点1，即函数的值始终等于1。 2.幂函数的图像： 幂函数的图像形状取决于指数a的正负和大小。当a为正数时，幂函数的图像 呈现出从左下方无限趋近于x轴的曲线，且经过点(0,0)。随着a的增大，曲线的 增长速度越来越快。 当a为负数时，幂函数的图像呈现出从右上方无限趋近于x轴的曲线，且经过 点(0,0)。随着a的减小，曲线的增长速度越来越慢。 当a为0时，幂函数的图像为一条水平直线，过点(0,1)。 3.幂函数的性质： •幂函数是奇函数还是偶函数取决于指数a的奇偶性。当a为奇数时，幂函数是奇函数；当a为偶数时，幂函数是偶函数。 •当指数a为正整数时，幂函数的增长速度越来越快，当a为负整数时，幂函数的增长速度越来越慢。 •当指数a大于1时，幂函数的增长速度超过线性函数；当指数a介于0和1之间时，幂函数的增长速度介于线性函数和指数函数之间。 •幂函数的导数为f’(x) = a * x^(a-1)，其中a为指数。当指数a为正数时，导数始终大于0，说明幂函数在整个定义域上是递增的；当指数a为负数时，导数始终小于0，说明幂函数在整个定义域上是递减的。 综上所述，幂函数是一种常见的函数形式，它的图像和性质都受到指数a的影响。通过对幂函数的研究，我们可以更好地理解函数的变化规律和特点。 高一年级数学幂函数知识点 高一年级数学幂函数知识点（一） 1.高中数学函数函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于函数A中的任意一个数x，在函数B中都有确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从函数A到函数B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的函数{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 注意： 函数定义域：能使函数式有意义的实数x的函数称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的函数. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数 值的字母无关);②定义域一致(两点必须同时具备) 2.高中数学函数值域:先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3.函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的函数C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上. (2)画法 A、描点法： B、图象变换法 常用变换方法有三种 (1)平移变换 (2)伸缩变换 (3)对称变换 4.高中数学函数区间的概念 (1)函数区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 5.映射 一般地，设A、B是两个非空的函数，如果按某一个确定的对应法则f，使对于函数A中的任意一个元素x，在函数B中都有确高一数学幂函数知识点总结
高中数学：幂函数的概念、图象和性质
数学必修1—6.幂函数的图像及其性质
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