高一幂函数
幂函数是数学中常见的一种函数形式，其表达式可以写作f(x) = x^n，其中n为指数，也可以是整数、分数或负数。在高一阶段，我们将会学习到一些关于幂函数的基本性质和应用。
一、幂函数的定义与性质
幂函数的定义域一般为实数集R，即所有实数x都可以作为幂函数的自变量。而幂函数的值域则取决于指数n的奇偶性。当n为奇数时，幂函数的值域也为实数集R；当n为偶数时，幂函数的值域则为非负实数集[0, +∞)。
幂函数的图像特点也与指数n的奇偶性密切相关。当n为正整数时，幂函数的图像呈现出单调递增或单调递减的特点，且经过原点(0,0)；当n为负整数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限上单调递增，而在第二象限和第四象限上单调递减；当n为分数时，幂函数的图像则具有更加复杂的形状。
二、幂函数的应用
1. 金融领域中的利息计算
在金融领域中，我们常常会遇到复利计算的问题。而复利计算中的利息增长往往可以用幂函数来表示。例如，如果我们存款10000元，年利率为5%，那么每年的本息总额可以表示为f(n) =
10000*(1+0.05)^n，其中n表示存款的年限。通过计算幂函数的值，我们可以得到每年的本息总额。
2. 自然科学中的物理规律
在自然科学的研究中，我们经常会遇到一些与幂函数相关的物理规律。例如，牛顿的万有引力定律就是一个幂函数的应用。该定律表明，两个物体之间的引力与它们质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比。这可以用幂函数来表示为f(r) = G*m1*m2/r^2，其中G为万有引力常数，m1和m2分别为两个物体的质量，r为它们之间的距离。通过计算幂函数的值，我们可以得到它们之间的引力大小。
3. 经济学中的增长模型
在经济学研究中，幂函数也被广泛应用于描述经济增长模型。例如，柯布-道格拉斯生产函数就是一种幂函数模型，用于描述劳动力和资本对产出的贡献。该模型可以表示为Y = A*K^α*L^β，其中Y表示产出，A表示全要素生产率，K表示资本，L表示劳动力，α和β分别为资本和劳动力的弹性系数。通过计算幂函数的值，我们可以得到产出的数量。
三、幂函数的图像与变换
除了上述应用之外，我们还可以通过对幂函数进行一些图像变换来得到更多有趣的函数图像。例如，对幂函数f(x) = x^n进行平移、缩放和翻转等变换，我们可以得到对应的平移、缩放和翻转后的函
数图像。这些变换可以通过改变指数n的值、加减常数项或乘除常数因子来实现。
四、幂函数的解析式求解
在解析几何中，我们经常需要求解幂函数的零点、极值和图像的特征点等问题。对于幂函数f(x) = x^n，我们可以通过求解方程f(x) = 0来求解其零点；通过求解f'(x) = 0来求解其极值点；通过研究幂函数的单调性和凸凹性来确定其图像的特征点等。
高一幂函数是我们在高中数学学习中不可或缺的一部分。通过学习幂函数的定义与性质，掌握幂函数的应用，了解幂函数的图像与变换，以及掌握幂函数的解析式求解方法，我们可以更好地理解数学中的幂函数概念，并将其应用于实际问题的解决中。掌握了幂函数的知识，我们将更加深入地理解数学的美妙与应用的广泛性。
高一数学幂函数知识点总结 一、一次函数定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx(k为常数，k≠0) 二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数) 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1.作法与图形：通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点) 2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限： 当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大; 当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b>0时，直线必通过一、二象限; 当b=0时，直线通过原点 当b<0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数 的图像。 这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通 过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的 表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……② (3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。 一、高中数学函数的有关概念 1.高中数学函数函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照 某个确定的对应关系f，使对于函数A中的任意一个数x，在函数B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从函数A 到函数B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x 的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的函数{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
幂函数 知能点全解： 一、定义：一般地，我们把形如()a y x a R =∈的函数叫做幂函数，其中a 为常数。 二、性质： 1、所有的幂函数在()0,+∞都有定义，并且图像都通过点()1,1； 2、如果0a >，则幂函数的图像经过原点，并且在区间[)0,+∞上为增函数；如果0a <，则幂函数的图像不经过原点，并且在区间()0,+∞上为增函数 3、幂函数的图像及其奇偶性： 令a q p =（p 、q 互质） a <0 01 q p y x =（p 、q 互质） p 、q 是奇数 p 是奇数、q 是偶数 p 是偶数、q 是奇数 y x = 0y x = 三、如右图,,,,,a b c d e f 的大小关系为： a b c d e f <<<<<
典型题型全解 题型一：幂函数的基本概念和性质的辨析 及时演练： 1、下列函数中，定义域和值域不同的是（ ） A 、13y x = B 、12y x = C 、53y x = D 、 23 y x = 2、下列命题中正确的是（ ） A 、当0n =时，函数n y x =的图像是一条直线 B 、幂函数的图像都经过点()()0,0,1,1 C 、幂函数的图像不可能出现在第四象限 D 、若幂函数n y x =是奇函数，则n y x =在其定义域上一定是增函数 3、下列函数中，不是幂函数的是（ ） A 、y x = B 、3y x = C 、2x y = D 、1y x -= 4、下列函数中，定义域为R 的是（ ） A 、32 y x = B 、3y x = C 、2x y = D 、1y x -= 5、若() 1 3 1x --有意义，则x ∈ 。 6、()2 1 m m f x x ++=的定义域为 。 7、值域是()0,+∞的函数是（ ） A 、125x y -= B 、113x y -⎛⎫ = ⎪ ⎝⎭ C 、12x y =- D 、23 y x = 题型二 ：幂函数的图像 例 1：右图中是幂函数n y x =在第一象限的图像，已知n 取12,2 ±±四个值，则相应于曲线 1234,,,C C C C 的n 依次为（ ） A 、112,,,222-- B 、11 2,,,222-- C 、11,2,2,22-- D 、112,,2,22-- 及时演练： 1、将1113 2 213 2 2 ,,,,,,,y x y x y x y x y x y x y x y x ---========填入对应图像下面。
高一数学上册知识点整理：幂函数 定义： 形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域： 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x 肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域 性质： 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是r，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数； 排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数； 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a 就不能是负数。 总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的
不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数； 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况. 可以看到： (1)所有的图形都通过(1，1)这点。 (2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。 (3)当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。 (4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。 (5)a大于0，函数过(0，0)；a小于0，函数不过(0，0)点。 (6)显然幂函数无界。
高一寒假数学讲义 “幂函数的图像与性质（应用）” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 知识定位 熟练掌握幂函数的概念，幂函数的图像及幂函数的性质，会解决幂函数的综合问题及应用问题。 知识梳理 一、幂函数的定义 一般地，形如y xα =（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常 数.如 11 234 ,, y x y x y x- ===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样， 都是基本初等函数. 幂函数的几个特点：（1）以自变量为底的幂；（3）指数为常数；（4）自变量前的系数为1；（5）幂前的系数也为1。 特别的：y=x0（x≠0）也是幂函数，因为00没有意义，所以要去掉点（0,1）；而y=1不是幂函数，是常数函数，定义域是x∈R。 二、幂函数的图像 α取值范围不同，图像也不相同， α的正负： α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象 限的图象上升； α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图 象下降，反之也成立 注意判断幂函数的定义域的方法可概括为（对指数）“先看正负，是负去零，再看奇偶，是偶非负”。
比如幂函数112 3 4 ,,y x y x y x - ===定义域分别为x ∈R ，x ∈R ，x ≠0。 三、 幂函数的性质 （1）所有的幂函数在x ∈（0，+∞）都有定义,并且图象都通过点(1,1) （2）指数是偶数的幂函数是偶函数,指数是奇数的幂函数是奇函数 （3）α>0(1)图象都经过点（0，0）和（1，1） (2)图象在第一象限,函数是增函数. α<0(1)图象都经过点（1，1）； (2)图象在第一象限是减函数; (3)在第一象限内,图象向上与Y 轴无限接近,向右与X 轴无限地接近 . 四、 幂函数的运算 （一）两个重要公式 ①⎪⎩ ⎪ ⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 （二）有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:(0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 11 (0,,1)m n m n m n a a m n N n a a -*= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 n 为奇数 n 为偶数
高一数学上册幂函数的性质与图像知识点 高一数学上册幂函数的性质与图像知识点 幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。下文是高一数学上册幂函数的性质与图像知识点，欢迎阅读! 定义: 形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域: 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数; 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下： 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域 性质: 对于a的.取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数;
排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a 就不能是负数。 总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数; 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况. 可以看到： (1)所有的图形都通过(1，1)这点。 (2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。 (3)当a大于1时，幂函数图形下凹;当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。 (4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。 (5)a大于0，函数过(0，0);a小于0，函数不过(0，0)点。 (6)显然幂函数无界。
高一数学幂函数知识点 1.概念：y x α=（x 是自变量，α是常数） 注意：（1）.只有形如y x α=（α为任意实数，x 为自变量）的函数才是幂函数，否则就不是； （2）.判断是否为幂函数的依据：y x α= ①．指数为常数 ②. 底数为自变量 ③. 底数系数为1 如：()3,2,5,y x y x y x α αα===+K 等都不是幂函数. 2.幂函数的图象 按0,1,1,01,0ααααα==><<<五种类型分
3.幂函数y x α=在第一象限图象特征 （1）.当1α>时，图象过（0,0），（1,1），下凸递增，如3y x = （2）.当01α<<时，图象过（0,0），（1,1），上凸递增，如12 y x = （3）.当0α<时，图象过（1,1），下凸递减，且以两坐标轴为渐近线.如1 2 y x -= 4.幂函数的性质 （1）.所有的幂函数在()0,+∞上都有意义，图象都过（1,1）. （2）.如果0α>，则幂函数过原点，在()0,+∞上单调递增. （3）.如果0α<，图象在()0,+∞上单调递减，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限逼近y 轴；当x 趋向于+∞时，图象在x 轴上方无限逼近x 轴. （4）.①.当α为奇数时，幂函数为奇数 ②.当α为偶数时，幂函数为偶数 ③.当(),,p p q p q N q α+= ∈为互质，时
a. 若q 为奇数，则当p 为奇数时p q y x =为奇函数，当p 为偶数时p q y x =为偶函数 b. 若q 为偶数，则p 必为奇数，此时p q y x =为非奇非偶函数 （5）.幂函数的定义域 ①.当N α+∈时，定义域为R ②.当0α=时，定义域为{}|,0x x R x ∈≠ ③.当α为负整数时，定义域为{}|,0x x R x ∈≠ ④.当(),,1,,p p q N q p q q α+= ∈>且互质时 a. q 为偶数时，定义域为[)0,+∞ b. q 为奇数时，定义域为R ⑤.当()-,,1,,p p q N q p q q α+=∈>且互质时 a. q 为偶数，定义域为()0,+∞ b. q 为奇数，定义域为{}|,0x x R x ∈≠.
高一数学重点知识点：幂函数解析 高中数学相对于初中来说在学习方法和解题难度上都会有所增加，所以我们要熟悉每个重点知识点，以此来找到更好的学习方法。掌握幂函数的内部规律及本质是学好幂函数的关键所在，下面是整理的高一数学重点知识点：幂函数解析，希望对广大朋友有所帮助。 定义： 形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域： 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域 性质： 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x0，函数的定义域是(-，0)(0，+).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x0和x0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数; 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。而只有a为正数，0才进入函数的值域。
高一数学幂函数知识点 一、幂函数的定义和特点 幂函数是指形如y = ax^b的函数，其中a和b都是常数，且a 不等于0。幂函数的特点是可变基和可变底，并且具有以下几点性质： 1. 当a>0且b>0时，幂函数的图像在整个正数域上都是单调递增的； 2. 当a>0且b<0时，幂函数的图像在整个正数域上都是单调递减的； 3. 当a<0且b为整数奇数时，幂函数的图像在整个实数域上都是单调递增的； 4. 当a<0且b为整数偶数时，幂函数的图像在正数域上是单调递减的，而在负数域上是单调递增的。 二、幂函数的图像变换 对于幂函数y = ax^b，我们可以通过对参数a和b进行变换来得到新的幂函数的图像。常见的图像变换有：
1. 平移： 在x轴上平移时，将x替换为x-h，其中h为平移的距离； 在y轴上平移时，将y替换为y-k，其中k为平移的距离。 2. 垂直伸缩： 在y轴方向上的伸缩，将y替换为ay，其中a为缩放因子。 3. 水平伸缩： 在x轴方向上的伸缩，将x替换为hx，其中h为缩放因子。 三、幂函数的求导 对于y = ax^b来说，其中a和b都是常数。求导的过程如下： 1. 对于a的求导：由于a是常数，所以导数为0； 2. 对于x的求导：由于x的幂函数为x^b，所以导数为 b*ax^(b-1)。
根据以上计算规则，我们可以得到幂函数y = ax^b的导函数为 dy/dx = b*ax^(b-1)。 四、幂函数的应用 幂函数在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。以下是几个 常见的应用领域： 1. 金融领域：幂函数可以用来描述贷款利率、投资回报率等与 时间和资金量相关的关系。 2. 生物学领域：幂函数可以用来描述生物种群的增长规律、物 种多样性与面积关系等。 3. 经济学领域：幂函数可以用来描述收入分配、市场需求和供 给等经济现象。 4. 物理学领域：幂函数可以用来描述粒子在力场中的运动规律、声音强度与距离关系等。 总结：
高一数学幂函数知识点(总3页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-- --内页可以根据需求调整合适字体及大小--
高一数学幂函数知识点 1.概念：y x α=（x 是自变量，α是常数） 注意：（1）.只有形如y x α=（α为任意实数，x 为自变量）的函数才是幂函数，否则就不是； （2）.判断是否为幂函数的依据：y x α= ①．指数为常数 ②. 底数为自变量 ③. 底数系数为1 如：()3,2,5, y x y x y x α αα===+等都不是幂函数. 2.幂函数的图象 按0,1,1,01,0ααααα==><<<五种类型分
3.幂函数y x α=在第一象限图象特征 （1）.当1α>时，图象过（0,0），（1,1），下凸递增，如3y x = （2）.当01α<<时，图象过（0,0），（1,1），上凸递增，如12 y x = （3）.当0α<时，图象过（1,1），下凸递减，且以两坐标轴为渐近线.如1 2 y x -= 4.幂函数的性质 （1）.所有的幂函数在()0,+∞上都有意义，图象都过（1,1）. （2）.如果0α>，则幂函数过原点，在()0,+∞上单调递增. （3）.如果0α<，图象在()0,+∞上单调递减，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时， 图象在y 轴右方无限逼近y 轴；当x 趋向于+∞时，图象在x 轴上方无限逼近x 轴. （4）.①.当α为奇数时，幂函数为奇数 ②.当α为偶数时，幂函数为偶数 ③.当(),,p p q p q N q α+= ∈为互质，时
a. 若q 为奇数，则当p 为奇数时p q y x =为奇函数，当p 为偶数时p q y x =为偶函数 b. 若q 为偶数，则p 必为奇数，此时p q y x =为非奇非偶函数 （5）.幂函数的定义域 ①.当N α+∈时，定义域为R ②.当0α=时，定义域为{}|,0x x R x ∈≠ ③.当α为负整数时，定义域为{}|,0x x R x ∈≠ ④.当(),,1,,p p q N q p q q α+= ∈>且互质时 a. q 为偶数时，定义域为[)0,+∞ b. q 为奇数时，定义域为R ⑤.当()-,,1,,p p q N q p q q α+=∈>且互质时 a. q 为偶数，定义域为()0,+∞ b. q 为奇数，定义域为{}|,0x x R x ∈≠.
高一数学知识点幂函数知识点总结幂函数是数学中的一种基本函数形式，它的形式为f(x) = x^a，其中 a为常数。在高一数学中，学习幂函数是非常重要的一部分，本文将对 高一数学知识点中的幂函数进行总结和归纳。 一、幂函数的定义和性质 幂函数可用 y = x^a 表示，其中a为常数。以下是幂函数的一些基 本性质： 1. 自变量的取值范围：幂函数的自变量x可以是任意实数。当a为 正偶数时，幂函数定义域为正实数集；当a为负偶数时，幂函数定义 域为负实数集；当a为奇数时，幂函数的定义域为全体实数集。 2. 定义域和值域：因为幂函数的定义域为全体实数集，所以其值域 也是全体实数集。 3. 奇偶性：当a为正偶数时，幂函数是偶函数；当a为负偶数时， 幂函数是奇函数；当a为奇数时，幂函数既不是偶函数也不是奇函数。 4. 单调性：若a>0，则幂函数在定义域上是递增函数；若a<0，则 幂函数在定义域上是递减函数。 5. 图像特点：幂函数的图像一般存在一个不可见的特殊点(0,0)，当 a>0时，图像在第一象限中单调递增，通过点(1,1)；当a<0时，图像在 第四象限中单调递增，通过点(1,1)；当a为负偶数时，图像经过点(- 1,1)。
二、幂函数的图像与变换 1. 幂函数的基本图像：以y = x^2为例，当x取非负实数时，幂函 数是递增曲线，在定义域上图像呈现开口向上的抛物线；当x取负实 数时，幂函数的图像和x轴关于y轴对称。 2. 幂函数的图像平移：对于幂函数y = x^a，其中a为常数，在x轴 向右平移c个单位长度的函数为y = (x-c)^a，表示为：f(x) --> f(x+c)。 3. 幂函数的图像伸缩：对于幂函数y = x^a，其中a为正常数，可以 进行垂直方向的伸缩，即在y轴方向上缩放一定倍数。若倍数k > 1， 函数为y = kx^a；若0 < k < 1，函数为y = kx^a。 三、幂函数与指数函数的关系 指数函数与幂函数是密切相关的，两者具有相似的性质。 1. 指数函数与幂函数的转化：指数函数可以通过对幂函数的变形得到，而幂函数也可以通过对指数函数的变形得到。例如，指数函数y = a^x可以通过取对数变形为幂函数y = log(a)x，其中log(a)为以a为底的对数函数。 2. 幂函数的求导：对于幂函数y = x^a，其中a为常数，我们可以先 对该函数取对数，然后再对其求导。这样可以简化幂函数的求导过程，变成对数函数的求导，即y = a*ln(x)。 四、幂函数应用举例
高一数学幂函数知识点总结 高一数学幂函数知识点总结 定义： 形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域： 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的'所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域 性质： 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x 的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是r，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然
x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x0和x0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数; 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况. 可以看到： (1)所有的图形都通过(1，1)这点。 (2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。
高一数学必修1知识点：幂函数的性质考点 高一数学必修1知识点：幂函数的性质考点 在平时的学习中，大家对知识点应该都不陌生吧？知识点是传递信息的基本单位，知识点对提高学习导航具有重要的作用。相信很多人都在为知识点发愁，以下是店铺帮大家整理的高一数学必修1知识点：幂函数的性质考点，希望能够帮助到大家。 定义： 形如y=x^a（a为常数）的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域： 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数； 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下： 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域 性质： 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^（p/q）=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞）。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/（x^k），显然x≠0，函数的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）。因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们
就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x>；0，则a可以是任意实数； 排除了为0这种可能，即对于x<；0和x>；0的所有实数，q不能是偶数； 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a 就不能是负数。 总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数； 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的'，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况。 可以看到： （1）所有的图形都通过（1，1）这点。 （2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。 （3）当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。 （4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。 （5）a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。 （6）显然幂函数无界。 1、函数性质
高一幂函数 一、幂函数的概念及基本性质 幂函数是指形式为y=x^a（a是常数且不等于0）的函数。其中，x 是自变量，a是指数，y是因变量。 1.幂函数的定义域：幂函数的定义域为实数集R。 2.幂函数的增减性：当a>0时，随着x的增大，幂函数也增大；当a<0时，随着x的增大，幂函数减小。 3.幂函数的奇偶性：当a为奇数时，幂函数是奇函数；当a为偶数时，幂函数是偶函数。 4.幂函数的图像：当a>1时，幂函数呈现指数增长的图像；当 0 2.幂函数的图像在x轴上的唯一零点是x=0，当a>0时，y=0是幂函数的水平渐近线；当a<0时，幂函数没有水平渐近线。 3.幂函数的图像的特点还包括：在定义域内，随着a的增大，幂函数的曲线变得越来越陡峭，斜率越大，也越接近于坐标轴。 三、幂函数的应用实例 幂函数在实际生活中有许多应用，如下所示： 1.货币贬值：幂函数可以用来描述货币贬值的情况。假设初始时某国家的货币价值为100，每年贬值5%，则可以用幂函数y=100(1-0.05)^x来表示货币价值随时间的变化，其中x表示年份，y表示货币价值。 2.物种数量变化：幂函数可以用来描述物种数量随时间的变化。假设某种细菌在细菌培养皿中繁殖，每小时繁殖数量为原来的3倍，可以用幂函数y=2^x来表示细菌数量随时间的变化，其中x表示时间（小时），y表示细菌的数量。 3.电子产品价格变化：幂函数可以用来描述电子产品价格随时间的变化。以手机为例，假设某款手机初始价格为3000元，每年价格下 幂函数知识点总结5篇 在平时的学习中，大家都没少背知识点吧？知识点就是掌握某个问题/知识的学习要点。想要一份整理好的知识点吗？的我精心为您带来了5篇《幂函数知识点总结》，如果能帮助到亲，我们的一切努力都是值得的。 高一数学幂函数知识点总结篇一 1、函数的单调性（局部性质） （1）增函数 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数。区间D称为y=f(x)的单调减区间。注意：函数的单调性是函数的局部性质； （2）图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。 （3）函数单调区间与单调性的判定方法 (A)定义法： a.任取x1，x2D，且x1 b.作差f(x1)-f(x2)； c.变形（通常是因式分解和配方）； d.定号（即判断差f（x1）-f(x2)的正负）； e.下结论（指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）。 (B)图象法（从图象上看升降） (C)复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律："同增异减' 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集。 8、函数的奇偶性（整体性质） （1）偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数。 （2）奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数。 （3）具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称。 利用定义判断函数奇偶性的步骤： a.首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； b.确定f(-x)与f(x)的关系； c.作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数；若 1 幂函数 一、幂函数定义及解析式特点 1.定义：一般地，函数y x α =叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数。 2.解析式特点：①系数为1；②底为自变量；③指数为常数。 3.幂函数的指数除了可以取整数外，还可以取其他实数。 二、幂函数的图象 1.幂函数主要以1 1,2,3,,12 α=-为代表， 来研究掌握0α<,01α<<,1α>时的 大致图象和图象的性质。 2.在同一坐标系中画出y x =,2y x =, 3 y x =,12 y x =,1y x -=的图象，如下图： 三、幂函数图象特点 1.根据幂函数y x α =的图象可得到以下结论： （1）幂函数在()0,+∞都有定义，且都过 ()1,1点，不一定过()0,0点。 （2）幂函数都过第一象限，不过第四象限； （3）当0α>时，在第一象限都是增函数；当0α<时在第一象限都是减函数。 2.（1）当0α<时，幂函数在第一象限是减函数，且和1 y x = 在第一象限的图象 大致相同； （2）当0α>时，函数在第一象限是增函数，且在第一象限的大致图象的特点 可细分为两种情况： ①01α<<时,幂函数的图象在第一象 限“趴着增”,且在()0,1内，图象在直 线y x =的上方增,在()1,+∞图象在直线y x =的下方增。 ②1α>时,幂函数的图象在第一象限“竖着增”,且在()0,1内,图象在直线 y x =的下方增， 在()1,+∞图象在直线y x =的上方增。 四、幂函数的作图技巧 画幂函数y x α =的图象，可按以下步骤进行。 第一步，根据解析式求定义域； 第二步，根据幂函数在第一象限的特点画出第一象限的图象； 第三步，根据函数的奇偶性，结合函数的定义域画出其他部分的图象。 五、幂函数定义域的解法技巧 幂函数y x α=的定义域由幂指数α决定。 1.当N α+∈时，定义域为R 。 2.当0α=或α取负整数时，定义域为 ()(),00,-∞+∞。 3.当α为最简分数时，要把幂函数解析式化成根式形式后，再求定义域。 六、幂函数在解不等式中的应用. 指数相同的两个实数比较大小，可以先构造幂函数，然后利用幂函数的单调性、奇偶性比较大小。如：比较()31.5-和()3 1.4-，可以构造幂函数3 y x =，为定义域R 上的增函 数 ，∵ 1.5 1.4 -<-，∴()() 1.5 1.4f f -<-， 即 ()()3 3 1.5 1.4-<-。 七、幂函数和指数函数的解析式区别比较。 1.幂函数：y x α =（自变量在底数位置，次数为常数） 2.指数函数：x y a =（自变量在次数位置，底数为常数） 常见的幂函数 函 数 y x = 2y x = 3y x = 12 y x = 1y x -= 0y x = 定义域 值 域 图 象 奇偶性 定点 图象形状 直线 抛物线 拐线 抛物线 双曲线 幂函数的基本性质： ①所有幂函数在(0,)+∞上都有定义，并且图象都经过点(1,1)； ②若0α>，则幂函数的图象过原点，并且在区间[0,)+∞上为增函数； ③若0α<，则幂函数的图象在区间(0,)+∞上是减函数，在第一象限内，图象随着x 值的变化而趋近与坐标轴； ④当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数； 例1、幂函数()f x 的图象过点1(4,)2 ，且()8f x =，则x = ； 例2、讨论下列函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出图象； ①4 ()f x x = ② 14 ()f x x = ③ 3 ()f x x -= ④ 23 ()f x x = 例3、已知幂函数39 m y x -=(*)m ∈N 的图象关于y 轴对称，且在(0,)+∞上函数值随着x 的增大而 减小，求满足3 3 (1)(32)m m a a --+<-的a 的取值范围； 例4、① 函数23 y x =的定义域是 ，值域是 ； ② 函数23 y x -=的定义域是 ，值域是 ； ③ 函数32 y x =的定义域是 ，值域是 ； ④ 函数32 y x -=的定义域是 ，值域是 ； 例5、若幂函数p y x =与q y x =的图象关于y x =对称，则实数,p q 满足的关系式是 ； 例6、点(2,2)在幂函数()f x 的图象上，点1 (2,)4 -在幂函数()g x 的图象上，问当x 为何值时，有：①()()f x g x >；②()()f x g x =；③()()f x g x <； 例7、函数2y ax bx =+与log (0,)b a y x ab a b =≠≠在同一直角坐标系中的图象可能是 （ ） 例8、若函数()y f x =是函数(0,1)x y a a a =>≠且的反函数，且(2)1f =，则()f x = ； 例9、函数6()12log f x x =-的定义域为 。 例10、函数3()log (3)f x x =+的反函数的图象与y 轴的交点坐标是 ； 例11、设lg ,0()10,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩ ，则((2))f f -= ； 例12、下列函数有没有反函数？有反函数的求出它们的反函数，并写出反函数的定义域； ①2 y x =-；②21y x =-+；③121y x =+；④1(1)1(1) x x y x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩ ；④21 2x y -= 高一数学上册学问点：幂函数 高一数学上册学问点：幂函数 形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。下面整理了关于幂函数的学问点，一起来看看！ 定义域和值域： 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同状况如下：假如a为随意实数，则函数的定义域为大于0的全部实数;假如a为负数，则x确定不能为0，不过这时函数的定义域还必需根[据q的奇偶性来确定，即假如同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的全部实数;假如同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的全部实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同状况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域性质： 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种状况来 探讨各自的特性： 首先我们知道假如a=p/q，q和p都是整数，则 x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，假如q是奇数，函数的定义域是R，假如q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，明显x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 解除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是随意实数; 解除了为0这种可能，即对于x0和x0的全部实数，q不能是偶数; 解除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的全部实数，a就不能是负数。 幂函数的定义域的不同状况如下： 假如a为随意实数，则函数的'定义域为大于0的全部实数; 假如a为负数，则x确定不能为0，不过这时函数的定义域还必需依据q的奇偶性来确定，即假如同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的全部实数;假如同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的全部实数。 高一数学幂函数知识点总结 函数是高中数学中比较重要的一项学问，学好函数可以提高自己的数学学问水平。下面就让学习啦我给大家共享一些〔高一数学〕幂函数学问点〔总结〕吧，希望能对你有关怀! 高一数学幂函数学问点总结篇一 一、一次函数定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx(k为常数，k0) 二、一次函数的性质： 1.y的转变值与对应的x的转变值成正比例，比值为k 即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数) 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1.作法与图形：通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线，可以作出一次函数的图像一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点) 2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。 3.k，b与函数图像所在象限： 当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大; 当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b0时，直线必通过一、二象限; 当b=0时，直线通过原点 当b0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。 这时，当k0时，直线只通过一、三象限;当k0时，直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b①和y2=kx2+b② (3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。 (4)最终得到一次函数的表达式。 高一数学幂函数学问点总结篇二 一、高中数学函数的有关概念 1.高中数学函数函数的概念：设A、B是非空的数集，假如依据某个确定的对应关系f，使对于函数A中的任意一个数x，在函数B中都有唯一确定的数f(x)幂函数知识点总结5篇
高一数学必修一幂函数定义、图象和性质的知识点总结
高一数学幂函数的性质经典总结及练习
高一数学上册知识点：幂函数
高一数学幂函数知识点总结
相关主题
文本预览