第八章 稳恒磁场
１．
载流线圈如图所示，求圆心O 点处的磁感应强度是多少？
２． 彼此绝缘的六根无限长载流直导线（电流均为I ），放置如图所示，图中
a 、
b 、
c 、
d 为面积相等的四个正方形，问指向纸面内磁通量最大的区域并说明。
３． 将半径为R 的单匝载流圆线圈弯成尺寸相同的双匝平面线圈，电流保持
不便，则弯曲后线圈中心的磁感应强度和线圈的磁矩分别是多少？
４． 载有一定电流的圆线圈在轴线上各点处产生的磁感应强度的大小B 与线
圈的半径和场点线圈中心的距离x 有关。当R 增大时B 将如何变化？
５． 一磁场的磁感应强度k c j b i a B
++=，则通过磁场中一半径为R ，求开
口向OZ 轴方向的半球壳表面的磁通量。
６． 将一根无限长导线弯曲成如图所示的形状，通以电流I 后，求圆心处磁
感应强度的大小。
７．将无限长直导线弯成直角，通电流I =10A，求角平分线上距导线垂直距离为d =0.5m的点处磁感应强度的大小？
８．直螺线管半径R =0.05m，长L =0.5m，通电流I =5A，在螺线管轴线中点处产生大小为B＝１.23x10-3T的磁场，试求螺线管单位长度有多少匝线圈？
９．如图所示，三个半径为R，载流为I的彼此绝缘的圆线圈a、b、c处在同一球面上，a、b、c分别在YOZ、XOZ、XOY平面内，求球心O处的磁感应强度的大小和方向（用方向余弦表示）。
10.在半径为r和R的两圆周之间，有一总匝数为N的均匀密绕平面螺线圈，通
以电流I，如图所示。求线圈中心O点处的磁感应强度。
11. 半径为R =0.01m的无限长半圆柱形金属薄片，自上而下地通过电流I =5A，
如图所示，试求轴线上任一点P处的磁感应强度。
12．如图所示，一无限长载流薄平板宽度为d ，线电流密度（即沿板宽方向单位
长度的电流）为j ，1）求与平板共面且距平板左边为a 的一点P 的磁感应强度1B
； 2）求平板外侧且与平板中线垂直距离为b 的一点Q 的磁感应强度
2B 。
13．一矩形截面的螺线环共有N 匝线圈，通有电流I ，尺寸如图所示，求
1）环内磁感应强度的分布； 2）通过螺线环截面的磁通量。
14．如图所示，两根彼此平行的长直载流导线相距d =0.40m, 电流I 1 =I 2 =10A （方
向相反），求（1）两导线连线中点处的磁感应强度；
（2）通过图示阴影面积的磁通量，以知a =0.1m, b =0.25m 。
15．如图所示，有一带正电荷密度为λ的半圆，半径为R ，以角速度ω绕OO ’
轴匀速转动。求（1）圆心O 点处的B
; (2) 半圆线圈产生的磁矩m μ
（本题应用积分?=
π
π
θθ0
22
sin d ）。
16. 如图所示，一根长为L =0.1m ，均匀带电量为Q =1.0x10-10C 的细棒，以速度
V=1.0m/s 沿X 轴正向运动，当细棒运动至与Y 轴重合的位置时，细棒下端
到坐标原点O 的距离为a =0.1m ，求此时细棒在O 点产生的磁感应强度B
。
17．一个内、外半径为R 1和R 2的薄圆盘均匀带电，电荷面密度为σ，绕过圆心
且垂直于圆面的轴以角速度?匀速转动，求圆心处的磁感应强度的大小。 18．如图所示，正方形磁场区域是均匀的。今有一束电子射入a 孔进入磁场区域，
若在图中b 、c 两孔有电子射出。求两处射出的电子速度大小比V b :V c 等于多少？
19．一条载流为I 的直导线被折成150o 角的两段。如图所示，放在均匀场B 中，
求此导线所受合力的大小。
20．彼此相距10cm 的三根平行的无限长直载流导线，通有I =10A 的同向稳恒电
流。试求各载流导线单位长度上所受的磁场力的大小和方向（长度以米为单位）。
21．一无限长直导线通有I 1大小的电流，其右侧置一与其共面的三角形线圈，并
通过I 2的电流。如图所示，试求电流I 1的磁场对三角形线圈的AC, BA 两边导线的作用力。
22．有一无限大载流板，电流面密度为i （单位宽度通过的电流强度）。有一质量
为m ，带电q （q>0）的粒子，以速度v
沿垂直于板且离开板的方向运动，如图所示。求：
（1） 带电粒子距板多远时才不至于与板相碰撞？
（2） 若略去重力的影响，需多长时间才能回到初始位置？
23．用一不可伸长的悬线将面积为S 的线圈吊在天花板上。若加上方向如图所示
的均匀磁场B
，线圈通有电流I ，共有M 匝。则该线圈保持平衡状态的位置
如何？设线圈的转动惯量为J ，试证明该线圈在此平衡位置处做简谐振动，并确定振动周期。
24．均匀带电的直导线，线电荷密度为λ。可绕垂直于杆且与导线延长线相交的
轴以匀角速度旋转。若导线距转轴的近端时，求：
（1）等效线圈的磁矩m μ
？
（2）若导线长度很小时磁矩m μ
是多少？ （3）转轴与直导线斜交时的磁矩如何计算？
25．试证明：形状任意的平面线圈，当载电流I 时在均匀磁场中受合力为零，设
磁场方向沿线圈的磁矩方向。
26．如图所示，一条长直导线置于一水平平面上，另一根导线CD 长1m ，位于长
直导线的正上方，并且可沿竖直光滑的导线双轨（互相平行）自由滑动。若
ρ，导线按图示方向通有50A的稳恒电流。导线CD的质量密度为cm
=
.0
g/
05
则导线在重力和长直载流导线的磁场力的作用下平衡时距水平的高度如何？
第8章 稳恒磁场 习题及答案 6. 如图所示，AB 、CD 为长直导线，C B 为圆心在O 点的一段圆弧形导线，其半径为R 。若通以电流I ，求O 点的磁感应强度。 解：O 点磁场由AB 、C B 、CD 三部分电流产生，应用磁场叠加原理。 AB 在O 点产生的磁感应强度为 01 B C B 在O 点产生的磁感应强度大小为 R I B 402 R I R I 123400 ，方向垂直纸面向里 CD 在O 点产生的磁感应强度大小为 )cos (cos 4210 03 r I B )180cos 150(cos 60cos 400 R I )2 31(20 R I ，方向垂直纸面向里 故 )6 231(203210 R I B B B B ，方向垂直纸面向里 7. 如图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的A ，B 两点，并在很远处与电源相连。已知圆环的粗细均匀，求环中心O 的磁感应强度。 解：圆心O 点磁场由直电流 A 和 B 及两段圆弧上电流1I 与2I 所产生，但 A 和 B 在O 点 产生的磁场为零。且 21221R R I I 电阻电阻 1I 产生的磁感应强度大小为 ）（ 241 01R I B ，方向垂直纸面向外 2I 产生的磁感应强度大小为 R I B 4202 ，方向垂直纸面向里 所以， 1) 2(21 21 I I B B 环中心O 的磁感应强度为 0210 B B B 8. 如图所示，一无限长载流平板宽度为a ，沿长度方向通过均匀电流I ，求与平板共面且距平板一边为b 的任意点P 的磁感应强度。 解：将载流平板看成许多无限长的载流直导线，应用叠加原理求解。 以P 点为坐标原点，垂直载流平板向左为x 轴正方向建立坐标系。在载流平板上取dx a I dI ，dI 在P 点产生的磁感应强度大小为 x dI dB 20 dx ax I 20 ，方向垂直纸面向里 P 点的磁感应强度大小为
第四章 恒定磁场 (注意：以下各题中凡是未标明磁媒质的空间，按真空考虑） 4-1 如题4-1图所示，两条通以电流I 的半 无穷长直导线垂直交于O 点。在两导 线所在平面，以O 点为圆心作半径为R 的圆。求圆周上A 、B 、C 、D 、E 、F 各点的磁感应强度。 解 参考教材71页的例4-1，可知，图4-2所示通有电流I 的直导线在P 点产生的磁感应强度为 ()αθθπμe B 120cos cos 4--=r I 因此，可得（设参考正方向为指出纸面） R I R R I B A πμπμ422 135cos 180cos 220cos 135cos 400= ???? ? ? ??----= ()R I R I B B πμπμ410cos 90cos 400=--= 用类似的方法可得 R I B C πμ40=， I R B C 021 2μπ-=，R I B D πμ40=，R I B E πμ20=，I R B F 021 2μπ+- = 4-2 xy 平面上有一正n 边形导线回路。回路的中心在原点，n 边形顶点到原点的距离为R 。导线中电流为I 。 1）求此载流回路在原点产生的磁感应强度； 2）证明当n 趋近于无穷大时，所得磁感应强度与半径为R 的圆形载流导线回路产生的磁感应强度相同； 3）计算n 等于3时原点的磁感应强度 。 解 如图4-3中所示为正n 边形导线回路的一个边长，则所对应的圆心角为n π 2， 1）n 条边在圆心产生的磁感应强度为 απe B ?? ? ??=n R tan 20
2）当n ∞→时，圆心处的磁感应强度为 ααμππμe e B R I n R I n n 2tan 2lim 00=??? ??=∞→ 3）当n 等于3时圆心处的磁感应强度为 ααπμππμe e B R I R I 2333tan 2300=?? ? ??= 4-3 设矢量磁位的参考点为无穷远处，计算半径为R 的圆形 导线回路通以电流I 时，在其轴线上产生的矢量磁位。 解 如图4-4建立坐标系，可得轴线上z 处的矢量磁位为 0d 4220=+=?l R z I l A πμ 4-4 设矢量磁位的参考点在无穷远处，计算一段长为2米的直线电流I 在其中垂 线上距线电流1米处的矢量磁位。 解 据76页例4-4，可得 () () 12210cos 1sin cos 1sin ln 4θθθθπμ--=I z e A ， 其中， 451=θ， 1352=θ，则 1212ln 42212222122ln 400-+=???? ??+???? ??+=πμπμI I z z e e A 4-5 在空间，下列矢量函数哪些可能是磁感应强度？哪些不是？回答并说明理 由。 1） Ar r e （球坐标系） 2） A x y y x ()e e + 3） )(y x y x A e e - 4） Ar e α（球坐标系） 5） Ar e α（圆柱坐标系） 解 1） 03)(13 2≠== ??A A r r r ??A 2） 0 ==++??z A y A x A z y x ??????A 3） 01-1 ===++ ??z A y A x A z y x ??????A 由于0=??B ，因此以上表达式中，1）不是磁感应强度表达式，而2）~5） 可能是磁感应强度表达式。 4-6 相距为d 的平行无限大平面电流，两平面分别在z d =-/2和z d =/2平行于 xy 平面。面电流密度分别为K x e 和K y e ，求由两无限大平面分割出的三个空
第五章 恒定磁场与磁介质 一、 选择题 1、 关于稳恒磁场的磁场强度H 的下列几种说法中哪个是正确的（） A 、H 仅与传导电流有关。 B 、若闭合曲线内没有包围传导电流，则曲线上各点的H 为零 C 、若闭合曲线上各点的H 均为零，则该曲线所包围传导电流的代数和为零 D 、以闭合曲线L 为边缘的任意曲面的H 通量均相等 答案：C 2、磁介质有三种，用相对磁导率r μ表征它们各自的特性时（） A 、顺磁质r μ>0，抗磁质r μ<0，铁磁质r μ》1 B 、顺磁质r μ>1，抗磁质r μ=1，铁磁质r μ》1 C 、顺磁质r μ>1，抗磁质r μ<1，铁磁质r μ》1 D 、顺磁质r μ>0，抗磁质r μ<0，铁磁质r μ>1 答案：C 3、 用细导线均匀密绕成的长为l ，半径为a(l 》a)，总匝数为N 的螺线管通以稳恒电流I ，当管内充满磁导率为r μ的 均匀磁介质后，管中任意一点（） A 、磁感应强度大小为B=r μμ0NI B 、磁感应强度大小为B=r μNI /l C 、磁场强度大小为H=0μNI/l D 、磁场强度大小为H=NI/l 答案：D 4、 顺磁物质的磁导率（） A 、比真空的磁导率略小 B 、比真空的磁导率略大 C 、远小于真空的磁导率 D 、远大于真空中的磁导率 答案：B 5、 通电直长螺线管内的一半空间充满磁介r u ，在螺线管中，介质中与空气中相等的物理量是（） A 、 B 1=B 2 B 、H 1=H 2 C 、M 1=M 2 D 、21 ψψ= 答案：B 6、 图中所示的三条线分别表示三种不同磁介质的B-H 关系，表示顺磁质的是（） A 、第一条 B 、第二条 C 、第三条 D 、无法判断 答案：B 7、 磁铁能吸引铁钉之类的小物体是由于（） A 、小物体是铁磁性的，被磁铁磁化，受到吸引力 B 、小物体是顺磁性的，被磁铁磁化，受到吸引力 C 、小物体是抗磁性的，被磁铁磁化，受到吸引力 D 、磁铁和小物体都是顺磁性物质，相互吸引 答案：A 8、如图所示，一永磁环，环开一很窄的空隙，环内磁化强度矢量为M ，则空隙中P 点处的H 的大小为（） A 、0μM B 、M C 、r μμ0M D 、0 答案：B 9、如图所示，一根沿轴向均匀磁化的细长永磁棒，磁化强度为M ，图中所标各点的磁感应强度是（） A 、0,3021 ===B M B B μ B 、M B B M B 032012 1 ,μμ= ==
第八章 真空中的稳恒磁场 一、 基本要求 1．掌握磁感应强度的概念。理解毕奥－萨伐尔定律。能计算一些简单问题中的磁感应强度。 2．理解稳恒磁场的规律：磁场的高斯定理和安培环路定理。理解用安培环路定理计算磁感应强度的条件和方法。 3．理解安培定律和洛仑兹力公式。了解磁矩的概念。能计算简单几何形状载流导体和载流平面线圈在均匀磁场中或在无限长直载流导线产生的非均匀磁场中所受的力和力矩。能分析点电荷在均匀电磁场（包括纯电场，纯磁场）中的受力和运动。 二、 基本内容 1. 基本概念：电流产生磁场，描述磁场的基本物理量——磁感应强度矢量，磁场线，磁通量，磁场对电流的作用。 2. 毕奥－萨伐尔定律 电流元d l I 在空间某点激发的磁感应强度为： 02 4d d r μπ?=l r B I 其中，r 表示从电流元到该点的距离，0r 表示从电流元到该点的单位矢量。 从该定律可以直接得到在直电流的延长线和反向延长线上各点的磁感应强度为零。它是求解磁场的基本规律，它从电流元的磁场出发，可得到计算线电流产生磁场的方法 2 ()() 4L L d d r μ π ?==?? l r B B I 应用上式在教材中导出了一些电流产生磁场的计算公式，包括：一段直电流在空间任意一点的磁场，无限长直载流导线在空间任意一点的磁场，圆电流在轴线上各点的磁场，一段载流圆弧在圆心处的磁场，圆电流在圆心处的磁场。 这些计算公式在求解问题时可以直接使用。 3. 磁场的叠加原理
121 n n i i ==++ +=∑B B B B B 该原理表明多个电流在空间某点产生的磁场，等于各电流单独存在时在该点处产生的磁场的矢量和。将磁场的计算公式和叠加原理结合使用，可以求解多种电流在空间某点产生的磁场。在计算中首先应该将复杂的电流分成计算公式已知的电流段，然后分段计算，最后求出矢量和。对于电流连续分布的载流体，可以选择合适的电流元dI ，用已知公式求出电流元在所求点的磁场d B ，然后根据d B 的分布特点，建立合适的坐标系，求出各个磁场分量，最后求其矢量和。 4. 磁场中的高斯定理 () 0S d ?=?? B S 该定理表明：磁场是无源场，磁场线是无头无尾的闭合曲线。应用该定理求解均匀磁场中非闭合曲面的通量时，可以作平面，使平面和曲面形成闭合曲面，由于闭合曲面的通量为零，即曲面的通量等于平面通量的负值，从而达到以平代曲的目的。 5. 安培环路定理 01 N i L i d I μ=?=∑? B l 该定理表明：磁场是有旋场，磁场是非保守力场。应用该定理时，首先应该注意穿过以L 为边界的任意曲面的电流的正负；其次应该知道环流为零，环路上各点的磁感应强度不一定为零。在应用定理求解具有轴对称电流分布的磁场和均匀磁场的磁感应强度时，要根据电流的对称性和磁场的性质选择合适的环路L 。 6. 安培定律 电流元在外磁场中受安培力为： d Id =?f l B 其中，d f 的大小?sin IdlB df =，d f 方向由Id ?l B 确定。 该定律是计算磁场对电流的作用的基本定律。一段载流导线在磁场中受到的安培力为： () () L L d Id ==???f f l B 应用上式时，应该注意电流上各点的磁场是否均匀及磁力的分布特点。如果电流
第五章 稳恒磁场 设0x <的半空间充满磁导率为μ的均匀介质，0x >的半空间为真空，今有线电流沿z 轴方向流动，求磁感应强度和磁化电流分布。 解：如图所示 令 110A I H e r = 220A I H e r = 由稳恒磁场的边界条件知， 12t t H H = 12n n B B = 又 B μ= 且 n H H = 所以 1122H H μμ= (1) 再根据安培环路定律 H dl I ?=?? 得 12I H H r π+= (2) 联立(1),(2)两式便解得
2112 0I I H r r μμμμπμμπ=? =?++ 01212 0I I H r r μμμμπμμπ= ? =?++ 故， 01110I B H e r θμμμμμπ== ?+ 02220I B H e r θμμμμμπ== ?+ 212()M a n M M n M =?-=? 2 20 ( )B n H μ=?- 00()0I n e r θμμμμπ-= ???=+ 222()M M M J M H H χχ=??=??=?? 00 00(0,0,)z J Ie z μμμμδμμμμ--=?=?++ 半径为a 的无限长圆柱导体上有恒定电流J 均匀分布于截面上，试解矢势 A 的微分方程，设导体的磁导率为0μ，导体外的磁导率为μ。 解： 由电流分布的对称性可知，导体内矢势1A 和导体外矢势2A 均只有z e 分量，而与φ，z 无关。由2A ?的柱坐标系中的表达式可知，只有一个分量，即 210A J μ?=- 220A ?= 此即 1 01()A r J r r r μ??=-?? 2 1()0A r r r r ??=?? 通解为 21121 ln 4 A Jr b r b μ=-++ 212ln A c r c =+
第七章 恒定磁场 1．均匀磁场的磁感强度B 垂直于半径为r 的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通 过S 面的磁通量的大小为 （ B ） (A) B r 22π． (B) B r 2π． (C) 0． (D) 无法确定的量． 2．载流的圆形线圈(半径a 1 )与正方形线圈(边长a 2 )通有相同电流I ．若两个线圈的中心O 1 、O 2处的磁感强度大小相同，则半径a 1与边长a 2之比a 1∶a 2为（ D ） (A) 1∶1 (B) π2∶1 (C) π2∶4 (D) π2∶8 3．如图，两根直导线ab 和cd 沿半径方向被接到一个截面处处相等的铁环上，稳恒电流I 从 a 端流入而从d 端流出，则磁感强度B 沿图中闭合路径L 的积分??L l B d 等于（ D ） (A) I 0μ． (B) I 03 1 μ． (C) 4/0I μ． (D) 3/20I μ． 4．在匀强磁场中，有两个平面线圈，其面积A 1 = 2 A 2，通有电流I 1 = 2 I 2，它们所受的最大磁力矩之比M 1 / M 2等于（ C ） (A) 1． (B) 2． (C) 4． (D) 1/4． 5．如图所示，无限长直导线在P 处弯成半径为R 的圆，当通以电流I 时，则在圆心O 点的磁感强度大小等于 （ D ） (A) R I π20μ； (B) R I 40μ； (C) )11(40π+R I μ； (D) )1 1(20π -R I μ。
6．如图所示，处在某匀强磁场中的载流金属导体块中出现霍耳效应，测得两底面M 、N 的电势差为 V V V N M 3103.0-?=-，则图中所加匀强磁场的方向为（ C ） （A ）、竖直向上； （B ）、竖直向下； （C ）、水平向前； （D ）、水平向后。
§3 磁场的“高斯定理”与安培环路定理 引言： 磁场、电场均是矢量场，但磁场与电场性质不同。在电学中有场方程： ?∑=?S s q s d D 内 0??， ?=?0l d E ? ? 而在磁学中相应的该两方面（通量、环流）又该如何？即 ?=?s s d B ???， ?=??L l d B ? ? 它们均可由毕奥－萨伐尔定律，结合叠加原理导出。 一、磁场的“高斯定理” 1、磁通量 引入磁力线形象化地描述磁场，疏密和切向所代表的含义类同电力线。如图5-17，规定：通过一曲面S 的磁通量为 ? ?=?=ΦS S m dS B S d B θcos ? ? 在SI 制中各物理量的单位为 m Φ：韦伯（Wb ），1韦伯=1特21米? B ρ ： 特斯拉（T ），2111米 韦伯特=，具有磁通密度概念。 2、B ρ 线的闭合性 即磁场的高斯定理：?=?S S d B 0? ?。表明：闭合曲面S 的磁通量为零，自然界 中不存在自由磁荷（磁单极）。因稳恒电流本身是闭合的（? =?S S d j 0? ?） ，故闭合电流与闭合B ? 线相互套链。高斯定理也表明，磁力线是无头无尾的闭合线，磁场是无源场。 图5-17 图5-18 θ B ? d n ds s ? ?= Id l ?θ r d B ? 闭面S
3、高斯定理的证明思路 高斯定理可从毕奥－萨伐尔定律严格证明，这里仅提供思路。如图5-18。 (1) 首先考虑单个电流元l Id ? 之场中 以l Id ?为轴线取一磁力线元管，其上磁场2 04sin r Idl dB πθμ=处处相等；再取任意闭曲面S ，若S 与之交链，则一进一出，0=Φm d ；若S 与之不交链，仍0=Φm d ； 再展扩至整体S 面上，得0=Φm 。 (2) 然后再考虑任意回路之总场是各电流元之场的叠加，因l Id ? 是任一电流 元，故对整体考虑，其结论不变。 二、安培环路定理 1、研究：?=?L l d B ?? ? 2、特点：取积分回路L （称之为安培环路）沿B ?线，因B ?线闭合，且B ? 与l d ?的夹角为零，而有?≠?L l d B 0? ?。 3、内容：∑?=?) (0内L L I l d B μ? ?，其中右侧为穿过闭路L 的电流之代数和，按右 手定则规定，参见图5-19。 图5-19 4、定理证明：该定理可由毕奥－萨伐尔定律证明，下面先看l d B ρ ρ?，再计算??L l d B ρ ρ，最后再用叠加原理。 如图5-20，L －安培环路，L '－载流回路，作一负l d ρ 位移后成L ''。 I I L （正） L （负） 右手定则 → →
习题 7-7一条无限长直导线在一处弯折成半径为R 的圆弧，如图7.7所示，若已知导线中电流强度为I,试利用比奥—萨伐尔定律求：（1）当圆弧为半圆周时，圆心O 处的磁感应强度；（2）当圆弧为1/4圆周时，圆心O 处的磁感应强度。 解（1）如图7.6所示，圆心O 处的磁感应强度可看作由3段载流导线的磁场叠加而成。因为圆心O 位于直线电流AB 和DE 的延长线上，直线电流上的任一电流元在O 点产生的磁感应强度均为零，所以直线电流AB 和DE 段在O 点不产生磁场。 根据比奥—萨伐尔定律，半圆弧上任一电流元在O 点产生的磁感应强度为 方向垂直纸面向内。半圆弧在O 点产生的磁感应强度为 方向垂直纸面向里。 （2）如图7.6（b ）所示，同理，圆心O 处的磁感应强度可看作由3段载流导线的磁场叠加而成。因为圆心O 位于电流AB 和DE 的延长线上，直线电流上的任一电流元在O 点产生的磁感应强度均为零，所以直线电流AB 和DE 段在O 点不产生磁场。 根据毕奥—萨伐尔定理，1/4圆弧上任一电流元在O 点产生的磁感应强度为 方向垂直纸面向内，1/4圆弧电流在O 点产生的磁感应强度为 方向垂直纸面向里。 7-8 如图7.8所示，有一被折成直角的无限长直导线有20A 电流，P 点在折线的延长线上，设a 为5cm ，试求P 点磁感应强度。 解 P 点的磁感应强度可看作由两段载流直导线AB 和BC 所产生的磁场叠加而成。AB 段在P 点所产生的磁感应强度为零，BC 段在P 点所产生的磁感应强度为p163(7-5) 式中120,,2 r a π θθπ= == 。所以 方向垂直纸面向里。 7-9 如图7-9所示，用毕奥—萨伐尔定律计算图中O 点的磁感应强度。 解 圆心 O 处的磁感应强度可看作由3段载流导线的磁场叠加而成， AB 段在P 点所产生的磁感应强度为 式中1200,,26 r r π θθ== = ，所以 方向垂直纸面向里。 同理，DE 段在P 点所产生的磁感应强度为 圆弧段在P 点所产生的磁感应强度为 O 点总的磁感应强度为 方向垂直纸面向里。 7-10 如图7.10所示，两根长直导线沿半径方向接到粗细均匀的铁环上的A 、B 两点，并与很远处的电源相接，试求环中心O 点的磁感应强度。 解 因为O 点在两根长直导线上的延长线上，所以两根长直导线在O 点不产生磁场，设第一段圆弧的长为1l ，电流强度为1I ，电阻为1R ，第二段圆弧长为2l ，电流强度为2I ，电阻为2R ，因为1、2两段圆弧两端电压相等，可得 电阻1 R S ρ =，而同一铁环的截面积为S 和电阻率是相同的，于是有 由于第一段圆弧上的任一线元在O 点所产生的磁感应强度为
第八章 稳恒磁场 磁介质 教学基本要求 1.理解磁感应强度的概念，掌握用毕--萨定律计算磁感应强度的方法． 2.掌握安培环路定理以及用来求解具有对称性磁场的方法． 3.能够用安培定律计算载流导线和回路所受的磁力和磁力矩． 4.掌握洛伦兹力公式，并由此计算带电粒子在均匀电场和均匀磁场中的受力和运动的简单情况． 5.了解顺磁质、抗磁质和铁磁质的特点及磁化机理． 6.掌握磁介质时的安培环路定理，并利用其求解磁介质时具有一定对称性的磁场分布． 教学内容提要 1.基本概念 （1）磁感应强度B max F B qv ⊥ = 其方向为小磁针N 极在此处所指方向． （2）载流线圈的磁矩 m IS =P n 其中n 为载流线圈正法线方向的单位矢量． （3）磁通量 d d Φ=Φ=??B S 2.磁场的产生 (1)运动电荷的磁场 034q r μπ?= ?v r B (2)毕奥——萨伐尔定律 0Id d μπ?= l r B (3)磁感应强度叠加原理 03 4L L Id d r μπ?==?? l r B B
3.稳恒磁场的基本性质 （1）高斯定理 0?=? s B dS （2）安培环路定理 0 i l d I μ?=∑?B l 4.几种典型磁场 （1）无限长载流直导线的磁场 02I B r = μπ （2）圆电流中心的磁场 02I B R μ= （3）长直载流螺线管内的磁场 0B nI μ= （4）载流密绕螺绕环内的磁场 0N B I L μ= （5）圆电流轴线上的磁场 2 02 232 2() IR B R r μ= + 5.磁场力 （1）洛伦兹力 q ?f =υB （2） 安培力公式 d Id ?F =l B L d Id == ??? F F l B （3）载流平面线圈在均匀磁场中受到的合磁力 0=F 合 受到的磁力矩 =?m M P B 6.磁介质的分类 （1）顺磁质. r μ略微大于1的磁介质，磁介质磁化后产生的附加磁场与外磁场方向相同． （2）抗磁质．r μ略微小于1的磁介质，磁介质磁化后产生的附加磁场与外磁场方向相反． （3）铁介质．1r μ>>的磁介质，磁介质磁化后能产生很强的与外磁场同方向的附加磁场． 7.有磁介质时高斯定理和安培环路定理 （1）高斯定理 s d ?? B S =0
第五章 稳恒磁场 引言： 电流通过导体有热效应，通过电解液有化学效应。本章讨论电流的磁效应：电流在其周围空间激发磁场，磁场对电流有磁力作用。 本章重点介绍真空中静磁学知识，建立稳恒磁场之基本方程式。研究方法仍为场论方法，注意与静电场比较和区别。 §1 磁的基本现象和规律 一、磁作用 电与磁常相伴随、相互转化，相互作用综述为图5-1所示几种情况。 图5-1 图5-2 1、磁铁间的相互作用 结合实物演示说明： (1)同种磁极相互排斥、异种磁极相互吸引，参见图5-2； (2)将一磁棒分为两段，N 、S 极并不能相互分离，不存在磁单极； (3)地球本身是一大磁体，其磁性N 极在地理南极，磁性S 极在地理北极。 自由悬挂的条形磁棒或长磁针始终指南北，即是上规律的体现——指南针及应用。 2、电流对磁铁的作用 图5-3 N S N S S N N S N S 电流 磁铁 磁铁 电流 ③ ② ② ③ ① ④ I S N N I N S S I N N S S S
通电导线周围产生磁场，通电螺线管相当于条形磁铁，参见图5-3。 3、磁铁对电流的作用 电流是运动电荷形成，表明磁极对运动电荷也有磁力作用，参见图5-4。 图5-4 右手定则判受力 4、电流对电流的作用 参见图5-5说明。 同向电流：吸引 反向电流：排斥 图5-5 以上均称为磁相互作用，是基本的磁现象。 二、磁场 1、物质磁性的基本来源 螺线管通电后的磁性与磁棒的相似性，启发人们：磁铁与电流是否在本源上一致？ （19 世纪，法国）安培分子电流假说：组成磁铁的最小单元——磁分子就是环形电流。若这些分子电流定向排列，宏观上即显示N 、S 极。 ●磁分子的“分子电流”等效成图5-6 ●分子环流形成的微观解释：原子、分子内电子的绕核旋转和自转。 综上可见：一切磁效应均来源于电流；一切磁作用都是电流与电流之间的相互作用，或说成运动电荷之间的相互作用。 I N S F N S F
第七章 稳恒磁场章节测试题 一、选择题： 1、均匀磁场的磁感强度B 垂直于半径为r 的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为（ ） (A) 22r πB ． (B) 2r πB ． (C) 0． (D) 无法确定的量． 2、电流由长直导线1沿切向经a 点流入一个电阻均匀的圆环，再由b 点沿切向从圆环流出，经长直导线2返回电源(如图)．已知直导线上电流强度为I ，圆环的半径为R ，且a 、b 和圆心O 在同一直线 上．设长直载流导线1、2和圆环中的电流分别在O 点产生的磁感强度为1B 、2B 、3B ，则圆心处磁感强度的大小 （ ） (A) B = 0，因为B 1 = B 2 = B 3 = 0． (B) B = 0，因为虽然B 1≠ 0、B 2≠ 0，但021=+B B ，B 3 = 0． (C) B ≠ 0，因为B 1≠ 0、B 2≠ 0，B 3≠ 0． (D) B ≠ 0，因为虽然B 3 = 0，但021≠+B B ． 3、一电荷为q 的粒子在均匀磁场中运动，下列哪种说法是正确的？（ ） (A) 只要速度大小相同，粒子所受的洛伦兹力就相同． (B) 在速度不变的前提下，若电荷q 变为-q ，则粒子受力反向，数值不变． (C) 粒子进入磁场后，其动能和动量都不变． (D) 洛伦兹力与速度方向垂直，所以带电粒子运动的轨迹必定是圆． 4、如图中，六根无限长导线互相绝缘，通过电流均为I ，区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ均为相等的正方形，哪一个区域指向纸内的磁通量最大（ ） (A) 区域Ⅰ （B ）区域Ⅱ （C ）区域Ⅲ （D ）区域Ⅳ 5、若一平面载流线圈在磁场中既不受力，也不受力矩作用，这说明：（ ） (A) 该磁场一定均匀，且线圈的磁矩方向一定与磁场方向平行． (B) 该磁场一定不均匀，且线圈的磁矩方向一定与磁场方向平行． (C) 该磁场一定均匀，且线圈的磁矩方向一定与磁场方向垂直． (D) 该磁场一定不均匀，且线圈的磁矩方向一定与磁场方向垂直． 二、 填空题 1、如图所示，两导线中的电流1I 和2I 均为8A ，对图中所示的三条闭合曲线a 、b 、c ，则： （1）a B dl =? b B d l =? c B d l =? Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
第 8 章 稳恒磁场 习题及答案 6. 如图所示， AB 、 CD 为长直导线， BC 为圆心在 O 点的一段圆弧形导线，其半径为 R 。 若通以电流 I ，求 O 点的磁感应强度。 解： O 点磁场由 AB 、 BC 、 CD 三部分电流产生，应用磁场叠加原理。 AB 在 O 点产生的磁感应强度为 B 1 0 BC 在 O 点产生的磁感应强度大小为 B 2 0 I 0 I 3 0 I ，方向垂直纸面向里 4 R 4 R 12R CD 在 O 点产生的磁感应强度大小为 B 3 I (cos 1 cos 2 ) 4 r 0 0 I 4 R cos60 0 (cos150cos180 ) 0 I 3 (1 ) ，方向垂直纸面向里 2 R 2 故 B 0 B 1 B 2 B 3 0 I (1 3 ) ，方向垂直纸面向里 2 2 R 6 A ， B 两点，并在很远处与电源相连。已知 7. 如图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的 圆环的粗细均匀，求环中心 O 的磁感应强度。 解：圆心 O 点磁场由直电流 A 和 B 及两段圆弧上电流 I 1 与 I 2 所产生，但 A 和 B 在 O 点 产生的磁场为零。且 I 1 电阻 R 2 I 2 电阻 R 1 2 I 1 产生的磁感应强度大小为 B 1 0 I 1 2） （ 4 R ，方向垂直纸面向外 I 2 产生的磁感应强度大小为 B 2 0 I 2 ，方向垂直纸面向里 4 R 所以， B 1 I 1 (2 ) 1 B 2 I 2 环中心 O 的磁感应强度为 B 0 B 1 B 2 8. 如图所示，一无限长载流平板宽度为 a ，沿长度方向通过均匀电流 I ，求与平板共面且距平 板一边为 b 的任意点 P 的磁感应强度。 解：将载流平板看成许多无限长的载流直导线，应用叠加 原理求解。 以 P 点为坐标原点，垂直载流平板向左为 x 轴正方向建立 坐标系。在载流平板上取 dI I dx ， dI 在 P 点产生的磁感应 a 强度大小为
第四章 恒定磁场 (注意:以下各题中凡就是未标明磁媒质得空间,按真空考虑) 4-1 如题41图所示,两条通以电流得半无 穷长直导线垂直交于O 点。在两导线 所在平面,以O 点为圆心作半径为得 圆。求圆周上A 、B 、C 、D 、E 、F 各 点得磁感应强度。 解 参考教材71页得例41,可知,图42所示 通有电流得直导线在点产生得磁感应强度 为 因此,可得(设参考正方向为指出纸面) R I R R I B A πμπμ422135cos 180cos 220cos 135cos 400=????? ? ??----=οοοο 用类似得方法可得 ,,,, 4-2 平面上有一正边形导线回路。回路得中心在原点,边形顶点到原点得距离为。导线中电流为。 1)求此载流回路在原点产生得磁感应强度; 2)证明当趋近于无穷大时,所得磁感应强度与半径为得圆形载流导线回路产生得磁感应强度相同; 3)计算等于3时原点得磁感应强度 。 解 如图43中所示为正边形导线回路得一个边长,则所对应得圆心角为,各边在圆()()()()()αααααααππμππμθπμθπμθπμθθπμθθπμe e e e e e e B ?? ? ??=??? ??====---=--=n R I n r I r I r I r I r I r I tan 2sin 2cos 2cos 2cos 24cos cos 4cos cos 4001010101101201 1)n 条边在圆心产生得磁感应强度为 2)当n 时,圆心处得磁感应强度为 3)当等于3时圆心处得磁感应强度为 4-3 设矢量磁位得参考点为无穷远处,计算半径为得圆形导线回路通以电流时,在其轴线上产生得矢量磁位。 解 如图44建立坐标系,可得轴线上处得矢量磁位为 4-4 设矢量磁位得参考点在无穷远处,计算一段长为2米得直线电流在其中垂线上距线电流1米处得矢量磁位。
第7章 恒定磁场 三、计算题 1. 边长为2l 的正方形导体框载有电流I ．求正方形轴线上离中心O 为x 处的磁感应强 度B 和磁场强度H ． 2. 如T7-3-2图所示，一无限长载流直导线载有电流I ，在一处弯成半径为R 的半圆弧．求 此半圆弧中心O 点的磁感应强度B ． 3. 两共轴载流线圈，半径分别为1R 和2R ，电流分别为1I 和2I ，电流流向如T7-3-3图所示．两线圈中心1O 和2O 相距为l 2，联线的中心为O ．求轴线上离O 点为r 处的磁感应 强度B ． 4. 如T7-3-4图所示，表面绝缘的细导线密绕成半径为R 的平面圆盘，导线的一端在盘心，另一端在盘边缘，沿半径单位长度上的匝数为n ．当导线中通有电流I 时，求离圆盘中 心距离x 处P 点的磁感应强度B ． 5. 如T7-3-5图所示，宽度为d 的“无限长”直导体薄片通有从下到上的电流I ，电流在导体横截面上均匀分布．图中P 点为通过导体片中线并与导体片面垂直的平面上的一点， 它与导体片的距离为r ．求P 点的磁感应强度B ． 6. 如图，一半径为R 的带电塑料圆盘，其中有一半径 为r 的阴影部分均匀带正电 荷，面电荷密度为σ+，其余 O x P I l 2 1 O 1R 2R 1 I 2 I 2 O O l l T7-3-1图 T7-3-2图 T7-3-3图 b O R I T7-3-4图 T7-3-5图 I P d r I P R x T7-3-7图 + B ???????????? - K L
部分均匀带负电荷，面电荷密度为σ-．当圆盘以角速度ω旋转时，测得圆盘中心O 点的磁感应强度为零，问R 与r 满足什么关系? 7. 星际空间里某区域内存在一均匀磁场B ，其大小为 高斯5 100.1-?．一电子在此磁场中运动，其速度沿磁场B 方向的分量为1%c ．当电子沿磁场方向前进了一光年时，它绕磁力线转 了多少圈? 8. 图7-3-7所示的结构中，两水银杯与一个带开关K 的电源相联结；上部分是一质量为m 的一段导线弯成了 形，上面一段长度为L ，置于垂直向里的均匀磁场B 中，下端也分别插入到两水银杯中．开关K 接通时，上面的的导线就会跳起来，设导线跳起的高度为h ，求通过导线的电量． 9. 一“无限长”直线电流1I 旁边有一段与之垂直且共面的电流2I ，载流2I 的导线长度为L ，其一端离“无限长”直线电流的距离也是L ．试求电流1I 作用在电流2I 上的磁场力． 10. 一线圈由半径为m 2.0的41圆弧和相互垂直的二直线组成，通以电流A 2，把它放在磁感应强度为T 5.0的均匀磁场中(磁感应强度B 的方向如T7-3-10图所示)．求： (A) 线圈平面与磁场垂直时，圆弧? AB 所受的磁力； (B) 线圈平面与磁场成 60角时，线圈所受的磁力矩． 11. 电流均匀地流过无限大平面导体薄板，面电流密度为j ，设板的厚度可以忽略不计，试用毕奥----萨伐尔定律求板外的任意一点的磁感应强度． 12. 如T7-3-12图所示，一半径为R 的均匀带电无限长直圆筒，电荷面密度为σ，该筒以角速度ω绕其轴线匀速旋转，试求圆筒内部的磁感应强度． 13. 带电刚性细杆CD ，电荷线密度为λ，绕垂直于直线的轴O 以ω角速度匀速转动(O 点在细杆AB 延长线上)，求： (1) O 点的磁感应强度o B ； (2) 磁矩m P ； (3) 若b a >>，求o B 及m P ． 14. T7-3-14图为两条穿过y 轴且垂直于x —y 平面的平行长直导 T7-3-8图 2 I 1I L L T7-3-6图 R ω O r C D O B I T7-3-10图 j T7-3-11图 O a b C D ω T7-3-13图 x P a a O y x I .I ? T7-3-14图 R σ T7-3-12图 ω
7章练习题 1、在磁感强度为B 的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在平面的法线 方向单位矢量n 与B 的夹角为α ，则通过半球面S 的磁通量(取弯面向外为正)为 (A) πr 2B ． . (B) 2 πr 2B ． (C) -πr 2B sin α． (D) -πr 2 B cos α． 2、如图所示，电流I 由长直导线1经a 点流入由电阻均匀的导线构 成的正方形线框，由b 点流出，经长直导线2返回电源(导线1、2的延长线均通过O 点)．设载流导线1、2和正方形线框中的电 流在框中心O 点产生的磁感强度分别用 1B 、2B 、3B 表示，则O 点的磁感强度大小 (A) B = 0，因为B 1 = B 2 = B 3 = 0． (B) B = 0，因为虽然B 1≠ 0、B 2≠ 0、B 3≠ 0，但 0321=++B B B ． (C) B ≠ 0，因为虽然021=+B B ，但B 3≠ 0． (D) B ≠ 0，因为虽然B 3= 0，但021≠+B B ． 3、通有电流I 的无限长直导线有如图三种形状，则P ，Q ，O 各点磁感强度的大小B P ，B Q ，B O 间的关系为： (A) B P > B Q > B O . (B) B Q > B P > B O ． (C) B Q > B O > B P ． (D) B O > B Q > B P ． 4、磁场由沿空心长圆筒形导体的均匀分布的电 流产生，圆筒半径为R ，x 坐标轴垂直圆筒轴线，原点在中心轴线上．图(A)～(E)哪一条曲 线表示B －x 的关系？ ［ ］ B x O R (D) B x O R (C) B x O R (E)
第七章稳恒电流 1、在磁感强度为B 的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在平面的法线 方向单位矢量n 与B 的夹角为? ，则通过半球面S 的磁通量(取弯面向外为正)为 (A) ?r 2B ． . (B) 2??r 2B ． (C) -?r 2B sin ?． (D) -?r 2B cos ?． 2、磁场由沿空心长圆筒形导体的均匀分布的电流产生，圆筒半径为R ，x 坐标轴垂直圆筒轴线，原点在中心轴线上．图(A)～(E)哪一条曲线表示B －x 的关系？ ［ ］ 3、如图，两根直导线ab 和cd 沿半径方向被接 到一个截面处处相等的铁环上，稳恒电流I 从a 端流入而从d 端流出，则磁感强度B 沿图中闭合路径L 的积分 L l B d 等于 (A) I 0 ． (B) I 03 1 ． (C) 4/0I ． (D) 3/20I ． 4、如图，在一固定的载流大平板附近有一载流小线框能自由转动 或平动．线框平面与大平板垂直．大平板的电流与线框中电流方 向如图所示，则通电线框的运动情况对着从大平板看是： (A) 靠近大平板． (B) 顺时针转动． (C) 逆时针转动． (D) 离开大平板向外运动． 5、在一根通有电流I 的长直导线旁，与之共面地放着一个长、宽各为a 和b 的矩形线框，线框的长边与载流长直导线平行，且二者相距为b ，如图所示．在此情形中，线框内的磁通量? =______________． n B S O B x O R (A) B x O R (B) B x O R (D) B x O R (C) B x O R (E) x 电流 圆筒 I I a b c d 120° I 1 I 2 b b a I
第8章 恒定磁场 一、填空题 8.1、如图所示，平行的无限长直载流导线A 和B ， Y 电流强度均为I ，垂直纸面向外，两根载流导线 之间相距为a ，则 （1）AB 中点（P 点）的磁感应强度P B = ； （2）磁感应强度B 沿图中环路L 的线积分 ??L l d B = 。 8.2、一个绕有500匝导线的平均周长50cm 的细环，载有0.3A 电流时，铁芯的相对磁导率为600。 （1）铁芯中的磁感应强度B 为 ； （2）铁芯中的磁场强度H 为 。（170104--???=A m T πμ） 8.3、将条形磁铁插入与冲击电流计串联的金属环中时，有C q 5100.2-?=的电荷通过电流计。若连接电流计的电路总电阻Ω=25R ，则穿过环的磁通的变化 ?Φ= 。 8.4、如图所示，一长直导线中通有电流I ，有一与长直导线共面、垂直于导线的细金 属棒AB ，以速度v 平行于长直导线 作匀速运动。问 （1） 金属棒A 、B 两端的电势A U 和B U 哪 一个较高 ？ （2）若将电流I 反向，A U 和B U 哪一个较高 ？ （3）若将金属棒与导线平行放置，结果又如何 ？ 8.5、真空中一根无限长直导线中流有电流强度为I 的电流，则距导线垂直距离为a 的某点的磁能密度m w = 。 8.6、反映电磁场基本性质和规律的积分形式的麦克斯韦方程组为 ∑?==?n i i s q s d D 1
dt d L d E m L /Φ-=?? 0=??s s d B ∑?=Φ+=?n i D i L dt d I L d H 1 / 试判断下列结论是包含于或等效于哪一个麦克斯韦方程式的。将你确定的方程式用代号填在相应结论后的空白处。 （1）变化的磁场一定伴随有电场 ； （2）磁感应线是无头无尾的 ； （3）电荷总伴随有电场 。 8.7、将半径为R 的无限长导线薄壁管（厚度忽略） 沿轴向割去一个宽度为h （h < 第四章 习题一(磁场) 1、一根载有电流I 的无限长直导线，在A 处弯成半径为R 的圆形，由于导线外 有绝缘层，在A 处两导线并不短路，则在圆心处磁感应强度B 的大小为( C ) (A) I (μ0＋1)／(2πR) (B) μ0πI ／(2πR) (C) μ0I(1＋π)／(2πR) (D) μ0I(1＋π)／(4πR) 2、载有电流为I 的无限长导线，弯成如图形状，其中一段是半径为a 的半圆， 则圆心处的磁感应强度B 的大小为( D ) (A) μ0I ／(4a ) + μ0I ／(4πa ) (B))8/(2)4/()4/(a I a I a I o o o πμπμμ++ (C) ∞ (D))4/(2)4/()4/(a I a I a I o o o πμπμ μ+-3、如图，电流I 均匀地自下而上通过宽度为a 的 无限长导体薄平板，求薄平板所在平面上距板的一 边为d 的P 点的磁感应强度。 解：该薄板可以看成是由许多无限长的细直载流 导线组成的，每一条载流线的电流为dI =Idx /a ， 根据无限长直载流线磁场公式，它们在P 点产 生的磁感应强度的大小为 x dx a πI μx πdI μdB 2200= =，B d 的方向? ∴ d a d a πI μx dx a πI μdB B a d d a d d +== =??++ln 2200，B 的方向? P B 4、电流均匀地自下而上通过宽为2a 的无限长导体薄平板，电流为I ，通过板的中线并与板面垂直的平面上有一点P ，P 到板的垂直距离为x ，设板厚可略去不计，求P 点磁感应强度B 。 解：面电流线密度a I j 2/= 在离轴线y 处取一宽为dy 的窄条，其电流为 dy a I jdy dI 2==, 22y x r += P 点B d 的方向如图所示。 r πdI μdB 20= 2 2 0044y x dy a πI μr dy a πI μ+== 2 2 cos sin y x x r x φθ+== =，2 2 sin cos y x y r y φθ+== = 2204cos y x ydy a πI μθdB dB x += =，2 204sin y x xdy a πI μθdB dB y +== 04220=+==??--a a a a x x y x ydy a πI μdB B x a a πI μx y a πI μy x dy a πIx μdB B a a a a a a y y arctan 2arctan 4400220 ==+==---?? y y y x x e x a a πI μe B e B B ??? ??=+=arctan 20 5、求上题当a →∞，但维持a I j 2=(单位宽度上的电流，叫做电流线密度)为一常量时P 点的磁感应强度。 解：y y y a e j μe ππj μe x a a πI μB 2 2arctan 2lim 000==??? ??=∞→电磁学第四章习题答案
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