第八章 真空中的稳恒磁场
一、 基本要求
1．掌握磁感应强度的概念。理解毕奥－萨伐尔定律。能计算一些简单问题中的磁感应强度。
2．理解稳恒磁场的规律：磁场的高斯定理和安培环路定理。理解用安培环路定理计算磁感应强度的条件和方法。
3．理解安培定律和洛仑兹力公式。了解磁矩的概念。能计算简单几何形状载流导体和载流平面线圈在均匀磁场中或在无限长直载流导线产生的非均匀磁场中所受的力和力矩。能分析点电荷在均匀电磁场（包括纯电场，纯磁场）中的受力和运动。 二、
基本内容
1. 基本概念：电流产生磁场，描述磁场的基本物理量——磁感应强度矢量，磁场线，磁通量，磁场对电流的作用。
2. 毕奥－萨伐尔定律
电流元d l I 在空间某点激发的磁感应强度为：
02
4d d r μπ?=l r B I
其中，r 表示从电流元到该点的距离，0r 表示从电流元到该点的单位矢量。 从该定律可以直接得到在直电流的延长线和反向延长线上各点的磁感应强度为零。它是求解磁场的基本规律，它从电流元的磁场出发，可得到计算线电流产生磁场的方法
2
()()
4L L d d r
μ
π
?==??
l r B B I
应用上式在教材中导出了一些电流产生磁场的计算公式，包括：一段直电流在空间任意一点的磁场，无限长直载流导线在空间任意一点的磁场，圆电流在轴线上各点的磁场，一段载流圆弧在圆心处的磁场，圆电流在圆心处的磁场。
这些计算公式在求解问题时可以直接使用。 3. 磁场的叠加原理
121
n
n i i ==++
+=∑B B B B B
该原理表明多个电流在空间某点产生的磁场，等于各电流单独存在时在该点处产生的磁场的矢量和。将磁场的计算公式和叠加原理结合使用，可以求解多种电流在空间某点产生的磁场。在计算中首先应该将复杂的电流分成计算公式已知的电流段，然后分段计算，最后求出矢量和。对于电流连续分布的载流体，可以选择合适的电流元dI ，用已知公式求出电流元在所求点的磁场d B ，然后根据d B 的分布特点，建立合适的坐标系，求出各个磁场分量，最后求其矢量和。
4. 磁场中的高斯定理
()
0S d ?=??
B S
该定理表明：磁场是无源场，磁场线是无头无尾的闭合曲线。应用该定理求解均匀磁场中非闭合曲面的通量时，可以作平面，使平面和曲面形成闭合曲面，由于闭合曲面的通量为零，即曲面的通量等于平面通量的负值，从而达到以平代曲的目的。
5. 安培环路定理
01
N
i L
i d I μ=?=∑?
B l
该定理表明：磁场是有旋场，磁场是非保守力场。应用该定理时，首先应该注意穿过以L 为边界的任意曲面的电流的正负；其次应该知道环流为零，环路上各点的磁感应强度不一定为零。在应用定理求解具有轴对称电流分布的磁场和均匀磁场的磁感应强度时，要根据电流的对称性和磁场的性质选择合适的环路L 。
6. 安培定律
电流元在外磁场中受安培力为：
d Id =?f l B
其中，d f 的大小?sin IdlB df =，d f 方向由Id ?l B 确定。
该定律是计算磁场对电流的作用的基本定律。一段载流导线在磁场中受到的安培力为：
()
()
L L d Id ==???f f l B
应用上式时，应该注意电流上各点的磁场是否均匀及磁力的分布特点。如果电流
上各点的磁场相等，并且是一段直电流，可以先求出导线上的磁场，然后用公式
?sin BL I f =求出结果；如果电流上各点所受的磁力的大小不同但方向相同，可以先在
电流上取一小线段d l ，求出d l 段电流所受的磁力，然后通过标量积分得结果；如果电流上各点所受的磁力的大小不同方向分布在一个平面上，可以先在电流上取一小线段
d l ，求出d l 段电流所受的磁力，然后建立直角坐标，积分求出磁力分量，最后合成，求得电流所受到的磁场力。
8．载流线圈在磁场中受到的力矩
m =?M P B
式中0m IS =P n ，S 为线圈所围的面积，0n 为线圈面元法向的单位矢量，m P 称为载流线圈的磁矩，其数值为IS P m =。若线圈为N 匝时，NIS P m =。
9．洛伦兹力
运动电荷q 在外磁场中所受的洛伦兹力为：
q =?f B v
洛伦兹力的方由?B v 的方向和q 的正负决定。当q 的为正时，洛伦兹力的方向与?B v 的方向相同；当q 的为负时，洛伦兹力的方向与?B v 的方向相反。
三、习题选解
8-1 如图所示，一根无限长直导线通有 电流I ，但中部一段弯曲成圆弧形，圆 弧BEC 的曲率半径为R ，所对圆心角为
120。求图中圆心O 处的磁感应强度矢量
的大小和方向。 题8-1图
解：点O 的磁感应强度由直线AB ，CD 及圆弧BEC 三部分载流导线所产生。
0AB CD BEC =++B B B B
由于对称性AB 和CD 在O 点产生的磁感应强度相等，方向均垂直纸面向里。 由教材（8.12式）得
00(cos150cos180)0.67
4cos60AB CD I
I
B B R R
μμππ==
-= 00(sin 90sin 60)0.0674cos60I I
R R
μμππ=-=
在BEC 圆弧上任取一电流元Id l 如图()a 所示，它在O 点产生的磁感应强度的方向也垂直于纸面向里，量值为
θπμπθμπμd R I
R IRd R Idl dB 44402
020===
导线BEC 在O 产生的磁感应强度
120
0000
2(0)4436BEC I I I
B dB d R R R
μμμθπππ===-=??
题8-1()a 图
000020.0670.216AB CD BEC I I I
B B +B B R R R
μμμπ=+=?+= 方向垂直纸面向里。
8-2 有两个圆形线圈A A '和B B '，其平面相互正交，圆心重合的放置。A A '线圈的半径cm R A 20=，共10匝，通以电流A 0.10；B B '线圈半径cm R B 10=，共
20匝，通以电流A 0.5。求公共圆心O 处的0B
矢量。
解：线圈A A '在圆心O 处的磁感应强度
T R I N B 41
1
10110143.32-?==
μ
线圈B B '在圆心O 处的磁感应强度
T R I N B 42
2
20210285.62-?==
μ
故 T B B B 42
2211003.7-?=+=
题8-2图
0.2tan 1
2
==
B B θ 63.43θ=
8-3 如图所示，有两根导线沿半径引向圆环电阻上的B A 、两点，并在很远处与电源相连。求环中心的磁感应强度。
解：两根导线的延长线通过圆心O ，则在圆心O
产生的磁感应强度为零，O 点的磁感应强度由AB 和
AEB 两载流圆弧产生
0AB AEB =+B B B
I
A
B
I 1+
I
2
E O
R -
I
题8-3图
010*******AB I I
l B l R R R μμππ== 方向垂直纸面向里
02224AEB
I
B l R
μπ= 方向垂直纸面向外 圆弧AB 和AEB 组成并联电路，电阻分别为1R 、2R ，则2211R I R I = 又 S l R 11ρ
= S
l R 22ρ= 故 2211l I l I =
O 点磁感应强度
011222
()04AB AEB B B B I l I l R μπ=-=
-= 8-4 将一根导线做成n 边的多边形，多边形的外接圆半径为a ，设导线中有电流I ，求外接圆中心处的磁感应强度的大小。
解：对于n 边多边形，每一边b 在圆心产生的磁感应强度dB 的大小，方向都相同。
[])sin(sin 40θθπμ--=
h
I
dB 0(sin sin )4I
h
μθθπ=
+ 002sin 22b
I I h h a
μμθππ== θπμπμtan 22200a
I ah b I
==
题8-4图
θπμtan 20a
nI
ndB B =
=
又 n πθ22=，n
πθ= 故 )tan(20n
a nI B ππμ=
8-5 如图所示，有一闭合回路由半径为a 和b 的两个同心共面半圆连接而成，其上均匀分布线密度为λ的电荷，当回路 以匀角速度ω绕过O 点垂直于回路平面的轴 转动时，求圆心O 点处的磁感应强度的大小。
解：小圆环带电λπa q =1，大圆环带电λπb q =2， 两环转动时相当于两圆电流1I 、2I
题8-5图
112q I πω=
， 222q I π
ω
= 在O 点产生的磁场分别为
a
I B 21
01μ=
， b
I B 22
02μ=
ωλμλππωμ00141
4==
a a B
题8-5图
4
4002ωλ
μλππωμ==
b b B 在AB 段距O 点为l 处任取线元dl ，带电dl dq λ=,转动时线元相当于一圆电流
dq dI π
ω
2=
,在O 点产生磁感应强度为 dl l
l
dI
dB πλ
ωμμ42003=
=
AB 段在O 点产生的磁场
?
===b
a b
a a
b l dl l B ln 4)(ln 440003πλωμπλωμπλωμ
同理CD 段在O 点产生的磁场
a
b
B ln 404πλωμ=
2
ln 2004321ωλ
μπλωμ+
=
+++=a b B B B B B 8-6 如图所示，在半径为1R 和2R 的两圆周 之间，有一总匝数为N 的均匀密绕平面螺旋线圈 通以电流I ，求线圈中心O 点处的磁感应强度。
解：均匀密绕平面螺旋电流可视作由许多圆
题8-6图
形电流所组成在距圆心O 为R 处取一圆电流dI
dR R R N
I dI )(
1
2-=
该圆电流在O 点产生的磁感应强度dB
dR R R N
R I
dI R
dB 1
200
22-=
=
μμ
整个螺旋线圈在O 点产生的磁感应强度
2
1
00221211
ln 2()2()R R NI
NI R dR B dB R R R R R R μμ===--??
B 的方向垂直纸面向外。
8-7 如图所示，两个共面的平面带电圆环，其内外环半径分别为1R 、2
R 、3R ，外面的圆环以每秒2n 转的转速顺时针转动，
里面圆环以每秒1n 转的转速反时针转动。若电荷面密度都是σ，求1n 和2n 的比值多大时O 点处磁感应强度为零。
题8-7图
解：均匀带电圆环可视作由许多均匀带电环带组成，任一环带所电量为
dr r dq σπ2=。当环带以每秒n 转旋转时，带电环形成圆电流ndq dI =，在O 产生
磁感应强度为
r
dI
dB 20μ=
外圆环在O 产生磁场
??
-===3
2
)(22232020
22R R R R n dr rn r
dB B πσμσπμ
内圆环在O 产生磁场
??
-===)(22121010
112
1
R R n dr r n r
dB B R R πσμσπμ
12、B B 方向相反， 012=+B B B 。
若使O 点磁场为零，需21B B =
则 1
22
321R R R R n n --= 8-8 如图所示，一半径cm R 0.1=的无限长
41圆柱形金属薄片，沿轴向通有A I 0.10=的电流，
设电流在金属薄片上均匀分布，试求圆柱轴线上任意一点P 的磁感应强度。
题8-8图
解：无限长41
圆金属薄片电流可看作由许多狭长条电流组成，任一狭长条电
流为
dl R I
I R dl dI ππ24
2==
在P 点产生的磁感应强度的方向如图，大小为
dl R
I
R dI dB 22002πμπμ==
在P 点建立直角坐标系（如图所示），
y 轴与BP 夹角为45，由于对称性
?==0x x dB B
44
cos y y B dB dB π
πθ-==??
0044
2224
4cos sin I I R d d R R π
π
ππμμθθθππ--==??
题8-8图
T R I R I 4
2020108.12)4sin(4
sin -?==??????--=
πμπππμ41.810y B T -==?B j j
8-9 半径为R 的塑料薄圆盘均匀带有电荷Q ，圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的轴转动，每秒钟的转数为n 。求盘心的磁感应强度。
解：圆盘带电荷Q ，电荷面密度2
R
Q
πσ=，在薄圆盘上取半径为r 宽为dr 的面元dS 。其电量为
2222
2Q
Qr
dS r dr rdr dr R R
dq πσππσ==
?=
= 圆盘转动时面元dS 相当一圆电流
dr R
nQr
ndq dI 2
2=
= 在盘中心处产生磁场
dr R nQ
r
dI
dB 2
002μμ=
=
题8-9图
则整个圆盘在O 点产生磁感应强度
??
=
=
=R
R
nQ
dr R nQ
dB B 0
02
0μμ B 方向垂直纸面向里
8-10 两块平行的大金属板上有均匀电流流通，面电流密度都是j ，但方向相反，求板间合板外的磁场分布。
解：坐标轴如图所示，并设板中电流沿轴方向流动。由例8-8可知，无限大载流平板外两侧的磁场都是均匀场，在平板两侧B 的大小相等，但方向相反。
板1的电流所产生的磁场
2
01j
B μ=
其方向在板1左侧沿x 轴负方向，
??
?
???1
2y
x
题8-10图
在板1右侧沿x 轴正方向；
板2电流所产生的磁场
2
02j
B μ=
其方向在板2左侧沿x 轴方向，在板2右侧沿x 轴负方向。
这样，在两个电流板将全空间分成的三个区域（板1左侧，两板之间，板2右侧）中，只有两板之间1B 和2B 的方向相同从而相互迭加，在两板之外全部抵销为零，在板间0j μ=B i 。
8-11 矩形截面的螺绕环的内外直径分别为
1D 和2D ，厚度为h 。
（1）试求环内磁感应强度的分布； （2）试证明通过螺绕环截面的磁通量m Φ
为02
1ln 2NIh D D μπ，其中N 为螺绕环的总匝
题8-11图数，I 为线圈中的电流强度。
解：（1）根据电流分布的对称性，可得与螺绕环共轴的圆周上各点B 的大小相等，方向沿圆周的切线方向。以在环内顺着环管的半径为r 的圆周为安培回路
L ，则
2d B r π?=??B l
该环路所包围的电流为NI ，故安培环路定理给出
NI r B 02μπ=?
由此得 r
NI
B πμ20=
（在管内） 对于管外任意一点，过该点作一与螺绕环共轴的圆周为安培环路L '，由于此时0L I '=∑，所以有
0B =（在环管外）
（2）由于环内磁感强度为半径r 的函数，所以
02m NIhdr
d d BdS Bhdr r
μΦπ=?===
B S 21002
21
2ln 22D D m m NIhdr NIh D d r D μμΦΦππ===??
8-12 无限长圆柱沿轴向通以电流I ，截面上各处电流密度均匀分布，柱半径为R ，在长为l 的一段圆柱内环绕中心轴线的磁通量是多少？
解：由例8-6，均匀无限长圆柱形电流的磁场分布为
020()
2()
2Ir
r R R B I r R r
μπμπ?≤??=?
?>??
题8-12图
仿照8-11的做法，圆柱内环绕中心轴线的磁通量为
0020
24R R
m m Ilrdr Il
d Bldr R μμΦΦππ
====???
8-13 如图所示，两平行长直导线相距40cm ，每条通以电流200I A =。（1）求两导线所在平面内与该两导线等距的一点A 处的磁感应强度；（2）求通过图中斜线所示矩形面积内的磁通量。132(10,20,25)r r cm r cm l cm ====
解：（1）将两平行长直导线分别标记为电流1和电流2，如图所示。
电流1在A 点的磁感应强度大小 T
r I B 4
701100.22.02001022--?=??==πμ方向垂直纸面向里。
电流2在点的磁感应强度大小
7402210200 2.01020.2I B T r μπ--??===?
I
题8-13图
方向也垂直纸面向里。
在A 点，电流1、2产生的磁感应强度1B 、2B 相等，A 点的磁感应强度B 应为两者的矢量和
412 4.010B B B T -=+=?
方向垂直纸面向里。
（2）取图中矩形面积的法线方向为垂直纸面向里，以导线1所在位置为坐标原点，建立如图所示的坐标轴。令123D r r r =++，可得
()
r D I
r I B -+
=
πμπμ2200 方向垂直纸面向内 则通过宽为dr ，高为l 的窄条形面元的元磁通为
m d d BdS Bldr Φ=?==B S
通过斜线所示矩形面积内的磁通量
()12
12
1
1
5
00 2.21022r r r r m m r r I I d Bldr ldr Wb r D r μμΦΦππ++-??===+=? ? ?-??
??
?
8-14 如图所示，一根无限长直圆环柱形导体，其横截面内外半径分别为
21r r ，。导体内有电流I 均匀地分布在管的横截面上
沿轴线方向流动。求磁感应强度。
解：电流均匀分布在管的横截面上， 则面电流密度
题8-14图
)
(2122r r I -=
πσ（1）在导体内任取一点，以轴线O 为圆心，半径为()12r r r r <<作一圆周通过该点，由安培环路定律
l
d I μ'?=?B l
得
)()
(22122
1220
r r r r I
rB --=ππμπ
题8-14图
r
r r r r I B )(2)
(2
1222120--=πμ 同理可得：
（2）导体空腔内()1r r < 0=B
（3）导体外任一与轴相距为()2r r r >的点磁感应强度 r
I
B πμ20= 8-15 如图所示，一根截面积为S 弯成U 形 的导线O OABCD '如图放置，可绕O O '轴转动。U 形部分正是边长为a 的正方形的三边。整个导线放 入匀强磁场中，B 的方向竖直向上。若导线的体 密度ρ为已知，导线中的电流为I ，平衡时导线AB
题8-15图
段和CD 段与竖直方向成α角。写出磁感应强度的计算公式。
解：由于重力作用，导线框受重力矩为
αααsin sin 2
1
sin 21321321l P l P l P M M M M g ++=++=
αραραραρsin 2sin )(sin 2
1
)(sin 21)(2g S l l g lS l g lS l g lS =++=
磁场对各段导线的磁力分别为：
AB 导线
αsin 1BIl f = 方向如图示
DC 导线
αsin 2BIl f = 方向如图示
BC 导线
BIl f =3 方向如图示
故线框所受磁力矩为
ααcos cos 23BIl l f M m ==
题8-15图
由平衡条件m g M M =
ααρcos sin 222BIl g S l =
所以 αρtan 2I
gS
B =
8-16 一载有电流为1I 的无限长直导线与一载电流为2I 的刚性圆形闭合回路同在一平面内。圆环半径为R ，其圆心到直线电流的垂直距离为d ，求圆形回路所受的磁力。
解：在圆形闭合回路中任取一电流元
dl I 2，距直导线为θcos R d +。该处磁感
应强度大小为
θ
πμcos 1
210R d I B +=
方向垂直纸面向里。电流元dl I 2受力
2sin(,)df I dlB Id =l B 题8-16图
θBRd I dl BI 22== 方向沿半径向外。
考虑整个圆形回路的受力情况，由于对称性，在y 轴方向上的合力
?==0y y df F ，则整个线圈受力
??===π
π
θθ20
220
cos d BR I df F F x x
??+=+=π
πθθ
θπμθθθπμ20
20210210cos cos 2cos cos 2d R d R I I d R d R
I I
?
+-
=
π
θθ
π
μ20
210)cos 1(2d R d d
I I
2012022arctan tan 22I I d d R d R d R d R d R π
μπθππ??
??+-??=-??+-+?????
? 0120122222(2)(1)02I I I I d R d R
μπμπ=
-=-<--
受力方向沿x 轴负方向
[积分公式
220
(0)cos dx a b a b x a b
π
=>>+-?
]
8-17 一正方形线圈由外皮绝缘的细导线绕成，共绕有200匝，每边长为150mm ，放在 4.0B T =的外磁场中，当导线中通有8.0I A =的电流时，求：（1）线圈磁矩m P 的大小；（2）作用在线圈上的力矩的最大值。
解：（1）由载流线圈磁矩的定义，对多匝线圈
()22
3615.00.8200m A NIS P m ?=??==
（2）由教材8-25式
m N B P B P M m m ??=?==?=2max 1044.143690sin
8-18 如图所示，一均匀带电圆盘半径为
R ，表面带有均匀面电荷，面密度为σ。假定 圆盘可绕其轴线O O '以角速度ω转动，磁场B 均匀并垂直于O O '轴指向右方。求磁场B 作用
于圆盘的磁力矩的大小。 题8-18图
解： m =?M P B ，由于m ⊥P B ，ISB M = 在圆盘上距圆心为r 处取圆环形面积元rdr dS π2=。
该圆环带电rdr dS dq πσσ2==，当圆盘转动时，面积元dS 相当于一圆电流
dq ndq dI π
ω
2=
= 该圆电流所受磁力矩
dr B r rdr B
r SBdI dM ωσππσπ
ω
π3222=== 磁场B 作用于圆盘的磁力矩为
4
4
3
R B dr B r dM M R
ωσπωσπ=
==??8-19 如图所示，一无限长薄金属板，宽度为a 通有电流1I ，其旁有一矩形线圈，通有电流2I ，线圈和金属板在同一平面内，且MN 和PQ 边平行金属板。求电流1I 的磁场对MN 和PQ 边的作用力。
解：在薄金属板上取一无限长面积元距板左边为x ，宽度为dx ，面积元上通有电流
dx a
I
dI 1=
在MN 边产生的磁感应强度为
b
x a dI dB +-=
1
20πμ
整个金属板在MN 边产生的磁感应强度为
??
-+==a
MN dx a
x b a I dB B 0
1
0)(2πμ
题8-19图
题8-19图
01010()ln 2()2a I I d a b x a b
a a
b x a b
μμππ-+-+=
=+-? 电流1I 的磁场对MN 边的作用力为
b
b
a a L I I L I B F MN MN +=
=ln 22102πμ 方向垂直MN 边向左，同理，可求得电流1I 的磁场对PQ 边的作用力为
c
b c
b a a L I I F PQ +++=
ln 2210πμ 方向垂直PQ 向右 8-20 在电视机的显像管里，电子在水平面内从南到北运动，已知动能是
eV 4102.1?，该处地球磁场的竖直分量向下，大小为T 5105.5-?。问：
（1）电子受地理影响将往哪方偏转？ （2）电子的加速度有多大？
（3）电子在显像管内南北方向飞经cm 20后将偏转多大？
解：（1）依题意，电子受洛仑磁力的影响将垂直于运动方向向东偏转 （2）电子作匀速圆周运动，向心加速度为
n f Be a m m
=
=
v
由21
2
K m E =v 712 6.510K
E m s m
-=
=??v 故 1426.310n Be a m s m
-==??v
题8-20()a 图
（3）沿向西和向北方向建立Oxy 坐标， 电子运动轨道为圆周
222R y x =+
22y R x -=
由20, 6.7m y cm R m eB
==
=v
22y R R x --=?
题8-20()b 图
33.010m -=? 电子向东方向偏转m 3100.3-?
8-21 如图所示，一电子在T B 401020-?=的匀强磁场中沿半径m R 0.2=，螺距cm h 0.5=的螺旋线运动。（1）求电子的速度大小？（2）判别磁场的方向？
解：（1）cos x θ=v v 为平行于B 的速度分量，sin y θ=v v 为垂直于B 的速度分量。
题8-21图
电子旋转一周的时间为 2m
T qB
π=
螺距为 2cos x
m h T qB
πθ==
v v ①
螺旋线半径sin y
m m R qB qB
θ==v v ② 由①、②得
2x qBh m π=
v ， y qBR
m
=v 2
222
()()2x
y
qBh qBR m m
π=+=+v v v
1
6222
1057.74-??=+=s m h R m qB π
题8-21图
2tan y x
R
h πθ=
=v v 可得 2arctan
R h
πθ=（2）磁场的方向水平向左。
8-22 在一气泡室中，磁场为20T ，一高能质子垂直于磁场飞过留下一半径为3.5m 的圆弧径迹。求此质子的动量和能量。
解：带电粒子垂直于均匀磁场运动时，由教材8-27式给出
m R qB
=
v
由已知条件 3.5R m =、20B T =、191.610q C -=?，可得此质子的动量P 应为
191713.520 1.610 1.1210P m RqB Kg m s ---===???=???v
由于是高能质子，所以质子能量E 应由狭义相对论中能量和动量的关系式给出。对于质子
()
J c m E 102
8
2720010504.110998.210673.1--?=???==
J Pc 981710358.310998.21012.1--?=???=
质子能量应为
J c P E E 9222
01036.3-?≈+=
8-23 电子的内禀自旋磁矩为2310.92810J T --??。电子的一个经典模型是均匀带电球壳，半径为R ，电量为e 。当它以ω的角速度绕通过中心的轴旋转时，
其磁矩的表达式如何？现代实验证实电子的半径小于1810m -，按此值计算，电子具有实验值的磁矩时其赤道上的线速度多大？这一经典模型合理吗？
解：不失普遍性，可以先计算一个带电量为Q ，半径为R 的均匀带电球壳绕过球心轴线以角速度ω旋转时所产生的磁矩。如图所示，用垂直于转轴的平面将球壳分成一个个圆环状带电体，球壳转动时，球壳上的这些环状带电体将形成圆电流，这些一定截面积的圆电流就成为元磁矩。
设球壳面电荷密度为σ，以球心为坐标原点，并用球坐标系表示每一圆环状带电体元面积为
θθπd R dS sin 22
=
每一圆环状带电体所带电量为
θ
θθθππσd Q d R R Q dS dq sin 2sin 242
2
=?=
=旋转时，该细圆环上的电流为
题8-23图
θθπ
ω
πωd Q dq dI sin 42=?=
因θd 非常小，故可将其视为线电流，该圆电流所生成的元磁矩为
θθω
θθπωθπd Q R d Q R SdI dP m 322
2
sin 4
sin 4sin =?==
每一个圆电流所产生的元磁矩方向相同，所以旋转带电球壳的总磁矩为
2
20
3
23
sin 4
m
A Q R d Q R dP P m m ?==
=?
?ωθθω
π
对于电子来说，上式中Q 应写为e 。其与自旋相关的磁矩表达式为
223
-?=m A e R P m ω
取m R 18100.1-?=，191.610e C -=?，12310928.0--??=T J P m
则 13219
3623
21074.110
6.1100.110928.033----??=?????==s rad e R P m ω 此时，其赤道上的线速度
18321411.010 1.7410 1.7410R m s C ω--==???=??>>v
与相对论中的结论相矛盾，所以，这一经典模型并不合理。
8-24 如图所示，一铜片厚为
1.0d mm =，放在 1.5B T =的磁场中，
磁场方向与铜片表面垂直，已知铜片里每立方厘米有22
8.410?个自由电子，每个电子的电荷191.610e C -=?，
题8-24图
当铜片中有200I A =电流时，求铜片两侧的电势差a a U '，铜片宽度b 对a a U '有无影响？
解：由教材8.30式，d
IB nq U H ?=
1，代入数字，m mm d 3100.10.1-?==，T B 5.1=，328322104.8104.8--?=?=m cm n ，C e q 19106.1-?==得
62.2310U V -=?
铜片宽度b 对a a U '无影响。