用有限差分法解静电场边值问题 一、目的 1．掌握有限差分法的原理与计算步骤； 2．理解并掌握求解差分方程组的超松弛迭代法，分析加速收敛因子α的作用； 3．学会用有限差分法解简单的二维静电场边值问题，并编制计算程序。 二、方法原理 有限差分法是数值计算中应用得最早而又相当简单、直观的一种方法。应用有限差分法通常所采取的步骤是： ⑴ 采用一定的网格分割方式离散化场域。 ⑵ 进行差分离散化处理。用离散的、只含有限个未知数的差分方程组，来近似代替场域内具有连续变量的偏微分方程以及边界上的边界条件（也包括场域内不同媒质分界面上的衔接条件）。 ⑶ 结合选定的代数方程组的解法，编制计算机程序，求解由上面所得对应于待求边值问题的差分方程组，所得解答即为该边值问题的数值解。 现在，以静电场边值问题 ?????==??+??) 2( ) ()1(02 2 22s f D y x L ? ? ?中 在 为例，说明有限差分法的应用。f (s )为边界点s 的点函数，二位场域D 和边界L 示于图5.1-1中。 x 图5.1-1 有限差分的网格分割 1． 离散化场域 应用有限差分法时，首先需从网格划分着手决定离散点的分布方式。通常采用完全有规律的方式，这样在每个离散点上可得出相同形式的差分方程，有效地提高解题速度。如图5.1-1所示，现采用分别与x ，y 轴平行的等距（步距为h ）网格线把场域D 分割成足够多的正方形网格。各个正方形的顶点（也即网格线的交点）称为网格的结点。这样，对于场域内典型的内结点0，它与周围相邻的结点1、2、3和4构成一个所谓对称的星形。 2．差分格式 造好网格后，需把上述静电场边值问题中的拉普拉斯方程（1）式离散化。设结点0上的电位值为?0。结点1、2、3和4上的电位值相应为?1、?2、?3和?4，则基于差分原理的应用，拉普拉斯方程（1）式在结点0处可近似表达为
1静电场的边值问题 1．镜象法的理论依据是（）。基本方法是在所求场域的外部放置镜像电荷以等效的取代边界表面的（）。 2．根据边界面的形状，选择适当的坐标系，如平面边界，则选直角坐标；圆柱面选圆柱坐标系；球面选球坐标。以便以简单的形式表达边界条件。将电位函数表示成三个一维函数的乘积，将拉普拉斯方程变为三个常微分方程，得到电位函数的通解，然后寻求满足条件的特解，称为（） 3．将平面、圆柱面或球面上的感应电荷分布（或束缚电荷分布）用等效的点电荷或线电荷（在场区域外的某一位置处）替代并保证边界条件不变。原电荷与等效点电荷（即通称为像电荷）的场即所求解，称为（），其主要步骤是确定镜像电荷的位置和大小。 4．（）是一种数值计算方法，把求解区域用网格划分，同时把拉普拉斯方程变为网格点的电位有限差分方程（代数方程）组。在已知边界点的电位值下，用迭代法求得网格点电位的近似数值。 5．用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（）。 A．镜像电荷是否对称 B．电位所满足的方程是否未改变 C．边界条件是否保持不变 D．同时选择B和C ??=，其中的J（）。 6.微分形式的安培环路定律表达式为H J A．是自由电流密度 B．是束缚电流密度 C．是自由电流和束缚电流密度
D ．若在真空中则是自由电流密度；在介质中则为束缚电流密度 7.在边界形状完全相同的两个区域内的静电场，满足相同的边界条件，则两个区 域中的场分布（ ）。 A ．一定相同 B ．一定不相同 C ．不能断定相同或不相同 8.两相交并接地导体平板夹角为α，则两板之间区域的静电场（ ）。 A ．总可用镜象法求出。 B ．不能用镜象法求出。 C ．当/n απ= 且n 为正整数时，可以用镜象法求出。 D ．当2/n απ= 且n 为正整数时，可以用镜象法求出。 9.将一无穷大导体平板折成如图的90°角，一点电荷Q 位于图中（1, π/6）点 10. 两个平行于 XOY 面的极大的金属平板，两平板间的距离为 d ，电位差为 。求两板间的电位及电场分布
第3章 静电场及其边值问题的解法 3.1 / 3.1-1 一个半径为a ，壁厚d 极薄的肥皂泡对无穷远点的电位为U 0。当它破灭时假定 全部泡沫集中形成一个球形水滴。试求此水滴（drop ）对无穷远处的电位U d 。若U 0=20V ，a=3cm ，d=10μm ，则U d =? [解] V d a aU d a aU U d 20010 1010 932010 333443 6 4 2 3 2 032 00=??????= = = ---πε πε 3.2 / 3.1-2空气中有一半径为a 的球形电荷分布，已知球体内的电场强度为2?Cr r E =（ra) c) 取 ∞→r 处为电位参考点，得 ()3 3 3 3 3 2 4 2 43 3 3 :r a C Ca Cr Ca dr r a C dr Cr Edr a r a r a r -= +- =+ = = r r a C E d r a r 4 :φ d) 0222 24331:ερφv Cr r C r r r a r -=-=??? ??-???= ?< 得证。 ()01:2 42 2 2 =???= ?>-r Ca r r r a r φ 得证。 3.3 / 3.1.3空气中有一半径为a ，体电荷密度为ρv 的无限长圆柱体。请计算该圆柱体内外的 电场强度。 [解] :a <ρ ρερ0 2?v r E = :a >ρ ρ ερ02 2?a r E v = 3.4 / 3.1-4 已知空气中半径为a 的圆环上均匀地分布着线电荷，其密度为ρl ，位于z =0平面， 试求其轴线上任意点P （0，0，z ）处的电位和电场强度（参看图2.1-7，注意与 之不同）。 [解] 2 2 20 24z a a r ad l l +== ? ερφπε ρφπ
静电场边值问题的唯一性定理 摘要：静电场边值问题及其唯一性定理是一重要知识点，定理的表述和证明都涉及较多的数学知识。由于唯一性定理的概念对于许多问题（如静电屏蔽）的确切理解有很大帮助，所以我们将给此定理一个物理上的论证，期待大家能从中有所受益. 关键词：静电场；边值；唯一性；静电屏蔽 1、问题的提出 实际中提出的静电学问题，大多不是已知电荷分布求电场分布，而是通过一定的电极来控制或实现某种电场分布。这里问题的出发点（已知的前提），除给定各带电体的几何形状、相互位置外，往往是在给定下列条件之一； （1） 每个导体的电势U K ； （2） 每个导体上的总能量Q K ； 其中K=1，2，……为导体的编号。寻求的答案则是在上述条件（称为边界条件）下电场的恒定分布。这类问题称为静电场的边值问题。 这里不谈静电场边值问题如何解决，而我们要问：给定一组边界条件，空间能否存在不同的恒定电场分布？唯一性定理对此的回答是否定的，换句话说，定理宣称：边界条件可将空间里电场的恒定分布唯一地确定下来。 2、几个引理 在证明唯一性定理之前，先作些准备工作——证明几个引理。为简单起见，我们暂把研究的问题限定为一组导体，除此之外的空间里没有电荷。 （1）引理一 在无电荷的空间里电势不可能有极大值和极小值。 用反证法。设电势U 在空间某点P 极大，则在P 点周围的所有邻近点上梯度U ? 必 都指向P 点，即场强U E ?-= 的方向都是背离P 点的（见图1-1a 。）这时若我们作一个很小的闭合面S 把P 点包围起来，穿过S 的电通量为 0) (>?=?S d E S E ? (1) 根据高斯定理，S 面内必然包含正电荷。然而这违背了我们的前提。因此，U 不可能有极大值。 用同样的方法可以证明，U 不可能有极小值（参见图1-1b ）。