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求二次函数解析式专项练习60题（含解析）
1．已知二次函数图象的顶点坐标是（1，﹣4），且与y轴交于点（0，﹣3），求此二次函数的解析式．
2．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，12），B（2，﹣3）．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）求这个图象的顶点坐标及与x轴的交点坐标．
3．在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x绕点O顺时针旋转90°得到直线l，直线l与二次函数y=x2+bx+2图象的一个交点为（m，3），试求二次函数的解析式．
4．已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线形状相同，顶点坐标为（﹣2，4），求a，b，c的值．
5．已知二次函数y=ax2+bx+c，其自变量x的部分取值及对应的函数值y如下表所示：
（1）求这个二次函数的解析式；
x …﹣2 0 2 …
y …﹣1 1 11 …
6．已知抛物线y=x+（m+1）x+m，根据下列条件分别求m的值．
（1）若抛物线过原点；
（2）若抛物线的顶点在x轴上；
（3）若抛物线的对称轴为x=2．
7．已知抛物线经过两点A（1，0）、B（0，3），且对称轴是直线x=2，求其解析式．
8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出y＞0时，x的取值范围_________；
（2）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围_________；
（3）求函数y=ax2+bx+c的表达式．
9．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣2，5），B（1，﹣4）．
（1）求这个二次函数解析式；
（2）求这个图象的顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标；
（3）画出这个函数的图象．
10．已知：抛物线经过点A（﹣1，7）、B（2，1）和点C（0，1）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标．
11．若二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，3），且经过B（1，0）、C（2，﹣1）两点，求此二次函数的解析式．
12．二次函数y=x2+bx+c的图象过A（2，3）和B（﹣1，0）两点，求此二次函数的解析式．
13．已知：一抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）经过点（3，4）和点（﹣1，0）求该抛物线的解析式，并用配方法求它的对称轴．
14．二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点（0，﹣6）、（3，0），求这个二次函数的解析式，并用配方法求它的图象的顶点坐标．
15．如图，抛物线y=﹣x2+5x+m经过点A（1，0），与y轴交于点B，
（1）求m的值；
（2）若抛物线与x轴的另一交点为C，求△CAB的面积；
（3）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标．
16．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0）．
（1）求这条抛物线对应函数的表达式；
（2）若P点在该抛物线上，求当△PAB的面积为8时，点P的坐标．
17．已知二次函数的图象经过点（0，﹣1）、（1，﹣3）、（﹣1，3），求这个二次函数的解析式．并用配方法求出图象的顶点坐标．
18．已知：二次函数的顶点为A（﹣1，4），且过点B（2，﹣5），求该二次函数的解析式．
19．已知一个二次函数y=x2+bx+c的图象经过（1，2）、（﹣1，6），求这个函数的解析式．
20．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求该二次函数图象与x轴的另一个交点．
21．已知抛物线最大值为3，其对称轴为直线x=﹣1，且过点（1，﹣5），求其解析式．
22．已知二次函数图象顶点坐标为（﹣2，3），且过点（1，0），求此二次函数解析式．
23．已知抛物线y=﹣x2+bx+c，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），求此抛物线的解析式．
24．一个二次函数的图象经过点（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，求这个函数的关系式．
25．已知二次函数y=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（1，﹣4）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）求这个函数图象与x轴、y轴的交点坐标．
26．已知二次函数y=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0）．求二次函数的解析式．
27．已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=0时，函数值为5，当x=﹣1或﹣5时，函数值都为0，求这个二次函数的解析式．
28．已知抛物线的图象经过点A（1，0），顶点P的坐标是．
（l）求抛物线的解析式；
（2）求此抛物线与两坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积．
29．如图为抛物线y=﹣x2+bx+c的一部分，它经过A（﹣1，0），B（0，3）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求平移后的抛物线的解析式．
30．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）试求二次函数的解析式；
（2）求y的最大值；
（3）写出当y＞0时，x的取值范围．
31．已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（2，1），求二次函数的解析式．32．抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴是x=l，它与x轴有两个交点，其中的一个为（3，0），求此抛物线的解析式．33．已知二次函数的图象经过点（0，﹣3），且顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，求△ABC的面积．
34．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（2，0），B（5，3）．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）求不等式ax2+bx+c≤x+m的解集（直接写出答案）；
（3）若抛物线与y轴交于C，求△ABC的面积．
35．二次函数的图象经过点（1，2）和（0，﹣1）且对称轴为x=2，求二次函数解析式．
36．如图所示，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点O和A（4，0）．
（1）求出此二次函数的解析式；
（2）若该图象的最高点为B，试求出△ABO的面积；
（3）当1＜x＜4时，y的取值范围是_________．
37．已知：一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点．
（1）求出这个二次函数解析式；
（2）利用配方法，把它化成y=a（x+h）2+k的形式，并写出顶点坐标和y随x变化情况．
38．已知抛物线y=x2﹣2（k﹣2）x+1经过点A（﹣1，2）
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求此抛物线的顶点坐标与对称轴．
39．根据条件求下列抛物线的解析式：
（1）二次函数的图象经过（0，1），（2，1）和（3，4）；
（2）抛物线的顶点坐标是（﹣2，1），且经过点（1，﹣2）．
40．已知二次函数的图象的顶点坐标为（3，﹣2）且与y轴交于（0，）
（1）求函数的解析式；
（2）当x为何值时，y随x增大而增大．
41．已知二次函数的图象经过点（0，﹣2），且当x=1时函数有最小值﹣3．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）如果点（﹣2，y1），（1，y2）和（3，y3）都在该函数图象上，试比较y1，y2，y3的大小．
42．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，3）、（4，3）
（1）求二次函数的解析式，并在给定的坐标系中画出该函数的图象（不用列表）；
（2）直接写出x2+bx+c＞3的解集．
43．不论m取任何实数，y关于x的二次函数y=x2+2mx+m2+2m﹣1的图象的顶点都在一条直线上，求这条直线的函数解析式．
44．抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣2，1），B（2，3），且与y轴负半轴交于点C，S△ABC=12，求其解析式．45．直线y=kx+b过x轴上的A（2，0）点，且与抛物线y=ax2相交于B、C两点，已知B点坐标为（1，1），求直线和抛物线所表示的函数解析式，并在同一坐标系中画出它们的图象．
46．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点P（2，7）、Q（0，﹣5）．
（1）试确定b、c的值；
（2）若该二次函数的图象与x轴交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），试求△PAB的面积．
47．抛物线y=ax2﹣3ax+b经过A（﹣1，0），C（3，﹣2）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求出这个二次函数的对称轴和顶点坐标．
48．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（0，4），且对称轴是直线x=﹣2，求这个二次函数的表达式．49．已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣4，3），且图象过点（l，﹣2）．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）写出它的开口方向、对称轴．
50．如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上．
（1）求m的值和二次函数的解析式．
（2）二次函数交y轴于C，求△ABC的面积．
51．若二次函数的图象的对称轴是直线x=1.5，并且图象过A（0，﹣4）和B（4，0）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求此二次函数图象上点A关于对称轴对称的点A′的坐标．
52．若二次函数y=ax2+bx+c中，c=3，图象的顶点坐标为（2，﹣1），求该二次函数的解析式．
53．过点A（﹣1，4），B（﹣3，﹣8）的二次函数y1=ax2+bx+c与二次函数的图象的形状一样，开口方
向相同，只是位置不同，求这个函数的解析式及顶点坐标．
54．二次函数的图象与x轴的两交点的横坐标为1和﹣7，且经过点（﹣3，8）．求：
（1）这个二次函数的解析式；
（2）试判断点A（﹣1，2）是否在此函数的图象上．
55．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，﹣9）、（1，﹣8），对称轴是y轴．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积．
56．如图，抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）、B（2，2），连接OB、AB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：△OAB是等腰直角三角形．
57．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若将上述抛物线先向下平移3个单位，再向右平移2个单位，请直接写出平移后的抛物线的解析式．
58．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣6）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积和周长．59．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标．
60．已知函数y=x2+bx+c过点A（2，2），B（5，2）．
（1）求b、c的值；
（2）求这个函数的图象与x轴的交点C的坐标；
（3）求S△ABC的值．
二次函数解析式60题参考答案：
1．∵顶点坐标是（1，﹣4）
因此，设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2﹣4，
∵抛物线与y轴交于点（0，﹣3）
把（0，﹣3）代入解析式：﹣3=a（0﹣1）2﹣4
解之得：a=1（14分）
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3．
2．（1）把点A（﹣1，12），B（2，﹣3）的坐标代入y=x2+bx+c 得
得
∴y=x2﹣6x+5．
（2）y=x2﹣6x+5，
y=（x﹣3）2﹣4，
故顶点为（3，﹣4）．
令x2﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5．
与x轴的交点坐标为（1，0），（5，0）．
3．由题意，直线l的解析式为y=x，
将（m，3）代入直线l的解析式中，解得m=3．
将（3，3）代入二次函数的解析式，解得，
∴二次函数的解析式为
4．抛物线y=ax2+bx+c 与抛物线形状相同，则a=±．当a=时，解析式是：y=（x+2）2+4=x2+x+5．
即a=，b=1，c=5；
当a=﹣时，解析式是：y=﹣（x+2）2+4=﹣x2﹣x+3．
即a=﹣，b=﹣1，c=3．5．（1）依题意，得，解得；
∴二次函数的解析式为：y=x2+3x+1．
（2）由（1）知：y=x2+3x+1=（x+）2﹣，故其顶点坐标为（﹣，﹣）
6．（1）∵抛物线过原点，
∴0=02+（m+1）×0+m．解得m=0；
（2）∵抛物线的顶点在x轴上．
∴△=（m+1）2﹣4m=0．
解得：m=1；
（3）∵抛物线的对称轴是x=2，
∴﹣=2．
解得m=﹣5
7．∵抛物线对称轴是直线x=2且经过点A（1，0）
由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（3，0）
设抛物线的解析式为y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）
即：y=a（x﹣1）（x﹣3）
把B（0，3）代入得：3=3a
∴a=1
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3．
8．（1）抛物线开口向下，与x轴交于（1，0），（3，0），
当y＞0时，x的取值范围是：1＜x＜3；
（2）抛物线对称轴为直线x=2，开口向下，
y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是x＞2；
（3）抛物线与x轴交于（1，0），（3，0），
设解析式y=a（x﹣1）（x﹣3），把顶点（2，2）代入，
得2=a（2﹣1）（2﹣3），解得a=﹣2，
∴y=﹣2（x﹣1）（x﹣3），
即y=﹣2x2+8x﹣6．
9．（1）把A（﹣2，5），B（1，﹣4）代入y=x2+bx+c，
得，
解得b=﹣2，c=﹣3，
∴二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣3．
（2）∵y=x2﹣2x﹣3，
∴﹣=1，=﹣4，
∴顶点坐标（1，﹣4），对称轴为直线x=1；
又当x=0时，y=﹣3，
∴与y轴交点坐标为（0，﹣3）；
y=0时，x=3或﹣1，
∴与x轴交点坐标为（3，0），（﹣1，0）．
（3）图象如图．
10．（1）设所求抛物线解析式为y=ax2+bx+c．根据题意，得
，
解得．故所求抛物线的解析式为y=2x2﹣4x+1．
（2）∵，
∴该抛物线的顶点坐标是（1，﹣1）
11．∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，3），
∴c=3．
又∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过B（1，0）、C（2，﹣1）两点，
∴代入y=ax2+bx+c得：
a+b+c=0，①
4a+2b+c=﹣1，②
由①②及c=3解得
∴二次函数的解析式为y=x2﹣4x+3
12．由题意得解得，．
此二次函数的解析式为y=x2﹣1．
13．把点（3，4）、（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣2得：
解得：
则抛物线的解析式是y=x2﹣x﹣2=（x ﹣）2﹣
则抛物线的对称轴是：x=14．由题意得，
解得．
∴这个二次函数的解析式是y=2x2﹣4x﹣6．
y=2（x2﹣2x）﹣6
=2（x2﹣2x+1）﹣2﹣6（1分）
=2（x﹣1）2﹣8．（1分）
∴它的图象的顶点坐标是（1，﹣8）．
15．（1）根据题意，把点A的坐标代入抛物线方程得：
0=﹣1+5+m，即得m=﹣4；
（2）根据题意得：
令y=0，即﹣x2+5x﹣4=0，解得x1=1，x2=4，
∴点C坐标为（4，0）；
令x=0，解得y=﹣4，
∴点B的坐标为（0，﹣4）；
∴由图象可得，△CAB的面积S=×OB×AC=×4×3=6；
（3）根据题意得：
①当点O为PB的中点，设点P的坐标为（0，y），（y＞0）
则y﹣4=0，即得y=4，
∴点P的坐标为（0，4）．
②当AB=BP时，AB=，
∴OP 的长为：﹣4，
∴P（0，﹣4），
∴P（0，﹣4），或（0，4）
16．（1）点（1，0），（3，0）在抛物线y=﹣x2+bx+c上．则有解得：
则所求表达式为y=﹣x2+4x﹣3．
（2）依题意，得AB=3﹣1=2．
设P点坐标为（a，b）
当b＞0时，×2×b=8．则b=8．
故﹣x2+4x﹣3=8即x2+4x+11=0
△=（﹣4）2﹣4×1×11=16﹣44=﹣28＜0，
方程﹣x2+4x+11=0无实数根．
当b＜0时，×2×（﹣b）=8，则b=﹣8
故﹣x2+4x﹣3=﹣8 即﹣x2+4x﹣5=0．
解得x1=﹣1，x2=5
所求点P坐标为（﹣1，﹣8），（5，﹣8）
17．设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
由题意得，
解得．
故二次函数的解析式为y=x2﹣3x﹣1；
y=x2﹣3x﹣1
=x2﹣3x+（）2﹣（）2﹣1
=（x ﹣）2﹣，
所以抛物线的顶点坐标为（，﹣）．
18．设此二次函数的解析式为y=a（x+1）2+4．
∵其图象经过点（2，﹣5），
∴a（2+1）2+4=﹣5，
∴a=﹣1，
∴y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3．
故答案为：y=﹣x2﹣2x+3
19．∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过（1，2）、（﹣1，6），∴，解得，
∴所求的二次函数的解析式为y=x2﹣2x+3．
20．（1）把A（2，0）、B（0，﹣6）代入y=x2+bx+c得，4+2b+c=0，c=﹣6，
∴b=1，c=﹣6，
∴这个二次函数的解析式y=x2+x﹣6；
（2）令y=0，则x2+x﹣6=0，解方程得x1=2，x2=﹣3，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点为（﹣3，0）．
21．∵已知抛物线最大值为3，其对称轴为直线x=﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，3）
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+3，
∵（1，﹣5）在抛物线y=a（x+1）2+3上，
∴解得a=﹣2，
∴此抛物线的解析式y=﹣2（x+1）2+3
22．设二次函数式为y=k（x+2）2+3．
将（1，0）代入得9k+3=0，
解得k=．
∴所求的函数式为 y=（x+2）2+3
23．根据题意得，，
解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；
或：由已知得，﹣1、3为方程﹣x2+bx+c=0的两个解，
∴﹣1+3=b，（﹣1）×3=c，
解得b=2，c=3，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
24．设二次函数的关系式为y=ax2+bx+c（a≠0），
∵二次函数的图象经过点（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，∴点（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）满足二次函数的关系式，
∴，
解得，
所以这个函数关系式是：y=4x2+5x
25．（1）由题意，将A与B 代入代入二次函数解析式得：
，
解得：，
则二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）令y=0，则x2﹣2x﹣3=0，即（x+1）（x﹣3）=0，
解得：x1=﹣1，x2=3，
∴与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；
令x=0，则y=﹣3，
∴与y轴交点坐标为（0，﹣3）
26．根据题意，得，
解得，；
∴该二次函数的解析式为：y=x2﹣2x﹣3．
27．由题意得，二次函数y=ax2+bx+c，过（0，5）（﹣1，0）（﹣5，0）三点，
∴，
解得a=1，b=6，c=5，
∴这个二次函数的解析式y=x2+6x+5
28．（1）由题意，可设抛物线解析式为y=a（x ﹣）2+，
把点A（1，0）代入，得a（1﹣）2+=0，
解之得a=﹣1，
∴抛物线的解析式为y=﹣（x ﹣）2+，
即y=﹣x2+5x﹣4；
（2）令x=0，得y=﹣4，
令y=0，解得x1=4，x2=1，
S=×（4﹣1）×4=6．
所以抛物线与两坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积为6．29．（1）∵抛物线经过A（﹣1，0），B（0，3）两点
∴
解得
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
（2）∵y=﹣x2+2x+3可化为y=﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线y=﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），
又∵此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，3）．
∴平移后的抛物线的解析式为y=﹣（x+2）2+3=﹣x2﹣4x﹣1．30．（1）∵二次函数图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3），
∴x=﹣1，y=0代入y=﹣x2+bx+c得：﹣1﹣b+c=0①，
把x=0，y=3代入y=﹣x2+bx+c得：c=3，
把c=3代入①，解得b=2，
则二次函数解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）∵二次函数y=﹣x2+2x+3的二次项系数a=﹣1＜0，
∴抛物线的开口向下，
则当x=﹣=﹣=1时，y有最大值，最大值为=4；
（3）令二次函数解析式中的y=0得：﹣x2+2x+3=0，
可化为：（x﹣3）（x+1）=0，
解得：x1=3，x2=﹣1，
由函数图象可知：当﹣1＜x＜3时，y＞0
31．∵函数的最大值是2，则此函数顶点的纵坐标是2，
又顶点在y=x+1上，那么顶点的横坐标是1，
设此函数的解析式是y=a（x﹣1）2+2，
再把（2，1）代入函数中可得
a（2﹣1）2+2=1，
解得a=﹣1，
故函数解析式是y=﹣x2+2x+1．
32．∵﹣=﹣=1，
∴b=2，
又∵点（3，0）在函数上，
∴﹣9+6+c=0，
∴c=3，
∴函数的解析式是y=﹣x2+2x+3．
33．（1）设y=a（x+1）2﹣4，把点（0，﹣3）代入得：a=1，
∴函数解析式y=（x+1）2﹣4或y=x2+2x﹣3；
（2）∵x2+2x﹣3=0，
解得x1=1，x2=﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3），∴△ABC的面积=．
34．（1）解：∵直线y=x+m经过A点，
∴当x=2时，y=0，
∴m+2=0，
∴m=﹣2，
∵抛物线y=x2+bx+c过A（2，0），B（5，3），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣6x+8；
（2）由图可知，不等式ax2+bx+c≤x+m的解集为2≤x≤5；（3）解：设直线AB与y轴交于D，
∵A（2，0）B（5，3），
∴直线AB的解析式为y=x﹣2，
∴点D（0，﹣2），
由（1）知C（0，8），
∴S△BCD =×10×5=25，
∵S△ACD =×10×2=10，
∴S△ABC=S△BCD﹣S△ACD=25﹣10=15．
35．设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
由题意得，二次函数的图象对称轴为x=2且图象过点（1，2），（0，﹣1），
故可得：，解得：．
即可得二次函数的解析式为：y=﹣x2+4x﹣1
36．（1）由条件得
解得
所以解析式为y=﹣x2+4x，
（2）∵该图象的最高点为B，
∴点B的坐标为（2，4），
∴△ABO的面积=×4×4=8，
（3）∵当x=1时，y=3，
∴当1＜x＜4时，y的取值范围是0＜y＜4．
故答案为：0＜y＜4．
37．（1）这个二次函数解析式y=ax2+bx+c（a≠0），
把三点（﹣1，10），（1，4），（2，7）分别代入得：
，
解得：，
故这个二次函数解析式为：y=2x2﹣3x+5；
（2）y=2x2﹣3x+5
=2（x2﹣x+﹣）+5
=2（x ﹣）2﹣+5
=2（x ﹣）2+，
则抛物线的顶点坐标是（，），
因为抛物线的开口向上，
所以当x ＞时，y随x的增大而增大，
当x时，y随x的增大而减小．
38．（1）将A（﹣1，2）代入y=x2﹣2（k﹣2）x+1得：2=1﹣2（k ﹣2）+1，
解得：k=2，
则抛物线解析式为y=x2+1；
（2）对于二次函数y=x2+1，a=1，b=0，c=1，
∴﹣=0，=1，
则顶点坐标（0，1）；对称轴为直线x=0（y轴）
39．（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，
把（0，1），（2，1），（3，4）代入得：，
解得：，∴y=x2﹣2x+1．
（2）设抛物线的解析式是：y=a（x+2）2+1，
把（1，﹣2）代入得：﹣2=a（1+2）2+1，
∴a=﹣，
∴y=﹣（x+2）2+1，即y=﹣x2﹣x ﹣．
40．（1）设函数的解析式是：y=a（x﹣3）2﹣2
根据题意得：9a﹣2=，解得：a=；
∴函数解析式是：y=﹣2；
（2）∵a=＞0 ∴二次函数开口向上
又∵二次函数的对称轴是x=3．
∴当x＞3时，y随x增大而增大．
41．（1）由题意知：抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）
设二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣3，由于抛物线过点（0，﹣2），则有：
a（0﹣1）2﹣3=﹣2，解得a=1；
因此抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2﹣3．
（2）∵a=1＞0，
∴故抛物线的开口向上；
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴（1，y2）为抛物线的顶点坐标，
∴y2最小．
由于（﹣2，y1）和（4，y1）关于对称轴对称，可以通过比较（4，y1）和（3，y3）来比较y1，y3的大小，由于在y轴的右侧是增函数，所以y1＞y3．
于是y2＜y3＜y1．
42．（1）由于二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，3）、（4，3），则，解得：，
∴此抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3．
函数图象如下：
（2）由函数图象可直接写出x2+bx+c＞3的解集为：x＜0或x＞4．43．二次函数可以变形为y=（x+m）2+2m﹣1，
抛物线的顶点坐标为（﹣m，2m﹣1）．
由，
消去m，得y=﹣2x﹣1．
所以这条直线的函数解析式为y=﹣2x﹣1
44．设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴，
解得，
直线AB的解析式为y=x+2，
令x=0，则y=2，
∴直线AB与y轴的交点坐标（0，2），
∵S△ABC=12，∴C（0，﹣4），
∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣2，1），B（2，3），且与y轴负半轴交于点C，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣4
45．∵直线y=kx+b过点A（2，0）和点B（1，1），
∴，
解得，
∴直线AB所表示的函数解析式为y=﹣x+2，
∵抛物线y=ax2过点B（1，1），
∴a×12=1，
解得a=1，
∴抛物线所表示的函数解析式为y=x2．
它们在同一坐标系中的图象如下所示：
46．（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点P（2，7）、Q（0，﹣5），
，解得b=4，c=﹣5．∴b、c的值是4，5；
（2）∵二次函数的图象与x轴交于A、B两点，（其中点A在点B 的左侧），
∴A（1，0），B（﹣5，0），
∴AB=6，
∵P点的坐标是：（2，7），
∴△PAB的面积=×6×7=21
47．（1）根据题意得，解得，
所以抛物线的解析式为y=﹣x﹣2；
（2）y=﹣x﹣2=（x ﹣）2﹣，
所以抛物线的对称轴为直线x=，顶点坐标为（，﹣）
48．∵二次函数的图象过A（0，4），
∴c=4，
∵对称轴为x=﹣1，
∴x=﹣=﹣2，解得b=4；
∴二次函数的表达式为y=x2+4x+4．
49．（1）∵关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣4，3），∴设该二次函数的关系式为：y=a（x+4）2+3（a≠0）；
又∵图象过点（ l，﹣2），
∴﹣2=a（1+4）2+3，解得，a=﹣；
∴设该二次函数的关系式为：y=﹣（x+4）2+3；
（2）由（1）知，该二次函数的关系式为：y=﹣（x+4）2+3，
∴a=﹣＜0，
∴该抛物线的方向向下；
∵关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣4，3），
∴对称轴方程为：x=﹣4．
50．（1）把A（﹣1，0）代入y1=﹣x+m得﹣（﹣1）+m=0，解得m=1，
把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）代入y2=ax2+bx﹣3得，解得．
故二次函数的解析式为y2=x2﹣﹣2x﹣3；
（2）因为C点坐标为（0，﹣3），B（2，﹣3），
所以BC⊥y轴，
所以S△ABC =×2×3=3．
51．（1）设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
把A（0，﹣4）和B（4，0），即对称轴x=1.5代入解析式得：
，
解得：
故y=x2﹣3x﹣4；
（2）∵A（0，﹣4），对称轴是x=1.5，
∴A′（3，﹣4）
52．∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣，），
二次函数y=ax2+bx+c中，c=3，图象的顶点坐标为（2，﹣1），
∴﹣=2，=﹣1，
解得a=1，b=﹣4，
∴二次函数的解析式y=x2﹣4x+3
53．∵二次函数y1=ax2+bx+c 与二次函数的图象的
形状一样，开口方向相同，
∴a=﹣2，
将点A（﹣1，4），B（﹣3，﹣8）代入y1=﹣2x2+bx+c，
得，
解得，
∴y1=﹣2x2﹣2x+4；
∵y1=﹣2x2﹣2x+4=﹣2（x2+x）+4=﹣2（x+）2+，
∴顶点坐标为（﹣，）．
故这个函数的解析式为y1=﹣2x2﹣2x+4，顶点坐标为（﹣，）．
54．（1）∵二次函数的图象与x轴的两交点的横坐标为1和﹣7，且经过点（﹣3，8），
∴两交点的横坐标为：（1，0），（﹣7，0），且经过点（﹣3，8），∴代入解析式：y=a（x﹣1）（x+7），
8=a（﹣3﹣1）×（﹣3+7），
解得：a=﹣，
∴y=﹣（x﹣1）（x+7）；
（2）∵将点A（﹣1，2）此函数的解析式，
∴左边=2，右边=﹣（﹣1﹣1）（﹣1+7）=6；
∴左边≠右边，
∴点A（﹣1，2）不在此函数的图象上．
55．（1）∵二次函数的对称轴为y轴，即x=0，
∴b=0，即二次函数解析式为y=ax2+c，
又二次函数的图象经过点（0，﹣9）、（1，﹣8），
∴，
解得：，
则二次函数的解析式为y=x2﹣9；
（2）由平移规律得：二次函数向右平移2个单位的解析式为：y=（x﹣2）2﹣9，即y=x2﹣4x﹣5，
令x=0，解得：y=﹣5，∴C（0，﹣5），即OC=5，
又平移后抛物线的顶点P的坐标为（2，9），即P的横坐标为2，则S△POC =OC?x P的横坐标=×5×2=5．
56．1）解：由题意得，
解得；
∴该抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x；（2）证明：过点B作BC⊥x轴于点C，则OC=BC=AC=2；
∴∠BOC=∠OBC=∠BAC=∠ABC=45°；
∴∠OBA=90°，OB=AB；
∴△OAB是等腰直角三角形；
57．（1）将A（﹣1，0）代入抛物线y=x2+bx﹣2得，
×（﹣1）2﹣b﹣2=0，
解得，b=﹣，
则函数解析式为y=x2﹣x﹣2．
配方得，y=（x ﹣）2﹣，
可见，顶点坐标为（，﹣）．
（2）将上述抛物线先向下平移3个单位，再向右平移2个单位，可得，
y=（x ﹣﹣2）2﹣﹣3
=（x ﹣）2﹣
=x2﹣x．
58．（1）把（2，0）、（0，﹣6）代入二次函数解析式，可得
，
解得，
故解析式是y=﹣x2+4x﹣6；
（2）∵对称轴x=﹣=4，
∴C点的坐标是（4，0），
∴AC=2，OB=6，AB=2，BC=2，
∴S△ABC =AC?OB=×2×6=6，
△ABC的周长=AC+AB+BC=2+2+2．
59．（1）A坐标是（﹣1，﹣1），B点的坐标是（3，﹣9），
代入y=ax2﹣4x+c 得：
解得：a=1，c=﹣6．
则二次函数表达式是：y=x2﹣4x﹣6
（2）y=x2﹣4x﹣6=（x﹣2）2﹣10，
因此对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣10）
60．（1）把A（2，2），B（5，2）分别代入y=x2+bx+c，
可得，
解得；
（2）由b=﹣7，c=12，知y=x2﹣7x+12
令y=0，得x2﹣7x+12=0，
∴x=3或x=4，
∴C（3，0）或C（4，0）；
（3）∵A（2，2）B（5，2）
∴AB=|2﹣5|=3，且△ABC的AB边上的高h=2，∴S△ABC=AB?h=×3×2=3
水尾中学中考专项训练（压轴题）答案 1．（四川模拟）如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝90°，AC ＝23，BC ＝1．以AC 为一边，在AC 的右侧作等边△ACD ，连接BD ，交⊙O 于点E ，连接AE ，求BD 和AE 的长． 解：过D 作DF ⊥BC ，交BC 的延长线于F ∵△ACD 是等边三角形 ∴AD ＝CD ＝AC ＝23，∠ACD ＝60° ∵∠ACB ＝90°，∴∠ACF ＝90° ∴∠DCF ＝30°，∴DF ＝ 1 2 CD ＝3，CF ＝3DF ＝3 ∴BF ＝BC ＋CF ＝1＋3＝4 ∴BD ＝ BF 2 ＋DF 2 ＝ 16＋3 ＝19 ∵AC ＝23，BC ＝1，∴AB ＝ AC 2 ＋BC 2 ＝ 13 ∵BE ＋DE ＝BD ，∴AB 2 －AE 2 ＋ AD 2 －AE 2 ＝BD 即 13－AE 2 ＋ 12－AE 2 ＝19 ∴13－AE 2 ＝19－ 12－AE 2 两边平方得：13－AE 2＝19＋12－AE 2－2 19(12－AE 2 ) 整理得：19(12－AE 2 ) ＝9，解得AE ＝ 7 19 57 2．（四川模拟）已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，D 为△ABC 外接圆⊙O 上 AC ︵ 的中点． （1）如图1，P 为 ABC ︵ 的中点，求证：PA ＋PC ＝3PD ； （2）如图2，P 为 ABC ︵ 上任意一点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （1）证明：连接AD ∵D 为AC ︵ 的中点，P 为 ABC ︵ 的中点 ∴PD 为⊙O 的直径，∴∠PAD ＝90° D D P 图1 图2
二次函数基础练习题 练习一 二次函数 1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到 小球滚动的距离s （米）与时间t （秒）的数据如下表： 写出用t 表示s 的函数关系式： 2、 下列函数：① 23 y x ；② 21y x x x ；③ 224y x x x ；④ 2 1 y x x ； ⑤ 1y x x ，其中是二次函数的是 ，其中a ，b ，c 3、当m 时，函数2235y m x x （m 为常数）是关于x 的二次函数 4、当____m 时，函数2221m m y m m x 是关于x 的二次函数 5、当____m 时，函数2564m m y m x +3x 是关于x 的二次函数 6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿.
7、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ） A 、一次函数关系 B 、正比例函数关系 C 、反比例函数关系 D 、二次函数关系 8、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子． (1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积． 9、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ， 那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式. ② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2. 10、已知二次函数),0(2≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1； 当x=2时，y=2，求该函数解析式. 11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围 成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平 面图是一排大小相等的长方形. （1） 如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2）与x 有怎 样的函数关系？ （2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如 何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧墙的长度是否会对猪舍
二次函数综合题训练题型集合 1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y+ =与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴y上. （1）求m的值及这个二次函数的关系式； （2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说 明理由. 2、如图2，已知二次函数24 y ax x c =-+的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离 E B A C P 图1 O x y D x y O 3 －9 －1 －1 A B 图2
P B A C O x y Q 图3 3、如图3，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C. （1） 求这条抛物线的函数关系式. （2） 两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S. ① 求S 与t 的函数关系式； ② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状； ③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由. 7、（07海南中考）如图7，直线43 4 +- =x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B . （1）求该二次函数的关系式； （2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒 2 3 个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C → A 的路线运动， 当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ?的面积为S . ①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由； ②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = . C A M y B O x C A M y B O x C A M y B O x
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b． （1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）； （2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式； （3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围． 【答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣1 2 ，﹣ 9 4 a）；（2） 27327 48 a a --；（3） 2≤t＜9 4 ． 【解析】 【分析】 （1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标； （2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可； （3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围． 【详解】 解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0）， ∴a+a+b=0，即b=-2a， ∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+1 2 ）2- 9 4 a ，
∴抛物线顶点D 的坐标为（- 1 2 ，-94a ）； （2）∵直线y=2x+m 经过点M （1，0）， ∴0=2×1+m ，解得m=-2， ∴y=2x-2， 则2 222y x y ax ax a -??+-? ＝＝， 得ax 2+（a-2）x-2a+2=0， ∴（x-1）（ax+2a-2）=0， 解得x=1或x= 2 a -2， ∴N 点坐标为（ 2a -2，4 a -6）， ∵a ＜b ，即a ＜-2a ， ∴a ＜0， 如图1，设抛物线对称轴交直线于点E ， ∵抛物线对称轴为122 a x a =-=-， ∴E （- 1 2 ，-3）， ∵M （1，0），N （ 2a -2，4 a -6）， 设△DMN 的面积为S ， ∴S=S △DEN +S △DEM = 12 |（ 2a -2）-1|?|-94a -（-3）|=274?3a ?278a ， （3）当a=-1时， 抛物线的解析式为：y=-x 2-x+2=-（x+ 12 ）2+94，
图6 x y F E H N M P D C B A O 二次函数和圆 【例题1】 (芜湖市) 已知圆P 的圆心在反比例函数k y x = (1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点． 且始终与y 轴相切于定点C (0，1)． (1) 求经过A 、B 、C 三点的二次 函数图象的解析式; (2) 若二次函数图象的顶点为 D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形． 【例题2】(湖南省韶关市) 25.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA=4，AB=2，直线3 2 y x =-+ 与坐标轴交于D 、E 。设M 是AB 的中点，P 是线段DE 上的动点. （1）求M 、D 两点的坐标； （2）当P 在什么位置时，PA=PB ？求出此时P 点的坐标； （3）过P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，当以PM 为直径的⊙F 与BC 相切于点N 时，求梯形PMBH 的面积.
【例题3】(甘肃省白银等7市新课程)28. 在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B． （1）求直线CB的解析式； （2）若抛物线y=ax2+b x+c的顶点在直线BC上，与x 轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式； （3）试判断点C是否在抛物线上？ （4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与 △AOC相似？直接写出两组这样的点． 【例题4】（绵阳市）25.如图，已知抛物线y = ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E． （1）求m的值及抛物线的解析式； （2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin（α－β）的值； （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【例题5】（南充市）25.如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、
第05练 二次函数与幂函数 刷基础 1．（2020·贵溪市实验中学高二期末）已知函数( ) 2 53 ()1m f x m m x --=--是幂函数且是(0,)+∞上的增函数， 则m 的值为( ) A ．2 B ．－1 C ．－1或2 D ．0 【答案】B 【解析】 由题意得2 11,530,1m m m m --=-->∴=-， 故选：B. 2．（2020·浙江高一课时练习）如图，函数1y x = 、y x =、1y =的图象和直线1x =将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．若幂函数 的图象经过的部分是④⑧，则 可能是（ ） A ．y ＝x 2 B ．y x = C ．12 y x = D ．y=x -2 【答案】B 【解析】 由图象知，幂函数()f x 的性质为： （1）函数()f x 的定义域为()0+∞， ； （2）当01x <<时，()1f x >，且()1f x x <；当1x >时，01x <<，且()1 f x x >； 所以()f x 可能是y x = .故选B.
3．（2019·河南高三月考）若e a =π，3e b =，3c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．c a b << D ．b c a << 【答案】A 【解析】 因为3x y =在R 上为增函数，所以33e π<，即b c <. 因为e y x =在(0,)+∞为增函数，所以3e e π>，即a b >. 设ln ()x f x x = ， 2 1ln ()x f x x -'= ，令()0f x '=，x e =. (0,)x e ∈，()0f x '>，()f x 为增函数， (,)x e ∈+∞，()0f x '<，()f x 为减函数. 则()(3)f f π<，即 ln ln 3 3 π π < ，因此3ln ln3ππ<， 即3ln ln 3ππ<，33ππ<.又33e πππ<<，所以a c <. 所以b a c <<. 故选：A 4．（2020·全国高一专题练习）下列关系中正确的是（ ） A ．2213 3 3 111252??????<< ? ? ? ?????? B ．122333 111225??????<< ? ? ? ?????? C ．212333 111522??????<< ? ? ? ?????? D ．221333 111522??????<< ? ? ? ?????? 【答案】D 【解析】 因为12x y ??= ???是单调递减函数，1233<，所以12 331122????> ? ????? ， 因为幂函数23y x =在()0,∞+上递增，11 52 <； 所以223 3 1152????< ? ? ???? ，
二次函数题 选择题： 1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（ ） A -1 B 2 C -1或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是（ ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（ ） A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2 C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2—2 5、抛物线y= 2 1 x 2 -6x+24的顶点坐标是（ ） A （—6，—6） B （—6，6） C （6，6） D （6，—6） 6、已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）个 ①abc 〈０ ②a ＋c 〈b ③ a+b+c 〉０ ④ ２c 〈３b A １ B ２ C ３ D ４ 7、函数y=ax 2-bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0），则 c b a + =c a b + =b a c + 的值是（ ） A -1 B 1 C 21 D -2 1 8、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ） A B C D 二填空题： 13、无论m 为任何实数，总在抛物线y=x 2＋2mx ＋m 上的点的坐标是————————————。 16、若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝２，最小值为－２，则关于方程ax 2+bx+c ＝－２的根为————————————。 17、抛物线y=（k+1）x 2+k 2-9开口向下，且经过原点，则k ＝————————— 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y=x 2 +bx+c ，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）． （1）求此二次函数的解析式． （2）设该图象与x 轴交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△EBC 的面积最大，并求出最大面积． 1 —1 0 x y y x -1 x y y x y x y
二次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图，ABC ?为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意． 【详解】 根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意； 点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值， ∴选项B 符合题意，选项A 不合题意． 故选B ． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题． 2．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ） A ．0＜t ＜5 B ．﹣4≤t ＜5 C ．﹣4≤t ＜0 D ．t ≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函
数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解； 【详解】 解：∵对称轴为直线x ＝2， ∴b ＝﹣4， ∴y ＝x 2﹣4x ， 关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4， ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5， ∴﹣4≤t ＜5； 故选：B ． 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键． 3．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】 解：设原数为m ，则新数为2 1100 m ， 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，2 1100 m m - +＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．
题型04 二次函数的实际应用题 一、单选题 1．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC 构成，长方形的长OA 是12m ，宽OC 是4m ．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y =﹣ 16 x 2 +bx +c 表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ．那么两排灯的水平距离最小是( ) A ．2m B ．4m C ． D ．【答案】D 【分析】根据长方形的长OA 是12m ，宽OC 是4m ，可得顶点的横坐标和点C 的坐标，即可求出抛物线解析式，再把y ＝8代入解析式即可得结论． 【详解】根据题意，得 OA =12，OC =4． 所以抛物线的顶点横坐标为6， 即﹣2b a =13 b =6，∴b =2． ∵C （0，4），∴c =4， 所以抛物线解析式为： y =﹣ 16 x 2 +2x +4 =﹣ 16 （x ﹣6）2 +10 当y =8时， 8=﹣ 1 6 （x ﹣6）2+10， 解得：x 1 x 2=6﹣ 则x 1﹣x 2 ． 所以两排灯的水平距离最小是 43．
故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决． 2．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x 与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（） A．33°B．36°C．42°D．49° 【答案】C 【分析】据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可知，物线开口向上， 该函数的对称轴x＞1854 2 且x＜54， ∴36＜x＜54， 即对称轴位于直线x＝36与直线x＝54之间且靠近直线x＝36， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（）
圆与二次函数综合题 1、已知：二次函数y=x2-kx+k+4的图象与y轴交于点c，且与x轴的正半轴交于A、B两点（点A 在点B左侧）。若A、B两点的横坐标为整数。 （1）确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标；（2）若点D的坐标是(0,6），点P（t,0)是线段AB上的一个动点，它可与点A重合，但不与点B重合。设四边形PBCD的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）若点P与点A重合，得到四边形ABCD，以四边形ABCD的一边为边，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积，并注明三角形高线的长。再利用“等底等高的三角形面积相等”的知识，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积（画示意图，不写计算和证明过程）。 2、（1）已知：关于x、y的方程组有两个实数解，求m的取值范围； (2）在（1）的条件下，若抛物线y=-(m-1)x2+(m-5)x+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积等于12，确定此抛物线及直线y=(m+1)x-2的解析式； （3）你能将（2）中所得的抛物线平移，使其顶点在（2）中所得的直线上吗？请写出一种平移方法。 3、已知：二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3，其中m为实数。 （1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图像与x轴必有两个交点；（2）设这个二次函数的图像与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),且x1、x2的倒数和为,求这个二次函数的解析式。 4、已知二次函数y1=x2-2x-3. (1)结合函数y1的图像，确定当x取什么值时，y1>0,y1=0,y1<0; (2)根据（1）的结论，确定函数y2= (|y1|-y1)关于x的解析式； （3）若一次函数y=kx+b(k 0)的图像与函数y2的图像交于三个不同的点，试确定实数k与b应满足的条件。 5、已知：如图，直线y= x+ 与x轴、y轴分别交于A、B两点，⊙M经过原点O及A、B两点。 （1）求以OA、OB两线段长为根的一元二次方程； （2）C是⊙M上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD=∠CBO, 写出经过O、C、A三点的二次函数的解析式； （3）若延长BC到E，使DE=2,连结EA，试判断直线EA与 ⊙M的位置关系，并说明理由。（河南省） 6、如图，已知点A（tan ,0）B(tan ,0)在x轴正半轴上，点A在点B的左 边，、是以线段AB为斜边、顶点C在x轴上方的Rt△ABC的两个锐角。 （1）若二次函数y=-x2- 5/2kx+(2+2k-k2)的图像经过A、B两点，求它的解析式； （2）点C在（1）中求出的二次函数的图像上吗？请说明理由。（陕西省）
二次函数综合问题例谈 二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了. 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题. 1. 代数推理 由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质. 1.1 二次函数的一般式c bx ax y ++=2 )0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数. 例1 已知f x ax bx ()=+2 ，满足1≤-≤f ()12且214≤≤f ()，求f ()-2的取值范围. 分析：本题中，所给条件并不足以确定参数b a ,的值，但应该注意到：所要求的结论不是()2-f 的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1≤-≤f ()12和 4)1(2≤≤f 当成两个独立条件，先用()1-f 和()1f 来表示b a ,. 解：由()b a f +=1，()b a f -=-1可解得： ))1()1((2 1 )),1()1((21--=-+= f f b f f a （*） 将以上二式代入f x ax bx ()=+2 ，并整理得 ()()??? ? ??--+???? ??+=2)1(2122x x f x x f x f , ∴ ()()()1312-+=f f f . 又∵214≤≤f ()，2)1(1≤-≤f , ∴ ()1025≤≤f .
二次函数试题 论：①抛物线y lx21 是由抛物线y-x2怎样移动得到的22 ②抛物线y2(x 2 1）是由抛物线y 1 x2 2 :怎样移动得到的 ③抛物线y[(x1)21是由抛物线y 1 2 x21怎样移动得到的 22 ④抛物线 y ](x1)21是由抛物线 y 1 2 （x 1）2怎样移动得到22 ⑤抛物线y2(x1)21是由抛物线y 1 2 -x2怎样移动得到的 22 选择题：1、y=（m-2）x m2- m是关于x的二次函数，贝U m=（） A -1 B 2 C -1 或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2+bx+c（a丰0）模型的是（） 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 我国人中自然增长率为1%这样我国总人口数随年份变化的关系 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x2,则抛物线的解析式是（ A y= —( x-2 ) 2+2 B y= —(x+2 )2+2 C y= (x+2 ) 2+2 D y= —( x-2 1 2 5、抛物线y= x -6x+24 2 的顶点坐标是（ A (—6,—6) B(—6, 6) C(6,6) D (6，—6) 6、已知函数y=ax2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有 ①abc〈0 ②a+ c〈 b ③ a+b+c > 7、函数y=ax2-bx+c (a丰 0) 的图象过点（ A -1 B 1 C - 的值是 b 1 ）个 -1 ,
填空题: 13、无论m为任何实数，总在抛物线y=x2+ 2mx+ m上的点的坐标是------------ 。 16、若抛物线y=ax2+bx+c（0）的对称轴为直线x =2,最小值为—2,则关于方程ax2+bx+c =-2的根为一 17、抛物线y= （k+1）x2+k2-9开口向下，且经过原点，则k= ---------------- 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y==x2+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点 4 （1）求此二次函数的解析式. （2）设该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点并求出最大面积. 2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A B两点（A在B的左侧），与y轴 9 交于点C （0，4），顶点为（1，2）? （1）求抛物线的函数表达式； （2）设抛物线的对称轴与轴交于点D,试在对称轴上找出点卩，使厶CDP为等腰三角形，请直接写岀满足条件的所有点P的坐标. （3）若点E是线段AB上的一个动点（与A B不重合），分另U连接AC BC过点E作EF // AC交线段BC于点F，连接CE记厶CEF的面积为S S是否存在最大值若存在，求出 存在，请说明理由. 4 2 3、如图，一次函数y=—4x—4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y= + bx+ c的图象经过A C两点，且与x轴交于点B （1）求抛物线的函数表达式；己，使厶EBC的面积最大, （第2题图） S的最大值及此时E点的坐标；若不
二次函数与圆综合提高（压轴题） 1、如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点， 且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图 形L． （1）求△ABC的面积； （2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式； （3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．解 解：（1）如图3，作AH⊥BC于H， 答： ∴∠AHB=90°． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=3． ∵∠AHB=90°， ∴BH=BC= 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AH=． ∴S△ABC==； （2）如图1，当0＜x≤1.5时，y=S△ADE． 作AG⊥DE于G， ∴∠AGD=90°，∠DAG=30°， ∴DG=x，AG=x， ∴y==x2， ∵a=＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴x=1.5时，y 最大=， 如图2，当1.5＜x＜3时，作MG⊥DE于G， ∵AD=x， ∴BD=DM=3﹣x， ∴DG=（3﹣x），MF=MN=2x﹣3， ∴MG=（3﹣x）， ∴y=， =﹣； （3），如图4，∵y=﹣； ∴y=﹣（x2﹣4x）﹣， y=﹣（x﹣2）2+， ∵a=﹣＜0，开口向下， ∴x=2时，y最大=， ∵＞， ∴y最大时，x=2， ∴DE=2，BD=DM=1．作FO⊥DE于O，连接MO，ME．∴DO=OE=1， ∴DM=DO． ∵∠MDO=60°， ∴△MDO是等边三角形， ∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1． ∴MO=OE，∠MOE=120°，
∴∠OME=30°， ∴∠DME=90°， ∴DE是直径， S⊙O=π×12=π． 2、（2013?压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4）， 点B的坐标为（4， 0），点C的坐标为 （﹣4，0），点P在 射线AB上运动，连 结CP与y轴交于点 D，连结BD．过P， D，B三点作⊙Q与 y轴的另一个交点 为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF． （1）求直线AB的函数解析式； （2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时． ①求证：∠BDE=∠ADP； ②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式； （3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由． 解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4， 代入（4，0）得：4k+4=0， 解得：k=﹣1， 则直线AB的函数解析式为y=﹣x+4； （2）①由已知得： OB=OC，∠BOD=∠COD=90°， 又∵OD=OD， ∴△BOD≌△COD，
高考数学复习二次函数测试题 1．解析式、待定系数法 若()2 f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值． 变式1：若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为 (0,11)，则 A ．1,4,11a b c ==-=- B ．3,12,11a b c === C ．3,6,11a b c ==-= D ．3,12,11a b c ==-= 变式2：若()()2 23,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x =1对称，则c =_______． 变式3：若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、 ()2,0B x ，且2212269 x x += ，试问该二次函数的图像由()()2 31f x x =--的图像向上平移几个单位得到？ 2．图像特征 将函数()2 361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值 或最小值，并画出它的图像． 变式1：已知二次函数()2 f x ax bx c =++，如果()()12f x f x =(其中12x x ≠)，则 122x x f +??= ??? A ．2b a - B ．b a - C ． c D ．244ac b a - 变式2：函数()2 f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、 ()1f 的大小关系是 A ．()()()110f f f <-< B ．()()()011f f f <-< C ．()()()101f f f <<- D ．()()()101f f f -<< 变式3：已知函数()2 f x ax bx c =++的图像如右图所示， 请至少写出三个与系数a 、b 、c 有关的正确命题_________． 3．单调性 x y O
二次函数综合题训练 一、综合题（共24题；共305分） 1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为，该图象与轴相交于点、，与轴相交于点，其中点的横坐标为1． （1）求该二次函数的表达式； （2）求． 2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）． （1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围； （2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移(n＋6)个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n 的值． 3.已知抛物线y＝2x2-4x＋c与x轴有两个不同的交点. （1）求c的取值范围； （2）若抛物线y＝2x2-4x＋c经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m与n的大小，并说明理由. 4.如图，已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2，3）. （1）求a的值和图象的顶点坐标。 （2）点Q（m，n)在该二次函数图象上. ①当m=2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围. 5.若二次函数图象的顶点在一次函数的图象上，则称 为的伴随函数，如：是的伴随函数. （1）若是的伴随函数，求直线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数的伴随函数与轴两个交点间的距离为4，求，的值. 6.已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点. （1）求k的值： （2）若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标. 7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点． （1）求拋物线的解析式； （2）过点作直线轴，点在直线上且，直接写出点的坐标．8.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． （1）求点B的坐标（用含的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 9.如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过点 ，与轴另一交点为，顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）在轴上找一点，使的值最小，求的最小值；
秒杀二次函数综合问题(高考专题) 二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了. 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题. 1. 代数推理 由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质. 1.1 二次函数的一般式c bx ax y ++=2 )0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数. 例1 已知，满足1 且 ，求 的取值 范围. 分析：本题中，所给条件并不足以确定参数b a ,的值，但应该注意到：所要求的结论不是()2-f 的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1 和 4)1(2≤≤f 当成两个独立条件，先用()1-f 和()1f 来表示b a ,. 解：由()b a f +=1，()b a f -=-1可解得： ))1()1((2 1 )),1()1((21--=-+= f f b f f a （*） 将以上二式代入 ，并整理得 ()()??? ? ??--+???? ??+=2)1(2122x x f x x f x f , ∴ ()()()1312-+=f f f . 又∵ ，2)1(1≤-≤f , ∴ ()1025≤≤f . 例2 设 ，若 ，，, 试证
二次函数综合题训练题 1、如图1,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y x m与该二次函数的图象交 于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4) ，B点在轴y上. (1 )求m的值及这个二次函数的关系式； (2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合)，过P作x轴的垂线与这个二次 函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关 系式，并写出自变量x的取值范围； (3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说 明理由? 2、如图3,已知抛物线y ax2 bx c经过0(0,0) , A(4,0),B(3, 3)三点，连结AB,过 点B作BC// x轴交该抛物线于点 C. (1) 求这条抛物线的函数关系式? (2) 两个动点P、Q分别从O A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动.其中，点P沿着线段0A向A点运动，点Q沿着折线A T B T C的路线向C点运动.设这两个动点运动的时间为t (秒)(0 V t V 4) , △ PQA的面积记为S. ①求S与t的函数关系式； ②当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA的形状； ③是否存在这样的t值，使得△ PQA是直角三角形？若存在，请直接写出此时P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由
图3
4 3、如图7,直线y —x 4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过 3 点A、C和点B 1,0 .（1）求该二次函数的关系式； （2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积； 3 （3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC 2 按O T A T C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O T C A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动?设D、E同时从点O出发t秒时，ODE的面积为S . ①请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE // OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在， 请说明理由； ②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； 4、如图5,已知抛物线y a x2 b x c的顶点坐标为E（ 1,0 ），与y轴的交点坐标为（0,1 ）. （1）求该抛物线的函数关系式? （2）A、B是x轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4, A在B的左边，过A作ADL x轴交抛物线于D,过B作BC L x轴交抛物线于 C.设A点的坐标为（t,0 ）,四边形ABCD 的面积为S. ①求S与t之间的函数关系式■ ②求四边形ABCD勺最小面积，此时四边形ABCD是什么四边形？ ③当四边形ABCD面积最小时，在对角线BD上是否存在这样的点P,使得△ PAE的周 长最小，若存在，请求出点P的坐标及这时△ PAE的周长；若不存在，说明理由. A O E B x 图5