专题：求抽象函数的解析式(必修一)

专题：求抽象函数的解析式 求函数的解析式的主要方法有：

1) 凑配法（直接变换法）

如：f （x-1）=x+1，求f （x ）的解析式.

1． 已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.

2． 已知f(x+1)=x 2

-3x +2, 求f(x)的解析式.

3． 已知221)1(x x x x f +=-, 求)(x f 的解析式.

2.换元法

如：f （1+x ）=x+2x ，求f （x ）。

4：已知2111()x x f x x x

++=+，求()f x

5：已知21)f x =+，求()f x

3.待定系数法：

已知f(x)=a x 2+b x +c,若f(0)=0，且f(x+1)= f(x)+x+1,求f(x)

6.若一次函数()f x 满足：[()]41f f x x =-，求()f x

7.若一次函数()f x 满足：{[()]}87f f f x x =+，求()f x

8.已知二次函数()f x 满足：2(1)(1)24f x f x x x ++-=-求()f x

4.构造方程组

如：()f x 满足：()2()32f x f x x --=+，求()f x

9. ()f x 满足：12()()1f x f x x

-=+求()f x 10. 设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式

x x

f x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式.

5.特殊值法：

如：设f （x ）是R 上的函数，f （0）=1，并且对任意实数x 、y 有 f （x-y ）=f （x ）-y （2x-y+1），求f （x ）。

11.设)(x f 是定义在*N 上的函数,若1)1(=f ,且对任意的x,y 都有：xy y x f y f x f -+=+)()()(, 求)(x f .

高中数学函数的解析式和抽象函数定义域练习题

高中数学函数的解析式和抽象函数定义域练习题 1、分段函数已知???>-≤+=) 0(2)0(1)(2x x x x x f 则 （1）若=)(x f 10，则x= ；（2）)(x f 的值域为 _____. 2、画出下列函数的图象（请使用直尺） (1) Z x x y ∈-=,22且 2≤x (2) x x y -=2 3、动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ， 试写出线段AP 的长度y 与P 点的行路程x 之间的函数关系式。 4、根据下列条件分别求出函数)(x f 的解析式 观察法(1)221)1(x x x x f +=+ 方程组法x x f x f 3)1(2)()2(=+ 换元法（3）13)2(2++=-x x x f D P C P A P B

待定系数法 （4）已知()x f 是一次函数，且满足()()1721213+=--+x x f x f ,求()x f 。 （复合函数的解析式）---代入法 （5）已知1)(2-=x x f ，1)(+=x x g ，求)]([x g f ]和)]([x f g 的解析式。 5、抽象函数的定义域的求解 1、若函数)(x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(-x f 的定义域为 。 2、若函数)1(2-x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(+x f 的定义域为 。 练习：1、若x x x f 2)1(+=+,求)(x f 。 2、函数)(x f 满足条件10)()(+-=x xf x f ，求)(x f 的解析式。 3、已知)(x f 是二次函数，且满足()10=f ,()()x x f x f 21=-+，求()x f 的表达式。 4、若()32+=x x f ，)()2(x f x g =+，求函数)(x g 的解析式 5、已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ；

求抽象函数解析式的几种方法及适用范围

求抽象函数解析式的几种方法及适用范围 Last revised by LE LE in 2021

求函数的解析式的几种方法 一： 方法名称：配凑法 适用范围：已知f(g(x))的解析式,求f(h(x))的解析式 方法步骤：1把f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含有 g(x)的形式 2再把g(x)用h(x)代替 例： 的解析式。 已知求的解析式。 已知f(x+1)=x-3,求f(x)的解析式。 已知，求的解析式。 二： 方法名称：换元法 适用范围：已知f(g(x))的解析式,求f(h(x))的解析式 方法步骤：1先把形如f(g(x))内的g(x)设为t（换元后要确定新元t的取值范围） 2在用一个只含有t的式子把x表示出来 3然后把这个式子在解析式的右端的x中，使右边只含有t 4再把t用h(x)代替。 例题： 已知求的解析式。 已知f（）=x2+5x,则f(x)的解析式。 三 方法名称：待定系数法 适用范围：已知对应法则f(x)的函数模型（如一次函数，二次函数等）

方法步骤：1先设出函数解析式（如f（x）=ax+b） 2把解析式的左端用这个函数模型表示出来 4求出函数模型的系数 例： 四 方法名称：方程组法 适用范围：一般等号左边有两个抽象函数（如f(x),f(-x)）。等号右边也含有变量x。 方法步骤：将左边的两个抽象函数看成两个变量。变换变量构造一个方程，与原方程组成一个方程组，利用消元法求f（x）的解析式 例: 设f(x)满足关系式,求函数的解析式. 五： 方法名称：赋值法 适用范围：一般包含一句话“对任意实数满足” 方法步骤：一般的，已知一个关于x,y的抽象函数，利用特殊值去掉一个未知数x或者y，得出关于x或者y的解析式。 例：

抽象函数经典综合题33例(含详细解答)

抽象函数经典综合题33例（含详细解答） 抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答） 1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1； （2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2 )>1，求x 的取值范围。 解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2 ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴) (1 )(x f x f = - 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0 (3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数 （4）f(x)·f(2x-x 2 )=f[x+(2x-x 2 )]=f(-x 2 +3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增 ∴由f(3x-x 2 )>f(0)得：3x-x 2 >0 ∴ 0

抽象函数的性质问题解析

抽象函数的性质问题解析 抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。 1、 定义域：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。 材料一：若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=x f y 的定义域。 解析：由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21(+=x f y 而言，有1124x -≤+<，解之得：),21(]31,(+∞--∞∈ x 。 所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞ 总结：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1+x 与21+x 的范围等同。 2、 值域：解决抽象函数的值域问题——定义域、对应法则决定。 材料二：若函数)1(+=x f y 的值域为]1,1[-，求函数)23(+=x f y 的值域。 解析：函数)23(+=x f y 中定义域与对应法则与函数)1(+=x f y 的定义域与对应法则完全相同，故函数)23(+=x f y 的值域也为]1,1[-。 总结：当函数的定义域与对应法则不变时，函数的值域也不会改变。 3、 对称性：解决抽象函数的对称问题——定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。 材料三：设函数)(x f y =定义在实数集上，则函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于（ ） A 、直线0=y 对称 B 直线0=x 对称 C 直线1=y 对称 D 直线1=x 对称 解法一（定义证明）：设点),(00y x P 是函数)1(-=x f y 的图象上的任意一点，则)1(00-=x f y ，),(00y x P 关于直线m x =的对称点为),2(00/y x m P -，要使点),2(00/y x m P -在函数)1(x f y -=的图象上，则)21()]2(1[000m x f x m f y -+=--=，应有121-=-m ，故1=m ， 所以函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于直线1=x 对称。 解法二（图象变换法）：由函数)(x f y =的图象向右平移1个单位得到函数)1(-=x f y 的

抽象函数常见解法及意义总结

含有函数记号“ ()f x ”有关问题解法 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号 ()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地 掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出 ()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生 的灵活性及变形能力。 例1：已知 ( )211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴ 2()1x f x x -= - 2.凑合法：在已知 (())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁， 还能进一步复习代换法。 例2：已知 33 11()f x x x x +=+，求 ()f x 解：∵ 22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11 ||||1|| x x x x +=+≥ ∴ 23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设 ()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22 222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4 1321 ,1,2222 a c a a b c b +=??=?===??=? ∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解:∵ ()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-, ∵ ()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0()lg(1),0 x x f x x x +≥?=?--

抽象函数是指函数的三种表示法(经典)

抽象函数是指函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法均未给出，只给出函数记号f(x)的一类函数.这类函数解决起来较抽象，但却能有效地反映学生对知识的掌握、理解、应用及迁移的能力，对培养、提高学生的发散思维和创造思维等能力有很好的促进作用。因此，这类问题在高中数学的各类考试中经常出现。下面谈谈这类问题常见的几种解法： 一、赋值法 先以特殊值作尝试，在探索中发现题中条件遵循某些规律或特点,从而使问题得以解决。这类问题经常出现,要认真理解其解题的要领和方法。 例1设函数f(x)的定义域为自然数集，若f(x+y) = f(x)+f(y)+x 对任意自然数x,y恒成立，且f(1) = 1，求f(x)的解析式。 分析:当令y=1时,可得f(x＋1)=f(x)＋x＋1,这相似于数列中的递推关系,再利用相应的递推关系可求出函数的解析式。 解：令y = 1, 则f(x+1) = f(x)+f(1)+x = f(x)+x+1， ∴ f(1) = 1 f(2)= f(1) +2 f(3) = f(2) +3 … f(n) = f(n－1) +n 各式相加得：f(n) = 1+2+3+…+n = ∴ f(x) = 例2已知函数f(x)满足f(x+y)＋f(x－y) = 2 f(x) · f(y)，x∈R, y∈R,且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数。 分析: 当令 x=y=0时,可得f(0)=1,再利用题中条件变形求解。 证明：令x = y = 0 ∴ f(0) +f(0) = 2f 2 (0) ∵ f(0) ≠ 0, ∴ f(0) = 1 令 x = 0 , 则 f(y) + f(－y) = 2f(0) · f(y) ∴ f(－y) = f(y), ∵ y∈R, ∴ f(x)是偶函数 例3 已知函数f(x)的定义域为(0 , + ∞ )，对任意x > 0, y> 0 恒有f(xy) = f(x) + f(y) 求证：当x > 0时, f( ) = －f(x) 分析:当令x=y=1时,可得f(1)=0,再灵活运用f(1)=f(x·)可求得。 证明：令x = y = 1，则f(1) = f(1) + f(1)，∴ f(1) = 0 又令y = ，x > 0，则 f(1) = f(x) + f( ) ∴ f(x) + f( ) = 0 即f( ) = －f(x) 二定义法 在熟练掌握函数的定义、性质的基础上，对题中抽象函数给出的条件进行分析研究，运用定义、性质进行化简、变形，寻找解决问题的方法。 例4函数f(2x)的定义域是[－1,1],则f(x)定义域为 x)定义域为___________ f(log 2

求抽象函数表达式常见五种方法

求抽象函数表达式常见五种方法 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法 解培养学生的灵活性及变形能力。 例1：已知 ()211 x f x x =++,求()f x . 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。 例2：已知3311()f x x x x +=+，求()f x 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知 ()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 例5．一已知 ()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x =-， 求()f x ,()g x . 5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式 例6：设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x

参考答案： 例1：解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x -=- 例2：解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11 ||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 例3．解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4 1321,1,22 22a c a a b c b +=??=?===??=?∴ 21 3 ()22f x x x =++ 例4.解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-, ∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0()lg(1),0 x x f x x x +≥?=?--

高中数学函数的解析式和抽象函数定义域练习题

1、分段函数已知???>-≤+=) 0(2)0(1)(2x x x x x f 则 （1）若=)(x f 10，则x= ；（2）)(x f 的值域为 _____. 2、画出下列函数的图象（请使用直尺） (1) Z x x y ∈-=,22且 2≤x (2) x x y -=2 3、动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ， 试写出线段AP 的长度y 与P 点的行路程x 之间的函数关系式。 4、根据下列条件分别求出函数)(x f 的解析式 观察法(1)221)1(x x x x f +=+ 方程组法x x f x f 3)1(2)()2(=+ D P C P A P B

换元法（3）13)2(2++=-x x x f 待定系数法 （4）已知()x f 是一次函数，且满足()()1721213+=--+x x f x f ,求()x f 。 （复合函数的解析式）---代入法 （5）已知1)(2-=x x f ，1)(+=x x g ，求)]([x g f ]和)]([x f g 的解析式。 5、抽象函数的定义域的求解 1、若函数)(x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(-x f 的定义域为 。 2、若函数)1(2-x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(+x f 的定义域为 。 练习：1、若x x x f 2)1(+=+,求)(x f 。 2、函数)(x f 满足条件10)()(+-=x xf x f ，求)(x f 的解析式。 3、已知)(x f 是二次函数，且满足()10=f ,()()x x f x f 21=-+，求()x f 的表达式。 4、若()32+=x x f ，)()2(x f x g =+，求函数)(x g 的解析式 5、已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ；

高中数学抽象函数专题含答案-教师版

抽象函数周期性的探究（教师版） 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.而在教学中我发现同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难,所以特探究一下抽象函数的周期性问题. 利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法.此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决问题.以下给出几个命题：命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. （1）函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （2）函数y=f(x)满足f(x+a)= 1 () f x ，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （3）函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. : 命题2：若a、b(a b )是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. (1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期. (2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期. 命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. （1）若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （2）若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期. 【 我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3（1），其他命题的证明基本类似. 设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数. 条件B: f(x)关于x=a对称 条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期. 结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 证明: ①已知A、B→ C （2001年全国高考第22题第二问） ∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x) 又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a) ) ∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期

赋值法解答抽象函数的赋值

赋值法解答抽象函数问题的赋值技巧与策略 函数是高中数学的重要内容，也是高考的热点.对于没有明确给出具体表达式的函数，称之为抽象函数.解答抽象函数问题的方法较多，其中用赋值法进行解答就是一种行之有效的方法.赋值主要从以下方面考虑：①令x=…、﹣2、﹣1、0、1、2…等特殊值求抽象函数的函数值；②令x=x 2，y=x 1或y=1 x 1，且x 10、y>0时，恒有f(xy)=f(x)+f(y). (1)求证：当x>0时，f(1 x )=﹣f(x)；(2)若x>1时恒有f(x)<0，求证：f(x)必有反函数； 解析：(1)在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x=y=1，得f(1)=0，又令y=1x ，得f(x)+f(1x )=f(x ·1 x )= f(1)=0， ∴当x>0时，f(1 x )=﹣f(x)； (2)设x 1>0、x 2>0且x 11，∴f(x 2x 1)<0，又在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x= x 2，y=1 x 1 ， ∴f(x 2·1x 1)=f(x 2)+f(1x 1).由(1)得，f(1x 1)=﹣f(x 1)，∴f(x 2 x 1 )=f(x 2)﹣f(x 1) <0，∴f(x 2)0时，f(x)>0.试判

高中数学专题：抽象函数常见题型解法

抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。 一、定义域问题 例1. 已知函数 )(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。 例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21 [，-，求函数)] 3([log 2 1x f -的定义域。 二、求值问题 例 3. 已知定义域为+ R 的函数f （x ），同时满足下列条件：① 51 )6(1)2(= =f f ，；② )()()(y f x f y x f +=?，求f （3），f （9）的值。 三、值域问题 例4. 设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。 解：令0==y x ，得2 )]0([)0(f f =，即有0)0(=f 或1)0(=f 。 若0)0(=f ，则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ，对任意R x ∈均成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故0)0(≠f ，必有1)0(=f 。 由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立，因此，对任意R x ∈，有 )]2([)2()2()22()(2≥==+=x f x f x f x x f x f 下面来证明，对任意0)(≠∈x f R x ， 设存在 R x ∈0，使得0)(0=x f ，则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾，因此，对任意0)(≠∈x f R x ， 所以0)(>x f 评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。 四、解析式问题

抽象函数定义域、值域、解析式

抽象函数的定义域 1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中 b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。 例1已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 分析：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．本题该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知 15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围． 解： ()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，410 33 x ∴≤≤． 故函数(35)f x -的定义域为41033 ?????? ，． 例2已知函数2 (22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 分析：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为 ()f x 的定义域．这种情况下，()f x 的定义域即为复合函数[]()f g x 的内函数的值域。 本题中令2 22u x x =-+，则2 (22)()f x x f u -+=， 由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域．

抽象函数的导数问题(教师)

抽象函数的导数问题 所谓抽象函数，即函数解析式未知的函数，这几年很流行抽象函数与导数结合的问题，此类问题一般有两种方法： （1） 根据条件设法确定函数的单调性； （2） 要根据题目给定的代数形式，构造函数，确定单调性，而构造什么样的函数，一方 面要和已知条件含有()f x '的式子特征紧密相关，这要求我们必须非常熟悉两个函数的和、差、积、商的求导公式；另外一方面，由于此类问题往往是选填题，问题的结构往往有一定的暗示，所以务必要结和问题的结构，构造适合的抽象函数 【求导的四则运算】 法则1 [()()]''()'()f x g x f x g x ±=±. 法则2 [()()]''()()'()()f x g x f x g x g x f x =+g . 法则32()'()()()'() [ ]()() f x f x g x f x g x g x g x -'=. 例1、（2006江西卷）对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足(1)'()0x f x -≥，则必有（ ） A.(0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C.(0)(2)2(1)f f f +≥ D .(0)(2)2(1)f f f +> 分析：这个题目的条件(1)'()0x f x -≥，实际上不能构造函数，它其实是告诉我们这个函数的单调性，具体来说： 由(1)'()0x f x -≥得： （1）10x -≥且'()0f x ≥，于是在(1,)+∞上()f x 单调递增； （2）10x -≤且'()0f x ≤，于是(,1)-∞上()f x 单调递减； 综上可知的最小值为(1)f ，(0)(1)f f ≥，(2)(1)f f ≥，得(0)(2)2(1)f f f +≥，选C 【典型构造】 若条件是'()()'()()0f x g x g x f x +≥，可构造()()()F x f x g x =，则()F x 单调递增； 若条件是'()()0f x f x +≥，可构造()()x F x e f x =，则()F x 单调递增； 若条件是'()()0xf x f x +≥，可构造()()F x xf x =，则()F x 单调递增； 若 条 件 是 '()()0 xf x nf x +≥，可构造 () (n F x x f x =，则

抽象函数常见题型解法

如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载! 抽象函数常见题型解法 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类 函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。常见的特殊模型: 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) [或) y (f )x (f )y x (f =] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y (f )x (f )y x (f = -或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=cotx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 目录：一、定义域问题 二、求值问题 三、值域问题 四、解析式问题 五、单调性问题 六、奇偶性问题 七、周期性与对称性问题 八、综合问题 一、定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。 解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。 评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解内函数()x ?的不等式问题。 练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()? ?? ? ??-x f 3log 21 的定义域。 例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。[] 11log ,13

高中数学函数的解析式和抽象函数定义域练习题之欧阳家百创编

高中数学函数的解析式和抽象函数 定义域练习题 欧阳家百（2021.03.07） 1、分段函数已知???>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f 则 （1）若=)(x f 10，则x=；（2）)(x f 的值域为 _____. 2、画出下列函数的图象（请使用直尺） (1)Z x x y ∈-=,22且2≤x (2)x x y -=2 3、动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、 C 、 D 再回到A ， 试写出线段AP 的长度y 与P 点的行路程x 4、根据下列条件分别求出函数 )(x f 的解析式 观察法(1)221)1(x x x x f +=+方程组法x x f x f 3)1(2)()2(=+ 换元法（3） 13)2(2++=-x x x f 待定系数法 （4）已知()x f 是一次函数，且满足()()1721213+=--+x x f x f ,求()x f 。 （复合函数的解析式）---代入法 （5）已知1)(2-=x x f ，1)(+=x x g ，求)]([x g f ]和)]([x f g 的解析式。 5、抽象函数的定义域的求解 1、若函数)(x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(-x f 的定义域为。 D A P B

2、若函数)1(2-x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(+x f 的定义域为。 练习：1、若x x x f 2)1(+=+,求)(x f 。 2、函数)(x f 满足条件10)()(+-=x xf x f ，求)(x f 的解析式。 3、已知)(x f 是二次函数，且满足()10=f ,()()x x f x f 21=-+，求()x f 的表达式。 4、若()32+=x x f ，)()2(x f x g =+，求函数)(x g 的解析式 5、已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ；

抽象函数的定义域的求法 解析式的求法 很全面

题型3：复合函数及其定义域的求法 一．基本知识 (1) 函数的概念：设是,A B 非空数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为集合A 到集合B 的函数，记作：(),y f x x A =∈。其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值. (2) 复合函数的定义：一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数. 例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+ (3)复合函数的定义域 函数))((x g f 的定义域还是指x 的取值范围，而不是)(x g 的取值范围. ① 已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 ② 已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域 ③ 已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 ④ 已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

专题：求抽象函数的解析式(必修一)

专题：求抽象函数的解析式 求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法（直接变换法） 如：f （x-1）=x+1，求f （x ）的解析式. 1． 已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式. 2． 已知f(x+1)=x 2 -3x +2, 求f(x)的解析式. 3． 已知221)1(x x x x f +=-, 求)(x f 的解析式. 2.换元法 如：f （1+x ）=x+2x ，求f （x ）。 4：已知2111()x x f x x x ++=+，求()f x 5：已知21)f x =+，求()f x 3.待定系数法： 已知f(x)=a x 2+b x +c,若f(0)=0，且f(x+1)= f(x)+x+1,求f(x) 6.若一次函数()f x 满足：[()]41f f x x =-，求()f x 7.若一次函数()f x 满足：{[()]}87f f f x x =+，求()f x 8.已知二次函数()f x 满足：2(1)(1)24f x f x x x ++-=-求()f x

4.构造方程组 如：()f x 满足：()2()32f x f x x --=+，求()f x 9. ()f x 满足：12()()1f x f x x -=+求()f x 10. 设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式 x x f x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式. 5.特殊值法： 如：设f （x ）是R 上的函数，f （0）=1，并且对任意实数x 、y 有 f （x-y ）=f （x ）-y （2x-y+1），求f （x ）。 11.设)(x f 是定义在*N 上的函数,若1)1(=f ,且对任意的x,y 都有：xy y x f y f x f -+=+)()()(, 求)(x f .

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专题：求抽象函数的解析式 求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法（直接变换法） 如： f （x-1 ）=x+1，求 f （ x ）的解析式 . 1． 已知 f(3x+1)=4x+3, 求 f(x) 的解析式 . 2． 已知 f(x+1)= x 2-3 x +2, 求 f(x) 的解析式 . 3． 已知 f ( x 1 ) x 2 12 , 求 f ( x) 的解析式 . x x 2.换元法 如： f （ x 1 ） =x+2 x ，求 f （x ）。 4：已知 f ( x 1) x 2 1 1 ，求 f ( x) x x x 5：已知 f ( x 1) x 2 2 x ，求 f (x) 3. 待定系数法： 已知 f(x)=a x 2+b x +c, 若 f(0)= 0，且 f(x+1)= f(x)+x+1, 求 f(x) 6.若一次函数 f ( x) 满足： f [ f (x)] 4x 1 ，求 f (x) 7.若一次函数 f ( x) 满足： f { f [ f ( x)]} 8x 7 ，求 f ( x) 8.已知二次函数 f ( x) 满足： f (x 1) f ( x 1) 2x 2 4x 求 f (x)

4.构造方程组 如： f ( x) 满足： f ( x) 2 f ( x) 3x 2 ，求 f ( x) 9. f ( x) 满足： 2 f (x) f ( 1 ) x 1 求 f ( x) x 10.设函数 f (x) 是定义(－∞,0)∪(0,+∞)在上的函数,且满足关系式 1 3 f ( x) 2 f ( ) 4x ,求 f ( x) 的解析式. 5.特殊值法： 如：设 f （ x）是R上的函 数， f （ 0） =1，并且对任意实数x、 y 有 f （x-y ） =f （x）-y （ 2x-y+1 ），求f （x）。 11. 设 f ( x) 是定义在N 上的函数 , 若 f (1) 1 , 且对任意的x,y 都有： f ( x) f ( y) f ( x y) xy , 求 f ( x) .