概率与统计初步
例1.指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件？
①某乒乓球运动员在某运动会上获得冠军。
②掷一颗骰子出现8点。
③如果0=-b a ，则b a =。
④某人买某一期的体育彩票中奖。
解析：①④为随机事件，②是不可能事件，③是必然事件。
例2.某活动小组有20名同学，其中男生15人，女生5人，现从中任选3人组成代表队参加比赛，A 表示“至少有1名女生代表”，求)(A P 。
例3.在50件产品中，有5件次品，现从中任取2件。以下四对事件那些是互斥事件？那些是对立事件？那些不是互斥事件？
①恰有1件次品和恰有2件次品
②至少有1件次品和至少有1件正品
③最多有1件次品和至少有1件正品
④至少有1件次品和全是正品
例4.从1,2,3,4,5,6六个数字中任取两个数，计算它们都是偶数的概率。
例5.抛掷两颗骰子，求：①总点数出现5点的概率；②出现两个相同点数的概率。
例6.甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，计算：
①两人都未击中目标的概率；
②两人都击中目标的概率；
③其中恰有1人击中目标的概率；
④至少有1人击中目标的概率。
例7.种植某种树苗成活率为0.9，现种植5棵。试求：
①全部成活的概率；
②全部死亡的概率；
③恰好成活4棵的概率；
④至少成活3棵的概率。
【过关训练】
一、选择题
1、事件A 与事件B 的和“B A ”意味A 、B 中（ ）
A 、至多有一个发生
B 、至少有一个发生
C 、只有一个发生
D 、没有一个发生
2、在一次招聘程序纠错员的考试中，程序设置了依照先后顺序按下h,u,a,n,g 五个键的密码，键盘共有104个键，则破译密码的概率为（ ）
A 、51041P
B 、51041
C C 、1041
D 、104
5 3、抛掷两枚硬币的试验中，设事件M 表示“两个都是反面”，则事件M 表示（ ）
A 、两个都是正面
B 、至少出现一个正面
C 、一个是正面一个是反面
D 、以上答案都不对
4、已知事件A 、B 发生的概率都大于0，则（ ）
A 、如果A 、
B 是互斥事件，那么A 与B 也是互斥事件
B 、如果A 、B 不是相互独立事件，那么它们一定是互斥事件
C 、如果A 、B 是相互独立事件，那么它们一定不是互斥事件
D 、如果A 、B 是互斥且B A 是必然事件，那么它们一定是对立事件
5、有5件新产品，其中A 型产品3件，B 型产品2件，现从中任取2件，它们都是A 型产品的概率是（ ）
A 、53
B 、52
C 、10
3 D 、203 6、设甲、乙两人独立地射击同一目标，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为9
8，现各射击一次，目标被击中的概率为（ ） A 、98109+ B 、98109? C 、981081?- D 、90
89 7、一个电路板上装有甲、乙两个保险丝，若甲熔断的概率为0.2，乙熔断的概率为0.3，至少有一根熔断的概率为0.4，则两根同时熔断的概率为（ ）
A 、0.5
B 、0.1
C 、0.8
D 、以上答案都不对
8、某机械零件加工有2道工序组成，第1道工序的废品率为a ，第2道工序的废品率为b ，假定这2道工序出废品是彼此无关的，那么产品的合格率是（ ）
A 、1+--b a ab
B 、b a --1
C 、ab -1
D 、ab 21-
9、某厂大量生产某种小零件，经抽样检验知道其次品率是1﹪，现把这种零件每6件装成一盒，那么每盒中恰好含1件次品的概率是（ ）
A 、6)10099(
B 、0.01
C 、516)10011(1001-C
D 、4226)100
11()1001(-C 10、某气象站天气预报的准确率为0.8，计算5次预报中至少4次准确的概率是（ ）
A 、45445)8.01(84.0--??C
B 、55555
)8.01(84.0--??C C 、45445)8.01(84.0--??C +55555
)8.01(84.0--??C D 、以上答案都不对
11、同时抛掷两颗骰子，总数出现9点的概率是（ ）
A 、41
B 、51
C 、6
1 D 、91 12、某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题准确率为0.4，则他能及格的概率约是（ ）
A 、0.18
B 、0.28
C 、0.37
D 、0.48
二、填空题
1、若事件A 、B 互斥，且61)(=A P ,3
2)(=B P ,则=)(B A P 2、设A 、B 、C 是三个事件，“A 、B 、C 至多有一个发生”这一事件用A 、B 、C 的运算式可表示为
3、1个口袋内有带标号的7个白球，3个黑球，事件A ：“从袋中摸出1个是黑球，放回后再摸1个是白球”的概率是
4、在4次独立重复试验中，事件A 至少出现1次的概率是81
80，则事件A 在每次试验中发生的概率是
5、甲、乙两射手彼此独立地射击同一目标，甲击中目标的概率为0.8，乙击中目标的概率为0.9，则恰好有一人击中目标的概率为
三、解答题
1、甲、乙两人射击，甲击中靶的概率为0.8，乙击中靶的概率为0.7，现在，两人同时射击，并假定中靶与否是相互独立的，求：
（1）两人都中靶的概率；
（2）甲中靶乙不中靶的概率；
（3）甲不中靶乙中靶的概率。
2、将4封不同的信随机地投到3个信箱中，试求3个信箱都不空的概率。
3、加工某一零件共需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2﹪、3﹪、5﹪，假定各道工序是互不影响的，问加工出来的零件的次品率是多少？
4、已知某类型的高射炮在它们控制的区域内击中具有某种速度敌机的概率为20﹪。
（1）假定有5门这种高射炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后被击中的概率；
（2）要使敌机一旦进入这个区域后有90﹪以上的可能被击中，需至少布置几门这类高射炮？
5、设事件A 、B 、C 分别表示图中元件A 、B 、C 不损坏，且A 、B 、C 相互独立，8.0)(=A P ,9.0)(=B P ,7.0)(=C P 。
(1)试用事件间的运算关系表示“灯D 亮”及“灯D 不亮”这两个事件。
(2)试求“灯D 亮”的概率。
过关训练参考答案：
一、选择题：1、B 2、A 3、B 4、D 5、C 6
二、填空题：1、
65 2、)()(A C B A 3、100
21（提示：设“从口袋中摸出1个黑球”为事件B ，“从口袋中摸出1个白球”为事件C ，则B 、C 相互独立，且C B A =,∴100
21103107)()()()(=?=?==C P B P C B P A P ） 4、3
2（提示：设事件A 在每次试验中发生的概率为P ，则8180)0(14=-P ） 即811)1(4004=-P P C ∴3
2=P 5、0.26 （提示：)()(B A P B A P +） 三、解答题：
1、解：事件A 为“甲中靶”， 事件B 为“乙中靶” 则8.0)(=A P ，7.0)(=B P
（1）56.0)()()(=?=B P A P B A P
（2）24.0)7.01(8.0)()()(=-?=?=B P A P B A P
（3）14.07.0)8.01()()()(=?-=?=B P A P B A P
2、解：设事件“3个信箱都为空”为A ，将4封不同的信随机地投到3个信箱中的投法共有4
3种；
事件A 所包含的基本事件数为332
4P C ? ∴943)(43324==P C A P 3、解：设事件“第一道工序出现次品” 、“第二道工序出现次品” 、“第三道工序出现次品”分别为A 、B 、C ，则=)(A P 2﹪，=)(A P 3﹪，=)(A P 5﹪，事件“某一零件为次品”表示为：C B A C
∴=-=-=)(1)(1)(C B A P C B A P C B A P
09693.095.097.098.01)()()(1=??-=-C P B P A P
4、解：（1）设敌机被各炮击中的事件分别为1A ,2A ,3A ,4A ，5A ,那么5门炮都未击中敌机的事件 54321A A A A A C = 因各炮射击的结果是相互独立的，所以 555554321)54()511()](1[)]([)()()()()()(=-=-==????=A P A P A P A P A P A P A P C P 因此敌机被击中的概率 67.03125
2101)54
(1)(1)(5≈=-=-=C P C P （2）设至少需要布置n 门这类高射炮才能有90﹪以上的可能击中敌机，由（1）可得
10
9)108(1>-n 即 1108-=n n 两边取常用对数，并整理得 3.103010
.03112lg 311≈?-≈->n ∴n ≥11 即至少需要布置这类高射炮11门才能有90﹪以上的可能击中敌机
5、解：（1）事件“灯D 亮”表示为C B A )(
事件“灯D 不亮”表示为C B A )(
（2）)()](1[)()(])[(C P B A P C P B A P C B A P ?-=?=
686.07.0)]9.01)(8.01(1[)()]()(1[=?---=??-=C P B P A P
【典型试题】
一、选择题
1、下列式子中，表示“A 、B 、C 中至少有一个发生”的是（ ）
A 、C
B A B 、
C B A C 、C B A
D 、C B A
2、某射击员击中目标的概率是0.84，则目标没有被击中的概率是（ ）
A 、0.16
B 、0.36
C 、0.06
D 、0.42
3、某射击手击中9环的概率是0.48，击中10环的概率是0.32，那么他击中超过8环的概率是（ ）
A 、0.4
B 、0.52
C 、0.8
D 、0.68
4、生产一种零件，甲车间的合格率是96％，乙车间的合格率是97％，从它们生产的零件中各抽取一件，都抽到合格品的概率是（ ）
A 、96.5％
B 、93.12％
C 、98％
D 、93.22％
5、从1,2,3,4,5,6六个数字中任取两个数，取到两个偶数的概率是（ ）
A 、51
B 、31
C 、21
D 、10
1 6、在12件产品中，有8件正品，4件次品，从中任取2件，2件都是次品的概率是（ ）
A 、91
B 、101
C 、111
D 、12
1 7、甲、乙两人在同样条件下射击，击中目标的概率分别为0.6、0.7，则甲、乙两人中至少有一人击中目标的概率是（ ）
A 、0.65
B 、0.42
C 、1.3
D 、0.88
8、有一问题，在1小时内，甲能解决的概率是
32，乙能解决的概率是52，则在1小时内两人都未解决的概率是（ ）
A 、1514
B 、154
C 、5
4 D 、51 9、样本数据：42,43,44,45,46的均值为（ ）
A 、43
B 、44
C 、44.5
D 、44.2
10、样本数据：95,96,97,98,99的标准差S=（ ）
A 、10
B 、2
10 C 、2 D 、1 11、已知某种奖券的中奖概率是50％，现买5张奖券，恰有2张中奖的概率是（ ）
A 、52
B 、85
C 、165
D 、32
5
二、填空题
1、将一枚硬币连抛掷3次，这一试验的结果共有 个。
2、一口袋内装有大小相同的7个白球和3个黑球，从中任取两个，得到“1个白球和1个黑球”的概率是
3、已知互斥事件A 、B 的概率43)(=A P ,6
1)(=B P ，则=)(B A P 4、已知M 、N 是相互独立事件，65.0)(=M P ，48.0)(=N P ，则=)(N M P
5、在7张卡片中，有4张正数卡片和3张负数卡片，从中任取2张作乘法练习，其积为正数的概率是
6、样本数据：14,10,22,18,16的均值是 ，标准差是 .
三、解答题
1、若A 、B 是相互独立事件，且21)(=A P ，3
1)(=B P ，求下列事件的概率： ①)(B A P ②)(B A P ③)(B A P ④)(B A P ⑤)(B A P ⑥)(B A P
2、甲、乙两人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题，求：
①甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率。
②甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率。
3、计算样本数据：8,7,6，5,7,9,7,8,8,5的均值及标准差。
4、12件产品中，有8件正品，4件次品，从中任取3件，求：
①3件都是正品的概率；
②3件都是次品的概率；
③1件次品、2件正品的概率；
④2件次品、1件正品的概率。
5、某中学学生心理咨询中心服务电话接通率为4
3，某班3名同学分别就某一问题咨询该服务中心，且每天只拨打一次，求他们中成功咨询的人数ξ的概率分布。
诚信应考 考出水平 考出风格 浙江大学城市学院 2009— 2010学年第 一学期期末考试试卷 《 概率统计A 》 开课单位： 计算分院 ；考试形式： 闭卷； 考试时间：2010年 1 月24日； 所需时间： 120 分钟 题序 一 二 三 总 分 得分 评卷人 一． 选择题 (本大题共__10__题，每题2分共__20 分) 1、已知()0.87.0)(,8.0)(===B A P B P A P ，，则下列结论正确的是（B ） )(A 事件B A 和互斥 )(B 事件B A 和相互独立 )(C )()()(B P A P B A P += )(D B A ? 2、设)(1x F 和)(2x F 分别为随机变量1X 和2X 的分布函数，为使)()()(21x bF x aF X F -=为某一随机变量的分布函数，在下列各组数值中应取（ A ） )(A 5/2,5/3-==b a )(B 3/2,3/2==b a )(C 2/3,2/-1==b a )(D 2/3,2/1-==b a 3、设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ,随着σ的增大，概率() σμ<-X P 满足 （ C ） )(A 单调增大 )(B 单调减少 )(C 保持不变 )(D 增减不定 4、设),(Y X 的联合概率密度函数为?? ???≤+=其他, 01 ,1),(2 2y x y x f π，则X 和Y 为 （ C ）的随机变量 )(A 独立且同分布 )(B 独立但不同分布 )(C 不独立但同分布 )(D 不独立 且不同分布 得分 年级：_____________ 专业：_____________________ 班级：_________________ 学号：_______________ 姓名：__________________ …………………………………………………………..装………………….订…………………..线… …………………………………………………… 年级：_____________ 专业：_____________________ 班级：_________________ 学号：_______________ 姓名________________ …………………………………………………………..装………………….订…………………..线………………………………………………………
、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3）
暨 南 大 学 考 试 试 卷 答 案 一、 选择题(共１0小题,每小题２分，共2０分,请将 答案写在答题框内) 1.设A 、B 、C 为三个事件,则事件“A 、B 、C 中恰有两个发生”可表示为( Ｃ ). A ．AB AC BC ++； B. A B C ++; Ｃ. ABC ABC ABC ++； D. ABC 2.. 设在 Be ｒn ｏu ｌli 试验中，每次试验成功的概率为)10(<
进行3 次试验, 至少失败一次的概率为 ( B ). A. 3)1(p -; B. 31p -; C ． 3(1)p -; Ｄ. )1()1()1(223p p p p p -+-+-. ３． 设12,,,,n ηηη??????是相互独立且具有相同分布的随机变量序列, 若 1n E η=，方差 存在, (1,2,),n =??? 则1lim ||3n i n i n P n η→∞=?? -<= ??? ∑( B ). A. 0; B. 1; C. 1;3 D. 1 2 . ４. 设随机变量X 的概率密度为 33,0 ()0,0 x e x x x ?-?>=?≤?, 则方差Ｄ(X)= （ D ） A ． ９; B. 3； C. 1 3 ; D ． 1 9 . 5． 设随机变量X 的概率密度函数) 1(1 )(2x x f += π，则X Y 3=的概率密度函数为 （ Ｂ )． A. )1(12y +π? Ｂ．)9(32y +π C ．) 9(9 2 y +π D ． ) 9(27 2 y +π 6. 设()~1,X N σ2,且(13)0.7P X -<<=,则()=-<1X P ( A ） A ．0．15??? Ｂ. 0.３0 C. 0.45 ? D ． ０．6 7．设)2,3(~2N X ,则=<<}51{X P （ Ｂ )( 设2 2 0()d x x x x -Φ=?）. A.00(5)(1)Φ-Φ B ．02(1)1Φ- C ．011()122Φ- Ｄ.0051 ()()44 Φ-Φ 8．设总体2~(,)X N μσ,其中μ未知，1234,,,x x x x 为来自总体X 的一个样本,则以下关于 的μ四个无偏估计:1?μ =),(4 14321x x x x +++4321252515151?x x x x +++=μ 4321361626261?x x x x +++=μ，432147 1737271?x x x x +++=μ中，哪一个最有效?（ A ） Ａ．1?μ ； B ．2?μ; C ．3?μ; D.4?μ
一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故
一、填空题 1．已知()0.8,()0.5,P A P A B ==且事件A 与B 相互独立，则()P B = 0.375 ． 2．若二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为 18 .012.012.008.01 11 1 b a X Y --，且X 与Y 相互 独立，则=a 0.2 ；=b 0.3 . 3．已知随机变量~(0,2)X U ，则2()[()] D X E X = 13 ． 4．已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞平均数是7300，均方差是700。设X 表示每毫升白细胞数，利用切比雪夫不等式估计{52009400}P X <<89 ≥ . 5．设123,,X X X 是总体X 的样本，11231?()4X aX X μ =++，21231?()6 bX X X μ=++是总体均值的两个无偏估计，则a = 2 ，b = 4 ． 二、单项选择题 1．甲、乙、丙三人独立地译一密码，他们每人译出密码的概率分别是0.5，0.6，0.7，则密码被译出的概率为 （ A ） A. 0.94 B. 0.92 C. 0.95 D. 0.90 2．某人打靶的命中率为0.8，现独立射击5次，则5次中有2次命中的概率为（ D ） A. 20.8 B. 230.80.2? C. 22 0.85 ? D. 22350.80.2C ?? 3.设随机变量Y X 和独立同分布，则),,(~2σμN X （ B ） A. )2,2(~22σμN X B. )5,(~22σμN Y X - C. )3,3(~22σμN Y X + D. )5,3(~22σμN Y X - 4．对于任意两个随机变量X 和Y ，若()()()E XY E X E Y =?，则（ B ）. A. ()()()D XY D X D Y =? B.()()()D X Y D X D Y +=+ C.X 和Y 独立 D.X 和Y 不独立 5．设 ()2~,X N μσ，其中μ已知，2σ未知，123 ,,X X X 为其样本， 下列各项不是 统计量的是（ A ）.
中国石油大学概率论2011-2012期末试卷答案及评分标准 --------------------------------------------------------------------------作者: _____________
2011—2012学年第一学期 《概率论与数理统计》试卷 专业班级 姓名 学号 开课系室基础数学系 考试日期 2012年1月3号 备注：1．本试卷正文共7页； 2．封面及题目所在页背面和附页为草稿纸； 3．答案必须写在该题后的横线上或指定的括号内，解的过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中，否则答案无效； 4．最后附页不得私自撕下，否则作废.
5．可能用到的数值(1.645)0.95 Φ= Φ=，(1.96)0.975
一、填空题（每空1分，共10分） 1.设()0.4,()0.7P A P A B ==，那么若,A B 互不相容，则 ()P B = 0.3 ；若,A B 相互独立，则()P B = 0.5 . 2.设事件,A B 满足：1(|)(|)3P B A P B A ==，1()3P A =，则()P B =__5/9___. 3.某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为 0.6 ；第三次才取得正品的概率为 0.1 . 4.设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从区间[0,3]上的均匀分布,则 {max(,)2}P X Y ≤= 4/9 . 5.一批产品的次品率为0.1，从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为 0.5 ，均方差为 6.设总体12~(),,,,n X P X X X λ为来自X 的一个简单随机样本，X 为样本均 值 ，则EX = λ ，DX = n λ . 二、选择题(每题2分，共10分) 1.设(),(),()P A a P B b P A B c ==?=，则()P AB 等于( B ). (A) a b - (B) c b - (C) (1)a b - (D) b a - 2.设随机变量X 的概率密度为()f x ，且()()f x f x -=，()F x 是X 的分布函数，则 对任意实数a 有( B ). (A)0()1()a F a f x dx -=-? (B)0 1()()2 a F a f x dx -=-? (C)()()F a F a -= (D)()2()1F a F a -=- 3.设6)(),1,2(~),9,2(~=XY E N Y N X ，则)(Y X D -之值为( B ). (A) 14 (B) 6 (C) 12 (D) 4 4.设随机变量X 的方差为25，则根据切比雪夫不等式，有)10|(|<-EX X P ( C ). (A) 2 5.0≤ (B) 75.0≤ (C) 75.0≥ (D)25.0≥ 5.维纳过程是( A ).
概率统计试卷 A 一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分） 1、设P(A) =a , P(B) = , P(A B ) = ，若事件A 与B 互不相容，则 a = . 2、设在一次试验中，事件A 发生的概率为p ，现进行n 次重复试验，则事件A 至少发生一次的概率为 . 3、已知P(A ) = , P(B) = , P(AB ) = ，则P(|B A B )= . 4、设随机变量X 的分布函数为 0,0,()sin ,0, 21.2x F x A x x x ππ????则A = . 5、设随机变量X ~(1)π，则P{ 2 ()X E X =}= . 二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分） 1、设P(A|B) = P(B|A)=14, 2()3P A = , 则( )一定成立. (A) A 与B 独立，且 2 ()5P A B = . (B) A 与B 独立，且()()P A P B =. (C) A 与B 不独立，且 7 ()12P A B = . (D) A 与B 不独立， 且(|)(|)P A B P A B =. 2、下列函数中，（ ）可以作为连续型随机变量的概率密度. (A) 3sin ,,()20x x f x ππ?≤≤?=???其它. (B) 3sin ,,()20x x g x ππ? -≤≤? =? ??其它. (C) 3s ,,()20co x x x ππ??≤≤?=???其它. (D) 31s ,,()20co x x h x ππ? -≤≤? =? ??其它. 3、设X 为一随机变量，若D(10X ) =10，则D(X ) = ( ). (A) 1 10. (B) 1. (C) 10. (D) 100. 4、设随机变量X 服从正态分布2 (1,2)N ，12100,,X X X 是来自X 的样本，X 为样本均值，已知~(0,1)Y aX b N =+，则有（ ）. (A) 11,55a b == . (B) 5,5a b ==.
一 填空 1．设随机变量X 服从)1,1(-R ，则由切比雪夫不等式有{}≤≥1X P 2. 设B A 、是两相互独立事件，4.0)(,8.0)(==A P B A P ，则._____)(=B P 3. .__________)3(,3)(,2)(=-==Y X D Y X Y D X D 独立，则、且 4. 已知._________)20(,533.0)20(4.06.0=-=t t 则 5. n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2σμN 的样本，S 是样本标准差，则 ________)( 2 2 =σ nS D 6. 设._______}3|{|,)(,)(2≤>-==σμσμX P X D X E 则由车比雪夫不等式 7. 假设一批产品中一、二、三等品各占%10%20%70、、 ，从中随意取一种，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率是____________. 8、m X X X ,,,21 是取自),(211σμN 的样本，n Y Y Y ,,,21 是来自),(2 22σμN 的样本，且这两种样本独立，则___ ___ Y X -服从____________________. 9. 设____}3|{|,)(,)(2≤>-==σμσμX P X D X E 则由车比雪夫不等式得. 10、已知.__________)12(2)(=-=X D X D ，则 11、已知分布服从则变量)1(___________),1(~),,(~22--n t n Y N X χσμ 12设随机变量X 服从)1,1(-R ，则由切比雪夫不等式有{}≤≥1X P 。 13．已知1 1 1(),() ,()432 P A P B A P A B ===，则()P AB = ， ()P A B = 。 14．若()0.5,()0.4,()0.3,P A P B P A B ==-=则()P A B ＝ 。 15．若随机变量X 服从(1,3)R -，则(11)P X -<<= 。 16．已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布，则E （XY ）＝ 。 17．设随机变量,X Y 相互独立，且X 服从(2)P ，Y 服从(1,4)N ，则(23)D X Y -= 。
概率统计考试试卷及答案 一、 填空题（每小题4分，共20分） 1. 设)(~λP X ,且)()(21===X P X P ,则_________)(==3X P . 2. 设随机变量X 的分布函数)(,)(+∞<<-∞+= -x e A x F x 1,则___=A 3. 已知,)|(,)|(,)(21 31 41 ===B A P A B P A P 则_____)(=?B A P 4. 已知随机变量),,(~10U X 则随机变量X Y ln 2-=的密度函数___)(=y f Y 5. 设随机变量X 与Y 相互独立，且,2σ==DY DX 则____)(=-Y X D 42 二、 计算下列各题(每小题8分，共40分） 1. 设随机变量X 的概率密度为?? ???≤>=-000 x x e x f x ,,)( 已知Y=2X,求E(Y), D(Y). 2. 两封信随机地投入标号为I,II,III,IV 的四个邮筒，求第二个邮筒恰好投入1封信的概率。 3. 设X,Y 是两个相互独立的随机变量，X 在(0,1)上服从均匀分布，Y 的概率密度为 ?? ? ??≤>=-000212y y e y f y Y ,,)( 求含有a 的二次方程022=++Y Xa a 有实根的概率。 4. 假设91X X ,, 是来自总体 ) ,(~220N X 的简单随机样本，求系数a,b,c 使 298762543221)()()(X X X X c X X X b X X a Q ++++++++=服从2χ分布，并求其自由 度。 5. 某车间生产滚珠，从长期实践知道，滚珠直径X 服从正态分布。从某天产品里随机抽取6个，测得直径为（单位：毫米）14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1 若总体方差0602.=σ, 求总体均值μ的置信区间(9610502.,./==ααz )
全国2011年7月高等教育自学考试概率论与数理统计（二）试题课程代码：02197 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A ={2，4，6，8}，B ={1，2，3，4}，则A -B =（ ） A ．{2，4} B ．{6，8} C ．{1，3} D ．{1，2，3，4} 2．已知10件产品中有2件次品，从这10件产品中任取4件，没有取出次品的概率为（ ） A ．15 B ．14 C ．13 D ．12 3．设事件A ，B 相互独立，()0.4,()0.7,P A P A B =?=，则()P B =（ ） A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4 D ．0.5 4．设某试验成功的概率为p ，独立地做5次该试验，成功3次的概率为（ ） A ．35C B.3325(1)C p p - C ．335C p D ．32(1)p p - 5．设随机变量X 服从[0，1]上的均匀分布，Y =2X -1，则Y 的概率密度为（ ） A ．1,11,()20, ,Y y f y ?-≤≤?=???其他; B.1,11,()0,,Y y f y -≤≤?=??其他; C.1,01,()20,,Y y f y ?≤≤?=???其他 ; D.1,01,()0,,Y y f y ≤≤?=??其他 6．设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率分布为（ ） 则c = ( ) A ．112 B ．16 C ．14 D ．13 7．已知随机变量X 的数学期望E (X )存在，则下列等式中不恒成立．．．． 的是（ ） A ．E [E (X )]=E (X ) B ．E [X +E (X )]=2E (X ) C ．E [X -E (X )]=0 D ．E (X 2)=[E (X )]2 8．设X 为随机变量2()10,()109E X E X ==，则利用切比雪夫不等式估计概率P{|X-10|≥6}≤（ ） A ．14 B.518 C ．34 D ．10936 9．设0，1，0，1，1来自X ～0-1分布总体的样本观测值，且有P {X =1}=p ，P {X =0}=q ，其中0
2010―2011―2概率统计试题及答案 一、选择题（每题3分，共30分） 1．已知4 1)()()(= ==C P B P A P ，161)()(==BC P AC P ，0)(=AB P 求事件C B A ,,全不发生的概率______. 31) (A 83)(B 157)(C 5 2 )(D 2．设A 、B 、C 为3个事件．运算关系C B A 表示事件______. (A ) A 、B 、C 至少有一个发生 (B ) A 、B 、C 中不多于—个发生 (C ) A ，B ，C 不多于两个发生 (D ) A ，月，C 中至少有两个发生 3．设X 的分布律为),2,1(2}{ ===k k X P k λ，则=λ__________． 0)(>λA 的任意实数 3)(=λB 3 1 )(= λC 1)(=λD 4．设X 为一个连续型随机变量，其概率密度函数为)(x f ，则)(x f 必满足______． (A ) 1)(0≤≤x f (B ) 单调不减 (C ) 1)(=? ∞+∞ -dx x f (D ) 1)(lim =+∞ →x f x 5．对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著性水平α=0.05下接受 00:μμ=H ，那么在显著性水平 α=0.01下，下列结论正确的是______． (A ) 必接受0H (B )可能接受也可能拒绝0H (C ) 必拒绝0H (D )不接受，也不拒绝0H 6．设随机变量X 和Y 服从相同的正态分布)1,0(N ，以下结论成立的是______． (A ) 对任意正整数k ，有)()(k k Y E X E = (B ) Y X +服从正态分布)2,0(N (C ) 随机变量),(Y X 服从二维正态分布
任课教师 专业名称 学生姓名 学号 密 封 线 X X 工业大学概率统计B 期末考试试卷（A 卷） } 分 分 108
求：（1）常数k ，（2）P(X<1,Y<3) (3) P(X<1.5); (4) P(X+Y ≤4) 解：（1）由()1)6(1 )(20 4 =--=???? +∞∞-+∞ ∞ -dx dy y x k dxdy xy f 即 解得24 1 = k 2分 （2）P(X<1,Y<3)=()dx dy y x )6241(1030--??=2 1 4分 (3) P(X<1.5)=()16 13 )6241(5.1040=--??dx dy y x 7分 （4）P(X+4≤Y ) =()9 8 21616241)6241(2202040=+-=--???-dx x x dx dy y x x 10分 4. 已知随机变量)3,1(~2N X ，)4,0(~2N Y ，且X 与Y 相互独立，设 2 3Y X Z += (1) 求)(Z E ，)(Z D ； (2) 求XZ ρ 解：(1)??? ??+=23)(Y X E Z E )(21)(3 1 y E X E += 021131?+?= 3 1 = 2分 =??? ??+=23)(Y X D Z D ()()2 2 22)23(23?? ? ??+-??? ??+=-Y X E Y X E EZ Z E =22 2)2 3()439( EY EX Y XY X E +-++ = 9 1 4392 2 -++EY EXEY EX 又因为()10192 2=+=+=EX DX EX 16016)(22=+=+=EY DY EY 所以DZ= 59 1 416910=-+ 6分 (2)),(Z X Cov ) ,(1 1Y X X Cov += =EX( 23Y X +)-EXE(23Y X +) EXEY -EX -EXEY +EX =21 )(31213122 233 1 ?==3 则XZ ρ= ()DZ DX Z X Cov ,= 5 5 5 33= 10分 5. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ?????≤≤≤≤=其它, 00,20,163),(2x y x xy y x f （1） 求X 的数学期望EX 和方差DX （2） 求Y 的数学期望EY 和方差DY 解：（1）dx x xf X E X )()(? ∞ +∞ -= ()()xyd dy y x f x f x x ? ? ==∞ +∞ -20 16 3 ,y dx x xf X E X )()(? ∞ +∞ -= = 分 27 12)163(2 2 =? ?dx xydy x x () ()分 549 3)712( 33)16 3 (22 2 22 2 22 =-====EX EX -EX =???∞ +∞ -DX dx xydy x dx x f x DX x X () ()分 72)16 3 (),()()(24 02====?? ???+∞∞ -+∞ ∞ -∞ +∞ -dy xydx y dy dx y x yf dy y yf Y E y Y ()()5 24 4323)163(),()(4034 02 2 22 2 =-====?????? +∞ ∞ -+∞∞ -∞ +∞-dy y y dy xydx y dy dx y x f y dy y f y EY y Y DY=()分 105 4452422 =-=EY -EY 6. 设随机变量X 的概率密度为) 1(1 )(2 x x f X += π，求随机变量 31X Y -=的概率密度函数。 ()()( )( ) ()() ( ) ()()()() ()()()()( )() ()() 分 分 解：10111311311315)1(111)1(16 2 3 2 2 33 3 3 3y y y f y y y f dy y dF y f y F y X y X y X y Y y F X X Y Y X Y -+-= --=----== ∴ --=-
<概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分
北 京 交 通 大 学 2010-2011学年第一学期《概率论与数理统计（B ）》期终考试试卷（A ） 学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________ 请注意：本卷共十三大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！ 一.（满分6分）已知()P A = 14，()P B A 13=，()P A B 1 3 =，求()P A B ?。 解： 由概率加法公式()P ()()()A B P A P B P AB ?=+- 由概率乘法公式()P ()()1 12 AB P A P B A == ----2分 ()()P ()P AB B P A B 1 4 = = ()P ()()()A B P A P B P AB 1115 441212 ?=+-=+-= ----4分
二. （满分8分）甲乙二人轮流掷一骰子,每轮掷一次,谁先掷得6点谁得胜,从甲开始掷,问甲、乙得胜的概率各为多少? 解 以i A 表示事件“第i 次投掷时投掷者才得6点”.事件i A 发生,表示在前1-i 次甲或乙均未得6点,而在第i 次投掷甲或乙得6点.因各次投掷相互独立,故有 .6 165)(1 -? ? ? ??=i i A P 因甲为首掷,故甲掷奇数轮次,从而甲胜的概率为 }{}{531 A A A P P =甲胜 +++=)()()(531A P A P A P ),(21两两不相容因 A A ??? ?????+??? ??+??? ??+= 4 26565161 .11 6 )6/5(11612=-=--------4分 同样,乙胜的概率为 }{}{642 A A A P P =乙胜 +++=)()()(642A P A P A P .115656565615 3=??? ?????+??? ??+??? ??+= ．--------4分
全国2011年7月高等教育自学考试 概率论与数理统计（二）试题 （课程代码：02197） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1. 设A={2，4，6，8}，B={1，2，3，4}，则A-B=（ ） A. {2，4} B. {6，8} C. {1，3} D. {1，2，3，4} 2. 已知10件产品中有2件次品，从这10件产品中任取4件，没有取出次品的概率 为（ ） A. 15 B. 14 C. 3 1 D. 12 3. 设事件A ，B 相互独立，()0.4,()0.7,P A P A B =?=，则()P B =（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 4. 设某试验成功的概率为p ，独立地做5次该试验，成功3次的概率为（ ） A. 3 5C B. 3 3 25(1)C p p - C. 335C p D. 32 (1)p p - 5. 设随机变量X 服从[0，1]上的均匀分布，Y=2X-1，则Y 的概率密度为（ ）
A. 1 ,11, ()2 0,,Y y f y ?-≤≤?=???其他 B. 1,11, ()0,,Y y f y -≤≤?=? ?其他 C. 1 ,01, ()2 0,,Y y f y ?≤≤?=???其他 D. 1,01, ()0,,Y y f y ≤≤?=? ?其他 6. 设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率分布为（ ） 则c= A. 1 12 B. 16 C. 14 D. 13 7. 已知随机变量X 的数学期望E(X)存在，则下列等式中不恒成立的是（ ） A. E[E(X)]=E(X) B. E[X+E(X)]=2E(X) C. E[X-E(X)]=0 D. E(X2)=[E(X)]2 8. 设X 为随机变量2 ()10,()109E X E X ==，则利用切比雪夫不等式估计概率 P{|X-10|≥6}≤（ ） A. 14 B. 518 C. 34 D. 10936 9. 设0，1，0，1，1来自X ～0-1分布总体的样本观测值，且有P{X=1}=p ，P{X=0}=q ，其中0 2010-2011(1)概率论与数理统计期末试卷 专业班级 姓名 得分 一、单项选择题(每题2分，共20分) 1.设A 、B 是相互独立的事件，且()0.7,()0.4,P A B P A ?== 则()P B = ( A ) A. 0.5 B. 0.3 C. 0.75 D. 0.42 2、设X 是一个离散型随机变量，则下列可以成为X 的分布律的是 ( D ) A. 10 1p p ?? ?-?? (p 为任意实数) B. 123450.1 0.3 0.3 0.2 0.2x x x x x ?? ??? C. 3 3()(1,2,...)! n e P X n n n -== = D. 3 3()(0,1,2,...)! n e P X n n n -== = 3．下列命题不正确的是 ( D ) (A)设X 的密度为)(x f ，则一定有? +∞∞ -=1)(dx x f ； (B)设X 为连续型随机变量，则P (X =任一确定值)=0； (C)随机变量X 的分布函数()F x 必有01)(≤≤x F ； (D)随机变量X 的分布函数是事件“X =x ”的概率； 4．若()()()E XY E X E Y =,则下列命题不正确的是 ( B ) (A)(,)0Cov X Y =； (B)X 与Y 相互独立 ； (C)0=XY ρ； (D)()()D X Y D X Y -=+； 5. 已知两随机变量X 与Y 有关系0.80.7Y X =+，则X 与Y 间的相关系数 为 ( B ) (A)－1 ( B)1 (C)-0.8 (D)0.7 6．设X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 ( B ) (A)(0)0.25P X Y -≥= (B)(min(,)0)0.25P X Y ≥= (C)(0)0.25P X Y +≥= (D)(max(,)0)0.25P X Y ≥= 备用数据：22 0.950.950.05(3) 2.3534,(3) 6.815,(3)0.352 t χχ=== 8413.0)1(=Φ ，7881.0)8.0(,9993.0)2.3(=Φ=Φ. 一、填空题(18分) 1、(4分)已知5.0)(=A P ,4.0)(=B P ,6.0)|(=B A P ，则)(AB P = ， )(B A A P ?= . 2、(4分)设随机变量ξ服从二项分布),4(p B ，01p <<，已知)3()1(===ξξP P ，则 =p ，)2(=ξP = . 3、(6分)设随机变量X 服从参数为1的指数分布，随机变量Y 服从二项分布(2,0.5)B ，且 (,)0.5cov X Y =，则(3)E X Y -= ，(3)D X Y -= ，利用切比雪夫不等 式可得() ≥≤+-223Y X P . 4、(4分)设126,,X X X 相互独立且服从相同的分布，且1X 服从正态分布)9,0(N ，记 ()()22 2 123456 T a X X b X X X cX =+++++，其中,,a b c 为常数，且0≠abc ，当 a = , b = , c = 时，T 服从自由度为 的2χ分布. 二、(12分)甲、乙两人各自独立作同种试验，已知甲、乙两人试验成功的概率分别为0.6，0.8. (1) 求两人中只有一人试验成功的概率； (2) 在已知甲乙两人中至少有一人试验成功的情况下，求甲成功但乙未成功的概率。 三、(12分)设随机变量)4,1(~N ξ,)9,0(~N η,且ξ与η的相关系数2 1-=ξηρ. 记3 2 η ξ + =Z .求(1))(Z E ，)(Z D ；(2)),(Cov Z ξ. 四、(12分)假设二维随机变量(,)X Y 服从矩形 }10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上的均匀 分布. 记01X Y U X Y ≤?=? >?若若, 0212X Y V X Y ≤?=?>?若若, (1)求),(V U 的联合概率函数； (2)求概率)1(22≤+V U P . 五、(12分)设随机变量21ξξ与相互独立, 它们均服从标准正态分布.记 211ξξη+=,212ξξη-=.可以证明：(1η，2η)服从二维正态分布. (1) 分别求1η和2η的密度函数； (2) 求),(21ηη的联合密度函数； (3) 求概率() 22,2221≤≤-≤≤-ηηP . 六、(10分)某生产线上组装一件产品的所需时间X 服从指数分布，10)(=X E (单位：分钟)，假设组装各件产品所需时间相互独立.用中心极限定理求组装100件产品所需时间在18小时至22小时之间的概率的近似值 七、(10分)设某种新型塑料的抗压力X 服从正态分布2 (,)N μσ，现对4个试验件做压力试 验，得到试验数据(单位：10MPa)，并由此算出 4 4 21 1 32,268i i i i x x ====∑∑，分别求μ和σ的置 信水平0.90的双侧置信区间. 八、(14分)设n X X X ,,,21 是取自总体X 的简单随机样本，X 服从区间]8,8[θ+上的均匀分布，其中0>θ. θ未知. (1)求θ的极大似然估计θ?；(2)求θ的极大似然估计θ?的密度函数； (3)问：θ的极大似然估计θ?是否为θ的无偏估计？如果是的话，给出证明；如果不是的话，将其修正为θ的一个无偏估计. 模拟试题 填空题(每空3分，共45 分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B| A) = 0.85,则P(A| B)= P( A U B)= 1 2、设事件A与B独立，A与B都不发生的概率为—,A发生且B不发生的概率与 B 9 发生且A不发生的概率相等，则A发生的概率为：_______________________ ; 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 I Ae x, X c 0 4、已知随机变量X的密度函数为：W(x) = {1/ 4, 0 < X V 2，则常数A= 0, x>2 分布函数F(x)= ，概率P{—0.52011-2012(A)概率论与数理统计期末试卷+答案
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