概率与统计初步
例1.指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件？ ①某乒乓球运动员在某运动会上获得冠军。 ②掷一颗骰子出现8点。
③如果0=-b a ，则b a =。 ④某人买某一期的体育彩票中奖。
解析：①④为随机事件，②是不可能事件，③是必然事件。
例2.某活动小组有20名同学，其中男生15人，女生5人，现从中任选3人组成代表队参加比赛，A 表示“至少有1名女生代表”，求)(A P 。
例3.在50件产品中，有5件次品，现从中任取2件。以下四对事件那些是互斥事件？那些是对立事件？那些不是互斥事件？
①恰有1件次品和恰有2件次品 ②至少有1件次品和至少有1件正品 ③最多有1件次品和至少有1件正品 ④至少有1件次品和全是正品
例4.从1,2,3,4,5,6六个数字中任取两个数，计算它们都是偶数的概率。
例5.抛掷两颗骰子，求：①总点数出现5点的概率；②出现两个相同点数的概率。 例6.甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，计算： ①两人都未击中目标的概率； ②两人都击中目标的概率；
③其中恰有1人击中目标的概率； ④至少有1人击中目标的概率。
例7.种植某种树苗成活率为0.9，现种植5棵。试求： ①全部成活的概率； ②全部死亡的概率； ③恰好成活4棵的概率； ④至少成活3棵的概率。
【过关训练】
一、选择题
1、事件A 与事件B 的和“B A ”意味A 、B 中（ ） A 、至多有一个发生 B 、至少有一个发生 C 、只有一个发生 D 、没有一个发生
2、在一次招聘程序纠错员的考试中，程序设置了依照先后顺序按下h,u,a,n,g 五个键的密码，键盘共有104个键，则破译密码的概率为（ ）
A 、
51041P B 、51041C C 、1041 D 、104
5 3、抛掷两枚硬币的试验中，设事件M 表示“两个都是反面”，则事件M 表示（ ） A 、两个都是正面 B 、至少出现一个正面
C 、一个是正面一个是反面
D 、以上答案都不对 4、已知事件A 、B 发生的概率都大于0，则（ ） A 、如果A 、B 是互斥事件，那么A 与B 也是互斥事件
B 、如果A 、B 不是相互独立事件，那么它们一定是互斥事件
C 、如果A 、B 是相互独立事件，那么它们一定不是互斥事件
D 、如果A 、B 是互斥且B A 是必然事件，那么它们一定是对立事件
5、有5件新产品，其中A 型产品3件，B 型产品2件，现从中任取2件，它们都是A 型产品的概率是（ ）
A 、53
B 、52
C 、103
D 、20
3
6、设甲、乙两人独立地射击同一目标，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为9
8
，现各射击一次，目标被击中的概率为（ ）
A 、98109+
B 、98109?
C 、981081?-
D 、90
89
7、一个电路板上装有甲、乙两个保险丝，若甲熔断的概率为0.2，乙熔断的概率为0.3，至少有一根熔断的概率为0.4，则两根同时熔断的概率为（ ）
A 、0.5
B 、0.1
C 、0.8
D 、以上答案都不对
8、某机械零件加工有2道工序组成，第1道工序的废品率为a ，第2道工序的废品率为b ，假定这2道工序出废品是彼此无关的，那么产品的合格率是（ ）
A 、1+--b a ab
B 、b a --1
C 、ab -1
D 、ab 21-
9、某厂大量生产某种小零件，经抽样检验知道其次品率是1﹪，现把这种零件每6件装成一盒，那么每盒中恰好含1件次品的概率是（ ）
A 、6)10099(
B 、0.01
C 、516)10011(1001-C
D 、4226)10011()1001(-C 10、某气象站天气预报的准确率为0.8，计算5次预报中至少4次准确的概率是（ ）
A 、45445)8.01(84.0--??C
B 、5555
5
)8.01(84.0--??C C 、45445)8.01(84.0--??C +5555
5
)8.01(84.0--??C D 、以上答案都不对
11、同时抛掷两颗骰子，总数出现9点的概率是（ ）
A 、41
B 、51
C 、61
D 、9
1
12、某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题准确率为0.4，则他能及格的概率约是（ ）
A 、0.18
B 、0.28
C 、0.37
D 、0.48
二、填空题
1、若事件A 、B 互斥，且61)(=
A P ,3
2
)(=B P ,则=)(B A P 2、设A 、B 、C 是三个事件，“A 、B 、C 至多有一个发生”这一事件用A 、B 、C 的运算式可表示
为
3、1个口袋有带标号的7个白球，3个黑球，事件A ：“从袋中摸出1个是黑球，放回后再摸1
个是白球”的概率是
4、在4次独立重复试验中，事件A 至少出现1次的概率是
81
80
，则事件A 在每次试验中发生的概率是
5、甲、乙两射手彼此独立地射击同一目标，甲击中目标的概率为0.8，乙击中目标的概率为0.9，则恰好有一人击中目标的概率为
三、解答题
1、甲、乙两人射击，甲击中靶的概率为0.8，乙击中靶的概率为0.7，现在，两人同时射击，并假定中靶与否是相互独立的，求：
（1）两人都中靶的概率； （2）甲中靶乙不中靶的概率； （3）甲不中靶乙中靶的概率。
2、将4封不同的信随机地投到3个信箱中，试求3个信箱都不空的概率。
3、加工某一零件共需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2﹪、3﹪、5﹪，假定各道工序是互不影响的，问加工出来的零件的次品率是多少？
4、已知某类型的高射炮在它们控制的区域击中具有某种速度敌机的概率为20﹪。 （1）假定有5门这种高射炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后被击中的概率；
（2）要使敌机一旦进入这个区域后有90﹪以上的可能被击中，需至少布置几门这类高射炮？
5、设事件A 、B 、C 分别表示图中元件A 、B 、C 不损坏，且A 、B 、C 相互独立，
8.0)(=A P ,9.0)(=B P ,7.0)(=C P 。
(1)试用事件间的运算关系表示“灯D 亮”及“灯D 不亮”这两个事件。 (2)试求“灯D 亮”的概率。
C
过关训练参考答案：
一、选择题：1、B 2、A 3、B 4、D 5、C 6、D 7、B 8、A 9、C 10、C 11、D 12、A 二、填空题：1、6
5
2、)()()()(C B A C B A C B A C B A
3、
100
21
（提示：设“从口袋中摸出1个黑球”为事件B ，“从口袋中摸出1个白球”为事件C ，则B 、C 相互独立，且C B A =,∴100
21
103107)()()()(=
?=?==C P B P C B P A P ） 4、32（提示：设事件A 在每次试验中发生的概率为P ，则8180)0(14=-P ） 即811)1(4004=-P P C
∴3
2
=P 5、0.26 （提示：)()(B A P B A P +）
三、解答题：
1、解：事件A 为“甲中靶”， 事件B 为“乙中靶” 则8.0)(=A P ，7.0)(=B P
（1）56.0)()()(=?=B P A P B A P
（2）24.0)7.01(8.0)()()(=-?=?=B P A P B A P （3）14.07.0)8.01()()()(=?-=?=B P A P B A P
2、解：设事件“3个信箱都为空”为A ，将4封不同的信随机地投到3个信箱中的投法共有4
3种；
事件A 所包含的基本事件数为33
2
4
P C ? ∴94
3)(4
3
324==P C A P 3、解：设事件“第一道工序出现次品” 、“第二道工序出现次品” 、“第三道工序出现次品”分别为A 、B 、C ，则=)(A P 2﹪，=)(A P 3﹪，=)(A P 5﹪，事件“某一零件为次品”表示为：C B A ∴=-=-=)(1)(1)(C B A P C B A P C B A P
09693.095.097.098.01)()()(1=??-=-C P B P A P
4、解：（1）设敌机被各炮击中的事件分别为1A ,2A ,3A ,4A ，5A ,那么5门炮都未击中敌机的事件 54321A A A A A C = 因各炮射击的结果是相互独立的，所以
5
5
5
5
54321)5
4()5
1
1()](1[)]([)()()()()()(=-=-==????=A P A P A P A P A P A P A P C P 因此敌机被击中的概率 67.03125
2101
)5
4(1)(1)(5
≈=
-=-=C P C P （2）设至少需要布置n 门这类高射炮才能有90﹪以上的可能击中敌机，由（1）可得
10
9
)108(1>-n 即 1108-=n n
两边取常用对数，并整理得 3.103010
.0311
2lg 311≈?-≈->
n
∴n ≥11 即至少需要布置这类高射炮11门才能有90﹪以上的可能击中敌机 5、解：（1）事件“灯D 亮”表示为C B A )(
事件“灯D 不亮”表示为C B A )(
（2）)()](1[)()(])[(C P B A P C P B A P C B A P ?-=?= 686.07.0)]9.01)(8.01(1[)()]()(1[=?---=??-=C P B P A P
【典型试题】
一、选择题
1、下列式子中，表示“A 、B 、C 中至少有一个发生”的是（ ） A 、C B A B 、C B A C 、C B A D 、C B A
2、某射击员击中目标的概率是0.84，则目标没有被击中的概率是（ ） A 、0.16 B 、0.36 C 、0.06 D 、0.42
3、某射击手击中9环的概率是0.48，击中10环的概率是0.32，那么他击中超过8环的概率是（ ）
A 、0.4
B 、0.52
C 、0.8
D 、0.68
4、生产一种零件，甲车间的合格率是96％，乙车间的合格率是97％，从它们生产的零件中各抽取一件，都抽到合格品的概率是（ ）
A 、96.5％
B 、93.12％
C 、98％
D 、93.22％
5、从1,2,3,4,5,6六个数字中任取两个数，取到两个偶数的概率是（ ）
A 、51
B 、31
C 、21
D 、101
6、在12件产品中，有8件正品，4件次品，从中任取2件，2件都是次品的概率是（ ）
A 、91
B 、101
C 、111
D 、12
1
7、甲、乙两人在同样条件下射击，击中目标的概率分别为0.6、0.7，则甲、乙两人中至少有一人击中目标的概率是（ ）
A 、0.65
B 、0.42
C 、1.3
D 、0.88
8、有一问题，在1小时，甲能解决的概率是32，乙能解决的概率是5
2
，则在1小时两
人都未解决的概率是（ ）
A 、1514
B 、154
C 、54
D 、51
9、样本数据：42,43,44,45,46的均值为（ ）
A 、43
B 、44
C 、44.5
D 、44.2 10、样本数据：95,96,97,98,99的标准差S=（ ）
A 、10
B 、
2
10
C 、2
D 、1 11、已知某种奖券的中奖概率是50％，现买5奖券，恰有2中奖的概率是（ ）
A 、52
B 、85
C 、165
D 、325
二、填空题
1、将一枚硬币连抛掷3次，这一试验的结果共有 个。
2、一口袋装有大小相同的7个白球和3个黑球，从中任取两个，得到“1个白球和1个黑球”的概率是
3、已知互斥事件A 、B 的概率43)(=A P ,6
1
)(=B P ，则=)(B A P
4、已知M 、N 是相互独立事件，65.0)(=M P ，48.0)(=N P ，则=)(N M P
5、在7卡片中，有4正数卡片和3负数卡片，从中任取2作乘法练习，其积为正数的
概率是
6、样本数据：14,10,22,18,16的均值是 ，标准差是 .
三、解答题
1、若A 、B 是相互独立事件，且21)(=A P ，31
)(=B P ，求下列事件的概率：
①)(B A P ②)(B A P ③)(B A P ④)(B A P ⑤)(B A P ⑥)(B A P
2、甲、乙两人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题，求：
①甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率。
②甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率。
3、计算样本数据：8,7,6，5,7,9,7,8,8,5的均值及标准差。
4、12件产品中，有8件正品，4件次品，从中任取3件，求： ①3件都是正品的概率； ②3件都是次品的概率；
③1件次品、2件正品的概率； ④2件次品、1件正品的概率。
5、某中学学生心理咨询中心服务接通率为4
3
，某班3名同学分别就某一问题咨询该服
务中心，且每天只拨打一次，求他们中成功咨询的人数ξ的概率分布。
6、将4个不同的球随机放入3个盒子中，求每个盒子中至少有一个球的概率。
典型试题参考答案：
一、选择题：BACBA CDDBB C
二、填空题：1、8 2、157 3、1211 4、0.818 5、7
3
6、16，52
三、解答题
1、①61 ②32 ③31 ④31 ⑤32 ⑥65
2、①1544512212
10
14
16==?=C C C P ②甲、乙都未抽到选择题的概率：15
2
4562102
4==C C