八年级上册预科班讲义
第一讲：三角形全等
知识点一：
1. 全等三角形的性质：
（1）全等三角形的对应边相等
（2）全等三角形的对应角相等
2. 全等三角形的判定定理：
（1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为“边边边定理”符号表示为：SSS （2）两边和两边所夹的角对应相等的两个三角形全等，简记为“边角边定理”
符号表示为：SAS
（3）两角和两角所夹的边对应相等的两个三角形全等，简记为“角边角定理”
符号表示为：ASA
（4）两角和其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等，简记为“角角边定理”
符号表示为：AAS
（5）直角三角形全等的判定定理：
斜边和直角边对应相等的两个三角形全等，简记为：斜边直角边定理
符号表示为：HL定理
练习1、AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF
练习2、如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。
求证：AM是△ABC的中线。
F
D
C B
A
M
F
E
C B
A
练习3、如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。
练习4、已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。
练习5、已知：如图, AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB 于A , BC =AE ．若AB = 5 ,求
AD 的长度
F
E
D C B
A
C
练习6、如图：AB=AC ，ME ⊥AB ，MF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，ME=MF 。求证：MB=MC
练习7、如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。
求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF
练习8、如图,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．
C
A
A
E B
M C
F
D B
E
C F
A
练习9、如图所示，已知，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且有BF=AC ，
FD=CD ，求证：B E ⊥AC
知识点二
角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等 角平分线的判定定理： 到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上
练习1、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。
求证：DE =DF ．
练习2、如图所示，在△ABC 中，90DCA ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，DE ⊥AB 于E ，
F 在AC 上，BE=CF ，求证：DE=DB
B
练习3、如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．
练习4、已知：如图，BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，且BD=CD ，求证：
（1）△BDE ≌△CDF （2） 点D 在∠A 的平分线上
练习5：如图，已知E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，点F 在BC 上，且∠DAE=∠FAE
求证：AF=AD+CF
C D
E
F O D A B
C F N P M 练习6、已知，如图，C ，
D 是AOB ∠的平分线上的点，C
E ⊥OA 与E ，C
F ⊥OB 于F ，DE=DF
求证：CDE CDF ∠=∠
练习7、如图，PA 、PC 分别是△ABC 的外角MAC ∠和NCA ∠的平分线，它们交于点P ，
PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ，求证：BP 为MBN ∠的平分线
全等三角形综合练习题
1．如图，△ABC ≌△DEF ，BE=4，AE=1，则DE 的长是（ ） A 、5 B 、4 C 、3 D 、2
2、如图，△ACB ≌△A′CB′，∠BCB′=30°
，则∠ACA′的度数为（ ） A 、20° B 、30°
C
、35° D 、40°
A B
3、如图，已知∠1=∠2，AC=AD ，增加下列条件：①AB=AE ；②BC=ED ；③∠C=∠D ；④∠B=∠E ．其中能使△ABC ≌△AED 的条件有（ ）
A. 4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个
4、如图，AB=AC ，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE ，CF 交于D ，则以下结论： ①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③点D 在∠BAC 的平分线上．正确的是（ ） A 、① B 、② C 、①② D 、①②③
5、如图所示，△ABC 是不等边三角形，DE=BC ，以D 、E 为两个顶点作位置不同的三角形， 所作三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可以画出（ ）个 A 、2 B 、4 C 、6 D 、8
6、根据下列条件，能判定△ABC ≌△A ′B ′C ′的是（ ） （A ）AB =A ′B ′，BC =B ′C ′，∠A =∠A ′ （B ）∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，AC =B ′C ′ (C ）∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，∠C =∠C ′
（D ）AB =A ′B ′，BC =B ′C ′，△ABC 的周长等于△A ′B ′C ′的周长 7、下列说法正确的是 （ ）
A ．全等三角形是指形状相同的两个三角形
B ．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C ．全等三角形的周长和面积相等
D ．所有等边三角形是全等三角形
8、△MNP ≌△NMQ ，且MN=8厘米，NP=7 厘米，PM=6 厘米．则MQ 的长为 （ ）
A ．8厘米
B ．7厘米
C ．6厘米
D ．5厘米 9、下列说法中正确的是 （ ）
①有两角及一边对应相等的两个三角形全等； ②三个角对应相等的两个三角形全等；
第4题图
第5题图
A D
C
B
A
F
E
D C
B
O
N
③两边及一角对应相等的两个三角形全等； ④一腰及顶角对应相等的两等腰三角形全等．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10、如图，已知∠1＝∠2，则不一定．．．能使△ABD ≌△ACD 的条件是（ ） A ．AB ＝AC B ．BD ＝CD C ．∠B ＝∠C D ．∠ BDA ＝∠CDA
（第10题） （第11题） （第12题） 11. 如图下列条件中，不能．．证明△ABD ≌△ACD 的是（ ）. A.BD =DC ，AB =AC B.∠ADB =∠ADC C.∠B =∠C ，∠BAD =∠CAD D.∠B =∠C ，BD =DC
12. 如图，已知ABC △中，45ABC ∠=， F 是高AD 和BE 的交点，4CD =，则线段
DF 的长度为（ ）
.
A ．
B ． 4
C ．
D ．13. 在△ABC 中，AB ＞AC ，点D 、
E 分别是边AB 、AC 的中点，点
F 在BC 边上，连接DE ,DF ,EF .则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD 与△EDF 全等（ ）． A ． EF ∥AB
B ．BF =CF
C ．∠A =∠DFE
D ．∠B =∠DFE
（第13题）
14. 如图，OP 平分,MON PA ON ∠⊥于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若
2PA =，则PQ 的最小值为（ ）
A.1
B.2
C.3
D. 4
15．如图，AE＝AF，AB＝AC，∠A＝60?，∠B＝24?，则∠BDC的度数为___________．
（第15题）（第16题）（第17题）
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，E、D、F是BC边的四等分点，则图中全等三角形共有______________对．
17.如图，点,,,
B C F E在同一直线上, 12
∠=∠,BC FE
=,要使ABC DEF
???，还需添加一个条件，这个条件可以是（只需写出一个）．
18．如图，BE、CD是△ABC的高，且BD＝CE，判定△BCD≌△CBE的依据是__________．
（第18题）（第19题）
19．如图，△ABC中，∠C＝90?，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2，则△ABD的面积是_____________．
20、如图，∠DCE=90o，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为A、B。
试说明AD+AB＝BE.
21、如图所示，A ，E ，F ，C 在一条直线上，AE ＝CF ，过E ，F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，
若AB ＝CD ，可以得到BD 平分EF ，为什么？若将△DEC 的边EC 沿AC 方向移动，变为图时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由.
G D
F
A C
B E
G
D
F
A C
B
E
D
C
B
A
第二讲：轴对称
知识点：
1. 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是
2. 轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形 ，就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做 折叠后重合的点是 叫做
3.等腰三角形的性质定理：
（1）等腰三角形两底角相等（简记为：等边对等角）
（2）等腰三角形底边上的中线，高线和顶角的角平分线三线重合，简记为：三线合一“ 4. 等腰三角形的判定：（1）两腰相等 （2）两底角相等（等角对等边） 5. 线段的垂直平分线的定义:
经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线叫做线段的垂直平分线 6. 线段的垂直平分线的性质：
线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。 7. 等边三角形的定义：
三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形 8. 等边三角形的性质：
等边三角形的三个角相等都等于60度 9. 等边三角形的判定：
三个角都相等的三角形是等边三角形 10.有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形 11.一个直角三角形中，30度所对的直角边是斜边的一半
练习1、如图，在△ABC 中AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，求△ABC 各内角的度数
D C
B A 2
1E D C B A D C B A
E
练习2、如图，在△ABC 中AB=AD=DC ，26BAD ∠=?，求B ∠和C ∠的度数
练习3.已知CAE ∠△ABC 的外角，12∠=∠，AD ∥BC ，求证：AB=AC
练习4.如图，△ABC 是等边三角形，DE ∥BC ，交AB ，AC 于D ，E ，求证△ADE 是等边三
角形
练习5、如图，△ABD和△AEC都是等边三角形，求证：BE=DC
练习6
练习7. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，连接EF ，交
AD 于G ，AD 与EF 垂直吗？证明你的结论。
练习8.
B
综合练习题
1、下列图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A
B C D
2、（易错易混点）下列长度的三线段,能组成等腰三角形的是 （ ） A . 1 1 2 B. 2 2 5 C. 3 3 5 D. 3 4 5 3.如图，已知AC ∥BD ，OA =OC ，则下列结论不一定成立的是 （ ） A . ∠B=∠D B. ∠A=∠B C. AD=BC D. OA=OB 4．下列说法正确的是( )
A ．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
B ．顶角相等的两个等腰三角形全等
C ．等腰三角形一边不可以是另一边的二倍
D ．等腰三角形的两个底角相等
5、如图，ABC △与A B C '''△关于直线l 对称，且7848A C '∠=∠=°，°，则∠B 的度数为（
）
A ．48°
B ．54°
C ．74°
D ．78°
6、如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于 （ ）
A. 70°
B. 65°
C. 50°
D. 25°
7、已知M （a ,3）和N （4，b ）关于y 轴对称，则2012
()
a b +的值为（ ） A.1 B 、－1 C.20097 D.2009
7
-
8、如图,∠BAC =110°若MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC ,则∠P AQ 的度数是( ) A.20° B. 40° C. 50° D. 60°
9．轴对称是指____个图形的位置关系;轴对称图形是指____个具有特殊形状的图形. 10、有一条对称轴的三角形是_______三角形,有三条对称轴的三角形是______三角形. 11. 如图，在?ABC 中，0
90=∠A ，BD 是∠ABC 的平分线，DE 是BC 的垂直平分线，则
∠C =____.
12、在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°，则
∠B 等于_____________度．
13、如图，在?ABC 中，AB =AC ，0
50=∠A ，P 是?ABC 内一点，且∠PBC = ∠PCA ，
则∠BPC =_____.
14、如图，△ABC 中,∠A =36°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ,DE ∥BC ,则图中等腰三角形有
_____________个.
15、如图,△ABC 中,DE 是AC 的垂直平分线,AE =3cm ,△ABD 的周长为13cm ,则△ABC 的周长为
____________.
第三讲：整式乘除（1）
知识点：
一.同底数幂的乘法
1. ()()4
2
23
434+2)3
33333333?=?????=个个（个 .
2. 34a a ?= ，m n
a a ?= .（m ，n 为正整数）. 3.同底数幂相乘，底数 ，指数 . 跟踪练习：
56b b = 10x x = 23()()a b a b --=
二、同底数幂的除法
1. 45
4-25
42
25
5555555555
???÷=
=?=?个（）个个 . 2. 42a a ÷= ，m n
a a ÷= （a ≠0，m ，n 都是正整数，m ＞n ）. 3.同底数幂相除，底数 ，指数 . 跟踪练习：
72x x = 4
m m
= 42(1)(1)x x --=
三、幂的乘方
1. ()
2
3332
3
22222223
3333++=??==个个 .
2. ()32a
= ， ()
3
m a = ，()
n
m a
= （m ，n 为正整数）.
3. 幂的乘方，底数 ，指数 . 跟踪练习：
23(10)= 2()n
x = 12
()m y
+=
四、积的乘方
1. 2222()()()()()ab
a b
ab ab ab a a b b =?=???=个个个 .
2. n ()()()()()()n ab
n a
b
n ab ab ab ab a a a b b b =???=???????=个个个 （n 为正整数）. 3.积的乘方，等于把积的每一个因式分别 ，再把所得幂 . 跟踪练习：
342()x y = 523()n m -= 224
(2)x -=
五、单项式乘以单项式的有关计算
1. 2
4
(2)3x x -= ，322
4
23
(2)()(5)a b a b a b -+-= . 2. 992213
y x y x y
x n n m m =??++-，则=-n m 34 .
3. 一长方体的长为7
108?cm ，宽为5
106?cm ，高为9
105?cm ，求长方体的体积． .
六、单项式与多项式相乘的有关计算
1.你是怎么计算23512346??
?-+
???
的？ . 2. 2
(3)(21)a a a -?-+= .
3. 2
2(1)2(1)3(25)x x x x x x -++--= .
规定：任何并不等于0的数的0次幂等于1 即：01(0)a a =≠
强化练习： 1. ()
4
310
= ，4
32()3??
=????
.2. 23()a -= ，()31n a += .
3.若()
3
9n a
a =，则n = . 4.已知58m =，则25m = . 5. ()
()3
223y y
y ??= . 6. ()4
352122
m m m ?-
= . 7.若5x
m =，3y
m =，求32x y
m += 8. 299
2990.125
(8)?-= .
9. 288
290
2332??
???= ? ?????
. 10. 23()x y = ，34(210)?= .
11. 35
()x y -= ，2343
(5)a b c -= .
12. 32
23
(3)(2)x x ?= . 13. ()()
()3
3
333m
n
m n ab
b a b b ?-= .
课堂练习题
1.以下运算正确的是（ ）
A . 45c c c +=
B . 3412c c c ?=
C . 33c c c ?=
D . 34
c c c ?= 2.下面各式的运算结果为14
a 的是（ ）
A . 347a a a a ???
B . 5
9
()()a a -?- C . 8
6
()a a -?- D . 77
a a +
3. 若2x a =，3y a =，则x y a +的值为（ ） A ．5
B ．8
C ．6
D ．
32
4.化简3
2
()()x y y x --为（ ） A ．5
()x y -
B ．6
()x y -
C ．5
()y x - D ． 6
()y x -
5. 5
81001010??= . 6.若+2
22
2=64n ′，那么n =_ ___.
7.若15232768=，20
2
1048576=，则352的个位数字是 .
8.计算：（1）2
5
()()x x x -?-?- （2）2
(410)(210)n
???
9.已知3a
x =，5b
x =，求a b
x +的值.
10. 已知22a =, 26b
=, 212c =,求a 、b 、c 之间的关系.
11.下列运算正确的是（ ）
A ．8
4
2
a a a ÷= B ．0
415??
= ???
C ．33
x x x ÷= D ．422
()()m m m -÷-=-
12. 0
11
22
??+ ???的值为（ ）
A ．1
B ．
12
C ．1
1
2
D ．0 13. 2
3
6
()()m n a a a ÷的结果是（ ） A ．236
m n a
+- B ．326
m n a
+- C ．236
m n a
+-
D ．236
m n a
++
14. 下列计算错误的有（ ）
①623a a a ÷=； ②5
2
7
y y y ÷=； ③32
a a a ÷=；
④422
()()x x x -÷-=-； ⑤852
x x x x ÷?=．
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
15. 若()()()
3
2222x
x
-=-÷-，则x = . 16. 若34
29
x
??= ???，则x = .
17. )1()42(52
2-++-x x x x x =
18. 已知8m x =，5n x =，求m n
x
-的值
初二升初三预科班入学测试题 班级______ 姓名_________ 一．选择题（共8小题，每题4分） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 S 1、S 2，那么 二．填空题（共7小题，每题4分） 9．分解因式：a 2b ﹣4b 3= _________ ． 10．二次根式有意义的条件是 _________ ． 11．若方程2x 2﹣kx ﹣5=0的一个根是﹣1，则k= _________ ． 12．若等腰三角形两边长分别为3和5，则它的周长是 _________ ． 13．如图，延长正方形ACBD 的一边BC 至点E ，使得CE=AC ，连接AE ，则∠E= _____ ． 14．探索规律：如图所示，下列由火柴棒拼出的一系列图形中，第n 个图形中火柴棒的根数是 _________ （用含n 的代数式表示） 15．如图，菱形ABCD 对角线AC=6，DB=8，AH ⊥BC 于点H ，则AH 的长为 _________ ．
三．解答题（共10小题，前5题每题8分，后5题每题10分） 16．解方程组：． 17．解方程：x（2x﹣5）=4x﹣10． 18．解方程：=1﹣． 19．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 20．在直角坐标系xOy中，直线l过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴，y轴分别 交于A，B两点． （1）求直线l的函数关系式； （2）求△AOB的面积． 21．已知a，b是有理数，试说明a2+b2﹣2a﹣4b+8的值是正数． 22．近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率； （2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．
前言 本内容适合七年级进八年级学生暑假提高使用。重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，是学生提高数学水平的好资料。另外，在本次培训中，我们适当安排了实数、整式、函数方面的内容，给学生以学习上的提前量，对培养学生的学习兴趣有一定的帮助。 具体计划如下，以供参考： 第一讲全等三角形（一） 第二讲全等三角形（二） 第三讲轴对称等腰三角形 第四讲实数 第五讲一次函数 第六讲函数的综合应用 第七讲不定方程与应用题 第八讲整式的运算 第九讲因式分解 第十讲图论问题 第十一讲整除的基本知识 第十二讲归纳与枚举 第十三讲复习考试 第十四讲试卷讲评推理问题
第一、二讲全等三角形 一、课标要求 全等形、能够完全重合的两个图形。 全等三角形、能够完全重合的两个三角形。 1. 全等三角形的判定方法有： “SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL” 2. 全等三角形的性质： （1）全等三角形的对应角相等，对应线段（边、高、中线、角平分线）相等。 （2）全等三角形的周长、面积相等。 3. 构造三角形全等常用的基本方法有：“翻折”、“旋转”、“截取”、“倍长中线”，等等。 基础练习： 1、如图，已知AB=AC，D、E分别为AB、AC上两点，∠B=∠C，求证：BD=CE． 2、如图，已知点E、C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．求证：AC=DF． 3、如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．
4、如图，已知：AD是BC上的中线，且DF=DE．求证：BE∥CF． 5、如图，已知PB⊥BA，PC⊥CA，且PB=PC，D是PA上的一点，求证：BD=CD． 6、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长． 基础过关： 1、如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，结论：①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM； ④△ACN≌△ABM．其中正确的有（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、如图所示，AB=AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（） A、∠B=∠C B、AD=AE C、∠ADC=∠AEB D、DC=BE
育英教育初一预科数学综合测试 姓名 分数 一、选择题（3分×10＝30分） 1、2008的绝对值是（ ） A 、2008 B 、－2008 C 、±2008 D 、2008 1 2、下列计算正确的是（ ） A 、－2＋1=－3 B 、－5－2=－3 C 、－112-= D 、1)1(2-=- 3、近几年安徽省教育事业加快发展，据2005年末统计的数据显示， 仅普通初中在校生就约有334万人，334万人用科学记数法表示 为（ ） A 、0.334×710人 B 、33.4×510人 C 、3.34×210人 D 、3.34×610人 4、下列各对数互为相反数的是（ ） A 、－（－8）与＋（＋8） B 、－（＋8）与＋︱－8︱ C 、－2222）与（－ D 、－︱－8︱与＋（－8） 5、计算（－1）÷（－5）×5 1的结果是（ ） A 、－1 B 、1 C 、251 D 、－25 6、三个正整数的比是1：2：4，它们的和是84，那么这三个数中最 大的数是( )。 A 、56 B 、48 C 、36 D 、12 7、小明同学在一条南北走向的公路上晨练，跑步情况记录如下：（向 北为正，单位：m ）：500，－400，－700，800 小明同学跑步的 总路程为（ ） A 、800 m B 、200 m C 、2400 m D 、－200 m 8、方程2152x kx x -+=-的解为-1时，k 的值为( )。 A 、10 B 、-4 C 、-6 D 、-8 9、某市举行的青年歌手大奖赛今年共有a 人参加，比赛的人数比去 年增加 20%还多3人，设去年参赛的人数为x 人，则x 为( )。 A 、3120%a ++ B 、(120%)3a ++ C 、 3 120%a -+ D 、(120%)3a +-
八年级数学（上）知识点 人教版八年级上册主要包括三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘除与分解因式和分式五个章节的内容。 第十一章三角形 一．知识框架 二．知识概念 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。 4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。 5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。 6.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 7.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 8.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 9.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 10.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 11.公式与性质 三角形的内角和：三角形的内角和为180° 三角形外角的性质： 性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180° 多边形的外角和：多边形的内角和为360°。 多边形对角线的条数：（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。
新人教版八年级下册数学知识点归纳 二次根式 【知识回顾】 1. 二次根式： 式子 a （ a ≥ 0 ）叫做二次根式。 2. 最简二次根式： 必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中 不含开方开的尽的因数或因式 ； ⑵被开方数中 不含分母 ； ⑶分母中 不含根式 。 3. 同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后， 若被开方数相同， 则这几个二次根式就是同类二次根 式。 4. 二次根式的性质： （1 ）（ a ）2 = a （ a ≥0 ）； （22 ） a （ a ＞ 0） a 0 （ a =0）； a a （ a ＜0） 5. 二次根式的运算： （ 1 ）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以 用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式， ? 变形为积的形式， 再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根 号里面．
（2 ）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3 ）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab = a · b （a≥0，b≥0）；b b （b≥0，a>0）．a a （4 ）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律， ?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 例 3、在根式 1) a2 b2 ;2) x ;3) x2 xy ;4) 27abc ，最简二次根式是（）5 A．1) 2) B ．3) 4)C．1) 3)D．1) 4) 例 5 、已知数 a， b，若(a b)2=b－a，则() A. a>b B. a八年级预科班数学资料
八年级预科班数学资料 Revised as of 23 November 2020
八年级数学暑假预科资料学习目标：了解数的算术平方根及平方根的概念，并会用符号表示；理解平方与开方之间是互为逆运算的关系，会用计算器求一些正数的算术平方根 重点：了解数的算术平方根及平方根的概念，会求某些非负数的平方根，会用根号表示一个数的平方根 难点：a是非负数；正确区分算术平方根与平方根 第1课时 一.创设情景，导入新课 请同学们欣赏本节导图，并回答问题，学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高 dm的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块兴，他想裁出一块面积为252 12dm 正方形画布的边长应取多少dm如果这块画布的面积是2 这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题（引入新课） 二.合作交流，归纳概念： 讨论：1、什么样的运算是平方运算 2、你还记得1～20之间整数的平方吗 ，那么正数x叫做a的算术平方根，一般地，如果一个正数x的平方为a，即2x a a，其中a叫做被开方数(a≥0) 另外：0的算术平方根是0 注意：被开方数为非负数. 探究：怎样用两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的大正方形
把两个小正方形沿对角剪开，将所得的四个直角形拼在一起，就的到一个面 积为2的大正方形。 设大正方形的边长为x ，则22x = 由算术平方根的意义，x = 三.应用迁移，巩固提高 例1. 求下列各数的算术平方根 ⑴100 ⑵ 4964 ⑶ ⑷0 ⑸124 点拨：由一个数的算术平方根的定义出发来解决问题 思考：－4有算术平方根吗 例2.x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 2x ≥ C. 2x > D. 2x ≤ 例3. 若()2 130x y -++=，求,,x y z 的值。 拓展：已知21a -的算术平方根是3，31a b +-的算术平方根是4，c 分，求2a b c +-的算术平方根 四.课堂跟踪反馈 1、非负数a 的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，0的算术平方根是____ ____,_____=== 2_____, 0.64-的算术平方根____
人教版八年级下册数学课本知识点归纳 第十六章 分式 一、分式; 1. 分式：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。 (分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零 ) 2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除)以一个不等于0的整式，分式的值不变。用式子表示如下： （C ≠0） 其中A,B,C 是整式 3．最简公分母：取各分母的所有因式的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母 4．通分：分子和分母同乘最简公分母，不改变分式值，把几个整式化成相同分母的分式。这个过程叫通分。（分母为多项式时要分解因式） 5．约分：约去分子和分母的公因式，不改变分式值，这个过程叫约分。 二、分式的运算; 1．分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 2．分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 上述法则可以用式子表示： 3分式乘方法则：一般地，当n 为正整数时 这就是说， 分式乘方要把分子、分母分别乘方 4．分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。 上述法则可用以下式子表示：,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd ±±±= ±=±= 5．整数指数幂; C B C A B A ??=C B C A B A ÷÷=bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=?;n n n b a b a =)(
1．任何一个不等于0的数的0次幂等于1， 即)0(10≠=a a ； 当n 为正整数时，n n a a 1 =- （ )0≠a ，也就是说a n (a≠0)是a -n 的倒数。 正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数) （1）同底数的幂的乘法：n m n m a a a +=?； （2）幂的乘方：mn n m a a =)(; （3）积的乘方： n n n b a ab =)(； （4）同底数的幂的除法：n m n m a a a -=÷( a ≠0)； （5）商的乘方：n n n b a b a =)(( n 是正整数)；( b ≠0) 三、分式方程; 1. 分式方程：分母中含未知数的方程叫分式方程。 (解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。) 2．解分式方程的步骤 ：(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根。 3．分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 四、列方程应用题: 1．列方程应用题的步骤是什么？(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答。 2．应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种： (1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间 而行程问题中又分相遇问题、追及问题． (2)数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法． (3)工程问题 基本公式：工作量=工时×工效．
八上数学公式： 第十一章：三角形 1、三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边； （注：只要最短的两边之和大于最长边，则可围成三角形） 2、两边之差＜第三边＜两边之和，即：第三边c的取值范围是：a-b＜c＜a+b; 3、锐角：大于0°小于90°的角，钝角：大于90°小于180°的角， 4、锐角三角形的三条高交于三角形内部一点；钝角三角形的三条高不相交于一点，但三条高所在直线交于外部一点；直角三角形的三条高交于直角顶点； （注：三角形三条高所在直线交于一点） ∵AD是高: ∴∠ADB=∠ADC=90° 5、三角形三条中线相交于三角形内一点，且把三角形分成面积相等的两部分； 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。 :如图3：∵AD是△ABC的中线，∴ 1 ;22 2 BD DC BC BC BD DC ==== 6、三角形三条角平分线相交于三角形内一点，且这点到三角形三边的距离相等；如图4： ∵AD是△ABC角平分线，∴ 1 22 2 BAD CAD BAC BAC BAD CAD ∠=∠=∠∠=∠=∠ ，； 7、三角形的高、中线、与角平分线都是线段；8、三角形具有稳定性，而四边形没有稳定性。 9、三角形三个内角的和等于180°；10、正北与正北平行，正南与正南平行； 11、直角三角形的两个锐角互余，即相加等于90°；有两个角互余的三角形是直角三角形； 12、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 13、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和； ∴∠ACD=∠A+∠B 14、过多边形的一个顶点出发作它的对角线，可以作出（n－3）条对角线； 15、多边形的对角线总数=1 2 ()3 n n－条； 16、正多边形：边和角都相等的多边形；正三角形也就是等边三角形，正四边形也就是正方形； 17、n边形内角和等于（n－2）×180°；多边形外角和都等于360°； 正n边形每个内角的度数= 2180 n n ?? （－） ；正n边形每个外角的度数=360 n ? ； （注：内角相等，则外角也相等，因为外角与相邻内角的和等于180°） 18、一个多边形的边都相等，则它的内角不一定都相等；反之，一个多边形的内角都相等，则它的边不一定都相等；多边形最多有3个锐角； 19、只有正三角形、正四边形、正六边形可以一种镶嵌。 第十二章：全等三角形 1、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；“全等”用“≌”表示，读作“全等于”； 2、全等三角形的对应边相等，对应角相等；周长相等，面积相等； 3、判定两个三角形全等的5个方法：
八年级数学预科暑期结业考试 一．选择题 1、下列说法正确的是（ ） A 、3是-9的算术平方根 B 、-3是（-3）2的算术平方根 C 、8的立方根是2± D 、16的平方根是4± 2、观察下列各组数：①7,24,25；②9,16,25；③8,15,17；④12,15,20.其中能作为直角三角形边长的组数为（ ） A 、4 B 、3 C 、2 D 、1 3、估算728-的值在（ ） A 、2和3之间 B 、3和4之间 C 、6和7之间 D 、7和8之间 4、 直角三角形的两条直角边长为a ，b ，斜边上的高为h ，则下列各式中总能成立的是（ ） A ．ab =h 2 B ．a 2+b 2=h 2 C ．111a b h += D ．222111a b h += 5、－27的立方根与81的算术平方根的和是（ ） A ．0 B ．6 C ．6或－12 D ．0或6 6、已知点P (a ，b )，ab ＞0，a+b ＜0，则点P 在( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7、1P （1x ，1y ），2P （2x ，2y ）是正比例函数y x =-图象上的两点，则下列判断正确的是（ ） A ．1y ＞2y B ．1y ＜2y C ．当1x ＜2x 时，1y ＞2y D ．当1x ＜2x 时，1y ＜2y 8、已知正比例函数y kx =（k 是常数，k ≠0）的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数y k x =-的图象大致是（ ）． 9、函数y ＝ 321 2x x x ---+的自变量取值范围是( ) A. －2≤x ≤2 B. x ≥－2且x ≠1 C. x ＞－2 D.－2≤x ≤2且x ≠1 二、填空题（每小题3分，共21分） 10、已知：△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，BC 边上的高AD ＝12，BC ＝_______． 11、化简：364-_________ 12、已知1y -和12x -互为相反数，且0x ≠，y x ＝_________ 13、已知点P （2，-3）与Q （x ，y ）在同一条平行y 轴的直线上，且Q 到x 轴的距离为5，
人教版八年级上册数学知识点汇总第十一章全等三角形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点。 对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边。 对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角。 三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就 全确定，这个性质叫做三角形的稳定性。 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。 边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 角角边（AAS）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 画法：课本第19页。 性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 1、明确命题中的已知和求证。 2、根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证。 3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。 第十二章轴对称 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。 两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个 图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条 线段的垂直平分线。 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰 的夹角叫做底角。 等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 1、不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对对称的性质称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 2、对称的图形都全等。
人教版八年级数学上册 知识点汇总框架图 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
人教版八年级上册数学知识点汇总 第十一章全等三角形 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点。 对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边。 对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角。 三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、 大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性。 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。 边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 角角边（AAS）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角 形全等。 斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角 形全等。 画法：课本第48页。 性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分 线上。 、明确命题中的已知和求证。 、根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证。 、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。 第十二章轴对称 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。 两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与 另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这 条直线对称。 基本概念线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫 做这条线段的垂直平分线。 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条 边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶 角，底边与腰的夹角叫做底角。 等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 1、不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对 称，对 对称的性质称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 基本性质 2、对称的图形都全等。
第一讲：万能解题公式（1） 1、数学学习的特点：知识是基本要求；能力是数学的灵魂 2、解题思路是皇冠上的明珠 3、万能解题公式的渊源 第一步是高中时的几何题练习 第二步是十年前的首次提出 第三步一道98%的人都不会做的题目有了十多种解法 第四步是最近这几年的反复琢磨，有了更深的体会，特别是对于第三条有了更多的深入的理解与丰富的内涵，这是一个人的才能最集中的反映 4、万能解题公式的基本内容 第一、从结论出发：这是万能解题公式的核心 第二、必要时对结论作变形处理：这是上一个的要求 第三、对已知条件充分、集中、灵活的运用 4、经典的题目的讲解 已知△ABC，∠B=2∠C，AD⊥BC,M为BC中点，求DM=二分之一AB
第二讲：万能解题公式（2） 以八年级培优教材作为主要的内容 讲解万能解题公式 如何叫做从结论出发、如何叫做必要时对结论作变形处理、如何叫做对已知条件进行充分、集中、灵活运用，具体题目练习演示，让学生从中学习、体验 四道题目 第三讲：常见的结论类型 常见的八大杰伦类型 1、求角度 2、求长度 3、角度相等 4、长度相等 5、线段之比（或者之积）相等 6、求最值（二次函数、均值不等式、垂线段最短、各种具体的问题等） 7、证切线 8、证线段之间关系（平行、垂直等） 9、主要项为平方项 10、将军饮马问题 第四讲：常见的几何结构 1、角平分线 2、中线
3、嵌套结构 4、旋转问题 5、弦切角 6、燕子结构 7、双相似结构 8、正方形 9、等边三角形 10、定角对定弦 11、相交弦 12、切割线定理 13、射影定理 14、转化为半圆上的角度 15、圆内接四边形 16、75°、15° 17、重要的数学思想：数形结合的思想；设未知数的思想；转移替换的思想；一题多解的思想；圆的思想；解析几何的思想；特殊值法 18、 第五讲：相似三角形 相似三角形 几种类型：角角；边边边；边角边 关键是灵活运用
提高数学成绩的措施 -------**** 本学期我担任八（9）班、八（13）班两个班的数学教学，八年级是初中学习过程中的关键时期，学生基础的好坏，直接影响到将来是否能升学。本班是刚刚接手，对班上学生不了解，从原科任老师处得知：后进生却较多，有不少学生不上进，基础特差，问题较严重，两极分化非常严重，两个班的中等偏下学生都很多。要在本期获得理想成绩，老师和学生都要付出努力，查漏补缺，充分发挥学生是学习的主体，教师是教的主体作用，注重方法，培养能力。 一、教学措施： 1．认真研读新课程标准，钻研新教材，根据新课程标准，扩充教材内容，认真上课，批改作业，认真辅导，让学生学会认真学习。 2．兴趣是最好的老师，激发学生的兴趣，给学生介绍数学家、数学史，介绍相应的数学趣题，给出数学课外思考题，激发学生的兴趣。 3．认真做好午练工作，要求学生按时到位，保证出勤率，提前安排午练任务，当堂反馈午练中遇到的题目。 4．引导学生积极归纳解题规律，引导学生一题多解，多解归一，培养学生透过现象看本质，提高学生举一反三的能力，培养学生的发散思维，让学生处于一种思如泉涌的状态。 5．运用读新课程标准的理念指导教学，积极更新自己脑海中固有的教育理念，不同的教育理念，将带来不同的教育效果。
6．培养学生良好的学习习惯，有助于学生进步提高学习成绩，发展学生的非智力因素，弥补智力上的不足。 7．进行个别辅导，优生提升能力，扎实打牢基础知识，对差生，一些关键知识，辅导差生过关，为差生以后的发展铺平道路。 8．搞好单元测试、周清及试卷分析，针对试卷中存在的问题，及时采取行之有效的补救措施，切实解决学生数学学习中存在的困惑。 二、课后辅导： 为了更好地提高教学效果，补充课堂教学中的不足之处，辅导是必不可少的一环，主要有： 1、布置作业，及时检查并订正。 2、课后对学生知识掌握情况进行调查，教学效果进行咨询，哪些知识点还需进一步巩固，哪些知识还没有讲解透彻，可以从学生那里获得第一手资料，从而调整自己的教学计划。 3、激励学生多问为什么，扩大学生的知识视野。 4、努力开展培优辅困活动，补充课堂教学的不足之处，调动学生学习的积极性和学习兴趣。 5、及时了解学生的思想变化，帮助学生解决学习与生活中的一些难点，及时做好学生的政治思想工作。
2010-2011学年度第一学期期末调研考试 八年级数学试卷 注意：本试卷共8页，三道大题，26个小题，总分120分。时间120分钟。 题号 一 二 三 总分 19 20 21 22 23 24 25 26 得分 一、 选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一个正确， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1、9的算术平方根是 A ．3 B ．-3 C ．3± D ．81 2、绝对值最小的实数是 A ．-1 B ．0 C ．1 D ．不存在 3、使9-x 有意义的x 的取值范围是 A ．9≤x B ．9
八年级数学暑假预科资料 学习目标：了解数的算术平方根及平方根的概念，并会用符号表示；理解平方与开方之间是互为逆运算的关系，会用计算器求一些正数的算术平方根 重点：了解数的算术平方根及平方根的概念，会求某些非负数的平方根，会用根号表示一个数的平方根 难点：a大小的估算及如何理解a是非负数以及被开方数a是非负数；正确区分算术平 方根与平方根 第1课时 一.创设情景，导入新课 请同学们欣赏本节导图，并回答问题，学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为252 dm的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少dm？如果这块画布的面积是2 12dm？ 这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题（引入新课） 二.合作交流，归纳概念： 讨论：1、什么样的运算是平方运算？ 2、你还记得1～20之间整数的平方吗？ 一般地，如果一个正数x的平方为a，即2x a =，那么正数x叫做a a，读作根号a，其中a叫做被开方数(a≥0) 另外：0的算术平方根是0 注意：被开方数为非负数. 探究：怎样用两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的大正方形 把两个小正方形沿对角剪开，将所得的四个直角形拼在一起，就的到一个面积为2的大正方形。 设大正方形的边长为x，则22 x= 由算术平方根的意义，2 x= 2 2在哪两个整数之间？ 思考：你能举些象2这样的无限不循环小数吗？ 三.应用迁移，巩固提高 例1.求下列各数的算术平方根 ⑴100 ⑵49 64 ⑶0.0001 ⑷0 ⑸ 1 2 4 点拨：由一个数的算术平方根的定义出发来解决问题思考：－4有算术平方根吗？
1．若抛物线c bx ax y ++=2的顶点在第一象限，与x 轴的两个交点分布在原点两侧，则点（a ，a c ）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．若双曲线)0(≠=k x k y 的两个分支在第二、四象限内，则抛物线222k x kx y +-= 的图象大致是图中的（ ） 3．如图是二次函数c bx ax y ++=2的图象，则一次函数bc ax y +=的图象不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 第3题图 4．若点（2，5），（4，5）是抛物线c bx ax y ++=2上的两个点，那么这条抛物线的对称轴是（ ） A ．直线1=x B ．直线2=x C ．直线3=x D ．直线4=x 5．已知函数772--=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．47- k B ．047≠-≥k k 且 C ．47-≥k D ．04 7≠-k k 且 6 下列所给的对象能构成集合的___________。 （1）所有的正三角开； （2）高一数学必修1课本上的所有难题； （3）比较接近1的正整数全体； （4）某校高一年级的确16岁以下学生； （5）平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合； （6）参加北京奥运会的年轻运动员； 7.0,0,,a b r s Q >>∈时，r s a a =______; ()r s a =_______; ()r ab =_________ 8.n n a =_____________; 9.分数指数幂：=n m a ；=-n m a 10.对数的性质和运算法则： 恒等式①=N a a log ；②=N a a log ； ③=a N b b log log ; ④b a log ______a b log 1; ⑤=n a b m log 积、商、幂、方根的对数①=+N M a a log log ； O y x
复习部分 一元一次方程的应用思维训练 学习目标：1、巩固一元一次方程的解法 2、通过列方程解数字问题，调配问题培养学生的思维能力 学习重点：通过列方程解数字问题，调配问题培养学生的思维 学习难点：寻找题中的数量关系 学习过程： 导入新课： 前面我们已经体会到方程是刻画现实数量关系的重要工具，通过列方程可以帮我们解决许多的现实问题，今天我们进一步来学习一元一次方程的应用，感受方程的作用，数学的价值。 例题讲解： 例1：一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的新数就比原数大63，求原来的两位数。 例2：三个连续奇数的和为39，求这三个奇数。 思路点拨： 例1：要弄清楚数的表示方法：一个三位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，百位上的数字为c，则这个三位数为100c+10b+a。 设原来的两位数个位上的数为x，则十位上的数为（11-x）,则原来的两位数表示为 10（11-x）+X,那么新两位数表示为(10x+11-x)所以10x+11-x-63=10(11-x)+X，解方程得x=9,则原来的两位数为29. 例2：两个连续奇数，较大的比较小的大2，偶数是2n表示，奇数用2n+1或2n-1表示。 三个连续奇数设中间的奇数为（2n+1）,则另外两个为(2n+3),(2n-1),所以（2n+1）+（2n+3）+（2n-！）=39解这个方程的n= 6，那么这三个连续奇数为11，13,15. 2、展示例 3、例4 例3：某车间有26个工人，每人平均每天可加工螺栓120个或螺母180个，要使每天加工的螺栓与螺母配套（一个螺栓配两个螺母），应如何分配加工螺栓和螺母的工人？ 例4：学校组织植树的活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树的人数的2倍，应调往甲、乙处各多少人？ 思路点拨：例3：注意配套的比例关系，一个螺栓配两个螺母，说明为使每天加工的螺栓和螺母配套，生产的螺母的数量要是螺栓的数量的2倍。设安排x人生产螺栓，则（26-x）人生产螺母，2×120x= （26-x）·180 例4分析：从调配后的数量关系中找等量关系，常见和、差、倍关系，注意调配对象流动
高一数学预科第1讲：集合及其运算 一、集合的含义与表示： 1.集合的表示方法：① ② ③ 2．关于集合的元素的特征： （1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两 种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应 重复出现同一元素。 （3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的 数轴顺序书写。 3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示； （1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A （2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ?A （“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写） 4．常用数集的记法： （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + { } ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，， 210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {} 整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {} 数数轴上所有点所对应的=R 5．两个集合相等：如果两个集合所含的元素完全相同，则称这两个集合相等。 6. 有限集合、无限集合、空集的定义 例题1.下列各组对象不能组成集合的是( ) A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题 C.被3除余2的所有整数 D.函数y=x 1 图象上所有的点 练习：下列条件能形成集合的是( ) A.充分小的负数全体 B.爱好足球的人 C.中国的富翁 D.某公司的全体员工 例题2、填空：或用符号?∈ （1） -3 N ； （2）3.14 Q ； （3）3 1 Q ； （4）0 Φ ； （5）3 Q ； （6）2 1 - R ； （7）1 N +； （8）π R 。 练习：下列结论中，不正确的是( ) A.若a ∈N ，则-a ?N B.若a ∈Z ，则a 2∈Z C.若a ∈Q ，则｜a ｜∈Q D.若a ∈R ，则R a ∈3 例题3：用列举法表示下列集合： ① {|x x 是15的正约数} ②{(,)|{1,2},{1,2}}x y x y ∈∈ ③{(,)|2,24}x y x y x y +=-= ④ {|(1),}n x x n N =-∈ ⑤{(,)|3216,,}x y x y x N y N +=∈∈ 例题4：用描述法表示下列集合： ① {1,4,7,10,13}； ②{2,4,6,8,10}----- ③1,1,1,1 课堂练习： 1.下列说法正确的是 ( ) A.{}1,2,{}2,1是两个集合 B.{}(0,2)中有两个元素 C.6| x Q N x ? ? ∈∈???? 是有限集 D.{} 2|20x Q x x ∈++=且是空集 2.将集合{}|33x x x N -≤≤∈且用列举法表示正确的是( ) A.{}3,2,1,0,1,2,3--- B.{}2,1,0,1,2-- C.{}0,1,2,3 D.{}1,2,3 3.给出下列4个关系式：{}3,0.3,0,00R Q N + ∈?∈∈其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.下列元素与集合的关系中正确的是( ) A.N ∈2 1 B.2{x R|x ≥3} C.|-3|N* D.-3.2Q 5.给出下列四个命题： (1)很小的实数可以构成集合； (2)集合{y|y=x 2-1}与集合{(x,y)|y=x 2-1}是同一个集合； (3)1, 23,4 6 ,21-,0.5这些数字组成的集合有5个元素； (4)集合{(x ,y )|xy ≤0,x ,y R}是指第二象限或第四象限内的点的集合. 以上命题中,正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 6.下列集合中表示同一集合的是( ) A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={3,2},N={(2,3)} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={1,2},N={2,1} 7.已知x N,则方程2 20x x +-=的解集为( ) A.{x|x=-2} B. {x|x=1或x=-2} C. {x|x=1} D. 1
高一数学预科资料 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT
高一数学预科资料 前言 课时安排： 第一讲集合的含义与表示(1)及集合间的基本关系(2) 第二讲集合的基本运算（一） 第三讲集合的基本运算（二） 第四讲第一章复习及检测 第五讲补充内容不等式 第六讲函数的概念及函数的表示法 第七讲单调性与最大（小）值 第八讲奇偶性 第九讲函数单调性与奇偶性的复习 第十讲指数与指数幂的运算 第十一讲指数函数及其性质（一） 第十二讲指数函数及其性质（二） 第十三讲对数及对数函数 第十四讲幂函数 第十五讲二次函数（加强）及单元自测 第一讲集合的含义与表示（1） 、引入 在小学和初中，我们已经接触过一些集合，例如：
（1）自然数的集合； （2）有理数的集合； （3）不等式37<-x 的解的集合； （4）到一个定点的距离等到于定长的点的集合（即 ）； （5）到一条线段的两个端点距离相等的点的集合（即 ） II 、新授 一、集合的概念： 新教材：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ），把一些元素组成的总 体叫做集合（set ）（简称为集 ）。 旧教材：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集。集合中的每 一个对象叫做这个集合的元素。 例1：判断下列哪些能组成集合。 （1）1~20以内的所有质数； （2）我国从1991~2003年的 13年内所发射的所有人造卫星； （3）金星汽车厂2003年生产的所有汽车； （4）2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家； （5）所有的正方形； （6）到直线l 的距离等于定长 d 的所有的点； （7）方程0232=-+x x 的所有实数根； （8）新华中学2004年9月入学的所 有的高一学生。