近年来中考数学试题难度增大，加强对学生动手操作能力的考查
操作探究型问题：
近年来中考数学试题加强了对学生动手操作能力的考查，这类试题能够有效地考查学生的实践能力、创新意识和直觉思维能力，解决这类问题需要通过观察、操作、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括等实践活动和思维过程，灵活运用所学知识和生活经验，探索和发现结论，从而解决问题。
（一）利用图形的变换作图
①利用平移：把一个图形沿一定方向平移一定距离
②利用旋转：把一个图形沿一个定点旋转一定角度
③利用轴对称：作出一个图形的轴对称图形
④利用位似：把一个图形放大或缩小
（二）设计测量方案题
对于较高不能直接测量或有障碍物不能直接进行测量的物体，利用所学知识，设计测量方案，得出测量结果。
（三）动手操作题
动手操作题可分为图形折叠型动手操作题、图形拼接动手操作题、图形分割型动手操作题和作图型动手操作题等四种类型。
中考数学专题复习——操作探究 一.选择题 1． （2018?临安?3 分.）如图，正方形硬纸片A BCD的边长是4，点E.F分别是A B.BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（） A．2 B．4 C．8 D．10 2. （2018?嘉兴?3 分）将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（） A. （A） B. （B） C. （C） D. （D） 3. （2018?广西南宁?3 分）如图，矩形纸片A BCD，AB=4，BC=3，点P在B C 边上，将△CDP 沿D P 折叠，点C落在点E处，PE.DE 分别交A B 于点O、F，且O P=OF，则c os∠ADF 的值为 （） A．11 13 B． 13 15 C． 15 17 D． 17 19 4.（2018?海南?3 分）如图1，分别沿长方形纸片A BCD 和正方形纸片E FGH 的对角线A C，EG 剪开，拼成如图2所示的?KLMN，若中间空白部分四边形O PQR 恰好是正方形，且?KLMN 的面积为50，则正方形E FGH 的面积为（）
A．24 B．25 C．26 D．27 二、填空题 1. （2018?杭州?4 分）折叠矩形纸片 ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，点A 落在D C 边上的点F处，折痕为D E，点E在A B 边上；②把纸 片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点C落在直线A E 上的点H处，折痕为D G，点G在B C 边上，若 AB=AD+2，EH=1，则A D= 。 2.（2018?临安?3 分.）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5 个大小一样的正方 形制成如图所示的拼接图形（实线部分） ，经折叠后发现还少一个面，请你在图中的拼接图形 上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子（添加所有符 合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示） ． 3.（2018?金华、丽水?4分）如图2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形A BCD内， 装饰图中的三角形顶点E，F分别在边A B，BC上， 三角形①的边G D在边A D上，则AB BC 的值 是． 4. （2018·湖北省恩施·3 分）在Rt△ABC 中，AB=1，∠A=60°，∠AB C=90°，如图所示将R t△ABC沿直线l无滑动地滚动至R t△DE F，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭 图形的面积为．（结果不取近似值）
2020中考数学几何探究题解析 分析： 第一小题比较简单，一看就知道是个正方形； 第二小题看图的话，感觉像是两个线段相等，那么要证明F是CE'中点，而这个时候要注意FE'是在正方形中的，所以要懂得线段的转换； 第三小题只有两个线段长度，咋一看感觉应该有难度吧，但是如果善于发现，就很容易找到突破口了。
解答： （1）正方形 理由：BE=BE'， ∠EBE'=∠BE'F=90° 所以BE//FE' 同时可得EF//BE' 所以四边形FEBE'是矩形， 同时又邻边相等 所以正方形成立； （2）分析的时候已经说了，不能忘记FE'是在刚才的正方形中的，而同时两个线段都在线段CE'上，所以要好好研究这个CE' 根据旋转可知CE'=AE 而题中刚好又给了DA=DE 这不等腰三角形吗 有等腰三角形，那么首先就想到了三线合一，干脆画出来 如图，作DH⊥AE于H，则AH=EH 别忘了刚才的AE=CE' 现在AE倒被分成了两个线段的线段， 那么如果F是CE'中点，那么CF和FE'不是就和AH、EH一样吗所以我们如果能够得到FE'等于AE的一半不是也行嘛 根据条件可以得证 △DAH≌△ABE 所以AH=BE=BE'
现在正方形派上用场了，所以FE'=BE=AH=HE 即AE=2FE' 那么CE'=2FE' 所以CF=FE' （3）这一小题给出的两个线段其实是有联系的，不知道看到这的你是否发现了 CF=3，AB=15 看看CF在什么位置，不是在刚才的CE'上吗，凑上FE'就刚好变成CE'了，而CE'=AE，同时还有FE'=BE， 所以我们如果假设FEBE'的边长为x， 那么BE=x，AE=CE'=3+x，AB=15 勾股定理走起， 可得x2+（3+x）2=152 根据经验可以直接判断BE=9，AE=12，符合3、4、5的比例嘛 现在知道了BE和AE，那么题上让求DE， 我们可以让DE处于直角三角形，利用勾股定理解决 这里可以过D向AE作垂线，也可以过E向AD作垂线， 前者刚好能构造出前面用过的全等，所以作DM⊥AE于M
——圆 ◆知识讲解 一．圆的定义 1、在一个平面内，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。 2、圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合。 3、确定一个圆需要两个要素：一是位置二是大小，圆心确定其位置，半径确定其大小。 4、连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弦记作“圆弧AB”，或者“弧AB”。大于半圆的弧叫作优弧（用三个字母表示，如ABC）叫优弧；小于半圆的弧（如AB）叫做劣弧。 二、垂直于弦的直径、弧、弦、圆心角 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弦。 2、垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 3、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等。 在等圆中，弦心距相等的弦相等。 三、圆周角 1、定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角。 2、定理：一条弧所以的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。 3、推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所以的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 四、点和圆的位置关系 1、设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d。 则d>r ?点在圆外，d=r ?点在圆上，d 问题提出： 如图①，将一直角三角形纸片△ABC折叠，使点A与点C重合，这时DE为折痕，△CBE 为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”. 知识运用： （1）如图②，正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出折痕； （2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个斜三角形ABC，使其顶点A在格点上，且△ABC折成的“叠加矩形”为正方形； （3）若一个锐角三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是什么？结合图③，说明理由。 拓展应用： （4）如果一个四边形一定能折成"叠加矩形",那么它必须满足的条件是什么？ 23．（本小题满分10分） 提出问题：如图①，在四边形ABCD 中，点E 、F 是AD 的n 等分点中最中间2个，点G 、H 是BC 的n 等分点中最中间2个，（其中n 为奇数），连接EG 、FH ，那么S 四边形EFHG 与S 四边形 之间有什么关系呢？ 探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手： (1).如图②：四边形ABCD 中，点E 、F 是AD 的3等分点，点G 、H 是BC 的3等分点，连接EG 、FH ，那么S 四边形EFHG 与S 四边形ABCD 之间有什么关系呢？ 如图③，连接EH 、BE 、DH ， 因为△EGH 与△EBH 高相等，底的比是1:2， 所以S △EGH = 2 1 S △EBH 因为△EFH 与△DEH 高相等，底的比是1:2， 所以S △EFH = 2 1 S △DEH 所以S △EGH +S △EFH =21S △EBH +21 S △DEH 即S 四边形EFHG =2 1 S 四边形EBHD 连接BD ， 因为△ABE 与△ABD 高相等，底的比是1：3， 所以S △ABE = 3 1 S △ABD 因为△CDH 与△BCD 高相等，底的比是1：3， 所以S △CDH =3 1 S △BCD 所以S △ABE +S △CDH =31S △ABD +31S △BCD =31(S △ABD +S △BCD )=31 S 四边形ABCD 所以S 四边形EBHD =32 S 四边形ABCD 所以S 四边形EFHG =21S 四边形EBHD =21×3 2S 四边形ABCD =31 S 四边形ABCD 图③ 图 ① 图 ② 探究性几何问题 1．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，点M，Q分别是边AB，BC 上的动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x． （1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC； （2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由； （3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值． 2．如图，等边△ABC中，AB=6，点D在BC上，BD=4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE． （1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB； （2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S=S1-S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当B，F，E三点共线时．求AE的长． 3．如图1和2，Y ABCD中，AB=3，BC=15，tan∠DAB 4 3 ．点P为AB延 长线上一点，过点A作⊙O切CP于点P，设BP=x． （1）如图1，x为何值时，圆心O落在AP上？若此时⊙O交AD于点E，直接指出PE与BC的位置关系； （2）当x=4时，如图2，⊙O与AC交于点Q，求∠CAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧?PQ长度的大小； （3）当⊙O与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围． 4．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD 上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q． （1）求证：△PDE≌△QCE； （2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB=PQ时， ①求证：四边形AFEP是平行四边形； ②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由． 圆的证明与计算 1.如图，已知△ABC 内接于△O ， P 是圆外一点，P A 为△O 的切线，且P A ＝PB ，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点D . （1）求证：PB 为△O 的切线； （2）若P A ＝4 5PO ，△O 的半径为10，求线段 PD 的长. 第1题图 (1)证明：△△△△△△OA △OB △ 第1题解图 △P A △PB △OA △OB △OP △OP △ △△OAP △△OBP (SSS)△ △△OAP △△OBP △ △P A △△O △△△△ △△OAP △90°△ △△OBP △90°△ △OB △△O △△△△ △PB △△O △△△△ △△Rt△AOP △△OA △PO 2 △△4 5PO △2△10△ △△PO △50 3△ △cos△AOP △AO OP △OD AO △ △OD △6△ △PD △PO △OD △32 3. 2. △△△△△ABC △△AB △AC △△D △BC △△△△△AD △DC △△A △B △D △△△△O △AE △△O △△△△△△DE . △1△△△△AC △△O △△△△ △2△△cos C △3 5△AC △24△△△△AE △△. 第2题图 (1)证明：△AB △AC △AD △DC △ △△C △△B △△DAC △△C △ △△DAC △△B △ △△△E △△B △ △△DAC △△E △ △AE △△O △△△△ △△ADE △90°△ △△E △△EAD △90°△ △△DAC △△EAD △90°△ △△EAC △90°△ △OA △△O △△△△ △AC △△O △△△△ (2)解：△△△△△△D △DF △AC △△F △ 第2题解图 △DA △DC △ △CF △1 2AC △12△ △Rt△CDF △△△cos C △CF CD △3 5△ △DC △20△ △AD △20△ △Rt△CDF △△△△△△△△1622==CF CD DF －△ △△ADE △△DFC △90°△△E △△C △ △△ADE △△DFC △ △AE DC △AD DF △ △AE 20△1620 △△△AE △25△ △△O △△△AE △25. 3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作△O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作△O 的切线EF ，交BC 于点F ． （1）求证：EF △BC ； （2）若CD =2，tan C =2，求△O 的半径． 2018-2019学年初三数学专题复习圆 一、单选题 1.下列说法，正确的是( ) A. 半径相等的两个圆大小相等 B. 长度相等的两条弧是等弧 C. 直径不一定是圆中最长的弦 D. 圆上两点之间的部分叫做弦 2.如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（） A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 3.已知⊙O的半径为5，A为线段OP的中点，当OP＝6时，点A与⊙O的位置关系是( ) A. 点A在⊙O内 B. 点A在⊙O上 C. 点A在⊙O外 D. 不能确定 4.如果两圆半径分别为5和8，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 5. 两个圆的半径分别为2和3，当圆心距d=5时，这两个圆的位置关系是（） A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外切 6.一个扇形的半径为2，扇形的圆心角为48°，则它的面积为（）。 A. B. C. D. 7.钝角三角形的外心在（） A. 三角形的内部 B. 三角形的外部 C. 三角形的钝角所对的边上 D. 以上都有可能 8.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，则⊙O的周长为（） A. 5πcm B. 6πcm C. 8πcm D. 9πcm 9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，若把Rt△ABC绕直线AC旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于( ) A. 6π B. 9π C. 12π D. 15π 10.直线a上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线a与⊙O的位置关系是（） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交 11.如图，BD是⊙O的直径，点A、C在圆上，且CD=OB，则∠DAC等于（） 中考数学 直机关操作探究大题操作探究大题 人教新课标版 26.（12分）25．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =?∠. （1）求点E 到BC 的距离； （2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =. ①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由； ②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由. 26（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． ······ 1分 A D E B F C 图4（备用） A D E B F C 图5（备用） A D E B F C 图1 图2 A D E B F C P N M 图3 A D E B F C P N M （第26题） ∵E 为AB 的中点， ∴1 22 BE AB ==． 在Rt EBG △中，60B =?∠，∴30BEG =?∠． ··· 2分 ∴1 12 BG BE EG ====， 即点E 到BC 3分 （2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM = ，PM EG == 同理4MN AB ==． 如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==?=?∠∠，∠． ∴12PH PM == ∴3 cos302 MH PM =?=． 则35422NH MN MH =-=-=． 在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=． ············ 6分 ②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形． 当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =． 类似①，3 2 MR =． ∴23MN MR ==． ················· 7分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==． 此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ··········· 8分 当 MP MN =时，如图4，这时 图3 A D E B F C P N M 图4 A D E B F C P M N 图5 A D E B F （P ） C M N G G R G 图1 A D E B F C G 图2 A D E B F C P N M G H 2020中考数学 几何综合探究 专题练习 例题1. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，5075135AB DC AD BC ====，，，点P 从点B 出发沿 折线段BA AD DC --以每秒5个单位长度的速度向点C 匀速运动，点Q 从点C 出发沿线段CB 方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动，过点Q 向上作射线QK BC ⊥，交折线段CD DA AB --于点E ，点P 、Q 同时开始运动，当点P 与点C 重合时停止运动，点Q 也随之停止，设点P 、Q 运动的时间是t 秒()0t > （1）当点P 到达终点C 时，求t 的值，并指出此时BQ 的长； （2）当点P 运动到AD 上时，t 为何值能使PQ DC ∥? （3）设射线QK 扫过梯形ABCD 的面积为S ，分别求出点E 运动到CD DA ，上时，S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围） 【答案】⑴507550 355 t ++= =()s 时，点P 到达终点C ， 此时，353105QC =?=，所以BQ 的长为 13510530-=． ⑵如图1，若PQ DC ∥，又AD BC ∥，则四边形PQCD 为平行四边形，从而PD QC =, 由35QC t BA AP t =+=， 得507553t t +-=，解得125 8 t =， 经检验：当125 8 t =时，有PQ DC ∥． ⑶①当点E 在CD 上运动时，如图2，分别过点A 、D 作AF BC ⊥于点F ，DH BC ⊥于点H ， 则四边形ADHF 为矩形，且ABF DCH △≌△， 从而75FH AD ==，于是30BF CH ==，∴40DH AF ==． 又3QC t =，从而tan 34DH QE QC C t t CH =?=?=（注：用相似三角形求解亦可） ∴21 62 QCE S S QE QC t ==?=△． ②当点E 在DA 上运动时，如图1，过点D 作DH BC ⊥于点H ， 由①知4030DH CH ==，， 又3QC t =，从而330ED QH QC CH t ==-=- ∴()1 1206002 QCDE S S ED QC DH t ==+=-梯形． C 图1 C 图2 操作探究 一.选择题 1. （2019?湖南邵阳?3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边 BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于（） A．120°B．108°C．72°D．36° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠C＝90°﹣∠B＝54°．由直角三角形斜边上的中线的性质得出AD＝BD＝CD，利用等腰三角形的性质求出∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC ＝∠C＝54°，利用三角形内角和定理求出∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°．再根据折叠的性质得出∠ADF＝∠ADC＝72°，然后根据三角形外角的性质得出∠BED＝∠BAD+∠ADF＝108°． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°， ∴∠C＝90°﹣∠B＝54°． ∵AD是斜边BC上的中线， ∴AD＝BD＝CD， ∴∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°， ∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°． ∵将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处， ∴∠ADF＝∠ADC＝72°， ∴∠BED＝∠BAD+∠ADF＝36°+72°＝108°． 故选：B． 【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形 状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了直角三角形斜边上的中线的性质、 等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质． 2. （2019?浙江金华?3分）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕，若正方形EFGH与五边形MCNGF 的面积相等，则的值是（） 中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于 （ ） （A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的 41，那么这个圆柱的侧面积是 （ ） （A ）100π平方厘米 （B ）200π平方厘米 （C ）500π平方厘米 （D ）200平方厘米 3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用 现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为 （ ） （A ）2 25寸 （B ）13寸 （C ）25寸 （D ）26寸 4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） （A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘 米，那么此圆锥的底面半径的长等于 （ ） （A ）2厘米 （B ）22厘米 （C ）4厘米 （D ）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘 米和17厘米，则这两圆的圆心距为 （ ） （A ）7厘米 （B ）16厘米 （C ）21厘米 （D ）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ） 中考数学专题：动手操作题（含答案） 操作型问题是指通过动手测量、作图（象） 、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的探索 研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、 合情猜想和验证，不但有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯， 符合新课程标准特别强调的发现式学习、探究式学习和研究式学习，鼓励学生进行“微科 研”活动，培养学生乐于动手、 勤于实践的意识和习惯， 切实提高学生的动手能力、实践能 力的指导思想. 类型之一 折叠剪切问题 折叠中所蕴含着丰富的数学知识， 解决该类问题的基本方法就是，根据“折叠后的图形再展 开，则所得的整个图形应该是轴对称图形”， 求解特殊四边形的翻折问题应注意图形在变 换前后的形状、大小都不发生改变，折痕是它们的对称轴.折叠问题不但能使有利于培养我 们的动手能力，而且还更有利于培养我们的观察分析和解决问题的能力. 1. 将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形. 将纸片展开，得 到的图形是 3. 如下左图：矩形纸片 ABCD AB=2,点E 在BC 上，且AE=EC 若将纸片沿 AE 折 叠，点B 恰好落在AC 上，则AC 的长是 . 4. 如上右图，在正方形纸片 ABCD 中，对角线 AC BD 交于点0,折叠正方形纸片 ABCD 使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合.展开后，折痕 DE 分别交 AB AC 于点E 、G.连接GF.下列结论：①/ AGD=112.5 :②tan △ 0GD ④四边形 AEFG 是菱形；⑤BE=20G 其中正确结论的序号是 类型之二 分割图形问题 分割问题通常是先给出一个图形（这个图形可能是规则的，也有可能不规 则） 你用直线、线段等把该图形分割成面积相同、形状相同的几部分。解决这类问题的时 候可以借助对称的性质、面积公式等进行分割。 5. 如图所示的方角铁皮， 要求用一条直线将其分成面积相等的两部分， 请你设计两种不同的 分割方案（用铅笔画图，不写画法，保留作图痕迹或简要的文 字说明）. 6. 如图1 , △ ABC 中，/ C =90 ,请用直尺和圆规作一条直线， 把厶 ABC 分割成两个等腰三角形（不写作法，但须保留作图痕迹） A C D 匚口-0-H 2. 如图，把一张长方形纸片对折，折痕为 ----------- AB 再以AB 的中点0为顶点把平角/ AOB 三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠 A ---------------- 后的图形剪出一个以 0为顶点的等腰三角 后得到的平面图形- -定是 A.正三角形 B .正方形 C .正五边形 D .正六边形 / AED=2 中考数学中的探究性问 题动态几何 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 中考数学中的《探究性问题——动态几何》 动态几何类问题是近几年中考命题的热点，题目灵活、多变，能够全面考查 学生的综合分析和解决问题的能力。 有关动态几何的概念，在很多资料上有说明，但是没有一个统一的定义，在这里就不在赘述了。本人只是用2005 年的部分中考数学试题加以说明。 一、知识网络 《动态几何》涉及的几种情况动点问题? 动线问题动形问题? ? 二、例题经典 1.【05 重庆课改】如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1 个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2 个单位长度的速度向点A 移动,设点P、Q 移动的时间为t 秒． (1) 求直线AB 的解析式； y (2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似 24 A (3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为 个平方单位 5 P Q 【解】（１）设直线AB 的解析式为y＝k x＋b 由题意，得b＝6 8k＋b＝0 3 解得k＝－b＝6 4 3 所以，直线AB 的解析式为y＝－x＋6． 4 （２）由AO＝6，BO＝8 得AB＝10 所以AP＝t ，AQ＝10－2t 1°当∠APQ＝∠AOB 时，△APQ∽△AOB． t 10 2t 30 所以＝解得t＝ (秒) 6 10 11 2°当∠AQP＝∠AOB 时，△AQP∽△AOB． t 10 2t 50 所以＝解得t＝ 10 6 13 (秒) （３）过点Q 作QE 垂直AO 于点E． BO 4 在Rt△AOB 中，Sin∠BAO＝ ＝ AB 5 O y y A P Q O A Q y B B B x x x 中考数学圆 专题练习-- 一、选择题 1.（2010年 湖里区 二次适应性考试）已知半径分别为5 cm 和8 cm 的两圆相交，则它们的圆心距可能是（ ） A ．1 cm B ．3 cm C ．10 cm D ．15 cm 答案：C 2.（2010年教育联合体）如图，已知AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC 于E ，连接AD ，则下列结论 正确的个数是（ ） ①AD ⊥BC ，②∠EDA ＝∠B ，③OA ＝ 1 2AC ，④DE 是⊙O 的切线． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案：D 3.（2010安徽省模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 、E 是圆的三等分点，AE 、BD 的延长线交于点C ，若CE=2,则 ⊙O 中阴影部分的面积是（ ） A ．433π- B ．2 3π C ．2 23 π- D ．1 3 π 答案：A 4.（2010年重庆市綦江中学模拟1）.在直角坐标系中，⊙A 、⊙B 的 位置如图所示.下列四个点中，在⊙A 外部且在⊙B 内部的是（ ） A.（1，2） B.(2,1). C.(2,-1). D.(3,1) 答案C 5.(2010年聊城冠县实验中学二模)如下图，将半径为2cm 的圆形纸片 第4题图 O D B C E A 第3题 A O B C D E 折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为（ ） A ．2cm B ．3cm C ．32cm D ．52cm 答案C 6.（2010年广州市中考六模）、如果圆锥的母线长为6cm ，底面圆半径为3cm ，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. 2 9cm π B. 2 18cm π C. 2 27cm π D. 2 36cm π 答案：B 7.（2010年广州市中考六模）如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ， 的度数为60°， 的度数为100°，则∠AEC 等于（ ） A. 60° B. 100° C. 80° D. 130° 答案：C 8.（2010年广西桂林适应训练）如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝ 12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（ ）． A.6.5米 B.9米 C.13米 D.15米 答案：A 9.（2010年广西桂林适应训练）如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD=30o ， 则∠A 的度数为（ ）．[来 A.30o B.45o C.60o D.75o 答案：C 10.（2010山东新泰）已知⊙O 1的半径为5cm ，⊙O 2的半径为3cm ，圆心距O 1O 2＝2，那么⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（ ） A ．相离 B ．外切 C ．相交 D ．内切 答案：D 11.（2010年济宁师专附中一模）如图，A B C D ，，，为⊙O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O C D O ---路 7题图 8题图 9题图 操作探究专题 一.选择题 1.（2019?河北省?3分）如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还 需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（） A．10 B．6 C．3 D．2 C．【解答】解：如图所示，n的最小值为3， 2.（2019?黑龙江省绥化市?3分）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动 点，P是正方形四边上的任意一点，且AB＝4，EF＝2，设AE＝x．当△PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，一定正确的是（） ①当x＝0（即E、A两点重合）时，P点有6个 ②当0＜x＜42﹣2时，P点最多有9个 ③当P点有8个时，x＝22﹣2 ④当△PEF是等边三角形时，P点有4个 A．①③B．①④C．②④D．②③ 答案：B 考点：正方形的性质，等腰三角形，等边三角形的判定。 解析：①当x＝0（即E、A两点重合）时，如下图， 分别以A、F为圆心，2为半径画圆，各2个P点， 以AF为直径作圆，有2个P点，共6个， 所以，①正确。 ②当0＜x＜42﹣2时，P点最多有8个， 故②错误。 3. （2019?河北省?2分）如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（） A．段①B．段②C．段③D．段④ B．解∵﹣＝﹣＝1﹣＝ 又∵x为正整数， ∴≤x＜1 故表示﹣的值的点落在② 4. （2019?河北省?2分）对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩 形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n． 甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n＝13． 乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14． 丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n＝13．下列正确的是（） A．甲的思路错，他的n值对 B．乙的思路和他的n值都对 C．甲和丙的n值都对 D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对 B．【解答】解：甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n＝14； 乙的思路与计算都正确； 乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长； 三.解答题 1.（2019?湖北省仙桃市?10分）已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连 接DB，D C． （1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：AB+AC＝AD； （2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证 、选择题： 1. 如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子 3. 已知圆内接正三角形的边心距为 1，则这个三角形的面积为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 4. 如图，点 A ， B ， C ，在⊙ O 上，∠ ABO=32°，∠ ACO=38°，则∠ BOC 等于 ( 6.如图, ⊙O 是△ ABC 的外接圆 ,弦AC 的长为 3,sinB=0.75, 则⊙ O 的半径为( ) 圆 50 题 垂直，在测直径时，把 A ． O 点靠在圆周上，读得刻度 OE=8个单位， 12 个单位 B ． 10 个单位 C CD 是⊙ O 的两条弦，连结 AD 、BC ．若∠ BCD=70°， OF=6个单位，则圆的直径为 ( 1 个单位 D ． 15 个单位 则∠ BAD 的度数为( 2. 如图， AB 、 A ． 40° B ．50° C ． 60° D ． 70° B ．70° C ．120° D ． 140° 5. 如图 , 点 A,B,C 在⊙ O 上, ∠A=36° , ∠ C=28° , 则∠ B=( A.100 B.72 C.64 D.36 OA 、 OB 在 O 点钉在一起，并使它们保持 AD 切⊙ O 于点 A ，点 C 是弧 BE 的中点，则下列结论不成立的是( B ． EC=B C C ．∠ DAE=∠ABE D ．AC ⊥OE 10. 如图 , △ABC 中,AB=5,BC=3,AC=4, 以点 C 为圆心的圆与 AB 相切 ,则⊙ C 半径为( 11. 数学课上，老师让学生尺规作图画 Rt △ABC ，使其斜边 AB=c ，一条直角边 BC=a ，小明的作法如图所 示， 你认为这种作法中判断∠ ACB 是直角的依据是( ) A.4 B.3 C.2 D. OB=6cm,高 OC=8cm 则. 这个圆锥的侧面 积是 7. 如图，圆锥的底面半径 22 A.30cm 2 B.30 π cm 2 C.60 2 π cm D.120cm 9. 如图,AB 是⊙ O 的直径 ,C 、D 是⊙ O 上两点 , 分别连接 AC 、BC 、CD 、OD ．∠ DOB=140° A.20° B.30 C.40 D.70 ，则∠ ACD (= B.2.5 C.2.4 D.2.3 中考数学试题专题复习：圆 【学生版】 一、选择题 1. （天津3分）已知⊙1O 与⊙2O 的半径分别为3 cm 和4 cm ，若12O O =7 cm ，则⊙1O 与⊙2O 的位置关系是 (A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切 2.（内蒙古包头3分）已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的位置关系是 A 、相交 B 、外切 C 、外离 D 、内含 3,（内蒙古包头3分）已知AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上的一个动点， 过P 作⊙O 的切线，切点为C ，∠APC 的平分线交AC 于点D ，则∠CDP 等于 A 、30° B 、60° C 、45° D 、50° 4.（内蒙古呼和浩特3分）如图所示，四边形ABCD 中，DC∥AB，BC=1， AB=AC=AD=2．则BD 的长为 A. 14 B. 15 C. 32 D. 23 5.（内蒙古呼伦贝尔3分）⊙O 1的半径是cm 2，⊙2的半径是cm 5，圆心距是cm 4，则两圆的位置关系为 A. 相交 B. 外切 C.外离 D. 内切 6.（内蒙古呼伦贝尔3分）如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点, 则线段OM 长的最小值为. A. 5 B. 4 C. .3 D. 2 7.（内蒙古呼伦贝尔3分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上 ，∠BOD=110°， AC∥OD，则∠AOC 的度数 A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 8.（内蒙古乌兰察布3分）如图， AB 为 ⊙ O 的直径， CD 为弦， AB ⊥ CD ， 如果∠BOC = 700 ，那么∠A 的度数为 A 70 0 B. 350 C. 300 D . 200 17．填空题 1.（天津3分）如图，AD ，AC 分别是⊙O 的直径和弦．且∠CAD=30°．OB⊥AD，交AC 于点B ．若OB=5，则BC 的长等于 ▲ 。 几何探究专题 1.已知正方形ABCD 的边长为1，点P 为正方形内一动点，若点M 在AB 上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP 交AD 于点N ，连接CM. (1)如图①，若点M 在线段AB 上，求证：AP⊥BN；AM ＝AN. (2)①如图②，在点P 运动过程中，满足△PBC∽△PAM 的点M 在AB 的延长线上时，AP ⊥BN 和AM ＝AN 是否成立(不需说明理由)? ②是否存在满足条件的点P ，使得PC ＝1 2 ？请说明理由． 2.已知：如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm.对角线AC ，BD 交于点O ，点P 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为1 cm/s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1 cm/s ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO 并延长，交BC 于点E ，过点Q 作QF∥AC，交BD 于点F.设运动时间为t(s)(0 AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B ，C 重合)，以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF. (1)观察猜想 如图①，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为：____________． ②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为：____________(将结论直接写在横线上)． (2)数学思考 如图②，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． (3)拓展延伸 如图③，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE.若已知AB ＝22，CD ＝1 4BC ，请求出 GE 的长． 4.(1)阅读理解： 如图①，在△ABC 中，若AB ＝10，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE ＝AD ，再连接BE(或将△ACD 绕着点D 逆时针旋转180°得到△EBD)．把AB ，AC ，2AD 集中在△ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断． 中线AD 的取值范围是________； (2)问题解决： 如图②，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE ⊥DF 于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF.求证：BE ＋CF ＞EF ； 一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题： （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）24 【解析】 试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可； （2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解． 试题解析：（1）证明：连接OD ， ∵OD=OA ， ∴∠ODA=∠A ， ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AB ， ∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ， ∴∠EOC=∠DOC ， 在△EOC 和△DOC 中， OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC （SAS ）， ∴∠ODC=∠OEC=90°， 即OD ⊥DC ， ∴CD 是⊙O 的切线； （2）由（1）知CD 是圆O 的切线， ∴△CDO 为直角三角形， ∵S △CDO = 1 2 CD?OD ， 又∵OA=BC=OD=4， ∴S △CDO = 1 2 ×6×4=12， ∴平行四边形OABC 的面积S=2S △CDO =24． 2．已知 O 的半径为5，弦AB 的长度为m ，点C 是弦AB 所对优弧上的一动点． ()1如图①，若m 5=，则C ∠的度数为______； ()2如图②，若m 6=． ①求C ∠的正切值； ②若ABC 为等腰三角形，求ABC 面积． 【答案】()130；()2C ∠①的正切值为3 4 ；ABC S 27=②或 432 25 . 【解析】 【分析】 ()1连接OA ，OB ，判断出AOB 是等边三角形，即可得出结论； ()2①先求出10AD =，再用勾股定理求出8BD =，进而求出tan ADB ∠，即可得出结 论； ②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论． 【详解】 ()1如图1，连接OB ，OA ，青岛市中考数学探究题经典例题
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