热点16 相似
【命题趋势】
相似是初中数学中比较难的一块内容，是中考必考内容，也是压轴题常考内容，所以每年中考，不论是哪个城市的中考试卷，相似都是一个重头戏。相似在中考数学试卷中所占比例较大，一般难度都是比较大的，综合性较强，对学生的综合运用知识的能力要求也更高，所以要熟练掌握这部分知识及其常见题型对在中考中取得优异的成绩至关重要。它往往与图形的三种运动变换或者与二次函数，反比例函数相结合而形成压轴题。
【满分技巧】
一、整体把握有关相似的知识结构
1.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2.相似三角形的判定方法:
○1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；
○2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；
3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；
○
○
4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；
3.直角三角形相似判定定理:
○1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
○2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
4.相似三角形的性质:
○1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
○2.相似三角形周长的比等于相似比。
○3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
二．把握中考常考相似模型
【限时检测】（建议用时：30分钟）
一、选择题
1. (2019 贵州省黔南州)如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即Rt△ACB）中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）
A ．200cm 2
B ．170cm 2
C ．150cm 2
D ．100cm
2
【答案】D
【解析】设AF ＝x ，则AC ＝3x ， ∵四边形CDEF 为正方形， ∴EF ＝CF ＝2x ，EF ∥BC ， ∵EF ∥BC ， ∴△AEF ∽△ABC ， ∴
＝
＝，
∴BC ＝6x ， 在Rt△ABC 中，AB ＝
＝3
x ，
∴3x ＝30，解得x ＝2
，
∴AC ＝6
，BC ＝12
，
∴剩余部分的面积＝×6×12﹣（4）2＝100（cm 2
）．
故选：D ．
2. (2019 四川省乐山市)把边长分别为1和2的两个正方形按图3的方式放置.则图中阴影部分的面积为 ()
A 6
1
()
B 3
1
()
C 5
1
()D 41
【答案】A 【解析】如图，
∵AD//CG
故选A
3. (2019 四川省凉山州市)如图，在△ABC 中，D 在AC 边上，AD ：DC ＝1：2，O 是BD 的中点，连接AO 并延长交BC 于E ，则BE ：EC ＝（ ）
A ．1：2
B ．1：3
C ．1：4
D ．2：3
2
A
B
C
E F
1
2
【答案】B
【解析】如图，过O作OG∥BC，交AC于G，
∵O是BD的中点，∴G是DC的中点．
又AD：DC＝1：2，∴AD＝DG＝GC，
∴AG：GC＝2：1，AO：OE＝2：1，∴S△AOB：S△BOE＝2，
设S△BOE＝S，S△AOB＝2S，又BO＝OD，
∴S△AOD＝2S，S△ABD＝4S，
∵AD：DC＝1：2，
∴S△BDC＝2S△ABD＝8S，S四边形CDOE＝7S，
∴S△AEC＝9S，S△ABE＝3S，
∴
故选：B．
4. (2019 浙江省杭州市)如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【答案】C
【解析】∵DN∥BM，
∴△ADN∽△ABM，
∴＝，
∵NE∥MC，
∴△ANE∽△AMC，
∴＝，
∴＝．
故选：C．
5. (2019 浙江省绍兴市)正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（）
A．先变大后变小B．先变小后变大
C．一直变大D．保持不变
【答案】D
【解析】∵正方形ABCD和矩形ECFG中，
∠DCB＝∠FCE＝90°，∠F＝∠B＝90°，
∴∠DCF＝∠ECB，
∴△BCE∽△FCD，
∴，
∴CF?CE＝CB?CD，
∴矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等．
故选：D．
6. (2019 浙江省绍兴市)如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】过点C作CF⊥BG于F，如图所示：
设DE＝x，则AD＝8﹣x，
根据题意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×6，
解得：x＝4，
∴DE＝4，
∵∠E＝90°，
由勾股定理得：CD＝，
∵∠BCE＝∠DCF＝90°，
∴∠DCE＝∠BCF，
∵∠DEC＝∠BFC＝90°，
∴△CDE∽△BCF，
∴，
即，
∴CF＝．
故选：A．
7. (2019 重庆市綦江县)下列命题是真命题的是（）
A．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为2：3
B．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为4：9
C．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为2：3
D．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为4：9
【答案】B
【解析】A、如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为4：9，是假命题；
B、如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为4：9，是真命题；
C、如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为16：81，是假命题；
D、如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为16：81，是假命题；
故选：B．
8. (2019 重庆市)如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】∵△ABO∽△CDO，∴＝，
∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，
∴＝，
解得：AB＝4．
故选：C．
9. (2019 广西玉林市)如图，////
AD BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有(
AB EF DC，//
)
A．3对B．5对C．6对D．8对
【答案】C
【解析】图中三角形有：AEG
?，
?，ADC
?，CFG，CBA
////AB EF DC ，//AD BC
AEG ADC CFG CBA ∴???∽∽∽
共有6个组合分别为：AEG ADC ∴??∽，AEG CFG ?∽，AEG CBA ??∽，ADC CFG ?∽，ADC CBA ??∽，CFG CBA ?∽
故选：C ．
10. (2019 内蒙古赤峰市)如图，D 、E 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，∠ADE ＝∠ACB ，若AD ＝2，AB ＝6，
AC ＝4，则AE 的长是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】∵∠ADE ＝∠ACB ，∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ACB ， ∴
＝
，即＝
， 解得，AE ＝3， 故选：C ． 二、填空题
11. (2019 江苏省常州市)如图，在矩形ABCD 中，AD ＝3AB ＝3
，点P 是AD 的中点，点E 在BC 上，CE
＝2BE ，点M 、N 在线段BD 上．若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC 相等，则MN ＝ ．
【答案】6
【解析】作PF⊥MN于F，如图所示：
则∠PFM＝∠PFN＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝3，∠A＝∠C＝90°，∴AB＝CD＝，BD＝＝10，
∵点P是AD的中点，
∴PD＝AD＝，
∵∠PDF＝∠BDA，
∴△PDF∽△BDA，
∴＝，即＝，
解得：PF＝，
∵CE＝2BE，
∴BC＝AD＝3BE，
∴BE＝CD，
∴CE＝2CD，
∵△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，PF⊥MN，
∴MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，
∵∠PFN＝∠C＝90°，
∴△PNF∽△DEC，
∴＝＝2，
∴NF＝2PF＝3，
∴MN＝2NF＝6；
故答案为：6．
12. (2019 内蒙古通辽市)已知三个边长分别为2cm，3cm，5cm的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为．
【答案】3.75cm2
【解析】对角线所分得的三个三角形相似，
根据相似的性质可知
5
105
x
=，
解得 2.5
x=，
即阴影梯形的上底就是3 2.50.5()
cm
-=．
再根据相似的性质可知2
5 2.5
y =，
解得：1
y=，
所以梯形的下底就是312()
-=，
cm
所以阴影梯形的面积是2
(20.5)32 3.75()
+?÷=．
cm
故答案为：2
3.75cm．
13. (2019 四川省凉山州市)如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为．
【答案】4
【解析】∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠QPC+∠BPE＝90°，
∴∠BEP＝∠CPQ．
又∠B＝∠C＝90°，
∴△BPE∽△CQP．
∴．
设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12﹣x．
∴，化简得y＝﹣（x2﹣12x），
整理得y＝﹣（x﹣6）2+4，
所以当x＝6时，y有最大值为4．
故答案为4．
14. (2019 浙江省杭州市)如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于．
【答案】2（5+3）
【解析】∵四边形ABC是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x，
由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，
∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，
∴A′E＝4D′H，设D′H＝a，则A′E＝4a，
∵△A′EP∽△D′PH，
∴＝，
∴＝，
∴x2＝4a2，
∴x＝2a或﹣2a（舍弃），
∴PA ′＝PD ′＝2a ， ∵?a ?2a ＝1，
∴a ＝1， ∴x ＝2， ∴AB ＝CD ＝2，PE ＝
＝2
，PH ＝
＝
，
∴AD ＝4+2++1＝5+3， ∴矩形ABCD 的面积＝2（5+3）．
故答案为2（5+3）
三、解答题：
15. (2019 安徽省)如图，Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，AC BC =，P 为ABC ?内部一点，且135APB BPC ∠=∠=?．
（1）求证：PAB PBC ??∽； （2）求证：2PA PC =；
（3）若点P 到三角形的边AB ，BC ，CA 的距离分别为1h ，2h ，3h ，求证2123h h h =．
【解析】（1）90ACB ∠=?，AB BC =， 45ABC PBA PBC ∴∠=?=∠+∠
又135APB ∠=?， 45PAB PBA ∴∠+∠=? PBC PAB ∴∠=∠
又135APB BPC ∠=∠=?， PAB PBC ∴??∽
（2）PAB PBC ??∽ ∴
PA PB AB
PB PC BC
==
在Rt ABC ?中，AB AC =，
∴
AB
BC
=
∴,PB PA =
2PA PC ∴=
（3）如图，过点P 作PD BC ⊥，PE AC ⊥交BC 、AC 于点D ，E ， 1PF h ∴=，2PD h =，3PE h =，
135135270CPB APB ∠+∠=?+?=? 90APC ∴∠=?， 90EAP ACP ∴∠+∠=?，
又90ACB ACP PCD ∠=∠+∠=? EAP PCD ∴∠=∠， Rt AEP Rt CDP ∴??∽， ∴
2PE AP
DP PC
==，即322h h =，
322h h ∴=
PAB PBC ??∽，
∴
12h AB h BC
==，
∴12h
∴2212222322h h h h h h ===．
即：2123h h h =．
16. (2019 福建省龙岩市)已知△ABC 和点A '，如图．
（1）以点A '为一个顶点作△A 'B 'C '，使△A 'B 'C '∽△ABC ，且△A 'B 'C '的面积等于△ABC 面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、AC 的中点，D '、E '、F '分别是你所作的△A 'B 'C '三边A 'B '、
B '
C '、C 'A '的中点，求证：△DEF ∽△
D '
E '
F '．
【解析】（1）作线段A 'C '＝2AC 、A 'B '＝2AB 、B 'C '＝2BC ，得△A 'B 'C '即可所求．
证明：∵A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴
（2）证明：
∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，
∴DE＝，，，
∴△DEF∽△ABC
同理：△D'E'F'∽△A'B'C'，
由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，
∴△DEF∽△D'E'F'．
17. (2019 宁夏回族自治区)如图，在ABC
AB=，4
AC=，点M，Q分别是边AB，BC
∠=?，3
?中，90
A
上的动点（点M不与A，B重合），且MQ BC
⊥，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x．
（1）试说明不论x为何值时，总有QBM ABC
??
∽；
（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．
【解析】（1）∵MQ⊥BC，
90
MQB
∴∠=?，
MQB CAB
∴∠=∠，又QBM ABC
∠=∠，
QBM ABC
∴??
∽；
（2）当BQ MN
=时，四边形BMNQ为平行四边形，
//
MN BQ，BQ MN
=，
∴四边形BMNQ为平行四边形；
（3）90
A
∠=?，3
AB=，4
AC=，
5
BC
∴==，
QBM ABC
??
∽，
∴QB QM BM
AB AC BC
==，即
345
x QM BM
==，
解得，
4
3
QM x
=，
5
3
BM x
=，
//
MN BC，
∴MN AM BC AB =
，即53353x MN -=， 解得，25
59
MN x =-
， 则四边形BMNQ 的面积21254324575
(5)()2932782x x x x =?-+?=--+，
∴当458x =
时，四边形BMNQ 的面积最大，最大值为75
2
．