高考中数列和不等式证明的交叉
数列和不等式是高考的两大热点也是难点，数列是高中数学中一个重要的内容，在高等数学也有很重要的地位，不等式是高中数学培养学生思维能力的一个突出的内容，它可以体现数学思维中的很多方法，当两者结合在一起的时候，问题会变得非常的灵活。所以在复习时，我们在分别复习好两类知识的同时，一定要注意它们的相互渗透和交叉，培养灵活的思维能力。
数列和证明不等式的交叉，是这两大块知识的主要交叉点，它在数列的特殊情景下，巧妙的融合了不等式的证明，它所涉及的问题往往是灵活的应用了数列和不等式的知识，把这两者完美的结合在了一起。
例1 设{}n a 和{}n b 分别是等差数列和等比数列，且011>=b a ，022>=b a ，若
21a a ≠，试比较n a 和n b 的大小。
分析：这两个通项大小的比较，它们的未知量比较多，比容易直接完成。因通过它们的项数n 把他们组合在一起。设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q 。 显然0>q ，因为022>=b a ，所以有，q a d a 11=+，即()d q a =-11。
()()()1111111111-----+=--+=-n n n n q a q n a a q a d n a b a 。又因为21a a ≠，所以11
2
≠=a a q 。若1>q 时，()()??
????-----=--111111n q q q a b a n n n = =()()()[]
111221--++++--n q q q q a n 。因为1112->++++-n q q q n ，01<-q ，所以有：n n b a <。若10<-q ，所以也有：
n n b a <。综上所述，当N n ∈，且2>n 时，n n b a <。在证明过程，对等比数列求和公式的逆用，是本题证明的一个转折点，它避免了一些不必要的分类讨论，
时问题得以简化。
例2 已知递增的等比数列{}n a 前三项之积为512，且这三项分别减去1，3，9后
成等差数列，求证：1321321<++++n
a n a a a 。
分析：要想证明这个不等式，首先要求出左边的和式。根据题意，{}n a 是等比数列，所以左边的和式可以利用错位相减法来求和。先确定这个等比数列。由
2231a a a =可得，5123
2
321==a a a a ，所以82=a 。再设等比数列{}n a 的公比为q 。则根据条件可得：()()3829818-=-+??
?
??-q q ，解得，2=q 或21=q （舍去）。所
以
??
?==2
4
1q a ，因此，
1
2+=n n a 。令
=
n S n a n a a a ++++ 321321=1
4322232221+++++n n ----------①，则=n S 2125432232221+++++n n --------------②， 由①-②得，
=n S 212
1432221212121++-++++n n n ，即， =n S 132221212121+-++++n
n n =122111
<--+n n n 例3 在某两个正数x ，y 之间，若插入一个数a ，使x ，a ，y 成等差数列；若另插入两个数b ，c ，使x ，b ，c ，y 成等比数列，求证：()()()1112++≥+c b a 分析：不等式左边有字母a ，右边有不同字母b 、c ，要比较两边的大小，必须
寻找a 、b 、c 三者之间的联系，利用数列的关系可得：2
y
x a +=，32y x b =，
=c 32xy 。为计算方便，我们再令03>=x m ，03>=y n ，则2
33n m a +=，n
m b 2=，
2
mn c =，那么，
()()()=++-+1112
c b a ()()
1112222
33++-??? ??++mn n m n m =
=()
()n m n m n m ---??
? ??-222
3320≥，得()()()1112
++≥+c b a 。
例4 设0>n a ，且12
+-≤n n n a a a ，求证：对一切自然数n ，都有n
a n 1<。
分析：因为12
+-≤n n n a a a ，
所以()n n n n n a a a a a -=-≤+121，由已知0>n a ，所以有，()01>-n n a a ，即10< 则有，()n n n n n a a a a a -+=-≥+1111111，所以111111>->-+n n n a a a 。 在上式中取121-=n ,,,n ，得1-n 个不等式，把它们相加得，1111 ->-n a a n ， 于是，n n a n a n =+-=+->111111 ，因此，n a n 1<。在此题的证明过程中，我们 巧妙的利用了数列求和的累加法，时问题的解决有一种全新的感觉。本题由于和自然数有关，也可以利用数学归纳法来证明。 例5 设2>a ，给定数列{}n x ，其中a x =1，且满足() 1221 -= +n n n x x x 。 求证：2>n x 且 11 <+n n x x 。 分析：这是1984年的高考题，当时难倒了绝大部分的学生，大家觉得无从着手。它给定的是数列，求证的是不等式，而且都是和通项有关，所以我们可以考虑求出数列的通项再来观察。 因为n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x 2 112 2112 222 11122442??? ??-==??? ??-=??? ? ??-=+-=---++ ，又因为a x =1，所以有， 1 222-?? ? ??-=-n n n a a x x ，则1 2212-?? ? ??--= n n a a x 。而2>a ，则 有， 1 20<- a ， 所以 12101 2 ? ??--<-n a a ，那么 12121021 2 ? ??-- n a a a a ，因此，2>n x 且 11 <+n n x x 。 例6 求证：1 31212654321+<-??n n n 。 分析：这是一道不等式的证明题，若我们总是在不等式的圈子里转悠，问题不能圆满的解决。跳出这个圈子，我们不难发现这是一个自然数有关的命题，那么，解决它的方法不外乎两种，一是利用数学归纳法；二是构造数列。我们来构造一 个数列{}n a 。令=n a 132********+?-??n n n ，则()()()()4312132222 2 1+?++?+= ?? ? ??+n n n n a a n n = = 1 4 19281242028122323>++++++n n n n n n 。所以， n n a a >+1，从而有， 1121=>>>>--a a a a n n n 。因此原不等式得证。
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