证明数列不等式的常用放缩方法技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能 全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素 材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进 行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
.-T 2
⑴添加或舍去一些项，如：
a ⑵将分子或分母放大(或缩小)
1 1
例2. a n (一)"，前n 项和为S n ，求证：Sn —
3 2
先放缩再求和
1) n
⑶利用基本不等式，如: ig3 ig5 (lg3 lg5)2 ⑷二项式放缩：2n (1 1)n 2n c ° c n c ； c 0 n 2 c n n 2
2 2
c n , 2n 2 n(n C 0 c
1)(n 2)
(5)利用常用结论:
I . 1的放缩：
k 1的放缩⑴ k 2 k 1 k(k 1) k .. 1 k(k 1)
(程度大)
IV . 右的放缩⑵ 1 k 2 1 (k 1)(k
)(程度小)
1的放缩(3): k 2 1 k 7 2G 1 )(程度更小)
2k 1
,n(n 1)山尸
ig4 ；
2
分式放缩还可利用真(假) 分数的性质 ：b —(b a 0,m 0)和b —(a b 0,m 0) a a m a a m
记忆口诀“小者小，大者大”。 解释：看b ,若b 小，则不等号是小于号，反之亦然.
W .构造函数法 构造单调函数实现放缩。例: f(x) — (x 0),从而实现利用函数单调性质的放缩:
1 x
f(a b) f(a b)。
先求和再放缩
例 1. a n ,前n 项和为S n ，求证: n (n 1)
S n 1
1
1
（一）放缩后裂项相消 例 3?数列{a n } , an ( 1)n n ，其前 n 项和为Sn ，求证:
S
2n
（二）放缩后转化为等比数列。
{b n }满足：3 1，b n 例4. b n 2 (n 2)b n 3 (1) 用数学归纳法证明: 1
b n
T n
(2) bi 3 b 2
3 b s bn ，求证: T n
三、裂项放缩
例 5.(1) 2 k 1 4k 2
-的值； 1
求证：
例 6.(1) 1 1 1 7 32 52 (2n 1)2 6 1 1 1 1 16 36 4n 2 2 1 1
■,7
n 1 1) 1 L L 求证: 求证: 1 4 求证:1 2(2n 1) 丄 4n 丄 ￡(j 2n 1 1)
/n
1 (n 2) 例7.求证： (n 1)(2n 1) 6n
例 8.已知 a n 4n 2n ，T 2n ,求证：T T T
a i a 2 a n
四、分式放缩
姐妹不等式：b a 0,m 0)和b a a m a
记忆口诀”小者小，大者大” 解释：看b ,若b 小，则不等号是小于号，反之亦然.
例9.姐妹不等式：。1)(1 1)(1 1)°丄).2n 1和
3 5 2n 1
例10.证明：d Dd 4)d 7)d 壮)讪1
五、均值不等式放缩
m (a
0,m 0) 1 1 1
(1 2)(1 4)(1 6) (1 1
2n ) 1 也可以表示成为 2n 1
2 4 6 2n 1
3 5 (2n 1) (2n 1) 2
4 6 ~2^ 1
2n 1
例11.设S n
n(n 1).求证 n(n 1) (n 1)2
六、二项式放缩
例14. a n 2 3n , 试证明： n 1 1 1 1 < L
4n 2 a 1 a 2 a n 4
七、部分放缩（尾式放缩）
例15.求证：丄 1 1 4
3 1 3 2 1 3 2n1 1 7
例12.已知函数心） 1 bx a 2 a>0,b>0. 求证：f(1) f(2) f(n) 若 f(1) 1 2
4，且 f (x)在［0，
5
1］上的最大值为1， 2 2n (1 1) c ° c n Cn ,2n 2n C 0 n C 1 n c 2 n 2 n 2 2 2n
C n 0 c n n 1 , n(n 1)(n 2)
例13.设n 1, n N ，求证（勻 8
(n 1)(n 2)
1
例16.设a a n
1 丄
a a 2a 3 1 a ，a n 2.求证: a n 2. 八、函数放缩 例17.求证: In2 In 3 T ~3~ In 4 T In3n 亍 5n 6(n N *). 例18.求证： In 3 3 In 2n 2 2(n 口(n 2) 1) 例19.求证:1
2
—In(n n 1 1) 九、借助数列递推关系 例 20.若 31 1,a n 1 a n 1,求证:1 a 1 1 a 2 2( . n 1 1)
2n 2 1 例 21.求证:1 1 3
1 3 5
2 T~4
2 4 6 十、分类放缩
例22.求证:1 1 1 1 n 2 3 2―1 2 1 3 5 (2n 1) 2 4 6 2H -