求证:当
时:
数列不等式证明的几种方法
数列和不等式都是高中数学重要内容,这两个重点知识的联袂、交汇融合,更能 考查学生对知识的综合理解与运用的能力。 这类交汇题充分体现了 “以能力立意” 的高考命题指导思想和“在知识网络交汇处”设计试题的命题原则。下面就介绍 数列不等式证明的几种方法,供复习参考。
、巧妙构造,利用数列的单调性
例1.对任意自然数n ,求证:(3X1垢)?…("右八乔
2n.十 2
■+ 2
加4
- 1 十2
所以耳“ f ,即&〕为单调递增数列
--^>1
所以
' ,即
点评:某些问题所给条件隐含数列因素或证明与自然数有关的不等式问题, 均可
构造数列,通过数列的单调性解决。 二、放缩自然,顺理成章
例2.已知函数f (对=护7”,数列区)為九)的首项衍°】,以后每项按如下方 式取定:曲线厂
f ⑻在点血(仏小处的切线与经过(0,0)和(轧F (xJ )两点 的直线平行。
证明: “W 』T )需朋詈?
2□十2
l )(Zn +
弓)
构造数列
(1)為J+% =了召『+2盘曲;
(2)
证明:(1)因为3) = 3宀血,所以曲线沪聴)在(3』(如))处的切线斜率为召J +刼讪。
又因为过点(0, 0)和’…7 ■'两点的斜率为';'_ ,所以结论成立。
(2)因为函数唸)=,斗耳当Q耐单调递増则有衬斗弧=轧J + %】三
% J斗刼站广(%+1沱+ (和1)
?
鱼g丄
所以召'厶+1,即耳二,因此
靭衍^-1 2
因此,
2
所以 点评:本题是数列、函数、不等式、解析几何、导数等多知识点的综合题,在证 明过程中多次运用放缩,放缩自然,推理逻辑严密,顺理成章,巧妙灵活。 三、导数引入,更显神威
1丄亠…丄如①昱
例3.求证:2 3 4 n
2
a
1 h 1
n+1
n ,且当仃12时,沈_i ?S 仏氐■如+丄
证明:令
,所以
lnn = ln —
11
。要证明原不等式,只须证
1
1 ---- ; n n 1 x+ 1 1 X+ 1 K -1 所以 W 占弓而芦詬訂 隘-畧厂诚叶1)- 设 二:-., 所以 h (t )>xi )=o ,即 所咖耳 同理可证 丄讪江L 丄艮卩丄皿皿』 所以■ -1 : - || 1丄丄…亠山丄― n-l ,得 2 3 4 n 2 3 4 n + 1 点评:导数进入中学数学新教材,为解决数列与不等式的交汇问题展示了新的思 路和广阔的空间,其解题方法新颖独特,尤其是对数、指数次幕形式出现的一类 问题,更显导数在解题中的工具性和独特的神威。 四、裂项求和,简捷明了 ,证明 號十1 1 In ------ > - x : S 所以 所以 h(t)在(g 上为增函数 。对上式中的n 分别取1,2,3,…, 例4. 设二是数列- 的前n 项和,且 (1) 求数列迢J 的首项匀,及通项-; (2) 解: (1)首项哲=2代=軒_严? = 1,&3…) (过程略)。 得-*— 扣叫|寻7)(~) 而达到证题目的,整个证题过程简捷明了 五、独辟蹊径,灵活变通 独辟蹊径指处事有独创的新方法,对问题不局限于一种思路和方法, 活变通,独自开辟新思路、新方法。 例5.已知函数n = R 伐7。设数列{3JSS 足引+"伽) 足足|\ H V3 LS H = bj +b a + -+ V UG M') (i )求证:九'埠 (2)求证:11 3 点评:本题通过对 T ■ 乳的变形,利用裂项求和法化为“连续相差 形式,从 (2)证明:将 4 2 4-咖V 訊 而是善于灵 3 3 (后M7■ 2爲绰屮■,削 证明:(1证法1:由 2 (J3十D 令屁I)%,则只须证C^2;易知6?2,只须证九"』。 由分析法:C祸WOQ】严叽机£0(* + L) | %】-妁 莎十丽血刖音皿叫"冃占刃―即 因为3讥]+」—謂2)a iL-l 斗]a n-l 卜1 所以耳》1 0% + 1匕2 ,得证 ■饨言〉■ 5十? 证法2:由于心)"得f㈤的两个不动点为土霭。又2 " %",所 ^+1-据.包血斗3 _冶.(1_历)@血_ % +1 " a^ + 1 且現+1 + ^ =电斗+ J5 弘+ 1 _〔1 +石)(务+羽) 务+ 1 % . Q-⑹(耳-后所以 所以 %i -后1 -晶 %_1 _浙(]_石)2 ___ ([-丽严】引-加% + J5 1 + /5 片_[4語I + 石%_= + 苗1 + %斗灵 4.- -J5, j】击 由上可求得〔, j厂亠 因此只需证〔1十巧尸71_占尸尸, 即证:|汽“1■: :j ' :| 又(1斗妙-〔1-孙 =2(C和+ C:(孙十C:(屈P +…) =2小(疣十疣乳⑴賢十…) 二历KCjq +C;+?M C:)+2(C: 2 + W 2 …)] =箱0 十2(環2十Cj 8+-]]>? 75,^证° b $厲厅 (2)由(1)知,'严】 所以