例说比例线段的证明方法 湖北省郧西县马鞍镇初级中学 杨耀军 442633
题目：如图,ΔABC 中,AD 是角平分线. 求证：
AC
AB =
CD
BD
一、 作平行线法
平行线分线段成比例定理是证明比例线段的主要依据。如果没有平行
线，那么可利用已知条件作平行线进行证明。平行线的作法看起来有多种.但最根本的一点就是要把待证比例式中的四条线段集中到“三条平行线截两条直线”所截得的对应线段上来。辅助线就是要根据这一需要构造出定理的模型图。更多的时候还要用相等的线段去替换 证明： ①过D 点作DE ∥AB 交AC 于E.(如图1)
则∠1=∠3 ∵∠1=∠2 ∴∠2=∠3 ∴AE=DE ∵DE ∥AB
∴CE AE =CD BD , AC
AB =
CE
DE
∴
AC
AB =
CD
BD
②过D 作DF ∥AC 交AB 于F(如图2)不难证明.
证明：③过B 作BE ∥AD 交CA 的延长线于E (如图3) 则∠2 =∠E,∠1＝∠3
∵∠1＝∠2 ∴∠E ＝∠3 ∴AE ＝AB ∵BE ∥AD
∴AC AE =CD BD ∴
AC
AB =
CD
BD
证明：④过B 作BF ∥AC 交AD 的延长线于F(如图4)
则∠F ＝∠2 ∵∠1＝∠2 ∴∠1＝∠F ∴AB = BF ∵BF ∥AC
∴AC BF =CD BD ∴
AC
AB =
CD
BD
⑤过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E(如图5)不难证明
⑥过C作CF∥AB交AD的延长线于F(如图6)也不难证明二、面积比较法
利用三角形的面积公式与
边长的关系,结合角平分线的性
质,化简面积比为线段的比,从
而完成比例线段的证明.这种方
法证明比例线段比较巧妙.当然
这需要特定的题设.
证明：作DE⊥AB,DF⊥AC,
垂足分别为E、F。过A作AG⊥
BC, 垂足为G.(如图7)
∵∠1=∠2,
∴DE=DF
∵S
△ABD =
2
1
AB×DE,
S
△ACD
=
2
1
AC×DF
另一方面S
△ABD
＝
2
1
BD×AG 、S
△ACD
=
2
1
CD×AG
∴
ACD
ABD
S
S
∆
∆=
AC
AB
，
ACD
ABD
S
S
∆
∆=
CD
BD
∴
AC
AB
=
CD
BD
三、相似三角形法
利用相似三角形的性质可以证明比例线段,或者作包含其中三条线段
的两个三角形相似得到比例线段,再利用等线段替换即可.这种方法也是很
常规的.
证明: 以B为端点作射线BE,使∠ABE=∠C, BE交AD于E,(如图8)
∵∠1=∠2,∠ABE=∠C
∴△ABE∽△ACD
∴
AC
AB
=
CD
BE
∵∠4=∠2 +∠C,
∠3=∠1 +∠ABE
又∠1=∠2,∠C=∠ABE
∴∠3=∠4
∴BE=BD
∴
AC
AB
=
CD
BD
