专题复习一 线段比例关系的证明和应用
证明线段成比例，一般先根据比例式确定相似三角形，然后用相似三角形的性质得出线段成比例.若根据比例式不能确定相似三角形，则利用等量代换进行条件转化．
1.如图所示，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点F ，则下列结论中，一定正确的是(A ).
（第1题）（第2题）（第3题） （第4题）
2.如图所示，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，BC 边上的点，AB ∥DE ，CF 为中线，若AD=5，CD=3，DE=4，则BF 的长为(B ).
3.如图所示，弦AB 和CD 相交于⊙O 内一点P ，则下列结论中不一定成立的是(B ). A. PD PA =PB PC B.PA ·PD=PB ·PC C. PD PB =PA
PC D.PA ·PB=PC ·PD
4.如图所示，在△ABC 中，BF 平分∠ABC ，AF ⊥BF 于点F ，D 为AB 的中点，连结DF 并延长交AC 于点E.若AB=10，BC=16，则线
段EF 的长为(B ).
A.2
B.3
C.4
D.5
5.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，P 是AD 边上一点，连结PB ，PC ，且AB 2=AP ·PD ，则图中有 3 对相似三角形．
（第5题）
（第6题）
（第7题） 6.如图所示，在△ABC 中，AD 是角平分线，∠ADE=∠B ，若AE=4，AB=5，则AD= 25 .
7.如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 是AB 上一点，作DE ⊥BC 于点E ，连结AE ，若BE=AC ，BD=25，DE+BC=10，则线段AE 的长为 42 ．
8.如图所示，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED=∠B ，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AC AD =CG
DF . （第8题）
（1）求证：△ADF ∽△ACG.
（2）若AC AD =21，求FG
AF 的值. 【答案】(1)∵∠AED=∠B ，∠DAE=∠DAE ，∴∠ADF=∠C.又∵
AC AD =CG
DF ，∴△ADF ∽△ACG. (2)∵△ADF ∽△ACG ，∴
9.如图所示，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 是⊙O 的直径，D 是 的中点，BD 交AC 于点E ，连结AD ，CD ．
（第9题）
（1）求证：AD 2=DE ·DB ．
（2）若BC=25
，CD=2
5，求DE 的长． 【答案】(1)∵D 是AC 的中点，∴
.∴∠ABD=∠DAC.又∠ADB=∠EDA ，∴△ABD ∽△EAD.∴DE AD =AD DB .∴AD 2=DE ·DB. (2)∵D 是的中点，∴AD=DC.∴DC 2=DE ·DB.∵CB 是直径，∴△BCD 是直角三角形.∴BD=
.∵DC 2=DE ·DB ，∴
(25)2=5DE ，解得DE=45.
10.如图所示，在Rt △ABC 内有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形，则a ，b ，c 满足的关系式为(A ).
A.b=a+c
B.b=ac
C.b 2=a 2+c 2
D.b=2a=2c
（第10题）
（第11题） （第12题）
（第13题） 11.如图所示，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，直径AC=6，对角线AC ，BD 交于点E ，且AB=BD ，EC=1，则AD 的长为(A ).
12.如图所示，△AOB 是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA ，点A 在反比例函数y=2x
的图象上.若点B 在反比例函数y=x
k 的图象上，则k 的值为(D ).
A.4
B.-4
C.8
D.-8
13.在四边形ADBC 中，∠ADB=∠ACB ，CD 平分∠ACB 交AB 于点E ，且BE=CE.若BC=6，AC=4，则BD= 26 ．
14.如图所示，已知CE 是Rt △ABC 斜边AB 上的高线，在EC 的延长线上任取一点P ，连结AP ，BG ⊥AP 于点G ，交CE 于点D.求证：CE 2=PE ·DE ． （第14题）
【答案】∵∠ACB=90°，CE ⊥AB ，∴∠ACE+∠BCE=90°，∠ACE+∠CAE=90°.∴∠CAE=∠BCE.∴Rt △ACE ∽Rt △CBE.∴
BE CE =CE
AE .∴CE 2=AE ·BE.
∵BG ⊥AP ，CE ⊥AB ，∴∠DEB=∠DGP=∠PEA=90°.∵∠GDP=∠EDB ，∴∠P=∠DBE.
∴△AEP ∽△DEB.∴BE PE =DE AE .∴PE ·DE=AE ·BE.∴CE 2=PE ·DE. 15.如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，点E 在对角线AC 上，且满足∠ADE=∠BAC.
（1）求证：CD ·AE=DE ·BC.
（2）以点A 为圆心、AB 长为半径画弧交边BC 于点F ，连结AF.求证：AF 2=CE ·CA.
（第15题）
【答案】(1)∵AD ∥BC ，∴∠DAE=∠ACB.又∵∠ADE=∠BAC ，∴△ADE ∽△CAB.∴
AB DE =BC
AE .∴AB ·AE=DE ·BC.∵AB=CD ，∴CD ·AE=DE ·BC. (2)∵AD ∥BC ，AB=CD ，∴∠ADC=∠DAB.∵∠ADE=∠BAC ，又∵∠ADC=∠ADE+∠CDE ，∠DAB=∠BAC+∠CAD ，∴∠CDE=∠CAD.又∠DCE=∠ACD,∴△CDE ∽△CAD.∴CA CD =CD
CE .∴CD 2=CE ·CA.由题意得AB=AF ，AB=CD ，∴AF=CD.∴AF 2=CE ·CA.
16.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ，交BC 于点D ，连结BE ，AD 交于点P.求证：
（第16题）
（1）D 是BC 的中点．
（2）△BEC ∽△ADC ．
（3）AB ·CE=2DP ·AD ．
【答案】(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，即AD ⊥BC.∵AB=AC ，∴D 是BC 的中点.
