第三讲 相似比例线段的证明方法.尖子班
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一三点定型法:三点定型法即通过所证的比例式确定三角形的相似,例如DF AC DE AB =,则A 、B 、C 三点确定△ABC ,D 、E 、F 三点确定△DEF ,则证明△ABC ∽△DEF
二等线段代换法:等线段代换法即通过将已证比例中的线段换成与之相等的线段,再利用其他相似证明方法确定三角形的相似,例如
DF AC DE AB =且CD=AB ,则=DF AC DE CD ,再证△ACD 与△DEF 的相似
三等比代换法:当没有等量线段的转换时,可以选择用等比例代换找准相似。例如
,,PQ
MN DF AC PQ MN DE AB ==则DF AC DE AB =。则证明△ABC ∽△DEF 四等积代换法:
用射影定理找中间积,再进行等量代换。
【例1】(1)如图所示,AD 是直角三角形ABC 斜边上的高,DE ⊥DF ,且DE 和DF 交AB 、AC 于E 、F.求证:.AF BE AD BD
知识点睛
典型例题
模块一
比例式的证明方法相似——
比例线段的证明方法
(2)如图,在四边形ABCD 中,E 是BC 的中点,且∠AED=∠B=∠C=60°,过点E 作EM ⊥AD 于M 。①求证:AB·DE=BE·AE ;②求BC
EM 的值
(3)如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC ,E 为AC 中点,ED 的延长线交AB 的延长线于F ,求证:.AF
DF AC AB =
(4)如图,在矩形ABCD 中,E 是CD 的中点,BE ⊥AC 且交AC 于F ,过F 作FG ∥AB ,交AE 于G.求证:AG 2=AF FC.
【巩固】(1)梯形ABCD 中,AD//BC ,AC 与BD 相交于O 点,作BE//CD,交CA 的延长线于点E.求证:OC 2=OA.OE
(2)已知:如图,CE 是RtΔABC 的斜边AB 上的高,BG ⊥AP.求证:CE 2
=ED·EP.证明两线段相等的一种方法是构造比例关系:
x y a b
=,①若x y =,则a b =;②若a b =,则x y =;③若y b =,则x a
=【例2】(1)已知,如图,四边形ABCD ,两组对边延长后交于E 、F ,对角线BD EF ∥,AC 的延长线交EF 于G 。求证:EG GF =
。
(2)如图,在△ABC 中,∠A=90°,分别以AB 、AC 为边向形外作正方形ABDE 、ACFG ,设CD 交AB 于N ,BF 交AC 于M ,求证:AM=AN
。
知识点睛
典型例题
模块二运用相似证明线段相等
【巩固】如图,已知:正方形ABCD 中,点M 、N 分别在AB 、BC 上,且BP ⊥CM ,PN ⊥PD 于点P 求证:
BM=BN
【例3】(1)如图,梯形ABCD ,EF//AB ,EF 交AD 、BC 于E 、F ,交AC 、BD 于G 、H ,求证EG=FH
。
(2)如图,□ABCD ,E 、F 分别在直线AD 、CD 上,连接BE 、BF 交AC 于M 、N ,EF//AC 。①若E 、F 分别为AD 、CD 的中点,求证:AM=MN=CN
;
②平行移动EF ,交CD 、AD 的延长线于E 、F ,求证:
AM=CN
典型例题
模块三相似中的连比问题
【巩固】(1)如图,在四边形ABCD 中,F 为AC 、BD 的交点,EF//BC ,EN//BD,求证:
FN//CD
(2)如图,在△ABC 中,D 、E 分别为CA 、BA 延长线上的点,M 、N 分别为AB 、AC 上的点,若MN//BC ,EN//BD ,求证:
CE//DM
【例4】已知:如图①所示,在△ABC 和△ADE 中,AB=AC ,AD=AE ,∠BAC=∠DAE ,且点B ,A ,D 在一条直线上,连接BE ,CD ,M ,N 分别为BE ,CD 的中点.
(1)求证:①BE=CD ;②△AMN 是等腰三角形;
(2)在图①的基础上,将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立,并证明。
(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED 交线段BC 于点P .求证:△PBD ∽△AMN
.
典型例题
模块四全等与相似的结合问题
【例6】如图l ,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC ,AO ⊥BC 于点0,F 是线段AO 上的点(与A ,0不重合),∠EAF=90°,AE=AF ,连结FE ,FC ,BE ,BF .
(1)求证:BE=BF ;
(2)如图2,若将△AEF 绕点A 旋转,使边AF 在∠BAC 的内部,延长CF 交AB 于点G ,交BE 于点K .
①求证:△AGC ∽△KGB ;
②当△BEF 为等腰直角三角形时,请你直接写出AB :BF
的值.
【例6】已知:如图,在正方形ABCD 中,AD=12,点E 是边CD 上的动点(点E 不与端点C ,D 重合)AE 的垂直平分线FP 分别交AD ,AE ,BC 于点F ,H ,G ,交AB 的延长线于点P 。
(1)设DE=m (0 的值;(2)在(1)的条件下,当12 FH HG 时,求BP 的长。能力提升 【例7】等腰直角三角形ABC 中,∠C=90°,AC=BC ,D 是AB 边上一动点,且AD=nDB ,E 是AC 边上的一个动点(与A 、C 不重合),DE ⊥DF ,DF 与BC 边相交于点F (1)当n=1时,DE DF =________(2)当n=2时,求DE DF (3)当AE=13AC=2,12 n =时, BF=________【例8】在面积为24的△ABC 中,矩形DEFG 的边DE 在AB 上运动,点F 、G 分别在BC 、AC 上. (1)若AB =8,DE =2EF ,求GF 的长; (2)若∠ACB =90°,如图2,线段DM 、EN 分别为△ADG 和△BEF 的角平分线,求证:MG =NF ; (3)请直接写出矩形DEFG 的面积的最大值. 真题赏析