矩阵特征值和特征向量解法的研究
周雪娇
（德州学院数学系，山东德州 253023）
摘 要：对矩阵特征值和特征向量的一些方法进行了系统的归纳和总结.在比较中能够 更容易发现最好的方法，并提高问题的解题效率. 关键词： 矩阵； 特征值； 特征向量； 解法
引言
矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具.矩阵计算问题是很多科学问题的核心.在很多工程计算中，常常会遇到特征值和特征向量的计算问题，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临界值等，这些特征值的计算往往意义重大.很多科学问题都要归结为矩阵计算的问题，在这里主要研究矩阵计算中三大问题之——特征值问题.
1 矩阵特征值与特征向量的概念及性质
1.1 矩阵特征值与特征向量的定义
设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非零向量x ，使得x Ax λ=成立，则称
λ为A 的特征值，x 为A 的对应于特征值λ的特征向量.
1.2 矩阵特征值与特征向量的性质
矩阵特征值与特征向量的性质包括：
（1）若i i r A 的是λ重特征值，则i i s A 有对应特征值λ个线性无关的特征向量，其中i i r s ≤.
（2）若线性无关的向量21,x x 都是矩阵A 的对应于特征值0λ的特征向量，则当21,k k 不全为零时，2211x k x k +仍是A 的对应于特征值0λ的特征向量.
（3）若A n 是矩阵λλλ,,,21 的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是
n x x x ,,,21 ，则这组特征向量线性无关.
（4）若矩阵()n n ij a A ?=的特征值分别为n λλλ,,,21 ，则
nn n a a a +++=+++ 221121λλλ，A n =λλλ 21. （5）实对称矩阵A 的特征值都是实数，且对应不同特征值的特征向量正交. （6）若i λ是实对称矩阵A 的i r 重特征值，则对应特征值i λ恰有i r 个线性无关的特征向量.
（7）设λ为矩阵A 的特征值，()x P 为多项式函数，则()λP 为矩阵多项式()A P 的特征值.[]1
2 普通矩阵特征值与特征向量的求法
2.1 传统方法
确定矩阵A 的特征值和特征向量的传统方法可以分为以下几步： （1）求出矩阵A 特征多项式()A E f -=λλ的全部特征根；
（2）把所求得的特征根()n i i ,,2,1 =λ逐个代入线性方程组()0=-X A E i λ， 对于每一个特征值，解方程组()0=-X A E i λ，求出一组基础解系，这样，我们也就求出了对应于每个特征值的全部线性无关的特征向量.[]2 例1 已知矩阵
????
?
?????-=11
111
110
A
求矩阵A 的特征值和特征向量.
解
A E -λ = 1
1
1
1
1
11
------λλλ
= ()21-λλ
所以，由()012=-λλ知A 的特征根1,0321===λλλ.
当0=λ时，
由0=-AX ，即????
?
???????????????------32111
111110x x x = 0得312x x =，32x x -=
因此，属于特征值0=λ的特征向量为
????
?
?????-=11
21α .
当1=λ时，
由()0=-X A E ,即????
?
?????????????
??----32101
101
111
x x x = 0 得31x x =，02=x
因此，属于特征值1=λ的特征向量为
??
?
?
?
?????=1012α . 2.2 列行互逆变换法
2.2.1 列行互逆变换法的定义
把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换：
（1）互换j i 、两列()j i c c ?，同时互换i j 、两行()i j r r ?； （2）第i 列乘以非零数()i kc k ,同时第i 行乘??
?
??i r k
k 1
1；
（3）第i 列k 倍数加到第j 列()i i kc c +，同时第j 行k -倍加到第i 行()i i kr r -. 2.2.2 列行互逆变换法的应用 例2 已知矩阵
????
?
?????--=31
2
130
112A 求A 的特征值和特征向量.
解
???????
???
???????
??
??
?--=??
????????10
001000131
2
130112I A ??→?++1
33
1r r C C ?????????????????????
?---10
101000140
0131111
??
→?++2
11
2r r c c ??????????????????????---11
101001140
121002??→?+-322
32
121
r r c c ????
??????
?
??????????
?---211
12110211140
0021002 ?→?3
3
2
1
2r c ??????????
??????
?????
?---11
111011140
0021002
所以，特征值221==λλ，43=λ 对应特征值221==λλ的特征向量为
??
?
?
?
?????-=1111α， 对应特征值43=λ的特征向量为
????
??????-=1113
α.
2.3 列初等变换法
2.3.1 列初等变换的步骤
列初等变换法计算特征值与特征向量的步骤是：
（1）将??
?
?
?
?????-E A E λ经过一系列初等变化变成()()??????????λλQ C ，其中()λC 为含λ的下三
角矩阵，()λQ 为E 经过初等变换得到的矩阵；
（2）令()λC 主对角线元素之积为零，求出根即为特征值()n i i ,,2,1 =λ；
（3）将求出的()n i i ,,2,1 =λ代入()()??????????λλQ C 中为()()??
?
?
?
?????i i Q C λλ ，在进行列初等变换，
当化为列阶梯形，且当非零列向量个数为时，()λQ 中后的r n -个列向量即为
i λ对应的特征向量.
2.3.2 列初等变换的应用 例3 已知矩阵
????
?
?????-=11
111
110A
求矩阵A 的特征值和特征向量.
解
???
???-E A E λ = ??????
????
??????????------10
010001
11011
111
λλλ
→ ????????
?
??????
??
???------λ
λλ
λλλ0
1
10000111
2
1101
2
→ ???
???
???
?
?????
??
???+------11
1
1101001
12
100
12λλλλλ → ()?
??
??
?
????
?????
??
??
?++-+--+-----11
111
021011
1
10
01
2
2
2
λλλλλλλλ
λ
= ()()??
?
?
??λλQ G 由()012=-λλ知A 的特征根1,0321===λλλ. 当0=λ时，
()()00G Q ??=???? ?
?????????
?????
??
??
?----11
1110210
001
011001 ,
特征向量为
????
?
?????-=11
21α .
当1=λ时，
()()???
???11Q G = ?????????
?
??????????--12
1
010110
010011001 ,
特征向量为
?
?
?
?
?????=1012α . 3 矩阵特征值与特征向量在线性变换中的应用
例4 设V 是数域P 上的3维线性空间，线性变换V V f →:在V 的基3
21,,e e e
下的矩阵为
????
?
?????----20
1
335212
（1）求线性变换f 在V 的基31221,,e e e e e ++下的矩阵； （2）求线性变换f 的特征值与特征向量. 解（1）因为
()31211,,e e e e e ++=()????
?
?
?10
0010
111
,,321e e e 所以由基321,,e e e 到基31211,,e e e e e ++的过渡阵为
????
?
?????=10
010
111
X 而f 在321,,e e e 下的矩阵为
????
?
?????-----=20
1
335
212
A
所以f 在1211,,e e e e e ++下的阵为
????
?
???????????????----????
?
?????==--10
010111
20
1
335212
10
010
111
1
1
AX X B
=????
?
?????----????????????????????----????????
??--31
1
825102
10
010111
20
1335212
100010
111
????
?
???
??------=43
4
3548
135
9
（2）计算可得
A E -λ=2
1
335
21
2
+-+---λλλ
=()
3
3
21
20
2
15
20
3
3
2-+-+
+-++-+-λλλλλ
=()()()()()3225232++++++-λλλλλ
=()31+λ
所以A 有3个相同的特征值1321-===λλλ，代入特征方程，有
010
1
225213321=???
?
?
???????????????----x x x 可得0,03231=+=+x x x x ，
故A 的属于特征值1-的线性无关的特征向量为
??
?
?
??????---=111α.[]3 4 正互反阵特征值与特征向量的求法
4.1 正互反阵的定义
矩阵()n n ij a A ?=（0≠ij a ，j i ≠）称为正互反阵，其中元素ij a 与ji a 须互为倒数，即ji
ij a a 1=
.
4.2 和法
4.2.1和法的具体实现步骤为： a ∑==
n
i j
j
j a
a A 1
ω的每一列向量归一化得
将矩阵 ；
b ∑==
n
i j
i j 1
ωωω按行求和得对；
c ()T
n n
i i
i
i i ωωωωω
ωωω,,,,211
==∑=归一化将；
d ()∑==
n
i i
i
A n
1
1
似值，作为最大特征根的近
计算ωωλ.
这个方法实际上是将A 的列向量归一化后取平均值，作为A 的特征向量.因为当A 为一致阵时，它的每一列向量都是特征向量，所以若A 得不一致性不严重，则取A 的列向量（归一化后）的平均值作为近似特征向量是合理的. 4.2.2和法的应用 例
5 运用和法求矩阵????
?
???
??=14
16
1412
1621
A 的特征值和特征向量.
解
A = ????
?
???
??14
16
1412
1621
????→?列向量归一化 ????
?
?????091.0077.01
.0364
.0308.03.0545.0615.06
.0
???→?按行求和
?????
???
??268
.0972.0760
.1 ??→?归一化
????
?
???
??089
.0324.0587
.0 = ω；
ωA =
????
?
?????14
16
14121621????
?
???
??089
.0324.0587
.0 = ????
?
???
??268.074
.0769
.1.
则特征根为
009.3089.0268.0324.0974.0587.0769.13111
=??
?
??++=
=
∑
=n
i i
A n
ωω
λ.
因此，运用和法计算的特征向量T
????
?
???
??=089
.0324
.0587
.0ω，
特征值为009.3=λ.
4.3 根法
4.3.1根法的具体实现步骤为： a 将A 的每一列向量归一化得∑==
n
i j
j
j a
a 1
ω；
b 将j ω按行求积并开n 次方，即n
n
j j i 1
1??
?
? ??=∏=ωω；
c 将i ω归一化∑==
n
i i
i
i 1
ω
ωω，()T
n ωωωω,,,21 =；
d 计算()∑==
n
i i
i
A n
1
1
ωωλ，作为最大特征值的近似值.
4.3.2根法的应用 例
6 运用根法计算????
?
???
??=14
16
1412
1621
A 的特征值与特征向量.
解
A = ????
?
???
??14
16
1412
1621
????→?列向量归一化 ????
?
?????091.0077.01
.0364
.0308.03.0545.0615.06
.0
???→?按行求积
????
?
???
??0007.0034.0201
.0 ??→?次方
开
3 ????
?
?????089
.0324.0586
.0
??→?归一化
????
?
???
??089
.0324.0587.0 = u
ωA = ????
?
???
??268.0974
.0769
.1
()∑==
n
i i
i
A n
1
1
ωωλ = ??
?
??+
+
089.0268.0324
.0974.0587
.0769.131 = 009.3
因此，特征向量为
????
?
???
??=089
.0324
.0587.0ω. 根据以上两种方法，不难发现和法较为简便.和法和根法都是采用平均值来计算特征向量，只是和法是求列向量的算术平均值，而根法是求几何平均值.两种方法都比定义法计算高阶矩阵特征向量简便得多，是正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法.
5 小结
本文给出了矩阵特征值与特征向量的定义及性质，并且对一般矩阵及特殊矩阵正互反阵特征值与特征向量的解法进行了归纳总结，最后给出了这些解法的具体实现步骤.通过文章的梳理总结，在比较中让人们更好更快的确定解题方法，提高解题效率.
参考文献：
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[3] 钱吉林，刘丁酉.高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2005. [4] 黄金伟.矩阵的特征值与特征向量的简易求法[J].福建信息技术教育，2006（05）：34. [5] 孟道骥.高等代数与解析几何[M]. 北京：科学出版社，1988. [6] 施劲松，刘剑平.矩阵特征值、特征向量的确定[J].大学数学，2003（01）：5. [7] 赵院娥，李顺琴.矩阵的特征值与特征向量[J].江西科学，2009（05）：2. [8] 徐树方.矩阵计算的理论与方法[M].北京：北京大学出版社，1992. [9] 何翼.求矩阵特征值与特征向量的新方法[J].铜仁学院报，2009（03）：1.
The Research on Eigenvalues and
Eigenvectors of Matrix
Zhou X ue-jiao
(Department of Mathematics, Dezhou University, Dezhou Shandong 253023)
Abstract:In this paper,some solution methods for the matrix eigenvalues and eigenvectors are inducted.In comparison ,people are easy to find the best solution and improve problems solving efficiency through the article's summing .
Key words:Matrix; Eigenvalue;Eigenvector; solution
谢辞
本研究及学位论文是在我的导师刘耀斌的亲切关怀和悉心指导下完成的。他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。从课题的选择到项目的最终完成，刘老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持。刘老师不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想、生活上给以无微不至的关怀，在此谨向刘老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。
在此，我还要感谢在一起愉快的度过大学生活的同学和舍友，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成。
在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们!
愿把我的幸福和快乐都送给关心和支持过我的人，也愿你们一切如意。
第五章 矩阵的特征值与特征向量 5.1矩阵的特征值与特征向量 5.1.1矩阵的特征值与特征向量的概念 设A 是n 阶矩阵，若存在数λ及非零的n 维列向量α，使得：λαα=A (0≠α)成立，则称λ是矩阵A 的特征值，称非零向量α是矩阵A 属于特征值λ的特征向量. 5.1.2矩阵的特征值与特征向量的求法 把定义公式λαα=A 改写为()0=-αλA E ,即α是齐次方程组()0=-x A E λ的非零解.根据齐次方程组有非零解的充分条件可得：0=-A E λ. 所以可以通过0=-A E λ求出所有特征值，然后对每一个特征值i λ，分别求出齐 次方程组()0=-x A E i λ的一个基础解系，进而再求得通解. 【例5.1】求??? ? ? ?????------=324262423A 的特征值和特征向量. 解：根据()()0273 2 4 26 24 23 2 =+-=---= -λλλλλλA E ，可得71=λ，22-=λ. 当7=λ时，??? ? ? ?????? ??? ???????=-0000002124242124247A E ， 所以()07=-x A E 的一个基础解系为：()T 0,2,11-=α,()T 1,0,12-=α，则相应的特征向量为2211ααk k +，其中21,k k 是任意常数且()()0,0,21≠k k . 当2-=λ时，???? ? ?????--? ??? ? ??????---=--00012014152428242 52A E ，所以()02=--x A E 的一个基础解系为()T 2,1,23=α，则相应的特征向量为33αk ，其中3k 是任意常数且
第五章矩阵的特征值和特征向量 来源：线性代数精品课程组作者：线性代数精品课程组 1．教学目的和要求： (1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量. (2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对 角矩阵. (3) 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 2．教学重点： (1) 会求矩阵的特征值与特征向量. (2) 会将矩阵化为相似对角矩阵. 3．教学难点：将矩阵化为相似对角矩阵. 4．教学内容： 本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题. §1矩阵的特征值和特征向量 定义1设是一个阶方阵，是一个数，如果方程 (1) 存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特 征向量． （1）式也可写成， (2) 这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 , (3) 即 上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程．其左端是的 次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．
== = 显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值． 设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明 （ⅰ） （ⅱ） 若为的一个特征值，则一定是方程的根, 因此又称特征根，若为 方程的重根，则称为的重特征根．方程的每一个非 零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：计算的特征多项式； 第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值； 第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组： 的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是 （其中是不全为零的任意实数）． 例1 求的特征值和特征向量. 解的特征多项式为 =
第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题 1 试用施密特法把下列向量组正交化 (1)?? ? ? ? ??=931421111) , ,(321a a a (2)???? ?? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a 2 设x 为n 维列向量 x T x 1 令H E 2xx T 证明H 是对称的正交 阵 3 求下列矩阵的特征值和特征向量: (1)??? ?? ??----20133 521 2; (2)??? ? ? ??633312321. 4 设A 为n 阶矩阵 证明A T 与A 的特征值相同 5 设 0是m 阶矩阵A m n B n m 的特征值 证明 也是n 阶矩阵BA 的特 征值. 6 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A 35A 2 7A | 7 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A * 3A 2E | 8 设矩阵??? ? ? ??=50413102x A 可相似对角化 求x
9 已知p (1 1 1)T 是矩阵???? ? ??---=2135212b a A 的一个特征向量 (1)求参数a b 及特征向量p 所对应的特征值 (2)问A 能不能相似对角化？并说明理由 10 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵??? ? ? ??----020212022化为对角 阵. 11 设矩阵????? ??------=12422421x A 与??? ? ? ? ?-=Λy 45 相似 求x y 并 求一个正交阵P 使P 1AP 12 设3阶方阵A 的特征值为1 2 2 2 3 1 对应的特征 向量依次为p 1 (0 1 1)T p 2(1 1 1)T p 3(1 1 0)T 求A . 13 设3阶对称矩阵A 的特征值 1 6 2 3 3 3 与特征值 1 6对应的特征向量为p 1 (1 1 1)T 求A . 14 设?? ? ? ? ??-=340430241A 求A 100
9 矩阵特征值计算 在实际的工程计算中，经常会遇到求n 阶方阵 A 的特征值(Eigenvalue)与特征向量(Eigenvector)的问题。对于一个方阵A，如果数值λ使方程组 Ax=λx 即(A-λI n )x=0 有非零解向量(Solution Vector)x，则称λ为方阵A的特征值，而非零向量x为特征值λ所对应的特征向量，其中I n 为n阶单位矩阵。 由于根据定义直接求矩阵特征值的过程比较复杂，因此在实际计算中，往往采取一些数值方法。本章主要介绍求一般方阵绝对值最大的特征值的乘幂(Power)法、求对称方阵特征值的雅可比法和单侧旋转(One-side Rotation)法以及求一般矩阵全部特征值的QR 方法及一些相关的并行算法。 1.1 求解矩阵最大特征值的乘幂法 1.1.1 乘幂法及其串行算法 在许多实际问题中，只需要计算绝对值最大的特征值，而并不需要求矩阵的全部特征值。乘幂法是一种求矩阵绝对值最大的特征值的方法。记实方阵A的n个特征值为λi i=(1,2, …,n)，且满足： │λ1 │≥│λ2 │≥│λ3 │≥…≥│λn │ 特征值λi 对应的特征向量为x i 。乘幂法的做法是：①取n维非零向量v0 作为初始向量；②对于 k=1,2, …,做如下迭代： 直至u k+1 ∞ - u k u k =Av k-1 v k = u k /║u k ║∞ <ε为止，这时v k+1 就是A的绝对值最大的特征值λ1 所对应的特征向∞ 量x1 。若v k-1 与v k 的各个分量同号且成比例，则λ1 =║u k ║∞；若v k-1 与v k 的各个分量异号且成比例，则λ1 = -║u k ║∞。若各取一次乘法和加法运算时间、一次除法运算时间、一次比较运算时间为一个单位时间，则因为一轮计算要做一次矩阵向量相乘、一次求最大元操作和一次规格化操作，所以下述乘幂法串行算法21.1 的一轮计算时间为n2+2n=O(n2 )。 算法21.1 单处理器上乘幂法求解矩阵最大特征值的算法 输入：系数矩阵A n×n ，初始向量v n×1 ，ε 输出：最大的特征值m ax Begin while (│diff│>ε) do (1)for i=1 to n do (1.1)sum=0 (1.2)for j= 1 to n do sum=sum+a[i,j]*x[j] end for
求矩阵特征值算法及程序简介 1.幂法 1、幂法规范化算法 （1）输入矩阵A 、初始向量)0(μ ，误差eps ； （2）1?k ； （3）计算)1()(-?k k A V μ； （4）)max (,) max ()1(1)(--??k k k k V m V m ； （5）k k k m V /)()(?μ； （6）如果eps m m k k <--1,则显示特征值1λ和对应的特征向量)1(x ),终止； （7）1+?k k ,转（3） 注：如上算法中的符号)max(V 表示取向量V 中绝对值最大的分量。本算法使用了数据规范化处理技术以防止计算过程中出现益出错误。 2、规范化幂法程序 Clear[a,u,x]; a=Input["系数矩阵A="]; u=Input["初始迭代向量u(0)="]; n=Length[u]; eps=Input["误差精度eps ="]; nmax=Input["迭代允许最大次数nmax="]; fmax[x_]:=Module[{m=0,m1,m2}, Do[m1=Abs[x[[k]]]; If[m1>m,m2=x[[k]];m=m1], {k,1,Length[x]}]; m2] v=a.u; m0=fmax[u]; m1=fmax[v]; t=Abs[m1-m0]//N; k=0; While[t>eps&&k m0=m1; m1=fmax[v]; t=Abs[m1-m0]//N; Print["k=",k," 特征值=",N[m1,10]," 误差=",N[t,10]]; Print[" 特征向量=",N[u,10]]]; If[k ≥nmax,Print["迭代超限"]] 说明：本程序用于求矩阵A 按模最大的特征值及其相应特征向量。程序执行后，先通过键盘输入矩阵A 、迭代初值向量)0(μ、精度控制eps 和迭代允许最大次数max n ，程序即可给出每次迭代的次数和对应的迭代特征值、特征向量及误差序列，它们都按10位有效数输出。其中最后输出的结果即为所求的特征值和特征向量序列。如果迭代超出max n 次还没有求出满足精度的根则输出迭代超限提示，此时可以根据输出序列判别收敛情况。 程序中变量说明 a:存放矩阵A ； u:初始向量)0(μ和迭代过程中的向量)(k μ及所求特征向量； v:存放迭代过程中的向量)(k V ； m1:存放所求特征值和迭代过程中的近似特征值； nmax:存放迭代允许的最大次数； eps:存放误差精度； fmax[x]: 给出向量x 中绝对值最大的分量； k:记录迭代次数； t1:临时变量； 注：迭代最大次数可以修改为其他数字。 3、例题与实验 例1. 用幂法求矩阵???? ? ??---=9068846544 1356133A 的按模最大的特征值及其相应特征向量，要求误差410- 摘要：首先给出了求解矩阵特征值和特征向量的另外两种求法,然后运用特征值的性质讨论了矩阵合同、相似的充要条件,以及逆矩阵的求解等相关问题. 关键词：矩阵的特征多项式,特征值,特征向量,对角矩阵,逆矩阵 Abstract：Firstly，it is given matrix eigenvalues and eigenvectors of two other methods, then with the properties of eigenvalue the contract of matrix discussed,we deeply discuss the sufficient and necessary conditions for the similar matrix contract, and the inverse matrix of the related problem solving. Keywords:matrix characteristic polynomial, eigenvalue, eigenvector, diagonal matrices, inverse matrix 目录 1 前言 (4) 2 矩阵的特征值和特征向量的求法 (4) 2.1 矩阵的初等变换法 (4) 2.2 矩阵的行列互逆变换法 (6) 3 矩阵特征值的一些性质及应用 (7) 3.1 矩阵之间的关系 (7) 3.1.1 矩阵的相似 (7) 3.1.2 矩阵的合同 (7) 3.2 逆矩阵的求解 (8) 3.3 矩阵相似于对角矩阵的充要条件 (8) 3.4 矩阵的求解 (9) 3.5 矩阵特征值的简单应用 (10) 结论 (11) 参考文献 (12) 致谢 (13) 矩阵特征值和特征向量解法的研究 周雪娇 （德州学院数学系，山东德州 253023） 摘 要：对矩阵特征值和特征向量的一些方法进行了系统的归纳和总结.在比较中能够 更容易发现最好的方法，并提高问题的解题效率. 关键词： 矩阵； 特征值； 特征向量； 解法 引言 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具.矩阵计算问题是很多科学问题的核心.在很多工程计算中，常常会遇到特征值和特征向量的计算问题，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临界值等，这些特征值的计算往往意义重大.很多科学问题都要归结为矩阵计算的问题，在这里主要研究矩阵计算中三大问题之——特征值问题. 1 矩阵特征值与特征向量的概念及性质 1.1 矩阵特征值与特征向量的定义 设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非零向量x ，使得x Ax λ=成立，则称 λ为A 的特征值，x 为A 的对应于特征值λ的特征向量. 1.2 矩阵特征值与特征向量的性质 矩阵特征值与特征向量的性质包括： （1）若i i r A 的是λ重特征值，则i i s A 有对应特征值λ个线性无关的特征向量，其中i i r s ≤. （2）若线性无关的向量21,x x 都是矩阵A 的对应于特征值0λ的特征向量，则当21,k k 不全为零时，2211x k x k +仍是A 的对应于特征值0λ的特征向量. （3）若A n 是矩阵λλλ,,,21 的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是 n x x x ,,,21 ，则这组特征向量线性无关. （4）若矩阵()n n ij a A ?=的特征值分别为n λλλ,,,21 ，则 nn n a a a +++=+++ 221121λλλ，A n =λλλ 21. （5）实对称矩阵A 的特征值都是实数，且对应不同特征值的特征向量正交. （6）若i λ是实对称矩阵A 的i r 重特征值，则对应特征值i λ恰有i r 个线性无关的特征向量. （7）设λ为矩阵A 的特征值，()x P 为多项式函数，则()λP 为矩阵多项式()A P 的特征值.[]1 2 普通矩阵特征值与特征向量的求法 2.1 传统方法 确定矩阵A 的特征值和特征向量的传统方法可以分为以下几步： （1）求出矩阵A 特征多项式()A E f -=λλ的全部特征根； （2）把所求得的特征根()n i i ,,2,1 =λ逐个代入线性方程组()0=-X A E i λ， 对于每一个特征值，解方程组()0=-X A E i λ，求出一组基础解系，这样，我们也就求出了对应于每个特征值的全部线性无关的特征向量.[]2 例1 已知矩阵 ???? ? ?????-=11 111 110 A 求矩阵A 的特征值和特征向量. 解 A E -λ = 1 1 1 1 1 11 ------λλλ = ()21-λλ 所以，由()012=-λλ知A 的特征根1,0321===λλλ. 习题 1. (1) 若A 2 = E ，证明A 的特征值为1或-1; (2) 若A 2 = A ，证明A 的特征值为0或1. 证明（1）2 2A E A =±所以的特征值为1，故A 的特征值为1 （2） 2222 2 ,,()0,001 A A A X A X AX X X X λλλλλλλ===-=-==所以两边同乘的特征向量得即由于特征向量非零，故即或 2. 若正交矩阵有实特征值，证明它的实特征值为1或 -1. 证明 1,1 T T T A A A E A A A A A λλλλ -=∴==±设是正交阵，故有与有相同的特征值， 1 故设的特征值是，有=，即 3．求数量矩阵A=aE 的特征值与特征向量. 解 A 设是数量阵，则 000000000000a a A aE a a a E A a λλλλ?? ? ?== ? ??? ---= -L L L L L L L L L L L L 所以：特征值为a (n 重), A 属于a 的特征向量为 k 1(1,0,…,0)T + k 2(0,1,…,0)T + k n (0,0,…,1)T ，(k 1, k 2, …, k n 不全为0) 4．求下列矩阵的特征值与特征向量. （1）113012002-?? ? ? ??? （2）324202423?? ? ? ??? （3）??? ?? ??---122212 221 （4）212533102-?? ?- ? ?--?? ()1112221211(5) , , (0,0)0.T T n n n n a a b a a b A b b b a b a a b αβαβαβ?? ???? ? ? ? ? ? ?====≠≠= ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? L M M M 其中，且 解（1） 11 3 0120,1,2,00 2A E AX λλλ λλλλ ---=-====-0,123求得特征值为:分别代入=求得 A 属于特征值1的全部特征向量为k(1,0,0)T ，(k ≠0) A 属于特征值2的全部特征向量为k(1，2，1)T ，(k ≠0) 解（2） 第3章 矩阵特征值与特征向量的计算 一些工程技术问题需要用数值方法求得矩阵的全部或部分特征值及相关的特征向量。 3.1 特征值的估计 较粗估计ρ(A )≤ ||A || 欲将复平面上的特征值一个个用圆盘围起来。 3.1.1盖氏图 定义3.1-1 设A = [a ij ]n ?n ，称由不等式∑≠=≤-n i j j ij ii a a z 1 所确定的复区域为A 的第i 个盖氏图， 记为G i ，i = 1，2，…，n 。 >≤-=<∑≠=}:{1n i j j ij ii i a a z z G 定理3.1-1 若λ为A 的特征值，则 n i i G 1 =∈ λ 证明：设Ax = λx (x ≠ 0)，若k 使得∞ ≤≤==x x x i n i k 1max 因为 k n j j kj x x a λ=∑=1 ?∑≠= -n k j j kj k kk x a x a )(λ ?∑∑∑ ≠=≠=≠≤≤= -n k j j kj n k j j k j kj n k j k j kj kk a x x a x x a a 11λ ? n i i k G G 1 =? ∈λ 例1 估计方阵????? ?? ?????----=41.03.02.05.013.012.01.035.03.02.01.01A 特征值的X 围 解： G 1 = {z ：|z – 1|≤ 0.6}；G 2 = {z ：|z – 3|≤ 0.8}； G 3 = {z ：|z + 1|≤ 1.8}；G 4 = {z ：|z + 4|≤ 0.6}。 注：定理称A 的n 个特征值全落在n 个盖氏圆上，但未说明每个圆盘内都有一个特征值。 3.1.2盖氏圆的连通部分 称相交盖氏圆之并构成的连通部分为连通部分。 孤立的盖氏圆本身也为一个连通部分。 定理3.1-2若由A 的k 个盖氏圆组成的连通部分，含且仅含A 的k 个特征值。 证明: 令D = diag(a 11，a 12，…，a nn )，M = A –D ，记 )10(00 0)(212211122211≤≤?? ?? ? ? ? ??+??????? ??=+=εεεε n n n n nn a a a a a a a a a M D A 则显然有A (1) = A ，A (0) = D ，易知A (ε)的特征多项式的系数是ε的多项式，从而A (ε)的特征 值λ1(ε)，λ2(ε)，…，λn (ε)为ε的连续函数。 A (ε)的盖氏圆为：)10(,}||||:{)(11≤≤?=≤ -=∑∑≠=≠=εεεεi n i j j ij n i j j ij ii i G a a a z z G 因为A (0) = D 的n 个特征值a 11，a 12，…，a nn ，恰为A 的盖氏圆圆心，当ε由0增大到1时，λi (ε)画出一条以λi (0) = a ii 为始点，λi (1) = λi 为终点的连续曲线，且始终不会越过G i ； 不失一般性，设A 开头的k 个圆盘是连通的，其并集为S ，它与后n –k 个圆盘严格分离，显然，A (ε)的前k 个盖氏圆盘与后n –k 个圆盘严格分离。 当ε = 0时，A (0) = D 的前k 个特征值刚好落在前k 个圆盘G 1，…，G k 中，而另n –k 个特征值则在区域S 之外，ε从0变到1时， k i i G 1 )(=ε与 n k i i G 1 )(+=ε始终分离（严格） 。连续曲线始终在S 中，所以S 中有且仅有A 的k 个特征值。 注：1) 每个孤立圆中恰有一个特征值。 2) 例1中G 2，G 4为仅由一个盖氏圆构成的连通部分，故它们各有一个特征值，而G 1，G 3构 矩阵的特征值与特征向量专题讲解 一、内容提要 一、矩阵的特征值和特征向量 1、基本概念 设A 为n 阶方阵，若存在数λ和n 为非零向量0,a ≠使Aa a λ=，则称λ是A 的特征值，a 是属于λ的特征向量；矩阵E A λ-称为A 的特征矩阵；E A λ-是 λ的n 次多项式，称为A 的特征多项式；E A λ-=0称为A 的特征方程； 2、特征值、特征向量的求法 （1）计算A 的特征值，即解特征方程E A λ-=0； （2）对每一个特征值0λ，求出相应的齐次线性方程组()00E A X λ-= 一个基础解系123,ξξξ，，...,则属于0λ的全部特征向量为11...s s k k ξξ++，其中1,...,s k k 为不全为零的任意常数； 3、特征值、特征向量的性质 （1）A 与T A 的特征值相同（但特征向量一般不同）； （2）属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于该特征值的特征向量； （3）属于不同特征值的特征向量线性无关； （4）设()0A a a a λ=≠，则(),,m kA A P A 的特征值分别为(),,m k P λλλ，其中 ()P x 为任一多项式，而a 仍为相应的特征向量； （5）若A 可逆，()0Aa a a λ=≠，则 1 λ 是1 A -的特征值； A λ 是*A 的特征值， a 仍为相应的特征向量； （6）设12n λλλ，，...是n 阶方阵的特征值，则有()1 1 n n i ii i i a tr A λ====∑∑（迹）； 1 n i i A λ ==∏;推论：A 可逆当且仅当A 的特征值全不为零； （7）若A 为实对称阵，则A 的所有特征值均为实数，且属于不同特征值的特征向量彼此正交。 二、相似矩阵 1、定义 设,A B 为n 阶方阵，若存在n 阶可逆阵P ，使1P AP B -=,称A 与B 相似，记为A ～B ； ２、A ～B 的性质 T T A B ,,,M M kA kB A B ～～～ ()(),P A P B ～其中P 为任一多项式；()(),,,r A r B A B E A E B λλ==-=- ?特征值相同，()()tr A tr B =；若A 可逆，则B 也可逆，且11A B --～。 三、矩阵对角化的条件及方法 １、若矩阵A 与对角阵相似，则称A 可对角化， （１）n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量； （２）若A 的特征值两两不同，则必可对角化。 ２、实对称阵A 必可对角化，且存在正交阵P ，使1P AP -=Λ 实对称矩阵正交对角化具体计算步骤如下： （１）求出实对称矩阵A 的全部特征值； （２）若特征值是单根，则求出一个线性无关的特征向量，并加以单位化； 若特征值是重根，则求出重数个线性无关的特征向量，然后用施密特正交化方法化为正交组，再单位化； 矩阵特征值和特征向量的几何意义（---by 小马哥整理） 从定义来理解特征向量的话，就是经过一个矩阵变换后，空间沿着特征向量的方向上相当于只发生了缩放，比如我们考虑下面的矩阵： A=1.50.50.5 1.0?????? 求这个变换的特征向量和特征值，分别是：0.850.530.530.85U -??=???? (列向量) 特征值为：1λ=1.81，2λ=0.69 注意，这里U 是正交矩阵，根据正交矩阵的性质，我们有1T U U -=。 用一个形象的例子来说明一下几何意义，我们考虑下面笑脸图案： 图1.1 为方便演示笑脸图案在[0,0]和[1,1]围起来的单位正方形里，同时也用两个箭头标出来了特征向量的方向。经过矩阵A=1.50.50.5 1.0?????? 的变换，也就是用这个图案中的每个点的坐标和这个矩阵做乘法，得到下面图案： 图1.1 可以看到就是沿着两个正交的，特征向量的方向进行了缩放。 根据特征向量的定义，我们知道1U AU -=Λ，也即，T U AU =Λ，那么：T A U U =Λ 假设我们把笑脸图案也看作某一个矩阵C ，那么，矩阵A*C ，即把矩阵A 作用于C ，可以理解为：T U U C Λ我们从这个式子就可以看出来，A 矩阵是从旋转和沿轴缩放的角度来作用于C ，分成三步： 第一步，把特征向量所指的方向分别转到横轴和纵轴，这一步相当于用U 的转置，也就是T U 进行了变换 图1.2 第二步，然后把特征值作为缩放倍数，构造一个缩放矩阵1.81 0.69?????? ，矩阵分别沿着横轴和纵轴进行缩放： 图1.3 第三步，很自然地，接下来只要把这个图案转回去，也就是直接乘U 就可以了 图1.4 第五章 矩阵的特征值 §1.矩阵的特征值和特征向量 一、矩阵的特征值的定义 定义1：设A 为n 阶矩阵，λ是一个数，如果存在非零n 维向量α，使得： λα α=A ，则称λ是矩阵A 的一个特征值，非零向量α为矩阵A 的属于（或对应 于）特征值λ的特征向量。 下面讨论一般方阵特征值和它所对应特征向量的计算方法。 设A 是n 阶矩阵，如果0λ是A 的特征值，α是A 的属于0λ的特征向量， 则0000()0 (0) A A E A αλαλααλαα=?-=?-=≠ 因为α是非零向量，这说明α是齐次线性方程组 0)(0=-X A I λ 的非零解，而齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数矩阵0E A λ-的行列式等于零，即 0E A λ-＝0 而属于0λ的特征向量就是齐次线性方程组0()0E A x λ-=的非零解。 定理1：设A 是n 阶矩阵，则0λ是A 的特征值，α是A 的属于0λ的特征向量的充分必要条件是0λ是 0E A λ-＝0的根，α是齐次线性方程组 0()0E A X λ-=的非零解。 定义2：称矩阵E A λ-称为A 的特征矩阵，它的行列式E A λ-称为A 的特征多项式，E A λ-＝0称为A 的特征方程，其根为矩阵A 的特征值。 由定理1可归纳出求矩阵A 的特征值及特征向量的步骤： （1）计算E A λ-； （2）求E A λ-＝0的全部根，它们就是A 的全部特征值； （3）对于矩阵A 的每一个特征值0λ，求出齐次线性方程组0()0E A X λ-=的一个 基础解系：r n -ηηη,,,21 ，其中r 为矩阵0E A λ-的秩；则矩阵A 的属于0λ的全部特征向量为： r n r n K K K --+++ηηη 2211 其中r n K K K -,,,21 为不全为零的常数。 例1 求??? ?? ? ?------=01 1101 110A 的特征值及对应的特征向量。 解：E A λ-＝λ λλλλλλλλλλ1 111111)2(1 2 121121 111 1 1 +=+++= ＝2 )1)(2(1 10 11 1 )2(-+=--+λλλλλ 令E A λ-＝0得：2,1321-===λλλ 当121==λλ时，解齐次线性方程组()0E A X -= 即：1111 111110 0011100 0E A ???? ? ?-=→ ? ? ? ???? ? 可知()1r E A -=，取32,x x 为自由未知量，对应的方程为0321=++x x x 求得一个基础解系为()T 0,1,11-=α，()T 1,0,12-=α，所以A 的属于特征值1的全 部特征向量为2211ααK K +，其中21,K K 为不全为零的常数。 当23-=λ时，解齐次线性方程组(2)0E A X --= 2 111121 121 1221 2112103301111 221 103 300 0E A ----???????? ? ? ? ?--=-→-→-→- ? ? ? ? ? ? ? ?---? ?? ?? ?? ? (2)2r E A --=，取3x 为自由未知量，对应的方程组为? ? ?=+-=-+00232321x x x x x矩阵的特征值与特征向量的求法
矩阵特征值和特征向量解法的研究
第五章 习题与复习题详解(矩阵特征值和特征向量)----高等代数
3矩阵特征值及特征向量的计算
矩阵的特征值与特征向量专题讲解
矩阵特征值和特征向量的几何意义
特征值和特征向量
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