约束变尺度法
Newton 法最突出的优点是收敛速度快，在这一点上其它算法无法比拟的。因此，建议凡是Hesse 矩阵比较容易求出的问题，尽可能使用Newton 法求解。但是，Newton 法也有一个严重缺陷，就是每次迭代都要计算目标函数的Hesse 矩阵和它的逆矩阵，当问题的维数较大时，计算量迅速增加，从而就抵消了Newton 法的优点。为此，人们开始寻找一种算法既可以保持Newton 法收敛速度快的优点，又可以摆脱关于Hesse 矩阵的计算，这就是变尺度算法。
变尺度法是一种非常好的方法，其中DFP 算法和BFGS 算法。可以说，直到目前为止，在不用Hesse 矩阵的方法中是最好的算法。
一、拟Newton 法
为了吸收Newton 法收敛速度快的优点，同时避免Newton 法每次迭代都要计算目标函数的Hesse 矩阵和它的逆矩阵，人们提出了具有超线性收敛的拟Newton 法。
（一）拟Newton 法的基本原理
在Newton 法中的基本迭代公式
k
k k k P t X X +=+1，
其中
1
=k t ，
)
()]([12
k
k
k X
f X
f P ??
-=-
令
)
()(2
k
k
k
k
X
f g
X
f G
?=?
=，
于是有
，，，，21011=-=-+k g G X X k k k k
其中X0是初始点, gk 和 Gk 分别是目标函数f (X )在点 Xk 的梯度和Hesse 矩阵.
为了消除这个迭代公式中的Hesse 逆矩阵G-1k ,可用某种近似矩阵Hk=Hk(Xk)来替换它,即构造一矩阵序列{Hk}去逼近Hesse 逆矩阵序列{G-1k}，此时
k
k k k g H X X -=+1
事实上,式中 Pk= -Hk gk 无非是确定了第k 次迭代的搜索方向.为了取得更大的灵活性,考虑更一般的迭代公式
k
k k k k g H t X X -=+1
其中步长tk 通过从Xk 出发沿Pk= -Hk gk 作直线搜索来确定.此式代表很广的一类迭代公式.
例如,当Hk=I (单位矩阵)时,它变为最速下降法的迭代公式。
附加条件
为了使Hk 确实与G-1k 近似并有容易计算的特点,必须对 Hk 附加某些条件:
⑴ 为保证迭代公式具有下降性质,要求 {Hk} 中的每一个矩阵都是对称正定的.
因为使搜索方向Pk= -Hk gk 是下降方向, 只要
<-=k k T
k k T k g H g P g
⑵ 求Hk 之间的迭代具有简单形式.
可设为最简单的形式:
k
k k E H H +=+1
其中 Ek 称为校正矩阵,此式称为校正公式.
⑶ {Hk}必须满足拟Newton 条件.
（二）拟Newton 法的算法构造
已知目标函数f (X )及其梯度 g(X ),终止限ε。
Step 1 选定初始点X0;计算 f0=f(X0),g0=g(X0),选定初始矩阵 H0,要求 H0 对称正定(例如, H0=I)，置k=0. Step 2 计算搜索方向k
k k g H P -=.
Step 3 作直线搜索
)
,(1k k k P X ls X =+.
计算
111111(),(),,k k k k k k k k k k
f f X
g g X S X X y g g ++++++===-==.
Step 4 判别终止准则是否满足.若满足,则Xk+1就是所求的极小点,
否则转Step 5.
Step 5 计算
k
k k E H H +=+1.
Step 6 k=k+1,转Step 2 .
其中校正矩阵Ek 可由确定的公式来计算.不同的公式对应不同的拟Newton 算法.
（三）拟Newton 算法的流程图
k =k +1
f 0=f (X 0),
g 0=g (X 0)
开始
结束
选定X 0,对称正定阵H 0,置k=0
X k+
1
Y
H 准则满足
N
k
k k g H P -=),(1k k k P X ls X =+111111(),(),,k k k k k k k k k k
f f X
g g X S X X y g g ++++++===-==k
k k E H H +=+1
二、DFP 变尺度法
DFP 算法首先由Davidon 1959年提出,1963年, Fletcher 和Powell 作了改进,形成DFP 算法.D,F,P 是这三位学者名字的字头.这种算法是无约束最优化方法最有效的方法之一.
（一）DFP 算法的基本原理
考虑校正公式:
T
k k k T
k k k k k V V U U H H βα++=+1
其中Uk,Vk 是待定n 维向量,αk,βk 是待定常数.这时,校正矩阵是
T
k k k T k k k k V V U U E βα+=
根据拟Newton 条件
k
k k k T k k k T
k k k y H S y V V U U -=+)(βα
或
k
k k k T k k k k T
k k k y H S y V V y U U -=+βα
满足这个方程的Uk,Vk 有无穷多种取法, 其中的一种:
T k k k k k
U U y S α=，
T k k k k k k
V V y H y β=-
注意到
k
T
k y U 和
k
T k y V 都是数量,
k k k k k U S V H y ==，不妨取 ， 可取 1/),1/()
T T
k k k k k k k S y y H y αβ==-(
得
k
k T
k k
T
k k k k T k T k k k
k y H y H y y H y S S S H
H
-+=+1
这就是DFP 校正公式
（二）DFP 算法的算法构造
已知目标函数f (X )及其梯度 g(X ),问题的维数n,终止限ε Step 1 选定初始点.计算 0000(),()
f f X
g g X ==
Step 2 置
000,,0
H I P g k ==-=.
Step 3作直线搜索
),(1k k k P X ls X =+1111()()
k k k k f f X g g X ++++==，计算
Step 4 判别终止准则满足否. Step 5 若k=n,则置010101
k k k X X f f g g +++===，，
Step 6 计算
1k k k S X X +=-,
1k k k
y g g +=-
1T T
k k k k k k
k k T T
k k k k k
S S H y y H H H S y y H y +=+-,
111
k k k P H g +++=-置k=k+1,转Step 3.
（三）DFP 算法的流程图
k =k +1
置H 0=I ,k=0,P 0=-g 0
开始选定X 0, f 0=f (X 0),g 0=g (X 0)X k+
1Y H 准则满足N
),(1k k k P X ls X =+1111(),()
k k k k f f X g g X ++++==11,k k k k k k S X X y g g ++=-==1T T k k k k k k
k k T T
k k k k k
S S H y y H H H S y y H y +=+-111
k k k P H g +++=-k =n N
结束
令X 0=X n +10101
k k f f g g ++==，Y
三、BFGS 变尺度法
另一个有效和著名的变尺度算法是Broyden, Fletcher(1970), Goldfarb(1969)和Shanno(1970)共同研究的结果,因而叫做BFGS 法.
（一）BFGS 算法的基本原理
考虑校正公式
T
k k k k T
k k T k k
k T k k T k k k k T k T k k k k W W y H y S y y H y H y y H S y S S H H ))((1β+-+=+
其中,
k
k T
k k
k k T k k k y H y y H S y S W -=
校正矩阵为
T
k k k k T
k k T k k
k T k k T
k k k k T k T k k k W W y H y S y y H y H y y H S y S S E ))((β+-=
β为实数参数, 每取一个实数就对应一种拟Newton 算法. 当取β=0时就是DFP 校正公式 令
1/()
T k k S y β=得著名的DFGS 校正公式
????????--???? ?
?++=+k T k k T k k k T k
k k T
k k
k T k k
T
k k k H y S S y H S S y S y H y y S H H 11
1
（二）DFGS 算法迭代步骤
已知目标函数f (X )及其梯度g (X ),问题的维数n,终止限ε. Step 1 选取初始点X0,初始矩阵 H0=I,给定终止限 ε>0.
Step 2 求初始梯度 f (X0).若|| f (X0)||≤ε,停止输出X0;否则. Step 3 构造初始BFGS 方向,取
0000()(),0
P H f X f X k =-?=-?=.
Step 4 进行一维搜索,求tk,使得
11(,),k k k k k k k
X ls X P X X t P ++==+.
Step 5 求梯度 f (Xk+1).若|| f (Xk+1)||≤ ε,停止输出Xk+1;否则. Step 6 检验迭代次数,若k+1=n,令X0=Xn 转(3);否则. Step 7 构造BFGS 方向,用BFGS 公式
???????
?--???? ??++=+k T k k T k k k T k
k k T
k k
k T k k
T
k k k H y S S y H S S y S y H y y S H H 11
1
计算,取,令
1111,(),1
k k k k H P H f X k k ++++=-?=+转Step 4.
（三）DFGS 算法的流程图
结束
开始
计算?f (X 0)给定X 0, H 0=I , ε>0计算?f (X k +1)X
k+1取0000()(),0
P H f X f X k =-?=-?=求t k 使),(1k k k P X ls X =+)(111+++?-=k k k X f H P 1
+=k k ||?f (X 0)||≤ε
N
||?f (X k +1)||≤ ε
N
k +1=n N
X 0Y
Y 令X 0=X n
Y
四、变尺度法的算法分析
Newton 法每次迭代都要计算目标函数的Hesse 矩阵和它的逆矩阵，当问题的维数较大时，计算量迅速增加，从而就抵消了Newton 法收敛速度快的优点。而变尺度算法则可以保持Newton 法收敛速度快的优点，又可以摆脱关于Hesse 矩阵的计算。变尺度法中的二个重要算法DFP 算法和BFGS 算法迭代过程相同,区别仅在于校正矩阵Ek 选取不同,对于DFP 法,由于一维搜索的不精确和计算误差的
积累可能导致某一轮的Hk奇异,而BFGS法对一维搜索的精度要求不高,并且由它产生的 Hk不易变为奇异矩阵.BFGS法比DFP法更具有好的数值稳定性,它比DFP 法更具有实用性.
约束变尺度法 Newton 法最突出的优点是收敛速度快，在这一点上其它算法无法比拟的。因此，建议凡是Hesse 矩阵比较容易求出的问题，尽可能使用Newton 法求解。但是，Newton 法也有一个严重缺陷，就是每次迭代都要计算目标函数的Hesse 矩阵和它的逆矩阵，当问题的维数较大时，计算量迅速增加，从而就抵消了Newton 法的优点。为此，人们开始寻找一种算法既可以保持Newton 法收敛速度快的优点，又可以摆脱关于Hesse 矩阵的计算，这就是变尺度算法。 变尺度法是一种非常好的方法，其中DFP 算法和BFGS 算法。可以说，直到目前为止，在不用Hesse 矩阵的方法中是最好的算法。 一、拟Newton 法 为了吸收Newton 法收敛速度快的优点，同时避免Newton 法每次迭代都要计算目标函数的Hesse 矩阵和它的逆矩阵，人们提出了具有超线性收敛的拟Newton 法。 （一）拟Newton 法的基本原理 在Newton 法中的基本迭代公式 k k k k P t X X +=+1， 其中 1 =k t ， ) ()]([12 k k k X f X f P ?? -=- 令 ) ()(2 k k k k X f g X f G ?=? =，
于是有 ，，，，21011=-=-+k g G X X k k k k 其中X0是初始点, gk 和 Gk 分别是目标函数f (X )在点 Xk 的梯度和Hesse 矩阵. 为了消除这个迭代公式中的Hesse 逆矩阵G-1k ,可用某种近似矩阵Hk=Hk(Xk)来替换它,即构造一矩阵序列{Hk}去逼近Hesse 逆矩阵序列{G-1k}，此时 k k k k g H X X -=+1 事实上,式中 Pk= -Hk gk 无非是确定了第k 次迭代的搜索方向.为了取得更大的灵活性,考虑更一般的迭代公式 k k k k k g H t X X -=+1 其中步长tk 通过从Xk 出发沿Pk= -Hk gk 作直线搜索来确 定.此式代表很广的一类迭代公式. 例如,当Hk=I (单位矩阵)时,它变为最速下降法的迭代 公式。 附加条件 为了使Hk 确实与G-1k 近似并有容易计算的特点,必须对 Hk 附加某些条件: ⑴ 为保证迭代公式具有下降性质,要求 {Hk} 中的每一个矩阵都是对称正定 的. 因为使搜索方向Pk= -Hk gk 是下降方向, 只要 <-=k k T k k T k g H g P g ⑵ 求Hk 之间的迭代具有简单形式.
拟牛顿法（变尺度法）DFP算法的c/c++源码 #include "iostream.h" #include "math.h" void comput_grad(double (*pf)(double *x), int n, double *point, double *grad); //计算梯度 double line_search1(double (*pf)(double *x), int n, double *start, double *direction); //0.618法线搜索 double line_search(double (*pf)(double *x), int n, double *start, double *direction); //解析法线搜索 double DFP(double (*pf)(double *x), int n, double *min_point); //无约束变尺度法 //梯度计算模块 //参数：指向目标函数的指针，变量个数，求梯度的点，结果 void comput_grad(double (*pf)(double *x), int n, double *point, double *grad) { double h=1E-3; int i; double *temp; temp = new double[n]; for(i=1;i<=n;i++) { temp[i-1]=point[i-1]; } for(i=1;i<=n;i++) { temp[i-1]+=0.5*h; grad[i-1]=4*pf(temp)/(3*h); temp[i-1]-=h; grad[i-1]-=4*pf(temp)/(3*h); temp[i-1]+=(3*h/2); grad[i-1]-=(pf(temp)/(6*h)); temp[i-1]-=(2*h); grad[i-1]+=(pf(temp)/(6*h)); temp[i-1]=point[i-1]; } delete[] temp; }
一、变尺度法的基本思想 变尺度法是在牛顿法的基础上发展起来的，它和梯度法亦有密切关系。我们观察一下梯度法和阻尼牛顿法的迭代公式，即： 式——（1） 和——（2） 分析比较这两种方法可知:梯度法的搜索方向为，只需计算函数的一阶偏导数，计算工作量小，当迭代点远离最优点时对突破函数的非二次性极为有利，函数值下降很快，但是当迭代点接近最优点时收敛速度很慢。牛顿法的搜索方向为， 不仅需要计算一阶偏导数而且要计算二阶偏导数矩阵及其逆矩阵.计算工作璧很大，但牛顿法具有二次收敛性，当迭代点接近最优点时收敛速度很快。对这两种方法取其优，去其劣，迭代过程先用梯度法，后用牛顿法并避开牛顿法的赫森矩阵的逆矩阵的繁琐计算，这就是萌生建立“变尺度法”的基本构想。下面对变尺度法的基本思想进行阐述。 变尺度法所构成的迭代公式为： ——（3） 式中为最优步长因子，由一维搜索 而得;对照无约束优化迭代通式。变尺度法的搜索方向应为； 是根据需要人为构造的一个n×n阶对称矩阵，它在迭代过程中随迭代点的位置变化而变化。若在初始点取为单位矩阵取I,则式(3}就成为式(1)表示的梯度法迭代公式，搜索方向为负梯度方向。以后随着迭代过程不断地修正构造矩阵，使它在整个迭代过程中 逐步地逼近目标函数在极小点处的赫森矩阵的逆矩阵。当时。式(3)就成为式(2)表示的阻尼牛顿法迭代公式。这样，当迭代点逼近最优点时，搜索方向就趋于牛 顿方向。如能实现这种构想，那就综合了梯度法和牛顿法的优点，不直接计算，而是用变化的构造矩阵去逼近它，使算法更为有效。构造矩阵在迭代过程中是变
化的，称为变尺度矩阵。由于变尺度法的迭代形式与牛倾法类似，不同的是在迭代公式中用 来逼近，所以又称为“拟牛顿法”，变尺度法的搜索方向 ，最终要逼近牛顿方向，故又称为拟牛顿方向。 实现上述变尺度法的基本思想，关键在于如何产生这一合乎要求的变尺度矩阵，下面对此进行重点讨论。 二、构造变尺度矩阵的基本要求 1.为了使拟牛顿搜索方向朝着目标函 数值下降的方向，必须为对称正定矩阵。证明如下： 若有目标函数f(X}由点沿方向具有下降的性质，即，根 据梯度的性质，可知搜索方向与负梯度方向之间的夹角应成锐角，即两者的点积应大于零 将代入上式，则有 用矩阵表示为或 这表明变尺度矩阵必须是对称正定矩阵才能保证变尺度算法拟牛顿搜索方向是函数值下降方向。 2.要求构造的变尺度矩阵具有简单的迭代形式，能利用本次迭代信息以固定的格式构造下一次迭代的变尺度矩阵，可以写成
分子轨道理论的发展及其应用 北京师范大学段天宇学号201111151097 摘要：分子轨道理论是目前发展最成熟，应用最广泛的化学键理论之一。本文简述了分子轨道理论的基本思想及发展历程，列举了其在配位化学、矿物学、气体吸附领域的应用实例，并对其前景作出展望。 0 前言 化学键是化学学科领域中最为重要的概念之一。通常，化学键被定义为存在于分子或晶体中或两个或多个原子间的，导致形成相对稳定的分子或晶体的强相互作用。从二十世纪初期至今，科学家们为了解释化学键现象相继提出了价键理论、分子轨道理论、配位场理论等化学键理论。其中分子轨道理论（Molecular Orbital Theory）具有容易计算、计算结果得到实验支持的优势，并不断得到完善与拓展，因而自二十世纪五十年代以来，已经逐渐确立了其主导地位[1]。目前，作为相对最为成熟的化学键理论，分子轨道理论的应用已经涵盖了化学研究的几乎全部领域中。 1 分子轨道理论发展 1926至1932年，Mulliken和Hund分别对分子中的电子状态进行分类，得出选择分子中电子量子数的规律，提出了分子轨道理论[2]-[3]。分子轨道理论认为，电子是在整个分子中运动，而不是定域化的。他们还提出了能级相关图和成键、反键轨道等重要概念。 1929年，Lennard-Jones提出原子轨道线性组合（Linear Combination of Atomic Orbitals）的理论[4]。后来，原子轨道线性组合的思想被应用于分子轨道理论中，成为分子轨道理论的基本原理。这一原理指出，原子轨道波函数通过线性组合，即各乘以某一系数相加得到分子轨道波函数。这种组合要遵循三个基本原则，即：组合成分子轨道的原子轨道必须对称性匹配；组成分子轨道的原子轨道须能级相近；原子轨道达到最大程度重叠以降低组成分子轨道的能量。其中，最重要的是对称性匹配原则，对称性相同的原子轨道组合成能量低于自身的成键分子轨道，对称性相反的原子轨道组合成高于自身的反键分子轨道。 1931-1933年，Huckel提出了一种计算简便的分子轨道理论（HMO）[5]，是分子轨道理论的重大进展。HMO理论的基本思想是，把两电子间的相互作用近似地当做单电子的平均位场模型处理，导出单电子运动方程： Hψ=Eψ 其中H是该电子的Hamilton算符，ψ是该电子所占据的分子轨道波函数，E为轨道能量。同时，ψ是由原子轨道φk线性组合得到，即 ψ=c1φ 1 +c2φ 2 +?+c kφ k 代入运动方程，利用变分法得到久期方程式 H ij?ES ij=0 其中H和S分别为Hamilton算符和重叠积分的矩阵元，求解久期方程式即可求得分子轨道能量E。这种方法计算简便，发表之处即得到运用，尤其是对于共轭分子性质的讨论取得巨大成功，后来发展成为分子轨道理论的重要分支。 HMO理论虽然简单有效，但只能进行定性讨论，而不能进行严格的定量计算。这个问题的解决，得益于1951年，Roothaan在的Hartree-Fock方程[6]-[7] h fψ k =E kψ k （h f为Hartree-Fock算符）的基础上，将分子 轨道ψ k 写成原子轨道线性组合的形式，得到 Hartree-Fock-Roothaan方程（HFR方程）[8] h f C k=E k C k 而1950年，Boys提出利用Gauss函数研究原子
变分法的发展与应用 应用数学11XX班XXX 104972110XXXX 摘要：变分法是研究泛函卡及值的数学分支，其基本问题是求泛函(函数的雨数)的极值及相应的极值函数。变分法是重要的数学分支，与诸如微分方程、数学物理、极小曲面用论、微分几何、黎曼几何、积分力‘程、拓扑学等许多数学分支或部门均有密切联系。变分法有着广泛的应用：变分法构成了物理学中的种种变分原理，成为物理学理论不可缺少的组成部分，是研究力学、弹性理论、电磁学、相对论、量子力学等许多物理学分支的重要工具；变分法通过“直接方法”而成为近似计算的有效于段，为微分方程边值问题的数值解法开辟了一条途径，形成了有限元方法的基础之一。近年来，变分法又在经济、电子工程和图像处理等领域得以广泛应用。因此研究变分法的思想演化过程，无论从数学史还足从科学史的角度来说，都具有十分重要的理论价值和现实意义。 关键词：起源；发展；应用 1.引言 变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。它最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。变分法起源于一些具体的物理问题学问题，最终由数学家研究解决。变分法在科学与技术的各个领域尤其是在物理学中有着十分重要的作用，它提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强有力工具。它们在材料学中研
究材料平衡中大量使用。微分几何中的测地线的研究也是显然的变分性质的领域。 近年来，变分法在经济、电子工程和图像处理等领域得以广泛应用。因此研究变分法的思想演化过程，无论从数学史还足从科学史的角度来说，都具有十分重要的理论价值和现实意义。 2.变分法的起源 物理学中泛函极值问题的提出促进了变分学的建立和发展，而变分学的理论成果则不断渗透到物理学中。 费马从欧几里得确立的光的反射定律出发提出了光的最小时间原理：光线永远沿用时最短的路径传播。他原先怀疑光的折射定律，但在1661年费马发现从他的光的最小时间原理能够推导出折射定律，不仅消除了早先的怀疑，而且更加坚信他的原理。 受费尔马的影响，约翰伯努利研究了“最速降线”问题：给 定空间中的两个点,a b,其中a比b高，求一条连接两点的曲线使得一个质点从a沿曲线下降到b用时最少。 变分法对于几何的应用在早期主要是对曲面上的测地线和欧氏空间中给定边界的极小曲面（Plateau问题）的研究。但在很长时间内仅限于一些特殊情形，没有重要进展。 3.变分法的发展 18世纪是变分法的草创时期，建立了极值应满足的欧拉方程并据此解决了大量具体问题。19世纪人们把变分法广泛应用到数学物理中去，建立了极值函数的充分条件。20世纪伊始，希尔伯
最优控制理论的发展与展 望 Last revision on 21 December 2020
最优控制理论的发展与展望 摘要:回顾最优控制的基本思想、常用方法及其应用,并对其今后的发展方向和面临的困难提出一些看法。 关键词:最优控制:最优化技术;遗传算法;预测控制 Abstract: The basic idea, method and application of optimal control are reviewed, and the direction of its development and possible difficulties are predicted. Keywords: optimal control; optimal Technology；Genetic Algorithm；Predictive Control 1引言 最优控制理论是本世纪60年代迅速发展的现代控制理论中的主要内容之一,它研究和解决如何从一切可能的方案中寻找一个最优的方案。1948年维纳等人发表《控制论一关于动物和机器中控制与通信的科学》论文,引进信息、反馈和控制等概念,为最优控制理论诞生和发展奠定了基础。我国着名学者钱学森在1954年编着的《工程控制论》直接促进了最优控制理论的发展与形成。在最优控制理论的形成和发展过程中,具有开创性的研究成果和开辟求解最优控制问题新途径的工作,主要是美国着名学者贝尔曼的“动态规划”和原苏联着名学者庞特里亚金的“最大值原理”。此外,构成最优控制理论及现代最优化技术理论基础的代表性工作,还有库恩和图克共同推导的关于不等式约束条件下的非线性最优必要条件(库恩一图克定理)及卡尔曼的关于随机控制系统最优滤波器等口 2最优控制理论的几个重要内容 最优控制理论的基本思想 最优控制理论是现代控制理论中的核心内容之一。其主要实质是:在满足一定约束条件下,寻求最优控制规律(或控制策略),使得系统在规定的性能指标(目标函数)下具有最优值,即寻找一个容许的控制规律使动态系统(受控对象、从初始状态转移到某种要求的终端状态,保证所规足的性能指标达到最小(大)值。
有限元分析的发展趋势 摘要：1965年“有限元”这个名词第一次出现，到今天有限元在工程上得到广泛应用，经历了三十多年的发展历史，理论和算法都已经日趋完善。有限元的核心思想是结构的离散化，就是将实际结构假想地离散为有限数目的规则单元组合体，实际结构的物理性能可以通过对离散体进行分析，得出满足工程精度的近似结果来替代对实际结构的分析，这样可以解决很多实际工程需要解决而理论分析又无法解决的复杂问题。 关键词：有限元分析结构计算结构设计 Abstract: The 1965 "finite" appeared for the first time this term, and today is widely used finite element in engineering, after more than 30 years of history, theory and algorithms have been improved. Finite element discretization of the core idea is to structure, is the actual structure of the supposed discrete combination unit for a limited number of rules, the actual structure to analyse the physical properties can be felt through a discrete body of drawn precision engineering approximation as an alternative to the analysis of actual structures, this would solve a lot of theoretical analysis and practical engineering needed to address complex problems that cannot be resolved. Key words: finite element analysis structural calculation physical design 1 有限元的发展历程 有限元法的发展历程可以分为提出(1943)、发展(1944一1960)和完善(1961-二十世纪九十年代)三个阶段。有限元法是受内外动力的综合作用而产生的。 1943年，柯朗发表的数学论文《平衡和振动问题的变分解法》和阿格瑞斯在工程学中取得的重大突破标志着有限元法的诞生。 有限元法早期(1944一1960)发展阶段中，得出了有限元法的原始代数表达形式，开始了对单元划分、单元类型选择的研究，并且在解的收敛性研究上取得了很大突破。1960年，克劳夫第一次提出了“有限元法”这个名称，标志着有限元法早期发展阶段的结束。 有限元法完善阶段(1961一二十世纪九十年代)的发展有国外和国内两条线索。在国外的发展表现为: 第一，建立了严格的数学和工程学基础;第二，应用范围扩展到了结构力学以外的领域;第三，收敛性得到了进一步研究，形成了系统的误差估计理论;第四，发展起了相应的商业软件包。 近年来随着计算机技术的普及和计算速度的不断提高，有限元分析在工程设计和分析中得到了越来越广泛的重视，已经成为解决复杂的工程分析计算问题的有效途径，现在从汽车到航天飞机几乎所有的设计制造都已离不开有限元分析计算，其在机械制造、材料加工、航空航天、汽车、土木建筑、电子电器，国防军工，船舶，铁道，石化，能源，科学研究等各个领域的广泛使用已使设计水平发生了质的飞跃，主要表现在以下几个方面： 一、增加产品和工程的可靠性； 二、在产品的设计阶段发现潜在的问题 三、经过分析计算，采用优化设计方案，降低原材料成本
变尺度混沌优化方法及其应用 X 张 彤(北京航空航天大学14系,100083) 王宏伟 王子才 (哈尔滨工业大学) 摘 要 基于混沌变量,提出一种变尺度混沌优化方法。该方法不断缩小优化变量的搜索空间并不断提高搜索精度,从而有较高的搜索效率。应用该方法对6个测试函数进行优化计算得到了满意的效果。 关键词 变尺度,优化,混沌优化方法分类号 TP 301.6 1 引 言 混沌(Chaos)是一种较为普遍的非线性现象,它看似一片混乱的变化过程实际上含有内在的规律性。一个混沌变量在一定范围内有如下特点:1)随机性,即它的表现同随机变量一样杂乱;2)遍历性,即它不重复地历经空间内的所有状态;3)规律性,该变量是由确定的迭代方程导出的。文献[1]考虑过用混沌变量进行优化搜索。其基本思想是把混沌变量线性映射到优化变量的取值区间,然后利用混沌变量进行搜索。几个测试函数优化实例的仿真结果表明混沌优化方法寻优效率明显优于其它随机搜索算法,如模拟退火、遗传算法。然而进一步的仿真计算表明该方法对于搜索空间小时效果显著,但当搜索空间大时却不能令人满意。基于此,本文提出了变尺度混沌优化方法,其特点在于:1)根据搜索进程,不断缩小优化变量的搜索空间;2)根据搜索进程,不断改变“二次搜索”的调节系数。对几个常用的复杂测试函数的仿真计算表明本文所提算法明显优于文献[1]算法。 2 变尺度混沌优化方法 本文选择(1)式产生的混沌变量来进行优化搜索 x k +1=L ?x k (1.0-x k ) (1) 其中L =4。若需优化n 个参数,则任意设定(0,1)区间n 个相异的初值(注意不能为方程(1)的 不动点0.25,0.5,0.75),得到n 个轨迹不同的混沌变量。 对连续对象的全局极小值优化问题 min f (x 1,x 2,…,x n ) x i ∈[a i ,b i ], i =1,2,…,n (2) 本文提出的优化方法步骤如下(记f (x 1,x 2,…,x n )为f (x i )): Step 1 初始化k =0,r =0。x k i =x i (0),x * i =x i (0),a r i =a i ,b r i =b i ,其中i =1,2,…,n 。这里k 为混沌变量迭代标志,r 为细搜索标志,x j (0)为(0,1)区间n 个相异的初值,x *i 为当前得到的最优混沌变量,当前最优解f *初始化为一个较大的数。 Vol.14No.3 控 制 与 决 策CON TR OL AN D DE CI S I ON 1999年5月 May 1999 X 国家高等学校博士点学科专项科研基金(9521320)资助课题 1997-11-17收稿,1998-04-07修回
最优控制理论的发展与展望 摘要:回顾最优控制的基本思想、常用方法及其应用,并对其今后的发展方向和面临的困难提出一些看法。 关键词:最优控制:最优化技术;遗传算法;预测控制 Abstract: The basic idea, method and application of optimal control are reviewed, and the direction of its development and possible difficulties are predicted. Keywords: optimal control;optimal Technology；Genetic Algorithm；Predictive Control 1引言 最优控制理论是本世纪60年代迅速发展的现代控制理论中的主要内容之一,它研究和解决如何从一切可能的方案中寻找一个最优的方案。1948年维纳等人发表《控制论一关于动物和机器中控制与通信的科学》论文,引进信息、反馈和控制等概念,为最优控制理论诞生和发展奠定了基础。我国著名学者钱学森在1954年编著的《工程控制论》直接促进了最优控制理论的发展与形成。在最优控制理论的形成和发展过程中,具有开创性的研究成果和开辟求解最优控制问题新途径的工作,主要是美国著名学者贝尔曼的“动态规划”和原苏联著名学者庞特里亚金的“最大值原理”。此外,构成最优控制理论及现代最优化技术理论基础的代表性工作,还有库恩和图克共同推导的关于不等式约束条件下的非线性最优必要条件(库恩一图克定理)及卡尔曼的关于随机控制系统最优滤波器等口 2最优控制理论的几个重要内容 2.1最优控制理论的基本思想 最优控制理论是现代控制理论中的核心内容之一。其主要实质是:在满足一定约束条件下,寻求最优控制规律(或控制策略),使得系统在规定的性能指标(目标函数)下具有最优值,即寻找一个容许的控制规律使动态系统(受控对象、从初始状态转移到某种要求的终端状态,保证所规足的性能指标达到最小(大)值。 2.2最优控制问题的常用方法 ·变分法 ·最小值原理 ·动态规划 2.3最优化技术概述及基本方法 一般最优化方法解决实际工程问题可分为三步: ①据所提出的最优化问题,建立数学模型,确定变量,列出约束条件和目标函数;②对所建立的数学模型进行具体分析和研究,选择最优化求解方法;③根据最
２００７，４３（２７）ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用 Ａ Ｂ 图１破损区域及其邻域示 １引言 图像修复是指对数字图像中丢失、破损的部分进行还原修 复，是一项出现很早的工艺技术，近年来图像修复技术有了长足的发展。Ｃｒｉｍｉｎｉｓｉ等［１］提出了基于纹理的图像修复方法，在未受损图像中寻找与受损模块最为匹配的修复模块并填充到受损区域内，从而实现图像的修复。Ｂｅｒｔａｌｍｉｏ等［２］人首先提出了基于偏微分方程的图像修补算法，利用待修补区域的边缘信息，将待修补区域外的信息沿梯度的垂直方向扩散到修补区域内，取得了很好的效果。Ｃｈａｎ等［３］成功地将整体变分法思想应用于图像修复中。 本文在前人的研究基础上，对整体变分法作了进一步改进，经过计算机仿真试验，改进后的方法和原方法结果相比，所得图像的修复效果更加完善。 ２图像修复的整体变分算法 基于整体变分的图像恢复算法由Ｒｕｄｉｎ等［４］提出，本文为 简明描述整体变分法［５－７］在图像修复中的应用，先给出破损区域及其邻域示意图（图１）。其中Ｂ为图像破损部分（空信息），Ａ为破损区域的边缘部分，!＝Ａ∪Ｂ。 在图像修复中，噪声污染的图像ｕｏ大多满足加性关系 ｕｏ（ｘ ）＝ｕ（ｘ）＋ｎ（ｘ），其中ｎ（ｘ）为均值为０，方差为δ２ 的高斯白噪声。通过正则化方法处理得： ｍｉｎ １ ２‖ｕ－ｕｏ ‖２ ＋"２ Ｒ（ｕ#$）（１） 用ＴＶ＝ ! %｜&ｕ｜ｄｘｄｙ （整体变分）代替Ｒ（ｕ）得到新的能量函数如下： ｇ［ｕ］＝１２‖ｕ－ｕｏ‖２＋" ２! %｜&ｕ｜ｄｘｄ# ’ ｙ（２） 其中&ｕ表示梯度， "为拉格朗日乘子。同时又有约束条件：１２ ‖ｕ－ｕｏ‖２＝δ２（３） 所以整体变分法对图像的修复过程实际上是在约束条件（３）限制下，最小化图像能量函数（２）的过程。 改进的整体变分法在图像修复中的应用 周密，彭进业，赵健，田艳艳，史晶ＺＨＯＵＭｉ，ＰＥＮＧＪｉｎ－ｙｅ，ＺＨＡＯＪｉａｎ，ＴＩＡＮＹａｎ－ｙａｎ，ＳＨＩＪｉｎｇ 西北大学信息科学与技术学院，西安７１０１２７ＳｃｈｏｏｌｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＮｏｒｔｈｗｅｓｔＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ７１０１２７，ＣｈｉｎａＥ－ｍａｉｌ：ｚｍ２３１８２８３＠ｓｏｈｕ．ｃｏｍ ＺＨＯＵＭｉ，ＰＥＮＧＪｉｎ－ｙｅ，ＺＨＡＯＪｉａｎ，ｅｔａｌ．Ｉｍｐｒｏｖｅｄｔｏｔａｌｖａｒｉａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｆｏｒｉｍａｇｅｉｎｐａｉｎｔｉｎｇ．ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００７，４３（２７）：８８－９０．Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｎｉｍｐｒｏｖｅｄｉｍａｇｅｉｎｐａｉｎｔｉｎｇｍｅｔｈｏｄｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｔｏｔａｌｖａｒｉａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｔｈｅｒｅｌａｔｉｖｉｔｙｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｉｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｓｕｒｒｏｕｎｄｉｎｇｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｄａｍａｇｅｄａｒｅａ．Ｗｉｔｈｔｈｅｈｅｌｐｏｆｔｈｅｒｅｌａｔｉｖｉｔｙｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ，ｗｅｇｒａｄｕａｌｌｙｄｉｆｆｕｓｅｔｈｅｓｕｒｒｏｕｎｄｉｎｇｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｔｏｔｈｅｄａｍａｇｅｄａｒｅａａｎｄｒｅｓｔｏｒｅｔｈｅｄａｍａｇｅｄａｒｅａ．Ａｒａｎｇｅｏｆｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｎｅｗｍｅｔｈｏｄｉｓｅｆｆｅｃｔｉｖｅｆｏｒｔｈｅｉｍａｇｅｉｎｐａｉｎｔｉｎｇ，ａｎｄｔｈｅｅｄｇｅｏｆｔｈｅｄａｍａｇｅｄａｒｅａｂｅｃｏｍｅｓｍｏｒｅｎａｔｕｒａｌ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｉｍａｇｅｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ；ｉｍａｇｅｉｎｐａｉｎｔｉｎｇ；ｔｏｔａｌｖａｒｉａｔｉｏｎ；ｒｅｌａｔｉｖｉｔｙｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ摘要：提出了一种改进的整体变分法并且将其应用于图像修复中。在修复的过程中考虑图像破损区域外部参考像素和待修补点的相关度，再利用图像破损区外部参考像素信息从破损区域的边缘逐步地向破损区域内部进行扩散，从而达到图像修复的目的。仿真试验表明，改进后的算法与原方法相比图像边缘过渡更加自然，修复效果得到改善。关键词：图像处理；图像修复；整体变分；相关度系数文章编号：１００２－８３３１（２００７）２７－００８８－０３文献标识码：Ａ中图分类号：ＴＰ３９１ 基金项目：国家部委基础研究项目；陕西省自然科学基金（ｔｈｅＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＦｏｕｎｄａｔｉｏｎｏｆＳｈａａｎｘｉＰｒｏｖｉｎｃｅｏｆＣｈｉｎａｕｎｄｅｒＧｒａｎｔＮｏ．２００６Ｆ４２）。作者简介：周密，硕士研究生，主要研究方向为数字图像处理；彭进业，博士，教授，博导，主要从事图像处理研究；赵健，博士，副教授，硕导，主要从 事图像处理研究；田艳艳，硕士研究生，主要研究方向为图像处理；史晶，硕士研究生，主要研究方向为图像处理。 ８８
同化理论发展及其在遥感方面的应用 摘要：在为数值预报模式提供准确、合理初值问题上,资料同化是一种行之有效的方法。其基本含义是根据一定的优化标准和方法,将不同空间、不同时间、采用不同观测手段获得的观测数据与数学模型有机结合,纳入统一的分析与预报系统,建立模型与数据相互协调的优化关系,使分析结果的误差达到最小。其中应用最为广泛的同化方法是变分法和卡尔曼滤波法。另外遥感信息与作物生长模型结合来进行作物监测和产量预测，已经逐渐成为一种接受度较大、应用较为广泛的方法之一。 关键字：同化 变分 卡尔曼滤波 遥感 1．同化的概念 在为数值预报模式提供准确、合理初值问题上,资料同化是一种行之有效的方法[1]。它是由早期气象学中的分析技术发展起来的[2-3]。其基本含义是根据一定的优化标准和方法,将不同空间、不同时间、采用不同观测手段获得的观测数据与数学模型有机结合,纳入统一的分析与预报系统,建立模型与数据相互协调的优化关系,使分析结果的误差达到最小。 一般一个资料同化系统包括观测数据集、动力模型和数据同化方案三部分。以模式的一种初估状态或其他一些不重要的状态为初始场,由模式得到的解常称之为背景场;结合观测数据集,通过同化过程产生能够相对准确反映真实状态的一种最优估计,称之为分析场。一般而言,分析场是背景场和观测场的加权平均,其方差始终比观测场和背景场的方差小。 2．同化方法的发展 2.1逐步订正法 1954年,Gilchrist 等提出了理想的逐步订正法。其原理是从每一个观测中减去背景场得到观测增量,通过分析观测增量得到分析增量,然后将分析增量加到背景场上得到最终的分析场。每一个分析格点上的分析增量通过其周围影响区域内观测增量的线性组合而加权,观测权重与观测位置和格点之间的距离成反比。该方法的表达式可写为: 11(,)[()()] ()()(, )n b i a b n i w i j y i X i X j X j w i j ==-=+∑∑ ()b X i 为插值到观测点i 上的背景场信息；y(i)为相应的观测值；()a X i 为格点j 的订正值；
控制理论与控制系统的发展历史及趋势 控制论一词Cybernetics，来自希腊语，原意为掌舵术，包含了调节、操纵、管理、指挥、监督等多方面的涵义。因此“控制”这一概念本身即反映了人们对征服自然与外在的渴望，控制理论与技术也自然而然地在人们认识自然与改造自然的历史中发展起来。 根据控制理论的理论基础及所能解决的问题的难易程度，我们把控制理论大体的分为了三个不同的阶段。这种阶段性的发展过程是由简单到复杂、由量变到质变的辩证发展过程。 一、经典控制论阶段（20世纪50年代末期以前） 经典控制理论，是以传递函数为基础，在频率域对单输入---单输入控制系统进行分析与设计的理论。 1、控制系统的特点 单输入---单输出系统的，线性定常或非线性系统中的相平面法也只含两个变量的系统。 2、控制思路 基于频率域内传递函数的“反馈”和“前馈”控制思想，运用频率特性分析法、根轨迹分析法、描述函数法、相平面法、波波夫法，解决稳定性问题。 3、发展事件回顾 1）我国古人发明的指南车就应用了反馈的原理 2）1788年J.Watt在发明蒸汽机的同时应用了反馈思想设计了离心式飞摆控速器，这是第一个反馈系统的方案。 3）1868年J.C.Maxwell为解决离心式飞摆控速器控制精度和稳定性之间的矛盾，发表《论调速器》，提出了用基本系统的微分方正模型分析反馈系统的数学方法。 4）1868年，韦士乃格瑞斯克阐述了调节器的数学理论。 5）1875年E.J.Routh和A.Hurwitz提出了根据代数方程的系数判断线性系统稳定性方法 6）1876年俄国学者N.A.维什涅格拉诺基发表著作《论调速器的一般理论》，对调速器系统进行了全面的理论阐述。 7）1895年劳斯与古尔维茨分别提出了基于特征特征根和行列式的稳定性代数判别方法。 8）1927年H.S.Black发现了采用负反馈线路的放大器，引入负反馈后，放大器系统对扰动和放大器增益变化的敏感性大为降低。 9）1932年H.Nyquest采用频率特性表示系统，提出了频域稳定性判据，很好地解决了Black 放大器的稳定性问题，而且可以分析系统的稳定裕度，奠定了频域法分析与综合的基础。10）1934年，H.L.Hazen发表《关于伺服机构理论》 11）1938年，A.B．维哈伊洛夫发表《频域法》，这标志着经典控制理论的诞生。 12）1945年．H.W.Bode发表了著作《网络分析和反馈放大器设计》，完善了系统分析和设计的频域方法。并进一步研究，开发了伯德图。 13）1948年，N.Weiner发表了《控制论——关于在动物和机器中控制和通讯的科学》一书，标志着控制论的诞生。 14）1948年，W.R.Evans提出了系统的根轨迹分析法，是一种易于工程应用的，求解闭环特征方程根的简单图解法。进一步完善了频域分析方法。 15）1954年，钱学森出版了《工程控制论》，全面总结了经典控制理论，标志着经典理论的成熟。 4、主要成果 PID控制规律的产生，PID控制原理简单易于实现，具有一定的自适应性与鲁棒性，对于无时间延迟的单回路控制系统很有效，在工业过程控制中任然被广泛应用。 二、现代控制论阶段（50年代末期至70年代初期）
第七章能量原理及其应用 偏微分方程求解的困难 ——应力函数解法的限制 能量原理的应用 变分法 变分法数学基础
目录 §7.1基本概念 §7.2虚功原理 §7.3最小势能原理§7.4虚应力方程§7.5最小余能原理§7.6有限元概念
格林公式 §7.1基本概念 （密度） 外力功——变形体的能量关系变形能xz xz yz yz xy xy z z y y x x U U U U U U γτγτγτεσεσεσ??= ??=??=??= ??= ??= 000 ij ij U εσd d 0=xz xz yz yz xy xy z z y y x x γτγτγτεσεσεσ+++++d d d d d ＝
注意 线弹性问题的变形能 ) (2 1 0xz xz yz yz xy xy z z y y x x U γτγτγτεσεσεσ+++++=ij ij U εσ2 1 0=V U U V d 0???=
功－能关系 位移边界面力边界 V S u F V u F k ij s ij k i i k i i d d d s b ??? ?????=+εσ弹性体体积V ，表面积为S 。 位移给定表面S u 面力给定表面S σ 静力可能的应力与几何可能的位移 S =S u +S σ b ,=+i j ij F σj ij i n F σ=s )(21,,i j j i ij u u +=εi i u u =S u S σ s ij σ k i u k ij ε
§7.2虚功原理 弹性体处于平衡状态，对于满足变形连续条件的虚位移及其虚应变，外力在虚位移上所做的虚功，等于真实应力分量在对应的虚应变上所做的虚功，即虚应变能。 虚功原理 V S u F V u F V ij ij V S i i i i d d d s b ????????=+δεσ δδσ
变分法在解决物理问题上的应用 陈曼（2008213561） （华中师范大学物理系武汉） 摘要本文是变分法在各个领域的应用的总结篇，总结了作者所了解到的关于变分法的知识。 关键词变分法 MOV A 变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。 变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强有力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。微分几何中的测地线的研究也是很显然的变分性质的领域。变分问题其实是是泛函极值问题，最后的求解都归结为求欧拉方程的边值问题。由于它是研究泛函极值的一种方法，所以它在多个领域都有着广泛的应用。 有这样一个经典的泛函极值问题： 假设已知函数可导且连续，求函数使 （1）达到极大或极小值。（1）式所给出的泛函称为最简泛函，它分为无约束条件和有约束条件两种，其中无约束条件的泛函极值问题又分为固定端点和可变端点两种情形。可变端点又包含两类：一类是所求函数曲线的左（或右）端点的横坐标确定而纵坐标自由：另一类是左（或右）端点的纵坐标确定而横坐标不确
定。 1.1固定端点的泛函极值问题设端点条件为。因为泛函时取极值，于是有 （2） 但是，（3） 由固定端点条件可知：（4） 将（3）及（4）代入（2）得（5） 由的任意性和变分法的基本引理可知必有（6） 这就是欧拉方程。再加上固定端点条件，即可求得使得泛函取极值的函数曲线。 1.2第一类可变端点问题 设端点条件为。由(5)推导过程知，此时(5)应变为 因为上式对取任意值均成立，所以欧拉方程不变仍 为(6)，但定解条件为 1.3第二类可变端点问题 设端点条件为。显然，此时欧拉方程(6)仍成立,一组定解 条件为至此，所说的都是简单泛函极值问题。事实上有很多的数学建模都可以采用这种方法，光学上的最小路径也可以用这种方法求解，那就是一种可变边界的极值问题。下面我们来看复杂一点的变分问题。 首先介绍多尺度光流变分法（简称MOV A）,它是通过追踪雷达回波的移动，利用外推法推算降雨量。它是一种基于变分法及光流场平滑化的算法，用这种方法可以进行定量降雨的预报，北京奥运会期间也将MOV A应用到雷暴单体路径的预报。该算法是用变分法将总的成本函数
尺度表示 摘要我们认为尺度是信号的物理特征，并且来研究它的特点。我们提出一种控制器来表示尺度，研究它的特点和表达。这允许我们来定义尺度变换，能量尺度厚度谱，他是信号尺度值厚度的表示。我们获得明确的平均尺度的表达，尺度频带、瞬间尺度、尺度组延迟。此外，从这些表达中寻求平均时间、平均频率、尺度变量下的频率带宽、持续时间。短的时间变换被定义，它用来获得在给定时间为尺度的条件值。随着窗口缩小，可获得瞬间尺度。卷积和相关定理也源于此。在线性尺度变量的系统下，修正了提法。我们得到了时间尺度和频率尺度的联合表示。一般层面上都提出了相同的时间频率的方法。发现了作为特别情况下的M_A和B_B的联合分布。此外，三个特点的联合表示以及时间频域尺度被修订。做出了一个对于局部尺度自相关函数的大体表述。修正了不确定的尺度的规则、时间、频率、尺度。 1 introduction 尺度类似于频率是信号的一个物理特征。对于给定的信号，我们要问它的频率内容是什么。在频率的情况下，通过傅氏变换来判定频率内容。对于尺度，需要可以表达信号瞬间尺度的变换。此论文的目的在于研究尺度的概念以及其表达和特点，最重要的第一步是有尺度控制器获得尺度变换，对于此控制器的特征值的解决方法，提出了初读变换。类似于瞬时频率、组延迟，我们将介绍相似的尺度概念。我们获得了详细的平均尺度，尺度频带，瞬时尺度、尺度组延迟的表达，得出卷积和相关定理。我们研究方法来获得有关尺度的联合表达，这些有关尺度的方法被一些作者在时间域下做出了修订。此外，我们修订了有关时域尺度的联合表达。频率和时间的一个基本特点是他们的函数解释的关系以及引起了线性非变量系统的转换。基本的尺度特点是压缩，于是我们研究了线性尺度常量系统的方法。我们指出尺度控制器不能判断时间控制器或者是频率控制器。这些表示出时间尺度和频率尺度有一个不确定的规则。我们将要得出这些不确定的规则获得最小不确定信号。 在信号分析中控制器理论的使用被修订用于任意物理变量。基本的方法依赖于S 和C 的工作。我们应用此理论来研究尺度。
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