当a>1时, 若x<-1或x>3,则有两个交点,
则x<-1时,再有两个交点即满足题意,
所以有两个实根,
所以
或所以a>9.
综上可知:实数a 的取值范围是:。
【答案】
三、解答题(本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) (15)(本小题满分13分)
已知函数2()π)cos cos f x x x x --=
.
(I ) 求函数()f x 的最小正周期; (II )求函数()f x 的单调递减区间. 【考点】三角函数的图像与性质恒等变换综合 【试题解析】
(I )2()cos cos f x x x x
-=
11
2cos 222
x x --=
π1sin(2)62
x --=
所以 最小正周期2π2ππ.2
T ω=== (II) 由
ππ3π
2π22π,,262
k x k k ≤≤∈Z +-+
步数(千步)
得
π5πππ,.36k x k k ≤≤∈Z ++
所以函数()f x 的单调递减区间是π
5π
[π,π],.3
6k k k ∈Z ++
【答案】见解析
(16)(本小题满分13分)
小王为了锻炼身体,每天坚持“健步走”, 并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图(图1)及相应的消耗能量数据表(表1)如下.
图1 表1
(Ⅰ)求小王这8天 “健步走”步数的平均数;
(Ⅱ)从步数为16千步,17千步,18千步的几天中任选2天,设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X ,求X 的分布列. 【考点】随机变量的分布列样本的数据特征 【试题解析】
(I) 小王这8天 “健步走”步数的平均数为
163172181192
17.258
?+?+?+?=(千步).
(II )X 的各种取值可能为800,840,880,920.
23261(800)5C P X C ===,11
32262
(840),5
C C P X C ===
1123122
64(880),15
C C C P X C +=== 1121262
(920),15C C P X C === X 的分布列为:
(17)(本小题满分14分)
P M
D C
B
A
C
在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ,PAD ?为等边三角形,
1
2
AB AD CD ==
,AB AD ⊥,//AB CD ,点M 是PC 的中点. (I )求证://MB 平面PAD ; (II )求二面角P BC D --的余弦值; (III )在线段PB 上是否存在点N ,使得
DN ⊥平面PBC ?若存在,请求出
PN
PB
的值;若不存在,请说明理由.
【考点】平面法向量的求法空间的角垂直平行 【试题解析】
(Ⅰ)证明:取PD 中点H ,连结,MH AH . 因为 M 为PC 中点 ,
所以 1
//,2
HM CD HM CD =.
因为1
//,2
AB CD AB CD =.
所以//AB HM 且AB HM =. 所以四边形ABMH 为平行四边形,
所以 //BM AH .
因为 BM PAD ?平面,
AH ?平面PAD ,
所以//BM 平面PAD . (Ⅱ) 取AD 中点O ,连结.PO
因为 PA PD =, 所以PO AD ⊥.
因为 平面PAD ⊥平面ABCD , 平面PAD I 平面ABCD AD =,
PO ?平面PAD ,
所以PO ABCD ⊥平面.
取BC 中点K ,连结OK ,则//.OK AB 以O 为原点,如图建立空间直角坐标系, 设2,AB =
则
(1,0,0),(1,2,0),(1,4,0),(1,0,0),A B C D P --
(2,2,0),(1,2,BC PB =-=uu u r uu r
. 平面BCD
的法向量OP =uu u r
,
设平面PBC 的法向量(,,)n x y z =u r
,
由0,0,BC n PB n ??=???=??uu u r u r uu r u r
得220,20.x y x y -+=???+-=??
令1x =
,则n =u r
.
cos ,||||
OP n OP n OP n ?<>==uu u r r
uu u r u r uu u r u r .
由图可知,二面角P BC D --是锐二面角, 所以二面角P BC D --
(Ⅲ) 不存在. 设点(,,)N x y z ,且
,[0,1]PN
PB
λλ=∈ , 则,PN PB λ=
所以(,,(1,2,x y z λ=.
则,2,.
x y z λλ?=?
=??
=?
所以(,2)N λλ
, (1,2)DN λλ=+uuu r
.
若 DN PBC ⊥平面,则//DN n uuu r u r
,
即12λλ+==
,此方程无解, 所以在线段PB 上不存在点N ,使得DN PBC ⊥平面. 【答案】见解析 (18)(本小题满分13分)
已知函数()()2ln 1f x x =+.
(Ⅰ)若函数()f x 在点()()00P x f x ,处的切线方程为2y x =,求切点P 的坐标;
(Ⅱ)求证:当[0,e 1]x ∈-时,()22f x x x ≥-;(其中e 2.71828=???) (Ⅲ)确定非负实数....a 的取值范围,使得()(
)2
20,x f x x a x ?≥≥-成立.
【考点】导数的综合运用 【试题解析】
(Ⅰ)解:定义域为(1,)-+∞,()2
'1
f x x =
+. 由题意,()0'2f x =,所以()00,00x f ==,即切点P 的坐标为(0,0) (Ⅱ)证明:当[0,e 1]x ∈-时,()22f x x x ≥-,可转化为 当[0,e 1]x ∈-时,()220f x x x -+≥恒成立.
设()2()2g x f x x x =-+,
所以原问题转化为当[0,e 1]x ∈-时,()min 0g x ≥恒成立. 所以2
242'()2211
x g x x x x -=-+=
++.
令'()0g x =,则1x =(舍),2x ='()g x
因为()(0)000g f =-=,2(e 1)2(e 1)2(e 1)2(e 1)(3e)0g -=--+-=+-->, 所以min ()0g x =.
当[0,e 1]x ∈-时,()22f x x x ≥-成立. (Ⅲ)解:()(
)2
0,2x f x a x x ?≥≥-,可转化为
当0x ≥时,()(
)2
20f x a x x
--≥恒成立.
设()()2()2h x f x a x x =--, 所以222(1)
'()2211
ax a h x a ax x x +-=-+=
++.
⑴当0a =时,对于任意的0x ≥,2
'()01
h x x =
>+, 所以()h x 在[0,)+∞上为增函数,所以()min ()00h x h ==, 所以命题成立.
当0a >时,令'()0h x =,则210ax a +-=,
⑵当10a -≥,即01a <≤时,对于任意的0x ≥,'()0h x >, 所以()h x 在[0,)+∞上为增函数,所以()min ()00h x h ==, 所以命题成立.
⑶当10a -<,即1a >时,
则1x =(舍)
,20x =
. 所以()h x ,'()h x 变化如下:
因为()min 2()()00h x h x h =<=, 所以,当0x ≥时,命题不成立.
综上,非负实数a 的取值范围为[0,1]. 【答案】见解析
(19)(本小题满分13分)
已知椭圆C 2222:1(0)x y a b a b +=>>,点1)2在椭圆C 上.直线l 过点
(1,1),且与椭圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M .
(I )求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)点O 为坐标原点,延长线段OM 与椭圆C 交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求出此时直线l 的方程,若不能,说明理由.
(I )由题意得22222311,4.c e a a
b a b
c ?==?
?
?+=???=+??
解得22
4,1a b ==.
所以椭圆C 的方程为2
2 1.4
x y +=
(Ⅱ)四边形OAPB 能为平行四边形. 【考点】圆锥曲线综合椭圆 【试题解析】 法一:
(1)当直线l 与x 轴垂直时,直线l 的方程为1x = 满足题意;
(2)当直线l 与x 轴不垂直时,设直线:l y kx m =+,显然0,0k m ≠≠.
11(,)A x y ,22(,)B x y ,(,)M M M x y .
将y kx m =+代入2
2 1.4
x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=,
2221228(8)4(41)(44)0,.41
km
km k m x x k -=-+->+=
+
故1224241
M x x km
x k +=
=-+, 241M M m y kx m k =+=
+.于是直线OM 的斜率1
4M OM
M y k x k
==-,即14OM k k ?=-. 由直线:l y kx m =+(0,0)k m ≠≠,过点(1,1),得1m k =-,因此24(1)41
M k k x k -=
+.
OM 的方程为1
4y x k
=-
.设点P 的横坐标为P x . 由221,41,4
y x k x y ?=-????+=??得2221641P k x k =+
,即P x =. 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即2P M x x =
.于是
2
4(1)
241
k k k -=?
+.由0k ≠,得35,.88k m ==满足0.> 所以直线l 的方程为35
88
y x =+时,四边形OAPB 为平行四边形. 综上所述:直线l 的方程为35
88
y x =+或1x = .
法二:
(1)当直线l 与x 轴垂直时,直线l 的方程为1x = 满足题意;
(2)当直线l 与x 轴不垂直时,设直线:l y kx m =+,显然0,0k m ≠≠,11(,)A x y ,
22(,)B x y ,(,)M M M x y .
将y kx m =+代入2
2 1.4
x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=,
222122
8(8)4(41)(44)0,.41
km
km k m x x k -=-+->+=
+ 故1224241
M x x km
x k +=
=-+, 241
M M m
y kx m k =+=+.
四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即2,
2.
P M P M x x y y =??
=?.
则
2
2
22()()8211
4441km m k k -
++=+. 由直线:l y kx m =+(0,0)k m ≠≠,过点(1,1),得1m k =-.
则22
22
(164)(1))
1(41k k k +-+=, 则2
(41)(83)0k k +-= .
则35
,.88
k m =
= 满足0.> 所以直线l 的方程为35
88
y x =+时,四边形OAPB 为平行四边形.
综上所述:直线l 的方程为35
88
y x =+或1x = .
【答案】见解析
(20)(本小题满分14分)
对于任意的*n ∈N ,记集合{1,2,3,,}n E n =???
,,n n n P x x a E b E ??==
∈∈????
.若集合A 满足下列条件:
①n A P ?;②12,x x A ?∈,且12x x ≠,不存在*k ∈N ,使2
12x x k +=,则称A 具有
性质Ω.
如当2n =时,
2{1,2}E =,2{1,P =.122,x x P ?∈,且12x x ≠,不存在*k ∈N ,使212x x k +=,所以2P 具有性质
Ω. (Ⅰ) 写出集合35,P P 中的元素个数,并判断3P 是否具有性质
Ω. (Ⅱ)证明:不存在,A B 具有性质Ω,且A B =?,使15E A B =.
(Ⅲ)若存在,A B 具有性质Ω,且A B =?,使n P A B =,求n 的最大值.
【考点】数列综合应用 【试题解析】
(Ⅰ) 解:集合35,P P 中的元素个数分别为9,23,3P 不具有性质
Ω. (Ⅱ)证明:假设存在,A B 具有性质Ω,且A
B =?,使15E A B =.其中
15{1,2,3,,15}E =???.
因为151E ∈,所以1A
B ∈,不妨设1A ∈.因为2132+=,所以3A ?,3B ∈.同
理6A ∈,10B ∈,15A ∈.因为2
1154+=,这与A 具有性质Ω矛盾.
所以假设不成立,即不存在,A B 具有性质Ω,且A
B =?,使15E A B =.…..10分
(Ⅲ)因为当15n ≥时,15n E P ?,由(Ⅱ)知,不存在,A B 具有性质
Ω,且A B =?,
使n P A
B =.
若14,n =当1b =时,
1414x x a E E ??=
∈=????
,取{}11,2,4,6,9,11,13A
=,{}13,5,7,8,10,12,14B =,则11,A B 具有性质Ω,且1
1A B =?,使141
1E A B =.
当4b =时,集合
14x x a E ??=
∈????
中除整数外,其余的数组成集合为13513{,,,,}2222???,令215911{,,,}2222A =,23713
{,,}222
B =,则22,A B 具有性
质Ω,且2
2A B =?,使2213513
{,,,,
}2222
A B ???=.
当9b =时,集
14x x a E ??=
∈????
中除整数外,其余的数组成集合12457810111314{,,,,,,,,,}3333333333,令31451013
{,,,,}33
333
A =,32781114{,,,,}33333
B =.则33,A B 具有性质Ω,且3
3A B =?,使
3312457810111314{,,,,,,,,,}3333333333
A B =. 集合
1414,,1,4,9C x x a E b E b ??==
∈∈≠????
中的数均为无理数,它与14P 中的任何其他数之和都不是整数,因此,令1
2
3
A A A A C =,1
2
3B B B B =,则
A
B =?,且14P A
B =.
综上,所求n 的最大值为14. 【答案】见解析