>,，则下列结论正确的是( ) A ．d b c a +>+ B ．d b c a ->- C ．bd ac > D ．c b d a > 9、设y x 、是满足202=+y x 的正数，则y x lg lg +的最大值是( ) A ．50 B ．2 C ．5lg 1+ D ．1 10、若实数a 、b 满足1,0=+<人教版数学高二-备课资料不等式章节复习之知识点归纳
不等式章节复习之知识点归纳【考点梳理】 一、考试内容 不等式，不等式的性质，不等式的证明，不等式的解法，含有绝对值的不等式。 二、考试要求 1.掌握不等式的性质及其证明，掌握证明不等式的几种常用方法，掌握两个和三个（不要求四个和四个以上）“正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这两个定理，并能运用上述性质、定理和方法解决一些问题。 2.在熟练掌握一元一次不等式（组）、一元二次不等式（组）的解法的基础上初步掌握其他的一些简单的不等式的解法。 3.会用不等式||a|－|b||≤|a+b|≤|a|+|b|。 三、考点简析 1.不等式知识相互关系表 2.不等式的性质 （1）作用地位 不等式性质是不等式理论的基本内容，在证明不等式、解不等式中都有广泛的应用。高考中，有时直接考查不等式的性质，有时间接考查性质（如在证明不等式、解不等式中就间接考查了掌握不等式性质的程度）。准确地认识、运用基本性质，并能举出适当反例，能辨别真假命题是学好不等式的要点。 （2）基本性质 实数大小比较的原理与实数乘法的符号法则是不等式性质的依据。在不等式性质中，最
基本的是： ①a>b ?bb,b>c ?a>c （传递性） ③a>b ?a+c>b+c （数加） ④)(0,0,数乘? ????>??>>c b c a c b a c b c a c b a （a>b,c=0?a ·c=b ·c ） 与等式相比，主要区别在数乘这一性质上，对于等式a=b ?ac=bc ，不论c 是正数、负数还是零，都成立，而对于不等式a>b ，两边同乘以c 之后，ac 与bc 的大小关系就需对c 加以讨论确定。这关系即使记得很清楚，但在解题时最容易犯的毛病就是错用这一性质，尤其是需讨论参数时。 （3）基本性质的推论 由基本性质可得出如下推论： 推论1：a>b>0,c>d>0?ac>bd 推论2：a>b>0,c>d>0?c b d a > 推论3：a>b>0?a n >b n (n ∈N) 推论4：a>b>0?n n b a >(n ∈N) 对于上述推论可记住两点：一是以上推论中a,b,c,d 均为正数，即在{x|x 是正实数}中对不等式实施运算；二是直接由实数比较大小的原理出发。 3.不等式的证明 （1）作用地位 证明不等式是数学的重要课题，也是分析、解决其他数学问题的基础，特别是在微积分中，不等式是建立极限论的理论基础。 高考中，主要涉及“a,b>0时，a+b ≥2ab ”这类不等式，以及运用不等式性质所能完成的简单的不等式的证明。用数学归纳法证明的与自然数有关命题的不等式难度较大。 （2）基本不等式 定理1：如果a,b ∈{x|x 是正实数}，那么2 b a +≥ab （当且仅当a=b 时取“=”号） 定理2：如果a 、b ∈{x|x 是正实数}，那么 b a 112 +≤ab ≤2b a +≤22 2b a + （当且仅当a=b 时取“=”号） 由上述公式还可衍生出一些公式 ①4ab ≤(a+b)2≤2(a 2+b 2),a 、b ∈R （当且仅当a=b 时等号成立）
人教版高中不等式复习讲义(含问题详解,超经典)
不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a ab b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=?，则不等式的解的各种情况如下表：
2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? 3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < （三）线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念： ①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数： 关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫
人教版高中数学必修5不等式练习题及答案
第三章 不等式 一、选择题 1．若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log πsin 5 2π ，则( )． A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞b D ．b ＞c ＞a 2．设a ，b 是非零实数，且a ＜b ，则下列不等式成立的是( )． A ．a 2＜b 2 B ．ab 2＜a 2b C ． 21ab ＜b a 21 D ． a b ＜b a 3．若对任意实数x ∈R ，不等式｜x ｜≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( )． A ．a ＜－1 B ．｜a ｜≤1 C ．｜a ｜＜1 D ．a ≥1 4．不等式x 3－x ≥0的解集为( )． A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[0，1)∪(1，＋∞) D ．[－1，0]∪[1，＋∞) 5．已知f (x )在R 上是减函数，则满足f (11 -x )＞f (1)的实数取值范围是( )． A ．(－∞，1) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(1，2) 6．已知不等式f (x )＝ax 2－x －c ＞0的解集为{x ｜－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图象为图中( )． A B C D 7．设变量x ，y 满足约束条件?? ? ??y x y x y x 2＋＋－ 则目标函数z ＝5x ＋y 的最大值是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8．设变量x ，y 满足?? ? ??5 －－31＋－3－＋y x y x y x 设y ＝kx ，则k 的取值范围是( )． A ．[ 21，3 4 ] B ．[ 3 4 ，2] C ．[ 2 1 ，2] D ．[ 2 1 ，＋∞) ≥0 ≤1 ≥1 ≥0 ≥1 ≤ 1 (第6题)
人教版高中不等式复习讲义(含标准答案-超经典!)
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不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则： b a a b b a 110,> (6)乘方法则： )1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>? >>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?， 则不等式的解的各种情况如下表： 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2
人教版高中不等式复习讲义(含答案,超经典!)
人教版高中不等式复习讲义(含答案,超经典!) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>? >>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、， ac b 42-=?，则不等式的解的各种情况如下表： 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2
云南省昆明市官渡区艺卓中学人教版高中数学一轮复习学案（无答案）：第三节 基本不等式
第三节 基本不等式 班级 姓名 小组 . 一、学习目标 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 二、问题与例题 1、复习导入 1．基本不等式ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)? ?? ??a ＋b 22≤a 2＋b 2 2(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等 式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则
(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 2、学情自测 思考题： 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( ) (2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈? ?? ??0，π2的最小值等于4.( ) (3)x >0，y >0是x y ＋y x ≥2的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3 ＋1a 2的最小值为2a .( ) 2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b ≥2 3．若a ，b 都是正数，则? ????1＋b a ? ?? ??1＋4a b 的最小值为( ) A ．7 B ．8
人教版高中不等式复习讲义(含标准答案-超经典!)
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一)不等式与不等关系 1、应用不等式(组)表示不等关系； 不等式的主要性质： (1) 对称性： a b b a (2) 传递性： a b,b c a c (3) 加法法 则： ab a c b c ； a b,c d a c b d ( 同向可加 ) (4) 乘法法则： a b,c 0 ac bc ； a b,c ac bc a b 0,c d 0 ac bd ( 同向同正可乘 ) (5) 倒 数 法 则 ： a b,a b 0 1 1 (6) 乘 方 法 则 a b ab0 n a b n (n N * 且 n 1) (7) 开方法 则： a b0 n a n b(n N *且 n 1) 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法(作差——变形——判断符号——结论) 3、应用不等式性质证明不等式 (二)解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式 ax 2 bx c 0或 ax 2 bx c 0 a 0 的解集： 设相应的一元二次方程 ax 2 bx c 0 a 0 的两根为 x 1、x 2 且 x 1 x 2， b 2 4ac ， 3 / 16
2、分式不等式的解法 ：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 ，再通分并将分子分母 分解因式， 并使每一个因式中最高次项的系数为正 般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 f(x) 0 f (x)g(x) 0; f(x) 0 g(x) g(x) 3、不等式的恒成立问题 ：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式 f x B 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f x max B （三）线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式 Ax +By +C >0在平面直角坐标系中表示直线 Ax +By +C =0 某一侧所有点组成的 平面区域 . （虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线 Ax +By +C =0 同一侧的所有点 （ x, y ） ，把它的坐标（ x, y ）代入 Ax +By +C ，所得 到实数的符号都相同，所以 只需在此直线的某一侧取一特殊点（ x 0 ,y 0），从 Ax 0+ By 0+ C 的正负 即可判断 Ax + By + C >0表示直线哪一侧的平面区域 .（特殊地，当 C ≠0时，常把 原点作为此特 殊点） ，最后用标根法求解。解分式不等式时， f (x)g(x) 0 g(x) 0 若不等式 A 在区间 D 上恒成立 ,则等价于在区间 D 上f x min
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不等式的基本知识 (一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质: (1）对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, （3）加法法则:c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则:bc ac c b a >?>>0,; bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5) 倒 数 法 则 ： b a a b b a 110,> (6）乘方法则： )1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7）开方法则：)1*(0>∈>? >>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论) 3、应用不等式性质证明不等式 (二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?, 则不等式的解的各种情况如下表: 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2
２、分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0() ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥?? ≠? 3、不等式的恒成立问题:常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < (三)线性规划 1、用二元一次不等式（组)表示平面区域 二元一次不等式＞0在平面直角坐标系中表示直线0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线) 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线0同一侧的所有点(y x ,),把它的坐标（y x ,）代入,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x 00）,从 00 的正负即可判断>0表示直线哪一侧的平 面区域.(特殊地，当Ｃ≠0时,常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念: ①线性约束条件：在上述问题中,不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于ｘ、ｙ的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数:
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不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系; 不等式的主要性质: a b,a b 0 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、 元二次不等式的解法 元二次不等式 ax 2 bx c 0或 ax 2 bx c 0 a 0的解集: 0的两根为 为、x 2且x 1 x 2， b 2 4ac ， 设相应的一元二次方程 ax 2 bx c 0 a （1）对称性：a b ⑵传递性：a b,b ⑶加法法则: b, c d （同向可加） （4）乘法法则: b,c ac be ； a b,c ac be 0,c 0 ac bd （同向同正可乘 乘方法则 开方法则: b n (n N * 且 n 1) V a V b(n N * 且 n 1) 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法 （作差一一变形一一判断符号 结论）
（三）线性规划 平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 由于对在直线 Ax +By +C=0同一侧的所有点（X, y ），把它的坐标（x, y ）代入Ax +By +C,所得 到实数的符号都相同，所以 只需在此直线的某一侧取一特殊点（ X 0,y 0）,从Ax 0+By 0+C 的正负 即可判断 Ax +By +C >0表示直线哪一侧的平面区域 .（特殊地，当 C 工0时，常把 原点作为此特 殊点） 3、线性规划的有关概念: ①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量 X 、y 的约束条件，这组约束条 2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0,再通分并将分子分母 分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正 ，最后用标根法求解。解分式不等式时, 般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 0 f (x)g(x) 0; g(x) g(x) f(x)g(x)0 g(x) 0 3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式f x A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间 D 上 f X min A 若不等式f x B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间 max 1、用二元一次不等式 （组）表示平面区域 二元一次不等式 Ax +By +O 0在平面直角坐标系中表示直线 Ax +By +C =0某一侧所有点组成的 2、 二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
高中数学人教版-必修五-不等式-知识点最完全精炼总结
2012.3.26 1.两实数大小的比较 ?? ? ??<-?<=-?=>-?>0b a b a 0b a b a 0b a b a 一.不等式(淮上陌客） 2.不等式的性质：8条性质.
4.公式： 3.解不等式 (1)一元一次不等式 (2)一元二次不等式： 3.基 本不等式定理 ? ???? ??????? ? ?????????????????-≤+?<≥+?>≥+ ??? ????+≤+≥+?? ?? ???????? ?+≤??? ??+≤+≥+≥+2a 1a 0a 2a 1a 0a b ,a (2b a a b )b a (2b a ab 2 b a 2b a ab 2b a ab ) b a (2 1b a ab 2b a 2 22222 2 222倒数形式同号）分式形式根式形式整式形式11 22a b a b --+≤≤≤+??? ? << >> ≠>)0a (b x )0a (a b x )0a (b ax
一元二次不等式的求解流程： 一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根.
三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. (3)解分式不等式： 高次不等式： (4)解含参数的不等式：（1） (x – 2)( – 2)>0 （2）x 2 – (2 )3 >0； （3）2x 2 +2 > 0； 注:解形如2>0的不等式时分类讨 论的标准有： 1、讨论a 与0的大小； 2、讨论⊿与0的大小； 3、讨论两根的大小； 二、运用的数学思想： 1、分类讨论的思想； 2、数形结合的思想； 3、等与不等的化归思想 (4)含参不等式恒成立的问题： ??? ??用图象 分离参数后用最值函数、、、3 21 例1．已知关于x 的不等式 22(3)210x a x a +-+-??>0)x (g 0)x (g )x (f 0) x (g )x (f 0)x (g )x (f 0)x (g ) x (f 0)())((21>---n a x a x a x
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n a （一）不等式与不等关系 不等式的基本知识 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1) 对称性： a > b ? b < a (2) 传递性： a > b , b > c ? a > c (3) 加法法则： a > b ? a + c > b + c ； a > b , c > d ? a + c > b + d (同向可加) (4) 乘法法则： a > b , c > 0 ? ac > bc ； a > b , c < 0 ? ac < b c a > b > 0, c > d > 0 ? ac > bd (同向同正可乘) (5)倒数法则： a > b , ab > 0 ? 1 < 1 (6) 乘方法则： a b a > b > 0 ? a n > b n (n ∈ N * 且n > 1) (7) 开方法则： a > b > 0 ? > n b (n ∈ N * 且n > 1) 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式 ax 2 + bx + c > 0或ax 2 + bx + c < 0(a ≠ 0)的解集： 设相应的一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的两根为 x 1 、x 2 且 x 1 ≤ x 2 ， ? = b 2 - 4ac ，则不等式的解的各种情况如下表： y = ax 2 + bx + c y = ax 2 + bx + c y = ax 2 + bx + c
人教版高中不等式复习讲义(含答案,超经典!)教学提纲
人教版高中不等式复习讲义(含答案,超经 典!)
不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为 2121x x x x ≤且、，ac b 42-=?，则不等式的解的各种情况如下表：
0>? 0=? 0a ）的图 象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方 程 ()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ??????-≠a b x x 2 R 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ? ? 2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0()()0()()0;0()0 ()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? 3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变 量法”转化为最值问题
人教版高中数学总复习[知识梳理不等式与不等关系
不等式与不等关系 【考纲要求】 1.了解不等关系、不等式（组）的实际背景； 2.理解并掌握不等式的性质，理解不等关系； 3.能用不等式的基本性质解决某些数学问题. 【知识网络】 【考点梳理】 要点一、符号法则与比较大小 1. 实数的符号 任意x R ∈，则0x >（x 为正数）、0x =或0x <（x 为负数）三种情况有且只有一种成立。 2. 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：0,00a b a b >>?+>； 0,00a b a b <>?>； 0,00a b ab < ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言：0,00a b ab >?>； ②0b a b a -,a b =,a b <三种关系有且只有一种成立。 要点诠释： 这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 不等式与不等关系 不等式的性质 基本性质的应 实际背景
要点二、不等式的基本性质 １．不等式的基本性质 （1）a b b a >?< （2）,a b b c a c >>?> （3）a b c a c b +?+>+ （4）000c ac bc a b c ac bc c ac bc >?>??>=?=??>?+>+ （２）减法法则：,a b c d a d b c >>?->- （３）乘法法则：0,00a b c d ac bd >>>>?>> （４）除法法则：0,00a b a b c d d c >>>>? >> （５）乘方法则：00(,2)n n a b a b n N n >>?>>∈≥ （６）开方法则：00(,2)a b n N n >>? >>∈≥ 要点诠释： 不等式的概念和性质是进行不等式的变换，证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等式的性质，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。基本不等式可以在解题时直接应用。 要点三、比较大小的方法 1、作差法：任意两个代数式a 、b ，可以作差a b -后比较a b -与0的关系，进一步比较a 与b 的大小。 2、作商法：任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较 a b 与1的关系，进一步比较a 与b 的大小。 3、中间量法：若a>b 且b>c ，则a>c （实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量. 4、利用函数的单调性比较大小：若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小. 【典型例题】 类型一：比较代数式（值）的大小 例1．已知：,x y R ∈, 比较22x xy y -+和1x y +-的大小.
人教A版高中数学必修五3.4基本不等式：练习
一、本节学习目标 1．掌握两人正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，了解相应的几何背景． 2.会用基本不等式解决简单最大（小）值问题． 二、重难点指引 重点：基本不等式及基本不等式的应用条件． 难点：基本不等式的应用技巧． 三、学法指导 1．对二元均值不等式应从“两个正数的和与积关系”的角度理解． 2．拆项、添项或配凑因式是基本不等式应用时常用技巧，而拆与凑的主要目的是使等号能够成立． 四、教材多维研读 ▲ 一读教材 1．算术平均数与几何平均数 设a 、b 是任意两个正数，把__________叫做正数a 、b 的算术平均数；把__________叫做正数a 、b 的几何平均数． 2.重要不等式：对于任意的实数a 、b 有__________（当仅当a=b 时取等号）． 3.基本不等式：如果a ,b 都是正数，那么__________（当仅当a=b 时取等号） 4.最值定理：若P xy S y x R y x ==+∈+ ,,,则： （1）如果P 是定值,那么当x=y=__________时，y x +取得最小值__________；(简记：积定和最小)
（2）如果S 是定值,那么当x=y=__________时，xy 取得最大值__________.（简记：和定积最大） 5.利用基本不等式求最值，必须满足三条：__________． 6.一个重要不等式链：如果a ,b 都是正数，那么 2 112a b a b +≤≤≤+（当仅当 __________时取等号） ▲ 二读教材 1.下列结论正确的是 （） A ．当101,lg 2lg x x x x >≠+≥且时 B ．02x >≥当时 C ．x x x 1 ,2+ ≥时当的最小值为2 D ．当x x x 1 ,20- ≤<时无最大值 2.下列函数中，最小值为22的是（） A ．x x y 2+ = B ．)0(sin 2 sin π<<+ =x x x y C ．x x e e y -+=2 D ．2log 2log 2x x y += 3.若实数a 、b 满足的最小值是则b a b a 22,2+=+（） A ．8 B ．4 C ．22 D ．422 ▲ 三读教材 1.设a 、R ∈b ，a ≠b ，且a ＋b ＝2，则下列各式正确的是（ ） A ．2122b a ab +<< B ．212 2b a ab +≤< C ．2122b a ab +<< D ．12 2 2≤+≤ b a ab 2.下列函数中，最小值是4的是（ ） A ．x x y 4+ = B ．2 22222 +++=x x y C ．x x y sin 4sin + =，?? ? ??∈20π,x D ．)77(2x x y -+= 3.设x 、R ∈y ，且x ＋y ＝5，则y x 33+的最小值为________． 4.已知x ＞2，则2 1 -+x x 的最小值是________． 五、典型例析
必修5不等式专题复习
必修5 不等式专题复习 不等式与不等关系 题型一：不等式的性质 1. 对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①2 2 ,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,2 2 ； ③2 2 ,0b ab a b a >><<则若； ④b a b a 11,0<<<则若； ⑤b a a b b a ><<则 若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c -> ->>>则若,0； ⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ 题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式） 2. 设2a >，1 2 p a a =+ -，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小 3. 比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小 4. 若)2 lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=?=>>，则R Q P ,,的大小关系 是 . （一） 解不等式 题型三：解不等式 5. 解不等式 6. 解不等式2(1)(2)0x x -+≥。 7. 解不等式25123 x x x -<--- 8. 不等式2120ax bx ++>的解集为{x|-1＜x ＜2}，则a =_____, b=_______ 9. 关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02 >-+x b ax 的解集为 10. 解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<
— 题型四：恒成立问题 11. 关于x 的不等式a x 2+ a x +1＞0 恒成立，则a 的取值范围是_____________ 12. 若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围. 13. 已知0,0x y >>且 19 1x y +=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。 （三）基本不等式2 a b ab +≤ 题型五：求最值 14. （直接用）求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 15. （配凑项与系数） （1）已知5 4x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 （2）当时，求(82)y x x =-的最大值。 16. （耐克函数型）求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域。 注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性。 17. （用耐克函数单调性）求函数22 4 y x =+的值域。 18. （条件不等式）
2019_2020学年新教材高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式复习课学案新人教A版必修第一册
复习课(二) 一元二次函数、方程和不等式 考点一 基本不等式 利用基本不等式a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)求最值，要抓住“一正，二定，三相等”的条件，三者缺一不可，和为定值积有最大值，积为定值和有最小值． 【典例1】 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C ．5 D ．6 (2)若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43 B.53 C ．2 D.54 [解析] (1)因为x ＋3y ＝5xy ，1y ＋3x ＝5， 所以3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )·? ?? ??1y ＋3x ＝15? ????3x y ＋12y x ＋135 ≥15×2×36＋135 ＝5. 当且仅当3x y ＝12y x ，即x ＝1，y ＝12 时等号成立，所以3x ＋4y 的最小值是5. (2)由4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，得 2·2x ·3y ＋3xy ≤4x 2＋9y 2＋3xy ＝30， 即15xy ≤30，xy ≤2，此时当且仅当 ????? 2x ＝3y 4x 2＋9y 2＋3xy ＝30， 即x ＝3，y ＝233 时取得最大值． 故答案选C. [答案] (1)C (2)C 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值． [针对训练] 1．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则2x ＋y 的最小值是________．
