不等式的基本知识
（一）不等式与不等关系
1、应用不等式（组）表示不等关系；
不等式的主要性质：
(1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>,
(3)加法法则：c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加)
(4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0,
bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘)
(5)倒数法则：b a ab b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且
(7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且
2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）
3、应用不等式性质证明不等式
（二）解不等式
1、一元二次不等式的解法
一元二次不等式()0002
2≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=?，则不等式的解的各种情况如下表：
2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠?
3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题
若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >
若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <
（三）线性规划
1、用二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）
3、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫
线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：
（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域平移参照直线求目标函数的最优解 （四）基本不等式2a b ab +≤ 1．若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号. 2．如果a,b 是正数，那么).""(2
号时取当且仅当==≥+b a ab b a 变形： 有:a+b ≥ab 2；ab ≤22??
? ??+b a ,当且仅当a=b 时取等号. 3．如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;
如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值4
2
S . 注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可
以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”
4.常用不等式有：（12222211a b a b ab a b
++≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；
（3）若0,0a b m >>>，则b b m a a m
+<+（糖水的浓度问题）。
不等式主要题型讲解
（一） 不等式与不等关系
题型一：不等式的性质
1. 对于实数c b a ,,中，给出下列命题：
①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；
③22,0b ab a b a >><<则若； ④b a b a 11,0<<<则
若； ⑤b
a a
b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b
c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b
>>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______
题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）
2. 设2a >，12
p a a =+
-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小
3. 比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小
4. 若)2
lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=?=
>>，则R Q P ,,的大小关系是 .
（二） 解不等式
题型三：解不等式
5. 解不等式
6. 解不等式2(1)(2)0x x -+≥。
7. 解不等式
25123
x x x -<---
8. 不等式2120ax bx ++>的解集为{x|-1＜x ＜2}，则a =_____, b=_______
9. 关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式
02
>-+x b ax 的解集为
10. 解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<
题型四：恒成立问题 11. 关于x 的不等式a x 2+ a x +1＞0 恒成立，则a 的取值围是_____________
12. 若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值
围.
13. 已知0,0x y >>且191x y
+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值围。
2
a b +≤ 题型五：求最值 14. （直接用）求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x
15. （配凑项与系数）
（1）已知54x <，求函数14245
y x x =-+-的最大值。
（2）当时，求(82)y x x =-的最大值。
16. （耐克函数型）求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
不等式 要求层次 重难点 一元二次不等式 C 解一元二次不等式 （一） 知识容 1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式． 一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0a >为例）： 有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解． 判别式 24b ac ?=- 0?> 0?= 0?< 二次函数 2y ax bx c =++ (0)a >的图象 一元二次方程 2 0ax bx c ++= (0)a ≠的根 有两相异实根 12,x x = 242b b ac a -±- 12()x x < 有两相等实根 122b x x a ==- 没有实根 一元二次不等式的解集 2 0ax bx c ++> (0)a > {1 x x x < 或}2x x > {R x x ∈，且 2b x a ?≠- ?? 实数集R 20ax bx c ++< (0)a > {}1 2x x x x << ? ? 例题精讲 高考要求 板块一：解一元二次不等式 解不等式
（二）主要方法 1．解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间； 2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； 3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解． （三）典例分析： 1.二次不等式与分式不等式求解 【例1】 不等式 1 12 x x ->+的解集是 ． 【变式】 不等式2230x x --+≤的解集为（ ） A ．{|31}x x x -或≥≤ B ．{|13}x x -≤≤ C ．{|31}x x -≤≤ D ．{|31}x x x -或≤≥ 【变式】 不等式 25 2(1)x x +-≥的解集是（ ） A ．132? ?-??? ? ， B ．132??-????， C ．(]11132??????U ，， D ．(]11132?? -???? U ，， 2.含绝对值的不等式问题 【例2】 已知n *∈N ，则不等式 220.011 n n -<+的解集为（ ） A ．{}|199n n n *∈N ≥， B ．{}|200n n n *∈N ≥， C ．{}|201n n n *∈N ≥， D ．{}|202n n n *∈N ≥， 【例3】 不等式 1 11 x x +<-的解集为（ ） A ．{}{}|01|1x x x x <<>U B ．{}|01x x << C ．{}|10x x -<< D ．{}|0x x < 【变式】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的取值围是 _． 【例4】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________． 【例5】 若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123，，，则b 的取值围为 ． 3.含参数不等式问题 【例6】 若关于x 的不等式22840x x a --->在14x <<有解，则实数a 的取值围是（ ） A ．4a <- B ．4a >- C ．12a >- D ．12a <- 【变式】 ⑴已知0a <，则不等式22230x ax a -->的解集为 . ⑵若不等式897x +<和不等式220ax bx +->的解集相同，则a b -=______．
基本不等式中“1 的妙用” 例1：（1）已知,x y R *∈，21x y +=，求12x y +的最小值；（2）已知,x y R *∈，23x y +=，求12x y +的最小值；（3）已知,x y R *∈，322x y +=，求62x y +的最小值；（4）已知,x y R *∈，2x y xy +=，求2x y +的最小值； 【解析】这四个题目中，（1）是“1的替换”的最基础题目，已知整式的值为1，求分式的最小值，（2）是将已知值变成了3，需要调节系数，（3）是已知分式的值求整式的最值，（4）对分式进行等价变换. 【答案】（1）121222(2)()1459x y x y x y x y y x +=++=+++≥+=，当且仅当22x y y x =即13 x y ==时取等号. （2）121121221(2)(1453333x y x y x y x y y x +=++=+++≥+=（）（，当且仅当22x y y x =即13 x y ==时取等号. （3）1323662=(2)92182y x x y x y x y x y +++=+++≥+，当且仅当63x y y x =即 2 y ==时取等号. （4）因为2x y xy +=，所以121y x +=，然后1242=(+2y)(+)=48x y x y x y x y x +++≥，当且仅当4x y y x =即24x y ==时取等号.例2：（1）已知,x y R *∈，1x y +=，求 1213 x y +++的最小值；（2）已知,x y R *∈，1x y +=，求2211x y x y +++的最小值；（3）已知,x y R *∈，1x y +=，求1223 x y y +++的最小值；（4）已知,x y R *∈，231x y +=，求123x y y +++的最小值； 【解析】这四个题目：（1）是分式的分母分别加上一个常数，为了能够使用基本不等式，我们需要对整式也进行相应的变形；（2）在上一题的基础上，是分式的分子分母不再是一个常数而是二次项，需要分离出一个代数式，变成熟悉的形式；（3）在（1）的情况下分母进一步变化，不是加一个常数，而是混搭的形式；（4）在上一题的基础之上不再是直接观察出结果，而是需要配凑一个系数. 【答案】（1）整式变形成113x y +++=，
不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。 竞赛中常用的重要不等式 【内容综述】 本讲重点介绍柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式的证明与应用 【要点讲解】 目录§1 柯西不等式 §2 排序不等式 §3 切比雪夫不等式 ★ ★ ★ §1。柯西不等式 定理1 对任意实数组恒有不等式“积和方不大于方和积”，即 等式当且仅当时成立。 本不等式称为柯西不等式。 思路一证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。 证明1 ∴右-左= 当且仅当定值时，等式成立。 思路2 注意到时不等式显然成立，当时，不等式左、右皆正，因此可考虑作商比较法。
证明2 当时等式成立；当时，注意到 =1 故 当且仅当 且 （两次放缩等式成立条件要一致）
即同号且常数， 亦即 思路3 根据柯西不等式结构，也可利用构造二次函数来证明。 证明3 构造函数 。 由于恒非负，故其判别式 即有 等式当且仅当常数时成立。 若柯西不等式显然成立。 例1 证明均值不等式链： 调和平均数≤算术平均数≤均方平均数。 证设本题即是欲证： 本题证法很多，现在我们介绍一种主要利用柯西不等式平证明的方法 (1)先证① 注意到欲证①,即需证 ② 此即 由柯西不等式,易知②成立,从而①真
高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
不等式训练1 A 一、选择题（六个小题，每题5分，共30分） 1．若02522 >-+-x x ，则221442-++-x x x 等于（ ） A ．54-x B ．3- C ．3 D ．x 45- 2．函数y ＝log 2 1（x ＋11+x ＋1） （x > 1）的最大值是 （ ） A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 3．不等式x x --213≥1的解集是 ( ) A ．{x| 43≤x ≤2} B ．{x|4 3≤x ＜2} C ．{x|x ＞2或x ≤43} D ．{x|x ＜2} 4．设a ＞1＞b ＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．b a 11< B ． b a 11> C ．a ＞b 2 D ．a 2＞2b 5．如果实数x,y 满足x 2＋y 2=1,则(1－xy) (1＋xy)有 ( ) A ．最小值 21和最大值1 B ．最大值1和最小值4 3 C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值 6．二次方程x 2＋(a 2＋1)x ＋a －2=0,有一个根比1大,另一个根比－1小, 则a 的取值范围是 ( ) A ．－3＜a ＜1 B ．－2＜a ＜0 C ．－1＜a ＜0 D ．0＜a ＜2 二、填空题（五个小题，每题6分，共30分） 1．不等式组? ??->-≥32x x 的负整数解是____________________。 2．一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30， 则这个两位数为____________________。 3．不等式0212<-+x x 的解集是__________________。 4．当=x ___________时，函数)2(22x x y -=有最_______值，其值是_________。 5．若f(n)=)(21)(,1)(,122N n n n n n n g n n ∈= --=-+?,用不等号 连结起来为____________.
均值不等式 1.均值不等式 知识点1: 二元均值不等式可以推广到n 元，即： 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数，则 12n a a a n ++ + ≥1 23 a a a a n === =）. 如何证明? 知识点2: 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数 ,n Q , 12n n a a a A n ++ += , n G =, 12 111n n n H a a a = ++,则n n n n Q A G H ≥≥≥(等号成立当且仅当 123a a a a n ====) 更一般的平均值的定义: 设正数(1,2,3...)i a i n =,则α的幂平均值=1 1 ( )n i i a n α α =∑,特 别的,我们有: lim ()n f G αα→=，1 1 ()( )n i i a f n α α α==∑为关于α的增函数. 知识点3:重要结论 (1)2 22,,,.a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (2) ()2 ,,,3().a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (3) 2222,,,3()().a b c R a b c a b c ∈++≥++ (4) 2,,,()3().a b c R ab bc ca abc a b c ∈++≥++ (5) ,,,()()()()().a b c R a b b c a c abc a b c ab cb ac ∈++++=++++ (6) 222;2a a a b b a b b -≥-+≥(a,b,c>0) (7) 2222221 ()()3 a b b c c a a b c a b c ++≤++++(a,b,c>0) (8)正实数(1,2,3...)i a i n =,则 21 1 1 n n i i i i a n a ==?≥∑∑ (当且仅当12...n a a a ===); (9) 222222222222()()()()()a b b c c a ab bc ca a b c a bc b ca c ab ++++=++++ 知识点4:加权平均值不等式 已知 12+...1(0,1,2.,,,) n i w w w w i n +=>=，则对任意正实数 12112212........n w w w n n n w a w a w a a a a +++≥.
1、设恒成立的c的取值范围是 A．B．C．D． 2、设，且（其中），则M的取值范围是A．B．C．D． 3、若实数、满足，则的取值范围是 A．B．C．D． 4、已知，，，则的最小值是（） （Ａ）（Ｂ）4（Ｃ）（Ｄ） 5、若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 (A)(B)(C)(D) 6、已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D． 7、已知正实数满足，则的最小值为。 8、如图，目标函数可行域为四边形（含边界），若是该目标函数的最优解，则的取值范围是() （A）（B）（C）（D） 的最大值与最小值之和为 9、函数，当时，恒成立,则 D. 10、已知正数满足，则的最小值为 A．3B．C．4D． 11、二次函数轴两个交点的横坐标分别为。（1）证明：；（2）证明：； （3）若满足不等式的取值范围。 12、设满足约束条件，若目标函数的最大值为10，则的最小值为.
13、已知对任意实数x，二次函数f(x)=ax2+bx+c恒非负，且a VIP 免费 欢迎下载 学生姓名： 任课教师： 试卷审查教师： 测试科目： 涉及章节： 教师评语： 不等是知识点 ★ 知 识 梳理 ★ 1.基本形式:,a b R ∈,则222a b ab +≥;0,0a b >>,则2a b ab +≥,当且仅当a b =时等号成立. 2求最值:当ab 为定值时,22,a b a b ++有最小值;当a b +或22a b +为定值时,ab 有最大值(0,0a b >>). 3.拓展：若0,0a b >>时,22 2 1122a b a b ab a b ++≤≤≤+,当且仅当a b =时等号成立. ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点：理解基本不等式2 a b ab +≤ 等号成立条件，掌握用基本不等式证明不等式 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 2.难点：利用基本不等式2a b ab +≤求最大值、最小值 3.重难点：正确运用基本不等式证明不等式，会用基本不等式求某些函数的最值 二 方法技巧讲解 (1) 灵活运用基本不等式处理不等关系 问题1. 已知正数x 、y 满足x +2y =1，求 x 1+y 1的最小值. 点拨：∵x 、y 为正数，且x +2y =1， 日期： 2012- 时间： ∴x 1+y 1=（x +2y ）（x 1+y 1） =3+x y 2+y x ≥3+22， 当且仅当 x y 2=y x ，即当x =2－1，y =1－22时等号成立. ∴x 1+y 1的最小值为3+22. （2）注意取等号的条件 问题2. 已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=11()()x y x y ++ 的最小值为 。 点拨： 错解1、因为对a>0,恒有12a a +≥,从而z=11()()x y x y ++≥4,所以z 的最小值是4。 错解2、222222()22x y xy z xy xy xy xy xy +-==+-≥22(21)-=-，所以z 的最小值是2(21)-。 错因分析：解一等号成立的条件是11,11,1x y x y x y x y ====+=且即且与相矛盾。解二等号成立的条件是2,2xy xy xy ==即，与104 xy <≤相矛盾。 解析：z=11()()x y x y ++=1y x xy xy x y +++=21()222x y xy xy xy xy xy xy +-++=+-，令t=xy, 则210( )24x y t xy +<=≤=，由2()f t t t =+在10,4?? ???上单调递减,故当t=14时 2()f t t t =+有最小值334,所以当12x y ==时z 有最小值254 。 ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点1 利用基本不等式求最值(或取值范围) 题型1. 当积ab 为定值时,求和a b +最小值 学习必备欢迎下载 不等式的证明方法 一、比较法 1. 求证： x2 + 3 > 3 x 证：∵ (x2 + 3) 3x = x2 3x ( 3 ) 2 ( 3 )2 3 (x 3 ) 2 3 0 2 2 2 4 ∴x2 + 3 > 3 x 2. 已知 a, b, m 都是正数，并且 a < b，求证：a m a b m b a m a b(a m) a( b m) m(b a) 证： m b b(b m) b(b m) b ∵ a,b,m 都是正数，并且a 专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：)0,0a b a b +≥>> （1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>； 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 . 【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式 212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 . 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则 2212a b +的最小值为 . 【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 120PF PF ?=，则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．3+ D ． 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 . 高一数学秋季班（教师版）教师日期 学生 课程编号08课型同步复习课题基本不等式 教学目标 1.掌握基本不等式的概念； 2.掌握几个重要不等式； 3.掌握比较法，综合法，分析法证明不等式的基本思路； 4.掌握简单基本不等式的相关证明问题； 教学重点 1.掌握不等式的使用条件； 2.掌握不等式的变形； 3.掌握多次使用不等式的方法； 教学安排 版块时长1知识梳理10 2例题解析60 3巩固训练40 4师生总结10 5课后练习60 一、基本不等式： 1.若,a b R ∈，222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号 2.（1）“积定和最小”：ab b a 2≥+?如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值 2P ； （2）“和定积最大”：2 2? ? ? ??+≤b a ab ?如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S 。 3.若,a b R + ∈，22 22 a b a b ab ++≥≥ 加权平均》算术平均》几何平均 二、均值不等式：若a 、b 为正数，则2 a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号 变式：2 2 2 ()22 a b a b ab ++≥ ≥ 推广：123,,,,n a a a a L 是n 个正数，则 12n a a a n +++L 称为这n 个正数的算术平均 数，12n n a a a ???L 称为这n 个正数的几何平均数， 它们的关系是： 1212n n n a a a a a a n ++???+≥??????， 当且仅当12n a a a ===L 时等号成立。 知识梳理 基本不等式 第11课：基本不等式与双√函数 一、双√函数 形如.0,0,>>+=q p x q px y 图像如右图所示： （1）0>x 时，当p q x =时取到pq y 2min =； （2）值域： （3）当0,0< （2）凡是利用“积定和最小”求最值的函数均可换元为双勾函数！ 三、利用基本不等式求最值 类型一：形如()()0,1≠++ +=c a d cx b ax y 采取配积为定！ 1、求??? ??>-+ =455434x x x y 的最小值 2、求??? ??<-+=455433x x x y 的最大值 3、求()π,0,sin 2sin ∈+ =x x x y 的最小值的值域 4、求()的最小值01 1>-+=x e e y x x 的最小值 类型二：形如()0,2≠+++=c a d cx c bx ax y 采取配凑——分离术！ 1、求0,92>++=x x x x y 的最小值 2、求0,192>+++=x x x x y 的最小值 3、求?? ????-∈+++=1,31,12122x x x x y 的值域 4、求4,1822-<+++=x x x x y 的最值 第一课时：不等式关系与不等式 知识点一 不等关系 思考 限速40km /h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km /h ，用不等式如何表示？ 答案 v ≤40. 梳理 试用不等式表示下列关系： (1)a 大于b a ＞b (2)a 小于ba b ?a －b >0；a ＝b ?a －b ＝0； a b ?b b ，b >c ?a >c (传递性)； 第三节.不等关系与基本不等式 基本不等式 (3)a >b ?a ＋c >b ＋c (可加性)； (4)a >b ，c >0?ac >bc ；a >b ，c <0?ac 基本不等式 1．均值定理：如果a ， b +∈R （+R 表示正实数），那么 2 a b +，当且仅当a b =时，有等号成立． 此结论又称均值不等式或基本不等式． 2 2a b +2 a b +需要前提条件,a b +∈R ． 2 a b +叫做a ，b a ，b 3．可以认为基本元素为ab ，a b +，22a b +；其中任意一个为定值，都可以求其它两个的最值． 考点1：常规基本不等式问题 例1.（1）已知0x >，则1 82x x +的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【解答】解：0x >Q ，1842x x ∴+=… 当且仅当1 82x x =即14x =时取等号， 故选：C ． （2）已知3 05 x <<，则(35)x x -取最大值时x 的值为( ) A ． 310 B ．910 C ． 95 D ． 12 【解答】解：305 x << Q ， 则2115359 (35)5(35)()5 5220 x x x x x x +--=?-?= ?， 当且仅当535x x =-即3 10 x =时取最大值 故选：A ． （3）已知函数9 4(1)1 y x x x =-+>-+，当x a =时，y 取得最小值b ，则23a b +等于( ) A ．9 B ．7 C ．5 D ．3 【解答】解：1x >-Q ，10x ∴+>， 99 41511 y x x x x ∴=-+ =++-++ 5… 1=， 当且仅当9 11 x x += +，即2x =时取等号， y ∴取得最小值1b =，此时2x a ==， 237a b ∴+=． 故选：B ． （4）已知0a >，0b >，且22a b +=，则ab 的最大值为( ) A ． 12 B C ．1 D 【解答】解：0a >Q ，0b >，且22a b +=， 则21 121(2)()2 222 a b ab a b +=??=g ? ， 当且仅当2a b =且22a b +=即12a =，1b =时取得最大值1 2 ． 故选：A ． 考点2：基本不等式易错点 例2.（1）已知1x y +=，0y >，0x ≠，则1||2||1 x x y ++的最小值是( ) A ． 1 2 B ． 14 C ． 34 D ． 54 【解答】解：由1x y +=，0y >得10y x =->， 解得1x <且0x ≠， ①当01x <<时，1||12||121 x x x y x y +=+++， 122242x x x x x x x x +-=+=+ --， 12115()2442424 x x x x -= +++?=-…， 当且仅当 242x x x x -= -即23x =时取等号； ②当0x <时， 1||1()2||121 x x x y x y +=-+++， 不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ） a b ＜1 （C ）lg(a-b)＞0 （D ）(21)a ＜(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ） a 1 +a ≥2 (a ≠0) （C ）a 1＜b 1 (a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11 )(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n －n , ?(n )= n 21 , g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 2.3 基本不等式 1．基本不等式：ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ﹥0，b ﹥0. (2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号． (3)其中a ＋b 2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数． 注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出现错误． 2．几个重要不等式： (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)． (2)b a ＋a b ≥ (a ，b 同号)． (3)ab 2 2? ? ? ??+b a (a ，b ∈R)． (4)a 2＋b 2 2 22?? ? ??+b a (a ，b ∈R)． (5)则b a 11 2 + ≤ab ≤a ＋b 2≤ 2 22b a +(a ﹥0,b ﹥0)其中当且仅当a =b 时取等号（调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数） 3．利用基本不等式求最值问题 已知x ﹥0，y ﹥0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当 时，x ＋y 有最 (简记：积定和最小)． (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当 时，xy 有 (简记：和定积最大)． 自查自纠 1．(2)a ＝b 2．(2)2 (3)≤ (4) ≥ 3．(1)x ＝y 小值是2p (2)x ＝y 最大值是s 24 1．下列说法正确的是 ( ) A ．a ≥0，b ≥0，则a 2＋b 2≥2ab B ．函数y ＝x ＋1 x 的最小值是2 C ．函数f (x )＝cos x ＋ 4cos x ，x ∈?? ? ??2,0π的最小值等于4 D ．“x >0且y >0”是“x y ＋y x ≥2”的充分不必要条件 答案：D. 解析：选项A 中，a ＝b ＝0.1时不成立；选项B 中，当x ＝－1时y ＝－2；选项C 中，x ∈?? ? ??2,0π时，0 微专题45 利用均值不等式求最值 一、基础知识： 1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=L （1）调和平均数：12111n n n H a a a = +++L （2）几何平均数：12n n n G a a a =L （3）代数平均数：12n n a a a A n +++= L （4）平方平均数：222 12n n a a a Q n +++=L 2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===L 特别的，当2n =时，22G A ≤?2 a b ab +≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形： （1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）2 2a b ab +?? ≤ ??? ：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3）2 2 2a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2 324y x x x =+≥右侧依然含有x ，则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ，则要将3 x 拆为两个2x ，则2223 342222334y x x x x x x x x =+=++≥??= 一．选择题 1．已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（） A．B．2C．4 D．4 2．已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（） A．6 B．5 C．4 D．3 3．若a，b都是正数，则的最小值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 4．下列关于不等式的结论中正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞ 5．若m、n是任意实数，且m＞n，则（） A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D． 6．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12 8．已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（）A．B．8 C．9 D．12 9．若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为（） A． B．4 C． D．6 11．若x＜0，则x+的最大值是（） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 12．已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值为（） A．3 B．6 C．9 D．12 二．填空题 1．已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为． 2．已知a＞0，b＞0，且a+b=2，则的最小值为． 3．已知x＞1，则函数的最小值为． 4．设2＜x＜5，则函数的最大值是． 5．函数f（x）=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn＞0，则的最小值为． 6．已知x＞1，则函数y=2x+的最小值为．基本(均值不等式)不等式知识点基础练习
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