矩阵的秩的性质和
矩阵秩与矩阵运算之间的关系
要谈矩阵的秩，就得从向量组的秩说起，向量组的秩，简而言之就是其极大无关组里向量的个数。进而扩展到线性方程组，在线性方程组的概念中（课本P90）定理1说：“线性方程组有解的充要条件是，它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。”
那么不妨把矩阵用向量组的方式来看，则有行秩和列秩，一个矩阵的行秩和列秩相同，而其初等变换又不会改变秩。自然而然，我们就得到了一个判断矩阵秩的方法，就是将它转化为阶梯形矩阵，非零行数目即其秩。矩阵进一步发展就是运算了，包括数乘、加减、乘积等，又涉及到单位矩阵、三角矩阵、可逆矩阵以及矩阵的分块等概念，综合所学，我们得到如下性质：
1、矩阵的初等变换不改变秩，任一矩阵的行秩等于列秩。
2、秩为r 的n 级矩阵（n r ≥），任意r+1阶行列式为0，并且至少有一个r 阶子式不为0.
3、)}(),(min{)(B rank A rank AB rank ≤ )'()(A rank A rank =，)()()(B rank A rank B A rank ±=± )()(A rank kA rank =
4、设A 是n s ?矩阵，B 为s n ?矩阵，则+)(A rank )}(),(min{)()(B rank A rank AB rank n B rank ≤≤-
5、设A 是n s ?矩阵，P,Q 分别是s,n 阶可逆矩阵，则
)()()(A rank AQ rank PA rank ==
6、设A 是n s ?矩阵，B 为s n ?矩阵，且AB=0，则 n B rank A rank ≤+)()(
7、设A 是n s ?矩阵，则)()'()'(A rank A A rank AA rank ==
其中，也涉及到线性方程组解得问题：
8、对于齐次线性方程组，设其系数矩阵为A ，n A rank =)( 则方程组有惟一非零解，n A rank <)(则有无穷多解，换言之，即为克莱姆法则，
非齐次线性方程组有解时，n A rank =)(惟一解，n A rank <)( 有无穷多解。
还有满秩矩阵：
9、可逆?满秩
10、行（列）向量组线性无关，即n 级矩阵化为阶梯形矩阵后非零行数目为n 。
扩展到矩阵的分块后：
11、110(A )(A )0n n A rank rank rank A ?? ?=++ ? ???
12、()()0A C rank rank A rank B B ??≥+ ???
证明：
1、先证明初等变换不会改变秩，就先从行秩开始。
设矩阵A 的行向量组是12
s γγγ，，设A 经过1?初等变换j+i*k 变成矩阵B ，则B 的行向量组是
1,,,,,,i i j s k γγγγγ+，显然， 1,,,,,,i i j s k γγγγγ+可由12s γγγ，线性表出，由于1()j i j i k k γγγγ=?+-，因此12s γγγ，也可由1,,,,,,i i j s k γγγγγ+线性表出，于是它们等价，而等价向量组有相同的秩，因此A 的行秩等于B 的列秩。
容易证明，2?型和3?型初等变换亦使所得矩阵的行向量组与原矩阵等价，从而不改变矩阵的行秩。
进而列秩也可以得到证明，又已知阶梯形矩阵的行秩与列秩相同，那么，讲一个矩阵通过初等变换得到阶梯形矩阵，行秩等于列秩的性质便得证。
2、设s n ?矩阵A 的秩为r ，则A 的行向量组中有r 个线性无关的向量，设A 的第1,,r i i 行向量线性无关，它们组成一个矩阵A 1（称A 1是A 的子矩阵），由于A 1的行向量组线性无关，因此A 1的行秩为r ，列秩也为r 。于是A 1又r 列线性无关。设A 1的第1,,r j j 列线性无关，它们组成A 1的一个子矩阵A 2的列向量组线性无关，因此2||0A ≠。
即
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3、
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关于矩阵秩的证明 -----09数应鄢丽萍 中文摘要 在高等代数中,矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征，而且在初等变换下保持不变。关于矩阵秩的问题,通常转化为矩阵是否可逆,线性方程组的解的情况等来解决。 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩，由于矩阵的行秩与列秩相等，故统称为矩阵的秩。向量组的秩就是向量组中极大线性无关组所含向量的个数。 关键词：初等变换向量组的秩极大线性无关组
约定用E 表示单位向量，A T 表示矩阵A 的转置，r(A)表示矩阵A 的秩。在涉及矩阵的秩时，以下几个简单的性质： （1） r(A)=r(A T ); （2） r(kA)=? ??=≠0 00 )(k k A r （3） 设A,B 分别为n ×m 与m ×s 矩阵，则 r(AB)≤min{r(A),r(B),n,m,s} (4) r(A)=n,当且仅当A ≠0 (5) r ???? ??B O O A =r(A)+r(B)≤r ??? ? ??B O C A (6) r(A-B)≤r(A)+r(B) 矩阵可以进行加法，数乘，乘法等运算，运算后的新矩阵的秩与原矩阵的秩有一定关系。
定理1：设A,B 为n ×n 阶矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B) 证: 由初等变换可得 ???? ??B O O A →???? ??B A O A →???? ??+B B A O A 即???? ??E E O E ???? ??B O O A ???? ??E E O E =??? ? ??+B B A O A 由性质5可得 r ???? ??B O O A =r ??? ? ??+B B A O A 则有r(A)+r(B)≥r(A+B) 定理2（sylverster 公式）设A 为s ×n 阶矩阵，B 为n × m 阶矩阵，则有r(A)+r(B)-n ≤r(AB) 证：由初等变换可得 ???? ??O A B E n →???? ??-AB O B E n →???? ??-AB O O E n 即? ??? ??-s n E A O E ??? ? ??O A B E n ? ??? ? ?-m n E O B E ＝???? ??-AB O O E n 则r ???? ??O A B E n =r ??? ? ??-AB O O E n 即r(A)+r(B)-n ≤r(AB)
摘要 矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，它具有许多的重要性质.本文总结归纳出了有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，即从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.本文主要解决以下几个问题：用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.
目录 第一章绪论 (1) 第二章预备知识 (2) 第三章用矩阵的秩的理论证明秩的等式和不等式 (3) 第四章用线性空间的理论证明秩的等式和不等式 (6) 第五章用向量组秩的理论证明秩的等式和不等式 (10) 第六章用矩阵分块法证明秩的等式和不等式 (15) 第七章小结 (23) 参考文献 (24) 致谢 (25)
第一章绪论 矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，是矩阵理论中研究的一个重要内容，它具有许多的重要性质.研究矩阵的秩对于解决矩阵的很多问题具有重要意义.矩阵的秩的等式及不等式的证明对于学习矩阵也是重点和难点，初学者在做这方面的题目往往不知如何下手.笔者归纳了矩阵的秩的常见等式和不等式以及与之相关的一些结论，并从向量组、线性方程组、矩阵分块、矩阵初等变换等角度探索了多种证明方法，它有助于学习者加深对秩的理解和知识的运用，也方便教师教学. 目前对矩阵秩的研究已经比较成熟了，但是由于秩是矩阵论里的一个基本而重要的概念，它仍然有着重要的研究价值，有关它的论文时见报端.很多国内外的有关数学书籍杂志对矩阵的秩都有讲述，如苏育才、姜翠波、张跃辉在《矩阵论》（科学出版社、2006年5月出版）中较完整地给出了矩阵秩的理论.北京大学数学系前代数小组编写的《高等代数》（高等教育出版社,2003年7月出版）也介绍了秩的一些性质.但是对秩的等式及不等式的介绍都比较分散，不全面也没有系统化，不方便初学者全面掌握秩的性质.因此有必要对矩阵的秩的等式和不等式进行一个归总，便于学习和掌握. 本文通过查阅文献资料，总结归纳出有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.主要内容有：（1）用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（2）用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；（3）用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（4）用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.
摘要 本文将行（列）满秩矩阵的性质与可逆矩阵（即满秩矩阵）的相关性质进行比较，归纳出行（列）满秩矩阵在解线性方程组、矩阵秩的证明及矩阵分解等方面的若干应用，使其不受方阵的正方性限制，而应用起来又与可逆矩阵相差无几。 关键词：可逆矩阵；行(列)满秩矩阵；矩阵的秩；线性方程组
Abstract This article will row (column) the nature of the full rank matrix and invertible matrix (i.e. full rank matrix) properties of comparison, induction travel (column) full rank matrix in solving linear equations, the proof of matrix rank and some applications of matrix decomposition, etc.to make it without being limited by a phalanx of tetragonality, and used up and reversible. Key words: Invertible matrix; Row (column) full rank matrix; Matrix rank; The System of linear equations.
目录 1 引言 (1) 2 预备知识 (2) 3 可逆矩阵的性质及其应用 (3) 4 行（列）满秩矩阵的性质 (5) 5 行（列）满秩矩阵的若干应用 (11) 5.1 在矩阵秩的证明中的应用 (11) 5.2 在齐次线性方程组中的应用 (12) 5.3 在非齐次线性方程组中的应用 (15) 5.4 在几类特殊矩阵分解方面的应用 (17) 参考文献 (20)
引言 矩阵的秩是高等代数中一个应用及其广泛的理论，有关矩阵的秩的等式或不 等式的证明，常常和向量组的秩，线性方程组的解等密切相关，推证有难度也有技巧。熟练掌握关于矩阵秩的一些结论及其证明技巧，对有关理论的学习会有很大的裨益。矩阵A 中的最大阶不为零的子式的阶数就称为矩阵A 的秩，记为r(A).一些平凡的理论及概念读者可参阅一些权威教材,这里只对一些经典的理论做一讨论. 1. 证明: 设B A ,为两个同阶矩阵,则有r(A ﹢B)≤r(A)﹢r(B) 证 设A =(α1,α 2 ,…, αn ), B =() ββ βn ,...,,2 1 则 A +B =( α1 +β1 ,α2 +β 2 ,…, αn +βn ) 不妨设A 列向量的极大线性无关组为 α1 ,α 2 ,…, α r . (1≤r ≤n)； B 列向量的极大线性无关组为β1，β2，…βs . (1≤s ≤n). 则k i i 1 =αα1 +α 2 2 k i +…+ α r ir k ; βi =β1 1 l i +β 2 2 l i +…+ β s is l ; 则 αi +β i = k i 1 α1 +α 2 2 k i +…+αr ir k +β1 1 l i +β 2 2 l i +…+ β s is l ; 即A +B 的列向量可由 α1 ,α 2 ,…, α r ， β 1 ， β 2 ，… β s 线性表出， 故)()()(B +A =+≤B +A r r s r r . 2. 若AB =O ,则)()(B r A r +n ≤. 证 记 ),...,,(2 1 ββ βn B =，由AB =O ，知B 的每一列都是O =AX 解, 即O =A β i ,i =1,2,…,n 又因O =AX 的基础解系所含向量个数为)(A r n -, 换言之, O =AX 的所有解所构成的向量组的秩为)(A r n -.故≤)(B r )(A r n -, 即)()(B r A r +n ≤.
考研数学矩阵的8大秩及其证明2009 ()1 证明：根据矩阵秩的定义直接得出。 ()2 证明：对矩阵A 任意添加列后变成矩阵(), A B ，则秩显然不小于()R A ，即： ()(), R A B R A ≥ 同理： ()(), R A B R B ≥ 因而：()(){}(), , Max R A R B R A B ≤成立。 又设 ()(), R A r R B t ==，把, A B 分别做列变换化成列阶梯形~ ~ , A B 1110 3 810 1100 1000?? ? ? ? ? ??? 如：就是列阶梯形 用~ ~~ ~ 1 1 , r r a a b b 分别表示非全零列，则有： ()~ ~~ ()1~~ ~ ~~ ()1 , 00, , , 0 0表示列变换表示列变换c r c c r A A a a A B A B B B b b ????????→= ????? ?? ???→? ????? ??????→= ???? ? 由于初等变换后互为等价矩阵，故()~~, , R A B R A B ?? = ??? 而矩阵~~, A B ?? ???只含有r t +个非全零列，所以：()()~~~~, , R A B r t R A B R A R B ???? ≤+?≤+ ? ????? 。 综合上述得：()(){}()()(), , Max R A R B R A B R A R B ≤≤+
●特别地：如B b =为列向量，则()1R b ≡()()() , 1R A R A B R A ?≤≤+。 ●如B E =，设()(), , m n m R A B R A E ?=， 则 ()()() , , m n m m m n m m R A E R E m R A E m ??≥≥=?= ()3 证明： ()()()()()()()()()()()() 2 , , , , , , A B B A B R A B B R A B R A R B R A B R A B B R A B R A B R A R B +→?+=????→+≥=+≥+?+≤+由公式知 ()4 证明：()1 设()()() ,AB C B AX C R A R A C R C =?=?=≥是的解 ()()()() () ()()()()()(){},min , T R B R B T T T T T T T B A C R B R B C R C R B R C R C R AB R A R B n ==?=≥???? ?→≥?=≤≤又， ()2 设()(), m n n s R A r R B t ??== 则A 的标准型为000r m n E ??? ???，B 的标准型为000t n s E ??? ??? 存在可逆矩阵, , , m s n n P Q P Q 使：
华北水利水电大学 矩阵秩的相关结论证明及举例 课程名称：线性代数 专业班级：能源与动力工程（热动）101班 成员组成：王威威 联系方式： 2014年12月30日
一：摘要 矩阵的秩是数学中一个极其重要并广泛应用的概念，是线性代数的一个重要研究对象，因此，矩阵的秩的结论作为线性代数的一个重要结论已经渗透到各章节之中，他把线性代数的内容紧紧联系在一起，矩阵的秩作为矩阵的一个重要本质属性则贯穿矩阵理论的始终，所以对矩阵秩的研究不仅能帮助我们更好地学习矩阵，而且也是我们学习好线性代数各章节的有力保证。 关键词：矩阵秩结论证明 英文题目 Abstract: Matrix rank is an extremely important and widely us ed in the mathematical concept, is an important res earch object of linear algebra, as a result, the c onclusion of the rank of matrix as an important co nclusion of linear algebra has penetrated into chapt er, associate the content of the positive linear al gebra and matrix of rank as an important essential attribute of the matrix, however, throughout the c ourse of the theory of matrix so that the study o f matrix rank can not only help us better learning matrix and chapter we learn good linear algebra Key words:matrix rank conclusion proof
矩阵的秩及其多样性的解法 数学学院 数学与应用数学（师范）专业 摘 要：矩阵论是代数学中一个重要组成部分和主要研究对象，而矩阵的秩又是矩阵的一个重要指标，本文研究了与矩阵的秩的相关性质及其多样性的解法, 用定理和实例说明了行列式、线性空间、线性方程组、分块矩阵和矩阵秩的关系及其在求矩阵的秩中的应用。 关键词: 矩阵的秩; 行列式; 线性方程组； Abstract ：Matrix theory is an important part of the main object of study in algebra and rank of the matrix is an important indicator of the matrix, we study the rank of the matrix solution of the nature and diversity of theorems and examples illustratedeterminant, linear space, linear equations, the block matrix and the matrix rank and matrix rank. Keywords: Rank of matrix; V ector; Linear equations; 引言、引理 矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩相关性质及等价条件，并从行列式、线性方程组、线性空间以及分块矩阵的角度来阐述矩阵秩的不同解法。 矩阵的秩的等价刻划 设A F m n ?∈ ，则rank(A)=r ?A 中不为零的子式的最大阶数是r ； ?A 中有一个r 阶子式D 不等于零，所有包含D 作为子式的 r+1阶子式全为零； ? 存在可逆矩阵m n P F ?∈，m n Q F ?∈，使得000r E P A Q ?? = ??? ； ? A 的行（列）向量的极大无关组所含向量的个数为r;
矩阵的秩的性质和 矩阵秩与矩阵运算之间的关系 要谈矩阵的秩，就得从向量组的秩说起，向量组的秩，简而言之就是其极大无关组里向量的个数。进而扩展到线性方程组，在线性方程组的概念中（课本P90）定理1说：“线性方程组有解的充要条件是，它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。” 那么不妨把矩阵用向量组的方式来看，则有行秩和列秩，一个矩阵的行秩和列秩相同，而其初等变换又不会改变秩。自然而然，我们就得到了一个判断矩阵秩的方法，就是将它转化为阶梯形矩阵，非零行数目即其秩。矩阵进一步发展就是运算了，包括数乘、加减、乘积等，又涉及到单位矩阵、三角矩阵、可逆矩阵以及矩阵的分块等概念，综合所学，我们得到如下性质： 1、矩阵的初等变换不改变秩，任一矩阵的行秩等于列秩。 2、秩为r 的n 级矩阵（n r ≥），任意r+1阶行列式为0，并且至少有一个r 阶子式不为0. 3、)}(),(min{)(B rank A rank AB rank ≤ )'()(A r a n k A r a n k =，)()()(B rank A rank B A rank ±=± )()(A rank kA rank = 4、设A 是n s ?矩阵，B 为s n ?矩阵，则+)(A rank )}(),(min{)()(B rank A rank AB rank n B rank ≤≤- 5、设A 是n s ?矩阵，P,Q 分别是s,n 阶可逆矩阵，则 )()()(A rank AQ rank PA rank ==
6、设A 是n s ?矩阵，B 为s n ?矩阵，且AB=0，则 n B rank A rank ≤+)()( 7、设A 是n s ?矩阵，则)()'()'(A rank A A rank AA rank == 其中，也涉及到线性方程组解得问题： 8、对于齐次线性方程组，设其系数矩阵为A ，n A rank =)( 则方程组有惟一非零解，n A rank <)(则有无穷多解，换言之，即为克莱姆法则， 非齐次线性方程组有解时，n A rank =)(惟一解，n A rank <)( 有无穷多解。 还有满秩矩阵： 9、可逆?满秩 10、行（列）向量组线性无关，即n 级矩阵化为阶梯形矩阵后非零行数目为n 。 扩展到矩阵的分块后： 11、110(A )(A )0n n A rank rank rank A ?? ?=++ ? ??? 12、()()0A C rank rank A rank B B ??≥+ ???
矩阵，行列式, 秩, 相关计算： 例 ： 已知矩阵211121112A ?? ?= ? ??? ，且A 与矩阵X 满足112AXA XA I --=+，求X 。 例：已知3阶方阵 123023003A ?? ?= ? ??? ，计算行列式 6A I *+。 例：已知32212232,26223A B ?? -?? ? == ? ?-?? ? ?? ，求行列式 10 2A B - 例： 证明：若n 阶方阵A ,B ,C 满足：AB =AC ,B ≠C ，则A 不满秩。 例： 举例说明：由AB =AC ,A ≠0不能导出B =C 。 例 对于n 阶方阵A, 求证: r(A n )=r(A n+1) 例 A 和伴随阵的秩的关系。 方程组及其求解： 例： 对下列线性方程组 ??? ??=++=++=++2 321 3213211a ax x x a x ax x x x ax
试讨论：当a 取何值时，它有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。（用导出组的基础解系表示通解） 例：已知线性方程组 123123123123121(1)2(1)3 ax x x x x ax x x x a x x a x -++=-?? ++=-?? ++=-??-+++=-? 问参数a 取何值时，上述方程组无解？有唯一解？有无穷多解 例： 已知A 是n m ?矩阵，m n >，m A =)(r ，B 是)(m n n -?矩阵， m n B -=)(r ，且 0=AB 。证明：B 的列向量组为线性方程组0=AX 的一 个基础解系。 例：设有齐次线性方程组 （I ） 12312300 ax x x x ax x ++=?? ++=? （II ） 1230x x ax ++= （III ） 1231231 23000 ax x x x ax x x x ax ++=?? ++=??++=? 已知方程组（I ）的解都是方程组（II ）的解， （1）证明：方程组（I ）与方程组（III ）的同解； （2）证明：方程组（III ）有非零解； （3）求参数a 的值。 例：已知4阶方阵43214321,,,),,,,(αααααααα=A 均为4元列向量，其中432,,ααα线性无关，3212ααα-=。
第五章 利用分块矩阵证明有关矩阵的秩 定理1：设A 是数域P 上的n ×m 矩阵，B 是数域P 上的m ×s 矩阵，求证秩（AB ）≤min ｛秩A ，秩B ｝。 证明：令B 1，B 2，…，B m 为B 的行向量，则有 由上可知，AB 的行向量是B 的行向量的线性组合，因此秩AB ≤秩B ； 同理，令A 1，A 2，…，A m 为A 的列向量，同样可得AB 的列向量是A 的列向量的线性组合，因此秩AB ≤秩A 。 综上所述，秩（AB ）≤min ｛秩A ，秩B ｝。 命题1：证明秩（A+B ）≤秩（A ）+秩（B ）。 证明：令A 1，A 2，…，A n 为A 的列向量，令B 1，B 2，…，B n 为B 的列向量，从而A+B=（A 1+B 1，A 2+B 2，…，A n +B n ），即其每个列向量均可由｛A 1，A 2，…，A n ，B 1，B 2，…，B n ｝线性表出，不妨设｛A 1，A 2，…，A ｒ｝｛B 1，B 2，…B ｔ｝分别为｛A 1，A 2，…，A n ｝｛B 1，B 2，…，B n ｝的极大线性无关组。则A+B 的列向量均可由向量组｛A 1，A 2，…，A ｒ，B 1，B 2，…B ｔ｝线性表出。因此 秩（A ＋B ）＝秩｛A 1+B 1，A 2+B 2，…，A n +B n ｝≤秩｛A 1，A 2，…，A ｒ，B 1，B 2，…B ｔ｝≤r+t ，即秩（A+B ）≤秩（A ）+秩（B ）。 命题2：设A 为数域P 上的n 阶方阵，若A 2=E ，证明秩（A+E ）+秩（A －E ）＝n 。 证明： 矩阵进行初等变换后秩不变，最后的矩阵秩为n 。由此可得 秩（A+E ）+秩（A －E ）＝n 。 11111221m m 22112222m m m n11n22nm m B a B a B a B B a B a B a B B AB B a B a B a B +++???? ? ?+++ ? ?== ? ? ? ?+++???? L L M M L ，21 A+E A E 2 A E 0A E A E A E 2E 0A E 0A E 0A E 0-2E 02E 10A E (A E)(A E)A E 2=++-+-??????→→ ? ? ? ---?????? ??-?? ???????→???→ ? ?-+--???? 将二列的（）倍加到一列 。
求矩阵的秩的步骤 今天要讲的是关于矩阵秩的重要结论。关于矩阵的秩，讲三点，前两点是比较重要的，专门提出来强调一下，第三点是书上没有的一个重要的结论： 1、，也就是一个矩阵与另一个矩阵相乘后，新矩阵的秩一定不大于原矩阵。怎么证明呢，结合线性结合线性方程组的有解性来进行证明的，AB=C，已经说明了AX=C是有解的，而线性方程组的有解性与矩阵的秩的关系说明了R（A）=R（A，C），所以A的秩大于等于C的秩，再将此矩阵两边转置，再根据线性方程组的解与矩阵的秩间关系同理可得A的秩大于等于C的秩.当我们学习了与线性表示有关的系统性理论后对这个定理会有更直观的理解。 2、矩阵左乘列满秩矩阵后新矩阵的秩与原矩阵的秩一样，此结论希望引起大家重视，此结论就是同济大学第五版70页的例9，大家可以参照此过程。 3、给出一个关于矩阵的秩的一般性的结论， 上述是脱离了方程组单独讲的矩阵的秩的结论，而当秩与方程组结合时也有重要结论，对于方程组Ax=b 1、如果A是行满秩的矩阵，那么方程组要么有唯一解，要么有无穷
多解。 如果A是行满秩的矩阵，因为矩阵的列秩等于矩阵的行秩，所以矩阵的列秩等于矩阵的行数，所以矩阵的列向量的线性组合一定能得到所有该维数的列向量。怎么理解呢？比如A是2x4的矩阵，A的秩为2，那么组成A的四个列向量的秩为2，这四个列向量都是2维的，那这四个列向量是不是能线性组合成任意的二维列向量，所以一定有解。 A的形式要么是矮且胖要么是方阵（矩阵的列不可能小于矩阵的行数），如果矩阵A矮且胖的话，那么对线性方程组的约束的个数（矩阵的行数）小于未知数的个数，那就是无穷多解。矩阵A是方阵，根据克拉默法则我们也能得出是唯一解。 上面是我们根据我们对线性代数的直观理解做出的推导，那么这个结论怎么证明呢？
矩阵秩的8大性质: ①A,宀)冬mini加小I ; ③若A?叭则R(A) = K(B)j ④若可逆?则R(PAQ) = R(A), 下面再介绍几个常用的矩阵秩的性质： ⑤maxi R( A )>R(B)|^J R(A t B)^J R(A) + P (B), 特别地，当 B = b为非零列向量时，有 R(A)MR(A』)MR(A)+ 1. ⑦R(AB)^min{K(A)t K(B)|,(见下节定理7) ⑧若A…B“二0,则R(A) + R(B)Mm(见下章例13) 设AB= O■若A为列满秩矩阵，则B-0.
线性方程组的解: 定理3 H元线性方程组A x=& (i)无解的充分必要条件是K(A)CR(A』)； (ii)有惟一解的充分必要条件是R(A) = R(A,b)=n; (iii)有无限多解的充分必要条件是R(A) = R(A』)Cr?? 定理4 n元齐次线性方程组Ax=OW零解的充分必要条件是R(A)Cm ￡35翹方聽AE鬧械酬髓件默⑷=R(A" 定理6解方gAX=￡有解的充分必要条件是R(A) = R(A,B). 定理7 ?AB = C,则R(C)Wmin|R(A),R(B)h
向量组的线性相关性: 定鰹1向跖能由向量组严心线憐示的充分必要桑件是 j￡^A=(a H fl J1? 第五节：矩阵的秩及其求法 一、矩阵秩的概念 1. k 阶子式 定义1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的 阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。 例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式 矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而 为 A 的一个三阶子式。显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。 2. 矩阵的秩 定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A )。 规定： 零矩阵的秩为 0 . 注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 . (2) 有行列式的性质， (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } . (4) 如果 An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则 因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n . 二、矩阵秩的求法 1、子式判别法(定义)。 例1 设 为阶梯形矩阵，求R (B )。 解 由于 存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则 R (B ) = 2. 结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。 例如 一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数。 () n m ij a A ?={}),min 1(n m k k ≤≤?? ?? ? ? ?----=11 145641321A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1 1564321 3-=D n m ?k n k m c c () n m ij a A ?=0,r D ≠()(). T R A R A =0,A ≠0. A ≠?? ? ?? ??=000007204321B 0 2021≠????? ??=010*********A ????? ??=001021B ????? ??=10 010011 C 1 250 3400 0D ?? ? = ? ?? ?2 123508153000720 0E ?? ? ?= ? ??? ()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2 R D =()3 R E = 高等代数第二次大作业 1120133839 周碧莹30011303班 矩阵的秩的性质 1.阶梯型矩阵J的行秩和列秩相等，它们都等于J的非零行的数目；并且J的主元所在的列构成列向量的一个极大线性无关组。 2.矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。 证明：设矩阵A的行向量组是a 1，…,a s. 设A经过1型初等行变换变成矩阵B， 则B的行向量组是a 1，…,a i ,ka i +a j ,…,a s .显然a 1 ，…,a i ,ka i +a j ,…,a s 可以 由a 1，…,a s 线性表处。由于a j =1*(ka i +a j )-ka i ,因此a 1 ，…,a s 可以由 a 1，…,a i ,ka i +a j ,…,a s 线性表处。于是它们等价。而等价的向量组由相同的 秩，因此A的行秩等于B的行秩。 同理可证2和3型初等行变换使所得矩阵的行向量组与原矩阵的行向量组等价，从而不改变矩阵的行秩。 3.矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性。 证明：一是为什么初等行变换不改变列向量的线性相关性?二是列向量进行初等行变换后，为什么可以根据行最简形矩阵写出不属于极大无关组的向量用极大无关组表示的表示式? 第一个问题： 设α1，α2，…，αn是n个m维列向量，则它们的线性相关性等价于线性方程组AX=0(其中A=(α1，α2，…，αn)，X=(x1，x2，…，xn)T)是否有非零解，即α1，α2，…，αn线性相关等价于AX=0有非零解，α1，α2，…，αn 线性无关等价于AX=0只有零解。而对A进行三种行初等变换分别相当于对线性方程组中的方程进行：两个方程交换位置，对一个方程乘一个非零常数，将一个方程的常数倍对应加到另一个方程上。显然进行三种变换后所得方程组与原方程组同解，若设所得方程组为BX=0，则B即为对A进行行初等变换后所得矩阵。B 的列向量的线性相关性与BX=0是否有解等价，也就是与AX=0是否有解等价，即与A的列向量的线性相关性等价! 第二个问题以一个具体例子来说明。 例：设矩阵，求A的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示。 矩阵秩与矩阵运算之间的关系 要谈矩阵的秩，就得从向量组的秩说起，向量组的秩，简而言之就是其极大无关组里向量的个数。进而扩展到线性方程组，在线性方程组的概念中（课本P90）定理1说：“线性方程组有解的充要条件是，它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。” 那么不妨把矩阵用向量组的方式来看，则有行秩和列秩，一个矩阵的行秩和列秩相同，而其初等变换又不会改变秩。自然而然，我们就得到了一个判断矩阵秩的方法，就是将它转化为阶梯形矩阵，非零行数目即其秩。矩阵进一步发展就是运算了，包括数乘、加减、乘积等，又涉及到单位矩阵、三角矩阵、可逆矩阵以及矩阵的分块等概念，综合所学，我们得到如下性质： 1、矩阵的初等变换不改变秩，任一矩阵的行秩等于列秩。 2、秩为r的n级矩阵（），任意r+1阶行列式为0，并且至少有一个r阶子式不为0. 3、， 4、设A是矩阵，B为矩阵，则 5、设A是矩阵，P,Q分别是s,n阶可逆矩阵，则 6、设A是矩阵，B为矩阵，且AB=0，则 7、设A是矩阵，则 其中，也涉及到线性方程组解得问题： 8、对于齐次线性方程组，设其系数矩阵为A， 则方程组有惟一非零解，则有无穷多解，换言之，即为克莱姆法则，非齐次线性方程组有解时，惟一解， 有无穷多解。 还有满秩矩阵： 9、可逆满秩 10、行（列）向量组线性无关，即n级矩阵化为阶梯形矩阵后非零行数目为n。 扩展到矩阵的分块后： 11、 12、 证明： 1、先证明初等变换不会改变秩，就先从行秩开始。 设矩阵A的行向量组是，设A经过初等变换j+i*k变成矩阵B，则B 的行向量组是，显然， 可由线性表出，由于，因此也可由线性表出，于是它们等价，而等价向量组有相同的秩，因此A的行秩等于B的列秩。 容易证明，型和型初等变换亦使所得矩阵的行向量组与原矩阵等价， * * * * 学院 学生毕业论文 （ 2012 届） 题目（中文）矩阵的秩的性质与应用 （英文）The properties and applications of matrix rank 专业：数学与应用数学班级：姓名：学号: 指导教师： ****学院教务处制 ****学院教务处制 诚信声明 我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信. 毕业论文作者签名：签名日期：年月日 摘要：本文探讨了矩阵的秩的不变性，矩阵秩的Sylvester与 Frobenius 不等式及其等式成立的条件及应用，矩阵秩与矩阵运算的关 系，与矩阵可逆的关系，与向量组的线性相关、与零特征值代数重数的关系等一些性质．从而得到矩阵的秩在线性代数方面，解析几何，概率论等中的应用． 关键词：矩阵秩；矩阵秩不变性；矩阵秩不等式；矩阵秩恒等式； 线性方程组；零特征值代数重数；齐次线性方程组 Abstract: This article discuss the invariant of matrix rank, Sylvester and Frobenius inequality and the condition of its equality, and the relationship of matrix operations and matrix rank, the relation ship of invertible matrix and matrix rank, and the vectors of linear correlation, and zero Eigen valu e algebra and heavy number relation and so on. Thus we can obtain the rank of matrix’s applicatio n in linear algebra, analytic geometry, probability theory and so on. Keyword: matrix rank; invariance of matrix rank; rank of matrix inequalities; rank of matrix equal ities; linear equations; zero Eigen value algebra and heavy number; homogeneous linear equations . 目录 1 矩阵秩的性质 (2) 1.1矩阵的秩的不变性.......................................................................................... 2 1.2 矩阵的秩的一些基本性质........................................................................... 7 1.3矩阵的秩与矩阵的运算.................................................................................. 7 1.4 关于矩阵的秩的一些不等式等式及其应用................................................. 8 1.5 矩阵的秩与可逆........................................................................................... 12 矩阵的秩与特征值有什么关系 为讨论方便，设A为m阶方阵。 证明：设方阵A的秩为n，因为任何矩阵都可以通过一系列初等变换，变成形如 1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 0 ………………… 0 0 ... 1 0 0 0 ... 0 0 ………………… 0 0 ... 0 0 的矩阵，称为矩阵的标准形（注：这不是二次型的对称矩阵提到的标准形）。本题讨论的是方阵，就是可以通过一系列初等行变换的标准形为主对角线前若干个是1；其余的是若干个0以及除对角线以外的元素都是0。 设A的标准形为B。 因为“m×m阶矩阵构成的数域P上的线性空间”与“该线性空间上的全体线性变换在数域P上的线性空间”同构。所以研究得到线性空间的性质可以照搬到线性变换空间上应用，从同构的意义上说，他们是“无差别”的。（由于线性变换符号的字体不能单独以花体字体区别，所以用形如“线性变换A”，表示线性变换用形如“矩阵A”，表示线性变换的矩阵） 前面知识应该提到的内容： 一系列初等矩阵的乘积是非退化的，初等变换不改变矩阵的秩，初等变换是可逆的。所以矩阵B的秩（1的个数），就是矩阵A的秩，就是n。因为可逆且不改变秩，所以讨论矩阵B的情况，可以应用到矩阵A上。我们随即看到，如果线性变换B（或者说矩阵B）的秩是n，则线性变换B就是对线性空间的前n个基做恒等映射（因为基向量组没有秩序，我们取前n个不会有原则性的问题），后m-n个基做零变换，所构成的线性变换，线性变换B的特征多项式是(λ-1)^n，就可以快速找到n个线性无关的特征向量，这些特征向量直接取线性空间的前n 个基就可以了。 我们得到的结论是，线性变换B秩是多少，就一定找到有多少个线性无关的特征向量。因为一个特征向量只能属于一个特征值，所以有多少个线性无关的特征向量，就有多少个特征值（不管你的特征值是不是一样）。这里有n个1，都是一样的（从特征多项式也知道有n个重根）。因为非退化的线性替换不改变空间的维数，不改变矩阵的秩。 下面我们解释重根为什么按重数计算，对矩阵B做初等行变换，第i行乘以数域P上的数k≠1（当然，如果k=1纯属脱裤子放屁），我们的特征多项式变为(λ-1)^(n-1)*(λ-k)，其它初等变换相应类推。 借用学物理的思维，一个变换莫测的关系中，寻找守恒量是什么？这个是有意义的。而做这样的非退化的线性变换变换，虽然特征值会随之改变，但是守恒量是一定能找到n个线性无关的特征向量，其个数就是矩阵B（线性变换B）的秩是不变的。这样我们就发现了守恒量，至于属于不同特征向量的特征值是否相等，纯属巧合，无意义。有多少个碰巧相等的都无所谓，有多少个相等（相当于特征多项式的几次方），就当然重复计算。 目录 摘要 (1) Abstract (1) 前言 (1) 1.矩阵的秩的概念 (1) 2.秩的求法[]1 (2) 2.1子式判别法 (2) 2.2初等变换法 (2) 3．矩阵的秩的应用 (2) 3.1方程组与矩阵的秩 (2) 3.1.1判断齐次线性方程组有非零解[]3 (2) 3.1.2判断非齐次线性方程组的解 (3) 3.1.3线性方程组有解 (3) 3.2矩阵运算与矩阵的秩 (4) 3.2.1加法 (4) 3.2.2 乘法 (4) 3.3可逆矩阵与矩阵的秩 (4) 结束语 (5) 参考文献 (5) 浅谈矩阵的秩 摘 要: 矩阵的秩，是矩阵最重要的数字特征之一。矩阵的很多性质可以通过矩阵的秩来刻画。基于矩阵的秩在高等代数学中的重要性，本文系统总结了矩阵的秩的基本性质，求法及其应用。 关键词: 矩阵的秩；线性方程组；初等变换，可逆矩阵 Matrix rank Abstract: Matrix rank, it is one of the most important characteristics of digital matrix. Many properties of matrix rank of the matrix to depict. Based on the matrix rank in higher algebra, the importance of system in this paper summarizes the basic properties of the rank of matrix, the calculation methods and their applications. Keywords : matrix rank; System of linear equations; Elementary transformation, reversible matrix. 前言 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，也是应用数学研究的一个重要工具。矩阵的理论是线性代数的主要组成部分，也是线性方程组的理论基础。而在矩阵的理论中，矩阵的秩是一个基本的概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，它在初等变换下是一个不变量。它反映矩阵固有特性的一个重要概念。 1.矩阵的秩的概念 一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。所谓矩阵的行秩就矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩。矩阵的行秩等于矩阵的列秩，并统称为矩阵的秩，记作R （A ） 例如，矩阵 113102-14A=00050 000???????????? 的行向量组是 1α ＝（1,1,3,1） 2α ＝（0,2,-1,4） 3α ＝（0,0,0,5） 4α ＝（0,0,0,0） 可以证明，1α，2α，3α，是向量组1234αααα，，，的一个极大线性无关组，事实上，由 112233k k k ααα++=0可得1230k k k ===,这就证明了123ααα，，线性无关。因为4α是零向量，所以添上4α后就线性相关了。因而向量组的秩为3，即向量组的行秩为3。A 的列向量组是 1β=（1,0,0,0）， 2β=（1,2,0,0）， 3β=（3，-1,0，0）， 4β=（1,4,5,0）矩阵的秩及其求法
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