第二课时 极坐标与平面直角坐标的互化
一、 教学目标
掌握极坐标与直角坐标的互化
二、教学重点
对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解及运用
三、教学难点
极坐标与直角坐标的互化的运用
四、教学过程
1. 创设情境引入
Ｔ：上节课学习了极坐标,到现在就接触了两类坐标,直角坐标和极坐标.两类坐标之间有什么关系呢?他们之间又怎样换算?先来看下面的例子.
假设点M 在平面直角坐标系中的的坐标为(),x y ,现在以直角坐标的原点作为极点, ox 正半轴为极轴,建立极坐标系,假设点M 的极坐标为(),ρθ
则由三角函数的知识我们可以得到这样的关系: cos sin x y θθρρ??=??=?（这里注意解释点M 在不同象限也是成立的）
ρ=tan (0)y x x
θ=≠ 这里规定:0,02ρθπ≥≤<
Ｔ：于是直角坐标和极坐标之间就建立了以上的关系，根据这个关系我们就可以进行极坐标与直角坐标之间的就换算。
x
Ｔ：但同学们应该注意两种坐标之间满足上面的换算关系需要什么前提？
Ｔ：（１）极坐标的极点和直角坐标的原点相同；
（２）而极坐标的极轴与直角坐标的ｘ正半轴要相同；
（３）两坐标取相同的长度单位。
否则不能用上面的换算公式。
根据上面的换算公式来解一下例１
例1．（1）把点M 的极坐标)3
2,8(π化成直角坐标 （2）把点P 的直角坐标)2,6(-化成极坐标
例2．已知点A 的极坐标为2(8,)3
π，点B 的极坐标为 例3：在平面直角坐标系中，把下面的直线或者曲线的方程化成极坐标方程。 （１）235x y -=
（２）221y x +=
（３）2220ax y x +-=（有可能表示圆）
例题讲解过程：
练习1：把下例直角坐标方程化成极坐标方程(p24,7题，11题)
（１）1xy =；
（３）221y x -=;
(4) ()22222()a y y x x +=-
(5) cos sin 0x y p αα+-=
（过渡语）
T ：刚才这是将直角坐标方程化为极坐标方程，那么将极坐标方程化为直角坐标方程又
怎么化呢？来看下面的例子。
例3：将下面的直角坐标方程化为极坐标方程.
(1) =tan ρθ (2) 1=cos ρθ
(3) (2cos 3sin )3ρθθ-= (4) 312cos ρθ
=- 练习2：（p25，12题）
（1）24sin ρθ=；
（2）4sin cos ρθθ=-+
（3）cos()16π
ρθ-=
例4.已知曲线的极坐标方程1cos ep e ρθ=
-,求此曲线的直角坐标方程,其中e 与p 是正的常数.
用“地图法”实现电路图与实物图的转换 初中电学中根据实物连接图画出相应的电路图，或者根据电路图连接实物一直是一个难点。而这之中主要又难在并联电路。但在转换过程中若能适当运用“地图法”，使之一目了然，或许对电路图与实物连接图的转换将不再困难。本文试图通过几个实例针对并联电路对这一方法加以说明。串联电路的画图和实物连接相对简单，此处不作赘述。 一、 将实物连接图转换为电路图。 第一步，在图1中标出两个分叉点，即节点，并分别标为“甲”、“乙”。 第二步，将电路图看作“地图”，将“甲、乙”两点看作两地，将连有器件的导线看作路线，可以看出从甲地到乙地有三条线路可以通达。这三条线路分别为“甲→电源→S →乙”、“甲→L 1→S 1→乙”、“甲→L 2 →S 2→乙” 第三步，将三条线路用相应的三条平行线画出，并标明线路上的各个器件的名称，如图2所示。 第四步，将三条平行线的两端分别用竖线连接起来，如图3所示。这样电路图就画成了。 初学时，往往将对应的电路图画出和实物图相似的布局甚至不能做到电路图横平竖直，对于稍复杂的实物图又时常出现不能正确判断各个器件所处的相对位置，诸如某个开关究竟处于支路还是干路上，处于哪条支路上等。用这种方法画电路图可以有效地防止上述错误，且画出的图简洁、美观、明了。另外需要说明的是，三条平行的线路间的相对位置可以调换，因为这对并联电路的实质没有影响。 S 1 S S 图1 乙图2 甲 乙 甲 乙 甲 乙 图3
二、 根据电路图连接实物 例题二、根据图4所示的电路图将图5 中的实物用笔线代替导线连接起来。 第一步，由图4可知此为并联电路，于是将电路图看作图4’样式，得出三条“线路” 第二步，依据图4’，将图5 第三步，取三“串”线路的任一“串”将其两端分别标为“甲”、“乙”，如图5’’所示, 将另外两“串”的两端分别连到甲、乙两点 图4 图5 S 1 S 2 图4’ 甲 图5’’ S 2 图5’’’
直角坐标 直角坐标系在数学中应用广泛，是数学大厦最重要的根基之一。 在平面内画两条 直角坐标 直角坐标 互相垂直，并且有公共原点的数轴。其中横轴为X轴，纵轴为Y轴。这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系。 直角坐标中的点 直角坐标中的点 坐标：对于平面内任意一点C，过点分C别向X轴、Y轴作垂线，垂足在X 轴、Y轴上的对应点a,b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点C的坐标。坐标平面：坐标系所在平面。 坐标原点：两坐标轴的公共原点。 象限：X轴和Y轴把坐标平面分成四个象限，右上面的叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以数轴为界，横轴、纵轴上的点不属于任何象限。
极坐标 极坐标系 polar coordinates 在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP 的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P 点的极径，θ称为P点的极角。当限制ρ≥0，0≤θ<2π时，平面上除极点Ο以外，其他每一点都有唯一的一个极坐标。极点的极径为零，极角任意。若除去上述限制，平面上每一点都有无数多组极坐标，一般地，如果（ρ，θ）是一个点的极坐标，那么（ρ，θ+2nπ），（－ρ，θ+（2n+1）π），都可作为它的极坐标，这里n 是任意整数。平面上有些曲线，采用极坐标时，方程比较简单。例如以原点为中心，r为半径的圆的极坐标方程为ρ=r 等速螺线的极坐标方程为ρ=aθ 。此外，椭圆、双曲线和抛物线这3种不同的圆锥曲线，可以用一个统一的极坐标方程表示。 极坐标系到直角坐标系的转化： 在极坐标系与平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）间转换极坐标系中的两个坐标ρ和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值 x=ρcosθ y=ρsinθ 由上述二公式，可得到从直角坐标系中x和y两坐标如何计算出极坐标下的坐标θ=arctany/x ( x不等于0) 在x= 0的情况下：若y为正数θ= 90° (π/2 radians)；若y为负，则θ= 270° (3π/2 radians). 极坐标的方程 用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常表示为r为自变量θ的函数。 极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果r(?θ) = r(θ)，则曲线关于极点
电路连接练习（1） 1、按电路图，将实物连成电路. 2、根据图所示的电路图连接图所示的实物图 3、按电路图（甲）连接图（乙）： 4、按图所示的实物图画电路图： 5、按图所示的实物图画电路图：； 6、按图所示的实物图画电路图： 7、按图所示的实物图画电路图： 8、按图所示的实物图画电路图： 9、按图所示的实物图画电路图： 10、按图所示的实物图画电路图：》
11、按图所示的实物图画电路图： 12、按图所示的实物图画电路图： 13、按图所示的实物图画电路图： 14、按图所示的实物图画电路图： [ 15、按图所示的实物图画电路图：] : ？；
电路连接练习（2） 16、按图所示的实物图画电路图： ( 17、按图所示的实物图画电路图： 18、将下图中的元件连接起来，形成并联电路并标出电流的方向.（要求每个开关控制一个灯泡） 19、将下图中给出的元件用导线按要求连接起来，标出电流流动的方向： （1）用开关控制灯泡 （2）用开关控制电动机和发光二极管20、一节电池一个开关、两盏灯L1和L2要组成并联电路，还应再连接两根线就可以了。 ） 21、根据电路图连接实物图： 22、根据电路图连接实物图： 23、根据电路图连接实物图：
24 、 根据电路图 连接实物图： | 25、图B 所示的实物图画成电路图： 26、按图所示的实物图画电路图： 27、根据实物图 画出电路图； 28、根据实物图 画出电路图； 29、将下图中的元件连接起来，形成串联电路并标出电流的方向. { 30、某医院安装了一种呼唤电铃，使各病床的病人均可单独呼叫，只要一按床头的开关，值班室的电铃就响，且与该病床相对应的指示灯亮，请在图中画出正确的连接方法: :
1. B L2 L1 2. 3. 4. 5．如图所示，现有一个电池组、两个开关和两盏电灯，请你在接好下面的实物电路图，使S1闭合时L1亮，S2闭合时L2亮。
6．如下图所示，将所给的元件连接起来，要求L1、L2并联，电流表测干路电流，开关控 制整个电路，根据实物连接画电路图。 7．请你设计一个电路图，要求将L1、L2并联，开关S1作总开关，S2控制灯L2，电流表测A1测干路电流，电流表A2测L1所在支路电流，请按要求将下图中所画的实物连接好，并根据实物图画出电路图。 8．某同学用如图的连线来测灯泡L1的电流。 （1）在该图中，电流表的连接有什么错误？ （2）现要测L2灯的电流，但只允许变动原图中一根导线中一个端点的接线位置，应如何改动？ 9．如下图所示的电路盒，面板上有红、绿灯各一个，三个拨动开关S1、S2、S3。为了在不 打开盒子的情况下探究盒内的电路结构，小明做了多次实验并将结果填入下表。
只闭合的开关 S1S2S3S1、S2S 2、S3S1、S3S1、S2、S3灯的发光红灯不亮不亮不亮亮不亮不亮亮 情况绿灯不亮不亮不亮不亮亮不亮亮 根据上述实验情况，在虚线框内画出盒内的电路图。 10.为测小灯泡的电阻，给你如图7—9所示的器材，请你完成如下几个小题。 1．用笔画线代替导线完成电路的连接，并在方框中画出相应的电路图。 11.现有电源、开关、导线、两只灯泡和两只电流表，如图5-5-11所示，请你设计一个电路，要求：两只灯泡并联，两只电流表接入电路中，只要将开关闭合，就能测出干路电流和其中一条支路上的电流。 图5-5-11 图5-5-12 (1)画出你设计的电路图。 (2)按照你设计的电路将图5-5-12中的元件连接起来。(已知干路上的电流约0.56 A) 图7-9
第一课时 极坐标系与极坐标系互化作业 一、选择题 1．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为 ( )． A.? ????2，π4 B.? ????2，3π4 C.? ????2，5π4 D.? ????2，7π4 2、点M 的极坐标为?? ? ??35π，，下列所给出的坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。 A. 53，-?? ???π B. 543，π?? ??? C. 523，-?? ???π D. ?? ? ??-355π， 3．已知点M 的极坐标是? ????－2，－π6，它关于极轴的对称点坐标是 ( )． A.? ????2，11π6 B.?? ? ??67,2π C.? ????2，－π6 D.? ????－2，－11π6 4、 已知点()0,0,43,2,2,2O B A ?? ? ????? ??--ππ则ABO ?为（ ） A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、锐角等腰三角形 D 、直角等腰三角形 二、填空题 5．在极坐标系中，已知点A ? ????1，34π，B ? ?? ??2，π4，则A 、B 两点间的距离为_______． 6．已知点M 的直角坐标为(－3，－33)，若ρ>0，0≤θ<2π，则点M 的极坐标是________． 7．在极坐标系中，已知点P ? ????3，π3，则点P 在－2π≤θ<2π，ρ∈R 时的另外三种极坐标形式为__________ 8．极坐标系中，点A 的极坐标是? ????3，π6，则 (1)点A 关于极轴对称的点是________；(2)点A 关于极点对称的点的极坐标
是________；(3)点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是________．(规定ρ>0， θ∈[0，2π)) 三、解答题 9．(1)把点M 的极坐标? ????－5，π6化成直角坐标； (2)把点N 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标． 10．已知A 、B 两点的极坐标分别是? ????2，π3，? ?? ??4，5π6，求A 、B 两点间的距离和△AOB 的面积． 11．已知??? ??π32,5P ，O 为极点，求使'POP ?是正三角形的'P 点坐标。 参考答案： 1~4 B D B D 5、5_ 6、? ?? ??6，43π
L 1 L 2 S 1 图 7 实物图与电路图 转换 专题练习 一、根据要求用笔画线代替导线，将各题中的实物连接起来。 1、图1中灯泡L 1和L 2串联，开关控制两灯的通、断电。 2、图2中灯泡L 1和L 2并联，开关同时控制两灯的通、断电。 3、图3中灯泡L 1和L 2并联，开关S 1同时控制两灯，开关S 2只控制灯泡L 2。 4、图4、图5中灯泡L 1和L 2并联， S 是总开关， S 1只控制灯泡L 1， S 2只控制灯泡L 2。 6、图6、图 7、图 8、图 9、图10、图11、图12中两灯并联，S 是总开关，S 1只控制灯泡L 1，请将所缺的导线补上。 L 1 L 2 图 2 L 1 L 2 S 1 图 3 S 2 S 2 L 1 L 2 S 1 图 4 S S S 1 L 1 L 2 图 8 S 1 S L 1 L 2 图 6 L 1 L 2 S 1 S 2 S 图 5 图 9 S 1 S L 1 L 2 图 10 L 2 S 1 S L 1 S S 1 L 1 L 2 图 11 L 1 L 2 图 1
L 1 L 2 S L S 1 S 2 + － D 7、在图12中只接通开关S 时，两灯都亮，同时接通S 和S 1时L 1亮，L 2不亮。 8、在图13中，灯泡L 1和L 2并联， S 是总开关， S 1只控制灯泡L 1， S 2只控制灯泡L 2。 9、图14中在A 、B 两房间都能控制灯泡的通、断电。 10、图15中两灯泡并联，开关S 是总开关，电流表测通过L 1和L 2的总电流 11.请根据下表中给出的信息，用笔画线代替导线将图15中实物图补充连接成完整电路． 二、根据电路图连接实物图 1. 开关状态 灯泡发光情况 闭合S ，断开S 1、S 2 L 1、L 2均不发光 闭合S 、S l ，断开S 2 L 1发光、L 2不发光 闭合S 、S 2，断开S 1 L 1不发光、L 2发光 断开S ，闭合S 1、S 2 L 1、L 2均不发光 L 1 L 2 S 1 图12 S L 1 S S 2 L 2 S 1 图 13 图 14 图 15 B A 图15
《极坐标与直角坐标的互化》教学设计 一、教材分析 《极坐标与直角坐标的互化》是高中新教材人教版选修4-4第一讲第二节的内容，是在学生已经学习过平面极坐标系的前提下，通过生活实例、学生之间相互讨论进行探究，在老师的引导下自主完成极坐标与直角坐标的互化的公式，并进行极坐标与直角坐标的互化.为后面学习简单曲线的极坐标方程及参数方程奠定基础. 二、学情分析 通过前面对极坐标的学习，学生已经对极坐标系以及点的极坐标表示有了了解.用坐标表示方位的思想已经普遍存在于日常生活中，所以学生对于极坐标与直角坐标的互化学习应该很容易接受. 三、教学目标分析 1.知识与技能：能够写出极坐标平面内点的极坐标的表示；学生自己探究出平面内一点极坐标与平面直 角坐标的互化公式，能够利用互划公式解决相关习题. 2.过程与方法：通过自主探究体会数形结合、类比的数学思想方法；通过探究活动培养学生合作、观察、 分析、比较和归纳能力. 3.情感态度与价值观：通过数学家的浪漫故事引入，提升学生的学习兴趣，通过生活中的具体事例引入 极坐标与平面直角坐标的互化，使学生认识极坐标与平面直角坐标的互化来描述实际问 题的方便性及实用性，体验数学的实际应用价值.通过对问题的探究使学生享受到成功的 喜悦. 四、教学重难点： 重点：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式． 难点：实现极坐标和直角坐标之间的互化． 五、教学方法： 情境引入法，体会数学之美 实际问题设问，贴近生活 小组合作研究法，解决相关问题 谈话式教学法，老师提问学生回答
六、教学基本流程 七、教学过程 1、复习引入： 情境1：百岁山矿泉水广告 情境2： 17 世纪著名的法国哲数学家笛卡尔，美丽的瑞典公主拉夏贝尔的爱情故事引出心形曲线)sin 1(θρ-=a . 师生活动：讲述百岁山矿泉水广告里含有的故事，从而引出心型曲线，如果有学生知道就让学生来讲. 设计意图：情境引入，引起学生的兴趣，渗透数学史. 情境3： 每一年的四月都会在安宁区仁寿山举行“桃花节”,会吸引来自于各地的游客前去观赏，某天，一旅客到达 仁寿山顶入口处想去八卦台和寿台游览，但不认识路，刚巧遇到了两个当地人，分别询问了八卦台和寿仙 台的位置. 甲回答：从入口处向东走3200米，再向北走200米就到八卦台了. 乙回答：从入口处向东偏北?60方向走400米就到寿仙台了. 请问(1)甲、乙两人分别用到了什么数学思想回答旅客的问路？ (2)我们如何能知道这名从入口出发游览两处景点后再回到入口共走了多少路程呢？
电路图和实物图相互转化 一、选择题 1．如下图的四个电路中与下边的图对应的是（） 2．如图7(a)所示的实物图．与图7(b)所示电路对应的是（） 3．如图所示的四个电路图中，与实物图对应的是（） 4．以下电路图中与图实物图一致的是（） 5．小轿车上大都装有一个指示灯，用它来提醒司机车门是否关好。四个车门中只要有一个车门没关好(相当于一个开关断开)，该指示灯就会发光。图为几位同学设计的模拟电路图，你认为最符合上述要求的是（） 6．家用电冰箱的用电部分主要是电动压缩机和照明灯泡。其中，电动压缩机M受温控开关S1的控制，照明灯泡L受门控开关S2的控制，要求它们既能单独工作又能同时工作。图中是几个同学设计的家用电冰箱的电路图，其中符合要求的是（）
7．某大门控制电路的两把钥匙分别由两名工作人员保管，单把钥匙无法打开。图的电路中最为可行的是（） 8．教室里投影仪的光源是强光灯泡，发光时必须用风扇给予降温。为了保证灯泡不被烧坏，要求：带动风扇的电动机启动后，灯泡才能发光；风扇不转，灯泡不能发光。则在如图所示的四个电路图中符合要求的是（） 9．为保证司乘人员的安全，轿车上设有安全带未系提示系统。当乘客坐在座椅上时，座椅下的开关S1闭合，若未系安全带，开关S2断开，仪表盘上的指示灯将亮起；当系上安全带时，开关S2闭合，指示灯熄灭。下列设计最合理的电路图是（） 10．楼道里，夜间只是偶尔有人经过，电灯总是亮着会浪费电能。科研人员利用光敏材料制成“光控开关”，天黑时自动闭合，天亮时自动断开。利用声敏材料制成“声控开关”，当有人走动发出声音时，自动闭合，无人走动没有声音时，自动断开。若将这两个开关配合使用（如图），就可以使楼道灯变得“智能化”，这种“智能”电路正确的是:（） 11．如图所示，电冰箱内有一个通过冰箱门来控制的开关，当冰箱门打开时，开关闭合使冰箱内的照明灯点亮；当冰箱门关闭时，开关断开使冰箱内的照明灯熄灭。在图4的四个电路中，能正确表示冰箱开门状态下冰箱内照明电路的是:（）
第二课时 极坐标与平面直角坐标的互化 一、 教学目标 掌握极坐标与直角坐标的互化 二、教学重点 对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解及运用 三、教学难点 极坐标与直角坐标的互化的运用 四、教学过程 1. 创设情境引入 Ｔ：上节课学习了极坐标,到现在就接触了两类坐标,直角坐标和极坐标.两类坐标之间有什么关系呢?他们之间又怎样换算?先来看下面的例子. 假设点M 在平面直角坐标系中的的坐标为(),x y ,现在以直角坐标的原点作为极点, ox 正半轴为极轴,建立极坐标系,假设点M 的极坐标为(),ρθ 则由三角函数的知识我们可以得到这样的关系: cos sin x y θθ ρρ??=??=?（这里注意解释点M 在不同象限也是成立的） ρ,tan (0)y x x θ=≠ 这里规定:0,02ρθπ≥≤< Ｔ：于是直角坐标和极坐标之间就建立了以上的关系，根据这个关系我们就可以进行极坐标与直角坐标之间的就换算。 Ｔ：但同学们应该注意两种坐标之间满足上面的换算关系需要什么前提？ Ｔ：（１）极坐标的极点和直角坐标的原点相同； （２）而极坐标的极轴与直角坐标的ｘ正半轴要相同； （３）两坐标取相同的长度单位。 否则不能用上面的换算公式。 根据上面的换算公式来解一下例１ 例1．（1）把点M 的极坐标)3 2,8(π化成直角坐标 （2）把点P 的直角坐标)2,6(-化成极坐标 例2．已知点A 的极坐标为2(8,)3 π，点B 的极坐标为 例3：在平面直角坐标系中，把下面的直线或者曲线的方程化成极坐标方程。 （１）235x y -= x
（２）221y x += （３）2220ax y x +-=（有可能表示圆） 例题讲解过程： 练习1：把下例直角坐标方程化成极坐标方程(p24,7题，11题) （１）1xy =； （３）221y x -=; (4) ()22222()a y y x x +=- (5) cos sin 0x y p αα+-= （过渡语） T ：刚才这是将直角坐标方程化为极坐标方程，那么将极坐标方程化为直角坐标方程又怎么化呢？来看下面的例子。 例3：将下面的直角坐标方程化为极坐标方程. (1) =tan ρθ (2) 1=cos ρθ (3) (2cos 3sin )3ρθθ-= (4) 312cos ρθ =- 练习2：（p25，12题） （1）24sin ρθ=； （2）4sin cos ρθθ=-+ （3）cos()16π ρθ-= 例4.已知曲线的极坐标方程1cos ep e ρθ= -,求此曲线的直角坐标方程,其中e 与p 是正的常数.
实物图与电路图的转化方法 按照电路图连接实物图和将实物图的连接情况画成电路图，是初中电学中一项非常重要的实验技能，是同学们在学习电路知识时应该掌握的基本技能之一，下面向同学们介绍一种做好电路图和实物图转化题的好方法。 一.根据电路图连接实物图的方法通常情况下只要对照电路图，从电源正极出发，逐个顺次地将实物图中的各元件连接起来即可，而对于复杂的实物图的连接，我们可以分以下几步完成： （1）在电路图中任选一条单一的回路，并对照这个回路在实物图中将相应的元件连接好。 （2）对照电路图，把所选回路以外的元件分别补连到实物图的相应位置，在连入回路以外的元件时，要找出电路中电流的分流点和汇合点，将回路以外的元件连接在两点之间。这里要特别注意实物图中元件的连接顺序必须与电路图中各元件的顺序一致。 例1?请按照图1所示的电路图将图2中的实物元件连接起来。 图2 分析：首先在图1中任选一条单一的回路，我们可以选择电池、开关S和灯L2、L3所组成的电路，并按此回路在图2中将对应的实物依次连接起来，将电池的正极接L3的左端，L3的右端接L2的左端，L2的右端接S的右端，S的左端接电池的负极。然后对照图1,将漏选的灯L1、S1连接在分流点（L3的左端）和汇合点（L2的右端），即L1的左端接L3的左端，L1的右端接S1的左端，S1 的右端接L2的右端，这样整个电路就连接好了（如图3所示） 图3 小结： 以上连接实物图的方法，我们可以用一句话来概括：先找路、后连图、再补漏
连接实物图时，导线不要交叉，导线的端点必须接在各元件的接线柱上。 二.根据实物图画电路图的方法 根据实物图画电路图时要用规定的电路符号代替实物，按照实物的连接方式画 出规范的电路图。画电路图时要注意： （1） 电路图中各元件摆放的位置尽量与实物图中各元件位置相对应，这样便于 检查。 （2） 各电路元件摆放的位置要均匀、美观； （3） 交叉连接的导线，一定要在连接处画一个“黑点”。 例2.画出图4所示实物电路的电路图。 分析：这个电路包括了以下元件：电池，开关 S1、S2、S3,灯L1、L2，要想弄 清它们的连接关系，我们要从电源的正极出发，来分析一下电流的路径。 小结：依照实物连接图画电路图，同样也要弄清电流分流点和汇合点，画好电 路图后一 定要标明元件的符号（与实物相对应）。 电源正极-^ S J -*L 2的右端 由此我们可以根据以 上分析我们画出的电 路图（如图5所示） jp 」 图 4
电路图连接实物图的方法电路图中元件的连接方式有两种：电器串联，电器并联。在串联电路中，电路只有一条通路，从电源的正极开始，依次连接各个元件，直到电源的负极。在并联电路中，电路有多条支路，首先连一条元件比较多的支路，形成一个圈。把剩余的元件尽量都留在圈里或圈外，避免出现导线相交的现象。其次找到分点和合点。分点是靠近电源的正极，导线分岔的地方。合点是靠近电源的负极，导线汇合的地方。然后在从分点开始依次连接其它支路上的元件至合点。倘若有电压表，最后把电压表并联在要测的用电器两端（注意电压表正负接线柱的正确接法和量程的正确选择）。下面用并联电路来说明 例：按照电路图连接实物图 分析：电灯L1、L2是并联，根据并联电路中，电路有多条支路，首先连一条元件比较多的支路，形成一个圈。这个圈是有电源、开关S1、L1、电流表形成的，把它们依次连接起来如图3。把L2、S2甩在这个圈外如图3。在图1中，A点是导线分岔的地方，并且靠近电源的正极是分点，A点是在开关S1、L1之间，在实物图中分点和合点必须在接线柱上，图3中的对应点只能是在S1的左接线柱或L1的右接线柱。B点是导线汇合的地方，并且靠近电源的负极是合点。图3中的对应点只能是在电流表和负极之间，一般电源的正负极只接一根导线，所以汇合点在电流表的负接线柱上，从A出发依次连接S2、电灯L2至合点B，如图4
实物图画电路图的方法：在串联电路中，由实物图画电路图非常容易，从电源的正极开始，把元件依次连接至电源的负极。在并联电路中，由实物图画电路图的方法较难，其方法是首先找到分点和合点，分点和合点是在一个接线柱上接有两根或两根以上的导线，靠近电源正极的是分点，靠近电源负极的是合点。然后在分点和合点之间看并列接着几条支路（电压表可以看成一个支路），并列画出，在支路上先画出用电器，再画出开关或电流表。最后画出干路上的元件，补全电路。下面用实例说明并联电路中实物图画电路图的步骤。 例1：根据图1画出电路图 分析：如图1从电源的正极到电源的负极，电流有多条路径，故用电器是并联。A点接有两根导线并且靠近电源的负极，故A点是合点。B点接有两根导线并且靠近电源的正极，故B点是分点。AB两点之间有两条支路，上面的一条支路用电器是L1，下面一条支路用电器是L2，所以并列画出电灯L1和电灯L2，再在L1的左侧是电流表，L2的右侧是开关S2，最后再画出干路的元件S1和电源，补全电路图即可如图2。 例2：根据图1画出电路图
电路图与实物图的转换画法 两类题型 一、根据实物图画电路图 二、根据电路图连接实物图：先串后并、先并后串法 (一)根据实物图画电路图 要求：用规定的电路符号代替实物 (1）电路图中各元件摆放的位置尽量与实物图中各元件位置相对应，便于检查（2）各电路元件摆放的位置要均匀、美观 （3）交叉连接的导线一定要在连接处画一个黑点 一、根据实物图画电路图 方法一：先串后并 步骤一：顺着电流的方向，弄清各个元件的连接关系 步骤二：画好其中一条闭合回路 步骤三：弄清分流点和汇合点，把其它支路连接好后并入
方法二：先并后串 步骤一：顺着电流的方向，弄清各个元件的连接关系 步骤二：弄清分流点和汇合点，画好并联部分 步骤三：把干路与并联部分连接好 最后特别提示：标明元件的符号（与实物相对应）根据实物图画电路图练习一
根据实物图画电路图练习二 根据实物图画电路图练习三
根据实物图画电路图练习四 二、根据电路图连接实物图 方法一：先串后并 步骤一：连好其中一条回路。在电路图中任选一条单一的回路，对照这个回路在实物图中将相应的元件连接好。 步骤二：连接回路以外的元件。找出电路中电流的分流点和汇合点，对照电路图，将回路以外的元件一支一支地分别补连在实物图相应位置的两点之间。 特别注意： 1、实物图中元件的连接顺序必须与电路图中各元件的顺序一致 2、导线的端点必须接在各元件的接线柱上
方法二：先并后串 步骤一：连好并联部分。找出电路中电流的分流点和汇合点，对照电路图，将并联部分一支一支连接好后，把各支路在两点间并联。 步骤二：连接干路部分 根据电路图连接实物图练习一 根据电路图连接实物图练习二 根据电路图连接实物图练习三
极坐标和直角坐标的互化 1．极坐标系的概念 (1)定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的正方向． (3)图示： 2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ， θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O 的极坐标是(0， θ)，(θ∈R)，若点M 的极坐标是M (ρ，θ)，则点M 的极坐标也可写成M (ρ，θ＋ 2k π)(k ∈Z)． 若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标 ? ????x ＝ρcos θ， y ＝ρsin θＷ. (2)直角坐标化极坐标 ? ??? ?ρ2＝x 2＋y 2 ，tan θ＝y x (x ≠0).
1．极坐标系中，与点? ????3，π6相同的点是( ) A.? ????3，13π6 B.? ????3，－π6 C.? ????3，176π D.? ?? ??3，－5π6 解析：选A.因为极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z)表示同一个点，故选A. 2．关于极坐标系的下列叙述： ①极轴是一条射线； ②极点的极坐标是(0，0)； ③点(0，0)表示极点； ④点M ? ????4，π4与点N ? ????4，5π4表示同一个点； ⑤动点M (5，θ)(θ∈R)的轨迹是以极点为圆心，半径为5的圆．其中，所有正确的叙述的序号是________． 解析：结合极坐标系概念可知①③⑤正确，其中，②极点的极坐标应为(0，θ)，θ为任意实数，②不正确；④点M ，N 关于极点对称，所以不正确． 答案：①③⑤ 3．在极坐标系中，已知点A ? ? ???1， 5π12，B ? ????2，－7π12，则|AB |＝________． 解析：由于5π12与－7π 12的终边互为反向延长线，所以|AB |＝1＋2＝3. 答案：3 由极坐标确定点的位置 在极坐标系中，画出点A ? ? ???1， π4，B ? ????2，32π，C ? ????3，－π4，D ? ????4，194π. [解] 在极坐标系中先作出射线θ＝π 4， 再在射线θ＝π 4 上截取|OA |＝1， 这样可得到点A ? ?? ?? 1， π4. 同样可作出点B ? ????2， 3π2，C ? ????3，－π4. 由于194π＝3π4＋4π，故点D ? ????4，194π可写成D ? ????4，3π4，如图位置．
直角坐标与极坐标的区别 在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿。他的《流数法与无穷级数》，大约于1671年写成，出版于1736年。此书包括解析几何的许多应用，例如按方程描出曲线。书中创建之一，是引进新的坐标系。17甚至18世纪的人，一般只用一根坐标轴(x轴)，其y值是沿着与x轴成直角或斜角的方向画出的。牛顿所引进的坐标之一，是用一个固定点和通过此点的一条直线作标准，例如我们现在的极坐标系。牛顿还引进了双极坐标，其中每点的位置决定于它到两个固定点的距离。由于牛顿的这个工作直到1736年才为人们所发现，而瑞士数学家J. 贝努力利于1691年在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为J.贝努利是极坐标的发现者。J.贝努利的学生J.赫尔曼在1729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用，而且自由地应用极坐标去研究曲线。他还给出了从直角坐标到极坐标的变换公式。确切地讲，J.赫尔曼把,cos ,sin 当作变量来使用，而且用z，n和m来表示,cos 和sin。欧拉扩充了极坐标的使用范围，而且明确地使用三角函数的记号；欧拉那个时候的极坐标系实际上就是现代的极坐标系。有些几何轨迹问题如果用极坐标法处理，它的方程比用直角坐标法来得简单，描图也较方便。1694年，J.贝努利利用极坐标引进了双纽线，这曲线在18世纪起了相当大的作用。 极坐标系 在极坐标中，x被ρcosθ代替，y被ρsinθ代替。ρ=(x^2+y^2)^0.5 极坐标系是一个二维坐标系统。该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点——极点（相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点）的距离来表示。极坐标系的应用领域十分广泛，包括数学、物理、工程、航海以及机器人领域。在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用三角函数来表示。对于很多类型的曲线，极坐标方程是最简单的表达形式，甚至对于某些曲线来说，只有极坐标方程能够表示。[编辑本段]历史 主条目：三角函数的历史 众所周知，希腊人最早使用了角度和弧度的概念。天文学家喜帕恰斯（Hipparchus 190-120 BC）制成了一张求各角所对弦的弦长函数的表格。并且，曾有人引用了他的极坐标系来确定恒星位置。在螺线方面，阿基米德描述了他的著名的螺线，一个半径随角度变化的方程。希腊人作出了贡献，尽管最终并没有建立整个坐标系统。关于是谁首次将极坐标系应用为一个正式的坐标系统，流传着有多种观点。关于这一问题的较详尽历史，哈佛大学教授朱利安·卢瓦尔·科利奇的《极坐标系起源》[1][2]作了阐述。格雷瓜·德·圣-万桑特和博纳文图拉·卡瓦列里，被认为在几乎同时、并独立地各自引入了极坐标系这一概念。圣-万桑特在1625年的私人文稿中进行了论述并发表于1647年，而卡瓦列里在1635进行了发表，而后又于1653年进行了更正。卡瓦列里首次利用极坐标系来解决一个关于阿基米德螺线内的面积问题。布莱士·帕斯卡随后使用极坐标系来计算抛物线的长度。在1671年写成，1736年出版的《流数术和无穷级数》(en:Method of Fluxions)一书中，艾萨克·牛顿第一个将极坐标系应用于表示平面
实物图与电路图的转化法 先分析电路，不用着急连电源，先找那些用电器和电表是并联的，找哪些是串联的，最后连总电路。但是要注意一点：电流表和电压表的连接线柱不要接反了，否则的话要扣分的。一，根据电路图连接实物图时，一般有以下几个法： 1、先串后并法： 从电源正极开始，先连接电路中元件最多的一条支路，再将其他支路并联在此支路 上。 2、标号法： 从电源正极开始，先连接电路中元件最多的一条支路，再将其他支路并联在此支路 上。 3、标路径法： 当你看到一个电路图，你先识别时串联还是并联。 如果是串联，比如说一个电路依次是从正极到开关S到电器L1到用电器L2到负极，那么我们不妨先在草稿纸上写出电流的向：+ →S →L1 →L2 →—，然后根 据这个就可以依次连接实物图。 如果是并联，那么我们先分清楚电流从正极到负极有几条路，比如说一个并联电路，它的干路是从正极到开关S，支路一是从开关S1到用电器L1，支路二是从开关S2 到用电器L2，那么我们分别写出两条支路的电流向: + →S →S1 →L1 –和+ →S →S2 →L2 →-- , 然后找出相同的部分，那么这些相同的部分就是一条路了，再在不同德部分开始分 岔，这样连接实物图，很有效。 二、根据实物图画出电路图 根据实物图画出电路图是初中物理中常见的题目，在这里可做如下假设： (1)、导线像橡皮筋，可伸长可缩短，不会被扯断。 (2)、接点即可拆分，又可以合并。并且能够移动，只要不夸任电路元件。 (3)、电路元件可以挪动，只要不跨过任接点。 (4)、导线可以拆股，可并股。一般可以拆分多股，多股可以并为一股。
1、替换法、 将实物图中的元件用特定的符号替换下来，再将图形整理成规的电路图的一种法。 替换时要注意： (1)、必须用特定的符号代替电路元件； (2)、接线柱上的连接位置不能改变； (3)、电源极性、电表正负接线柱不能颠倒。 2、节点法： (1)、在实物图中将各元件用字母标好； (2)、从电源正极出发，找到一个节点（就像三岔路口一样，两条或三条或更多导线 交的一点），假定为A点。 (3)、从电源负极出发，找到一个支点，假定为B点； (4)、在A、B之间有电源的部分是干路，在A、B之间但没有电源的部分是支路； (5)画出干路，并标出A、B点； (6)、画出支路； (7)、对照实物图，按照从A点到B点的元件顺序画出第一条支路； (8)、用同样的法画出其他支路； (9)、检查整理，使电路图规、美观； 注：画图时，随时将画出的元件用字母表示。 （一）电流路径法 一. 根据电路图连接实物图的法
实物图与电路图之间的转化专题
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台江教务：6 教案纸 审批意见： 科目名称物理 课题实物图与电路图的转化学生姓名 任课教师温健平学生年级初三 授课日期年月日时至时授课形式□AA □AB 教学目的： 掌握实物图与电路图之间的转化方法 教学重点： 实物图与电路图之间的转化方法 教学难点： 实物图与电路图之间的转化方法 讲授内容 实物图与电路图的转化方法 按照电路图连接实物图和将实物图的连接情况画成电路图，是初中电学中一项非常重要的实验技能，是同学们在学习电路知识时应该掌握的基本技能之一，下面向同学们介绍一种做好电路图和实物图转化题的好方法。 一. 根据电路图连接实物图的方法 通常情况下只要对照电路图，从电源正极出发，逐个顺次地将实物图中的各元件连接起来即可，而对于复杂的实物图的连接，我们可以分以下几步完成： （1）在电路图中任选一条单一的回路，并对照这个回路在实物图中将相应的元件连接好。 （2）对照电路图，把所选回路以外的元件分别补连到实物图的相应位置，在连入回路以外的元件时，要找出电路中电流的分流点和汇合点，将回路以外的元件连接在两点之间。这里要特别注意实物图中元件的连接顺序必须与电路图中各元件的顺序一致。 例1. 请按照图1所示的电路图将图2中的实物元件连接起来。 分析：首先在图1中任选一条单一的回路，我们可 以选择电池、开关S和灯L2、L3所组成的电路，
并按此回路在图2中将对应的实物依次连接起来，将电池的正极接L3的左端，L3的右端接L2的左端，L2的右端接S的右端，S的左端接电池的负极。然后对照图1，将漏选的灯L1、S1连接在分流点（L3的左端）和汇合点（L2的右端），即L1的左端接L3的左端，L1的右端接S1的左端，S1的右端接L2的右端，这样整个电路就连接好了（如图3所示） 图3 小结： 以上连接实物图的方法，我们可以用一句话来概括：先找路、后连图、再补漏。连接实物图时，导线不要交叉，导线的端点必须接在各元件的接线柱上。 二. 根据实物图画电路图的方法 根据实物图画电路图时要用规定的电路符号代替实物，按照实物的连接方式画出规范的电路图。画电路图时要注意： （1）电路图中各元件摆放的位置尽量与实物图中各元件位置相对应，这样便于检查。 （2）各电路元件摆放的位置要均匀、美观； （3）交叉连接的导线，一定要在连接处画一个“黑点”。 例2. 画出图4所示实物电路的电路图。 分析：这个电路包括了以下元件：电池，开关S1、S2、S3，灯L1、L2，要想弄清它们的连接关系，我们要从电源的正极出发，来分析一下电流的路径。 由此我们可以根据以上 分析我们画出的电路图（如图5所示）。 小结：依照实物连接图画电路图，同样也要弄清电流分流点和汇合点，画好电路图后一定要标明元件的符号（与实物相对应）。 根据电路图连接实物图专项训练
极坐标与直角坐标互化 真题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
极坐标与直角坐标互化 姓名：___________班级：___________ 1.在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是() A． B． C． (1,0) D． (1，π) 2.圆ρ＝5cosθ－5sinθ的圆心坐标是() A． B． C． D． 3.极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲线为() A．一条直线 B．一个圆 C．一条直线和一个圆 D．无法判断 4.在极坐标系中,圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值是 ________． 5.在极坐标系中，点到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝6的距离为________． 6.已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为________． 7.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ,则曲线C的直角坐标方程为________． 8.在极坐标系中,过圆ρ＝6cosθ的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程____． 9.在极坐标系中,直线l的方程为ρsinθ＝3,点到直线l的距离为________． 10.已知直线的极坐标方程为ρsin＝,极点到该直线的距离是 _________． 11.已知极坐标系中，极点为O，将点A绕极点逆时针旋转得到点B，且OA＝OB，则点B的直角坐标为______________． 12.把曲线的极坐标方程ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为______________.
根据电路图连接实物图的方法 串联电路或简单电路，通常情况下只要对照电路图,用“电流流向法”从电源正极出发，顺着电流方向逐个顺次连接各实物元件，最后连到电源负极。 并联电路 方法一：先串后并，关键找分支点 对于较复杂的实物图(一般有并联元件）的连接，我们可以分成以下几步完成： 1、在电路图中任选一条支路，并将这个支路的元件与干路的元件连接好； 2、再找出电路中电流的分支点； 3、将回路以外的元件连接在两点之间。 特别注意：实物图中元件的连接顺序必须与电路图中各元件的顺序一致。方法二：先支路后干路须接在各元件的接线柱上。
以上连接实物图的方法，我们可以用一句话来概括：先找路、后连图、再补漏。连接实物图时，导线不要交叉，导线的端点必须接在各元件的接线柱上。 1.请你根据甲电路图连接乙实物图． 2.完成下列作图
（1）请将如图1实物图对应的电路图画在图2的虚线框内 （2）请按图3的电路图正确连接图4的实物图（电表都选用小量程）
3.根据图甲的实物图，在图乙中画出它的电路图，并标出电压表的正、负号接线柱． 4.按照如图所示的实物电路，画出对应的电路图． 5.根据图1所示的实际电路，在图2的虚线框内画出电路图．
6.按实物图在虚线框内画出对应的电路图 7.根据电路图1连接实物图2电路： 8.根据实物图，画出相应的电路图． 9.按照实物图1在图2中作出电路图．
10.在右边将实物图画电路图 11.（1）根据图1实物图在线框中画出对应的电路图．（2）请你根据图2电路图连接实物图． 12.请根据左边的实物图在右边的虚线框中画出相应的电路图
极坐标与直角坐标的互化
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第—课时教案 极坐标与直角坐标的互化 教学目标 知识U标：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式能力U标：会实现极坐标和直角坐标之间的互化 德育U标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二.教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系武的理解教学难点：互化 关系式的掌握 三、教学方法讲练结合四、教学工具无五、教学流程设计 教学 环节时间: 教学主题 教师活动学生活动 1
厂、复习引入：七 '悄境2：菴点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便「 悄境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便 问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？ 问题2：平面内的一个点的直角坐标是(1,73),这个点如何用极坐标表示? 学生回顾 理解极坐标的建立及极径和极角的儿何意义 正确画出点的位置，标出极径和极角，借助儿何意义归结到三角形中求解 二、讲解新课： 直角坐标系的原点0为极点，X轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的指教坐标与极坐标分别为(兀,刃和(/?,&),则 山三角函数的定义可以得到如下两 组公式： 7 p?=x~ +y? tan^ = — X J , X = QCOS0 y = Qsin& 说明1上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式2通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取0 W0W2;r。 3互化公式的三个前提条件 1.极点与直角坐标系的原点重合； 2.极轴与直角坐标系的X轴的正半轴重合; 3.两种坐标系的单位长度相同. 三.举例应用: 例1. (1)把点M的极坐标(&还)化成直角坐标 <2)把点P的直角坐标(“厂忑)化成极坐标 1