极坐标和直角坐标的互化
1．极坐标系的概念
(1)定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的正方向． (3)图示：
2．极坐标
(1)极坐标的定义：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，
θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．
(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O 的极坐标是(0，
θ)，(θ∈R)，若点M 的极坐标是M (ρ，θ)，则点M 的极坐标也可写成M (ρ，θ＋
2k π)(k ∈Z)．
若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系．
3．极坐标与直角坐标的互化公式
如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)．
(1)极坐标化直角坐标
?
????x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θＷ. (2)直角坐标化极坐标
?
???
?ρ2＝x 2＋y 2
，tan θ＝y
x (x ≠0).
1．极坐标系中，与点?
????3，π6相同的点是( )
A.? ????3，13π6
B.? ????3，－π6
C.? ????3，176π
D.? ??
??3，－5π6
解析：选A.因为极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z)表示同一个点，故选A. 2．关于极坐标系的下列叙述：
①极轴是一条射线； ②极点的极坐标是(0，0)； ③点(0，0)表示极点；
④点M ? ????4，π4与点N ?
????4，5π4表示同一个点； ⑤动点M (5，θ)(θ∈R)的轨迹是以极点为圆心，半径为5的圆．其中，所有正确的叙述的序号是________．
解析：结合极坐标系概念可知①③⑤正确，其中，②极点的极坐标应为(0，θ)，θ为任意实数，②不正确；④点M ，N 关于极点对称，所以不正确．
答案：①③⑤
3．在极坐标系中，已知点A ?
?
???1，
5π12，B ?
????2，－7π12，则|AB |＝________． 解析：由于5π12与－7π
12的终边互为反向延长线，所以|AB |＝1＋2＝3.
答案：3
由极坐标确定点的位置
在极坐标系中，画出点A ?
?
???1，
π4，B ? ????2，32π，C ?
????3，－π4，D ? ????4，194π. [解] 在极坐标系中先作出射线θ＝π
4，
再在射线θ＝π
4
上截取|OA |＝1，
这样可得到点A ? ??
??
1，
π4. 同样可作出点B ?
????2，
3π2，C ?
????3，－π4. 由于194π＝3π4＋4π，故点D ? ????4，194π可写成D ?
????4，3π4，如图位置．
(1)由极坐标确定点的位置的方法
建立极坐标系―→作出极角的终边―→以极点为圆心，以极径为半径分别画弧―→确定点的位置．
(2)由极坐标确定点的位置应注意的问题
由极坐标确定点的位置，常常首先由θ的值确定射线(方向)，再由ρ的值确定位置．如果θ的值不在[0，2π)范围内，先根据θ＝θ0＋2k π(k ∈Z)确定出θ0∈[0，2π)的值再确定方向．
1.在极坐标系中，下列各点中与?
?
?
??
2，
π6不表示同一个点的是( ) A.?
????2，－
116π B ．? ????2，136π C.? ????2，116π D ．?
????2，－236π 解析：选C.与极坐标? ????2，π6相同的点可以表示为? ????2，π6＋2k π(k ∈Z)，只有?
????2，116π不合适．
2．如图，在极坐标系中， (1)作出以下各点：
A (5，0)，
B ? ?
???
3，π6，C ? ?
???
4，3π2，D ?
?
???
2，－3π2.
(2)求点E ，F 的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，θ∈R)．
解：(1)如图，在极坐标系中，点A ，B ，C ，D 的位置是确定的．
(2)由于点E 的极径为4，在θ∈[0，2π)内，极角θ＝
7π
6
，又点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，θ∈R)，
所以点E 的极坐标为?
??
??
4，2k π＋
7π6(k ∈Z)． 同理，点F 的极坐标为? ??
??3，2k π＋2π3(k ∈Z)． 点的极坐标与直角坐标的互化
(1)分别将下列点的极坐标化为直角坐标．
①? ????4，π4；②? ??
??2，53π.
(2)分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)． ①(－1，1)；②(4，－43)；
③? ????3π2
，3π2；④(－6，－2)． [解] (1)①ρ＝4，θ＝π
4，
所以x ＝ρcos θ＝4cos π
4
＝22，
y ＝ρsin θ＝4sin π
4
＝22，
所以点(4，π
4)的直角坐标为(22，22)．
②因为x ＝2cos 5π3＝1，y ＝2sin 5π
3
＝－ 3.
所以点? ??
??2，
5π3的直角坐标为(1，－3)．
(2)①ρ＝(－1)2
＋12
＝2，tan θ＝－1，θ∈[0，2π)， 由于点(－1，1)在第二象限，所以θ＝3π
4
，
所以点(－1，1)的极坐标为?
??
??
2，
3π4. ②ρ＝42＋(－43)2
＝8，tan θ＝－434＝－3，θ∈[0，2π)，由于点(4，－43)
在第四象限，所以θ＝5π
3
，
所以点(4，－43)的极坐标为?
??
??
8，
5π3.
③ρ
＝
? ????3π22＋? ????3π22
＝32π2，tan θ＝3π
23π2
＝1，θ∈[0，2π)，由于点? ????3π2，3π2在第一象限，所以θ＝π4，所以点? ????3π2，3π2的极坐标为? ????32π2
，π4. ④ρ＝(－6)2＋(－2)2
＝22，tan θ＝－2－6＝33
，
θ∈[0，2π)，由于点(－6，－2)在第三象限，
所以θ＝7π6，所以点(－6，－6)的极坐标为?
????22，7π6.
(1)点的极坐标化为直角坐标的方法
将极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x ，y )的公式是x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ. (2)点的直角坐标化为极坐标的方法
将直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的公式是ρ2
＝x 2
＋y 2
，tan θ＝y x
(x ≠0)，在利用此公式时要注意ρ和θ的取值范围．
1.点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( )
A.? ????2，π4
B.? ????2，3π4
C.? ????2，5π4
D.? ????2，7π4
解析：选B.点P (－2，2)在第二象限，与原点的距离为2，且与极轴夹角为3π
4.
2．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．
(1)已知点A 的极坐标?
??
??
4，
5π3，求它的直角坐标； (2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标(ρ＞0，0≤
θ＜2π)．
解：(1)因为x ＝ρcos θ＝4·cos
5π
3
＝2. y ＝ρsin θ＝4sin
5π
3
＝－2 3. 所以A 点的直角坐标为(2，－23)． (2)因为ρ＝x 2
＋y 2
＝22
＋(－2)2
＝22， tan θ＝
－2
2
＝－1.且点B 位于第四象限内，
所以θ＝7π4，所以点B 的极坐标为? ????22，7π4. 又因为x ＝0，y ＜0，所以ρ＝15，θ＝3
2π.
所以点C 的极坐标为?
??
??
15，
3π2. 极坐标系中的对称问题和距离问题
(1)A ，B 两点的极坐标分别为A ?
????5，
π3，B ?
????2，－π6，则A ，B 两点的距离为|AB |＝________．
(2)设点A ?
??
??
2，
π3，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴，直线l ，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π<θ≤π)．
[解] (1)如图所示，|OA |＝5，|OB |＝2，∠AOB ＝π3－(－π6)＝π
2.
所以|AB |＝|OA |2
＋|OB |2
＝5＋4＝3.故填3.
(2)如图所示，关于极轴的对称点为B ?
??
??2，－
π3.
关于直线l 的对称点为C ? ??
??2，23π. 关于极点O 的对称点为D ?
????2，－23π. 四个点A ，B ，C ，D 都在以极点为圆心，2为半径的圆上．
(1)极坐标系中点的对称问题
点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)或(ρ，2π－θ)；关于极点的对称点是(ρ，π＋θ)；关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点是(ρ，π－θ)．
(2)极坐标系中两点间的距离问题
求极坐标系中两点间的距离应通过由这两点和极点O 构成的三角形求解，也可以运用
两点间距离公式|AB |＝ρ21＋ρ2
2－2ρ1ρ2cos(θ1－θ2)求解，其中A (ρ1，θ1)，B (ρ2，
θ2)，注意当θ1＋θ2＝2k π(k ∈Z)时，|AB |＝|ρ1－ρ2|.当θ1＋θ2＝2k π＋π(k ∈Z)时，
|AB |＝|ρ1＋ρ2|.
1.点M 的极坐标是?
????－2，－π6，它关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是( )
A.? ????2，11π6 B ．? ????－2，7π6 C.? ????2，－π6 D ．? ??
??－2，－11π6
解析：选B.因为ρ＝－2<0，所以找点(－2，－π6)时，先找到角－π
6的终边，再在其
反向延长线找到离极点2个单位的点，就是(－2，－
π6)，如图，故M ?
????－2，－π6关于直线θ＝π
2
的对称点为M ′?
??
??
2，π6，但是选项没有这样的坐标．又因为M ′?
??
??
2，π6
的坐标还可
以写成M ′?
??
??
－2，
7π6，故选B.
2．已知M ?
????5，
5π6，N ?
????8，－17π6，则|MN |＝________． 解析：因为N ?
????8，－17π6也可写为N ?
????8，7π6，
所以|MN |＝82＋52
－2×8×5cos ? ????7π6
－5π6＝64＋25－80cos π
3
＝7.
答案：7
3．极坐标系中，分别求下列条件下点M ?
?
?
??
3，
π3关于极轴的对称点M ′的极坐标： (1)ρ≥0，θ∈[0，2π)；(2)ρ≥0，θ∈R.
解：因为M ?
??
??
3，
π3与M ′(ρ，θ)关于极轴对称， 所以ρ＝3，θ＝－π
3
＋2k π(k ∈Z)．
(1)当θ∈[0，2π)时，θ＝5π3
， 所以M ′(3，
5π
3
)． (2)当θ∈R 时，M ′(3，2k π－
π
3
)(k ∈Z)．
1．对极坐标系的理解
(1)在平面上建立一个极坐标系时，四个要素(极点；极轴；长度单位；角度单位及它的正方向)缺一不可．
(2)一般地，不作特别说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．其中极点的极径ρ＝0，极角θ可取任意值．
(3)极坐标系下的点与它的极坐标不是一一对应关系，一个点可以有多个极坐标．可统一表示为(ρ，θ＋2k π)，其中ρ≥0，k ∈Z.
2．极坐标与直角坐标的区别与联系
(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件是①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴非负半轴重合；③两种坐标系中取相同的长度单位．
(2)由ρ2
＝x 2
＋y 2
确定ρ时，ρ不取负值；由tan θ＝y
x
(x ≠0)确定θ时，根据点(x ，
y )所在的象限取最小正角．当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝y
x
按上述方法确定．当x ＝0
时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：
①当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值； ②当x ＝0，y >0时，θ＝π
2；
③当x ＝0，y <0时，θ＝3
2
π.
1．极坐标系中，点A (2 016，2 017π)的直角坐标为( )
A ．(2 016，π)
B ．(2 016，0)
C ．(0，2 016)
D ．(－2 016，0)
解析：选D.因为ρ＝2 016，θ＝2 017π，所以x ＝ρcos θ＝2 016cos π＝－2 016，
y ＝ρsin θ＝2 016sin 2 017π＝2 016sin π ＝2 016×0＝0，所以A 点的直角坐标为A (－2 016，0)．
2．极坐标系中，极轴的反向延长线上一点M 与极点的距离为2，则点M 的极坐标的下列表示：①(2，0)；②(2，π)；③(2，－π)；④(2，2k π)(k ∈Z)．
其中，正确表示的序号为____________． 解析：因为|OM |＝2，即ρ＝2， 又M 点在极轴反向延长线上，
所以θ＝π＋2k π(k ∈Z)，当k ＝0时，θ＝π，当k ＝－1时，θ＝－π. 所以M 点的极坐标为(2，π)或(2，－π)． 答案：②③
3．(1)把点A 的极坐标?
?
?
??
2，
7π6化成直角坐标； (2)把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标．(ρ＞0，0≤θ＜2π)． 解：(1)x ＝2cos
7π
6
＝－3， y ＝2sin
7π
6
＝－1， 故点A 的直角坐标为(－3，－1)． (2)ρ＝12
＋(－3)2
＝2，tan θ＝
－3
1
＝－ 3. 又因为点P 在第四象限且0≤θ＜2π，得θ＝5π
3.
因此点P 的极坐标是?
??
??2，
5π3. 4．在极坐标系中，如果A ?
????2，π4，B ? ????2，5π4为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C
的极坐标．
解：点A ，B 的直角坐标分别为(2，2)，(－2，－2)，设点C 的直角坐标为(x ，
y )，由△ABC 为等边三角形，
故|BC |＝|AC |＝|AB |，
得(x ＋2)2
＋(y ＋2)2
＝(x －2)2
＋(y －2)2
＝(2＋2)2
＋(2＋2)2
.
即???(x －2)2＋(y －2)2＝16，(x ＋2)2＋(y ＋2)2
＝16，
解得??
?x ＝6，y ＝－6或???x ＝－6，
y ＝ 6.
点C 的直角坐标为(6，－6)或(－6，6)， 故ρ＝6＋6＝23，tan θ＝－1， 故θ＝7π4或3π
4
.
故点C 的极坐标为? ????23，7π4或? ??
??23，3π4.
[A 基础达标]
1．点M 的直角坐标是(3，－1)，在ρ≥0，0≤θ<2π的条件下，它的极坐标是( )
A.? ????2，11π6 B ．? ????2，5π6 C.? ????3，π6 D ．?
????2，11π6
解析：选A.ρ＝ x 2
＋y 2
＝3＋1＝2，
tan θ＝y x ＝－13
＝－33.
又因为点(3，－1)在第四象限，且0≤θ<2π. 所以θ＝11π6，所以M 点的极坐标是? ????2，11π6.
2．在极坐标系中，已知A ?
?
???2，π6，B ?
????6，－π6，则OA ，OB 的夹角为( ) A.
π6 B ．0 C.π3 D ．5π
6
解析：选C.OA 与OB 的夹角∠AOB ＝π6－? ????－π6＝π
3，故选C.
3．在极坐标系中，已知点P 1?
????6，
π4，P 2? ??
??8，3π4，则|P 1P 2|等于( ) A ．9 B ．10 C ．14 D ．2 解析：选B.因为∠P 1OP 2＝3π4－π4＝π
2，
所以△P 1OP 2为直角三角形，由勾股定理可得 |P 1P 2|＝OP 2
1＋OP 2
2＝62
＋82
＝10，故选B.
4．在极坐标系中，点?
????2，π3和圆(x －1)2＋y 2
＝1的圆心的距离为( )
A. 3 B ．2 C.
1＋π
2
9
D ．
4＋π2
9
解析：选A.法一：因为(x －1)2
＋y 2
＝1的圆心坐标为(1，0)，化为极坐标是(1，0)， 所以点(2，π
3
)到圆心的距离
d ＝ρ21＋ρ2
2－2ρ1ρ2cos(θ1－θ2)＝
22＋12
－2×2×1×cos π3
＝4＋1－2＝ 3.
法二：将点(2，π
3)化为直角坐标是(1，3)
又(x －1)2
＋y 2
＝1的圆心的坐标是(1，0)，
所以点(2，π3)到圆心的距离d ＝(1－1)2＋(3－0)2
＝ 3.
5．在极坐标系中，点M ?
?
???3，
π12关于直线θ＝π
4
(ρ∈R)对称的点的一个极坐标是( ) A.? ????3，π6 B ．? ????3，π3 C.? ????3，5π12 D ．?
????3，7π12
解析：选C.如图所示，设点M 关于直线θ＝π
4(ρ∈R)对称的点为N ，则|ON |＝|OM |，
∠xON ＝
π4＋π4－π12＝5π12，所以点N 的极坐标为?
????3，5π12.
6．已知A ，B 两点的极坐标为? ????6，π3，? ??
??8，
4π3，则线段AB 中点的直角坐标为____________．
解析：因为A ，B 两点的极坐标为?
????6，
π3，?
????8，4π3， 所以A ，B 两点的直角坐标是(3，33)，(－4，－43)， 所以线段AB 中点的直角坐标是? ????－1
2，－32.
答案：? ????－1
2
，－32
7．极坐标系中，点A 的极坐标是?
?
?
??
3，
π6，则 (1)点A 关于极轴的对称点的极坐标是________；
(2)点A 关于极点的对称点的极坐标是________；
(3)点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是________．(本题中规定
ρ＞0，θ∈[0，2π))
解析：(1)点A ? ????3，π6关于极轴的对称点的极坐标为? ????3，11π6；
(2)点A 关于极点的对称点的极坐标为?
??
??
3，
7π6； (3)点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标为?
????3，5π6.
答案：(1)?
?
???3，
11π6 (2)? ????3，7π6 (3)? ??
??3，5π6
8．平面直角坐标系中，若点P ? ????3，7π2经过伸缩变换?
????x ′＝2x ，y ′＝13y 后的点为Q ，则极坐标系中，极坐标与Q 的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于________．
解析：因为点P ? ????3，7π2经过伸缩变换?
????x ′＝2x ，y ′＝13y 后的点为Q ? ????6，7π6，则极坐标系中，
极坐标与Q 的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于6?
??
?
??
sin
7π6＝3. 答案：3
9．在极坐标系中，O 为极点，已知两点M ，N 的极坐标分别为? ????4，2π3，? ????2，π4，求
△MON 的面积．
解：sin ∠MON ＝sin ? ????2π3－π4＝sin 2π3cos π4－cos 2π3·sin π4
＝
32×22＋12×22＝6＋2
4
. 故S △MON ＝12×4×2×6＋2
4＝3＋1.
10．已知定点P ?
?
?
??4，
π3. (1)将极点移至O ′?
??
??
23，
π6处极轴方向不变，求P 点的新坐标； (2)极点不变，将极轴顺时针转动
π
6
角，求P 点的新坐标． 解：(1)设P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO ′|＝23，|OP |＝4，∠
POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6
，
所以∠POO ′＝
π6
. 在△POO ′中，ρ2
＝42
＋(23)2
－2·4·23·cos π
6
＝16＋12－24＝4，所以ρ＝2. 又因为
sin ∠OPO ′23
＝sin ∠POO ′
2，
所以sin ∠OPO ′＝
sin
π6
2·23＝
32，所以∠OPO ′＝π3
. 所以∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π
3，
所以∠PP ′x ＝
2π3.所以∠PO ′x ′＝2π
3
. 所以P 点的新坐标为?
?
?
??
2，
2π3. (2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)，
则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π
2.
所以P 点的新坐标为(4，π
2
)．
[B 能力提升]
11．设点P 对应的复数为－3＋3i ，以原点为极点，实轴的正半轴为极轴，则点P 的极坐标为( )
A.?
????23，π4 B ．? ????2，π4 C.? ????32，3π4 D ．? ??
??2，2k π＋3π4(k ∈Z)
解析：选C.因为点P 对应的复数为－3＋3i ，
所以点P 的直角坐标为(－3，3)，点P 到原点的距离为32，且点P 在第二象限的角平分线上，故极角等于3π4，故点P 的极坐标为?
????32，3π4，选C. 12．已知两点的极坐标为A ?
?
???3，π2，B ? ??
??
3，π6，则|AB |＝________，直线AB 的倾斜角为________．
解析：在极坐标系Ox 中作出点A ? ????3，π2和B ?
????3，π6，如图所示，
则|OA |＝|OB |＝3，∠AOx ＝π2，∠BOx ＝π6
， 所以∠AOB ＝π
3
.
所以△AOB 为正三角形，从而|AB |＝3，直线AB 的倾斜角为π－? ????π2－π3＝5π
6
.
答案：3
5π
6
13．如果对点的极坐标定义如下：
当已知M (ρ，θ)(ρ>0，θ∈R)时，点M 关于极点O 的对称点M ′(－ρ，θ)． 例如，M ? ????3，π3关于极点O 的对称点M ′? ????－3，π3，就是说? ????3，π3＋π与? ????－3，π3表示的就是同一点．
已知A 点的极坐标是?
?
?
??
6，
5π3，分别在下列给定条件下，写出A 点的极坐标： (1)ρ>0，－π<θ≤π. (2)ρ<0，0≤θ<2π. (3)ρ<0，－2π<θ≤0.
解：如图所示，|OA |＝|OA ′|＝6，
∠xOA ′＝
2π3，∠xOA ＝5π3
， 即点A 与A ′关于极点O 对称． 由极坐标的定义知
(1)当ρ>0，－π<θ≤π时，A ? ????6，－π3.
(2)当ρ<0，0≤θ<2π时，A ? ????－6，2π3. (3)当ρ<0，－2π<θ≤0时，A ? ??
??－6，－4π3.
14．(选做题)某大学校园的部分平面示意图为如图所示的矩形．
其中|OC |＝600 m ．建立适当的极坐标系，写出点C 与点F 的极坐标并求点C 到点F 的直线距离．
解：以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系，如图所示．
由|OC |＝600，∠AOC ＝
π6，所以点C 的极坐标为?
????600，π6，
由图形得|OF |＝|OD |＝|AC |＝600×sin π
6
＝300(m)． 所以点F 的极坐标为(300，π)． 在△COF 中，∠COF ＝π－π6＝5
6π.
根据余弦定理，得 |CF |＝
|OC |2＋|OF |2
－2|OC |·|OF |·cos 56
π
＝
6002＋3002
－2×600×300×? ??
??－
32 ＝3005＋23(m)．
所以点C 到点F 的直线距离为3005＋2 3 m.
直角坐标 直角坐标系在数学中应用广泛，是数学大厦最重要的根基之一。 在平面内画两条 直角坐标 直角坐标 互相垂直，并且有公共原点的数轴。其中横轴为X轴，纵轴为Y轴。这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系。 直角坐标中的点 直角坐标中的点 坐标：对于平面内任意一点C，过点分C别向X轴、Y轴作垂线，垂足在X 轴、Y轴上的对应点a,b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点C的坐标。坐标平面：坐标系所在平面。 坐标原点：两坐标轴的公共原点。 象限：X轴和Y轴把坐标平面分成四个象限，右上面的叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以数轴为界，横轴、纵轴上的点不属于任何象限。
极坐标 极坐标系 polar coordinates 在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP 的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P 点的极径，θ称为P点的极角。当限制ρ≥0，0≤θ<2π时，平面上除极点Ο以外，其他每一点都有唯一的一个极坐标。极点的极径为零，极角任意。若除去上述限制，平面上每一点都有无数多组极坐标，一般地，如果（ρ，θ）是一个点的极坐标，那么（ρ，θ+2nπ），（－ρ，θ+（2n+1）π），都可作为它的极坐标，这里n 是任意整数。平面上有些曲线，采用极坐标时，方程比较简单。例如以原点为中心，r为半径的圆的极坐标方程为ρ=r 等速螺线的极坐标方程为ρ=aθ 。此外，椭圆、双曲线和抛物线这3种不同的圆锥曲线，可以用一个统一的极坐标方程表示。 极坐标系到直角坐标系的转化： 在极坐标系与平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）间转换极坐标系中的两个坐标ρ和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值 x=ρcosθ y=ρsinθ 由上述二公式，可得到从直角坐标系中x和y两坐标如何计算出极坐标下的坐标θ=arctany/x ( x不等于0) 在x= 0的情况下：若y为正数θ= 90° (π/2 radians)；若y为负，则θ= 270° (3π/2 radians). 极坐标的方程 用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常表示为r为自变量θ的函数。 极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果r(?θ) = r(θ)，则曲线关于极点
第一课时 极坐标系与极坐标系互化作业 一、选择题 1．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为 ( )． A.? ????2，π4 B.? ????2，3π4 C.? ????2，5π4 D.? ????2，7π4 2、点M 的极坐标为?? ? ??35π，，下列所给出的坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。 A. 53，-?? ???π B. 543，π?? ??? C. 523，-?? ???π D. ?? ? ??-355π， 3．已知点M 的极坐标是? ????－2，－π6，它关于极轴的对称点坐标是 ( )． A.? ????2，11π6 B.?? ? ??67,2π C.? ????2，－π6 D.? ????－2，－11π6 4、 已知点()0,0,43,2,2,2O B A ?? ? ????? ??--ππ则ABO ?为（ ） A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、锐角等腰三角形 D 、直角等腰三角形 二、填空题 5．在极坐标系中，已知点A ? ????1，34π，B ? ?? ??2，π4，则A 、B 两点间的距离为_______． 6．已知点M 的直角坐标为(－3，－33)，若ρ>0，0≤θ<2π，则点M 的极坐标是________． 7．在极坐标系中，已知点P ? ????3，π3，则点P 在－2π≤θ<2π，ρ∈R 时的另外三种极坐标形式为__________ 8．极坐标系中，点A 的极坐标是? ????3，π6，则 (1)点A 关于极轴对称的点是________；(2)点A 关于极点对称的点的极坐标
是________；(3)点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是________．(规定ρ>0， θ∈[0，2π)) 三、解答题 9．(1)把点M 的极坐标? ????－5，π6化成直角坐标； (2)把点N 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标． 10．已知A 、B 两点的极坐标分别是? ????2，π3，? ?? ??4，5π6，求A 、B 两点间的距离和△AOB 的面积． 11．已知??? ??π32,5P ，O 为极点，求使'POP ?是正三角形的'P 点坐标。 参考答案： 1~4 B D B D 5、5_ 6、? ?? ??6，43π
《极坐标与直角坐标的互化》教学设计 一、教材分析 《极坐标与直角坐标的互化》是高中新教材人教版选修4-4第一讲第二节的内容，是在学生已经学习过平面极坐标系的前提下，通过生活实例、学生之间相互讨论进行探究，在老师的引导下自主完成极坐标与直角坐标的互化的公式，并进行极坐标与直角坐标的互化.为后面学习简单曲线的极坐标方程及参数方程奠定基础. 二、学情分析 通过前面对极坐标的学习，学生已经对极坐标系以及点的极坐标表示有了了解.用坐标表示方位的思想已经普遍存在于日常生活中，所以学生对于极坐标与直角坐标的互化学习应该很容易接受. 三、教学目标分析 1.知识与技能：能够写出极坐标平面内点的极坐标的表示；学生自己探究出平面内一点极坐标与平面直 角坐标的互化公式，能够利用互划公式解决相关习题. 2.过程与方法：通过自主探究体会数形结合、类比的数学思想方法；通过探究活动培养学生合作、观察、 分析、比较和归纳能力. 3.情感态度与价值观：通过数学家的浪漫故事引入，提升学生的学习兴趣，通过生活中的具体事例引入 极坐标与平面直角坐标的互化，使学生认识极坐标与平面直角坐标的互化来描述实际问 题的方便性及实用性，体验数学的实际应用价值.通过对问题的探究使学生享受到成功的 喜悦. 四、教学重难点： 重点：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式． 难点：实现极坐标和直角坐标之间的互化． 五、教学方法： 情境引入法，体会数学之美 实际问题设问，贴近生活 小组合作研究法，解决相关问题 谈话式教学法，老师提问学生回答
六、教学基本流程 七、教学过程 1、复习引入： 情境1：百岁山矿泉水广告 情境2： 17 世纪著名的法国哲数学家笛卡尔，美丽的瑞典公主拉夏贝尔的爱情故事引出心形曲线)sin 1(θρ-=a . 师生活动：讲述百岁山矿泉水广告里含有的故事，从而引出心型曲线，如果有学生知道就让学生来讲. 设计意图：情境引入，引起学生的兴趣，渗透数学史. 情境3： 每一年的四月都会在安宁区仁寿山举行“桃花节”,会吸引来自于各地的游客前去观赏，某天，一旅客到达 仁寿山顶入口处想去八卦台和寿台游览，但不认识路，刚巧遇到了两个当地人，分别询问了八卦台和寿仙 台的位置. 甲回答：从入口处向东走3200米，再向北走200米就到八卦台了. 乙回答：从入口处向东偏北?60方向走400米就到寿仙台了. 请问(1)甲、乙两人分别用到了什么数学思想回答旅客的问路？ (2)我们如何能知道这名从入口出发游览两处景点后再回到入口共走了多少路程呢？
第二课时 极坐标与平面直角坐标的互化 一、 教学目标 掌握极坐标与直角坐标的互化 二、教学重点 对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解及运用 三、教学难点 极坐标与直角坐标的互化的运用 四、教学过程 1. 创设情境引入 Ｔ：上节课学习了极坐标,到现在就接触了两类坐标,直角坐标和极坐标.两类坐标之间有什么关系呢?他们之间又怎样换算?先来看下面的例子. 假设点M 在平面直角坐标系中的的坐标为(),x y ,现在以直角坐标的原点作为极点, ox 正半轴为极轴,建立极坐标系,假设点M 的极坐标为(),ρθ 则由三角函数的知识我们可以得到这样的关系: cos sin x y θθ ρρ??=??=?（这里注意解释点M 在不同象限也是成立的） ρ,tan (0)y x x θ=≠ 这里规定:0,02ρθπ≥≤< Ｔ：于是直角坐标和极坐标之间就建立了以上的关系，根据这个关系我们就可以进行极坐标与直角坐标之间的就换算。 Ｔ：但同学们应该注意两种坐标之间满足上面的换算关系需要什么前提？ Ｔ：（１）极坐标的极点和直角坐标的原点相同； （２）而极坐标的极轴与直角坐标的ｘ正半轴要相同； （３）两坐标取相同的长度单位。 否则不能用上面的换算公式。 根据上面的换算公式来解一下例１ 例1．（1）把点M 的极坐标)3 2,8(π化成直角坐标 （2）把点P 的直角坐标)2,6(-化成极坐标 例2．已知点A 的极坐标为2(8,)3 π，点B 的极坐标为 例3：在平面直角坐标系中，把下面的直线或者曲线的方程化成极坐标方程。 （１）235x y -= x
（２）221y x += （３）2220ax y x +-=（有可能表示圆） 例题讲解过程： 练习1：把下例直角坐标方程化成极坐标方程(p24,7题，11题) （１）1xy =； （３）221y x -=; (4) ()22222()a y y x x +=- (5) cos sin 0x y p αα+-= （过渡语） T ：刚才这是将直角坐标方程化为极坐标方程，那么将极坐标方程化为直角坐标方程又怎么化呢？来看下面的例子。 例3：将下面的直角坐标方程化为极坐标方程. (1) =tan ρθ (2) 1=cos ρθ (3) (2cos 3sin )3ρθθ-= (4) 312cos ρθ =- 练习2：（p25，12题） （1）24sin ρθ=； （2）4sin cos ρθθ=-+ （3）cos()16π ρθ-= 例4.已知曲线的极坐标方程1cos ep e ρθ= -,求此曲线的直角坐标方程,其中e 与p 是正的常数.
极坐标和直角坐标的互化 1．极坐标系的概念 (1)定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的正方向． (3)图示： 2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ， θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O 的极坐标是(0， θ)，(θ∈R)，若点M 的极坐标是M (ρ，θ)，则点M 的极坐标也可写成M (ρ，θ＋ 2k π)(k ∈Z)． 若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标 ? ????x ＝ρcos θ， y ＝ρsin θＷ. (2)直角坐标化极坐标 ? ??? ?ρ2＝x 2＋y 2 ，tan θ＝y x (x ≠0).
1．极坐标系中，与点? ????3，π6相同的点是( ) A.? ????3，13π6 B.? ????3，－π6 C.? ????3，176π D.? ?? ??3，－5π6 解析：选A.因为极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z)表示同一个点，故选A. 2．关于极坐标系的下列叙述： ①极轴是一条射线； ②极点的极坐标是(0，0)； ③点(0，0)表示极点； ④点M ? ????4，π4与点N ? ????4，5π4表示同一个点； ⑤动点M (5，θ)(θ∈R)的轨迹是以极点为圆心，半径为5的圆．其中，所有正确的叙述的序号是________． 解析：结合极坐标系概念可知①③⑤正确，其中，②极点的极坐标应为(0，θ)，θ为任意实数，②不正确；④点M ，N 关于极点对称，所以不正确． 答案：①③⑤ 3．在极坐标系中，已知点A ? ? ???1， 5π12，B ? ????2，－7π12，则|AB |＝________． 解析：由于5π12与－7π 12的终边互为反向延长线，所以|AB |＝1＋2＝3. 答案：3 由极坐标确定点的位置 在极坐标系中，画出点A ? ? ???1， π4，B ? ????2，32π，C ? ????3，－π4，D ? ????4，194π. [解] 在极坐标系中先作出射线θ＝π 4， 再在射线θ＝π 4 上截取|OA |＝1， 这样可得到点A ? ?? ?? 1， π4. 同样可作出点B ? ????2， 3π2，C ? ????3，－π4. 由于194π＝3π4＋4π，故点D ? ????4，194π可写成D ? ????4，3π4，如图位置．
直角坐标与极坐标的区别 在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿。他的《流数法与无穷级数》，大约于1671年写成，出版于1736年。此书包括解析几何的许多应用，例如按方程描出曲线。书中创建之一，是引进新的坐标系。17甚至18世纪的人，一般只用一根坐标轴(x轴)，其y值是沿着与x轴成直角或斜角的方向画出的。牛顿所引进的坐标之一，是用一个固定点和通过此点的一条直线作标准，例如我们现在的极坐标系。牛顿还引进了双极坐标，其中每点的位置决定于它到两个固定点的距离。由于牛顿的这个工作直到1736年才为人们所发现，而瑞士数学家J. 贝努力利于1691年在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为J.贝努利是极坐标的发现者。J.贝努利的学生J.赫尔曼在1729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用，而且自由地应用极坐标去研究曲线。他还给出了从直角坐标到极坐标的变换公式。确切地讲，J.赫尔曼把,cos ,sin 当作变量来使用，而且用z，n和m来表示,cos 和sin。欧拉扩充了极坐标的使用范围，而且明确地使用三角函数的记号；欧拉那个时候的极坐标系实际上就是现代的极坐标系。有些几何轨迹问题如果用极坐标法处理，它的方程比用直角坐标法来得简单，描图也较方便。1694年，J.贝努利利用极坐标引进了双纽线，这曲线在18世纪起了相当大的作用。 极坐标系 在极坐标中，x被ρcosθ代替，y被ρsinθ代替。ρ=(x^2+y^2)^0.5 极坐标系是一个二维坐标系统。该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点——极点（相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点）的距离来表示。极坐标系的应用领域十分广泛，包括数学、物理、工程、航海以及机器人领域。在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用三角函数来表示。对于很多类型的曲线，极坐标方程是最简单的表达形式，甚至对于某些曲线来说，只有极坐标方程能够表示。[编辑本段]历史 主条目：三角函数的历史 众所周知，希腊人最早使用了角度和弧度的概念。天文学家喜帕恰斯（Hipparchus 190-120 BC）制成了一张求各角所对弦的弦长函数的表格。并且，曾有人引用了他的极坐标系来确定恒星位置。在螺线方面，阿基米德描述了他的著名的螺线，一个半径随角度变化的方程。希腊人作出了贡献，尽管最终并没有建立整个坐标系统。关于是谁首次将极坐标系应用为一个正式的坐标系统，流传着有多种观点。关于这一问题的较详尽历史，哈佛大学教授朱利安·卢瓦尔·科利奇的《极坐标系起源》[1][2]作了阐述。格雷瓜·德·圣-万桑特和博纳文图拉·卡瓦列里，被认为在几乎同时、并独立地各自引入了极坐标系这一概念。圣-万桑特在1625年的私人文稿中进行了论述并发表于1647年，而卡瓦列里在1635进行了发表，而后又于1653年进行了更正。卡瓦列里首次利用极坐标系来解决一个关于阿基米德螺线内的面积问题。布莱士·帕斯卡随后使用极坐标系来计算抛物线的长度。在1671年写成，1736年出版的《流数术和无穷级数》(en:Method of Fluxions)一书中，艾萨克·牛顿第一个将极坐标系应用于表示平面
极坐标与直角坐标互化 真题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
极坐标与直角坐标互化 姓名：___________班级：___________ 1.在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是() A． B． C． (1,0) D． (1，π) 2.圆ρ＝5cosθ－5sinθ的圆心坐标是() A． B． C． D． 3.极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲线为() A．一条直线 B．一个圆 C．一条直线和一个圆 D．无法判断 4.在极坐标系中,圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值是 ________． 5.在极坐标系中，点到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝6的距离为________． 6.已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为________． 7.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ,则曲线C的直角坐标方程为________． 8.在极坐标系中,过圆ρ＝6cosθ的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程____． 9.在极坐标系中,直线l的方程为ρsinθ＝3,点到直线l的距离为________． 10.已知直线的极坐标方程为ρsin＝,极点到该直线的距离是 _________． 11.已知极坐标系中，极点为O，将点A绕极点逆时针旋转得到点B，且OA＝OB，则点B的直角坐标为______________． 12.把曲线的极坐标方程ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为______________.
极坐标与直角坐标的互化
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第—课时教案 极坐标与直角坐标的互化 教学目标 知识U标：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式能力U标：会实现极坐标和直角坐标之间的互化 德育U标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二.教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系武的理解教学难点：互化 关系式的掌握 三、教学方法讲练结合四、教学工具无五、教学流程设计 教学 环节时间: 教学主题 教师活动学生活动 1
厂、复习引入：七 '悄境2：菴点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便「 悄境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便 问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？ 问题2：平面内的一个点的直角坐标是(1,73),这个点如何用极坐标表示? 学生回顾 理解极坐标的建立及极径和极角的儿何意义 正确画出点的位置，标出极径和极角，借助儿何意义归结到三角形中求解 二、讲解新课： 直角坐标系的原点0为极点，X轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的指教坐标与极坐标分别为(兀,刃和(/?,&),则 山三角函数的定义可以得到如下两 组公式： 7 p?=x~ +y? tan^ = — X J , X = QCOS0 y = Qsin& 说明1上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式2通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取0 W0W2;r。 3互化公式的三个前提条件 1.极点与直角坐标系的原点重合； 2.极轴与直角坐标系的X轴的正半轴重合; 3.两种坐标系的单位长度相同. 三.举例应用: 例1. (1)把点M的极坐标(&还)化成直角坐标 <2)把点P的直角坐标(“厂忑)化成极坐标 1
极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化 一、直角坐标的伸缩 设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：的作用下，点P(x ，y)对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩? ??>='>='）（）（0,0,μμλλy y x x 变换，简称伸缩变换．平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换Error!下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆（重点考察）． 【强化理解】 1．曲线C 经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：x 2+y 2=1，则曲线C 的方程为（ ） A ． B ． C ． D ．4x 2+9y 2=1 【解答】解：曲线C 经过伸缩变换①后，对应曲线的方程为：x ′2+y ′2=1②， 把①代入②得到：故选：A 2、在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1． 【解答】解：设变换为φ：可将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1． {x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），) 将4x 2＋9y 2＝36变形为＋＝1， x 29y 24 比较系数得λ＝，μ＝． 1312
所以将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的，{x ′＝13x ， y ′＝12 y ．)1312可得到圆x ′2＋y ′2＝1． 亦可利用配凑法将4x 2＋9y 2＝36化为＋＝1，与x ′2＋y ′2＝1对应项比较即可得(x 3)2 (y 2)2 {x ′＝x 3，y ′＝y 2．)二、极坐标 1.公式： （1）极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点M 直角坐标(),x y 极坐标(),ρθ 互化 公式 cos sin x y ρθρθ=??=? ()222tan 0x y y x x ρθ?=+??=≠?? 已知极坐标化成直角坐标 已知直角坐标化成极坐标 2.极坐标与直角坐标的转化 （1）点：有关点的极坐标与直角转化的思路 A ：直角坐标(),x y 化为极坐标(),ρθ的步骤 ①运用()222 tan 0x y y x x ρθ?=+??=≠?? ②在[)0,2π内由()tan 0y x x θ= ≠求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．
第三课时 极坐标与直角坐标的互化 一、教学目的： 知识目标：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式 能力目标：会实现极坐标和直角坐标之间的互化 德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解 教学难点：互化关系式的掌握 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一）、复习引入： 情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便; 情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便 问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？ 问题2：平面内的一个点的直角坐标是)3,1(，这个点如何用极坐标表示？ 学生回顾 理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义 正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解 （二）、讲解新课： 直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相 同的长度单位。平面内任意一点P 的指教坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ， 则由三角函数的定义可以得到如下两组公式： {θρθ ρsin cos ==y x { x y y x =+=θρtan 222 说明1、上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式 2、通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取 ρ≥0，0≤θ≤π2。 3、互化公式的三个前提条件 （1）. 极点与直角坐标系的原点重合 ;
（2）. 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合; （3）. 两种坐标系的单位长度相同. （三）、举例应用： 例1、【课本P10页例2题】 把下列点的极坐标化成直角坐标：（1）A(2,34π) (2)B(4, 143π) (3)M(-5, 6π) (4)N(-3,- π). 学生练习，教师准对问题讲评。 变式训练：在极坐标系中,已知),6 ,2(),6,2(ππ-B A 求A,B 两点的距离 反思归纳：极坐标与直角坐标的互化的方法。 例2、【课本P11页例3】若以极点为原点,极轴为x 轴正半轴,建立直角坐标系. (1) 已知A 的极坐标),3 5,4(π求它的直角坐标, (2) 已知点B 和点C 的直角坐标为)15,0()2,2(--和 求它们的极坐标.ρ(＞0,0≤θ＜2π) 学生练习，教师准对问题讲评。 变式训练：把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定ρ＞0,0≤θ＜π2) )4,3(),4,3(),2,0(),1,1(----D C B A 反思归纳：极坐标与直角坐标的互化的方法。 例3、如图是某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处，试以此点为极点建立坐标系，说出教学楼、体育馆、图书馆、实验楼、办公楼的极坐标来。（A 为教学楼、B 为体育馆、C 为图书馆、D 为实验楼、E 为办公楼。AB=60m 、AE=50m 、
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