直线的一般式方程
知识点一直线的一般式方程
1.若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( )
A ．A ≠0
B ．B ≠0
C ．A ·B ≠0
D ．A 2＋B 2≠0
答案 D
解析 要使Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，需A 、B 不同时为零(包括一个为0，另一个不为0)，显然A 、B 项均不满足，C 项中表示A 与B 同时不为零，也不满足，只有D 项正确．
2．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( )
A ．－2
B ．2
C ．－3
D ．3
答案 D
解析 由已知得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4
＝1，解得：m ＝3或m ＝2(舍去). 知识点二平行、垂直问题
3.直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则n 的值为( )
A ．－12
B ．－2
C ．0
D ．10
答案 A
解析 由两直线垂直得2m －20＝0，m ＝10，将(1，p )代入10x ＋4y －2＝0得p ＝－2，将(1，－2)代入2x －5y ＋n ＝0得2＋10＋n ＝0，n ＝－12.
4．已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )
A ．过点P 且与l 垂直的直线
B ．过点P 且与l 平行的直线
C ．不过点P 且与l 垂直的直线
D ．不过点P 且与l 平行的直线
答案 D
解析 ∵点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，∴Ax 0＋ By 0＋C ≠0，∴直线Ax ＋By ＋C
＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P .又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行．故选D.
知识点三直线一般式方程的应用
5.设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别确定m 的值：
(1)l 在x 轴上的截距是－3；
(2)斜率是1.
解 (1)由题意，得????? m 2－2m －3≠0， ①2m －6m 2－2m －3
＝－3， ② 由①式，得m ≠3且m ≠－1.
由②式，得3m 2－4m －15＝0，得m ＝3或m ＝－53.∴m ＝－53
. (2)由题意，得?
????
2m 2＋m －1≠0， ③m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1， ④由③式，得m ≠－1且m ≠12. 由④式，得3m 2－m －4＝0，得m ＝－1或m ＝43.∴m ＝43
. 6．求分别满足下列条件的直线l 的一般式方程；
(1)斜率是34
，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6； (2)经过两点A (1,0)，B (m,1)；
(3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．
解(1)设直线l 的方程为y ＝34
x ＋b .令x ＝0，得y ＝b . 令y ＝0，得x ＝－43b ，∴12???
?b ·????－43b ＝6，解得b ＝±3. ∴直线l 的方程为y ＝34
x ±3， 化为一般式为3x －4y ±12＝0.
(2)当m ≠1时，直线l 的方程是y －01－0＝x －1m －1，
即y ＝1
m －1·(x －1)；
当m ＝1时，直线l 的方程是x ＝1.
综上，所求直线l 的方程是x －(m －1)y －1＝0或x －1＝0.
(3)设l 在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b .
当a ≠0，b ≠0时，l 的方程为x a ＋y b ＝1.
∵直线过(4，－3)，∴4a －3b ＝1.
又∵|a |＝|b |，∴????? 4a －3b ＝1，a ＝±b .解得????? a ＝1，b ＝1或?????
a ＝7，
b ＝－7.
当a ＝b ＝0时，直线过原点且过(4，－3)，∴l 的方程为y ＝－34x .
综上所述，直线l 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0. 课堂练习：
7．直线2x ＋6y ＋1＝0的倾斜角是( )
A ．150°
B ．30°
C ．60°
D ．120°
答案 A
解析 直线的斜率k ＝－2
6＝－3
3，故其倾斜角为150°.
8．直线5x －2y －10＝0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则有( )
A ．a ＝2，b ＝5
B ．a ＝2，b ＝－5
C ．a ＝－2，b ＝5
D ．a ＝－2，b ＝－5
答案 B
解析 直线5x －2y －10＝0可以化为截距式方程x 2＋y
－5＝1，所以a ＝2，b ＝－5.
9．两直线l 1：mx －y ＋n ＝0和l 2：nx －y ＋m ＝0在同一坐标系中，则正确的图形可能是( )
直线中的对称问题—4类对称题型 直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨： 一、点关于点对称问题 解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础. 例1.求点（1）关于点的对称点的坐标, （2），关于点对称，求点坐标. 解：由题意知点是线段的中点, 所以易求（1） （2）. 因此，平面内点关于对称点坐标为 平面内点，关于点对称 二、点关于线对称问题 求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得. 例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标 解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程 ① 又与垂直，且斜率都存在即有② 由①②解得， 法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标. 三、线关于点对称问题 求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题. 例3．求直线：关于点的对称直线的方程. 解:法（一）直线：与两坐标轴交点为， 点关于对称点 点关于对称点 过的直线方程为，故所求直线方程为. 法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程. 四、线关于线的对称问题 求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程. 例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程. 解：在：上任取一点 直线的斜率为3
直线对称问题 直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称 点关于坐标轴的对称 一、点关于点的对称（运用中点坐标公式） 例1 已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （00y ,x ）。 练习 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标. 二、直线关于点的对称 求直线l ：0=++C By Ax 关于点()b a P ,对称的直线1l ，即设1l ：01=++C By Ax 。点P 到1l 的距离等于到l 得距离 求出1C 或者在l 上任取一点M 点M 关于点P 对称的点'M 必在1l 上 再将'M 代入1l 方程求出1C 。 ☆转化为点关于点对称的问题 例2 求直线04y x 3=--关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程 练习 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.
求点P 关于直线l 对称的点1P 的问题 必须抓住两个方面： 1，直线1PP 必定和l 垂直关系，有11 -=?l PP k k （k 存在） 2，1PP 的中点必在l 上 例3 求点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。 练习：求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标 四、直线关于直线的对称 分两种：1，关于平行直线的对称 求 0:11=++C By Ax l 关于直线0:=++C By Ax l 对称的直线2l 的方程 （1）设2l ：02=++C By Ax 再任取1l 上一点()b a P ,1 （2）求点()b a P ,1关于0:=++C By Ax l 对称点2P （3）将点2P 代入2l 的方程求出2C 例4 求直线042:1=--y x l 关于直线022:=+-y x l 对称的直线2l 的方程。 练习 求直线032:1=+-y x l 关于直线032:=--y x l 对称的直线2l 的方程。
直线关于直线对称问题的常用方法与技巧 对称问题是高中数学的比较重要内容，它的一般解题步骤是：1. 在所求曲线上选一点),(y x M ；2. 求出这点关于中心或轴的对称点),(00/y x M 与),(y x M 之间的关系；3. 利用0),(00=y x f 求出曲线0),(=y x g 。直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考。 例题：试求直线01:1=-+y x l 关于直线033:2=--y x l 对称的直线l 的方程。 解法1：（动点转移法） 在1l 上任取点))(,(2/ /l P y x P ?，设点P 关于2l 的对称点为),(y x Q ，则 ?????-+=++-=???? ????-=--=-+-+534359343103223//////y x y y x x x x y y y y x x 又点P 在1l 上运动，所以01=-+y x ，所以015 3435934=--++++-y x y x 。即017=--y x 。所以直线l 的方程是017=--y x 。 解法2：（到角公式法） 解方程组? ??==????=--=-+0103301y x y x y x 所以直线21,l l 的交点为A(1,0) 设所求直线l 的方程为)1(-=x k y ，即0=--k y kx ,由题意知，1l 到2l 与2l 到l 的角相等，则7 131313113=?+-=?-+k k k .所以直线l 的方程是017=--y x 。 解法3：（取特殊点法） 由解法2知，直线21,l l 的交点为A(1,0)。在1l 上取点P （2，1），设点P 关于2l 的对称点 的坐标为),(//y x Q ，则?????==???? ????-=--=-+-+575431210321223//////y x x y y x 而点A ，Q 在直线l 上，由两点式可求直线l 的方程是017=--y x 。 解法4：（两点对称法）
直线中的几类对称问题 对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略. 一、点关于点的对称问题 点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键. 例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标. 分析 易知B 是线段AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解. 解 由题意知，B 是线段AC 的中点，设点C （x ，y ），由中点坐标公式有???????+=+=2 45223x x ， 解得???==6 4y x ，故C （4，6）. 点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题有可以利用中点的性质AB=BC ，以及A ，B ，C 三点共线的性质去列方程来求解. 二、点关于直线的对称问题 点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上. 例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标. 分析 因为A ，A ′关于直线对称，所以直线l 是线段AA ′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口. 解 据分析，直线l 与直线AA ′垂直，并且平分线段AA ′，设A ′的坐标为（x ，y ），则AA ′的中点B 的坐标为133,,.2 21AA x y y k x '++-??= ?-?? 由题意可知，???????-=?? ? ??-?--=-+?++121130323221x y y x ， 解得??? ????-=-=51 53y x . 故所求点A ′的坐标为31,.55??-- ???
一、点关于点的对称问题 例1求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标. 练习：1求点A（-3，6）关于点B（2，3）对称的点C的坐标. 2已知点A(5,8),B(4,1),试求A点关于B点的对称点C的坐标. 二、点关于直线的对称问题 这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上. 例2求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标.
练习：3求A （4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______. 4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。 三、直线关于某点对称的问题 直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解. 例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程. 练习：2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程
四、直线关于直线的对称问题 直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程. 例5试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程. 练习：5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n的方程 五最值问题 1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB 的面积最小时直线l的方程;
一、点关于点的对称问题 例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标. 练习：1求点A （-3，6）关于点B （2，3）对称的点C 的坐标. 2已知点A(5,8),B(4,1),试求A 点关于B 点的对称点C 的坐标. 二、点关于直线的对称问题 这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上. 例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标. 练习：3求A （4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______. 4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。
三、直线关于某点对称的问题 直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解. 例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程. 练习：2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程 四、直线关于直线的对称问题 直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题. 例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程. 例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程.
练习：5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n的方程 五最值问题 的面积最小时直线l 1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB 的方程; 2. 若直线l过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l有（）条 A 1 B 2 C 3 D 4 （变式题：若面积为5呢，面积为1呢？） 3. 已知点A（2,5），B（4，-7），试在y轴上求一点P，使得|PA|+|PB|的值最小。 4.过点P(2,1) 作直线l分别交x轴、y轴于点A、B，求|PA|·|PB|取最小值时直线l的方程. 5.位于第一象限的点A在直线y=3x上，直线AB交x轴的正半轴于点C，已知点B（3,2），求△OAC面积的最小值，并求此时A点坐标
.对称问题 一、基础知识 1、 点关于点的对称 点(x,y)关于点(a,b)的对称点的坐标为(2a -x,2b -y) 事实上，点关于点的对称的对称中心恰恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。 2、点关于直线的对称点 由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线“，利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地： 设点(x 0,y 0)关于直线Ax+By+c=0的对称点(x ’,y’)，则???? ???=++++-=??? ??---02 210 '0' 0' 0'c y y B x x A B A x x y y 3、曲线关于点（中心），直线（轴）的对称问题的一般思想是用代入转移法。 （1）曲线f(x,y)=0关于点A(a,b)的对称曲线的方程是f(2a -x,2b -y)=0 （2）曲线f(x,y)=0关于直线Ax+By+c=0的对称曲线的求法： 设所求曲线上任一点P(x,y)关于直线Ax+By+c=0对称点P 0(x 0,y 0)，在已知曲线f(x,y)=0上， 满足f(x 0,y 0)=0，利用方程组???? ???=++++-=??? ??---02 210 '0' 0'0'c y y B x x A B A x x y y ，解得x 0,y 0，代入f(x 0,y 0)=0，从而得对称曲线方程。 4、常用的对称关系 点(a,b)关于x 轴的对称点(a,-b)，关于y 轴的对称点为(-a,b)，关于原点的对称点(-a,-b) 关于直线y=x 的对称点为(b,a)，关于直线y=-x 的对称点(-b,-a)，关于直线y=x+m 的对称点为(b -m,a+m),关于直线y=-x+m 的对称点(m -b,m -a). 二、题型剖析 [对称问题] 例1．（1）直线032=+-y x 关于定点)2,1(-M 1 对称的直线方程是（ ） A 。012=+-y x B 。052=+-y x C 。012=--y x C 。052=--y x 解：设点),(y x ''关于)2,1(-的对称点为),(y x ，则x x --='2，y y -='4。 ∴ 03)4()2(2=+----y x 即：052=+-y x ，故选B 。 【思维点拨】掌握点关于点对称的求法。
直线的一般式方程 知识点一直线的一般式方程 1.若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0 D ．A 2＋B 2≠0 答案 D 解析 要使Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，需A 、B 不同时为零(包括一个为0，另一个不为0)，显然A 、B 项均不满足，C 项中表示A 与B 同时不为零，也不满足，只有D 项正确． 2．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 答案 D 解析 由已知得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4 ＝1，解得：m ＝3或m ＝2(舍去). 知识点二平行、垂直问题 3.直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则n 的值为( ) A ．－12 B ．－2 C ．0 D ．10 答案 A 解析 由两直线垂直得2m －20＝0，m ＝10，将(1，p )代入10x ＋4y －2＝0得p ＝－2，将(1，－2)代入2x －5y ＋n ＝0得2＋10＋n ＝0，n ＝－12. 4．已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( ) A ．过点P 且与l 垂直的直线 B ．过点P 且与l 平行的直线 C ．不过点P 且与l 垂直的直线 D ．不过点P 且与l 平行的直线 答案 D 解析 ∵点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，∴Ax 0＋ By 0＋C ≠0，∴直线Ax ＋By ＋C
回顾: (1)点到直线距离公式：d 式； (2)两平行直线间的距离：Ax。By o C ；—2 2，注意：用该公式时应先将直线方程化为般V'A B d IC2C1, 注意 :运用此公式时直线方程要化成一般式, 并且X、Y项的系数要对应相等 有关知识： 1、直线互相垂直的条件：斜率存在，k1k2= — 1 2、 P1( xl, y1)、P2 ( x 2, y2 )的中点坐标为冬」,21 y￡ 2 2 3、点（x o, yo ）在直线 Ax + By + C = 0上的条件是Ax0 By0 C 0 对称问题：(中心对称、轴对称问题) 知识运用与题型研究： 一、点关于点对称 例1、已知点A(5,8) , B(-4 , 1)，试求A点关于B点的对称点C的坐标。 fll.己知点A(询，BH，1)?试求人点关于B点的楠点C的坐标， 解:设C(%y) 5+x 则』 —般用中点坐标公式解决这种对称问聽 设巩氐关于点M伍上)的対称点P石,则育 X =上肛一X- y=2b-y t 必修二直线对称问题 ? ? C (-13 j * 6) c * 解题要总中点公式的运用 特船点F董于氏点的对称点叭-兀,-灯
解题要点:」k ? = -1 AA 5中点在0上(L 沏楙｛由) 对称的直线Z 的方程。 三、点关于直线对称 例2?已知点A 的坐标为(4,4),直线啲方 程 为3叶2二0,求点A 关于直线啲 二、直线关于点对称 例3 ?求直线人;3叶40关于点P(2, J)对称的 直线(釣方程。 Y 解:设A(b y)为L 】上任意一点 则丄关于PfiWS 点A 在L 】上 .\3(4-x)-(-2-y)-4=0 ____ 即直线为3叶1(H) 解題要点： A 袪一J 吐的任意一点的对称点在吐； 法二：L1〃L2鞠葩櫥两鈕 迭三，厶〃匚 且團两直线等距。 四、直线关于直线对称 例4.试求直线“「尸2=0关于直线?2： 曰一1=0 y 四、直线关于直线对称 例4?试求直线4：x-y-2=O 关于直线 氏3p+3=0对称的直线「的方程。 解 尸》得P(?"#) 飞眄3“ 2 2 Q^x.y) 在Ljz 任取一点Q(ZO). 求其关于豪的对称点QU ，y) 「3?“ L? 四.直线关于直线对称 解题要点； y Q(2?o)，x 相镁于M 郴曲⑻加 <1)若两直线相交，先求交点P, 再在Ldt 収一点Q 求其对称点得另一点Q 两点式求L 方程 思考：若￡//缸如何求&关于￡的对称直线方程？ ￥ 宀⑴y) <2, 6) 对称点A 啲坐标。 解： 设 A (x,y) 3?节+学如 % 则L 】与L ：距克等于L 与 建立等量关系，解方程 求
直线的一般式方程 知识点一 直线的一般式方程 1.若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0 D ．A 2＋B 2≠0 2．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 知识点二 平行、垂直问题 3.直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则n 的值为( ) A ．－12 B ．－2 C ．0 D ．10 4．已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( ) A ．过点P 且与l 垂直的直线 B ．过点P 且与l 平行的直线 C ．不过点P 且与l 垂直的直线 D ．不过点P 且与l 平行的直线 知识点三 直线一般式方程的应用 5.设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别确定m 的值： (1)l 在x 轴上的截距是－3； (2)斜率是1. 6．求分别满足下列条件的直线l 的一般式方程； (1)斜率是3 4，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6； (2)经过两点A (1,0)，B (m,1)； (3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．
课堂练习： 7．直线2x ＋6y ＋1＝0的倾斜角是( ) A ．150° B ．30° C ．60° D ．120° 8．直线5x －2y －10＝0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则有( ) A ．a ＝2，b ＝5 B ．a ＝2，b ＝－5 C ．a ＝－2，b ＝5 D ．a ＝－2，b ＝－5 9．两直线l 1：mx －y ＋n ＝0和l 2：nx －y ＋m ＝0在同一坐标系中，则正确的图形可能是( ) 10．已知直线mx ＋ny ＝－1平行于直线4x ＋3y ＋5＝0且在y 轴上的截距为1 3，则m 、n 的值 分别为( ) A ．4和3 B ．－4和3 C ．－4和－3 D ．4和－3 11．已知直线(a ＋2)x ＋2ay －1＝0与直线3ax －y ＋2＝0垂直，则实数a 的值是( ) A ．0 B ．－43 C ．0或－4 3 D ．－12或23 12．直线l 与直线m ：3x －y －2＝0关于x 轴对称，则这两条直线与y 轴围成的三角形的面积为________． 13．如果对任何实数k ，直线(3＋k )x ＋(1－2k )y ＋1＋5k ＝0都过一个定点A ，那么点A 的坐标是________．
点和直线的有关对称问题 摘要：对称问题是中学数学的一个重要知识点,也是近几年高考中的热点,主要有点、直线、曲线关于点和直线对称两种。中点坐标公式或两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具。解析几何中的中心对称和轴对称问题最终都可以归结为关于点的对称问题加以解决。 关键词:点；直线；中心对称；轴对称 对称思想是近几年高考中的热点,它主要分为中心对称和轴对称两种,解对称问题要把握对称的实质,掌握其解题方法,提高解题的准确性和解题的速度,它主要有以下几种情况: (一)中心对称 ⒈点关于点对称 ⒉直线关于点对称 例1:求直线 x+y-2=0 关于点P(a,b)对称的直线方程. 分析一:在已知直线上z任取两点A、B,再分别求出A、B关于P点的对称点A′、B′,然后由两点式可得所求直线方程. 解:在直线x+y-2=0上取两点A(0,2)、B(1,1),则它们关于P(a,b)对称的点分别为A′(2a,2b-2)、B(2a-1,2b-1),由两点式得所求直
线为: 分析二:中心对称的两条直线是互相平行的,并且这两条直线与对称中心的距离相等. 解:设所求直线方程为x+y+λ=0,则 点评:方法三为相关点法,是求曲线方程的一种常用方法,可进一步推广:曲线C:f(x,y)=0关于点P(a,b)对称的曲线C′的方程为f(2a-x,2b-y)=0.特别的, 曲线f(x,y)=0关于原点对称的曲线方程为: f(-x,-y)=0. (二)轴对称 ⒈点关于直线对称 例2:M(-1,3)关于直线:x+y-1=0的对称点M′的坐标. 解二:过点M(-1,3)与直线l 垂直的直线的斜率k=1,则直线方程为x-y+4=0. 设M关于直线l 的对称点为M′,则E为线段MM′的中点,由中点坐标公式知:M′的坐标为(-2,2) 解三:设M′(a,b), 线段MM′的垂直平分线上的任意一点为A(x,y). ∵MA=M′A , ∴(x+1)2+(y-3)2=(x-a)2+(y-b)2 这就是已知直线 l的方程
点、直线的对称问题
课题：点、直线的对称问题 时间：2015.10.19第5节地点：高二（12）授课人：吴晗 教学目标： 1、使学生会解决平面解析几何直线章节中有关对称问题：点关于点对称、点关 于直线对称、直线关于点对称、直线关于直线对称. 2、让学生经历直线对称问题的探究问题，提高学生分析、比较、概括、化归的 数学能力. 3、在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数、形的统一美，激发学生 学习数学的兴趣，并且继续渗透数形结合的数学思想. 教学重点： 对称问题的基本解法 教学难点： 找对称问题中的对称关系式 教学方法：例题讲解式 学法指导：练习+自主探究 教学用具：粉笔、ppt 教学过程： 一、新课引入 在现实生活中我们经常遇到许多对称的物体，在我们数学中也有许多对称问题，例如必修一函数的奇偶，物理中光的反射与入射等等，那么本节课我们就一起来研究点、直线的对称问题.
二、新知探究 1、点关于点的对称点 例1、求点A ()3,2关于坐标原点的对称点的坐标. 解析 两点关于坐标原点对称，则坐标原点()0,0为两对称点的中点，利用中点坐标公式求解. 解：设点A 关于坐标原点的对称点B 的坐标为()y x ,. 由中点坐标公式可得：?????=+=+02 3022y x ????-=-=32y x ∴B 的坐标为()3,2--. 2、直线关于点的对称直线 例2、求直线03=-+y x 关于点()3,2A 的对称直线方程. 解析 要求得对称直线方程，只需在原直线中取两点，此两点关于点A 的对称点在对称直线上，由两点式可确定其方程. 1way ： 解：在直线03=-+y x 上取()0,3B 和()3,0C 两点. 设B 、C 两点关于A 的对称点'B 、'C 的坐标分别为()11,y x 、()22,y x . 由中点坐标公式可得：????????????=+=+=+=+.323,220;32 0,2232211y x y x ()().3,4,6,1''C B ∴ ∴对称直线方程为：1 41636--=--x y ，即07=-+y x . 2way ：解析：对称线和原线是平行直线，所以只需知道一点即可求出对称直线. 解：设对称直线的方程为：0=++c y x
高中数学：直线方程中的对称问题 在高中数学必修二的第三章“直线方程”中，可以有一个小专题为直线中的“对称问题”。这主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。 一、对称问题的求解方法 1、点关于点的对称 【例1】已知点A（－2，3），求关于点P（1，1）的对称点B。 分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。 2、直线关于点的对称 【例2】求直线3x-y-4=0关于点P（2，－1）对称的直线l的方程。 分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为3x-y+b=0。
说明：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P到两条直线的距离相等。几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。此题还可在直线3x-y-4=0上取两个特殊点，并分别求其关于点P（2，－1）的对称点，这两个对称点的连线即为所求直线。 3、点关于直线的对称 【例3】求点A（2，2）关于直线2x-4y+9=0的对称的点的坐标。 分析：利用点关于直线对称的性质求解。
4、直线关于直线的对称
二、关于对称常见的几种题型 1、角平分线问题 已知的一顶点A的坐标为(x0,y0),∠B、∠C的内角平分线分别为直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0,求边BC所在的直线 方程。 根据角平分线的性质，点Ａ分别关于∠B、∠C的内角平分线分别为直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的对称点P、D均在直线BC上,所以只要分别计算出P、D的坐标,再由两点式方程即可得BC所在直线方程。
直线中的几类对称问题 对称问题，是解析几何中比较典型， 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 通过几道典型例题，介绍这几类对称问题的求解策略. 一、点关于点的对称问题 点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键. 例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标. 分析 易知B 是线段AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解. 解 由题意知，B 是线段AC 的中点，设点C （x ，y ），由中点坐标公式有???????+=+=2 45223x x ，解得???==6 4y x ，故C （4，6）. 点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题有可以利用中点的性质AB=BC ，以及A ，B ，C 三点共线的性质去列方程来求解. 二、点关于直线的对称问题 点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上. 例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标. 分析 因为A ，A ′关于直线对称，所以直线l 是线段AA ′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口. 解 据分析，直线l 与直线AA ′垂直，并且平分线段AA ′，设A ′的坐标为（x ，y ），则AA ′的中点B 的坐标为.13,23,2 1??x y ??k ?y ??x A A --=??? ??++' 由题意可知，???????-=?? ? ??-?--=-+?++121130323221x y y x ， 解得??? ????-=-=5153y x . 故所求点A ′的坐标为.51,53???????? ??-- 三、直线关于某点对称的问题 直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解. 例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程. 分析 本题可以利用两直线平行，以及点P 到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P 的对称点，代入对称直线方程待定相关常数. 解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得2222112|11|112| 1611|++=++c ， 即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/7715113587.html, 直线方程中的对称问题 作者：王桂美 来源：《教育周报·教研版》2017年第30期 对称问题是高中数学的重要内容之一，函数的对称性是函数的一个基本性质，在高考数 学试题中常出现一些构思新颖解法灵活的对称问题，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷的使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美，直线的 对称问题又是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，为使对称问题的知识系统化、条理化、规范化，我们可以把直线中的对称问题主要归纳为：点关于点对称点，线关于点对称，点关于线对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨： 一、点关于点对称问题 解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础平面内两点，则的中点坐标设点关于点对称点为，由中点坐标公式可得∴平面内点关于对称点坐 标为。 例：1求①点关于点的对称点的坐标；②关于点对称，求点坐标。 解：由题意知点是线段的中点。所以易求①，②。 二、线关于点对称问题 求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题。 例2：求直线关于点的对称直线的方程。 解法1：在直线上任取一点关于的对称点，。，，。 解法2：由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，求出直线方程。设对称直线方程为，，，。 解法3：在已知直线上取两点求出关于的对称点再求过这两点的直线方程即可。 三、点关于线对称问题 求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用：（1 ）两直线斜率互为负倒数，（2）中点坐标公式来求得。 例3：已知点，直线，求点P关于直线L的对称点的坐标。
高中直线中的几类对称问题 对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略. 一、点关于点的对称问题 点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键. 例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标. 分析 易知B 是线段AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解. 解 由题意知，B 是线段AC 的中点，设点C （x ，y ），由中点坐标公式有???????+=+=2 45223x x ，解得???==6 4y x ，故C （4，6）. 点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题有可以利用中点的性质AB=BC ，以及A ，B ，C 三点共线的性质去列方程来求解. 二、点关于直线的对称问题 点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上. 例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标. 分析 因为A ，A ′关于直线对称，所以直线l 是线段AA ′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口. 解 据分析，直线l 与直线AA ′垂直，并且平分线段AA ′，设A ′的坐标为（x ，y ），则AA ′的中点B 的坐标为.1 3,23,21??x y ??k ?y ??x A A --=??? ??++' 由题意可知，???????-=?? ? ??-?--=-+?++121130323221x y y x ， 解得??? ????-=-=51 53y x . 故所求点A ′的坐标为.51,53???????? ??-- 三、直线关于某点对称的问题