点和直线的有关对称问题
摘要：对称问题是中学数学的一个重要知识点,也是近几年高考中的热点,主要有点、直线、曲线关于点和直线对称两种。中点坐标公式或两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具。解析几何中的中心对称和轴对称问题最终都可以归结为关于点的对称问题加以解决。
关键词:点；直线；中心对称；轴对称
对称思想是近几年高考中的热点,它主要分为中心对称和轴对称两种,解对称问题要把握对称的实质,掌握其解题方法,提高解题的准确性和解题的速度,它主要有以下几种情况:
(一)中心对称
⒈点关于点对称
⒉直线关于点对称
例1:求直线 x+y-2=0 关于点P(a,b)对称的直线方程.
分析一:在已知直线上z任取两点A、B,再分别求出A、B关于P点的对称点A′、B′,然后由两点式可得所求直线方程.
解:在直线x+y-2=0上取两点A(0,2)、B(1,1),则它们关于P(a,b)对称的点分别为A′(2a,2b-2)、B(2a-1,2b-1),由两点式得所求直
线为:
分析二:中心对称的两条直线是互相平行的,并且这两条直线与对称中心的距离相等.
解:设所求直线方程为x+y+λ=0,则
点评:方法三为相关点法,是求曲线方程的一种常用方法,可进一步推广:曲线C:f(x,y)=0关于点P(a,b)对称的曲线C′的方程为f(2a-x,2b-y)=0.特别的, 曲线f(x,y)=0关于原点对称的曲线方程为: f(-x,-y)=0.
(二)轴对称
⒈点关于直线对称
例2:M(-1,3)关于直线:x+y-1=0的对称点M′的坐标.
解二:过点M(-1,3)与直线l 垂直的直线的斜率k=1,则直线方程为x-y+4=0.
设M关于直线l 的对称点为M′,则E为线段MM′的中点,由中点坐标公式知:M′的坐标为(-2,2)
解三:设M′(a,b), 线段MM′的垂直平分线上的任意一点为A(x,y).
∵MA=M′A , ∴(x+1)2+(y-3)2=(x-a)2+(y-b)2
这就是已知直线 l的方程
故点M′的坐标为(-2,2)
⒉直线关于直线对称
例3:⑴求直线a:2x+y-4=0关于直线l :3x+4y-1=0对称的直线b的方程.
⑵求直线 l1:2x-y+3=0关于直线l :2x-y+4=0对称的直线l2 的方程.
分析:由平面几何知识知,若a、b关于直线 l 对称,则应具有以下性质:①当a、b相交时,则对称轴是a、b交角的平分线(且通过交点); 当a、b平行时,则a、b与对称轴的距离相等. ②若点A在直线a上,则点A关于直线 l的对称点B一定在直线b上,并且AB⊥l ;AB的中点在l 上.
⑴解一:由
2x+y-4=03x+4y-1=0得a与l的交点Ｅ为（３,２）则E(3,-2)一定在b上,设b的斜率为k,于是
(三)特殊的对称关系
点(a,b)关于x轴的对称点为(a,-b)；
点(a,b)关于y轴的对称点为(-a,b)；点(a,b)关于原点的对称点为(-a,-b)；点(a,b)关于直线y=x的对称点为(b,a)；点(a,b)关于直线y=x+m的对称点为(b-m,a+m)；点(a,b)关于直线y=-x+m的对称点为(m-b,m-a).
一 点关于直线的对称点的一种公式求法 结论：设直线:l 0=++c by ax ，（a 、b 至少有一个不为0），点),(00y x A 关于直线l 的 对称点的坐标是),(11y x B ，则??? ????+---=+---=22002 2122002 2122)(22)(b a bc abx y b a y b a ac aby x a b x ； 这个结论的证明方法是利用常见的斜率互为负倒数和中点坐标代入等做出。 因为一个点关于直线的对称点是求解很多问题的工具，因而这样总结的结论很有必要。 但这个公式形式的麻烦而使其运用的价值稍有逊色。 本文将以上公式做适当改进，体现出数学的对称美，而且有很明显的几何意义，因而便于记忆和运用。 将以上的2 2 02 2122)(b a ac aby x a b x +---= 变为： O 2 2 0202 2 1222)(b a ac aby x a x a b x +---+= 2 2000) (2b a c by ax a x +++- = 2 2 002 2 0) (2b a c by ax b a a x +++? +- = d b a a x '?+- =22 2 0， （其中2 2 00b a c by ax d +++= '的绝对值是点),(00y x 到直线l 的距离） 同理：d b a b y y '?+- =22 2 01，于是点),(00y x A 关于直线l 的对称点是 d b a a x B '?+- 2(2 2 0，)22 2 0d b a b y '?+- ， 其中的向量), ( 2 22 2 b a b b a a e ++=是直线l 的法向量),(b a 的单位向量，如图，设点A O x y A B d d e 图一
直线中的对称问题—4类对称题型 直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨： 一、点关于点对称问题 解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础. 例1.求点（1）关于点的对称点的坐标, （2），关于点对称，求点坐标. 解：由题意知点是线段的中点, 所以易求（1） （2）. 因此，平面内点关于对称点坐标为 平面内点，关于点对称 二、点关于线对称问题 求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得. 例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标 解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程 ① 又与垂直，且斜率都存在即有② 由①②解得， 法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标. 三、线关于点对称问题 求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题. 例3．求直线：关于点的对称直线的方程. 解:法（一）直线：与两坐标轴交点为， 点关于对称点 点关于对称点 过的直线方程为，故所求直线方程为. 法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程. 四、线关于线的对称问题 求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程. 例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程. 解：在：上任取一点 直线的斜率为3
点关于直线对称公式的应用 永靖中学 姬良挺 摘要：点关于直线对称是常见问题，适时推导掌握一些公式，加快运算速度，降低失误率，本文在一般情况下推导出点关于直线对称公式后，重点介绍直线斜率为1或-1时，公式变的简单明了，而且应用非常方便。 关键词：对称，斜率，坐标 在高中数学中对称问题随处可见,有点与点对称、点与直线的对称、直线与直线的对称、图形与图形的对称，其中点关于直线的对称最为常见，适时推导掌握一些公式,可以加快运算速度，降低失误率。 在直角坐标系中，当直线斜率不存在时，（如图1）点P(x 0,y 0)关于直线x=a 的对称点P 1坐标为（x 1,y 1），则由中点坐标公式可得a=（x 0+x 1） /2,y 0=y 1即：x 1=2a-x 0,y 1=y 0所以得P 1坐标为（2a-x 0,y 0）；当直线斜率为0时，（如图2）点P(x 0,y 0)关于直线y=b 的对称点P 1坐标为（x 2,y 2）则由中点坐标公式可得b=（y 0+y 2） /2,x 0=x 2即：y 2=2b-y 0,x 2=x 0所以得P 1坐标为 (x 0,2b —y 0)。 图1 图2 图3 下面介绍一般情况下，求点P(x 0,y 0)关于直线l ：y=kx+b （k ≠0）的对称点P 1的坐标（如图3），设P 1点坐标为（x ，y ），则由直线PP 1与l 垂直及线段PP 1的中点在l 上，可得： {)2(22)1(10000b x x k y y k x x y y ++?=+-=?-- 解这个关于x 、y 的二元一次方程组，得： {)4(12)1(2)3(12)1(220202020k b y k kx y k bk x k ky x ++--=+---=
直线关于直线对称问题的常用方法与技巧 对称问题是高中数学的比较重要内容，它的一般解题步骤是：1. 在所求曲线上选一点),(y x M ；2. 求出这点关于中心或轴的对称点),(00/y x M 与),(y x M 之间的关系；3. 利用0),(00=y x f 求出曲线0),(=y x g 。直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考。 例题：试求直线01:1=-+y x l 关于直线033:2=--y x l 对称的直线l 的方程。 解法1：（动点转移法） 在1l 上任取点))(,(2/ /l P y x P ?，设点P 关于2l 的对称点为),(y x Q ，则 ?????-+=++-=???? ????-=--=-+-+534359343103223//////y x y y x x x x y y y y x x 又点P 在1l 上运动，所以01=-+y x ，所以015 3435934=--++++-y x y x 。即017=--y x 。所以直线l 的方程是017=--y x 。 解法2：（到角公式法） 解方程组? ??==????=--=-+0103301y x y x y x 所以直线21,l l 的交点为A(1,0) 设所求直线l 的方程为)1(-=x k y ，即0=--k y kx ,由题意知，1l 到2l 与2l 到l 的角相等，则7 131313113=?+-=?-+k k k .所以直线l 的方程是017=--y x 。 解法3：（取特殊点法） 由解法2知，直线21,l l 的交点为A(1,0)。在1l 上取点P （2，1），设点P 关于2l 的对称点 的坐标为),(//y x Q ，则?????==???? ????-=--=-+-+575431210321223//////y x x y y x 而点A ，Q 在直线l 上，由两点式可求直线l 的方程是017=--y x 。 解法4：（两点对称法）
谈谈点关于直线对称问题求法 在高中数学中对称问题随处可见,有点与点对称、点与直线的对称、直线与直线的对称、图形与图形的对称，其中点关于直线的对称最为常见，适时推导掌握一些公式,可以加快运算速度，降低失误率。 在直角坐标系中，当直线斜率不存在时，（如图1）点P(x 0,y 0)关于直线x=a 的对称点P 1坐标为（x 1,y 1），则由中点坐标公式可得a=（x 0+x 1） /2,y 0=y 1即：x 1=2a-x 0,y 1=y 0所以得P 1坐标为（2a-x 0,y 0）；当直线斜率为0时，（如图2）点P(x 0,y 0)关于直线y=b 的对称点P 1坐标为（x 2,y 2）则由中点坐标公式可得b=（y 0+y 2） /2,x 0=x 2即：y 2=2b-y 0,x 2=x 0所以得P 1坐标为 (x 0,2b —y 0)。 图1 图2 图3 下面介绍一般情况下，求点P(x 0,y 0)关于直线l ：y=kx+b （k ≠0）的对称点P 1的坐标（如图3），设P 1点坐标为（x ，y ），则由直线PP 1与l 垂直及线段PP 1的中点在l 上，可得： {)2(22)1(10000b x x k y y k x x y y ++?=+-=?-- 解这个关于x 、y 的二元一次方程组，得： {)4(12)1(2)3(12)1(22 0202 020k b y k kx y k bk x k ky x ++--=+---= 可以验证：该公式在k=0时仍然成立。一般情况下运用该公式较繁，也没有必要记住这个公式，但当直线的斜率为+1或者-1时，该公式变的简单明了，而且应用起来非常方便。 当k=l 时，将k 值代入（3）（4）得：x=y 0-b, y=x 0+b. 当k=-l 时，将k 值代入（3）（4）得：x=-y 0+b. y=-x 0+b. 可见：在直线的斜率为+1或者-1时，只需将原来点的纵坐标代入直线方程中求得的x 的值的为对称点的横坐标，将原来点的横坐标代入直线方程中求得的y 值即为对称点的纵坐标。 例1: 求点（3，5）关于直线y=x+3的对称点坐标。 解：在直线方程y=x+3,将x 代为3，得： y=6即为对称点纵坐标，将y=5代入直线方程求,得:x=2即为对称点横坐标。 所以：点（3，5）关于直线y=x+3的对称点坐标为（2，6）。 例2：求点（a.b ）关于直线y=-x+1的对称点
直线关于直线对称问题的常用方法与技巧 对称问题是高中数学的比较重要内容，它的一般解题步骤是： 1. 在所求曲线上选一 点 M ( x, y) ；2. 求出这点关于中心或轴的对称点 M / (x 0 , y 0 ) 与 M ( x, y) 之间的关系； 3. 利 用 f (x 0 , y 0 ) 0 求出曲线 g( x, y) 0 。直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习 题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考。 例题：试求直线 l 1 : x y 1 0 关于直线 l 2 : 3x y 3 0 对称的直线 l 的方程。 解法 1：（动点转移法） 在 l 1 上任取点 P( x / , y / )( P l 2 ) ，设点 P 关于 l 2 的对称点为 Q ( x, y) ，则 3 x / x y / y 3 0 x / 4 x 3 y 9 2 y / 2 5 y 1 y / 3x 4 y 3 x / x 3 5 又点 P 在 l 1 上运动，所以 x y 1 0 ，所以 4x 3y 9 3x 4 y 3 1 0 。即 0 。所以直线 l 的方程是 x 5 5 x 7 y 1 7 y 1 0 。 解法 2：（到角公式法） x y 1 0 x 1 的交点为 A(1,0) 解方程组 y 3 0 y 所以直线 l 1 ,l 2 3x 设所求直线 l 的方程为 y k( x 1) ，即 kx y k 0, 由题意知， l 1 到 l 2 与 l 2 到 l 的角相等， 则 3 1 k 3 k 1 .所以直线 l 的方程是 x 7 y 1 0 。 1 3 1 1 3k 7 解法 3：（取特殊点法） 由解法 2 知，直线 l 1, l 2 的交点为 A(1,0) 。在 l 1 上取点 P （2 ， 1 ），设点 P 关于 l 2 的对称点 的坐标为 Q( x / , y / ) ，则 3 x / 2 y / 1 / 4 2 2 3 0 x 5 y / 1 1 y / 7 x / 2 3 5 而点 A ，Q 在直线 l 上，由两点式可求直线 l 的方程是 x 7 y 1 0 。 解法 4：（两点对称法 ）
对称问题专题 【知识要点】 1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题. 设P （x 0，y 0），对称中心为A （a ，b ），则P 关于A 的对称点为P ′（2a －x 0，2b －y 0）. 2.点关于直线成轴对称问题 由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下： 设点P （x 0，y 0）关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ′，y ′），则有 x x y y -'-'·k =－1， 2 y y +'=k ·20x x +'+b ， 特殊地，点P （x 0，y 0）关于直线x =a 的对称点为P ′（2a －x 0，y 0）；点P （x 0，y 0）关于直线y =b 的对称点为P ′（x 0，2b －y 0）. 3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下： （1）曲线f （x ，y ）=0关于已知点A （a ，b ）的对称曲线的方程是f （2a －x ，2b －y ）=0. （2）曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线的求法： 设曲线f （x ，y ）=0上任意一点为P （x 0，y 0），P 点关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ，y ），则由（2）知，P 与P ′的坐标满足 x x y y --·k =－1， 2 0y y +=k ·20x x ++b ， 代入已知曲线f （x ，y ）=0，应有f （x 0，y 0）=0.利用坐标代换法就可求出曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线方程. 4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点（x ，y ）关于x 轴的对称点为（x ，－y ）； （2）点（x ，y ）关于y 轴的对称点为（－x ，y ）； （3）点（x ，y ）关于原点的对称点为（－x ，－y ）； （4）点（x ，y ）关于直线x －y =0的对称点为（y ，x ）； （5）点（x ，y ）关于直线x +y =0的对称点为（－y ，－x ）. 【典型例题】 【例1】 求直线a ：2x +y －4=0关于直线l ：3x +4y －1=0对称的直线b 的方程. 剖析：由平面几何知识可知若直线a 、b 关于直线l 对称，它们具有下列几何性质：（1）若a 、b 相交，则l 是a 、b 交角的平分线；（2）若点A 在直线a 上，那么A 关于直线l 的对称点B 一定在直线b 上，这时AB ⊥l ，并且AB 的中点D 在l 上；（3）a 以l 为轴旋转180°，一定与b 重合.使用这些性质，可以找出直线b 的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程. 2x +y －4=0， 3x +4y －1=0， 可求出x ′、y ′. 从中解出x 0、y 0， 解：由 解得a 与l 的交点E （3，－2），E 点也在b 上
直线的一般式方程 知识点一 直线的一般式方程 1.若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0 D ．A 2 ＋B 2 ≠0 答案 D 解析 要使Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，需A 、B 不同时为零(包括一个为0，另一个不为0)，显然A 、B 项均不满足，C 项中表示A 与B 同时不为零，也不满足，只有D 项正确． 2．直线(2m 2 －5m ＋2)x －(m 2 －4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 答案 D 解析 由已知得m 2 －4≠0，且2m 2 －5m ＋2 m 2－4 ＝1，解得：m ＝3或m ＝2(舍去). 知识点二 平行、垂直问题 3.直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则n 的值为( ) A ．－12 B ．－2 C ．0 D ．10 答案 A 解析 由两直线垂直得2m －20＝0，m ＝10，将(1，p )代入10x ＋4y －2＝0得p ＝－2，将(1，－2)代入2x －5y ＋n ＝0得2＋10＋n ＝0，n ＝－12. 4．已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( ) A ．过点P 且与l 垂直的直线 B ．过点P 且与l 平行的直线 C ．不过点P 且与l 垂直的直线 D ．不过点P 且与l 平行的直线 答案 D 解析 ∵点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，∴Ax 0＋ By 0＋C ≠0，∴直线Ax ＋By ＋C
直线关于直线对称问题的常用方法与技巧 湖南省 黄爱民 对称问题是高中数学的比较重要内容，它的一般解题步骤是：1. 在所求曲线上选一点),(y x M ；2. 求出这点关于中心或轴的对称点),(00/y x M 与),(y x M 之间的关系；3. 利用0),(00=y x f 求出曲线0),(=y x g 。直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考。 例题：试求直线01:1=-+y x l 关于直线033:2=--y x l 对称的直线l 的方程。 解法1：（动点转移法） 在1l 上任取点))(,(2//l P y x P ?，设点P 关于2l 的对称点为),(y x Q ，则 ?????-+=++-=???? ????-=--=-+-+534359343103223//////y x y y x x x x y y y y x x 又点P 在1l 上运动，所以01=-+y x ，所以 015 3435934=--++++-y x y x 。即017=--y x 。所以直线l 的方程是017=--y x 。 解法2：（到角公式法） 解方程组???==????=--=-+0103301y x y x y x 所以直线21,l l 的交点为A(1,0) 设所求直线l 的方程为)1(-=x k y ，即0=--k y kx ,由题意知，1l 到2l 与2l 到l 的角相等， 则 7 131313113=?+-=?-+k k k .所以直线l 的方程是017=--y x 。 解法3：（取特殊点法） 由解法2知，直线21,l l 的交点为A(1,0)。在1l 上取点P （2，1），设点P 关于2l 的对称点的坐标为),(//y x Q ，则?????==???? ????-=--=-+-+575431210321223//////y x x y y x 而点A ，Q 在直线l 上，由两点式可求直线l 的方程是017=--y x 。 解法4：（两点对称法） 对解法3，在1l 上取点P （2，1），设点P 关于2l 的对称点的坐标为Q )57,54(，在1l 上取点M （0，1），设点P 关于2l 的对称点的坐标为)5 1,512( N 而N ，Q 在直线l 上，由两点式可求直线l 的方程是017=--y x 。 解法5：（角平分线法） 由解法2知，直线21,l l 的交点为A(1,0)，设所求直线l 的方程为：设所求直线l 的方程为)1(-=x k y ,即0=--k y kx .由题意知，2l 为1,l l 的角平分线，在2l 上取点P （0，-3），则点P 到1,l l 的距离相等，由点到直线距离公式，有： 1711|30|2|130|2 -==?+-+=--或k k k k
点和直线的有关对称问题 摘要：对称问题是中学数学的一个重要知识点,也是近几年高考中的热点,主要有点、直线、曲线关于点和直线对称两种。中点坐标公式或两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具。解析几何中的中心对称和轴对称问题最终都可以归结为关于点的对称问题加以解决。 关键词:点；直线；中心对称；轴对称 对称思想是近几年高考中的热点,它主要分为中心对称和轴对称两种,解对称问题要把握对称的实质,掌握其解题方法,提高解题的准确性和解题的速度,它主要有以下几种情况: (一)中心对称 ⒈点关于点对称 ⒉直线关于点对称 例1:求直线x+y-2=0 关于点P(a,b)对称的直线方程. 分析一:在已知直线上z任取两点A、B,再分别求出A、B关于P点的对称点A′、B′,然后由两点式可得所求直线方程. 解:在直线x+y-2=0上取两点A(0,2)、B(1,1),则它们关于P(a,b)对称的点分别为A′(2a,2b-2)、B(2a-1,2b-1),由两点式得所求直线为:
分析二:中心对称的两条直线是互相平行的,并且这两条直线与对称中心的距离相等. 解:设所求直线方程为x+y+λ=0,则 点评:方法三为相关点法,是求曲线方程的一种常用方法,可进一步推广:曲线C:f(x,y)=0关于点P(a,b)对称的曲线C′的方程为f(2a-x,2b-y)=0.特别的, 曲线f(x,y)=0关于原点对称的曲线方程为: f(-x,-y)=0. (二)轴对称 ⒈点关于直线对称 例2:M(-1,3)关于直线:x+y-1=0的对称点M′的坐标. 解二:过点M(-1,3)与直线l 垂直的直线的斜率k=1,则直线方程为x-y+4=0. 设M关于直线l 的对称点为M′,则E为线段MM′的中点,由中点坐标公式知:M′的坐标为(-2,2) 解三:设M′(a,b), 线段MM′的垂直平分线上的任意一点为A(x,y). ∵MA=M′A , ∴(x+1)2+(y-3)2=(x-a)2+(y-b)2 这就是已知直线l的方程 故点M′的坐标为(-2,2) ⒉直线关于直线对称 例3:⑴求直线a:2x+y-4=0关于直线
一、点关于点的对称问题 例1求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标. 练习：1求点A（-3，6）关于点B（2，3）对称的点C的坐标. 2已知点A(5,8),B(4,1),试求A点关于B点的对称点C的坐标. 二、点关于直线的对称问题 这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上. 例2求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标. 练习：3求A（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______.
4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。 三、直线关于某点对称的问题 直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解. 例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程. 练习：2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程 四、直线关于直线的对称问题 直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题. 例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.
例5试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程. 练习：5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n的方程 五最值问题 的面积最小时直线l 1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB 的方程; 2. 若直线l过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l有（）条 A 1 B 2 C 3 D 4 （变式题：若面积为5呢，面积为1呢？） 3. 已知点A（2,5），B（4，-7），试在y轴上求一点P，使得|PA|+|PB|的值最小。 4.过点P(2,1) 作直线l分别交x轴、y轴于点A、B，求|PA|·|PB|取最小值时直线l的方程.
直线方程专题：点关于直线的对称点 复旦中学 胡仁杰 一、教学目标 1.理解点关于直线的对称点的概念。 2.根据图像特征掌握点关于直线对称点的求解方法。 3.渗透用代数方法解决几何问题的思想。 二、教学重难点 1．重点：掌握点关于直线对称的点的求解方法。 2．难点：将几何特征转化成代数关系式。 三、活动设计 利用PPT 与板书结合，学生通过预习、提问、讨论、解答、总结掌握知识。 四、教学过程 （一）课前预习： 1．复习点关于点对称公式： A （x ，y ）关于点P () 00,x y 的对称点A '坐标为 。 2．若点A （1，2），B （-1，2）。 则A 关于x 轴的对称点为 ，关于y 轴的对称点为 ，关于原点的对称点为 。 B 关于x 轴的对称点为 ，关于y 轴的对称点为 ，关于原点的对称点为 。 小结：若点A （x ，y ），则A 关于x 轴的对称点为 ，关于y 轴的对称点为 ，关于原点的对称点为 。 3．若点A （1，2），B （-1，2）。 则A 关于2x =的对称点为 ，关于1y =的对称点为 ，关于y x =的对称点为 ，关于y x =-的对称点为 ，。
B 关于2x =的对称点为 ，关于1y =的对称点为 ，关于y x =的 对称点为 ，关于y x =-的对称点为 。 小结：若点A （x ，y ），则A 关于x a =的对称点为 ，关于y b =的对称点为 ，关于y x =的对称点为 ，关于y x =-的对称点为 。 4．问题思考：点P （-5，3）关于直线3y x =+的对称点为 。 （二）新课教学： 学生小结预习材料： 若点A （x ，y ），则A 关于x 轴的对称点为（x ，-y ），关于y 轴的对称点为（-x ，y ），关于原点的对称点为（-x ，-y ）。 若点A （x ，y ），则A 关于x a =的对称点为（2a-x ，y ），关于y b =的对称点为（x ，2b-y ），关于y x =的对称点为（y ，x ），关于y x =-的对称点为（-y ，-x ）。 点关于直线对称点的求解思路： 思路1：通过平面几何中求作点关于直线对称的方法，转化为解析法。 求点P （-5，3）关于直线L ：3y x =+的对称点 平面几何： 1. 过P 作关于直线L 的垂线 L '。 2. L '与L 交于点Q 3. 在L '上找到异于P 且到Q 的距离等于PQ 的一点P ' P '点即P 关于直线L 的对称 点。 解析几何： 1. 过P 作关于直线L 的垂线L '。 L '：2y x =-- 2. L '与L 交于点Q 连立得到23 y x y x ?=--? =+? 解得521 2 x y ?=-????=??，即交点Q 为51,22??- ? ?? 3. 利用点关于点对称求P ' （-5，3）关于51,22?? - ??? 的对称点 为（0，-2）
点关于直线的对称点的几种公式求法 结论一 ：点00(,)P x y 关于直线0Ax B y C ++=对称的点的坐标是：（22000)(2B A C By Ax A x +++-,22000)(2B A C By Ax B y +++-）， （其中 2200B A C By Ax d +++= ￠的绝对值是点),(00y x 到直线l 的距离） 同理：d B A B y y ￠×+-=22201，于是点),(00y x A 关于直线l 的对称点是d B A A x B ￠×+-2(220，)2220d B A B y ￠×+-， 其中的向量),(2222B A B B A A e ++=是直线l 的法向量),(b a 的单位向量，如图，设点A 到直线l 的距离是d ，则d B A A x B ￠×+-2(220，)2220d B A B y ￠×+-， 意思是将点),(00y x A 按单位法向量,(2222B A B B A A e ++=的方向向直线l 的“对面”移动d 2个单位便得到A 关于直线l 的对称点B ，从图中看得更明显。 因而，对称点d B A A x B ￠×+-2(220，)2220d B A B y ￠×+-既是求对称点的公式，也是沿法向量平移d 2个单位而得到对称点的方法。 例1 求点)3,1(B 关于直线：0232=+-y x 的对称点A 的坐标； 解法一：公式法，设)3,1(B 关于直线：0232=+-y x 的对称点坐标为11,(y x A ） 依照上述公式得： 133313 )292(213211=+-×-=x ，13913 )292(213331=+-×--=y ， 所以对称点是139,1333(A 。 解法二 如图一，点B 到直线l 的距离是135= d ，点B 在直线l 的上方，直线l 的单位法向量是 e =)133 ,132 (-，沿此方向将点)3,1(B 平移1310 2=d 个单位便得到对称点 )13 9,1333(A ； 例2 已知点),(00y x A ，（1）求A 关于直线0=++c y x 的对称点坐标；（2）求A 关于直线0=+-c y x 的对称点坐标； 解（1）设对称点),(11y x B ，则由求对称点公式得： c y c y x x x --=++×-=000012) (221，c x c y x y y --=++×-=000012) (221 ，
点关于直线的对称点的一种公式求法 上海市奉贤中学 王志和 读了本刊文（1），很有收获。文（1）说明了一个点关于一条直线对称点的求解公式： 结论：设直线:l 0=++c by ax ，（a 、b 至少有一个不为0），点),(00y x A 关于直 线l 的对称点的坐标是),(11y x B ，则??? ????+---=+---=22002 21220022122)(22)(b a bc abx y b a y b a ac aby x a b x ； 这个结论的证明方法是利用常见的斜率互为负倒数和中点坐标代入等做出。 因为一个点关于直线的对称点是求解很多问题的工具，因而这样总结的结论很有必要。但这个公式形式的麻烦而使其运用的价值稍有逊色。 本文将以上公式做适当改进，体现出数学的对称美，而且有很明显的几何意义，因而便于记忆和运用。 将以上的2 20022122)(b a ac aby x a b x +---= 变为： O 2 20020221222)(b a ac aby x a x a b x +---+= 2 2000) (2b a c by ax a x +++- = 2 2 002 2 0) (2b a c by ax b a a x +++? +- = d b a a x '?+-=222 0， （其中2 2 00b a c by ax d +++= '的绝对值是点),(00y x 到直线l 的距离） 同理：d b a b y y '?+- =22 2 01，于是点),(00y x A 关于直线l 的对称点是 d b a a x B '?+- 2(2 20，)22 20d b a b y '?+- ， 图一
点、直线的对称问题
课题：点、直线的对称问题 时间：2015.10.19第5节地点：高二（12）授课人：吴晗 教学目标： 1、使学生会解决平面解析几何直线章节中有关对称问题：点关于点对称、点关 于直线对称、直线关于点对称、直线关于直线对称. 2、让学生经历直线对称问题的探究问题，提高学生分析、比较、概括、化归的 数学能力. 3、在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数、形的统一美，激发学生 学习数学的兴趣，并且继续渗透数形结合的数学思想. 教学重点： 对称问题的基本解法 教学难点： 找对称问题中的对称关系式 教学方法：例题讲解式 学法指导：练习+自主探究 教学用具：粉笔、ppt 教学过程： 一、新课引入 在现实生活中我们经常遇到许多对称的物体，在我们数学中也有许多对称问题，例如必修一函数的奇偶，物理中光的反射与入射等等，那么本节课我们就一起来研究点、直线的对称问题.
二、新知探究 1、点关于点的对称点 例1、求点A ()3,2关于坐标原点的对称点的坐标. 解析 两点关于坐标原点对称，则坐标原点()0,0为两对称点的中点，利用中点坐标公式求解. 解：设点A 关于坐标原点的对称点B 的坐标为()y x ,. 由中点坐标公式可得：?????=+=+02 3022y x ????-=-=32y x ∴B 的坐标为()3,2--. 2、直线关于点的对称直线 例2、求直线03=-+y x 关于点()3,2A 的对称直线方程. 解析 要求得对称直线方程，只需在原直线中取两点，此两点关于点A 的对称点在对称直线上，由两点式可确定其方程. 1way ： 解：在直线03=-+y x 上取()0,3B 和()3,0C 两点. 设B 、C 两点关于A 的对称点'B 、'C 的坐标分别为()11,y x 、()22,y x . 由中点坐标公式可得：????????????=+=+=+=+.323,220;32 0,2232211y x y x ()().3,4,6,1''C B ∴ ∴对称直线方程为：1 41636--=--x y ，即07=-+y x . 2way ：解析：对称线和原线是平行直线，所以只需知道一点即可求出对称直线. 解：设对称直线的方程为：0=++c y x
课题：点、直线的对称问题 时间：2015.10.19第5节 地点：高二（12） 授课人：吴晗 教学目标： 1、使学生会解决平面解析几何直线章节中有关对称问题：点关于点对称、点关 于直线对称、直线关于点对称、直线关于直线对称. 2、让学生经历直线对称问题的探究问题，提高学生分析、比较、概括、化归的 数学能力. 3、在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数、形的统一美，激发 学生学习数学的兴趣，并且继续渗透数形结合的数学思想. 教学重点： 对称问题的基本解法 教学难点： 找对称问题中的对称关系式 教学方法：例题讲解式 学法指导：练习+自主探究 教学用具：粉笔、ppt 教学过程： 一、新课引入 在现实生活中我们经常遇到许多对称的物体，在我们数学中也有许多对称问题，例如必修一函数的奇偶，物理中光的反射与入射等等，那么本节课我们就一起来研究点、直线的对称问题. 二、新知探究 1、点关于点的对称点 例1、求点A ()3,2关于坐标原点的对称点的坐标. 解析 两点关于坐标原点对称，则坐标原点()0,0为两对称点的中点，利用中点坐标公式求解. 解：设点A 关于坐标原点的对称点B 的坐标为()y x ,. 由中点坐标公式可得：?????=+=+02 3022y x ????-=-=32y x ∴B 的坐标为()3,2--. 2、直线关于点的对称直线 例2、求直线03=-+y x 关于点()3,2A 的对称直线方程. 解析 要求得对称直线方程，只需在原直线中取两点，此两点关于点A 的对称点在对称直线上，由两点式可确定其方程. 1way ： 解：在直线03=-+y x 上取()0,3B 和()3,0C 两点.
求已知点关于已知直线的对称点的坐标的公式的推导过程 的坐标？ 对称的点 关于直线 的一点，如何求点 外 是已知直线 如图所示，已知点 / : ) , ( P l P C By Ax l n m P= + + ． ， 的对称点为 即点 ． ， 由中点坐标公式，得： 的中点， 为 ，则 的对称点为 设点 即， 得的方程组解出， 可由联立两直线方程所 ， 的坐标 垂足 的方程为 的坐标，可得： 代入点 的方程为 垂直的直线 且与 可设过点 的方程为 已知直线 解： ) ) (2 ) (2 ( ) (2 ) (2 , 2 , 2 ) , ( ; , ,0 ,0 ) ( ,0 , ,0 ,0 2 2 2 2 2 2 / 2 2 2 / 2 2 2 / / / / / / / 2 2 2 2 2 2 / / / / n B A BC ABm n A m B A AC ABn m B P P n B A BC ABm n A n m B A AC ABn m B m n n y m m x PP M n m P P B A BC ABm n A y B A AC ABn m B x Bm An Ay Bx C By Ax y x M Bm An Ay Bx l Bm An C P C Ay Bx l l P C By Ax l - + - - - + - - - + - - = - + - - = ∴ + = + = ? ? ? ?? ? ? + - - = + - - = ? ? ? ? = - + - = + + = - + - ∴ - = = + - ∴ = + + Θ
点与直线的对称 一、教学目标 1、了解点与直线的对称问题的常见模型； 2、综合运用中点坐标公式、直线方程知识，解决解题； 3、渗透数形结合，等价转化的思想。 二、聚集重点难点 1、重点：点关于直线的对称问题； 2、难点：直线关于直线的对称问题。 三、教学过程 复习导入： 1、生活中的对称现象： 幻灯片展示图片：天安门全景、剪纸、脸谱——轴对称； 麦田圈、螺旋桨、伞——中心对称。 2、复习回顾：对称的定义 幻灯片展示：中心对称、中心对称图形、轴对称、轴对称图形 3、复习回顾：数学中点的对称问题（幻灯片展示） 点（a,b）关于x轴的对称点是（a,-b）； 点（a,b）关于y轴的对称点是（-a,b）； 点（a,b）关于原点的对称点是（-a,-b）; 点（a,b）关于直线y=x的对称点是（b,a）; 点（a,b）关于直线y=x的对称点是（-b,-a）; 点（a,b）关于直线x=m对称的点是（2m-a, b）； 点（a,b）关于直线y=n对称的点是（a,2n- b）； 点（a,b）关于点（m,n）对称的点是（2m-a, 2n-b）。 讲授新课 1、点关于点对称的问题： 例1 已知P（-3，2）、Q（1、4），则点P关于点Q对称的点的坐标为（5，6） 解：设点P关于点Q对称的点的坐标为M（x，y），则：
3 12 2 42 x y -=+= 解得： 56 x y == 2、 直线关于点对称问题 例2 求直线l ：2x+y+1=0关于点M （1，0）对称的直线l 1的方程。 方法一 解：设l 1：2x+y+m=0 在l 上取一点A （0，-1）， 设A 关于M （1，0）的对称点为B （x ，y ），则： 12 1 02 x y +=-= 则B （2，1） 由于B 在l 1上，则2╳2+1+m=0 ∴ m=-5 ∴ l 1: 2x+y-5=0 方法二 解：设l 1：2x+y+m=0 由题意知：M （1，0）到l 与l 1的距离相等 ∴= ∴ |m+2|=3 ∴ m=1 或 m=-5 ∴ l 1: 2x+y-5=0 3、 点关于直线对称的问题 例3 求点P （3，5）关于直线l ：x-3y+2=0对称的点Q 的坐标。 y x P Q x y
与点、线有关的对称问题的求解策略 教学目标： 1.了解常见的对称问题，如：点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称等。 2.理解各种对称的实质，并能根据题目条件选择正确的对称方式。 3.能利用对称的知识解决一些实际问题。 教学重点与难点：对称问题的基本解法 关于点、线的对称问题，课本中没有给出系统内容，但是高考考察的热点。所以，就此问题，结合图形，根据对称特点，找出规律给予总结十分必要。下面分类介绍一下常见题型及解题方法。 教学过程： 中心对称 1．点关于点的对称： 实质：该点是两对称点连线段的中点 方法：利用中点坐标公式 说明：（1）点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点的坐标为P？(2a-x,2b-y). （2）点P(a,b) 关于原点O(0,0)的对称点P？(-a,-b)； 2．直线关于点的对称 实质：两直线平行 方法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程） 方法二：利用平行性质解（求出一个对称点，且斜率相等或设出平行直线系，利用点到直线距离相等） 例1：求直线 1:210 l x y ++=关于点(1,0)的对称的直线 2 l方程。 轴对称 1、点关于直线的对称 实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线 1）当直线斜率存在时 方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点 (x0,y0)关于直线Ax+By+c=0的对称点(x？,y？)，则 ' ' '' 00 1 0 22 y y A x x B x x y y A B c ?-?? -=- ? ?- ??? ? ++ ?++=?? 例2：求点A(-1,3)关于直线L：2x-y+3=0的对称点B的坐标 解：设B坐标(a,b)，则线段AB中点坐标 13 (,) 22 a b -+ ，则 3 21 1 13 230 22 {b a a b - ?=- + -+ ?-+= 3 5 11 5 {a b = = ? ，即B点坐 标 311 (,) 55 。 思考：当直线斜率不存在呢？（可利用数形结合） 评注：特别地，P(a,b)关于x轴的对称点坐标为(a,-b); 关于y轴的对称点坐标为(-a,b) ；关于直线y=x的对称点坐标为(b,a); 关于直线y= -x 的对称点坐标为(-b,-a);