课题：直线系和对称问题
教学目标：1.掌握过两直线交点的直线系方程；2.会求一个点关于一条直线的对称点的坐标的求法；3.会求一条直线关于一个点、一条直线的对称直线的求法.
教学重点：对称问题的基本解法
（一） 主要知识及方法：
1.点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为(),a b -；
关于y 轴的对称点的坐标为(),a b -；关于y x =的对称点的坐标为(),b a ；关于y x =-的对称点的坐标为(),b a --.
2.点(),P a b 关于直线0ax by c ++=的对称点的坐标的求法：
()1设所求的对称点'P 的坐标为()00,x y ，则'PP 的中点00,2
2a x b y ++??
???一定在直线0ax by c ++=上. ()2直线'PP 和直线0ax by c ++=的斜率互为负倒数，即001y b a x a b -???-=- ?-??
结论：点()00,P x y 关于直线l ：0Ax By C ++=对称点为()002,2x AD y BD --， 其中0022
Ax By C D A B ++=+；曲线C ：(,)0f x y =关于直线l ：0Ax By C ++=的对称曲线方程为()2,20f x AD y BD --=特别地，当22A B =，即l 的斜率为1±时，点()00,P x y 关于直线l ：0Ax By C ++=对称点为00,By C Ax C A B ++??-- ???
，即()00,P x y 关于直线0x y c ±+=对称的点为：()(),y c x c -+，曲线(,)0f x y =关于0x y c ±+=的对称曲线为()(),0f y c x c -+=
3.直线1110a x b y c ++=关于直线0ax by c ++=的对称直线方程的求法：
①到角相等；②在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点
关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程；③轨迹法(相关点法)；④待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，…
4.点(),x y 关于定点(),a b 的对称点为()2,2a x b y --，曲线C ：(),0f x y =关于定点(),a b 的对称曲线方程为()2,20f a x b y --=.
5.直线系方程：
()1直线y kx b =+（k 为常数，b 参数；k 为参数，b 位常数）. ()2过定点()00,M x y 的直线系方程为()00y y k x x -=-及0x x = ()3和直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为10Ax By C ++=（1C C ≠） ()4和直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为0Bx Ay m -+= ()5过直线11110l a x b y c ++=：和22220l a x b y c ++=：的交点的直线系的方程为：()()1112220a x b y c a x b y c λ+++++=（不含2
l ） （二）典例分析：
问题1．（06湖北联考）一条光线经过点()2,3P ，射在直线l ：10x y ++=上， 反射后穿过点()1,1Q .()1求入射光线的方程；()2求这条光线从点P 到点Q 的长度. 问题2．求直线1l ：23y x =+关于直线l ：1y x =+对称的直线2l 的方程. 问题3．根据下列条件，求直线的直线方程
()1求通过两条直线3100x y +-=和30x y -=的交点，且到原点距离为1； ()2经过点()3,2A ，且和直线420x y +-=平行；
()3经过点()3,0B ，且和直线250x y +-=垂直.
问题4．()1已知方程1x kx =+有一正根而没有负根，求实数k 的范围 ()2若直线1l ：2y kx k =++和2l ：24y x =-+的交点在第一象限，求k 的取值范围. ()3 已知定点()2,1P --和直线l ：()()()1312250x y λλλ+++-+=()R λ∈ 求证：不论λ取何值，点P 到直线l 13（三）课后作业：
1.方程()()()14232140k x k y k +--+-=表示的直线必经过点
.A ()2,2 .B ()2,2- .C ()6,2- .D 3422,55?? ???
2.直线2360x y +-=关于点()1,1-对称的直线方程是
.A 3220x y -+= .B 2370x y ++= .C 32120x y --= .D 2380x y ++=
3.曲线24y x =关于直线20x y -+=对称的曲线方程是
4.(){}.A x y y a x ==，(){},B x y y x a ==+，A B 仅有两个元素，则实数a 的范围是
5.求经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程
6.已知ABC △的顶点为()1,4A --，,B C ∠∠的平分线所在直线的方程分别是1l ： 10y +=和2l ：10x y ++=，求BC 边所在直线的方程.
7.已知直线130kx y k -+-=，当k 变化时所得的直线都经过的定点为 8.求证：不论m 取何实数，直线()()1215m x m y m -+-=-总通过一定点 9.求点P ()1,1关于直线l ：20x y ++=的对称点Q 的坐标 10.已知：(),P a b 和()1,1Q b a -+，()1a b ≠-是对称的两点，求对称轴的方程 11.光线沿直线1l ：250x y -+=射入，遇到直线2l ：3270x y -+=反射，求反射光线所在的直线3l 的方程
12.已知点()3,5A -，()2,15B ，试在直线l ：3440x y -+=上找一点P ，使PA PB + 最小，并求出最小值.
（四）走向高考：
1.(04安徽春)已知直线l ：10x y --=，1l ：220x y --=.若直线2l 和1l 关于l 对称，则2l 的方程为
.A 210x y -+= .B 210x y --= .C 10x y +-= .D 210x y +-=
2.（05上海）直线12
y x =关于直线1x =对称的直线方程是 3.（07上海文）圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是 .A 21)2()3(22=-++y x .B 21)2()3(22=++-y x .C 2)2()3(22=-++y x .D 2)2()3(22=++-y x