向量运算与复数运算、算法、推理与证明
高考考点考点解读
平面向量的运算及运用1.以平面图形为载体，借助向量考查数量关系与位置关系、向量的线性运算及几何意义
2．以平面向量基本定理为出发点，与向量的坐标运算、数量积交汇命题
3．直接利用数量积运算公式进行运算，求向量的夹角、模或判断向量的垂直关系
复数的概念及运算1.复数的概念、纯虚数、复数相等、共轭复数等
2．复数的几何意义及四则运算，重点考查复数的乘除运算
程序框图1.主要考查程序框图的应用及基本算法语句，尤其是含循环结构的程序框图
2．与分段函数的求值、数列求和或求积、统计等有规律的重复计算问题放在一起综合考查
合情推理1.主要考查合情推理和演绎推理，重点考查归纳推理和类比推理
2．以数表、数阵、图形等为背景与数列、周期性等数学知识相结合考查归纳推理
本部分内容在备考时应注意以下几个方面：
(1)加强对向量加法、减法的平行四边形法则与三角形法则的理解、掌握两向量共线与垂直的条件，熟记平面向量的相关公式，掌握求模、夹角的方法．
(2)掌握复数的基本概念及运算法则，在备考时注意将复数化为代数形式再进行求解，同时注意“分母实数化”的运用．
(3)关注程序框图和基本算法语句的应用与判别，尤其是含循环结构的程序框图要高度重视．
(4)掌握各种推理的特点和推理过程，同时要区分不同的推理形式，对归纳推理要做到归纳到位、准确；对类比推理要找到事物的相同点，做到类比合，对演绎推理要做到过程严密．
预测2020年命题热点为：
(1)利用平面向理的基本运算解决数量积、夹角、模或垂直、共线等问题，与三角函数、解析几何交汇命题．
(2)单独考查复数的四则运算，与复数的相关概念、复数的几何意义等相互交汇考查． (3)程序框图主要是以循环结构为主的计算、输出、程序框图的补全，与函数求值、方程求解、不等式求解数列求和、统计量的计算等交汇在一起命题．
(4)推理问题考查归纳推理和类比推理，主要与数列、立体几何、解析几何等结合在一起命题．
Z 知识整合hi shi zheng he
1．重要公式
(1)两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则
①a ∥b ?a ＝λb (b ≠0，λ∈R )?x 1y 2－x 2y 1＝0. ②a ⊥b ?a ·b ＝0?x 1x 2＋y 1y 2＝0. (2)复数的四则运算法则
(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i(a ，b ，c ，d ∈R )． (a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i(a ，b ，c ，d ∈R )． (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0)．
2．重要性质及结论
(1)若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.
(2)已知OA →＝λOB →＋μOC →
(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.. (3)平面向量的三个性质
①若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.
②若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →
|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.
③设θ为a 与b (a ≠0，b ≠0)的夹角，且a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝a ·b
|a ||b |
＝x 1x 2＋y 1y 2
x 21＋y 21x 22＋y 22
.
(4)复数运算中常用的结论：
①(1±i)2＝±2i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i ＝－i ；④－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；⑤i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋
2
＝－1，i 4n ＋
3＝－i ，其中n ∈N *
3．推理与证明 (1)归纳推理的思维过程
实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论 (2)类比推理的思维过程
实验、观察→联想、类推→猜测新的结论 (3)(理)数学归纳法证题的步骤
①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n ＝n 0(n 0∈N *)时，命题成立；
②(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题也成立． 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对于任何n ≥n 0的正整数都成立． Y 易错警示i cuo jing shi
1．忽略复数的定义：
在解决与复数概念有关的问题时，在运用复数的概念时忽略某一条件而致误． 2．不能准确把握循环次数
解答循环结构的程序框图(流程图)问题，要注意循环次数，防止多一次或少一次的错误． 3．忽略特殊情况：两个向量夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价；两个向量夹角为钝角与向量的数量积小于0不等价．
1．(2018·全国卷Ⅰ，1)设z ＝1－i
1＋i
＋2i ，则|z |＝( C ) A ．0 B ．1
2
C ．1
D ． 2
[解析] ∵ z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i
2＋2i ＝i ，
∴ |z |＝1. 故选C ．
2．(2018·全国卷Ⅱ，1)1＋2i
1－2i ＝( D )
A ．－45－35i
B ．－45＋35i
C ．－35－45
i
D ．－35＋45
i
[解析] 1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝1－4＋4i 1－(2i )2＝－3＋4i 5＝－35＋4
5i.
故选D ．
3．(2018·全国卷Ⅱ，4)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( B )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
[解析] a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2|a |2－a ·b . ∵ |a |＝1，a ·b ＝－1，∴ 原式＝2×12＋1＝3. 故选B ．
4．(2018·全国卷Ⅰ，6)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( A ) A ．34AB →－14AC →
B ．14AB →－34A
C →
C ．34AB →＋14
AC →
D ．14AB →＋34
AC →
[解析] 作出示意图如图所示． EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →
＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →
) ＝34AB →－14AC →. 故选A ．
5．(2018·北京卷，2)在复平面内，复数11－i 的共轭复数对应的点位于( D )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 [解析]
11－i ＝12＋i 2
，其共轭复数为12－i
2，对应点位于第四象限．
故选D ．
6．(2018·全国卷Ⅱ，7)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1
100，设计了如图所示的程序
框图，则在空白框中应填入
( B )
A ．i ＝i ＋1
B ．i ＝i ＋2
C ．i ＝i ＋3
D ．i ＝i ＋4
[解析] 把各循环变量在各次循环中的值用表格表示如下. 循环 次数
①
②
③ …
○
50 N
0＋1
1 0＋11＋13
0＋11＋ 13＋15 …
0＋11＋13＋ 15＋…＋199 T
0＋12 0＋12＋14
0＋12＋ 14＋16 …
0＋12＋14＋ 16＋…＋1100 S
1－12 1－12＋13－14
1－12＋13－ 14＋15－16
…
1－12＋13－14 ＋…＋199－1
100
因为N ＝N ＋1
i ，由上表知i 是1→3→5，…，所以i ＝i ＋2.
故选B ．
7．(2018·天津卷，3)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为( B )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[解析] 输入N 的值为20，
第一次执行条件语句，N ＝20，i ＝2，N
i ＝10是整数，
∴ T ＝0＋1＝1，i ＝3<5；
第二次执行条件语句，N ＝20，i ＝3，N i ＝20
3不是整数，
∴ i ＝4<5；
第三次执行条件语句，N ＝20，i ＝4，N
i ＝5是整数，
∴ T ＝1＋1＝2，i ＝5，此时i ≥5成立，∴ 输出T ＝2. 故选B ．
8．(2018·天津卷，9)i 是虚数单位，复数6＋7i
1＋2i ＝4－i.
[解析]
6＋7i 1＋2i ＝(6＋7i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )
＝20－5i
5＝4－i.
9．(2018·北京卷，9)设向量a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝－1. [解析] a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )，则m a －b ＝(m ＋1，－m )． 由a ⊥(m a －b )得a ·(m a －b )＝0， 即m ＋1＝0，得m ＝－1.
10．(2018·全国卷Ⅲ，13)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝1
2
.
[解析] 2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝1
2
.
命题方向1 平面向量的运算
例1 (1)如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →＝λAM →＋μBD →
，则λ
＋μ＝( B )
A ．4
3
B ．5
3
C ．15
8
D ．2
[解析] 方法一：建立平面直角坐标系如图所示，设正方形的边长为2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，M (2,1)，D (0,2)，所以AC →＝(2,2)，AM →＝(2,1)，BD →＝(－2,2)．由AC →＝λAM →＋μBD →
，得
(2,2)＝λ(2,1)＋μ(－2,2)，即(2,2)＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，所以?
??
??
2λ－2μ＝2，
λ＋2μ＝2，解得???
λ＝4
3，
μ＝1
3，
所以λ＋μ＝5
3
.故选B ．
方法二：因为AC →＝λAM →＋μBD →＝λ(AB →＋BM →)＋μ(BA →＋AD →)＝λ(AB →＋12AD →)＋μ(－AB →＋AD →
)
＝(λ－μ)AB →＋(12
λ＋μ)AD →
，所以?????
λ－μ＝1，1
2λ＋μ＝1，
得???
λ＝43
，μ＝1
3，
所以λ＋μ＝5
3
.
故选B ．
(2)在平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μDB →
，则λμ＝29.
[解析] 由图形可得：AM →＝AB →＋12AD →
①，
DB →＝AB →－AD →
②，
①×2＋②得：2AM →＋DB →＝3AB →，即AB →＝23AM →＋13DB →
，所以λ＝23，μ＝13，所以λμ＝29.
『规律总结』
1．平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．
2．正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用．
提醒：运算两平面向量的数量积时，务必要注意两向量的方向． G 跟踪训练
en zong xun lian
1．过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A ―→·PB ―→＝3
2.
[解析] 圆心为O (0,0)，则3，∠OP A ＝∠OPB ＝π
6
，则∠APB
＝π
3
，所以cos ∠APB ＝3·3·cos π3＝3
2
.
2．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(0,2)，若a ⊥(b －c )，则实数x 的值为( A ) A ．4
3
B ．3
4
C ．－3
4
D ．－43
[解析] 因为b －c ＝(x ，－4)，又a ⊥(b －c )，所以a ·(b －c )＝3x －4＝0，所以x ＝4
3
.
命题方向2 复数的概念与运算
例2 (1)已知复数z 1＝3＋i
1－i
的实部为a ，复数z 2＝i(2＋i)的虚部为b ，复数z ＝b
＋a i 的共轭复数在复平面内的对应点在( D )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
[分析] 先计算z 1、z 2求出a 、b ，再由共轭复数的定义求得z －
，最后写出对应点的坐标． [解析] z 1＝3＋i 1－i ＝(3＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )
＝1＋2i ，
z 2＝i(2＋i)＝－1＋2i ，∴a ＝1，b ＝2，∴z ＝2＋i ， ∴z －
＝2－i 在复平面内的对应点(2，－1)在第四象限． (2)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( B ) A ．1 B ． 2 C ． 3
D ．2
[解析] 因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝2，故选B ．
(3)(2018·郑州质检二)设i 是虚数单位，复数z ＝2i
1＋i ，则|z |＝( B )
A ．1
B ． 2
C ． 3
D ．2
[解析] |z |＝????2i 1＋i ＝22＝ 2. 『规律总结』
1．解决复数的概念与运算问题，一般都是直接用运算法则求或用复数相等的条件求解．一般是先变形分离出实部和虚部，把复数的非代数形式化为代数形式．然后再根据条件，列方程或方程组．
2．熟记复数表示实数、纯虚数的条件，复数相等的条件、共轭复数及复数的几何意义是解决复数问题的关键．
G 跟踪训练
en zong xun lian
1．设复数z 满足1＋z
1－z ＝i ，则|z |＝( A )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2
[解析] 因为1＋z 1－z ＝i ，所以z ＝－1＋i 1＋i ＝(－1＋i )(1－i )
(1＋i )(1－i )＝i ，故|z |＝1.
2．若复数z 满足z
1－i
＝1，其中i 为虚数单位，则z ＝( A )
A ．1－i
B ．1＋i
C ．－1－i
D ．－1＋i
[解析] 由z
1－i
＝i ，得z ＝i(1－i)＝1＋i ，z ＝1－i.
3．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( A )
A ．(－3,1)
B ．(－1,3)
C ．(1，＋∞)
D ．(－∞，－3)
[解析] 由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，所以?
???
?
m ＋3>0m －1<0，
解得－3 命题方向3 程序框图 例3 (1)执行下面的程序框图，若输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出的x ，y 的 值满足( C ) A ．y ＝2x B ．y ＝3x C ．y ＝4x D ．y ＝5x [解析] 运行程序，第1次循环得x ＝0，y ＝1，n ＝2.第2次循环得x ＝1 2，y ＝2，n ＝3， 第3次循环得x ＝3 2 ，y ＝6，此时x 2＋y 2≥36，输出x ，y ，满足C 选项． (2)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( C ) A ．s ≤3 4 B ．s ≤5 6 C ．s ≤11 12 D ．s ≤25 24 [解析] 第一次：k ＝2，s ＝12；第二次：k ＝4，s ＝34；第三次：k ＝6，s ＝11 12；第四次： k ＝8，s ＝2524；输出k ＝8，s ≤11 12 . 『规律总结』 解答程序框图问题的关注点 (1)首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构，特别是循环结构，如累加求和、累乘求积、多次输入等有规律的科学计算中，都有循环结构． (2)准确把握控制循环的变量，变量的初值和循环条件，弄清在哪一步结束循环；弄清循环体和输入条件、输出结果． (3)对于循环次数比较少的可逐步写出，对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环 结果，找出规律． 易错提醒：解答循环结构的程序框图(流程图)问题要注意输出循环次数的情况，防止多一次或少一次的错误． G 跟踪训练en zong xun lian 1．根据如图所示的框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是( C ) A ．a n ＝2n B ．a n ＝2(n －1) C ．a n ＝2n D ．a n ＝2n － 1 [解析] 当S ＝1，i ＝1时，执行循环体，a 1＝2，S ＝2，i ＝2， 若不满足条件i >N ，执行循环体，a 2＝4，S ＝4，i ＝3， 若不满足条件i >N ，执行循环体，a 3＝8，S ＝8，i ＝4， 若不满足条件i >N ，执行循环体，a 4＝16，S ＝16，i ＝5. …… 所以a n ＝2n . 2．执行如图所示的程序框图．如果输入n ＝3，则输出的S ＝( B ) A ．67 B ．37 C ．89 D ．49 [解析] 由题意得，输出的S 为数列{1(2n －1)(2n ＋1)}的前三项和，而1(2n －1)(2n ＋1)＝ 1 2(12n －1－12n ＋1)，所以S n ＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1 ，所以S 3＝3 7. 命题方向4 合情推理 例4 观察下列等式： ????sin π3－2＋????sin 2π3－2＝43 ×1×2； ????sin π5－2＋????sin 2π5－2＋????sin 3π5－2＋????sin 4π5－2＝43×2×3； ????sin π7－2＋????sin 2π7－2＋????sin 3π7－2＋…＋????sin 6π7－2＝43×3×4； ????sin π9－2＋????sin 2π9－2＋????sin 3π9－2＋…＋????sin 8π9－2＝43 ×4×5； …… 照此规律， ????sin π2n ＋1－2＋????sin 2π2n ＋1－2＋????sin 3π2n ＋1－2＋…＋??? ?sin 2n π2n ＋1－2＝43n (n ＋1). [解析] 每组角的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和．因此答案为4 3n (n ＋1)． 『规律总结』 1．在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论． 2．在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质． 3．归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性． G 跟踪训练en zong xun lian (2018·湖北八校联考)祖暅(公元前5～6世纪)是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一 橄榄状的几何体(如图)(称为椭球体)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于4π 3 ×b 2a . [解析] 椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，现构造两个底面半径为b ，高为a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V ＝2(V 圆柱－V 圆锥)＝2(π×b 2×a －π3×b 2a )＝4π 3 ×b 2a . A 组 1．(2017·全国卷Ⅱ，1)3＋i 1＋i ＝( D ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋i D ．2－i [解析] 3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i ) ＝3－3i ＋i ＋1 2＝2－i. 故选D ． 2．(文)已知i 为虚数单位，则复数1－3i 1＋i ＝( C ) A ．2＋i B ．2－i C ．－1－2i D ．－1＋2i [解析] 1－3i 1＋i ＝(1－3i )(1－i ) 2＝－1－2i ，故选C ． (理)若(1＋2a i)i ＝1－b i ，其中a 、b ∈R ，则|a ＋b i|＝( C ) A ．1 2＋i B ． 5 C ． 52 D ． 54 [解析] ∵(1＋2a i)i ＝－2a ＋i ＝1－b i ， ∴a ＝－1 2，b ＝－1， ∴|a ＋b i|＝|－1 2 －i |＝ (－12)2＋(－1)2＝52 . 3．(2018·济南二模)已知数列{a n }，观察如图所示的程序框图，若输入a 1＝1，d ＝2，k ＝7，则输出的结果为( C ) A ．49 B ．511 C ．613 D ．715 [解析] 由题中程序框图知，输出S ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋111×13＝12×(1－13＋1 3－ 15＋…＋111－113)＝6 13 . 4．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝20，a ·b ＝4，则|a －b |＝( C ) A ． 2 B ．2 3 C ．2 D ． 6 [解析] 向量的数量积．∵|a ＋b |＝20，a ·b ＝4， ∴|a ＋b |2－|a －b |2＝4a ·b ＝16，∴|a －b |＝2，故选C ． 5．设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( B ) A ． 5 B ．10 C ．2 5 D ．10 [解析] ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴x －2＝0，∴x ＝2， ∴a ＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |＝10. 6．(2018·大连一模)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( D ) A ．21 B ．34 C ．52 D ．55 [解析] 由题意可得，这种树从第一年的分枝数分别是1,1,2,3,5，…则2＝1＋1,3＝1＋ 2,5＝2＋3，即从第三项起，每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数是21＋34＝55.故选D ． 7．下面框图所给的程序运行结果为S ＝28，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( D ) A ．k ＝8? B ．k ≤7? C ．k <7? D ．k >7? [解析] 开始→k ＝10，S ＝1，满足条件→S ＝1＋10＝11，k ＝10－1＝9，满足条件→S ＝11＋9＝20，k ＝9－1＝8，满足条件→S ＝20＋8＝28，k ＝8－1＝7.由于输出S 的值为28，故k ＝7不再满足条件，故选D ． 8．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，则EB →＋FC → ＝( A ) A ．AD → B ．12AD → C ．BC → D ．12 BC → [解析] 如图， EB →＋FC → ＝－12(BA →＋BC →)－12(CB →＋CA →) ＝－12(BA →＋CA →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →. 选A ． 9．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( B ) A ．|a ·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2 [解析] 由|a ·b |＝||a |·|b |·cos θ|， 因为－1≤cos θ≤1，所以|a ·b |≤|a ||b |恒成立； 由向量减法的几何意义结合三角形的三边关系可得|a －b |≥||a |－|b ||，故B 选项不成立； 根据向量数量积的运算律C ，D 选项恒成立． 10．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为( C ) A ．201 B ．411 C ．465 D ．565 [解析] 200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)·(1＋5＋52)＝465，所以200的所有正约数之和为465. 11．设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝－1. [解析] (1＋i)(a ＋i)＝(a －1)＋(a ＋1)i ，所以a ＋1＝0，a ＝－1. 12．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，若a ∥b ，则|2a ＋3b |等于4 5. [解析] 由a ∥b ?m ＋4＝0，解得m ＝－4，故2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，因此|2a ＋3b |＝(－4)2＋(－8)2＝4 5. 13．已知△ABC 的面积为23，且B ＝2π3，则AB →·BC → ＝4. [解析] 设△ABC 的三角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 则S ＝12ac sin B ＝3 4ac ＝23，即ac ＝8， AB →·BC →＝|AB →||BC →|·cos(π－B )＝ca cos π3＝8×12 ＝4. 14．执行下边的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的y 的值为13. [解析] 第一次执行程序，满足条件x ＜2，x ＝1＋1＝2；第二次执行程序，不满足条件x ＜2，y ＝3×22＋1＝13，输出y ＝13，结束．答案为13. 15．(2018·聊城一模)观察等式：f (13)＋f (23)＝1；f (14)＋f (24)＋f (34)＝32；f (15)＋f (25)＋f (35)＋f (4 5) ＝2；f (16)＋f (26)＋f (36)＋f (46)＋f (56)＝5 2 ； … 由以上几个等式的规律可猜想f (12 019)＋f (22 019)＋f (32 019)＋…＋f (2 0182 019 )＝1_009. [解析] 从所给四个等式看：等式右边依次为1，32，2，52，将其变为22，32，42，5 2，可以 得到右边是一个分数，分母为2，分子与左边最后一项中自变量的分子相同，所以f (1 2 019) ＋f (22 019)＋f (32 019)＋…＋f (2 0182 019)＝2 0182 ＝1 009. B 组 1．设复数z 1＝1＋i ，z 2＝2＋b i ，若z 2 z 1为实数，则实数b 等于( D ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 [解析] z 2z 1＝2＋b i 1＋i ＝(1－i )(2＋b i )2 ＝ (2＋b )＋(b －2)i 2 ， 若其为实数，则有b －2 2 ＝0，解得b ＝2. 2．(文)(2018·石景山检测)已知复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i ，若z 是纯虚数，则实数a 等于( B ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 [解析] ∵z 为纯虚数，∴? ???? a 2－1＝0，a ＋1≠0，∴a ＝1. (理)已知复数z 1＝1＋i ，z 2＝a ＋i ，若z 1·z 2为纯虚数，则实数a 的值为( B ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 [解析] ∵z 1·z 2＝(a －1)＋(a ＋1)i 为纯虚数， ∴? ???? a －1＝0 a ＋1≠0，∴a ＝1. 3．(2017·全国卷Ⅱ，4)设非零向量a ， b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( A ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥b D ．|a |>|b | [解析] 方法一：∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴|a ＋b |2＝|a －b |2. ∴a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b . ∴a ·b ＝0. ∴a ⊥b . 故选A ． 方法二：利用向量加法的平行四边形法则． 在?ABCD 中，设AB →＝a ，AD → ＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知|AC →|＝|DB → |，∴|AC |＝|DB | 从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b . 故选A ． 4．执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为( B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [解析] 输入a ＝1，则b ＝1，第一次循环，a ＝－11＋1 ＝－1 2，k ＝1；第二次循环，a ＝ －11－12＝－2，k ＝2；第三次循环，a ＝－1 1－2 ＝1，此时a ＝b ，结束循环，输出k ＝2.故选B ． 5．(2018·潍坊一模)若复数z ＝m (m －1)＋(m －1)(m －2)i 是纯虚数，其中m 是实数，i 2 ＝－1，则1 z 等于( D ) A ．12 B ．－12 C ．i 2 D ．－i 2 [解析] 因为复数z ＝m (m －1)＋(m －1)·(m －2)i 是纯虚数，所以m (m －1)＝0且(m －1)(m －2)≠0，所以m ＝0，则1z ＝12i ＝－i 2 . 6．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，则|a －t b |(t ∈R )的最小值为( A ) A ． 32 B ．12 C ．1 D ．2 [解析] 由于|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，于是|a ＋b |2＝1，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝1， 即a ·b ＝－12 . |a －t b |2＝a 2－2t a ·b ＋t 2b 2＝(1＋t 2)－2t a ·b ＝t 2＋t ＋1≥34，故|a －t b |的最小值为3 2. 7．如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N )个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9 a 2 018a 2 019 ＝( C ) A ．2 015 2 016 B ．2 0162 017 C ．2 0172 018 D ．2 0182 019 [解析] 每条边有n 个点，所以三条边有3n 个点，三角形的3个顶点都被重复计算了一次，所以减3个顶点，即a n ＝3n －3，那么9a n a n ＋1＝9(3n －3)×3n ＝1(n －1)n ＝1n －1－1 n ， 则 9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 018a 2 019＝(11－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…(12 017－12 018 )＝1－12 018＝2 0172 018 .故选C ． 8．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x ＝2，n ＝2，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s ＝( C ) A ．7 B ．12 C ．17 D ．34 [解析] 由程序框图知， 第一次循环：x ＝2，n ＝2，a ＝2，s ＝0×2＋2＝2，k ＝1； 第二次循环：a ＝2，s ＝2×2＋2＝6，k ＝2； 第三次循环：a ＝5，s ＝6×2＋5＝17，k ＝3.结束循环，输出s 的值为17，故选C ． 9．设复数z 的共轭复数为z ，若z ＝1－i(i 为虚数单位)，则z z ＋z 2的虚部为－1. [解析] ∵z ＝1－i(i 为虚数单位)， ∴z z ＋z 2＝ 1＋i 1－i ＋(1－i)2 ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i ) －2i ＝2i 2－2i ＝－i ，故其虚部为－1. 10．(文)(2018·厦门联考)刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下： 甲说：“我们四人都没考好．” 乙说：“我们四人中有人考得好．” 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．” 丁说：“我没考好．” 结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的乙，丙两人说对了． [解析] 甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为乙，丙． (理)(2018·湖北七市联考)观察下列等式： 1＋2＋3＋…＋n ＝1 2 n (n ＋1)； 1＋3＋6＋…＋12n (n ＋1)＝1 6 n (n ＋1)(n ＋2)； 1＋4＋10＋…＋16n (n ＋1)(n ＋2)＝1 24n (n ＋1)(n ＋2)·(n ＋3)； …… 可以推测，1＋5＋15＋…＋124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)1120 n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)(n ∈N *). [解析] 根据式子中的规律可知，等式右侧为1 5×4×3×2×1n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4) ＝ 1 120 n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)(n ∈N *) 11．(2017·江苏卷，4)如图是一个算法流程图，若输入x 的值为1 16，则输出y 的值是－ 2. 2012高考真题分类汇编：推理与证明 1. 【 2012 高 考 真 题 江 西 理 6 】 观 察 下 列 各 式 ： 221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=L 则1010a b += A ．28 B ．76 C ．123 D ．199 【答案】C 【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。 【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11，数列的前两项相加后面的项，即 21++=+n n n a a a ，所以可推出12310=a ，选C. 2.【2012高考真题全国卷理12】正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝ 7 3 .动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10 【答案】B 【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可. 3.【2012高考真题湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数， 以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159L 判断，下列近似公式中最精确的一个是 11.d ≈ B ．d C ．d D ．d ≈ 【答案】D 【解析】 346b 69()d ,===3.37532b 16 616157611 ==3==3.14,==3.142857230021 d a V A a B D πππππππ?==???由，得设选项中常数为则；中代入得， 中代入得，C 中代入得中代入得，由于D 中值最接近的真实值，故选择D 。 4.【2012高考真题陕西理11】 观察下列不等式 213122+ < 231151233++<， 题型一：综合法 【例1】若 11 0a b <<,则下列结论不正确的是 ( ) Ａ．22a b < Ｂ．2ab b < Ｃ．2b a a b +> Ｄ．a b a b -=- 【例2】如果数列{}n a 是等差数列，则（ ）。 （A ）1845a a a a +<+ （B ） 1845a a a a +=+ （C ）1845a a a a +>+ （D ）1845a a a a = 【例3】在△ABC 中若2sin b a B =,则A 等于( ) (A)003060或 (B)004560或 (C)0060120或 (D)0030150或 【例4】下列四个命题：①若1 02 a << ,则()()cos 1cos 1a a +<-;②若01a <<,则11a -1a >+>2a ;③若x 、y ∈R ，满足2y x =,则()2log 22x y +的最小值是7 8；④ 若a 、b ∈R ，则221a b ab a b +++>+。其中正确的是（ ）。 (A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④ 【例5】下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++222；②()4 1 1≤ -a a ；③2≥+a b b a ；④()()()2 2222bd ac d c b a +≥+?+.其中不成立的有 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 【例6】已知,a b R ∈且,0a b ≠，则在① ab b a ≥+222；②2≥+b a a b ； 典例分析 板块二.直接证明与 间接证明 ③2 )2 (b a ab +≤；④2)2(222b a b a +≤+这四个式子中，恒成立的个数是 （ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 【例7】已知c b a ,,均大于1，且4log log =?c b c a ，则下列各式中，一定正确的是 （ ） A b ac ≥ B c ab ≥ C a bc ≥ D c ab ≤ 【例8】已知不等式1()()9,a x y x y ++≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值是 （ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【例9】α、β为锐角()sin a αβ=+，sin sin b αβ=+，则a 、b 之间关系为 （ ） A ．a b > B ．b a > C ．a b = D ．不确定 【例10】设M 是ABC ?内一点，且AB AC ?=u u u r u u u r 30BAC ∠=?，定义()(,,)f M m n p =， 其中m 、n 、p 分别是MBC ?，MCA ?，MAB ?的面积，若1 ()(,,)2 f P x y =，则14x y + 的最小值是 （ ） A ．8 B ．9 C ．16 D ．18 【例11】若函数32)1(2++-=mx x m y 是偶函数，则)4 3(-f ，)1(2+-a a f （a ∈R ） 的大小关系是)4 3(-f )1(2+-a a f . 【例12】设≥++=++>>>c b a c b a c b a 111 ,1,0,0,0则若 【例13】函数()y f x =在（0，2）上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则 ()1f ,()2.5f ,()3.5f 的大小关系是 . 【例14】已知 5,2==b a ρρ，向量b a ρρ与的 夹角为0 120，则a b a ρρρ．)2(-= 10分钟秒杀高考数学选择题——老师不会教你的技巧 特值法： 从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等 例1 (2017·卷)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A.a ＋1b ＜b 2a ＜log 2(a ＋b ) B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1 b C.a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2 a D.log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2 a 例2．设4 7 10 310()22222()n f n n N +=++++ +∈，则()f n =（ ） A 、 2(81)7n - B 、12(81)7n +- C 、32(81)7n +- D 、42 (1)7 n n +- 【解析】思路一（特值法）：令0n =，则34 4 7 10 421(2)2 (0)2222(81)12 7 f ??-?? =+++= =--，对照选项，只有D 成立。 思路二：f （n ）是以2为首项，8为公比的等比数列的前4n +项的和，所以 44 2(18)2()(1)187 n n f n n ++-==--，选D 。这属于直接法。 例3.若函数(1)y f x =+是偶函数，则(2)y f x =的对称轴是（ ） A 、0x = B 、1x = C 、1 2 x = D 、2x = 【解析】：因为若函数(1)y f x =+是偶函数，作一个特殊函数2 (1)y x =-，则(2)y f x =变为2 (21)y x =-，即知(2)y f x =的对称轴是1 2 x = ，选C 例4．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，=m(++)OH OA OB OC ，则实数m= 【答案】1 【解析】取特殊的直角三角形△ABC ，点O 为斜边的中点，点H 与三角形直角顶点C 重合，这时候有=++OH OA OB OC ，所以m=1 历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题46 推理与证明（学生版） 一．选择题（共9小题） 1．（2019?新课标Ⅱ）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为() A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙2．（2019?新课标Ⅰ）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的 长度之比是5151 (0.618 -- ≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此 外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51 - ．若某人满足上述两 个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是( ) A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm 3．（2017?新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则() A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩4．（2016?新课标Ⅲ）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15C ?，B点表示 四月的平均最低气温约为5C ?，下面叙述不正确的是( ) A ．各月的平均最低气温都在0C ?以上 B ．七月的平均温差比一月的平均温差大 C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均最高气温高于20C ?的月份有5个 5．（2016?北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每 次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ) A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 6．（2014?北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不 合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有( ) A ．2人 B ．3人 C ．4人 D ．5人 7．（2013?广东）设整数4n ，集合{1X =，2，3，?，}n ．令集合{(S x =，y ，)|z x ，y ， z X ∈，且三条件x y z <<，y z x <<，z x y <<恰有一个成立}．若(x ，y ，)z 和(z ，w ，)x 都在S 中，则下列选项正确的是( ) 高考数学选择题技巧精 选文档 TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8- 高考数学选择题的解题策略 解答选择题的基本策略是准确、迅速。准确是解答选择题的先决条件，选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，确保准确；迅速是赢得时间获取高分的必要条件，对于选择题的答题时间，应该控制在不超过40分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完，要避免“超时失分”现象的发生。 高考中的数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择。解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略。 （一）数学选择题的解题方法 1、直接法：就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。 例1、某人射击一次击中目标的概率为，经过3次射击，此人至少有2次 击中目标的概率为 （ ） 解析：某人每次射中的概率为，3次射击至少射中两次属独立重复实验。 125 27)106(104)106(33 3223= ?+??C C 故选A 。 例2、有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直。其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断，易得都是正确的，故选D 。 例3、已知F 1、F 2是椭圆162x +9 2 y =1的两焦点，经点F 2的的直线交椭圆 于点A 、B ，若|AB|=5，则|AF 1|+|BF 1|等于（ ） 运用向量法证明几个数学 向量法是几何问题代数化的一种重要方法，运用向量法可以证明一些三角或者几何公式，下面仅举几例予以说明。 例1、用向量证明和差化积公式 cos cos 2cos cos 22αβ αβ αβ+-+= sin sin 2sin cos 22αβαβ αβ+-+= 如图，作单位圆，并任作两个向量 (cos ,sin )OP αα=u u u r ，(cos ,sin )OQ ββ=u u u r 取 ?PQ 的中点M ，则 (cos ,sin )2 2 M αβαβ ++ 连接PQ 、OM ，设它们相交于点N ，则点N 为线段PQ 的中点，且ON PQ ⊥，∠Mo x 和∠MOQ 分别为,22αβαβ +-，所以||||cos cos 22 ON OM αβαβ --==u u u r u u u u r ，所以点N 的坐标为(||cos ,||sin ) 22 ON ON αβαβ ++u u u r u u u r ，即(cos cos ,cos sin )2222N αβαβαβαβ-+-+ 又11 ()(cos cos ,sin sin )22ON OP OQ αβαβ=+=++u u u r u u u r u u u r 所以(cos cos ,cos sin )2222αβαβαβαβ-+-+1 (cos cos ,sin sin )2 αβαβ=++ 即cos cos 2cos cos 22 αβαβ αβ+-+= sin sin 2sin cos 22 αβαβαβ+-+= 在上面的基础上，还可以证明另外两个和差化积公式： sin sin 2cos sin 22αβ αβ αβ+--= cos cos 2sin sin 2 2 αβ αβ αβ+--=- 如图，过P 点作y 轴的平行线，过Q 作x 轴的平行线相交于点F ，那么||sin sin PF αβ=-u u u r ，||cos cos FQ βα=-u u u r ， ∠ QPF ＝ ∠ QNE ＝ ∠ Mox ＝ 2 αβ +， ||2||2||sin 2sin 22 PQ NQ OQ αβαβ --===u u u r u u u r u u u r 所以||||cos ,||||sin PF PQ QPF FQ PQ QPF =∠=∠u u u r u u u r u u u r u u u r 即sin sin 2cos sin 22αβ αβ αβ+--= cos cos 2sin sin 22 αβαβ αβ+--=- 例2、用向量解决平行四边形与三角形面积的计算公式 如图，在直角坐标系中，已知12(,)OA a a a ==u u u r r ，12(,)OB b b b ==u u u r r ，以线段OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，那么平行四边形的面积1221||S a b a b =-，三角形OAB 的面积 12211 ||2 OAB S a b a b ?= - 证明：设,a b α<>=r r ，那么可以得出 ||||sin OACB S a b α=r r ，由于cos ||||a b a b α?=r r r r 所以222sin 1cos 1()|||| a b a b αα?=-=-r r r r 222222 1122122111221221222222222 222121212121212()2()1()()()()()()a b a b a b a b a b a b a b a b a a b b a a b b a a b b ++--=-==++++++ 所以sin α= 推理与证明 1.（2019全国II 文5）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲 D ．甲、丙、乙 2．(2018浙江)已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若 11a >，则 A ．13a a <，24a a < B ．13a a >，24a a < C ．13a a <，24a a > D ．13a a >，24a a > 3．(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤则 A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈ B ．对任意实数a ，(2,1)A ? C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ? D ．当且仅当3 2 a ≤ 时，(2,1)A ? 4．（2017新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说， 你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则 A ．乙可以知道两人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩 5．(2018江苏)已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B U 的所有元 素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得 112n n S a +>成立的n 的最小值为 ． 6．（2017北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （ⅰ）男学生人数多于女学生人数； 1 2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练 合情推理与演绎推理 题型一 归纳推理 1 与数字有关的等式的推理 【易错点】 例1观察下列等式： ????sin π3－2＋????sin 2π3－2＝43 ×1×2； ????sin π5－2＋????sin 2π5－2＋????sin 3π5－2＋????sin 4π5－2＝43×2×3； ????sin π7－2＋????sin 2π7－2＋????sin 3π7－2＋…＋????sin 6π7－2＝43×3×4； ????sin π9－2＋????sin 2π9－2＋????sin 3π9－2＋…＋????sin 8π9－2＝43 ×4×5； … 照此规律，????sin π2n ＋1－2＋????sin 2π2n ＋1－2＋????sin 3π2n ＋1－2＋…＋??? ?sin 2n π2n ＋1－ 2＝__________. 【答案】 4 3 ×n ×(n ＋1) 【解析】观察等式右边的规律：第1个数都是4 3，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1. 2 与不等式有关的推理 例2已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式： a 1＋a 2 2≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3 a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4 a 1a 2a 3a 4； … 照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n n ≥______. 【答案】 n a 1a 2…a n 【解析】 根据题意得a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n (n ∈N *，n ≥2)． 3 与数列有关的推理 例3观察下列等式： 高考数学答题中的一些特殊技巧选择题是知识灵活运用，解题要求是只要结果、不要过程。因此，逆代法、估算法、特例法、排除法、数形结合法……尽显威力。12个选择题，若能把握得好，容易的一分钟一题，难题也不超过五分钟。由于选择题的特殊性，由此提出解选择题要求“快、准、巧”，忌讳“小题大做”。 选择题应做到准确而且快速，应“多一点想的，少一点算的”，“不算就不会算错”因此，在解答时应该突出一个＂选＂字，尽量减少书写解题过程，在对照选择支的同时，多方考虑间接解法，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取。我们不要给任何“方法”做出限定，重要的是这种解答的思想方式。 一、按部就班的解题方法。 二、解题技巧。 选择题只管结果，不管中间过程，因此在解题过程中可以大胆的简化中间过程，但简化毕竟是简化，数学是一门具有高度精密逻辑性的严谨的科学，没有充分的依据，所有的条件反射都是错误的，只有找到对的依据、逻辑思维过程、验证，答案才可确定，“做题不可以凭印象来，凡‘差不多就是’的都是错误的，无十足把握的都是错误的”。 选择题毕竟是简单的甚至可以口算的，思路也是简单的，如果没思路、做不下去或觉得复杂，或者发现做的时候需要大 量计算的时候，可以明确的告诉自己，你的方向错了，可以换一种思路了。 1.直接法 当选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编成的时，可直接按计算题、应用题、证明题、判断题来做，确定答案之后，从选项里找即可。 2.筛选法（排除法） 去伪存真，筛除一些较易判定的的、不合题意的结论，以缩小选择的范围，再从其余的结论中求得正确的答案。如筛去不合题意的以后，结论只有一个，则为应选项。 3.特殊值法 根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或某些特殊值进行计算，或将字母参数换成具体数值代入，或将比例数看成具体数带人，总之，把一般形式变为特殊形式，再进行判断往往十分简单。 4.验证法（代入法） 将各选项逐个代入题干中，进行验证、或适当选取特殊值进行检验、或采取其他验证手段，以判断选择支正误的方法。 5.图象法 可先根椐题意，作出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论。 6.试探法 2018高考文科数学推理与证明专项100题（WORD版含答案）1. 下列说法中正确的是（） A．当a＞1时，函数y=a x是增函数，因为2＞1，所以函数y=2x是增函数，这种推理是合情推理 B．在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，将此结论放到空间中也是如此．这种推理是演绎推理 C．命题的否定是￢P：?x∈R，e x＞x D．若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小 2. 以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”． 该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（） A．2017×22015B．2017×22014C．2016×22015D．2016×22014 3. 用反证法证明命题：“若a，b∈R，则函数f（x）=x3+ax﹣b至少有一个零点”时，假设应为（） A．函数没有零点B．函数有一个零点 C．函数有两个零点D．函数至多有一个零点 4. 分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a＜b＜c，且a+b+c=0，求证：b2﹣ac＜ 3c2，则证明的依据应是（） A．c﹣b＞0 B．c﹣a＞0 C．（c﹣b）（c﹣a）＞0 D．（c﹣b）（c﹣a）＜0 5. 有一段演绎推理是这样的“所有边长都相等的多边形为凸多边形，菱形是所有边长都相等的凸多边形，所有菱形是正多边形”结论显然是错误的，是因为（） A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误 6. 我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（） A．B．C．D．a 7. 定义：“回文”是指正读反读都能读通的句子，它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏，如“我为人人，人人为我”等．在数学中也有这样一类数字有这样的特征，称为回文数．设n是一任意自然数．若将n的各位数字反向排列所得自然数n1与n相等，则称n 为一回文数．例如，若n=1234321，则称n为一回文数；但若n=1234567，则n不是回文数．则下列数中不是回文数的是（） A．187×16 B．1112C．45×42 D．2304×21 8. 学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》、《茶馆》、《天籁》和《马蹄声碎》四部话剧，每天一部．受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演；《茶馆》不能在周一和周三上演；《天籁》不能在周三和周四上演；《马蹄声碎》不能在周一和周四上演．那么下列说法正确的是（） A．《雷雨》只能在周二上演 B．《茶馆》可能在周二或周四上演 C．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D．四部话剧都有可能在周二上演 9. 小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过长城时， 小赵说：我没去过； 小钱说：小李去过； 小孙说；小钱去过； 小李说：我没去过． 假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是（） A．小赵B．小李C．小孙D．小钱 10. 设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R=（） 高中数学备考资料：高考数学选择题十大万能解题方法1.特值检验法：对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。 2.极端性原则：将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面，很多计算步骤繁琐、计算量大的题，一但采用极端性去分析，那么就能瞬间解决问题。 3.剔除法：利用已知条件和选择支所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。 4.数形结合法：由题目条件，作出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，经过简单的推理或计算，从而得出答案的方法。数形结合的好处就是直观，甚至可以用量角尺直接量出结果来。 5.递推归纳法：通过题目条件进行推理，寻找规律，从而归纳出正确答案的方法。 6.顺推破解法：利用数学定理、公式、法则、定义和题意，通过直接演算推理得出结果的方法。 7.逆推验证法(代答案入题干验证法)：将选择支代入题干进行验证，从而否定错误选择支而得出正确选择支的方法。 8.正难则反法：从题的正面解决比较难时，可从选择支出发逐步逆推找出符合条件的结论，或从反面出发得出结论。 9.特征分析法：对题设和选择支的特点进行分析，发现规律，归纳得出正确判断的方法。 10.估值选择法：有些问题，由于题目条件限制，无法(或没有必要)进行精准的运算和判断，此时只能借助估算，通过观察、分析、比较、推算，从面得出正确判断的方法。 用向量法证明海伦公式 杜云 （六盘水师范学院数学系；贵州六盘水553004） 摘要：从数与形的角度对向量进行再认识，通过应用向量方法证明海伦公式，更进一步阐明了向量是沟通代数与几何的天然桥梁，是一个重要的数学模型，它能为解决问题提供新的方法和视角。 关键词：向量；几何；海伦公式；数形结合 中图分类号：G421文献标识码：A 文章编号：1671-055X （2009）03-0063-03 To prove Heron's Formula with the Vector DU Yun (Mathematics Department of Liupanshui Nornal College;Liupanshui,553004,China) Abstract:Recognized the vector from algebra and geometry and by proving Heron's Formula further expounds ,If shows thar the vector is a natural bridge between algebra and geometry,and it is an important mathematics style,and also provides the new method and view to solve the problems. Key words :vector ；geometry;Heron's Formula;combination between algebra and geometry 收稿日期：2009-03-03 作者简介：杜云（1982-），男，贵州盘县人，助教，研究方向：高等代数与解析几何。 第21卷第3期 2009年6月六盘水师范高等专科学校学报Journal of Liupanshui Teachers College Vol.21NO.3June 2009 63-- 课时规范练 A组基础对点练 1．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根” 时，要做的假设是() A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b ＝0没有实根”． 答案：A 2．(2019·重庆检测)演绎推理“因为对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)是增函数，而 函数y＝log 1 2x是对数函数，所以y＝log 1 2x是增函数”所得结论．错误的原因 是() A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．大前提和小前提都错误 解析：因为当a>1时，y＝log a x在定义域内单调递增，当0 4．已知a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，观察下列运算： a 1·a 2＝log 23·log 34＝lg 3lg 2·lg 4lg 3＝2； a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝log 23·log 34·…·log 78＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·…·lg 8lg 7＝3；…. 若a 1·a 2·a 3·…·a k (k ∈N *)为整数，则称k 为“企盼数”，试确定当a 1·a 2·a 3·…·a k ＝2 016时，“企盼数”k 为( ) A ．22 016＋2 B ．22 016 C ．22 016－2 D ．22 016－4 解析：a 1·a 2·a 3·…·a k ＝lg (k ＋2)lg 2＝2 016，lg(k ＋2)＝lg 22 016，故k ＝22 016－2. 答案：C 5．(2019·丹东联考)已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)， (2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为( ) A ．(3,9) B ．(4,8) C ．(3,10) D ．(4,9) 解析：因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)．故选D. 答案：D 6．下列结论正确的个数为( ) (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确． (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理． (3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的． (4)平面内，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为1∶8. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：(1)不正确．(2)(3)(4)正确． 答案：D 福利：本教程由捡漏优惠券（https://www.doczj.com/doc/7714973947.html, ）整理提供 领红包：支付宝首页搜索“527608834”即可领取支付宝红包哟 领下面余额宝红包才是大红包，一般都是5-10元 支付的时候把选择余额宝就行呢 每天都可以领取早餐钱哟！ 2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练 合情推理与演绎推理 题型一 归纳推理 1 与数字有关的等式的推理 【易错点】 例1观察下列等式： ????sin π3－2＋????sin 2π3－2＝43 ×1×2； ????sin π5－2＋????sin 2π5－2＋????sin 3π5－2＋????sin 4π5－2＝43×2×3； ????sin π7－2＋????sin 2π7－2＋????sin 3π7－2＋…＋????sin 6π7－2＝43×3×4； ????sin π9－2＋????sin 2π9－2＋????sin 3π9－2＋…＋????sin 8π9－2＝43 ×4×5； … 照此规律，????sin π2n ＋1－2＋????sin 2π2n ＋1－2＋????sin 3π2n ＋1－2＋…＋??? ?sin 2n π2n ＋1－ 2＝__________. 【答案】 4 3 ×n ×(n ＋1) 【解析】观察等式右边的规律：第1个数都是4 3，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1. 2 与不等式有关的推理 例2已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式： a 1＋a 2 2≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3 a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4 a 1a 2a 3a 4； … 照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n n ≥______. 【答案】 n a 1a 2…a n 解高考数学选择题的常用方法和解答技巧 云南省文山州砚山一中，（663100） 马兴奎 趣题引入 正三棱锥BCD A -中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上，并使 λ==FD CF EB AE )0(>λ，设α为异面直线EF 与AC 所成的角，β为异面直线EF 与BD 所成的角，则βα+的值是 （ ） A ． 6π B ．4π C ．3π D ．2 π 分析：解本题通常方法是画一个图，但不容易求解，只有紧紧抓住λ的两个极端值才能快速获解。 解：当0→λ时，A E →，且C F →，从而AC EF →。因为BD AC ⊥（正三棱锥中对棱互相垂直），排除选择支C B A ,,。故选D （或+∞→λ时的情况，同样可排除C B A ,,） 技巧精髓 一、选择题中的题干、选项和四选一的要求都是题目给出的重要信息，答题时要 充分利用。 二、解答选择题的基本原则是小题不能大做，小题需小做、繁题会简做、难题要 巧做。求解选择题的基本方法是以直接思路肯定为主，间接思路否定为辅，即求解时出了用直接计算方法之外还可以用逆向化策略、特殊化策略、图形化策略、整体化策略等方法求解。 三、解答选择题应注意以下几点：认真审题、先易后难、大胆猜想、小心验证。 1、逆向化策略 在解选择题时，四个选项以及四个选项中只有一个答案符合题目要求都是做题的重 要信息，逆向化策略是把四个选项作为首先考虑的信息。解题时，要“盯住选项”，着重通过对选项的分析、考查、验证、推断而进行肯定或否定，或者根据选项之间的关系进行逻辑分析和筛选，从而迅速找到所要选择的、符合题目的选项。 【例1】（2005年，天津卷）设)(1x f -是函数)1( )(2 1)(>-=-a a a x f x x 的反函数，则使1)(1>-x f 成立的x 的取值范围为 （ ） A ．),21(2+∞-a a B ． )21,(2a a --∞ C ． ),21(2a a a - D ． ),[+∞a 【绿色通道】本题用直接法求解是先求出反函数，然后带入已知1)(1>-x f 得到一个不等 2019高考复习数学直接证明与间接证明专 项练习（附解析） 直接证明是相对于间接证明说的，综合法和分析法是两种常见的直接证明。以下是直接证明与间接证明专项练习，请考生认真练习。 1.(2019山东，文4)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是() A.方程x3+ax+b=0没有实根 B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根 C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根 D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根 2.要证:a2+b2-1-a2b2≤0，只要证明() A.2ab-1-a2b2≤0 B.a2+b2-1-≤0 C.-1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0 3.设a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+() A.都大于2 B.都小于2 C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2 4.(2019天津模拟)p=，q=(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p，q的大小为() A.p≥q B.p≤q C.p>q D.不确定 5.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1+x2>0，则f(x1)+f(x2)的值() A.恒为负值 B.恒等于零 C.恒为正值 D.无法确定正负 6.(2019福建三明模拟)命题“如果数列{an}的前n项和 Sn=2n2-3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立() A.不成立 B.成立 C.不能断定 D.与n取值有关 7.用反证法证明“如果a>b，那么”假设内容应是. 8.在不等边三角形中，a为最大边，要想得到角A为钝角的结论，三边a，b，c应满足. 9.已知a>0，求证:≥a+-2. 10.已知在数列{an}中，a1=5，且an=2an-1+2n-1(n≥2，且nN*). (1)证明:数列为等差数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn. 能力提升组 11.已知m>1，a=，b=，则以下结论正确的是() A.a>b B.aa+b，那么a，b应满足的条件是. 13.设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明:≥1. 14.△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c. 求证:. 15.(2019福建宁德模拟)设函数f(x)定义在(0，+∞)上，f(1)=0，导函数f'(x)=，g(x)=f(x)+f'(x). 高考数学选择题蒙题技巧秒杀选择题的方法 1、圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致算不出，这时你可以取特殊值法强行 算出过程就是先联立，后算代尔塔，用下韦达定理，列出题目要求解的表达式，就ok了。 2、高考数学必考题型之空间几何，证明过程中有一步实在想不出把没用过的条件直 接写上然后得出想不出的那个结论即可。如果第一题真心不会做直接写结论成立则第二题 可以直接用!用常规法的考生建议先随便建立个空间坐标系，如果做错了，至少还可以得 几分，这是一个投机取巧的技巧，但好比过一分不得! 3、空间几何过程中有一步实在想不出把没用过的条件直接写上然后得出想不出的那 个结论即可。如果第一题真心不会做直接写结论成立则第二题可以直接用!用常规法的同 学建议先随便建立个空间坐标系，做错了还有2分可以得! 4、立体几何中，求二面角b-oa-c的新方法。利用三面角余弦定理。设二面角b-oa-c 是∠oa，∠aob是α，∠boc是β，∠aoc是γ，这个定理就是：cos∠oa=cosβ- cosαcosγ/sinαsinγ。知道这个定理，如果考试中遇到立体几何求二面角的题，套一 下公式就出来了，还来得及，试试? 一：直选法——简单直观 这种方法一般适用于基本不需要“转变”或推理的简单题目.这些题目主要考查考生 对物理识记内容的记忆和理解程度，属常识性知识题目.常见考纲中的Ⅰ级要求内容。 二：比较排除法——排除异己 这种方法要在读懂题意的基础上，根据题目的要求，先将明显的错误或不合理的备选 答案一个一个地排除掉，最后只剩下正确的答案。如果选项是完全肯定或否定的判断，可 通过举反例的方式排除;如果选项中有相互矛盾或者是相互排斥的选项，则两个选项中可 能有一种说法是正确的，当然，也可能两者都错，但绝不可能两者都正确。 三：特殊值法、极值法——投机取巧 对较难直接判断选项的正误量，可以让某些物理量巧取满足题设条件的特殊值或极值，带入到各选项中逐个进行检验，凡是用特殊值或极值检验证明是不正确的选项，就一定是 错误的，可以排除。这种方法往往可以省去严密的逻辑推理或繁杂的数学证明。 四：极限思维法——无所不极 物理中体现的极限思维常见方法有极端思维法、微元法。当题目所涉及的物理量随条 件单调变化时，可用极限法是把某个物理量推向极端，即极大或极小，极左或极右，并据 此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。 2018年高考理科数学推理与证明100题（含答案解析） 一、选择题（本题共30道小题，每小题0分，共0分） 1. ．甲、乙、丙、丁、戊五人出差，分别住在1、2、3、4、5号房间，现已知： （1）甲与乙不是邻居； （2）乙的房号比丁小； （3）丙住的房是双数； （4）甲的房号比戊大3． 根据上述条件，丁住的房号是（）． A．2号B．3号C．4号 D．5号 2. 用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（） A．方程x2+ax+b=0没有实根 B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根 C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根 D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根 3. 以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角”． 该表由若干数字组成，从第二行起，每一行的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行今有一个数，则这个数为（） A．2017×22016B．2017×22014C．2016×22017D．2016×22018 4. 定义为n个正数p1，p2，…p n的“均倒数”．若已知数列{a n}的前n项的 “均倒数”为，又，则=（ ） A ． B ． C ． D ． 5. 观察按下列顺序排序的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31，…，猜想第n （n ∈N *）个等式应为（ ） A ．9（n+1）+n=10n+9 B ．9（n ﹣1）+n=10n ﹣9 C ．9n+（n ﹣1）=10n ﹣1 D ．9（n ﹣1）+（n ﹣1）=10n ﹣10 6. 一个三角形可分为以内切圆半径为高，以原三角形三条边为底的三个三角形，类比此方法，若一个三棱锥的体积V=2，表面积S=3，则该三棱锥内切球的体积为（ ） A ．81π B ．16π C ． D ． 7. 有四人在海边沙滩上发现10颗精致的珍珠，四人约定分配方案：四人先抽签排序①②③④，再由①号提出分配方案，四人表决，至少要有半数的赞成票才算通过，若通过就按此方案分配，否则提出方案的①号淘汰，不再参与分配，接下来由②号提出分配方案，三人表决…，依此类推．假设：1．四人都守信用，愿赌服输；2．提出分配方案的人一定会赞成自己的方案；3．四人都会最大限度争取个人利益．易知若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0）．问①号的最佳分配方案是（ ） A ．（4，2，2，2） B ．（9，0，1，0） C ．（8，0，1，1） D ．（7，0，1， 2） 8. 用三段论推理：“任何实数的绝对值大于0，因为a 是实数，所以a 的绝对值大于0”，你认为这个推理（ ） A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．是正确的 9. 某计算器有两个数据输入口M 1，M 2一个数据输出口N ，当M 1，M 2分别输入正整数1时，输出口N 输出2，当M 1输入正整数m 1，M 2输入正整数m 2时，N 的输出是n ；当M 1输入正整数m 1，M 2输入正整数m 2+1时，N 的输出是n+5；当M 1输入正整数m 1+1，MM 2输入正整数m 2时，N 的输出是n+4．则当M 1输入60，M 2输入50时，N 的输出是（ ） A ．494 B ．492 C ．485 D ．483 10.高考推理与证明真题汇编理科数学(解析版)
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