高等代数知识结构一、高等代数知识结构图
高等代数线性代数
工具
线性方程组
中心课题
线性典范型
研究范围
线性空间
行列式
矩阵
线性方程组
向量相关性
行列式的计算
行列式的性质
矩阵的秩
矩阵的运算
与逆
矩阵的初等变换
线性方程组的解法及判别定理
线性方程组解的结构
极大线性无关组
线性相关和线性无关
二次型
线性流形
线性函数
若尔当典范性
化为标准型（配方法，
线性方程组法，正交法）
对角化
正定性，合同
单线性函数
对称双线性函数
J矩阵
II-C定理
矩阵的可对角化
线性空间
欧式空间
酉空间
线性空间的性质与同构，
子空间的判定
线性变换
坐标变换与基变换
特征值与特征向量
可对角化及不变子空间
欧式空间的性质
正交化与正交补的求法
正交变换与正交矩阵
酉空间的性质
复数域上的正交变换
二、高等代数知识结构内容
（一）线性代数： 工具：线性方程组
1.行列式：
1行列式的计算设有2n 个数，排成n 行n 列的数表
nn
n n n n a a a a a a a a a
21
2222111211
，即n 阶行
列式．这个行列式等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积
n 21nj j 2j 1a a a
⑴的代数和，这里n 21j j j 是n 21，，，
的一个排列,每一项⑴都按下列规则带有符号：当n 21j j j 是偶排列时, ⑴带正号；当n 21j j j 是奇排列时, ⑴带负号．即
nn
n n n
n a a a a a a a a a
2
1
2222111211=()()n
2
1
n
2
1n 21nj j 2j 1j j j j j j 1a a a τ∑
-，这里
∑
n
21j j j 表示
对所有n 级排列求和.
a.行列式的性质：
性质1.行列互换，行列式不变。
性质2.一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数
多项式理论
整除理论
因式分解理论
多项式根的理论
多元多项式/ 对称多项式
最大公因式定理
互素与同于
因式分解唯一性
重因式
复数域 实数域 有理数域
求法
判定（爱绅斯坦因）
根的判别式 韦达定理
乘此行列式。
性质3.如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。
性质4.如果行列式中两行相同，那么行列式为零。（两行相同就是说两行对应元素都相同)
性质5.如果行列式中两行成比例。那么行列式为零。 性质6.把一行的倍数加到另一行，行列式不变。 性质7.对换行列式中两行的位置，行列式反号。
2.矩阵：
a.矩阵的秩：矩阵A 中非零行的个数叫做矩阵的秩。
b.矩阵的运算
定义 同型矩阵：指两个矩阵对应的行数相等、对应的列数相等的矩阵． 矩阵相等：设n m ij a A ?=)(,n m ij b B ?=)(, 若 ij ij b a =),,2,1;,,2,1(n j m i ==, 称
B A =.
线性运算：n m ij a A ?=)(,n m ij b B ?=)( 加法：???
?
????++++=+=+?mn mn m m n n n
m ij ij b a b a b a b a b a B A
11111111)( 数乘：???
?
????==?mn m n n
m ij a k a k a k a k a k kA 1111)( 负矩阵：n m ij a A A ?-=-=-)()1( 减法：???
?
????----=-=-?mn mn m m n n n
m ij ij b a b a b a b a b a B A
11111111)( 矩阵的乘法定义：设 s m ij a A ?=)(,n s ij b B ?=)(
??
?
?
????=ms m s a a a a AB 1111?
????????sn s n b b b b 1111?
??
?????=mn m n c c c c 1111其中元素[]is i i ij a a a c 2
1
=????
?
?
??????sj j j b b b 21sj is j i j i b a b a b a +++= 2211),,2,1;,,2,1(n j m i ==
A 的列数 =
B 的行数。
AB 的行数 = A 的行数；
AB 的列数 = B 的列数．
A 与
B 的先后次序不能改变．
(5)矩阵的初等变换
矩阵的等价变换形式主要有如下几种：
1）矩阵的i 行（列）与j 行（列）的位置互换；
2）用一个非零常数k 乘矩阵的第i 行（列）的每个元；
3）将矩阵的第j 行（列）的所有元得k 倍加到第i 行（列）的对应元上去。
3.线性方程组
一般线性方程组.这里所指的一般线性方程组形式为
11112211211222221122,,.n n n n s s s n n s ax ax ax b ax ax ax b ax ax ax b +++=??+++=????+++=
?
()i
()i 式中(1,2,,)i xi n =代表未知量，(1,2,,;1,2,,)i j a i s j n ==称为方程组的系数，(
1,2,,)j b j n =称为常数项. 线性方程组)(i 称为齐次线性方程组，如果常数项全为零，即120s bb b ====. 令
11
12121
2221
2
n n s s sn a a a a a a A a a a ??????=??????，12n x x X x ??????=??????, 12s b b B b ??
????=??
????
，
则()i 可用矩阵乘法表示为
A X
B =，,,.m n n m
A C X C
B
C ?∈∈∈
a.线性方程组的解法 1)消元法
在初等代数里，我们已经学过用代入消元法和加减消元法解简单的二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性.但对于那些高元的线性方程组来说，消元法是比较繁琐的，不易使用. 2)应用克莱姆法则
对于未知个数与方程个数相等的情形，我们有 定理1 如果含有n 个方程的n 元线性方程组
111122112
1122222
1122,,.n n n n n n n n n n ax ax ax b ax ax ax b ax ax ax b +++=??+++=????+++=
?
的系数矩阵
1112121
2221
2
n n n n nn a a a a a a A a a a ??????=??????
的行列式
11
1212122212
det 0n n n n nn
a a a a a a A a a a =
≠，
那么线性方程组有唯一解：
d e t (1,2,,),d e t j
j
B x j n A
== 其中d e t j B 是把矩阵中第j 列换成线性方程组的常数项12,,,n b b b 所成的矩阵的行列式，即
11
1,111,1
12
2
2,122,121
,1,1
d e t ,1,2,,.j j n
j j n
j
n n j n n j n n
a a
b a a a a b a a B j n a a b a a -+-+-+== 此外，还可以叙述为，如果含有n 个未知数、n 个方程的线性方程组Ax b =的系
数矩阵的行列式d
e t 0A ≠，则线性方程组Ax b =一定有解，且解是唯一的. 广义逆矩阵A -
法
设m n A C ?∈.如果存在n m
G C
?∈，使得A G A A =，则称G 为矩阵A 的一个{1}-广义逆矩阵，记作A -.矩阵A 的{1}-逆总是存在的，但一般不是惟一的[12]，矩阵
A 的{1}-逆的全体记为{1}A .
若m n A C ?∈，A -n m C ?∈为A 的一个{1}-广义逆矩阵，则对,n m
V W C
?∈为任意的n m ?矩阵，矩阵A 的一个{1}-广义逆矩阵为
G A V A A V A A
---
=+-, 同时还可以表示为
()()m n G A V E A AE A
A W ---
=+-+-. 广义逆矩阵A -的计算：
(1)设(
0)mn r A C r ?
∈>，且有m m m P C ?∈和n 阶置换矩阵Q 使得 ()
,(),r r nr E K P A Q KC O O ?-??=∈????
则对任意的()()
nr m r L C
-?-∈，n m ?矩阵 r E O G Q P O L ??
=????
是A 的一个{1}-广义逆矩阵.若存在n n
n T C ?∈使得
,r
E O PAT O O ??
=????
则矩阵的{1}-逆的全体
12()()()()
1221222122{1},,.r r m r n r r n rm r E L A T P L C L C L C L L ?--?-?-??????=∈∈∈??????????
(2)设m n
A C
?∈，则A 有惟一{1}逆的充分必要条件是m n =，且()r A n =，即A 可逆.这个惟一的{1}逆就是1A -. 4.向量相关性
a.判断向量组线性相关的方法 1)线性相关
2)的对应分量成比例线性相关 3)含有零向量的向量组是线性相关的
4)向量组线性相关该组中至少有一个向量可由其余的向量线性表出
5)部分相关则整体相关
6)设向量组可由向量组线性表出,如果r>s,则线性相关；
7)n+1个n维向量必线性相关(个数大于维数)
8)该向量组的秩小于它所含向量的个数向量组线性相关
9)n个n维的向量构成的行列式=0 该向量组是线性相关的
10)线性相关向量组中每个向量截短之后还相关
b.判断向量组线性无关的方法
1)线性无关
2)的对应分量不成比例线性无关
3)向量组线性无关该组中任何一个向量都不能由其余的向量线性表出
4)整体无关则部分无关
5)线性无关向量组中每个向量加长之后还无关
6)该向量组的秩等于它所含向量的个数向量组线性无关
7)n个n维的向量构成的行列式0 该向量组是线性无关的
(二)中心课题：线性规范型
1.二次型线性流型：
二次型及其矩阵表示
二次型的定义：以数域P中的数为系数，关于x1，x2，…，x n的二次齐次多项式f(x1，x2，…，x n)=a11x12+2a12x1x2+ … +2a1n x1x n
+a22x22+ … +a2n x2x n
+ (3)
+a nn x n2
称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型。
矩阵的合同关系：对于数域P上的两个n阶矩阵A和B，如果存在可逆矩阵C，使得B=CTAC则称A和B是合同的，记为A~B。
合同关系性质：
1) 反身性：A~A；
2) 对称性：A~B，则B~A；
3) 传递性：A~B，且B~C，则A~C。
二次型的标准形
1) 实数域R(或复数域C)上的任意一个二次型都可经过系数在实数域R(或复数域C)中的非退化线性变换化成平方和形式：
d1y12+d2y22+…+dnyn2
其中非零系数的个数唯一确定，等于该二次型的秩。上述形式的二次型称为二次型的标准形。
2) 任何对称矩阵都与一个对角矩阵合同。
3）复二次型的规范形：
任何复系数二次型都可经过复数域C中的非退化线性变换化成如下最简形式平方和：y12+y22+…+yr2，其中r唯一确定，等于该二次型的秩。上述形式的复二次型称为复二次型的规范形。
2.线性函数
（三）研究范围：线性空间
1.线性空间
简单的说，线性空间是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另一元素。1）V对加法成Abel群，即满足：
（1）（交换律）x+y=y+x；
（2）（结合律）（x+y）+z=x+（y+z）
（3）（零元素）在V中有一元素0，对于V中任一元素x都有x+0=x；
（4）（负元素）对于V中每一个元素x，都有V中的元素y，使得x+y=0；
2）数量乘法满足：
（5）1x=x；
（6）k(lx)=(kl)x；
3）数量乘法和加法满足：
（7）（k+l）x=kx+lx；
（8）k（x+y）=kx+ky．
其中x，y，z为V中任意元素，k，l为数域F中的任意元素，1是F的乘法单位元。
数域F称为线性空间V的系数域或基域，F中元素称为纯量或数量（scalar），V中元素称为向量（vector）。
当系数域F为实数域时，V称为实线性空间。当F为复数域时，V称为复线性空间。
（1）V中零元素（或称0向量）是唯一的。
（2）（2）V中任一向量x的负元素（或称负向量）是唯一的。
（3）（3）kx=0（其中k是域F中元素，x是V中元素）当且仅当k=0或x=0。（4）(-k)x=-(kx)=k(-x)。
2.欧氏空间
定义 设V 是实数域R 上的线性空间（或称为向量空间），若V 上定义着正定对称双线性型g （g 称为内积），则V 称为（对于g 的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V 是有限维时，才称为欧几里德空间）。具体来说，g 是V 上的二元实值函
数，满足如下关系：
（1）g(x,y)=g(y,x)；
（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；
（3）g(kx,y)=kg(x,y)；
（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。
这里x,y,z 是V 中任意向量，k 是任意实数。
二、多项式理论
1.整除理论
整除： 若多项式a ：“f （x ）” 除以多项式b ：“g （x ）”，商为一个多项式，且余数为零多项式。 我们就说a 能被b 整除（或说b 能整除a ），记作b|a ，读作“b 整除a ”或“a 能被b 整除”． 1）最大公因式
多项式的最大公因式的定义 定义（公因式与最大公因式）
定义1 若既是的因式，又是的因式，则称是与的公因式。 因所以任意两个多项式都有公因式。 2）互素
如果，那么就说，即两个多项式只有零次公因式时，称为互素。 的公因式，就称这两个多项式互素 2.因式分解理论 1）重因式
定义 设p(x) 为不可约多项式. 如果f(x)能被p(x) 的k 次方整除而p （x ）的k+1次方不能, 则称p(x) 是 f(x)的k 重因式.
若k=0, 则p(x) 不是f(x) 的因式.
若k=1, 则称 p(x) 是f(x) 的单因式.
若k>1, 则称 p(x) 是f(x) 的重因式.
也可以定义高阶微商的概念, 一阶微商f'(x) 的微商称为f(x) 的二阶微商, 记为f''(x). 一般地,f(x) 的k 阶微商定义为f(x) 的k-1 阶微商的微商:
定理 如果不可约多项式p(x) 是f(x) 的k 重因式（k ≥1), 那么它是f'(x) 的
1．公因式:
满足: 2．最大公因式:
k-1 重因式.
注意: 该定理的逆定理一般不成立
推论 1：如果不可约多项式p(x) 是f(x) 的k (k≥1)重因式, 那么p(x) 分别是f'(x),f''(x)...f(k-1)(x) 的 k-1,k-2,...,1 重因式, 但不是f(k)（x）的因式.
推论 2：不可约多项式p(x) 是f(x) 的重因式的充分必要条件是p(x) 为f(x) 与 f'(x)的公因式.
推论 3：多项式 f(x)没有重因式的充分必要条件是(f(x),f'(x))=1.
2)唯一性理论
不可约多项式
定义：数域P上次数的多项式p(x)称为不可约多项式，如果p(x)不能表成数域P上的两个次数比p(x)低的多项式的乘积。
唯一性指：数域P上每一个次数1的多项式f(x)均可分解成数域P上一些不可约多项式的乘积。F[x]中任一个次数不小于 1的多项式都可以分解为F上的不可约多项式的乘积,而且除去因式的次序以及常数因子外，分解的方法是惟一的。
当F是复数域C时，根据代数基本定理，可证C[x]中不可约多项式都是一次的。因此，每个复系数多项式都可分解成一次因式的连乘积。
当F是实数域R时，由于实系数多项式的虚根是成对出现的，即虚根的共轭数仍是根，因此R[x]中不可约多项式是一次的或二次的。所以每个实系数多项式都可以分解成一些一次和二次的不可约多项式的乘积。实系数二次多项式αx2+bx+с不可约的充分必要条件是其判别式b2-4αс<0。
当F是有理数域Q时，情况复杂得多。要判断一个有理系数多项式是否不可约，就较困难。应用本原多项式理论，可把有理系数多项式的分解问题化为整系数多项式的分解问题。一个整系数多项式如其系数是互素的,则称之为本原多项式。每个有理系数多项式都可表成一个有理数及一个本原多项式的乘积。关于本原多项式有下述重要性质。
郑雅心
12304125
目录 摘要................................................................................ I Abstract........................................................................... I 1 引言 (1) 2 知识方面的联系 (1) 2．1多项式理论的应用 (1) 2．2行列式的应用 (2) 2．3柯西不等式的应用 (3) 2．4二次型的应用 (4) 3 思想方面的联系 (4) 3．1符号化思想 (4) 3．2分类思想 (5) 3．3化归与转化思想 (5) 3．4结构思想 (6) 3．5公理化方法 (6) 3．6坐标方法 (6) 3．7构造性方法 (7) 4 观念方面的联系 (7) 结束语 (8) 参考文献 (8)
致谢 (10)
摘要：运用高等代数的理论、方法、思想与观点剖析和阐述中学数学相关内容的若干问题，通过若干典型试题的解析，从知识方面、思想方面以及观念方面研究了高等代数与中学数学的联系，探索高等数学观点对中学数学一些教学内容的理论依据，深化与发展高等代数在中学数学的相关内容，促进高等代数在中学数学领域的应用，探求二者的内在的联系，以便高等代数能与中学数学完美的结合． 关键词：高等代数；中学数学；数学思想方法；应用 Abstract: The problems related to elementary mathematics are analyzed and explained by using the theory，method，thoughts and views of higher algebra．Through analyzing some typical test questions，the relation between higher algebras and elementary mathematics are investigated from the aspects of knowledge、thought and idea. Exploring the higher mathematics view to middle school mathematics some teaching content theory and model，deepening and development in higher algebra in middle school mathematics related content，and promote higher algebra in the middle school mathematics field of application，and to explore the inner link，so that higher algebra can be combined with the middle school closely．Keywords: higher Algebra；middle school mathematics；mathematical thinking；application
高等数学上册知识点文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）
高等数学上 册 第一章 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲 函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数 )(x f 在0x 连续)()(00 x f x f x =→ 第一类：左右极限均存在。 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值 定理及其推论。 （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 2） 函数极限 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+ = 2、 极限存在准则
1） 夹逼准则： 1） )(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2）a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββα o +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b)e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x e x ~1- （ a x a x ln ~1-） b) x x ~)1ln(+ （a x x a ln ~)1(log +） 第二章 导数与微分 （一） 导数
高等代数知识结构
二、高等代数知识结构内容 (一)线性代数 工具:线性方程组 1 1 列时, a 性质1 性质2、一行得公因子可以提出来(或以一数乘行列式得一行就相当于用这个数乘此行列式。 性质3、如果某一行就是两组数得与,那么这个行列式就等于两个行列式得与,而这两个行列式除这一行以外与原行列式得对应行一样。 性质4、如果行列式中两行相同,那么行列式为零。(两行相同就就是说两行对应元素都相同) 性质5、如果行列式中两行成比例。那么行列式为零。 性质6、把一行得倍数加到另一行,行列式不变。 性质7、对换行列式中两行得位置,行列式反号。 2、矩阵: a、矩阵得秩:矩阵A中非零行得个数叫做矩阵得秩。 b、矩阵得运算 定义同型矩阵:指两个矩阵对应得行数相等、对应得列数相等得矩阵. 矩阵相等:设,, 若 , 称、 线性运算:, 加法: 数乘: 负矩阵: 减法: 矩阵得乘法定义:设 , 其中元素 得列数 = 得行数。 得行数 = 得行数; 得列数 = 得列数. 与得先后次序不能改变. (5)矩阵得初等变换 矩阵得等价变换形式主要有如下几种: 1)矩阵得i行(列)与j行(列)得位置互换; 2)用一个非零常数k乘矩阵得第i行(列)得每个元; 3)将矩阵得第j行(列)得所有元得k倍加到第i行(列)得对应元上去。 3、线性方程组 一般线性方程组、这里所指得一般线性方程组形式为
111122112 11222221122,,.n n n n s s s n n s ax ax ax b ax ax ax b ax ax ax b +++=??+++=??? ?+++=? L L L L L L ()i ()i 式中(1,2,,)i xi n =K 代表未知量,(1,2,,;1,2,,)i j a i s j n ==L L 称为方程组得系数,( 1,2,,)j b j n =L 称为常数项、 线性方程组)(i 称为齐次线性方程组,如果常数项全为零,即120s bb b ====L 、 令 111212122212n n s s sn a a a a a a A a a a ????? ?=??????L L M M M M L ,12n x x X x ??????=??????M , 12s b b B b ?? ????=???? ?? M , 则()i 可用矩阵乘法表示为 A X B =,,,.m n n m A C X C B C ?∈∈∈ a 、线性方程组得解法 1)消元法 在初等代数里,我们已经学过用代入消元法与加减消元法解简单得二元、三元线性方程组、实际上,这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性、但对于那些高元得线性方程组来说,消元法就是比较繁琐得,不易使用、 2)应用克莱姆法则 对于未知个数与方程个数相等得情形,我们有 定理1 如果含有n 个方程得n 元线性方程组 11112211 21122222 1122,,.n n n n n n n n n n ax ax ax b ax ax ax b ax ax ax b +++=??+++=?? ? ?+++=? L L L L L L ()i i 得系数矩阵
高等代数知识点 第一章 多项式 1． 数域的定义、常见数域 2． （系数在）数域P 上的多项式的定义 3． 多项式相等 4． 多项式的次数、零多项式和零次多项式 5． 一元多项式的运算（加减乘）、运算律、多项式环、次数定理 6． 整除的定义：()()g x f x ?()()()f x g x h x =（证明，不整除则用反证法）、因式和倍式 7． 整除的性质： （1） 一些特殊的整除性（0，常数，自身） （2） 整除的反身性 （3） 整除的传递性 （4） 整除的组合性 8． 带余除法()()()()f x q x g x r x =+、综合除法 9． 整除的判定法则：余式为零 10． 整除不受数域的影响 11． 公因式及最大公因式的定义、()()(),f x g x ，()0,()()g x g x =，()0,00= 12． 最大公因式的求法（辗转相除法）P44：5 13． 最大公因式可以表示为()(),f x g x 的一个组合()()()()()d x u x f x v x g x =+——Ｐ45：8 14． 互素的定义 15． 互素的相关定理（证明）P45：12、14 （1） ()()(),11()()()()f x g x u x f x v x g x =?=+ （2） ()()()()()()()(),1,f x g x f x g x h x f x h x =? （3） ()()()()()()() ()()()121212,,,1,f x g x f x g x f x f x f x f x g x =? 16． 不可约多项式的定义（次数大于等于1） 17． 平凡因式、不可约等价于只有平凡因式 18． 可约性与数域有关 19． 不可约多项式的性质： （1） ()p x 不可约，则()cp x 也不可约 （2） ()p x 不可约，()[],f x P x ?∈ ()()|(),(),()1p x f x or f x p x ?= （3） ()p x 不可约，()()()p x f x g x ()()()|(),p x f x or p x g x ? 20． 标准分解式1212()()()()s r r r s f x cp x p x p x =
606-《高等代数》考试大纲 一、考试性质 《高等代数》是基础数学专业、计算数学专业、概率论与数理统计专业、应用数学专业、运筹学与控制论专业、系统理论专业硕士学位研究生入学考试的科目之一。《高等代数》考试要求能反映数学学科的特点，科学、公平、准确地测试考生的基本素质和综合能力，很好地选拔具有科研发展潜力的优秀人才进入硕士阶段学习，为国家培养掌握现代数学方面的基础理论知识，具有较强分析与解决实际问题能力的高层次的应用型的和复合型的数学专业人才。 二、考试要求 考查考生对《高等代数》里的基本概念、基础知识的掌握情况，考察考生的分析能力、计算能力和对知识的综合运用能力。 三、试卷分值、考试时间和答题方式 本科目试卷满分为150分，考试时间为180分钟，答题方式为闭卷、笔试。 四、试题结构 （1）试卷题型结构
填空题：30分 计算题：60分 证明题：60分 （2）内容结构 各部分内容所占分值为 多项式、行列式：约30分 线性方程组：约30分 线性空间、线性变换：约45分 矩阵的对角化问题：约45分 五、考试的知识及范围 1、多项式 整除；最大公因式；因式分解 2、行列式 n 阶行列式的定义；行列式的性质；n阶行列式的一行（列）展开式，行列式的计算 3、线性方程组 向量空间；矩阵的秩；齐次线性方程组的基础解系；非齐次线性方程组的通解 4、矩阵 矩阵的运算；逆矩阵的求法；分块矩阵的运算和性质；矩阵的初
等变换与初等矩阵 5、二次型 二次型的矩阵；复系数的二次型的规范型；实系数的二次型的规范型、正定二次型的判别定理；正定二次型的证明；二次型的判定 6、线性空间 线性空间的定义和性质；线性空间的维数，基与坐标；线性子空间的判定和证明；子空间的直和；维数公式；线性空间同构的定义和证明 7、线性变换 线性变换的定义和运算；线性变换在基下的矩阵的求法；矩阵的相似；线性变换的特征值和特征向量；矩阵的特征值和特征向量； 矩阵可对角化的判定定理；线性变换的值域与核定义、性质和判定；不变子空间的定义、性质和判定 8、λ-矩阵 λ-矩阵的标准形；矩阵的若当标准形的求法 9、欧几里得空间 内积的定义和判定；欧几里得空间的定义和性质；欧氏空间标准正交基的定义和存在性定理；欧氏空间标准正交基的求法；欧氏空间的同构；正交矩阵；正交变换的定义和判定定理；欧氏子空间的定义和判定；对称变换的定义和性质；对称矩阵的标准形
1122,, 0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ?=?++=?≠?? L = =()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O * = =* *=-1 (1)2 1121 21 1211 1 ()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 范德蒙德行列式： ()12222 1211 1112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 分块对角阵相乘：11 112222,A B A B A B ???? == ? ???? ??11112222A B AB A B ??= ???,1122n n n A A A ?? = ??? 分块矩阵的转置矩阵：T T T T T A B A C C D B D ?? ??= ? ????? () 1121112 222* 12n T n ij n n nn A A A A A A A A A A A ?? ? ? == ? ??? L L M M M L ，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. **AA A A A E ==,1*n A A -=, 1 1A A --=. 分块对角阵的伴随矩阵：* * *A BA B AB ?? ??= ? ???? ?
A , i j , a i 1 A j1 a i 2 A j 2 L a in A jn 0, i j . A O A A O O B = B A B O B O A = A B O ( 1)mn A B B O a 1n O a 1n a 2n 1 a 2 n 1 ( 1 n ( n 1) 2 N N ) a n1 O a n1 O a 1n a 2 n K a n1 范德蒙德行列式： 1 1 L 1 x 1 x 2 L x n x 12 x 22 L x n 2 x i x j M M 1 j i n M x n 1 x n 1 L x n 1 1 2 n 代数余子式和余子式的关系： M ij ( 1)i j A ij A ij ( 1)i j M ij A 11 B 11 A 11 B 11 n A n 分块对角阵相乘： A , B AB , A 11 A 22 A n B 22 A 22 B 22 22 A B T A T C T 分块矩阵的转置矩阵： C D B T D T A 11 A 21 L A n1 A * A ij T A 12 A 22 L A n2 ， A ij 为 A 中各个元素的代数余子式 . M M M A 1n A 2n L A nn AA * A * A A E , A * n 1 A 1 1 A , A . A * BA * 分块对角阵的伴随矩阵：
矩阵转置的性质：( A T )T A 矩阵可逆的性质：( A 1) 1 A ( A ) n 2 伴随矩阵的性质： A A n 若 r ( A) n r ( A )1 若 r ( A) n 1 0 若 r ( A) n 1 1 B 1 a1 A B A 1 ( AB)T B T A T A T A ( A 1 )T ( A T ) 1 ( A T ) ( A )T ( AB) 1 B 1 A 1 A 1 1 ( A 1 )k ( A k ) 1 A k A ( AB) B A A n 1 ( A 1 ) ( A ) 1 A ( A k ) ( A ) k A A AB A B A k A k AA A A A E （无条件恒成立） 1 1 1 1 a1 a1 a3 a2 1 a2 1 a2 a 2 a3 1 a3 1 a3 a1 矩阵的秩的性质： ① A O r ( A) ≥1; A O r ( A) 0 ;0≤ r ( A m n ) ≤ min( m, n) ④若A m n , B n s ,若r ( AB) 0 r ( A) r ( B) n 的列向量全部是 Ax 的解 B 0 ⑤r ( AB) ≤min r ( A), r (B) ⑥若 P 、Q可逆，则 r ( A) r (PA) r ( AQ) r ( PAQ) ；即：可逆矩阵不影响矩阵的秩 . Ax 只有零解 ⑦若 r ( A m n ) n r ( AB) r ( B) ；在矩阵乘法中有左消去律AB O B O A A B A C B C 若 r ( B n s ) n r ( AB) r ( B) 在矩阵乘法中有右消去律 . B 若 ( ) 与唯一的E r O 等价，称E r O 等价标准型 . ⑧为矩阵的 r A r A O O O O A ⑨r ( A B) ≤ r ( A) r (B) , max r ( A), r ( B) ≤r ( A, B)≤r ( A) r (B) ⑩ A O O A ( ) ( ) , A C ( ) ( ) r B B O r A r B r B r A r B O O
第二章行列式知识点总结 一行列式定义 1、n 级行列式1112121 22 212 n n ij n n n nn a a a a a a a a a a = （1）等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a （2）的代 数和，这里12n j j j 是一个n 级排列。当12 n j j j 是偶排列时，该项前面带正号；当12 n j j j 是奇排列时，该项前 面带负号，即： 12 1212 1112121222() 1212 (1)n n n n n j j j ij j j nj n j j j n n nn a a a a a a a a a a a a a τ= = -∑ 。 2、等价定义 121212() 12(1)n n n i i i ij i i i n n i i i a a a a τ = -∑和12 1211221212 ()() (1)n n n n n n i i i j j j ij i j i j i j n i i i j j j a a a a ττ+= -∑ 和 3、由n 级排列的性质可知，n 级行列式共有!n 项，其中冠以正号的项和冠以负号的项（不算元素本身所带的负号）各占一半。 4、常见的行列式 1）上三角、下三角、对角行列式 11 11 11 222222 112200nn nn nn nn a a a a a a a a a a a a *===* 2）副对角方向的行列式 111(1)21 2,1 2,1 2 12,111 1 1 0(1) n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----* ===-* 3）范德蒙行列式： 1222212 11 1112 111() (2) n n i j j i n n n n n a a a a a a a a a a a n ≤<≤---= -≥∏ 二、行列式性质 1、行列式与它的转置行列式相等。
中国海洋大学本科生课程大纲 课程属性：学科基础 课程性质：必修 一、课程介绍 1.课程描述： 高等代数是数学科学学院各专业的重要专业必修基础课，是学习其它数学课程的主要先修课之一。高等代数的内容主要包含两个模块：第一模块，方程和方程组的求解问题，主要内容有：多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型；第二模块，线性空间相关理论，主要内容有：线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧几里得空间。高等代数内容包含理工科所开设的线性代数的主要内容。 2.设计思路： 开设高等代数课程的目的是：一方面，使数学院本科生在中学所学初等代数的基础上继续学习更加高深的代数学知识，使其掌握系统的经典代数内容，为学习其它数学课程（如数值代数、近世代数、计算方法等等）提供坚实的代数基础知识；另一方面，通过本课程的学习，逐步培养学生的数值计算能力、逻辑分析能力和抽象思维能力，提高学生在数学思想、数学方法方面的修养。 19世纪以前的代数研究内容主要是解方程和方程组以及由此产生的相关理论，称为经典代数；19世纪以后的代数主要研究一些抽象代数结构，如群、环、域、模等，称为抽象代数或近世代数。高等代数课程的内容主要是经典代数内容，涵盖学习其它数学课程所要求的基本的代数基础知识。 - 2 -
高等代数的内容基本按照经典代数的发展编排的，主要有两条主线：第一，方程和方程组求解问题，第二，线性空间相关理论。第一条主线的主要内容有：多项式理论——对应高次方程，其求解需要降次，需研究多项式的因式分解；行列式理论——求解线性方程组的主要工具之一；线性方程组理论——解的判定与求法；矩阵理论——解线性方程组时用到的矩阵运算与性质；二次型理论——二次齐次方程的化简与对称矩阵。第二条主线的主要内容多是解析几何中内容的推广，主要有：线性空间——几何空间的推广与抽象；线性变换——线性空间中点的运动的描述；λ-矩阵——证明线性变换的矩阵与其标准形相似；欧几里得空间——带有长度、夹角与距离等度量性质的线性空间，是几何空间的推广。 3.课程与其他课程的关系： 先修课程：无； 并行课程：数学分析、空间解析几何； 后置课程：近世代数。高等代数与近世代数内容恰好实现对接，完整体现了代数学的基本内容，联系密切。 二、课程目标 本课程目标是：一方面使学生系统地掌握经典代数的内容，包括多项式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、欧几里得空间等，为学习其它数学课程打下坚实的代数知识基础；另一方面，通过本课程的学习，培养学生的数值计算能力、逻辑分析能力和抽象思维能力，提高学生运用数学思想、数学方法分析问题、解决问题的能力。 到课程结束时，学生应达到以下几方面要求： （1）知识掌握良好。会判断多项式的可约性，能计算两多项式的最大公因式；会计算行列式；会判定线性方程组是否可解，掌握线性方程组解的结构；熟练掌握矩阵的各种运算；可将二次型化为标准形；掌握线性空间基底理论以及子空间的运算；会写线性变换的矩阵，会判定矩阵是否对角化、准对角化，并能求出其相应对角形与准 - 2 -
第一章 行列式（ * * * ） 一、复习指导：行列式在高等代数中是十分重要的，它不仅是每年必要的一道大题，而且还是一个基础章节，它与学好后面的章节也有一定的联系，是学习后面重要章节的基础。在首师大真题中，行列式往往会以求数字型n 阶行列式的值作为一道大题出现，分值15分。具体可以参考真题。 二、考点精讲： (一）基本概念 定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数，若j i >，则称),(j i 为一对逆序。 定义2 逆序数—设n i i i Λ21是n ,,2,1Λ的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i Λτ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。 定义3 行列式—称nn n n n n a a a a a a a a a D Λ ΛΛΛΛΛΛ 21 22221112 11 = 称为n 阶行列式，规定 n n n nj j j j j j j j j a a a D ΛΛΛ21212121) ()1(∑-= τ 。 定义4 余子式与代数余子式—把行列式nn n n n n a a a a a a a a a D Λ ΛΛΛΛΛΛ 21 22221112 11 = 中元素ij a 所在的i 行元素和j 列元素去掉，剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij j i ij M A +-=) 1(为元素ij a 的代数余子式。 （二）、几个特殊的高阶行列式 1、对角行列式—形如 n a a a Λ ΛO ΛΛΛΛ0 00 02 1 称为对角行列式，n n a a a a a a ΛΛ ΛO ΛΛΛΛ21210 00 0=。
专升本高等数学知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： （1） c bx ax y b kx y ++=+=2 一般形式的定义域：x ∈R （2）x k y = 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0 （4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。 当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。 2、 函数的奇偶性 定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-） (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f -=-。 三、基本初等函数 1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。 2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数
定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。 4、对数函数 定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。图形过（1,0）点。 5、三角函数 (1) 正弦函数: x y sin = π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (2) 余弦函数: x y cos =. π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (3) 正切函数: x y tan =. π=T ， },2 ) 12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π ， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =. π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2 ,2[)(π π- =D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =，]1,1[)(-=f D ，],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =，),()(+∞-∞=f D ，)2 ,2()(π π- =D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =，),()(+∞-∞=f D ，),0()(π=D f 。 极限 一、求极限的方法 1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。
高数上知识点总结 导语：当你一个人的时候，别想两个人的事，把回忆丢在一旁，当你一个人的时候，只想高兴的事，把忧伤抛在脑后，当你一个人的时候，来到一个人的浪漫，释放你的情感，敞开你的情感，敞开你的心灵。以下我为大家介绍高数上知识点总结文章，欢迎大家阅读参考! 高数上知识点总结 高等数学是考研数学的重中之重，所占分值较大，需要复习的内容也比较多。主要包括8方面内容。 1、函数、极限与连续。主要考查分段函数极限或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。 2、一元函数微分学。主要考查导数与微分的求解;隐函数求导;分段函数和绝对值函数可导性;洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的根;证明函数不等式;罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理及辅助函数的构造;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。 3、一元函数积分学。主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明题;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。 4、向量代数和空间解析几何。主要考查求向量的数量积、向量积及混合积;求直线方程和平面方程;平面与直线间关系及夹角的判定;旋转面方程。
5、多元函数微分学。主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;二元、三元函数的方向导数和梯度;曲面和空间曲线的切平面和法线;多元函数极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。 6、多元函数的积分学。这部分是数学一的内容，主要包括二、三重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序;第一型曲线和曲面积分计算;第二型(对坐标)曲线积分计算、格林公式、斯托克斯公式;第二型(对坐标)曲面积分计算、高斯公式;梯度、散度、旋度的综合计算;重积分和线面积分应用;求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。 7、无穷级数。主要考查级数的收敛、发散、绝对收敛和条件收敛;幂级数的收敛半径和收敛域;幂级数的和函数或数项级数的和;函数展开为幂级数(包括写出收敛域)或傅立叶级数;由傅立叶级数确定其在某点的和(通常要用狄里克雷定理)。 8、微分方程，主要考查一阶微分方程的通解或特解;可降阶方程;线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;微分方程的建立与求解。 除了以上分章节的考查重点，还有跨章节乃至跨科目的综合考查题，近几年出现的有：级数与积分的综合题;微积分与微分方程的综合题;求极限的综合题;空间解析几何与多元函数微分的综合题;线性代数与空间解析几何的综合题等。线性代数的重要概念包括以下内容：代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次
高等数学上册知识点 Prepared on 24 November 2020
高等数学上册 第一章 函数与极限 （一）函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函 数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续)()00 x f x = 第一类：左右极限均存在。 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定 理、介值定理及其推论。 （二）极限 1、 定义 1） 数列极限 2） 函数极限 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+ = 2、 极限存在准则
1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ → 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α 则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大 量。 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b)e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x e x ~1- （a x a x ln ~1-） b) x x ~)1ln(+ （a x x a ln ~ )1(log +） 第二章 导数与微分
高等代数知识结构一、高等代数知识结构图 高等代数线性代数 工具 线性方程组 中心课题 线性典范型 研究范围 线性空间 行列式 矩阵 线性方程组 向量相关性 行列式的计算 行列式的性质 矩阵的秩 矩阵的运算 与逆 矩阵的初等变换 线性方程组的解法及判别定理 线性方程组解的结构 极大线性无关组 线性相关和线性无关 二次型 线性流形 线性函数 若尔当典范性 化为标准型（配方法， 线性方程组法，正交法） 对角化 正定性，合同 单线性函数 对称双线性函数 J矩阵 II-C定理 矩阵的可对角化 线性空间 欧式空间 酉空间 线性空间的性质与同构， 子空间的判定 线性变换 坐标变换与基变换 特征值与特征向量 可对角化及不变子空间 欧式空间的性质 正交化与正交补的求法 正交变换与正交矩阵 酉空间的性质 复数域上的正交变换
二、高等代数知识结构内容 （一）线性代数： 工具：线性方程组 1.行列式： 1行列式的计算设有2n 个数，排成n 行n 列的数表 nn n n n n a a a a a a a a a 21 2222111211 ，即n 阶行 列式．这个行列式等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积 n 21nj j 2j 1a a a ⑴的代数和，这里n 21j j j 是n 21，，， 的一个排列,每一项⑴都按下列规则带有符号：当n 21j j j 是偶排列时, ⑴带正号；当n 21j j j 是奇排列时, ⑴带负号．即 nn n n n n a a a a a a a a a 2 12222111211 =() ()n 21n 21n 21nj j 2j 1j j j j j j 1a a a τ∑-， 这里∑n 21j j j 表示对所有n 级排列求和. a.行列式的性质： 性质1.行列互换，行列式不变。 性质2.一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数 多项式理论 整除理论 因式分解理论 多项式根的理论 多元多项式/ 对称多项式 最大公因式定理 互素与同于 因式分解唯一性 重因式 复数域 实数域 有理数域 求法 判定（爱绅斯坦因） 根的判别式 韦达定理
高等数学考试题型主要有选择题(每小题2 分，共60 分)，填空题(每小题2分，共20分)、计算题(每小题5分，共50分)、应用题(每小题6分，共12分)、证明题(8分)。那么，高等数学复习内容和特点有哪些呢?该如何学习数学呢? 专升本高数的特点 专升本高等数学在出题上区别于普通高校的期末考试题及其他测试，高等数学在出题上具有相对的独立性，也就是说每道题都只考单独的一个知识点，不具有综合性，53道题53个知识点，题量大，但题简单，只要你会了一个知识点，就能保证会做一道题。 专升本高等数学的知识框架
1、函数，极限和联系 包括三个内容:(1)高数主要研究对象--函数(2)研究工具--极限(3)联系。 2、一元函数的微分学 重要内容：(1)导数与微分(2)中值定理与导数应用(3)一元函数的积分。 积分分为：定积分与不定积分。解不定积分或者定积分的方法：(1)直接法(2)分布积分法(3)换元法。 3、向量代数，空间解析几何 重点内容：(1)向量代数(2)平面与直线(3)二次曲面 4、多元函数的微积分学。多元微分（多元的函数求偏导）二重积分（重点掌握） 5、无穷极数（工程中的近似计算会用到。包括：竖向极数和幂级数） 6、常微分方程 分为：一阶微分方程、高阶微分方程和二阶线性微分方程;一阶微分方程考的比较多。其中，5和6是应用章节。 高数学习方法 1、高数学习要有自信。高数是可以考满分的，因为都是标准答案，要是会的话成绩分数会很高的。 2、高数学习提分空间很大。有个同学从20分到最后考到130
分。不要担心基础差。在学习过程中会用到的基础知识老师上课时都会补充，这些问题老师都会顾及的到。 3、基础差的同学不要先做题，要先看书。 4、在开始学习高数时要重点掌握五类基本初等函数(幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数，)会画图像和了解基本性质。和求极限问题。以后学习起来就会很简单。 5、不要急躁。循序渐进的过程，不可贪多求快。
高等数学各章知识结构 一．总结构 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学.微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分. 冯. 诺伊曼 注：冯. 诺依曼（John von Neumann，1903-1957，匈牙利人），20世纪最杰出的数学家之一，在纯粹数学、应用数学、计算数学等许多分支，从集合论、数学基础到量子理论与算子理论等作多方面，他都作出了重要贡献. 他与经济学家合著的《博弈论与经济行为》奠定了对策论的基础，他发明的“流程图”沟通了数学语言与计算机语言，制造了第一台计算机，被人称为“计算机之父”.
微积分中重要的思想和方法： 1．“极限”方法，它是贯穿整个《微积分》始终。导数是一种特殊的函数极限；定积分是一种特殊和式的极限；级数归结为数列的极限；广义积分定义为常义积分的极限；各种重积分、曲线积分、曲面积分都分别是某种和式的极限。所以，极限理论是整个《微积分》的基础。尽管上述各种概念都是某种形式的极限，但是它们都有各自独特和十分丰富深刻的内容，这是《微积分》最有魅力的地方之一。 2．“逼近”思想，它在《微积分》处处体现。在近似计算中，用容易求的割线代替切线，用若干个小矩形面积之和代替所求曲边梯形面积；用折线段的长代替所求曲线的长；用多项式代替连续函数等。这种逼近思想在理论和实际中大量运用。 3．“求极限、求导数和求积分”是最基本的方法。熟练掌握求极限、求导数和求积分的方法，学习《微积分》就不会遇到太多困难，甚至能做到得心应手。 4．“特色定理”是《微积分》的支柱。夹逼定理、中值定理、微积分基本定理等是《微积分》中最深刻、最基本、最能体现《微积分》特色的定理，支撑起《微积分》的大厦。 5．“综合运用能力”是《微积分》学习的出发点和归宿。充分注重综合运用极限概念与方法的能力、综合运用导数与积分相结合的各种方法的能力、综合运用定积分思想方法解决问题的能力、综合运用一元和多元相结合方法的能力、综合运用各种方法解决实际问题的能力。
从高等代数看中学数学 高等代数是大学数学专业的主干专业基础课,是初等代数的继续和提高。高中新课改形势下的师范院校数学系的学生,经常面临着怎样运用所学的大学数学知识指导中学数学这个老大难的问题。因此,在教学中应该注意联系中学教学实际,引导学生在中学知识和大学知识之间架起一座桥梁,从而顺利实现思维方式和学习方法的过渡和转变,指导学生、也是未来的中学数学教师能利用课程的理论、方法与观点去剖析中学数学的方法问题,有利于帮助他们融会贯通中学数学的相关内容,提高解决中学数学问题的能力,高屋建瓴地深刻理解中学数学有关内容的来龙去脉,知其然且知所以然,培养较高层次的数学素质,为今后的教学实践打下专业基础。同时,反过来也有利于激发学习兴趣,促进知识深化。下面将从数学知识、数学思想方法、数学观念等方面发掘高等代数与中学数学的联系。 一线性方程组理论的应用 1.关于消元法与解的结构。线性方程组的理论是线性代数的重要理论结果,它是中学数学方程组求解方法的理论化与规范化。线性方程组是否有解、有解时解的数量、通解的公式表示、解的几何意义等一系列问题都得到了圆满的解决,体现了高等代数相对于初等代数的新观点、新思想、新方法的优越性,对中学数学教学具有高屋建瓴的指导作用。消元法是中学数学求解二(三)元一次方程组的基本方法,在高等代数中可以得到理论上的完美解释,即由于线性方程组的初等变换保持同解性,所以消元法可行,而且消元法的实质是反复对方程组作初等变换,或者说消元法是对线性方程组的增广矩阵作行的初等变换的过程。并且,根据线性方程组解的理论容易知道解的只有三种情况(唯一解、无解、无穷多解)以及具体判定方法和解的结构特征。特别地,在一定条件下,方程组的唯一解可以用公式形式给出,即Cramer法则。Cramer法则的意义主要在于:明确了解的存在性与唯一性,为判断这类方程组的有解性提供了比较直接的方法;将求解问题,转化为行列式的计算,避免了消元法的繁琐计算;以公式的形式给出了解与系数的明显关系,为一般线性方程组公式解的表达式提供了理论依据。 2.几个平面共点、共线、平行与重合的问题。利用线性方程组的理论容易解决平面共点、共线、平行与重合的问题。 实际上,平面族交于一点的条件是对应的方程组有唯一解,相当于系数矩阵与增广矩阵的秩都等于3;平面族共线的条件是系数矩阵与增广矩阵的秩都等于2;平面族过同一平面(重合)的条件是系数矩阵与增广矩阵的秩都等于1;平面族互相平行的条件是对应的方程组无解,相当于系数矩阵与增广矩阵的秩不相等。此外线性方程组理论还可解决直角坐标平面上四点共圆或者过不共线的三点的圆的方程等问题。 二向量线性关系的几何意义 向量思想体现了数学的抽象性与严谨性,反过来又展示了应用广泛性的特点,向量之间的线性相关性有着明显的几何意义。 一维情况:非零向量a与向量e共线(平行)的充要条件是a可由e线性表示。更一般的,两个向量共线(平行)的充要条件是它们线性相关。 二维情况:向量a与不共线的两个向量e1,e2共面的充要条件是a可由e1,e2线性表示。更一般的,三个向量共面的充要条件是它们线性相关。