高等数学基础第一次作业点评1
第1章 函数
第2章 极限与连续
（一）单项选择题
⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．
A. 2
)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =
，x x g =)(
C. 3
ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1
1)(2--=x x x g
⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称．
A. 坐标原点
B. x 轴
C. y 轴
D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．
A. )1ln(2
x y += B. x x y cos =
C. 2
x
x a a y -+= D. )1ln(x y +=
⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2
x
y = D. ?
??≥<-=0,10
,1x x y
⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．
A. 12lim 2
2
=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0
=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01
sin lim =∞→x x x
⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．
A. x x sin
B. x 1
C. x
x 1
sin D. 2)ln(+x
点评：无穷小量乘以有界变量为无穷小量
⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。
A. )()(lim 00
x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义
C. )()(lim 00
x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0
x f x f x x x x -+→→=
二、填空题
⒈函数)1ln(3
9
)(2x x x x f ++--=
的定义域是 ．}33{>-≤x x x 或 ⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f ．x x -2
⒊=+
∞→x
x x
)211(lim ．21
e
⒋若函数???
??≥+<+=0,0,)1()(1
x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k ．e
⒌函数???≤>+=0
,sin 0
,1x x x x y 的间断点是 ．0=x
⒍若A x f x x =→)(lim 0
，则当0x x →时，A x f -)(称为 ．无穷小量
三计算题 ⒈设函数
??
?≤>=0
,0
,e )(x x x x f x 求：)1(,)0(,)2(f f f -．
解：2)2(-=-f
0)0(=f e e f ==1)1(
点评：求分段函数的函数值主要是要判断那一点是在哪一段上。即正确选择某段函数。
⒉求函数x
x y 1
2lg
lg -=的定义域． 解：欲使函数有意义，必使01
2lg >-x
x ，
即：112>-x
x 亦即：x x >-12
解得函数的定义域是：1>x
点评：函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。
⒊在半径为R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数． 解：设梯形的高CM=x ，则22x R DM -=
梯形的上底222x R DC -=，下底R AB 2=
则梯形的面积
2
)22(22x
R x R s +-=
)0()(22R x x R x R <<+-=
⒋求x
x
x 2sin 3sin lim
0→．
解：原式=23
112322sin lim 33sin lim
2
300=?=?
→→x
x x x
x x 点评：正确利用两个重要极限，将函数作适当变形。
⒌求)
1sin(1
lim 21+--→x x x ．
解：原式=21
21
)1sin(lim )1(lim 1)1sin(1lim 11
1-=-=++-=++--→-→-→x x x x x x x x x
点评：正确利用两个重要极限，将函数作适当变形。
⒍求x
x
x 3tan lim 0→．
解：31
1
133cos 1lim 33sin lim 33cos 133sin lim 33cos 3sin lim 0000=??=?=?=→→→→x x x x x x x x x
x x x x
点评：同上。
⒎求x
x x sin 11lim 20-+→．
解：原式=010sin 1
lim
1
1lim
sin )11()
11)(11(lim
20
2220
=?=?++=++++-+→→→x
x x x x
x x x x x x 点评：同上。 ⒏求x
x x x )3
1(
lim +-∞
→． 解：原式=
3
3
3131-+→∞??
?
??+-???? ??+-x x x x lim x x =
3
3
343343-+∞→?
?
?
??+-+???
? ??+-+x x x x lim x x
=
3
3
341341-∞→+∞→??? ?
?
+-+???? ?
?
+-+x lim x lim x x x =
3
341+∞→??? ?
?
+-+x x x lim
=4
4
3341--+∞→???
????
?
??? ??+-+x x x lim =4
4
3341--+∞→???
?????
??
? ??+-+x x x lim =4
-e
⒐求4
58
6lim 224+-+-→x x x x x ．
解：原式=3
2
12lim )1)(4()2)(4(lim
44=--=----→→x x x x x x x x ⒑设函数
??
???-<+≤≤->-=1,111,1
,)2()(2x x x x x x x f
讨论)(x f 的连续性，并写出其连续区间．
点评：讨论分段函数在分段点处的连续性，只要研究函数)(x f 在该点处的左右极限情况，然后再由函数连续性的定义判断。
解：先看函数在分段点1-=x 处的情况，
∵
011)1()(lim
lim
11=+-=+=-
-
-→-→x x f x x
1)(lim lim 11-==+
+
-→-→x x f x x
∴)()(lim lim 11x f x f x x +
-
-→-→≠，故)(lim 1
x f x -→不存在。
∴1-=x 为函数)(x f 的间断点。 再看函数在分段点1=x 处的情况，
∵
1)(lim
lim
11==--→→x x f x x 1)2()(211lim
lim =-=+
+
→→x x f x x ∴
)()(lim lim 11x f x f x x +
-
→→=，故1)(lim 1
=→x f x 。
又因为1)1(1
===x x f
所以
)1()(lim 1
f x f x =
→
故1=x 是函数)(x f 的连续点。
函数)(x f 在连续区间是：),1()1,(+∞-?--∞。
高等数学基础第二次作业
第3章 导数与微分
（一）单项选择题
⒈设0)0(=f 且极限x x f x )(lim
0→存在，则=→x
x f x )
(lim 0（B ）．
A. )0(f
B. )0(f '
C. )(x f '
D. 0
⒉设)(x f 在0x 可导，则=--→h
x f h x f h 2)
()2(lim
000（D ）． A. )(20x f '- B. )(0x f ' C. )(20x f ' D. )(0x f '-
⒊设x
x f e )(=，则=?-?+→?x
f x f x )1()1(lim 0（A ）．
A. e
B. e 2
C. e 21
D. e 4
1
⒋设)99()2)(1()(---=x x x x x f Λ，则=')0(f （D ）．
A. 99
B. 99-
C. !99
D. !99- ⒌下列结论中正确的是（ C ）．
A. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 可导．
B. 若)(x f 在点0x 连续，则在点0x 可导．
C. 若)(x f 在点0x 可导，则在点0x 有极限．
D. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 连续． （二）填空题
⒈设函数???
??=≠=0,
00,1sin )(2
x x x
x x f ，则=')0(f 0 ． ⒉设x
x x f e 5e )e (2+=，则=x x f d )(ln d x
x 5ln 2+ ⒊曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 2
1
．
⒋曲线x x f sin )(=在)1,2
π
(处的切线方程是1=y ．
⒌设x x y 2=，则='y ()2ln 22+x x x
．
⒍设x x y ln =，则=''y x
1． （三）计算题
⒈求下列函数的导数y '：
⑴x
x x y e )3(+=
解：x
x x x
x
e e x e x e e x y 32
3)3(23
212
3++='+='
=)323(21
2
3++x x e x
⑵x x x y ln cot 2
+=
解：)ln 2sin cos cos sin sin ()ln sin cos (22
2
x x x x x x x x x x x x x y ++--='+=' =x x x x ++-ln 2sin 1
2
⑶x
x y ln 2
=
解：x x x x x x x y 22ln )
1ln 2(ln ln 2-=
-=' ⑷3
2cos x
x y x
+= 解：6
2
33)2(cos )2ln 2sin (x
x x x x y x x ?+-+-=' =4
23cos 322ln sin x x x x x x
x ?--?+-
⑸x x x y sin ln 2
-=
解：x
x x x x x x y 2
2sin )
(ln cos sin )21
(---=' =x
x x x x x x 222sin )
cos(ln sin )21(---
⑹x x x y ln sin 4
-=
解：)sin ln (cos 43
x x
x x x y +
?-=' =x
x x x x sin ln cos 43
-?-
⑺x
x x y 3sin 2
+=
解：x
x x x x x x y 223
)
(sin 3ln 33)2(cos +-+=' =x
x x x x 3
)
(sin 3ln 2cos 2+-+ ⑻x x y x
ln tan e +=
解：x x
e x e y x x
1
)cos tan (2++='
=
x x
x x e x 1
cos )1cos (sin 2++ ⒉求下列函数的导数y '：
⑴x
y e
=
解：x
x
e
x
e y x
x
221=
?
='
⑵x y cos ln = 解：x x
x
y tan cos sin -=-='
⑶x x x y =
解：因为8
78
14
12
1x x x x y =??=
所以 81
87-='x y
⑷x y 2
sin =
解：因为x x x y 2sin cos sin 2=?=
所以 )21
1()(3132
21
x x x y ++='-
⑸2
sin x y =
解：2
2cos 22cos x x x x y =?='
⑹x
y e cos =
解：='y x
x e e ?-sin
=x
x e e sin - ⑺nx x y n
cos sin =
解：)(cos sin cos )(sin '?+'='nx x nx x y n
n
=n nx x nx x x n n n ?-?+??-)sin (sin cos cos sin 1
=)sin sin cos (cos sin
1
nx x nx x x n n --
⑻x
y sin 5
=
解：设x
u y u
sin 5==
x u u y y '?'='=x x x
u cos 5
5ln cos 5ln 5sin ??=? ⑼x
y cos e
=
解：设x
u e y u
cos ==
x
u u y y '?'='=x e x e x u sin )sin (cos -=-? ⒊在下列方程中，y y x =()是由方程确定的函数，求'y ： 解：将方程两边对x 求导： x y x y sin cos -'=y e y
'?22
移项 x y e x y y
sin )2(cos 2=-'
所以：y
e
x x
y y 22cos sin -=
' ⑵x y y ln cos =
解：将方程两边对x 求导：
)(ln cos ln )(cos '+'='x y x y y
x y
x y y y cos ln sin +
'?-=' 移项 x
y
x y y cos )ln sin 1(=?+'
所以：)sin ln 1(cos y x x y
y +='
⑶y
x y x 2
sin 2=
解：'
222
'2'
22cos 22y y x y x y
y x xy y y x simy -=-=?+ 2
222
2'
cos 222cos 222x
y xy simy y xy y
x y x simy
y x
y +-=+-= ⑷y x y ln +=
解：因为：y y y '
+='1
解得 11
-='y y
⑸2
e ln y x y =+
解：将方程两边对x 求导：
y y y e x
y '?='?+21
整理得：)
2(1
y
e y x y -=' ⑹y y x
sin e 12
=+
解：将方程两边对x 求导：
y y e y e y y x x '?+='?cos sin 2
整理得：y
e y y
e y x
x cos 2sin -=' ⑺3e e y x y -=
解：将方程两边对x 求导：
y y e y e x y '?-='?23
整理得：2
3y e e y y x
+=' ⑻y
x y 25+=
解：将方程两边对x 求导：
y y y x '?+='2ln 25ln 5
整理得：
2
ln 215ln 5y x y -='
⒋求下列函数的微分y d ： ⑴x x y csc cot +=
解：因为 x x
x x x y 2
22sin cos sin 1)sin 1(sin 1--='+-=' =x x
2sin cos 1+-
所以 dx x
x
dy 2
sin cos 1+-= ⑵x
x y sin ln =
解：因为 x
x x x x y 2
sin ln cos sin 1
?-=' =x x x
x x x 2sin ln cos sin ?-
所以 dy=x x x
x x x 2
sin ln cos sin ?-dx ⑶x sin 2
=y
解：设 x u u y sin ,
2
== 则 x u u y y '?'='
=x x x u cos sin 2cos 2?=?
=x 2sin 所以 dy=x 2sin dx ⑷x
y e tan = 解：设: x
e u u y ==,
tan
则 x u u y y '?'='
=
x e u ?2
cos 1
=x
x
e e 2cos 所以 dy=x
x
e
e 2cos dx ⒌求下列函数的二阶导数： ⑴x y =
解：x
y 21=
'
2
3
41)21
(--='=''x x
y
⑵x
y 3=
解：3ln 3x
y ='
3ln 3ln 3)3ln 3(?='=''x
x y
= ⑶x y ln =
解：x y 1=
' 21
)1(x
x y -='=''
⑷x x y sin =
解：x x x y cos sin +='
x
x x x x x x x x x y sin cos 2sin cos cos )cos (sin -=-+='+=''
（四）证明题
设)(x f 是可导的奇函数，试证)(x f '是偶函数． 证明：因为)(x f 是奇函数，所以
又因为)(x f 可导，函数)(x f -为复合函数。 对)()(x f x f -=-两端对x 求导，得：
)()()(x f x x f '-='-?-' 即)()(x f x f '-=-'- 所以：)()(x f x f '=-'
根据偶函数的定义，)(x f '是偶函数。
高等数学基础第三次作业
第4章 导数的应用
（一）单项选择题
⒈若函数)(x f 满足条件（D ），则存在),(b a ∈ξ，使得a
b a f b f f --=)
()()(ξ．
A. 在),(b a 内连续
B. 在),(b a 内可导
C. 在),(b a 内连续且可导’
D. 在],[b a 内连续，在),(b a 内可导
⒉函数14)(2
-+=x x x f 的单调增加区间是（D ）． A. )2,(-∞ B. )1,1(- C. ),2(∞+ D. ),2(∞+- ⒊函数542
-+=x x y 在区间)6,6(-内满足（A ）． A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升
⒋函数)(x f 满足0)(='x f 的点，一定是)(x f 的（C ）．
A. 间断点
B. 极值点
C. 驻点
D. 拐点
⒌设)(x f 在),(b a 内有连续的二阶导数，),(0b a x ∈，若)(x f 满足（ C ），则)(x f 在0x 取到极小值．
A. 0)(,0)(00=''>'x f x f
B. 0)(,0)(00=''<'x f x f
C. 0)(,0)(00>''='x f x f
D. 0)(,0)(00<''='x f x f
⒍设)(x f 在),(b a 内有连续的二阶导数，且0)(,0)(<''<'x f x f ，则)(x f 在此区间内是（ A ）．
A. 单调减少且是凸的
B. 单调减少且是凹的
C. 单调增加且是凸的
D. 单调增加且是凹的
⒎设函数a ax ax ax x f ---=2
3)()(在点1=x 处取得极大值2-，则=a （ 1 ）．
A. 1
B.
31 C. 0 D. 3
1
-
（二）填空题
⒈设)(x f 在),(b a 内可导，),(0b a x ∈，且当0x x <时0)(<'x f ，当0x x >时
0)(>'x f ，则0x 是)(x f 的 极小值 点．
⒉若函数)(x f 在点0x 可导，且0x 是)(x f 的极值点，则=')(0x f 0 ．
⒊函数)1ln(2
x y +=的单调减少区间是()0,∞-．
⒋函数2
e )(x x
f =的单调增加区间是()+∞,0．
⒌若函数)(x f 在],[b a 内恒有0)(<'x f ，则)(x f 在],[b a 上的最大值是f(a) ． ⒍函数3
352)(x x x f -+=的拐点是 (0,2) ．
⒎若点)0,1(是函数2)(2
3++=bx ax x f 的拐点，则=a 1 ，=b 3-
（三）计算题
⒈求函数2
2
3)5()1(-+=x x y 的单调区间和极值．
解：()()()()()()()44153512
151251232123221'
++--+=-++-+=x x x x x x x x y
()()()0117512
1
21=-++=x x x
得驻点：x= -1 x=5 x=1
∴()x f 在()+∞??????-,57,1Y 内单调上升，在???
??5,7内单调下降。
极大值是14240131104
711=
??
? ??f 极小值是()05=f ⒉求函数32
2
)2(x x y -=在区间]3,0[内的极值点，并求最大值和最小值．
解：()()02223
23
12
'
=--=-
x x x y 得驻点x=1
又当x=0 x=2时 '
y 无意义，但原函数连续 ∴f(0)=0 f(1)= 1 f(2)=0 f(3)=39
∴最小值f(0)=f(2)=0 最大值是f(3)=39 极大值f(1)=1 极小值f(2)=0
⒊试确定函数d cx bx ax y +++=2
3中的d c b a ,,,，使函数图形过点)44,2(-和点
)10,1(-，且2-=x 是驻点，1=x 是拐点．
解：∵d cx bx ax y +++=2
3的图形过点)44,2(-和点)10,1(-，且2-=x 是驻点，1=x 是拐点．
∴ 44248=+-+-d c b x a=1 10-=+++d c b a ? b= -3
0412=+-c b a c= -24 026=+b a d=16
⒋求曲线x y 22
=上的点，使其到点)0,2(A 的距离最短．
解：设曲线x y 22
=上的点()y x ,，即()
x x 2,到A ()0,2的距离记为d
则()422222+-=
+-=
x x x x d
04
222
22
'=+--=
x x x d 1=x （唯一）∴当1=x 时 2=y
即点(
)
2,1到（2，0）的距离最短。
⒌圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？
解：设圆柱体的底面半径为x ,高为h ，则22x l h -=
2
222x l x h x v -==ππ
()03222322232223222232
2'=--=---=---=x
l x xl x l x x l x x l x x l x v ππππππ
l h l x 3
3,36==时，圆柱体的体积最大。
⒍一体积为V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 解：设圆柱体的底面半径为x ,高为h ，h x v 2
π= 则2
x v
h π=
2
22
2222222x x v x x
v x
x xh s ππππππ+=+=+= 024422
32'
=-=+-=x v x x x v s ππ
当 32πv x = 34πv
h =时，圆柱体的表面积最小。
⒎欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设长方体底面正方形的边长为x 米，长方体的高为h 米，
则 容积 62.5=h x 2
25
.62x
h =
表面积：x x x
x x xh x s 2505.62442
222+=+=+=
025*******
32'
=-=-=x
x x x s x=5 (米) ∴5.2,5==h x 时用料最省。
⒏从面积为S 的所有矩形中，求其周长最小者．
解：设矩形的边长为x 米，宽为y 米，x
s
y xy s ==,
周长 x
s
x l 22+=
s x x s x x s l ==-=-=,02222222'
（唯一驻点） x
s
则当长为s ，宽为s 时，其周长最小。
⒐从周长为L 的所有矩形中，求其面积最大者． 解：设矩形的边长为x 米，宽为y 米，2
2),(2x
l y y x l -=+=
则 面积 ()
222
1
22x lx x l x
s -=-= ()4,0421'l x x l s ==-=（唯一驻点）
2
2x
l - 则当长为4l ，宽为8
l
时，其面积最大。
（四）证明题
⒈当0>x 时，证明不等式)1ln(x x +>． 证明 利用函数的单调性证明
设()()x x x f +-=1ln ()()0,01111'
>>+=+-
=x x
x x x f
∴()x f 在[)∞+0内单调增加，当0>x 时，有()()0f x f > 即 ()()01ln >+-=x x x f ∴)1ln(x x +>成立
⒉当0>x 时，证明不等式1e +>x x
． 证明 利用函数的单调性证明 设()1--=x e x f x
()()0,01'
>>-=x e x f
x
∴()x f 在[)∞+0内单调增加，当0>x 时，有()()0f x f >
即 ()01>--=x e x f x
∴1e +>x x
成立
高等数学基础第四次作业
第5章 不定积分
第6章 定积分及其应用
（一）单项选择题
⒈若)(x f 的一个原函数是x
1
，则=')(x f （D ）． A. x ln B. 21
x
-
C. x 1
D. 32x
⒉下列等式成立的是（D ）． A.
)(d )(x f x x f ='? B. )()(d x f x f =?
C. )(d )(d x f x x f =?
D. )(d )(d d
x f x x f x =?
⒊若x x f cos )(=，则
='?x x f d )(（B ）．
A. c x +sin
B. c x +cos
C. c x +-sin
D. c x +-cos
⒋
=?x x f x x
d )(d d 3
2（B ）． A. )(3
x f B. )(32x f x
C. )(31x f
D. )(3
13
x f
⒌若?+=c x F x x f )(d )(，则?=x x f x
d )(1
（B ）． A. c x F +)( B. c x F +)(2
C. c x F +)2(
D. c x F x
+)(1
⒍下列无穷限积分收敛的是（D ）．
A.
?+∞
1d 1x x B. ?+∞0d e x x
C. ?+∞1d 1x x
D. ?+∞12
d 1
x x
（二）填空题
⒈函数)(x f 的不定积分是 ．?+=c x F dx x f )()(
⒉若函数)(x F 与)(x G 是同一函数的原函数，则)(x F 与)(x G 之间有关系
式 ．)(x G =)(x F +c
⒊=?
x x
d e d 2
．dx e x 2
⒋='?
x x d )(tan ．tanx+c ⒌若?+=c x x x f 3cos d )(，则=')(x f ．x 3cos 9-
⒍
?-=+3
3
5
d )21(sin x x ．3 ⒎若无穷积分?∞+1d 1
x x p
收敛，则p ．>1
（三）计算题
⒈
?
x x
x d 1cos
2
解：原式=?
+-=-c x
x d
x 1sin 11cos ⒉
?
x x
x
d e
解：原式=?
+=c e
x d e x
x
22
⒊
?x x x d ln 1
解：原式=?+=c x x d x
)ln(ln ln ln 1
⒋?x x x d 2sin
解：原式=?
-
x xd 2cos 21
=)2sin 2
1
2cos (21c x x x +--
⒌
?
+e
1
d ln 3x x
x 解：原式=x d x x d x d x e
e
e
ln ln ln 3ln )ln 3(1
1
1
?
??+=+
=1)ln 2
1ln 3(2e
x x +=270213=-+
⒍
?
-10
2d e x x x
解：原式=??---=--e
x e
x xde x d xe 121221
)2(21
=1)2
1(2122e e xe x x
--+-
=)2
321(21)2121(21122222-+-=--+?-+-----e e e e
e e e e e e e e
⒎
?
e
1
d ln x x x
解：原式=??-=e
e dx x e x x x xd 1
12
221ln 22ln
=41
2142222+=-e e x e ⒏?e 12
d ln x x x
解：原式=e e x e dx x e x x x d x e e
2
111111ln 1)1(ln 121
-=--=+-=-??
（四）证明题
⒈证明：若)(x f 在],[a a -上可积并为奇函数，则
0d )(=?
-a
a
x x f ．
证明：因为 )(x f 是奇函数，所以 )()(x f x f -=-
dx x f dx x f x x f a
a
a
a
???
+=
--0
)()(d )(
令t x -= 则 dt dx -= x -a 0
t a 0
于是：
????-=-=--=-a
a
a
a
dx x f dx t f dt t f dx x f 0
)()()()(
故：
?????
=+-=+=
--a
a
a
a
a
a
dx x f dx x f dx x f dx x f x x f 0
0)()()()(d )(
⒉证明：若)(x f 在],[a a -上可积并为偶函数，则??
=-a
a
a
x x f x x f 0
d )(2d )(．
证明：因为)(x f 在],[a a -上是偶函数 所以 )()(x f x f =- 令t x -= 则 dt dx -= x -a 0 t a 0
于是：
????==--=-a
a
a
a
dx x f dt t f dt t f dx x f 0
)()()()(
故：
??????
=+=+=
--a
a
a
a
a
a
a
dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f x x f 0
)(2)()()()(d )(
⒊证明：??
-+=-a
a
a
x x f x f x x f 0d )]()([d )(
证明：
dx x f dx x f x x f a
a
a
a
???
+=
--0
)()(d )(
令t x -= 则 dt dx -= x -a 0 t a 0
????-=-=--=-a
a
a
a
dx x f dx t f dt t f dx x f 0
)()()()(
于是：
dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f a
a
a
a
a
a
?????+-=+=--0
)()()()()(
=dx x f x f a
?
+-0
))()((
【高等数学基础】形成性考核册答案 【高等数学基础】形考作业1答案： 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2 )()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1)(2--=x x x g 分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同 A 、2 ()f x x ==，定义域{}|0x x ≥；x x g =)(，定义域为R 定义域不同，所以函数不相等； B 、()f x x = =，x x g =)(对应法则不同，所以函数不相等； C 、3 ()ln 3ln f x x x ==，定义域为{}|0x x >，x x g ln 3)(=，定义域为{}|0x x > 所以两个函数相等 D 、1)(+=x x f ，定义域为R ；21 ()11 x g x x x -= =+-，定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同，所以两函数不等。 故选C ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 分析：奇函数，()()f x f x -=-，关于原点对称 偶函数，()()f x f x -=，关于y 轴对称 ()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称， 奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称 设()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+= 所以()()()g x f x f x =+-为偶函数，即图形关于y 轴对称 故选C ⒊下列函数中为奇函数是（B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += 分析：A 、()()( )()2 2 ln(1)ln 1y x x x y x -=+-=+=，为偶函数 B 、()()()cos cos y x x x x x y x -=--=-=-，为奇函数 或者x 为奇函数，cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数 C 、()()2 x x a a y x y x -+-= =，所以为偶函数
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
高数（一）的预备知识 第一部份 代数部份 （一）、基础知识： 1．自然数：0和正整数（由计数产生的）。 2．绝对值：a a a ?=?-? 00a a ≥∠ 3．乘法公式 （a+b ）(a-b)=a 2-b 2 (a ±b)2=a2±2ab+b 2 a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2) a 3+ b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2) 4.一元二次方程 （1）标准形式：a 2+bx+c=0 (2)解的判定：2240,40,0,b ac b ac ??=-?? ?=-=????? 有两个不同的实数根有两个相同的实数根无实数根 （3）一元二次根和系数的关系：（在简化二次方程中） 标准形式：x 2 +px+q=0 设X1、X2为x2+p(x)+q=0的两个根，则； 1212p q x x x x +=-?? ?=? （4）十字相乘法： （二）指数和对数 1．零指数与负指数：0(1)0,1;1(2)n n a a x x -?≠=? ?=?? 则 2．根式与分数指数： （1 ） 1 n a = （2 ） m n a = 3．指数的运算（a>0,b>0,(x,y) ∈R ）; (1)x y x y a a a +?= (2)()m n m n a a ?= (3)x y x y a a a -÷= (4)()n n n a b a b ?=? 4．对数：设,x a N X N =则称为以a 为底的对数, 记作：log a n =X, lnX ，lgX; 5．对数的性质
(1)log a M ·N=log a M+log a N (2) log log log a a M M N N =- (3) log log x a a N x N =? (4)换底公式： log log log a b a N N b = （5） log ln ,aN x a N e x =?= （三）不等式 1．不等式组的解法： （1）分别解出两个不等式，例2153241 X X X X -<-??->-? （2）求交集 2、绝对值不等式 （1）; X a a X a ≤?-≤ ≤ （2）;X a X a X a ≥?≥≤- 或 3、1元2次不等式的解法： （1）标准形式：2 00ax bx c ++≥≤（或） （2）解法：0 0122????? 解对应的一元次方程 判解： 0a a ?? ???? ①若与不等式同号，解取根外； ②若与不等式异号，解取根内； ③若无根（＜），则a 与不等式同号； 例：（1）2560;x x -+≥ （2）2320;x x -+＜ （四）函数 1、正、反比例函数：y kx = ， 1 y x = 2、1元2次函数：2 y ax bx c =++ （a ≠0） 顶点：2424b ac b a a -（-,）； 对称轴：2b x a =- ； 最值：2 44ac b y a -=； 图像：（1）a ＞0,开口向上；（2）a ＜0,开口向下； 3、幂函数： n y x = （n=1,2,3）；
宁波电大07秋《经济数学基础(综合)》作业1 参考答案 第一篇 微分学 一、单项选择题 1. 下列等式中成立的是(Ｄ)． A ． e x x x =+ ∞ →2)11(lim B ．e x x x =+∞→)2 1(lim C ．e x x x =+ ∞ →)211(lim D ． e x x x =++∞→2)1 1(lim 2. 下列各函数对中,( B )中的两个函数相等． A ．2)(,)(x x g x x f = = B ．x x g x x f ln 5)(,ln )(5== C ．x x g x x f ln )(,)(== D ．2)(,2 4 )(2-=+-= x x g x x x f 3. 下列各式中，（ Ｄ ）的极限值为１ ． A ．x x x 1sin lim 0 → B ．x x x sin lim ∞→ C ．x x x sin lim 2 π→ D ． x x x 1 sin lim ∞→ 4. 函数的定义域是5arcsin 9 x 1 y 2x +-= （ B ）． A ．[]5,5- B ．[)(]5,33,5U -- C ．()()+∞-∞-,33,U D ．[]5,3- 5. ()==??? ??=≠=a ,0x 0x a 0 x 3x tan )(则处连续在点x x f （ B ） ． A ． 3 1 B ． 3 C ． 1 D ． 0 6. 设某产品的需求量Q 与价格P 的函数关系为则边际收益函数为,2 p -3e Q =（ C ）. A ．2p -e 2 3- B ．23p Pe - C ．2)233(p e P -- D ．2)33(p e P -+ 7. 函数2 4 )(2--=x x x f 在x = 2点（ B ）. A. 有定义 B. 有极限 C. 没有极限 D. 既无定义又无极限
高等数学基础作业1 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一） 单项选择题 ⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2 )()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1)(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数是（C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2 x y = D. ? ??≥<-=0,10 ,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是（D ）． A. 12lim 2 2 =+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0 =+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01 sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时，变量（C ）是无穷小量． A. x x sin B. x 1 C. x x 1 sin D. 2)ln(+x ⒎若函数)(x f 在点0x 满足（A ），则)(x f 在点0x 连续。 A. )()(lim 00 x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域有定义 C. )()(lim 00 x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0 x f x f x x x x -+→→= （二）填空题 ⒈函数)1ln(3 9 )(2x x x x f ++--= 的定义域是 {}|3x x > ． ⒉已知函数x x x f +=+2 )1(，则=)(x f x 2-x ． ⒊=+∞→x x x )211(lim ． ⒌函数???≤>+=0 ,sin 0 ,1x x x x y 的间断点是 0x = ．
高等数学基础归类复习 一、单项选择题 1-1下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2 )(x x f =，x x g =)( C.3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1 )(2--=x x x g 1-⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f --的图形关于（D ）对称． A. x y = B. x 轴 C. y 轴 D. 坐标原点 .函数2 e e x x y -= -的图形关于（ A ）对称． (A) 坐标原点 (B) x 轴 (C) y 轴 (D) x y = 1-⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += 下列函数中为奇函数是（A ）． A. x x y -=3 B. x x e e y -+= C. )1ln(+=x y D. x x y sin = 下列函数中为偶函数的是（ D ）． A x x y sin )1(+= B x x y 2= C x x y cos = D )1ln(2x y += 2-1 下列极限存计算不正确的是（ D ）． A. 12lim 2 2 =+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0 =+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01 sin lim =∞→x x x 2-2当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． A. x x sin B. x 1 C. x x 1sin D. 2)ln(+x 当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．A x 1 B x x sin C 1e -x D 2x x .当0→x 时，变量（D ）是无穷小量．A x 1 B x x sin C x 2 D )1ln(+x 下列变量中，是无穷小量的为（ B ） A ()1sin 0x x → B ()()ln 10x x +→ C ()1 x e x →∞ D.()22 24 x x x -→- 3-1设)(x f 在点x=1处可导，则=--→h f h f h ) 1()21(lim 0（ D ）． A. )1(f ' B. )1(f '- C. )1(2f ' D. )1(2f '- 设)(x f 在0x 可导，则=--→h x f h x f h ) ()2(lim 000（ D ）． A )(0x f ' B )(20x f ' C )(0x f '- D )(20x f '-
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A
经济数学基础形成性考核册及参考答案(二) （一）填空题 1.若 c x x x f x ++=? 22d )(，则___________________)(=x f .答案：22ln 2+x 2. ? ='x x d )sin (________.答案：c x +sin 3. 若 c x F x x f +=?)( d )(，则(32)d f x x -=? .答案：1 (32)3 F x c -+ 4.设函数___________d )1ln(d d e 12 =+?x x x .答案：0 5. 若t t x P x d 11)(02 ? += ，则__________)(='x P .答案：2 11x +- （二）单项选择题 1. 下列函数中，（ ）是x sin x 2 的原函数． A ． 21cos x 2 B ．2cos x 2 C ．-2cos x 2 D ．-2 1cos x 2 答案：D 2. 下列等式成立的是（ ）． A ．)d(cos d sin x x x = B ．)d(22 ln 1 d 2x x x = C ．)1d(d ln x x x = D ． x x x d d 1= 答案：B 3. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ ）． A ．?+x x c 1)d os(2， B ．? -x x x d 12 C ．? x x x d 2sin D ．?+x x x d 12 答案：C 4. 下列定积分计算正确的是（ ）． A ． 2d 21 1 =? -x x B ．15d 16 1 =? -x C ． 0d sin 22 =?- x x π π D ．0d sin =?-x x π π 答案：D 5. 下列无穷积分中收敛的是（ ）． A ． ? ∞ +1 d 1x x B ．?∞+12d 1x x C ．?∞+0d e x x D ．?∞+0d sin x x 答案：B (三)解答题 1.计算下列不定积分
高等数学基础第三次作业 第4章 导数的应用 （一）单项选择题 ⒈若函数)(x f 满足条件（ ），则存在),(b a ∈ξ，使得a b a f b f f --=)()()(ξ． A. 在),(b a 内连续 B. 在),(b a 内可导 C. 在),(b a 内连续且可导 D. 在],[b a 内连续，在),(b a 内可导 ⒉函数14)(2-+=x x x f 的单调增加区间是（ ）． A. )2,(-∞ B. )1,1(- C. ),2(∞+ D. ),2(∞+- ⒊函数542-+=x x y 在区间)6,6(-内满足（ ）． A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升 ⒋函数)(x f 满足0)(='x f 的点，一定是)(x f 的（ ）． A. 间断点 B. 极值点 C. 驻点 D. 拐点 ⒌设)(x f 在),(b a 内有连续的二阶导数，),(0b a x ∈，若)(x f 满足（ ），则)(x f 在0x 取到极小值． A. 0)(,0)(00=''>'x f x f B. 0)(,0)(00=''<'x f x f C. 0)(,0)(00>''='x f x f D. 0)(,0)(00<''='x f x f ⒍设)(x f 在),(b a 内有连续的二阶导数，且0)(,0)(<''<'x f x f ，则
)(x f 在此区间内是（ ）． A. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的 C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的 （二）填空题 ⒈设)(x f 在),(b a 内可导，),(0b a x ∈，且当0x x <时0)(<'x f ，当0 x x >时0)(>'x f ，则0x 是)(x f 的 点． ⒉若函数)(x f 在点0x 可导，且0x 是)(x f 的极值点，则=')(0x f ． 3.函数)1ln(2x y +=的单调减少区间是 ． 4.函数2e )(x x f =的单调增加区间是 ． ⒌若函数)(x f 在],[b a 内恒有0)(<'x f ，则)(x f 在],[b a 上的最大值是 ． ⒍函数3352)(x x x f -+=的拐点是 ． （三）计算题 ⒈求函数2)5)(1(-+=x x y 的单调区间和极值． ⒉求函数322+-=x x y 在区间]3,0[内的极值点，并求最大值和最小值． ⒊求曲线x y 22=上的点，使其到点)0,2(A 的距离最短． ⒋圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ ⒌一体积为V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ ⒍欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ （四）证明题 ⒈当0>x 时，证明不等式)1ln(x x +>． ⒉当0>x 时，证明不等式1e +>x x ．
高等数学基础形考作业1答案： 第1章函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1)(2--=x x x g 分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同 A 、2()f x x ==，定义域{}|0x x ≥；x x g =)(，定义域为R 定义域不同，所以函数不相等； B 、()f x x ==，x x g =)(对应法则不同，所以函数不相等； C 、3()ln 3ln f x x x ==，定义域为{}|0x x >，x x g ln 3)(=，定义域为{}|0x x > 所以两个函数相等 D 、1)(+=x x f ，定义域为R ；21()11 x g x x x -==+-，定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同，所以两函数不等。 故选C ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 分析：奇函数，()()f x f x -=-，关于原点对称 偶函数，()()f x f x -=，关于y 轴对称 ()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称， 奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称 设()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+= 所以()()()g x f x f x =+-为偶函数，即图形关于y 轴对称 故选C ⒊下列函数中为奇函数是（B ）．
高等数学基础形成性考核册 专业：建筑 学号： 姓名：牛萌 河北广播电视大学开放教育学院 （请按照顺序打印，并左侧装订）
高等数学基础形考作业1： 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1 )(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． A. )1ln(2x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2 x y = D. ? ??≥<-=0,10 ,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）． A. 12lim 2 2 =+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01 sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． A. x x sin B. x 1 C. x x 1 sin D. 2)ln(+x ⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。 A. )()(lim 00 x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C. )()(lim 00 x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0 x f x f x x x x - +→→=
作业三 （一）填空题 1.设矩阵???? ??????---=161223235401A ，则A 的元素__________________23=a .答案：3 2.设B A ,均为3阶矩阵，且3-==B A ，则T AB 2-=________. 答案：72- 3. 设B A ,均为n 阶矩阵，则等式2222)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条件 是 .答案：BA AB = 4. 设B A ,均为n 阶矩阵，)(B I -可逆，则矩阵X BX A =+的解______________=X . 答案：A B I 1 )(-- 5. 设矩阵??????????-=300020001A ，则__________1=-A .答案：??????? ?????????-=31000210001A （二）单项选择题 1. 以下结论或等式正确的是（ ）． A ．若 B A ,均为零矩阵，则有B A = B ．若A C AB =，且O A ≠，则C B = C ．对角矩阵是对称矩阵 D ．若O B O A ≠≠,，则O AB ≠答案C 2. 设A 为43?矩阵，B 为25?矩阵，且乘积矩阵T ACB 有意义，则T C 为（ ）矩阵． A ．42? B ．24?
C ．53? D ．35? 答案A 3. 设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ）． ` A ．111)(---+=+ B A B A ， B ．111)(---?=?B A B A C ．BA AB = D ．BA AB = 答案C 4. 下列矩阵可逆的是（ ）． A ．??????????300320321 B ．???? ??????--321101101 C ．??????0011 D ．?? ????2211 答案A 5. 矩阵???? ??????---=421102111A 的秩是（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案B 三、解答题 1．计算 （1）????????????-01103512=?? ????-5321 （2）?????????? ??-00113020??????=0000 （3）[]???? ? ???????--21034521=[]0
高高等数学基本知识点
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 ②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集，记作C U A。 即C U A＝｛x|x∈U，且x A｝。 集合中元素的个数 ⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。 ⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。 ⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B) 我的问题： 1、学校里开运动会，设A＝｛x|x是参加一百米跑的同学｝，B＝｛x|x是参加二百米跑的同学｝，C＝｛x|x是参加四百米跑的同学｝。学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义。⑴、A∪B；⑵、A∩B。
高等数学基础作业 作业1 一、CCBC DCA 二、1、（3， +∞) ，2、 x 2 - x ，3、 e 1/ 2 ，4、 e ， 5、 x=0 ，6、 无穷小量 。 三、 1、f(-2) = - 2，f(0) = 0， f(1) = e 2、由 01 2>-x x 解得x<0或x>1/2，函数定义域为(-∞，0)∪(1/2，+∞) 3、如图梯形面积A=(R+b)h ，其中22h R b -= ∴ 4、 5、 6、 7、 8、 h h R R A )(2 2-+=2 3 22sin 2 33sin 3 lim 2sin 3sin lim 00==→→x x x x x x x x 2)1() 1sin(1lim )1sin(1lim 12 1-=-++=+--→-→x x x x x x x 33cos 33sin 3lim 3tan lim 00==→→x x x x x x x x x x x x x x x sin )11()11)(11(lim sin 11lim 222020++-+++=-+→→0 sin 11lim sin )11(1 )1(lim 20 220=++=++-+=→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x )3 41(lim )343(lim 31(lim +-+=+-+=+-∞→∞→∞→
9、 10、 ∴函数在x=1处连续 不存在，∴函数在x=-1处不连续 作业2 一、 BDADC 二、1、f ＇(0)= 0 ，2、f ＇(lnx)= (2/x)lnx+5/x ， 3、 1/2 ， 4、 y=1 ， 5、 2x 2x (lnx+1) ， 6、 1/x 。 三、1、求y ＇ (1)、y=(x 3/2+3)e x ，y ＇=3/2x 1/2e x +(x 3/2+3)e x =(3/2x 1/2+x 3/2+3)e x (2)、y ＇=-csc 2x + 2xlnx +x (3)、y ＇=(2xlnx-x)/ln 2x (4)、y ＇=[(-sinx+2x ln2)x 3-3x 2(cosx+2x )]/x 6 4 3 4 43) 3 41(] )341[(lim ---+∞→=+-+-+=e x x x x 32)4)(1()4)(2(lim 4586lim 4224=----=+-+-→→x x x x x x x x x x 1)(lim 1)21()(lim 1 2 1 ===-=- +→→x f x f x x )1(1)(lim 1 f x f x ==→011)(lim 1)(lim 1 1=+-=≠-=-+-→-→x f x f x x )(lim 1 x f x -→x x x x x x x 22sin cos )(ln sin )21 ()5(---、
核准通过，归档资 料。 未经允许，请勿外 传！ 高等数学基础归类复习 一、单项选择题 1-1下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. 错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。 B. 错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。 C.错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。 D. 错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。 1-⒉设函数错误！未找到引用源。的定义域为错误！未找到引用源。，则函数错误！未找到引用源。的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. 错误！未找到引用源。轴 C. 错误！未找到引用源。轴 D. 错误！未找到引用源。设函数错误！未找到引用源。的定义域为错误！未找到引用源。，则函数错误！未找到引用源。的图形关于（D ）对称． A. 错误！未找到引用源。 B. 错误！未找到引用源。轴 C. 错误！未找到引用源。轴 D. 坐标原点 .函数错误！未找到引用源。的图形关于（A ）对称． (A) 坐标原点(B) 错误！未找到引用源。轴(C) 错误！未找到引用源。轴(D) 错误！未找到引 用源。 1-⒊下列函数中为奇函数是（B ）． A. 错误！未找到引用源。 B. 错误！未找到引用源。 C. 错误！未找到引用源。 D. 错误！未找到引用源。 下列函数中为奇函数是（A ）． A. 错误！未找到引用源。 B. 错误！未找到引用源。 C. 错误！未找到引用源。 D. 错误！未找到引用源。 下列函数中为偶函数的是（ D ）． A 错误！未找到引用源。 B 错误！未找到引用源。 C 错误！未找到引用源。 D 错误！未找 到引用源。 2-1 下列极限存计算不正确的是（ D ）． A. 错误！未找到引用源。 B. 错误！未找到引用源。 C. 错误！未找到引用源。 D. 错误！未找到引用源。 2-2当错误！未找到引用源。时，变量（ C ）是无穷小量． A. 错误！未找到引用源。 B. 错误！未找到引用源。 C. 错误！未找到引用源。 D. 错误！未找到引用源。 当错误！未找到引用源。时，变量（ C ）是无穷小量．A 错误！未找到引用源。 B 错误！未找到引用源。 C 错误！未找到引用源。 D 错误！未找到引用源。 .当错误！未找到引用源。时，变量（D ）是无穷小量．A 错误！未找到引用源。 B 错误！未找到引用源。 C 错 误！未找到引用源。 D 错误！未找到引用源。 下列变量中，是无穷小量的为（ B ） A错误！未找到引用源。 B 错误！未找到引用源。C错误！未找到引用源。 D.错误！未找到引用源。
【经济数学基础】形考作业一答案： （一）填空题 1._________ __________sin lim =-→x x x x 答案：0 2.设 ? ?=≠+=0 ,0, 1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续，则________=k .答案：1 3.曲线x y = 在)1,1(的切线方程是 .答案：2 121+ =x y 4.设函数52)1(2++=+x x x f ，则____________)(='x f .答案：x 2 5.设x x x f sin )(=，则__________ )2π (=''f 2 π- （二）单项选择题 1. 函数+∞→x ，下列变量为无穷小量是（ D ） A ．)1(x In + B ．1/2+x x C ．2 1x e - D ． x x sin 2. 下列极限计算正确的是（ B ） A.1lim =→x x x B.1lim 0 =+ →x x x C.11sin lim 0 =→x x x D.1sin lim =∞ →x x x 3. 设y x =lg 2，则d y =（ B ）． A ． 12d x x B ． 1d x x ln 10 C ． ln 10x x d D ．1 d x x 4. 若函数f (x )在点x 0处可导，则( B )是错误的． A ．函数f (x )在点x 0处有定义 B ．A x f x x =→)(lim 0 ，但)(0x f A ≠ C ．函数f (x )在点x 0处连续 D ．函数f (x )在点x 0处可微 5.若x x f =)1 (，则()('=x f B ） A ．1/ 2x B ．-1/2x C ．x 1 D ． x 1- (三)解答题 1．计算极限 （1）2 11 23lim 22 1 - =-+-→x x x x （2）2 18 665lim 2 2 2 = +-+-→x x x x x
高等数学基础第二次作业 第3章 导数与微分 （一）单项选择题 ⒈设0)0(=f 且极限x x f x )(lim →存在，则=→x x f x )(lim （ B ）． A. )0(f B. )0(f ' C. )(x f ' D. 0 ⒉设)(x f 在0x 可导，则=--→h x f h x f h 2) ()2(lim 000 （ D ）． A. )(20x f '- B. )(0x f ' C. )(20x f ' D. )(0x f '- ⒊设x x f e )(=，则=?-?+→?x f x f x ) 1()1(lim （ A ）． A. e B. e 2 C. e 2 1 D. e 4 1 ⒋设)99()2)(1()(---=x x x x x f ，则=')0(f （ D ）． A. 99 B. 99- C. !99 D. !99- ⒌下列结论中正确的是（ C ）． A. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 可导． B. 若)(x f 在点0x 连续，则在点0x 可导． C. 若)(x f 在点0x 可导，则在点0x 有极限． D. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 连续． ⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． A. x x sin B. x 1 C. x x 1sin D. 2)ln(+x ⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。 A. )()(lim 00 x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C. )()(lim 00 x f x f x x =+ → D. )(lim )(lim 0 x f x f x x x x - + →→= （二）填空题 ⒈设函数?? ???=≠=0,00,1sin )(2 x x x x x f ，则=')0(f 无穷小量 ． 解： 2 000 1()s i n 0 (0)(0) 1 (0) l i m l i m l i m s i n 0 x x x x f x f x f x x x x ?→?→ ?→?- +?-?'== = ?=???
高等数学
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。