2020年高等数学基础第一次作业点评1
第1章 函数
第2章 极限与连续
（一）单项选择题
⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．
A. 2
)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =
，x x g =)(
C. 3
ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1
1)(2--=x x x g
⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称．
A. 坐标原点
B. x 轴
C. y 轴
D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．
A. )1ln(2
x y += B. x x y cos =
C. 2
x
x a a y -+= D. )1ln(x y +=
⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2
x
y = D. ?
??≥<-=0,10
,1x x y
⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．
A. 12lim 2
2
=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0
=+→x x C. 0sin lim
=∞→x x x D. 01
sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．
A. x x sin
B. x 1
C. x
x 1
sin D. 2)ln(+x
⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。
A. )()(lim 00
x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义
C. )()(lim 00
x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0
x f x f x x x x -+→→=
（二）填空题
⒈函数)1ln(3
9
)(2x x x x f ++--=
的定义域是 ．}33{>-≤x x x 或 ⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f ．x x -2
⒊=+
∞→x
x x
)211(lim ．21
e
⒋若函数???
??≥+<+=0,0,)1()(1
x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k ．e
⒌函数???≤>+=0
,sin 0
,1x x x x y 的间断点是 ．0=x
⒍若A x f x x =→)(lim 0
，则当0x x →时，A x f -)(称为 ．无穷小量
（三）计算题 ⒈设函数
??
?≤>=0
,0
,e )(x x x x f x 求：)1(,)0(,)2(f f f -．
解：2)2(-=-f
0)0(=f e e f ==1)1(
⒉求函数x
x y 1
2lg
lg -=的定义域． 解：欲使函数有意义，必使01
2lg >-x
x ， 即：112>-x
x 亦即：x x >-12
解得函数的定义域是：1>x
⒊在半径为R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两
个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数． 解：设梯形的高CM=x ，则22x R DM -=
梯形的上底222x R DC -=，下底R AB 2=
则梯形的面积
2
)22(22x
R x R s +-=
)0()(22R x x R x R <<+-=
⒋求x
x
x 2sin 3sin lim
0→．
解：原式=23
112322sin lim 33sin lim
2
300=?=?
→→x x x x
x x ⒌求)
1sin(1
lim 21+--→x x x ．
解：原式=21
21
)1sin(lim )1(lim 1)1sin(1lim 11
1-=-=++-=++--→-→-→x x x x x x x x x
⒍求x
x
x 3tan lim 0→．
解：31
1
133cos 1lim 33sin lim 33cos 133sin lim 33cos 3sin lim 0000=??=?=?=→→→→x x x x x x x x x
x x x x
⒎求x
x x sin 1
1lim 20-+→．
解：原式=010sin 1
lim
1
1lim
sin )11()
11)(11(lim
20
2220
=?=?++=++++-+→→→x
x x x x
x x x x x x ⒏求x
x x x )3
1(
lim +-∞
→． 解：原式=
3
3
3131-+→∞??
?
??+-???? ??+-x x x x lim x x =
3
3
343343-+∞→?
?
?
??+-+???
? ??+-+x x x x lim x x
=
3
3
341341-∞→+∞→??? ?
?
+-+???? ?
?
+-+x lim x lim x x x =
3
341+∞→??? ?
?
+-+x x x lim
=4
4
3341--+∞→???
????
?
??? ??+-+x x x lim =4
4
3341--+∞→???
?????
??
? ??+-+x x x lim =4
-e
⒐求4
58
6lim 224+-+-→x x x x x ．
解：原式=3
2
12lim )1)(4()2)(4(lim
44=--=----→→x x x x x x x x ⒑设函数
??
???-<+≤≤->-=1,111,1
,)2()(2x x x x x x x f
讨论)(x f 的连续性，并写出其连续区间．
点评：讨论分段函数在分段点处的连续性，只要研究函数)(x f 在该点处的左右极限情况，然后再由函数连续性的定义判断。
解：先看函数在分段点1-=x 处的情况，
∵
011)1()(lim
lim 11=+-=+=-
-
-→-→x x f x x 1)(lim lim 11-==+
+
-→-→x x f x x
∴)()(lim lim 11x f x f x x +
--→-→≠，故)(lim 1
x f x -→不存在。
∴1-=x 为函数)(x f 的间断点。 再看函数在分段点1=x 处的情况，
∵
1)(lim
lim
11==-
-
→→x x f x x
1)2()(2
11lim lim =-=+
+
→→x x f x x ∴
)()(lim lim 11x f x f x x +
-
→→=，故1)(lim 1
=→x f x 。
又因为1)1(1
===x x f
所以
)1()(lim 1
f x f x =
→
故1=x 是函数)(x f 的连续点。
函数)(x f 在连续区间是：),1()1,(+∞-?--∞。
高等数学基础第二次作业
第3章 导数与微分
（一）单项选择题
⒈设0)0(=f 且极限x x f x )(lim
0→存在，则=→x
x f x )
(lim
0（B ）． A. )0(f B. )0(f ' C. )(x f ' D. 0
⒉设)(x f 在0x 可导，则=--→h
x f h x f h 2)
()2(lim 000（D ）．
A. )(20x f '-
B. )(0x f '
C. )(20x f '
D. )(0x f '-
⒊设x
x f e )(=，则=?-?+→?x
f x f x )1()1(lim
0（A ）． A. e B. e 2
C. e 21
D. e 4
1
⒋设)99()2)(1()(---=x x x x x f Λ，则=')0(f （D ）．
A. 99
B. 99-
C. !99
D. !99- ⒌下列结论中正确的是（ C ）．
A. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 可导．
B. 若)(x f 在点0x 连续，则在点0x 可导．
C. 若)(x f 在点0x 可导，则在点0x 有极限．
D. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 连续． （二）填空题
⒈设函数?????=≠=0,
00
,1sin )(2
x x x
x x f ，则=')0(f 0 ． ⒉设x
x x f e 5e )e (2+=，则=x x f d )(ln d x
x 5ln 2+
⒊曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是
2
1． ⒋曲线x x f sin )(=在)1,2
π(处的切线方程是1=y ．
⒌设x
x y 2=，则='y ()2ln 22+x x
x
．
⒍设x x y ln =，则=''y x
1． （三）计算题
⒈求下列函数的导数y '：
点评：这组求函数的导数计算题主要是采用导数的四则运算法则和基本求导公式来解决。
⑴x
x x y e )3(+=
解：x
x x x
x
e e x e x e e x y 32
3)3(23
212
3++='+='
=)323(21
2
3++x x e x
⑵x x x y ln cot 2
+=
解：)ln 2sin cos cos sin sin ()ln sin cos (22
2
x x x x x x x x x x x x x y ++--='+=' =x x x x ++-
ln 2sin 1
2 ⑶x
x y ln 2
=
解：x x x x x x x y 22ln )
1ln 2(ln ln 2-=-='
⑷3
2cos x
x y x
+= 解：6
2
33)2(cos )2ln 2sin (x
x x x x y x x ?+-+-=' =4
23cos 322ln sin x x x x x x
x ?--?+-
⑸x x x y sin ln 2
-=
解：x
x x x x x x y 2
2sin )
(ln cos sin )21
(---=' =x
x x x x x x 222sin )
cos(ln sin )21(---
⑹x x x y ln sin 4
-=
解：)sin ln (cos 43
x x x x x y +?-=' =x
x x x x sin ln cos 43
-?-
⑺x
x x y 3
sin 2
+= 解：x
x x x x x x y 223)
(sin 3ln 33)2(cos +-+='
=x
x x x x 3
)
(sin 3ln 2cos 2+-+ ⑻x x y x
ln tan e +=
解：x x
e x e y x x
1
)cos tan (2
++=' =
x x
x x e x 1
cos )1cos (sin 2++ ⒉求下列函数的导数y '：
这组求函数的导数计算题主要是采用复合函数的求导法则，可用设中间变量的方法，当中间变量不多时，也可直接求。设中间变量的目的尽可能使函数成为基本初等函数或基本初等函数的四则运算。 ⑴x
y e
=
解：x
x
e
x
e y x
x
221=
?
='
⑵x y cos ln = 解：x x
x
y tan cos sin -=-='
⑶x x x y =
解：因为8
78
14
12
1x x x x y =??=
所以 8
1
87-='x y
⑷x y 2
sin =
解：因为x x x y 2sin cos sin 2=?=
所以 )211()(3132
21
x x x y ++='-
⑸2
sin x y =
解：2
2cos 22cos x x x x y =?='
⑹x
y e cos =
解：='y x
x e e ?-sin
=x
x e e sin - ⑺nx x y n
cos sin =
解：)(cos sin cos )(sin '?+'='nx x nx x y n
n
=n nx x nx x x n n n ?-?+??-)sin (sin cos cos sin 1
=)sin sin cos (cos sin 1
nx x nx x x n n --
⑻x
y sin 5
=
解：设x
u y u
sin 5
==
x u u y y '?'='=x x x
u cos 5
5ln cos 5ln 5sin ??=? 注：因只有一次复合，也可直接计算。 ⑼x
y cos e
=
解：设x
u e y u
cos ==
x u u y y '?'='=x e
x e x u sin )sin (cos -=-? 注：因只有一次复合，也可直接计算。
⒊在下列方程中，是由方程确定的函数，求
：
点评：这组求函数的导数计算题采用的是隐函数的求导法。有两种方法，第一种是在方程两端对自变量x 求导，将Y 视为中间变量，利用复合函数求导法则。第二种方法是对方程两端同时求微分，利用微分运算法则和一阶微分形式不变性，求得微分后求导数。 解：将方程两边对x 求导： x y x y sin cos -'=y e y
'?22
移项 x y e x y y
sin )2(cos 2=-'
所以：y
e x x
y y 22cos sin -=
'
⑵x y y ln cos =
解：将方程两边对x 求导：
)(ln cos ln )(cos '+'='x y x y y
x y
x y y y cos ln sin +
'?-=' 移项 x
y
x y y cos )ln sin 1(=?+'
所以：)sin ln 1(cos y x x y
y +='
⑶y
x y x 2
sin 2=
解：'
222
'2'
22cos 22y y x y x y y x xy y y x simy -=-=?+
2
222
2'
cos 222cos 222x y xy simy y xy y
x y x simy
y x
y +-=
+-= ⑷y x y ln +=
解：因为：y y y '
+='1
解得 11
-='y y
⑸2
e ln y x y =+
解：将方程两边对x 求导：
y y y e x
y '?='?+21
整理得：)
2(1
y e y x y -=
'
⑹y y x
sin e 12
=+ 解：将方程两边对x 求导：
y y e y e y y x x '?+='?cos sin 2
整理得：y
e y y
e y x
x cos 2sin -=' ⑺3e e y x y -=
解：将方程两边对x 求导：
y y e y e x y '?-='?23
整理得：2
3y e e y y x
+=' ⑻y
x y 25+=
解：将方程两边对x 求导：
y y y x '?+='2ln 25ln 5
整理得：
2
ln 215ln 5y
x y -=' ⒋求下列函数的微分y d ： ⑴x x y csc cot +=
解：因为 x x
x x x y 222sin cos sin 1)sin 1(sin 1--='+-='
=x x
2
sin cos 1+- 所以 dx x
x
dy 2
sin cos 1+-= ⑵x
x y sin ln =
解：因为 x
x
x x x y 2sin ln cos sin 1
?-='
=x x x
x x x 2
sin ln cos sin ?- 所以 dy=x x x
x x x 2
sin ln cos sin ?-dx ⑶x sin 2
=y
解：设 x u u y sin ,
2
== 则 x u u y y '?'='
=x x x u cos sin 2cos 2?=?
=x 2sin 所以 dy=x 2sin dx ⑷x
y e tan =
解：设: x
e u u y ==,
tan
则 x u u y y '?'='
=
x
e u ?2
cos 1 =x
x
e e 2cos
所以 dy=x
x
e e 2cos dx
⒌求下列函数的二阶导数：
点评：这组是求高阶导数的计算题。高阶就是导函数的导数，除了对象以外，定义思想和求导方法都与以往类似。 ⑴x y =
解：x
y 21=
'
2
3
41)21
(--='=''x x
y
⑵x
y 3=
解：3ln 3x
y ='
3ln 3ln 3)3ln 3(?='=''x
x y
= ⑶x y ln =
解：x y 1=
' 21
)1(x
x y -='=''
⑷x x y sin =
解：x x x y cos sin +='
x
x x x x x x x x x y sin cos 2sin cos cos )cos (sin -=-+='+=''
（四）证明题
设)(x f 是可导的奇函数，试证)(x f '是偶函数． 证明：因为)(x f 是奇函数，所以
又因为)(x f 可导，函数)(x f -为复合函数。 对)()(x f x f -=-两端对x 求导，得：
)()()(x f x x f '-='-?-' 即)()(x f x f '-=-'- 所以：)()(x f x f '=-'
根据偶函数的定义，)(x f '是偶函数。
高等数学基础第三次作业
第4章 导数的应用
（一）单项选择题
⒈若函数)(x f 满足条件（D ），则存在),(b a ∈ξ，使得a
b a f b f f --=)
()()(ξ．
A. 在),(b a 内连续
B. 在),(b a 内可导
C. 在),(b a 内连续且可导’
D. 在],[b a 内连续，在),(b a 内可导
⒉函数14)(2
-+=x x x f 的单调增加区间是（D ）． A. )2,(-∞ B. )1,1(- C. ),2(∞+ D. ),2(∞+- ⒊函数542
-+=x x y 在区间)6,6(-内满足（A ）． A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升
⒋函数)(x f 满足0)(='x f 的点，一定是)(x f 的（C ）．
A. 间断点
B. 极值点
C. 驻点
D. 拐点
⒌设)(x f 在),(b a 内有连续的二阶导数，),(0b a x ∈，若)(x f 满足（ C ），则)(x f 在0x 取到极小值．
A. 0)(,0)(00=''>'x f x f
B. 0)(,0)(00=''<'x f x f
C. 0)(,0)(00>''='x f x f
D. 0)(,0)(00<''='x f x f
⒍设)(x f 在),(b a 内有连续的二阶导数，且0)(,0)(<''<'x f x f ，则)(x f 在此区间内是（ A ）．
A. 单调减少且是凸的
B. 单调减少且是凹的
C. 单调增加且是凸的
D. 单调增加且是凹的
⒎设函数a ax ax ax x f ---=2
3)()(在点1=x 处取得极大值2-，则=a （ 1 ）．
A. 1
B.
31 C. 0 D. 3
1
-
（二）填空题
⒈设)(x f 在),(b a 内可导，),(0b a x ∈，且当0x x <时0)(<'x f ，当0x x >时
0)(>'x f ，则0x 是)(x f 的 极小值 点．
⒉若函数)(x f 在点0x 可导，且0x 是)(x f 的极值点，则=')(0x f 0 ．
⒊函数)1ln(2
x y +=的单调减少区间是()0,∞-．
⒋函数2
e )(x x
f =的单调增加区间是()+∞,0．
⒌若函数)(x f 在],[b a 内恒有0)(<'x f ，则)(x f 在],[b a 上的最大值是f(a) ． ⒍函数3
352)(x x x f -+=的拐点是 (0,2) ．
⒎若点)0,1(是函数2)(2
3++=bx ax x f 的拐点，则=a 1 ，=b 3-
（三）计算题
⒈求函数2
2
3)5()1(-+=x x y 的单调区间和极值．
解：()()()()()()()44153512
151251232123221'
++--+=-++-+=x x x x x x x x y
()()()0117512
1
21=-++=x x x
得驻点：x= -1 x=5 x=1
∴()x f 在()+∞??????-,57,1Y 内单调上升，在???
??5,7内单调下降。
极大值是14240131104
711=
??
? ??f 极小值是()05=f ⒉求函数32
2
)2(x x y -=在区间]3,0[内的极值点，并求最大值和最小值．
解：()()02223
23
12
'
=--=-
x x
x y 得驻点x=1
又当x=0 x=2时 '
y 无意义，但原函数连续 ∴f(0)=0 f(1)= 1 f(2)=0 f(3)=39
∴最小值f(0)=f(2)=0 最大值是f(3)=39 极大值f(1)=1 极小值f(2)=0
⒊试确定函数d cx bx ax y +++=2
3中的d c b a ,,,，使函数图形过点)44,2(-和点
)10,1(-，且2-=x 是驻点，1=x 是拐点．
解：∵d cx bx ax y +++=2
3的图形过点)44,2(-和点)10,1(-，且2-=x 是驻点，
1=x 是拐点．
∴ 44248=+-+-d c b x a=1 10-=+++d c b a ? b= -3
0412=+-c b a c= -24 026=+b a d=16
⒋求曲线x y 22
=上的点，使其到点)0,2(A 的距离最短．
解：设曲线x y 22
=上的点()y x ,，即()
x x 2,到A ()0,2的距离记为d
则()422222+-=
+-=
x x x x d
04
222
22
'=+--=
x x x d 1=x （唯一）∴当1=x 时 2=y
即点(
)
2,1到（2，0）的距离最短。
⒌圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？
解：设圆柱体的底面半径为x ,高为h ，则22x l h -=
2
222x l x h x v -==ππ
()03222322232223222232
2'=--=---=---=x
l x xl x l x x l x x l x x l x v ππππππ
l h l x 3
3,36==时，圆柱体的体积最大。
⒍一体积为V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 解：设圆柱体的底面半径为x ,高为h ，h x v 2
π= 则2
x v
h π=
2
22
2222222x x v x x
v x
x xh s ππππππ+=+=+= 024422
32'
=-=+-=x v x x x v s ππ
当 32πv x = 34πv
h =时，圆柱体的表面积最小。
⒎欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设长方体底面正方形的边长为x 米，长方体的高为h 米，
则 容积 62.5=h x 2
2
5
.62x h =
表面积：x x x
x x xh x s 2505.62442
222+=+=+=
025*******
32'
=-=
-=x x x x s x=5 (米) ∴5.2,5==h x 时用料最省。
⒏从面积为S 的所有矩形中，求其周长最小者．
解：设矩形的边长为x 米，宽为y 米，x
s
y xy s ==,
周长 x
s
x l 22+=
s x x s x x s l ==-=-=,022222
22'
（唯一驻点） x
s 则当长为s ，宽为s 时，其周长最小。
⒐从周长为L 的所有矩形中，求其面积最大者． 解：设矩形的边长为x 米，宽为y 米，2
2),(2x
l y y x l -=+=
则 面积 ()
222
1
22x lx x l x
s -=-= ()4,0421'l x x l s ==-=（唯一驻点）
2
2x
l -则当长为4
l
，宽为8l 时，其面积最大。
（四）证明题
⒈当0>x 时，证明不等式)1ln(x x +>． 证明 利用函数的单调性证明
设()()x x x f +-=1ln ()()0,01111'
>>+=+-
=x x
x x x f
∴()x f 在[)∞+0内单调增加，当0>x 时，有()()0f x f > 即 ()()01ln >+-=x x x f ∴)1ln(x x +>成立
⒉当0>x 时，证明不等式1e +>x x
． 证明 利用函数的单调性证明
设()1--=x e x f x
()()0,01'
>>-=x e x f
x
∴()x f 在[)∞+0内单调增加，当0>x 时，有()()0f x f >
即 ()01>--=x e x f x
∴1e +>x x
成立
高等数学基础第四次作业
第5章 不定积分
第6章 定积分及其应用
（一）单项选择题
⒈若)(x f 的一个原函数是x
1
，则=')(x f （D ）． A. x ln B. 21
x -
C. x 1
D. 32x
⒉下列等式成立的是（D ）．
A.
)(d )(x f x x f ='? B. )()(d x f x f =?
C. )(d )(d x f x x f =?
D. )(d )(d d
x f x x f x =?
⒊若x x f cos )(=，则='?x x f d )(（B ）．
A. c x +sin
B. c x +cos
C. c x +-sin
D. c x +-cos
⒋
=?x x f x x
d )(d d 3
2（B ）． A. )(3
x f B. )(32x f x
C. )(31x f
D. )(3
13
x f
⒌若?+=c x F x x f )(d )(，则?=x x f x
d )(1
（B ）． A. c x F +)( B. c x F +)(2
C. c x F +)2(
D. c x F x
+)(1
⒍下列无穷限积分收敛的是（D ）．
A.
?+∞
1d 1x x B. ?+∞0d e x x
C. ?+∞1d 1
x x
D. ?+∞12
d 1x x
（二）填空题
⒈函数)(x f 的不定积分是 ．?+=c x F dx x f )()(
⒉若函数)(x F 与)(x G 是同一函数的原函数，则)(x F 与)(x G 之间有关系
式 ．)(x G =)(x F +c ⒊=?
x x d e d 2 ．dx e x 2
⒋='?
x x d )(tan ．tanx+c ⒌若?+=c x x x f 3cos d )(，则=')(x f ．x 3cos 9-
⒍
?-=+3
3
5
d )21(sin x x ．3 ⒎若无穷积分?∞+1d 1
x x
p 收敛，则p ．>1
（三）计算题
⒈
?
x x
x d 1cos
2
分析：用凑微分法将积分变量凑成
x
1
，然后用积分基本公式。
解：原式=?
+-=-c x
x d x 1sin 11cos ⒉
?
x x
x
d e
分析：用凑微分法将积分变量凑成x ，然后用积分基本公式。 解：原式=?
+=c e
x d e x
x
22
⒊
?x x x d ln 1
分析：用凑微分法将积分变量凑成x ln ，然后用积分基本公式。
解：原式=
?+=c x x d x )ln(ln ln ln 1
⒋?x x x d 2sin
分析：可用分部积分法求解。 解：原式=?-
x xd 2cos 2
1
=)2sin 2
1
2cos (21c x x x +--
⒌
?
+e
1
d ln 3x x
x 分析：用凑微分法将积分变量凑成x ln ，然后用积分基本公式和莱布尼兹公式求出。 解：原式=x d x x d x d x e
e
e
ln ln ln 3ln )ln 3(1
1
1
?
??+=+
=1)ln 2
1ln 3(2e
x x +=270213=-+
⒍
?
-10
2d e x x x
解：原式=??---=--e
x e
x xde x d xe 1
21221
)2(21
=1)2
1
(2122e e xe x x --+-
=)2
321(21)2121(21122222-+-=--+?-+-----e e e e
e e e e e e e
e ⒎
?
e
1
d ln x x x
解：原式=??-=e
e dx x e x x x xd 112
221ln 22ln
=41
2142222+=-e e x e
⒏?e 12
d ln x x x
解：原式=e e x e dx x e x x x d x e e
2
111111ln 1)1(ln 121
-=--=+-=-??
（四）证明题
⒈证明：若)(x f 在],[a a -上可积并为奇函数，则
0d )(=?
-a
a
x x f ．
证明：因为 )(x f 是奇函数，所以 )()(x f x f -=-
dx x f dx x f x x f a
a
a
a
???
+=
--0
)()(d )(
令t x -= 则 dt dx -= x -a 0 t a 0
于是：
????-=-=--=-a
a
a
a
dx x f dx t f dt t f dx x f 0
)()()()(
故：
?????
=+-=+=
--a
a
a
a
a
a
dx x f dx x f dx x f dx x f x x f 0
0)()()()(d )(
⒉证明：若)(x f 在],[a a -上可积并为偶函数，则??
=-a
a
a
x x f x x f 0
d )(2d )(．
证明：因为)(x f 在],[a a -上是偶函数 所以 )()(x f x f =- 令t x -= 则 dt dx -= x -a 0 t a 0
于是：
????==--=-a
a
a
a
dx x f dt t f dt t f dx x f 0
)()()()(
故：
??????
=+=+=
--a
a
a
a
a
a
a
dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f x x f 0
)(2)()()()(d )(
⒊证明：??
-+=-a
a
a
x x f x f x x f 0d )]()([d )(
证明：
dx x f dx x f x x f a
a
a
a
???
+=
--0
)()(d )(
令t x -= 则 dt dx -= x -a 0 t a 0
????-=-=--=-a
a
a
a
dx x f dx t f dt t f dx x f 0
)()()()(
于是：
dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f a
a a a
a a
?????+-=+=--0
0)()()()()(
=dx x f x f a
?
+-0
))()((
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
经 济 数 学 基 础 （ 0 5 ） 春 模 拟 试 题 及 参 考 答 案 一、单项选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．下列各函数对中， （ ）中的两个函数是相等的． A ． C ． f ( x) x 2 1 ， g(x) x 1 B ． f (x) x 2 ， g ( x) x x 1 f ( x) ln x 2 ， g( x) 2 ln x D ． f (x) sin 2 x cos 2 x ， g ( x) 1 2．设函数 f ( x) x sin 2 k, x x 1, x 0 在 x = 0 处连续，则 k = ( ) ． A ．-2 B ．-1 C ． 1 D ．2 3. 函数 f ( x) ln x 在 x 1处的切线方程是（ ）． A. x y 1 B. x y 1 C. x y 1 D. x y 1 4 ．下列函数在区间 ( , ) 上单调减少的是（ ）． A ． sin x B ．2 x C ．x 2 D ．3 - x 5. 若 f x x F x ) c ，则 2 （ ） . ( )d ( xf (1 x )dx = A. 1 F (1 x 2 ) c B. 2 C. 2F (1 x 2 ) c D. 1 F (1 x 2 ) c 2 2F (1 x 2 ) c 6 ．下列等式中正确的是（ ）． A . sin xdx d(cos x) B. ln xdx d( 1 ) x
C. a x dx 1 d( a x ) D. 1 dx d( x ) ln a x 7．设 23，25，22，35，20，24 是一组数据，则这组数据的中位数是（）． A.23.5 B. C.22.5 D.23 22 8．设随机变量 X 的期望E( X ) 1 ，方差D(X) = 3，则 E[3( X 22)]= ()． A. 36 B. 30 C. 6 D. 9 9．设 A, B 为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（） A. ( A B)1 A 1 B 1 B. C. ( AB T)1 A 1 (B T ) 1 D.( AB) 1 B 1 A 1 ( kA) 1kA 1（其中k为 非零常数） 10 ．线性方程组1 1x13 23x29 A．无解C．只有0解满足结论（）． B．有无穷多解D．有唯一解 二、填空题（每小题2 分，共 10 分） 11．若函数f ( x 2)x2 4 x 5 ，则 f ( x)． 12．设需求量q对价格p的函数为q( p) 100e p 2 ，则需求弹性为 E p ． 13．d cosxdx．
【高等数学基础】形成性考核册答案 【高等数学基础】形考作业1答案： 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2 )()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1)(2--=x x x g 分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同 A 、2 ()f x x ==，定义域{}|0x x ≥；x x g =)(，定义域为R 定义域不同，所以函数不相等； B 、()f x x = =，x x g =)(对应法则不同，所以函数不相等； C 、3 ()ln 3ln f x x x ==，定义域为{}|0x x >，x x g ln 3)(=，定义域为{}|0x x > 所以两个函数相等 D 、1)(+=x x f ，定义域为R ；21 ()11 x g x x x -= =+-，定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同，所以两函数不等。 故选C ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 分析：奇函数，()()f x f x -=-，关于原点对称 偶函数，()()f x f x -=，关于y 轴对称 ()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称， 奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称 设()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+= 所以()()()g x f x f x =+-为偶函数，即图形关于y 轴对称 故选C ⒊下列函数中为奇函数是（B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += 分析：A 、()()( )()2 2 ln(1)ln 1y x x x y x -=+-=+=，为偶函数 B 、()()()cos cos y x x x x x y x -=--=-=-，为奇函数 或者x 为奇函数，cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数 C 、()()2 x x a a y x y x -+-= =，所以为偶函数