§7.5 线性变换的本征值和本征向量
教学目的
本节要求掌握线性变换的本征值和本征向量的概念及其求法，掌握线性变换可以对角化的条件。
教学难点 本征值和本征向量的求法 教学重点 本征值和本征向量的概念及其求法
教 学 过 程 备 注
教学
内容
一、本征值和本征向量的定义 在上节我们已经知道，若能将n 维向量空间V 分解成n 个关于某个线性变换σ的一维不变子空间W i 的直和(i ＝1,2,…,n )，在每个子空间取一个基，凑成V 的一个基{α1,α2,…,αn }，那么σ关于这个基的矩阵是一个对角阵，即 σ ( α1,α2,…,αn )= (α1,α2,…,αn )??????
?
?
?n a a a
2
1 亦即σ (α1)＝a 1α1, σ (α2)＝a 2α
2 , …, σ (αn )＝a n αn .
但是，并不是每个线性变换σ都存在一维不变子空间，若σ有一维不变子空间，则σ必满足：存在非零向量α及F 实数中的数λ，使σ (α)＝λα . 这时W ＝L (α)就是V 的关于σ的一维不变一维子空间. 这给我们一个很重要的启示，即研究线性变换σ，很重要的事情就是去找满足条件σ (ξ)＝λξ的数λ及非零向量ξ，这就是本节的主要内容 .
定义1 设V 是数域F 上的向量空间，σ是V 的线性变换. 若对F 上的数中的数λ，存在V 的一个非零向量ξ，使
σ (ξ)＝λξ,.
则称λ是线性变换σ的本征值，ξ称为σ的属于本征值λ的本征向量.
例1 设ιI 是向量空间V 上的恒等变换，对任意的非零向量α，都有
ιI (α)＝α.
即α是属于特征值是属于本征值1的特征向量的本征向量.
又设θ 是向量空间V 上的零变换，对任意的非零向量α，都有
θ (α)＝0＝0α.
即α是属于本征值0的本征向量.
例2 令D 表示定义在实数域R 上的可微分任意次的实函数所成的向量空间. σ：f (x )→f '(x )是求导数运算. σ是D 的一个线性变换，对任意实数λ，有
σ (e λx )＝λe λx
因此任何实数λ都是σ 的本征值，而e λx 是σ的属于λ的一个本征向量.
例3 设R [x ]是所有是全体关于文字x 的一元实系数多项式所成的向量空间，令σ (f (x ))＝xf (x )，? f (x )∈ R [x ]. 可以证明σ是R [x ]的一个线性变换. 比较次数可知，对任意的实数λ，都不存在非零多项式f (x )，使xf (x )＝λf (x ). 因此σ没有本征值.可以证明σ (f (x ))＝xf (x )是R [x ]的一个线性变换. 比较次数可知，对任意的实数λ，都不存在非零多项式f (x )，使xf (x )＝λf (x ). 因此σ没有本征值.
这个例子告诉我们，并不是每个线性变换都有本征值 . 二、本征值和本征向量的求法
对于一个给定的线性变换，若它有本征值及本征向量，怎样才能把这些本征值和本征向量都求出来呢？为此，我们需要先搞清楚线性变换的本征值和本征向量与它的矩阵的本征值和本征向量之间的关系我们需要先搞清楚线性变换的本征值和本征向量与它在一个基下的矩阵的特征根和特征向量之间的关系.
设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，取定V 的一个基{α1,α2, …，αn }. 并设σ关于这个基的矩阵为A ，即
σ (α1,α2,…,αn )= (α1,α2,…,αn )A
再设ξ是σ的属于本征值λ的本征向量,. 即
σ (ξ)＝λξ.
若ξ关于基{α1,α2,…，αn }的坐标为 X=????
??
? ??n a a a 21，则σ(ξ)关于基{α1,α2,…，αn }
的坐标为A .21????
??
? ??n a a a .又因为σ (ξ)＝λξ，所以σ (ξ)与λ ξ关于基的坐标相等，
即有{α1,α2,…, αn }的坐标应为
λ ??????
? ??n x x x 21
因此 A ??????? ??n a a a 21=λ ????
??
? ??n a a a 21.
因为ξ是非零向量，则其坐标X ＝向量(a 1, a 2,…, a n )T X 非不是F n 中的
零向量. 上式说明λ是矩阵A 的在F 中的特征根，ξ关于基{α1,α2 ,…,αn }的坐标X 是A 的属于特征根λ的在F n 中的特征向量. 反之，若A 是线性变换σ关于基{α1,α2 ,…,αn }的矩阵，λ是A 的一个在F 中的特征根，(a 1, a 2,…, a n )T '(x 1,x 2,…, x n ) 是A 的属于特征根λ的在F n 中的特征向量. 则由A (a 1, a 2,…, a n )T '＝λ(a 1, a 2,…, a n )T ' 知
σ
???? ??∑=n i i i a 1α＝λ???
?
??∑=n i i i a 1α.
即λ是σ的本征值，∑=n
i i i a 1
α(≠0)是σ的属于本征值λ的本征向量. 这样我们得
到下述
定理7.5.1 设V 是F 上n (>0)维向量空间，σ∈L (V )，σ在V 的基{α1,α2 ,…,αn }下的矩阵为A .
(i) λ是σ的本征值当且仅当λ是A 的在F 中的特征根；
(ii) 设λ是σ的本征值，则ξ是σ的属于本征值λ的本征向量当且仅当ξ在{α1,α2 ,…,αn }下的坐标是齐次线性方程组(λI －A )X ＝0的在F n 中的非零解向量.
那么，λ未必是σ的一个本征值，只有矩阵A 的属于F 的特征根λ才是线性变换σ的本征值，而A 的属于λ的在F n 中的特征向量就是σ的属于λ的本征向量关于给定基{α1,α2 ,…,αn }的坐标.
这样，我们就可以用求线性变换的矩阵的本征值和本征向量的方法来求线性变换的本征值和本征向量，而求矩阵的本征值和本征向量的方法我们在前面已讲过，这里就不再赘述.
例4 设线性变换设σ是有理数域Q 上的3维向量空间V 的线性变换，且σ在V 的基{ε1, ε2, ε3}下的矩阵为
A ＝?????
? ??---122212221
.
求σ的全部本征值及本征向量.
解 已知本征值λ与本征向量ξ的坐标(x1, x2, x3)满足
A ?????? ??321x x x ＝λ?????
? ??321x x x 而由于
f A (x )＝det(x I －A )=A xI -＝1
222122
21------x x x ＝(λ(x －1) (λ(x ＋1) (λ(x
－3)，
因此，矩阵A 的特征根为λ1＝1, λ2＝－1, λ3＝3.显然 由定理7.5.1(i)知，这三个特征根都是σ的本征值。.
对λ1＝1，解齐次线性方程组(1?I －A )X ＝0., 即
???
??=+=+-=--.
220220222
1
3
1
32x x x x x x
基础解系为η1＝(1, －1, 1)')T
，所以σ的属于本征值1的全部本征向量为 k 1ξ1, 其中ξ1＝ε1－ε2＋ε3, , kk 1≠0取遍全体非零有理数 .
同理可求得本征值－1，3的全部本征向量.
例5 设σ 是实数域R 上三维向量空间V 的线性变换，,{α1,α2 , α3}是V 的一个基，σ 关于这个基的矩阵是
A ＝???
?? ??---013211233.
求σ 的本征值。
解 ：先求出A 的特征根
由于f A (x )＝det(x I －A )f A (x )＝A xI -＝A I -λ=x
x x 1
3
211
233-----=＝)4)(4(2+-x x ,
因此，矩阵 A 的特征根是：1λ=＝4 ，2λ=＝2i ，3λ=＝ -－2i 。.
这里只有4∈R ，所以σ的本征值只有1λ=＝4 。. 三、线性变换的对角化
设σ是数域F 上n （n ≥1）维向量空间V 的一个线性变换，如果存在V 的一个基，使得σ关于这个基的矩阵具有对角形
?
???
??? ?
?n λλλ
00000000021 （1） 那么就说σ可以对角化。.
关于线性变换与矩阵的对角化，我们有
定理7.5.2 设V 是数域F 上n (>0)维向量空间. σ∈L (V ), σ关于V 的基{α1,α2 ,…,αn }的矩阵为A ，则σ可对角化当且仅当A 在F 上可对角化.
证 必要性 因为σ可对角化，所以存在V 的基{β1, β2 ,…, βn }，使σ在该基下的矩阵为Λ，其中Λ是对角形矩阵. 由定理7.3.4知，A 与Λ相似，所以存在F 上n 阶可逆矩阵T ，使得T －1AT ＝Λ，因此A 在F 上可对角化.
充分性 若A 在F 上可对角化，则存在F 上n 阶可逆矩阵T ，使得T －1AT ＝Λ，其中Λ是对角形矩阵. 令{β1, β2 ,…, βn }＝{α1,α2 ,…,αn }T ，由定理5.2.14知，秩{β1, β2 ,…, βn }＝秩T ＝n ，因此, {β1, β2 ,…, βn }线性无关，是V 的一个基. 由推论7.3.5知，σ在基{β1, β2 ,…, βn }下的矩阵T －1AT 是对角形矩阵.
这样，线性变换对角化的问题就归结为它关于一个基的矩阵的对角化问题. 而F 上n 阶方阵在F 上的对角化问题,我们已经在§6.6中讨论清楚了.
因为线性变换σ关于不同基的矩阵是相似的，所以一个等价的说法是：设A 是数域F 上n 阶方阵，如果存在F 上一个n 阶可逆矩阵T 使得T -1AT 具有对角形式（1），那么就说矩阵A 可以对角化。由上面的讨论可知线性变换σ的对角化问题就是它关于一个基下的矩阵A 的对角化问题，而关于这一问题我们在§6.6 中已讨论清楚了。
本章小结
本课作业 作 业：P333,习题七，第27，28题
本课教育
评注
摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schr?dinger波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从Dirac算子代数中求解出a?的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a?与升算符+a?、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。 关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schr?dinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。 在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schr?dinger创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一般的教材只给定了波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光5[-。 学等领域]13 一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schr?dinger波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从Dirac算子代数中求解出a?的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a?与升算符+a?、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。 1.矩阵力学解法 取自然平衡位置为坐标原点，并选原点为势能零点，则一维谐振子势V可表成
一维谐振子的本征值问题 姜罗罗 赣南师范学院物理与电子信息科学系物理学专业2000级（2）班 摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schr?dinger波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从Dirac算子代数中求解出a?的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a?与升算符+a?、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。 关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schr?dinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。 在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schr?dinger创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一
般的教材只给定了波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber ]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光学等领域]135[-。 一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac 算子代数解法和Schr ?dinger 波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研 究前沿课题之一。最后从Dirac 算子代数中求解出a ?的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a ?与升算符+a ?、光子数n 与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。 1.矩阵力学解法 V 可 表成 2 2 1kx V x = （１） k 为刻画简谐作用力强度的参数.设谐振子质量为μ，令 μ ωk = （２） 它是经典谐振子的自然频率，则一维谐振子的Hamilton 量可表为 图１．一维谐振子势 222?2 12??x p H μωμ+= (3) 在能量H ?表象中，由于
第五章思考题 1．简述定态微扰论的基本思想。 解答：量子力学体系的哈密顿算符∧H 不是时间的显函数时，通过求解定态薛定谔方程，讨论定态波函数。除少数特例外，定态薛定谔方程一般很难严格求解。求解定态薛定谔方程 ψψE H =∧时，若可以把不显函时间的∧H 分为大、小两部分∧ ∧∧'+=H H H )0( ||||)0(∧∧'>>H H ，其中 )0() 0() 0()0(n n n E H ψψ=∧，即∧)0(H 的本征值)0(n E 和本征函数 )0(n ψ是可以精确求解的，或已有确定的结果。 满足上述条件的基础上，常引入一个很小参数λ（10<<λ），将微扰写成 ∧ 'H λ，以逐步近似的精神求解薛定谔方程。将能级和波函数以λ的幂级数展开 ???+++=+++= )2(2)1()0()2(2)1()0(n n n n n n n n E E E E ψλλψψψλλ ) 0(n E 与)0(n ψ称为零级近似能量和零级近似波函数，是未受微扰时∧)0(H 的本征能量和本征函数，也是我们求解微扰问题的必备基本条件，后面各项按λ的幂次称为一级修正、二级修正、…。 2．非简并定态微扰论的适用条件是什么？ 解答：非简并定态微扰论的适用条件为||||)0()0(m n m n E E H -<<'，一是要求 微扰本身应很小，二是要求能级间隔||)0()0(m n E E -较大。 3．证明：非简并定态微扰中，基态能量的二级修正永为负值。
解答：能量的二级修正)0()0(2) 2(||m n nm m n E E H E -''=∑，若)0(n E 为基态能量，当然其数值为最小，因而在求和中n m ≠的任一项0)0()0(<-m n E E ，故)2(n E 永为负值。 4．简并态微扰与非简并态微扰的主要区别是什么？什么条件下，简 并能级情况可用非简并态微扰处理？ 解答：简并态微扰与非简并态微扰的主要区别是零级近似能量给定后，对应的零级近似波函数一般说来是不能完全确定的。对于f 度简 并能级,)0(k E 如选择的f 个独立的)0(αψk 已使H '对角化，即 αβαββαδψψH H k k '>='<)0()0(||， 此时αααH E k '=)1(，对应的零级近似波函数为)0(αψk ，虽然能级)0(k E 是简并的，仍可用非简并定态微扰论处理一级近似问题。 5．量子跃迁问题与定态微扰在研究目标和处理方法上有何不同? 解答：定态微扰和量子跃迁是量子力学中两个不同类型的问题，在研究目标和处理方法上都不一样。定态微扰处理定态问题，考虑加入微扰后如何求出体系总哈密顿量的本征值和本征函数的修正项，其出发点是定态薛定谔方程。量子跃迁是考虑体系在微扰作用下，波函数随时间的变化问题，是依据含时薛定谔方程),(),(t x H t t x i ψψ=?? 具体计算量子态之间的跃迁几率问题。一般说来，这两类问题都需要运用近似方法求解。 6．非简并态微扰为什么不适用于所谓近简并情况？
1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即：
矩阵的特征值和特征向量 定义1设是一个阶方阵，是一个数，如果方程 (1) 存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特 征向量． （1）式也可写成， (2) 这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 , (3) 即 上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程．其左端是的次多项式，记作，称为方阵的特征多项式． == = 显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值． 设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明 （ⅰ） （ⅱ）
若为的一个特征值，则一定是方程的根, 因此又称特征根，若为方程的重根，则称为的重特征根．方程的每一个非零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：计算的特征多项式； 第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值； 第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组： 的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是 （其中是不全为零的任意实数）． 例1 求的特征值和特征向量. 解的特征多项式为 = 所以的特征值为 当=2时，解齐次线性方程组得 解得令=1，则其基础解系为：= 因此，属于=2的全部特征向量为：. 当=4时，解齐次线性方程组得令=1， 则其基础解系为：因此的属于=4的全部特征向量为
[注]：若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征 向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值. 例2 求矩阵 的特征值和特征向量. 解的特征多项式为 == ， 所以的特征值为==2（二重根），. 对于==2，解齐次线性方程组．由 ， 得基础解系为： 因此，属于==2的全部特征向量为：不同时为零. 对于，解齐次线性方程组．由 ， 得基础解系为： 因此，属于的全部特征向量为：
§4.5 量子力学的矩阵形式和表象变换 态和力学量算符的不同表示形式称为表象。 态有时称为态矢量。力学量算符对态的作用实际上是对矢量量进行变换，因此可与代数中线性变换进行类比。 1、量子态的不同表象 幺正变换 （1）直角坐标系中的类比 取平面直角坐标系21X OX 其基矢（我们过去称之为单位矢）可表示为21,e e ,见图 其标积可写成下面的形式 )2,1,(),(==j i e e ij j i δ 我们将其称之为基矢的正交归一关系。 平面上的任一矢量A 可以写为 2211e A e A A += 其中),(11A e A =，),(22A e A =称为投影分量。 而),(21A A A = 称为A 在坐标系21X OX 中的表示。 现在将坐标系21X OX 沿垂直于自身面的轴顺时针转θ角度，则单位基矢变为','21e e ，且同样有 )2,1,()','(==j i e e ij j i δ 而平面上的任一矢量A 此时可以写为 ''''2211e A e A A += 其中投影分量是),'('11A e A =，),'('22A e A =。 而)','(21A A A = 称为A 在坐标系'X 'OX 21中的表示。 现在的问题是：这两个表示有何关系？ 显然，22112211''''e A e A e A e A A +=+=。
用'1e 、'2e 分别与上式中的后一等式点积（即作标积），有 ),'(),'('2121111e e A e e A A += ),'(),'('2221212e e A e e A A += 表成矩阵的形式为 ??? ? ?????? ??=???? ??212212211121),'(),'(),'(),'(''A A e e e e e e e e A A 由于'1e 、1e 及'2e 、2e 的夹角为θ，显然有 ??? ? ?????? ??-=??? ? ?????? ??=???? ??21212212211121cos sin sin cos ),'(),'(),'(),'(''A A A A e e e e e e e e A A θθθθ 或记为 ??? ? ??=???? ??2121)(''A A R A A θ 其中 ??? ? ? ?-=θθ θθθcos sin sin cos )(R 是把A 在两坐标中的表示???? ??''21A A 和??? ? ??21A A 联系起来的变换矩阵。 变换矩阵的矩阵元正是两坐标系基矢间的标积，它表示基矢之间的关系。故R 给定，任何矢量在两坐标系间的关系也确定。 很容易证明，R 具有下述性质： I R R R R ==~ ~ 由于1)(det )~ det(2==R R R , 其中 321321)1()det(p p p t R R R R -∑=， 故称这种矩阵为正交矩阵。 但1det =R （对应于真转动（proper rotation ））且R R =* （实矩阵）
特征向量体现样本之间的相关程度，特征值则反映了散射强度。 特征向量的几何意义.矩阵(既然讨论特征向量的问题.当然是方阵.这里不讨论广义特征向量的概念)乘以一 个向量的结果仍是同维数的一个向量.因此.矩阵乘法对应了一个变换.把一个向量变成同维数的另一个向量.那么变换的效果是什么呢?这当然与方阵的构造有密切关系.比如可以取适当的二维方阵.使得这个变换 的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度.这时我们可以问一个问题.有没有向量在这个变换下不 改变方向呢?可以想一下.除了零向量.没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的.所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意:特征向量不能是零向量).所以一个变换的特征向量 是这样一种向量.它经过这种特定的变换后保持方向不变.只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax= cx.你就恍然大悟了.看到了吗?cx是方阵A对向量x进行变换后的结果.但显然cx和x的方向相同).而且x是特征向量的话.ax也是特征向量(a是标量且不为零).所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族. 另外.特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已.对一个变换而言.特征向量指明的 方向才是很重要的.特征值不是那么重要.虽然我们求这两个量时先求出特征值.但特征向量才是更本质的 东西! 比如平面上的一个变换.把一个向量关于横轴做镜像对称变换.即保持一个向量的横坐标不变.但纵坐标取相反数.把这个变换表示为矩阵就是［1 0,0 -1］.其中分号表示换行.显然［1 0,0 -1］＊［a b］＇=［a -b］＇. 其中上标＇表示取转置.这正是我们想要的效果.那么现在可以猜一下了.这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变.显然.横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像 对称变换.那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化).所以可以直接猜测其特征向量是［a 0］＇(a不为0).还有其他的吗?有.那就是纵轴上的向量.这时经过变换后.其方向反向.但仍在同一条轴上.所以也被认为是方向没有变化。 综上，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已，对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值似乎不是那么重要；但是，当我们引用了Spectral theorem（谱定律）的时候，情况就不一样了。 Spectral theorem的核心内容如下：一个线性变换（用矩阵乘法表示）可表示为它的所有的特征向量的一个线性组合，其中的线性系数就是每一个向量对应的特征值，写成公式就是： T(V)=λ1(V1.V)V1+λ2(V2.V)V2+λ3(V3.V)V3+... 从这里我们可以看出，一个变换（矩阵）可由它的所有特征向量完全表示，而每一个向量所对应的特征值，就代表了矩阵在这一向量上的贡献率——说的通俗一点就是能量（power），至此，特征值翻身做主人，彻底掌握了对特征向量的主动：你所能够代表这个矩阵的能量高低掌握在我手中，你还吊什么吊？ 我们知道，一个变换可由一个矩阵乘法表示，那么一个空间坐标系也可视作一个矩阵，而这个坐标系就可由这个矩阵的所有特征向量表示，用图来表示的话，可以想象就是一个空间张开的各个坐标角度，这一组向量可以完全表示一个矩阵表示的空间的“特征”，而他们的特征值就表示了各个角度上的能量（可以想象成从各个角度上伸出的长短，越长的轴就越可以代表这个空间，它的“特征”就越强，或者说显性，而短轴自然就成了隐性特征），因此，通过特征向量/值可以完全描述某一几何空间这一特点，使得特征向量与特征值在几何（特别是空间几何）及其应用中得以发挥。 关于特征向量（特别是特征值）的应用实在是太多太多，近的比如俺曾经提到过的PCA方法，选取特征值最高的k个特征向量来表示一个矩阵，从而达到降维分析+特征显示的方法；近的比如Google公司的成名作PageRank，也是通过计算一个用矩阵表示的图（这个图代表了整个Web各个网页“节点”之间的关联）的特征向量来对每一个节点打“特征值”分；再比如很多人脸识别，数据流模式挖掘分析等方面，都有应用，
最新量子力学期末考试题解答题 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件.首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质. 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子.爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的.(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比.(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子. 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态.这就是量子力学中的态叠加原理.态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ.它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一.量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性. 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值.这种状态称为定态.定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化. 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号.量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量.如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即：
4．3多项式方法求特征值问题 4.3.1 F-L 方法求多项式系数 我们知道，求n 阶方阵A 的特征值就是求代数方程 0||)(=-=I A λλ? （4.3.1） 的根。)(λ?称为A 的特征多项式。上式展开为 n n n n p p p ++++=--.....)(2211λλλλ? （4.3.2） 其中n p p p ,...,21为多项式)(λ?的系数。 从理论上讲，求A 的特征值可分为两步： 第一步 直接展开行列式|I A λ-|求出多项式)(λ?； 第二步 求代数方程0)(=x ?的根，即特征值。 《 对于低阶矩阵，这种方法是可行的。但对于高阶矩阵，计算量则很大，这种方法是不适用的。这里我们介绍用F-L （Faddeev-Leverrier ）方法求特征方程（4.3.2）中多项式)(λ?的系数。由于代数方程求根问题在第2章中已经介绍，所以本节中解决特征值问题的关键是确定矩阵A 的特征多项式)(λ?，所以称这种方法为多项式方法求特征值问题。 记矩阵A=n n ij a ?)(的对角线元素之和为 nn a a a trA +++=...2211 （4.3.3） 利用递归的概念定义以下n 个矩阵:),....,2,1(n k B k = ???????????????-=-=-=-==----),(................),(...............),(),(,11112231121I p B A B I p B A B I p B A B I p B A B A B n n n k k k n n k k trB n p trB k p trB p trB p trB p 11312133221 1===== （4.3.4） 可以证明,(4.3.4)式中,,...,2,1,n k p k =即是所求A 的特征多项式)(λ?的各系数。用（）式求矩阵的特征多项式系数的方法称为F-L 方法。相应特征方程为： 0).....()1(2211=-------n n n n n p p p λλλ （4.3.5） 而且可证矩阵A 的逆矩阵可表示为 )(1111I p B p A n n n ----= (4.3.6) ? 例1 求矩阵 ??????????=324202423A
《 特征值与特征向量》习题2 1．求矩阵M ＝???? ?? －1 0 5 6的特征值和特征向量． 2. 已知矩阵M ＝?? ?? ?? 1 22 x 的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量． 3. 已知矩阵M ＝?????? 1 －2－1 －3，向量α＝?????? 3－5，β＝???? ?? 24. (1)求向量2α＋3β在矩阵M 表示的变换作用下的象； (2)向量γ＝?????? 12是矩阵M 的特征向量吗为什么 4. 已知矩阵A ＝?? ???? 1 2－1 4，设向量β＝???? ??74，试计算A 5 β的值． 5. 已知矩阵A ＝???? ?? 1 －1a 1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0， －3) (1)求实数a 的值； (2)求矩阵A 的特征值及特征向量． 6. 已知矩阵A ＝?? ???? 3 3c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1＝???? ?? 11，属于特征值1的一个特征向量α2＝???? ?? 3－2，求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵． 7. 已知矩阵A 对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°. (1)求矩阵A 及A 的逆矩阵B ； (2)已知矩阵M ＝?? ?? ??3 32 4，求M 的特征值和特征向量； (3)若α＝???? ??81在矩阵B 的作用下变换为β，求M 50 β.(结果用指数式表示) 8. 已知二阶矩阵M 的一个特征值λ＝8及与其对应的一个特征向量α1＝???? ?? 11，并且矩 阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ； (2)求矩阵M 的另一个特征值及与其对应的另一个特征向量α2的坐标之间的关系； (3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程．
第五章 量子力学的表象与表示 §5.1 幺正变换和反幺正变换 1, 幺正算符定义 对任意两个波函数)(r ?、)(r ψ，定义内积 r d r r )()(),(ψ?ψ?*?= (5.1) 按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态()r ψ时，找 到粒子处在状态()r ?的概率幅。 依据内积概念，可以定义幺正算符如下： “对任意两个波函数?、ψ，如果算符 U 恒使下式成立 ),()?,?(ψ?ψ?=U U (5.2) 而且有逆算符1?-U 存在，使得I U U U U ==--11????1，称这个算符U ?为幺正算符。” 任一算符A ?的厄米算符+A ?定义为：+A ?在任意?、ψ中的矩阵元恒由下式右方决定 ??(,)(,)A A ?ψ?ψ+= (5.3) 由此，幺正算符U ?有另一个等价的定义： “算符U ?为幺正算符的充要条件是 I U U U U ==++???? (5.4a) 或者说 1??-+=U U 。” (5.4b) 证明：若),()?,?(ψ?ψ?=U U 成立，则按+U ?定义， ),??()?,?(),(ψ?ψ?ψ?U U U U +== 由于?、ψ任意，所以 I U U =+?? 又因为U ?有唯一的逆算符1?-U 存在，对上式右乘以1?U -，即得 1??U U +-= 这就从第一种定义导出了第二种定义。类似，也能从第二种定义导出第一种定义。从而，幺正算符的这两种定义是等价的。 2, 幺正算符的性质 幺正算符有如下几条性质： i, 幺正算符的逆算符是幺正算符 证明：设 1-+=U U ， 则()()(),1 11--+++-===U U U U 所以1-U 也是幺正 1 这里强调了 U -1 既是对 U 右乘的逆又是对 U 左乘的逆。和有限维空间情况不同，无限维空间情况下，任一算符 U 有逆算符的三种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，并且它俩相等，唯有此时可简单地写为 U -1 。
量子体系本征值问题的解法 关键词：本征值；分析解法；矩阵解法；代数解法；线性谐振子 摘要：处理量子体系的本征值和本征态是量子理论的中心问题，对其求解方法进行研究具有一定的实际意义。本文对量子体系本征值问题的求解进行归纳与总结。对于处理本征值问题的常见方法（解析法、矩阵法），给出例证说明。另外，基于代数的方法，采用升降算符处理一维线性谐振子的本征值和本征态，进而推广到利用升降算符处理二维以及三维线性谐振子问题，得到二维以及三维线性谐振子的本征值；进一步基于代数方法对角动量的本征值问题进行研究。 Solution methods of the eigenvalues for Quantum System Keywords:Eigenvalue; Analytical method; Matrix method; Algebraic method; Linear harmonic oscillator Abstract:Solving eigenvalues and eigenfunctions for the quantum systems is mainly contents in the quantum theory. There are a lot of processing methods such as analytical method, matrix method and factorization method, and so on. In this paper, several kinds of different methods on solving eigenvalues for the quantum systems are given and compared, and further summarized. Furthermore, on the basis of algebraic solution, the expanding resolutions were obtained for one-dimensional linear harmonic oscillator, the two-dimensional linear harmonic oscillator, three-dimensional linear harmonic oscillator, and even n-dimensional linear harmonic oscillator. Moreover, the eigenvalues and eigenstates of the angular momentum were shown by algebraic solution. . 引言
幺正变换 摘要：从一个表象到另一个表象的变换为幺正变换，本文介绍了幺正变换的定义，推导了不同表象之间的变换关系，讨论了幺正变换下算符、波函数的变化以及幺正变换的性质，并举例应用幺正变换不改变本征值的性质，求算符的本征值。对学习幺正变换以及加深对幺正变换的理解有重要作用。 关键词：表象；算符；波函数；幺正变换 一、引言：和一个矢量可在不同坐标系中表示相似，同一个量子态或者同一个算符也可以在 不同表象中表示。在高等数学中，这些不同坐标系的表示可通过同一个坐标变换把它们联系起来。在量子力学中，这些态或算符的不同表示也可以用表象变换把它们联系起来。在表象变换中，算符的本征值不变，与在高等数学中选用适当的坐标系可以大大简化计算过程相似，在量子力学中，选用适当表象，或通过表象变换到适当的表象，也可以使计算过程大大简化，甚至直接得出所求结果。 二、A 表象与B 表象的变换关系（基矢变换） 设力学量算符A ?、B ?的本征方程分别为 其中()}{x n ψ和()} {x ?β均为正交归一完备系。 将()}{x ?β按()}{ x n ψ展开 展开系数为 ()S n S β = 就是变换矩阵。通过它可以把B 表象的基矢用A 表象的基矢表示出来。展开 式的矩阵表示为 ?()()n n n A x x ψλψ=?()() B x x βββ ?μ?=(,1,2,)n β= ()() n n n x S x ββ?ψ=∑ ,2,1=β*** ()()m m m x x S αα ?ψ=∑ ,2,1=α*()()n n S x x dx ββψ?=?** ()()m m S x x dx ααψ?=?
量子力学矩阵形表象变换
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§4.5 量子力学的矩阵形式和表象变换 态和力学量算符的不同表示形式称为表象。 态有时称为态矢量。力学量算符对态的作用实际上是对矢量量进行变换，因此可与代数中线性变换进行类比。 1、量子态的不同表象 幺正变换 （1）直角坐标系中的类比 取平面直角坐标系21X OX 其基矢（我们过去称之为单位矢）可表示为21,e e ,见图 其标积可写成下面的形式 )2,1,(),( j i e e ij j i 我们将其称之为基矢的正交归一关系。 平面上的任一矢量A 可以写为 2211e A e A A 其中),(11A e A ，),(22A e A 称为投影分量。 而),(21A A A 称为A 在坐标系21X OX 中的表示。 现在将坐标系21X OX 沿垂直于自身面的轴顺时针转 角度，则单位基矢变为','21e e ，且同样有 )2,1,()','( j i e e ij j i 而平面上的任一矢量A 此时可以写为 ''''2211e A e A A 其中投影分量是),'('11A e A ，),'('22A e A 。 而)','(21A A A 称为A 在坐标系'X 'OX 21中的表示。 现在的问题是：这两个表示有何关系？ 显然，22112211''''e A e A e A e A A 。
用'1e 、'2e 分别与上式中的后一等式点积（即作标积），有 ),'(),'('2121111e e A e e A A ),'(),'('2221212e e A e e A A 表成矩阵的形式为 212212211121),'(),'(),'(),'(''A A e e e e e e e e A A 由于'1e 、1e 及'2e 、2e 的夹角为 ，显然有 21212212211121cos sin sin cos ),'(),'(),'(),'(''A A A A e e e e e e e e A A 或记为 2121)(''A A R A A 其中 cos sin sin cos )(R 是把A 在两坐标中的表示 ''21A A 和 21A A 联系起来的变换矩阵。 变换矩阵的矩阵元正是两坐标系基矢间的标积，它表示基矢之间的关系。故R 给定，任何矢量在两坐标系间的关系也确定。 很容易证明，R 具有下述性质： I R R R R ~ ~ 由于1)(det )~ det(2 R R R , 其中 321321)1()det(p p p t R R R R ， 故称这种矩阵为正交矩阵。 但1det R （对应于真转动（proper rotation ））且R R * （实矩阵）
微分方程的本征值问题 电子科技大学 物理电子学院 喻志远2009-11-12 Equation 0222=+f k dx f d 的边界是 10≤≤x Boundary Condition: f (0) =0, f (1)=0 General Solution: f (x) = Acoskx+Bsinkx From boundary Condition A=0, k=n π，所以最小本征值为π 由差分公式： 022211=++?+?i i i i f k h f f f 2 21120 k h where f f f i i i ?==?+?+?αα 当网格点取为3，如左图： 有矩阵方程： 010*******=???? ????????????????????f f f ααα 由对应的行列式为零 ( ) 0)2(2=?αα222k h ?=α解出 k=3.0615, 5.6569, 7.391，为方程的本征值，f1,f2,f3 为本征向量。 本征向量定义：设L 是数域K 上的线性空间X 中的线性变换，如果对于λ∈K 存在一个非零向量ξ，使得L(ξ)=λξ,则称λ为L 的一个本征值或特征值，ξ为L 的属于λ的本征向量或特征向量。 设A 是数域K 上的n 阶方阵，λ是一个复数，则 A I ?λ 称为A 的特征矩阵，其中I 是单位矩阵，行列式0)det(=?A I λ，为特征方程，其根为A 的特征值。
将网格点由3逐步扩大到9， 用MatLab计算可以得到如下的数据： 网格数=网格点数+1 最小本征值 4 3.0615 5 3.0902 6 3.1055 7 3.1153 8 3.1257 9 3.1287 注：网格点数与矩阵的阶数相等。 可以绘出以下曲线 可以看出当矩阵的阶数增加，本征值与理论值之间的误差逐渐减小。其中兰色线为数据拟合后得到的数据。 Origin 曲线拟合 [2009-11-12 09:56 "/Graph1" (2455147)] Polynomial Regression for Data1_B: Y = A + B1*X + B2*X^2 + B3*X^3 + B4*X^4 + B5*X^5 Parameter Value Error ------------------------------------------------------------ A 3.2805 0 B1 -0.37498 0 B2 0.1723 0
第九章 力学量本征值问题的代数解法 本征值问题的解法: 分析解法，代数解法 §9.1 一维谐振子的Schr?dinger 因式分解法 升、降算符 一、Hamilton 量的代数表示 一维谐振子的Hamilton 量可表为 2 22 2 121x p H μωμ + = 采用自然单位（1===ωμ ）， （此时能量以ω 为单位，长度以μω/ 为单位，动量以ωμ 为单位） 则 2 2 2 121x p H + = 而基本对易式是[]i p x =,。 令)(2 1ip x a +=，)(2 1ip x a -= + 其逆为)(2 1a a x += + ，)(2 a a i p -= + 。 利用上述对易式，容易证明(请课后证明) 1],[=+ a a 将两类算符的关系式)(2 1a a x += + ，)(2 a a i p -= + 代入一维谐振子的Hamilton 量2 2 2 12 1x p H + =，有 ??? ??+=??? ? ?+=+ 21?21N a a H 上式就是Hamilton 量的因式分解法，其中a a N +=?。 由于N N ??=+，而且在任何量子态ψ下 0),(),(≥==+ ψψψψa a a a N
所以N ?为正定厄米算符 二、Hamilton 量的本征值 下面证明，若N ?的本征值为n ， ,2,1,0=n ，则H 的本征值n E 为（自然单位，ω ） ??? ? ? +=21n E n ， ,2,1,0=n 证明：设|n >为N ?的本征态( n 为正实数)，即 n n n N =? 利用1],[=+a a 及a a N +=?容易算出 ++=a a N ],?[，a a N -=],?[ 因此n a n a N -=],?[。 但上式 左边n na n a N n N a n a N -=-=??? 由此可得n a n n a N )1(?-=。 这说明，>n a |也是N ?的本征态，相应本征值为)1(-n 。 如此类推，从N ?的本征态>n |出发，逐次用a 运算，可得出N ?的一系列本征态 >n |，>n a |，>n a |2 ，… 相应的本征值为 n ，1-n ，2-n ，… 因为N ?为正定厄米算子，其本征值为非负实数。 若设最小本征值为0n ，相应的本征态为0n ，则 00=n a 此时 0000?n n a a n N ===+ 即0n 是N ?的本征值为0的本征态，或00 =n 。此态记为>0|，又称为真空态，亦即谐振子的最低能态(基态)，对应的能量本征值 ( 加上自然单位)为2/ω 。
第三章 形式理论 本章主要内容概要： 1. 力学量算符与其本征函数 量子力学中力学量（可观测量）用厄米算符表示，厄米算符满足 () * *??()()()()f x Qg x dx Qf x g x dx =? ? 或者用狄拉克符号，??f Qg Qf g =，其中(),()f x g x 为任意满足平方可积条件的函数（在x →±∞，(),()f x g x 为零）。 厄米算符具有实本征值的本征函数（系），具有不同本征值的本征函数相互正交，若本征值为分离谱，本征函数可归一化，是物理上可实现的态。若本征值为连续谱，本征函数可归一化为δ函数，这种本征函数不是物理上可实现的态，但是它们的叠加可以是物理上可实现的态。 一组相互对易的厄米算符有共同的本征函数系。而两个不对易的厄米算符没有共同的本 征函数系，它们称为不相容力学量。对任意态测量不相容力学量??,Q F ，不可能同时得到确定值，它们的标准差满足不确定原理 2 2 21??,2Q F Q F i σσ?? ??≥ ????? 2. 广义统计诠释 设力学量?Q 具有分离谱的正交归一本征函数系{}()n f x 本征值为{}n q ，即 ()*?()(), ()(), ,1,2,3,...n n n m n mn Qf x q f x f x f x dx m n δ===? 或 ?, n n n m n mn Q f q f f f δ== 这个本征函数系是完备的，即1n n n f f =∑ （恒等算符，封闭型），任意一个波函数可以 用这个本征函数系展开 (,)(),n n n x t c f x ψ=∑ 或n n n n n n f f c f ψ=ψ=∑∑ 展开系数为 * ()()(,)n n n c t f f x x t dx =ψ= ψ? 若(,)x t ψ是归一化的，n c 也是归一化的， 2 1n n c =∑。广义统计诠释指出，对(,)x t ψ态 测量力学量Q ，得到的可能结果必是Q 本征值中的一个，得到n q 几率为2 n c 。对系综测量力学量Q （具有大量相同ψ态系综中的每一个ψ进行测量）所得的平均值（期待值）为 2 n n n Q q c = ∑ 这与用*?Q Q dx =ψψ? 计算方法等价。 如果力学量?Q 具有连续谱的本征函数系 '*'?()(), ()()(), q q q q Qf x qf x f x f x dx q q δ==-? 任意一个波函数可以用这个本征函数系展开为