数学 数列的概念与简单表示法
一、选择题
1．数列{a n }为12，3，112，8，21
2，…，则此数列的通项公式可能是( )
A ．a n ＝5n －4
2
B ．a n ＝3n －2
2
C ．a n ＝6n －5
2
D ．a n ＝10n －9
2
2．数列23，－45，67，－8
9，…的第10项是( )
A ．－16
17
B ．－18
19
C ．－20
21
D ．－2223
3．已知数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第19项
D ．第11项
4．已知数列{a n }中，a 1＝1，若a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，则a 5的值是( ) A ．7 B ．5 C ．30
D ．31
5．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1
a 5等于( )
A ．5
6
B ．6
5
C ．1
30
D ．30
6．若数列{a n }满足a 1＝12，a n ＝1－1
a n －1(n ≥2且n ∈N *)，则a 2 019等于( )
A ．－1
B ．1
2
C ．1
D ．2
7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －3
B ．a n ＝2n ＋3
C ．a n ＝?
????1，n ＝1，
2n －3，n ≥2
D ．a n ＝?
????1，n ＝1，
2n ＋3，n ≥2
8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a n ＝( ) A ．2n
B ．2n －1
C ．2n
D ．2n －1
二、填空题
9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则数列的通项公式a n ＝ ． 10．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1
n (n ＋1)
，则数列a n ＝ ．
11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝____，S 5＝_____．
12．已知数列{a n }是递减数列，且对任意的正整数n ，a n ＝－n 2＋2λn 恒成立，则实数λ的取值范围为 ．
三、解答题
13． 已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n ．
(1)求a 2，a 3；
(2)求数列{a n }的通项公式．
14．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且2S n ＝3a n －2(n ∈N *)． (1)求a n 和S n ．
(2)若b n ＝log 3(S n ＋1)，求数列{b 2n }的前n 项和T n ．
1．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则a 5的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1
D ．2
2．若数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，则a 10＝( ) A ．55 B ．10 C ．9
D ．1
3．数列{a n }满足a n ＋1
＝???2a n ，0≤a n <1
2
，
2a n
－1，1
2
≤a n
<1，若a 1
＝25，则a
2019等于( )
A ．1
5
B ．2
5
C ．3
5
D ．45
4．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋2n ，且a 1＝33，则a n
n 的最小值为( )
A ．21
B ．10
C ．17
2
D ．212
5．已知函数f (x )＝2x －2－
x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n ． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{a n }是递减数列．
【参考答案】
一、选择题
1．数列{a n }为12，3，112，8，21
2，…，则此数列的通项公式可能是( A )
A ．a n ＝5n －4
2
B ．a n ＝3n －2
2
C ．a n ＝6n －5
2
D ．a n ＝10n －9
2
[解析] 解法一：数列{a n }为12，62，112，162，21
2，…，其分母为2，分子是首项为1，公
差为5的等差数列，故其通项公式为a n ＝5n －4
2
．
解法二：当n ＝2时，a 2＝3，而选项B 、C 、D ，都不符合题意，故选A ． 2．数列23，－45，67，－8
9，…的第10项是( C )
A ．－16
17
B ．－18
19
C ．－20
21
D ．－2223
[解析] a n ＝(－1)n ＋12n 2n ＋1
，∴a 10＝－20
21，选C 项．
3．已知数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的( B ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第19项
D ．第11项
[解析] 数列即：2，5，8，11，…，据此可得数列的通项公式为：a n ＝3n －1，
由
3n －1＝25，解得：n ＝7，即25是这个数列的第7项．
4．已知数列{a n }中，a 1＝1，若a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，则a 5的值是( D ) A ．7 B ．5 C ．30
D ．31
[解析] 由题意得a 2＝2a 1＋1＝3，a 3＝2×3＋1＝7，a 4＝2×7＋1＝15，a 5＝2×15＋1＝31．
5．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1
a 5等于( D )
A ．5
6
B ．6
5
C ．1
30
D ．30
[解析] ∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，∴1
a 5＝5×(5＋1)＝30．
6．若数列{a n }满足a 1＝12，a n ＝1－1
a n －1(n ≥2且n ∈N *)，则a 2 019等于( D )
A ．－1
B ．1
2
C ．1
D ．2
[解析] ∵a 1＝12，a n ＝1－1
a n －1(n ≥2且n ∈N *)，
∴a 2＝1－1a 1＝1－112
＝－1，∴a 3＝1－1a 2＝1－1
－1
＝2，
∴a 4＝1－1a 3＝1－12＝1
2，…，依此类推，可得a n ＋3＝a n ，∴a 2019＝a 672×3＋3＝a 3＝2，故选D ．
7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为( C ) A ．a n ＝2n －3
B ．a n ＝2n ＋3
C ．a n ＝?
????1，n ＝1，
2n －3，n ≥2
D ．a n ＝?
????1，n ＝1，
2n ＋3，n ≥2
[解析] 解法一：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3，由于n ＝1
时a 1的值不适合n ≥2的解析式，故通项公式为a n ＝?
????1，n ＝1，
2n －3，n ≥2.
解法二：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，A 、B 选项不合题意．又a 2＝S 2－a 1＝1，所以D 选项不合题意．
8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a n ＝( C ) A ．2n B ．2n －1 C ．2n
D ．2n －1
[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2(a 1－1)，可得a 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n
－1，∴a n ＝2a n －1，
∴数列{a n }为等比数列，公比为2，首项为2，∴通项公式为a n ＝2n .故选C ．
二、填空题
9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n
＋1，则数列的通项公式a n ＝ ?
????4，(n ＝1)
2·3n －1，(n ≥2) ．
[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋1－3n －1－1＝2·3n －1，
显然n ＝1时，a 1不满足上式，∴a n ＝?????4，(n ＝1)
2·3n －1，(n ≥2)
．
10．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)
，则数列a n ＝ 3－1
n ．
[解析] 由题意，得a n ＋1－a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1
n ＋1，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋
(a 2－a 1)＋a 1＝(1n －1－1n )＋(1n －2－1n －1
)＋…＋(12－13)＋(1－12)＋2＝3－1
n ．
11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝__1___，S 5＝__121___．
[解析] 解法一：由?
????a 1＋a 2＝4，
a 2＝2a 1＋1，解得a 1＝1.由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，得S n ＋1＝3S n
＋1，所以S n ＋1＋12＝3(S n ＋12)，所以{S n ＋12}是以32为首项，3为公比的等比数列，所以S n ＋
1
2＝32×3n －1
，即S n ＝3n －12
，所以S 5＝121． 解法二：由?????a 1＋a 2＝4a 2＝2a 1＋1解得?
????a 1＝1a 2＝3，又a n ＋1＝2S n ＋1，a n ＋2＝2S n ＋1＋1，两式相减得a n ＋
2－a n ＋1＝2a n ＋1
，即a n ＋2a n ＋1＝3，又a 2
a 1＝3，∴{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＋1＝3n ，∴S n ＝3n －1
2
，∴S 5＝121．
12．已知数列{a n }是递减数列，且对任意的正整数n ，a n ＝－n 2＋2λn 恒成立，则实数λ的取值范围为 (－∞，3
2
) ．
[解析] ∵数列{a n }是递减数列，∴a n ＋1 ＋1)<－n 2＋2λn 恒成立，即2λ<2n ＋1恒成立，又n ∈N *，∴λ<3 2 ． 三、解答题 13． 已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋2 3a n ． (1)求a 2，a 3； (2)求数列{a n }的通项公式． [解析] (1)因为S n ＝n ＋2 3a n ，且a 1＝1， 所以S 2＝43a 2，即a 1＋a 2＝4 3a 2，得a 2＝3． 由S 3＝5 3a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，得a 3＝6． (2)由题意知a 1＝1． 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝ n ＋23a n －n ＋1 3a n －1 ， 整理，得a n ＝n ＋1n －1a n －1，即a n a n －1＝n ＋1 n －1． 所以a 2a 1＝3，a 3a 2＝42，a 4a 3＝53，…，a n a n －1＝n ＋1 n －1， 将以上n －1个式子的两端分别相乘，得a n a 1＝n (n ＋1)2． 所以a n ＝n (n ＋1) 2 (n ≥2)． 又a 1＝1适合上式，故a n ＝n (n ＋1) 2 (n ∈N *)． 14．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且2S n ＝3a n －2(n ∈N *)． (1)求a n 和S n ． (2)若b n ＝log 3(S n ＋1)，求数列{b 2n }的前n 项和T n ． [解析] (1)因为2S n ＝3a n －2， 所以当n ＝1时，2S 1＝3a 1－2，解得a 1＝2； 当n ≥2时，2S n －1＝3a n －1－2， 所以2S n －2S n －1＝3a n －3a n －1， 所以2a n ＝3a n －3a n －1，即a n ＝3a n －1， 因此数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， 所以a n ＝2·3n －1，S n ＝2(1－3n ) 1－3＝3n －1． (2)因为S n ＝3n －1， 所以b n ＝log 3(S n ＋1)＝log 33n ＝n ，b 2n ＝2n ， 所以T n ＝2＋4＋6＋…＋2n ＝n (2＋2n ) 2 ＝n 2＋n ． 1．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则a 5的值为( A ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 [解析] 由题意可得，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 3＝a 2－a 1＝2－1＝1，a 4＝a 3－a 2＝1－2＝－1，a 5＝a 4－a 3＝－1－1＝－2.故选A ． 2．若数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，则a 10＝( D ) A ．55 B ．10 C ．9 D ．1 [解析] ∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，∴令m ＝1，n ＝9，得S 9＋S 1＝S 10，即S 10－S 9＝S 1＝a 1＝1，∴a 10 ＝S 10－S 9＝1.故选D ． 3．数列{a n }满足a n ＋1 ＝???2a n ，0≤a n <12 ， 2a n －1，1 2 ≤a n <1，若a 1 ＝25，则a 2019等于( C ) A ．1 5 B ．2 5 C ．3 5 D ．45 [解析] 因为a 1＝25<12，所以a 2＝45，a 3＝35，a 4＝15，a 5＝2 5，所以数列具有周期性，周期 为4，所以a 2019＝a 3＝2 5 .故选C ． 4．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋2n ，且a 1＝33，则a n n 的最小值为( D ) A ．21 B ．10 C ．17 2 D ．212 [解析] 由已知条件可知，当n ≥2时， a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝33＋2＋4＋…＋2(n －1)＝n 2－n ＋33． 又n ＝1时，a 1＝33满足此式． 所以a n n ＝n ＋33 n －1． 令f (n )＝n ＋33 n －1，则f (n )在[1,5]上为减函数， 在[6，＋∞)上为增函数，又f (5)＝535，f (6)＝21 2， 则f (5)>f (6)，故f (n )＝a n n 的最小值为21 2 .故选D ． 5．已知函数f (x )＝2x －2－ x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n ． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{a n }是递减数列． [解析] (1)f (log 2a n )＝2log 2a n －2－log 2a n ＝a n －1 a n 所以a n －1 a n ＝－2n ， 所以a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2＋1， 因为a n >0，所以a n ＝n 2＋1－n ，n ∈N *． (2)a n ＋1a n ＝ (n ＋1)2＋1－(n ＋1) n 2 ＋1－n ＝ n 2＋1＋n (n ＋1)2＋1＋(n ＋1) <1， 因为a n >0，所以a n ＋1 第36讲等差数列的概念及基本运算 1．理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的通项公式，前n项和公式及其性质． 知识梳理 1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个 常数，那么这个数列叫做等差数列，首项记作a1，公差记作d.符号表示为a n＋1－a n＝d (n∈N*，d为常数)． (2)通项公式：如果等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则它的通项公式是a n＝a1＋(n－1)d. (3)等差中项：如果三数a，A，b成等差数列，则A叫做a和b的等差中项．即A ＝a＋b 2 . 2．等差数列{a n}的常用性质(其中m，n，p，q∈N*) (1)a n＝a m＋(n－m)d. (2)若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q. 特例：若m＋n＝2p，则a m＋a n＝2a p. (3)等差数列的单调性：若公差d>0，则数列为递增数列；若d<0，则数列为递减 数列；若d＝0，则数列为常数列．3．等差数列的前n项和公式 (1)前n项和公式：设等差数列{a n}的公差为d，其前n项和S n＝n(a1＋a n) 2 ＝na1＋ n(n－1) 2d. (2)等差数列前n项和的性质： S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列． 1．等差数列的常用判断方法 (1)定义：a n＋1－a n＝d(d为常数)?{a n}是等差数列． (2)等差中项：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)?{a n}是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 是常数) ?{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数) ?{a n }是等差数列． 2．等差数列前n 项和的最值 在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 热身练习 1．若a n ＝an ＋b (其中a ，b 为常数，n ∈N *)，则数列{a n }是(C) A ．当a ≠0时，才是等差数列 B ．当b ≠0时，才是等差数列 C ．一定是等差数列 D ．不一定是等差数列 因为a n ＋1－a n ＝a (n ∈N *)，由定义知，{a n }一定是等差数列，故选C. 2．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝(B) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6 设数列{a n }的公差为d ， 由a 2＝4，a 4＝2，a 4＝a 2＋2d ，得 2＝4＋2d ，所以d ＝－1. 所以a 6＝a 4＋(6－4)d ＝a 4＋2d ＝2－2＝0. 3．在等差数列{a n }中，若前10项的和S 10＝60，a 7＝7，则a 4＝(C) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 因为S 10＝60，a 7＝7， 所以????? 10a 1＋45d ＝60，a 1＋6d ＝7， 解得????? a 1＝3， d ＝23， 所以a 4＝a 1＋3d ＝5. 4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝(A) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，所以a 3＝1， S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5. 5．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2018，则该数列的首项为 2 . 第一节数列的概念与简单表示法 知识要点 1．数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义： ①数列：按照一定顺序排列的一列数． ②数列的项：数列中的每一个数． (2)数列的分类： (3)数列的通项公式： 如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 2．数列的递推公式 如果已知数列{a n}的首项(或前几项)，且任一项a n与它的前一项a n (n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数－1 列的递推公式． 3.对数列概念的理解 (1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列． (2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． 4．数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n) ＝a n(n∈N*)． 题型一：由数列的前几项求数列的通项公式 [例1] 下列公式可作为数列{a n}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( ) A．a n＝1 B．a n＝C．a n＝2－ D．a n＝ [自主解答] 由a n＝2－可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，….[答案] C 变式：若本例中数列变为：0,1,0,1，…，则{a n}的一个通项公式为________． 答案： a n＝ 由题悟法 1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整． 2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想． 第36讲 等差数列的概念及基本运算 1．(2016·福州市毕业班质量检查)已知数列{a n }是等差数列，且a 7－2a 4＝6，a 3＝2，则公差d ＝ (B) A ．2 2 B ．4 C ．8 D ．16 因为a 7－2a 4＝a 7－(a 1＋a 7)＝－a 1＝6，所以a 1＝－6. 又a 3＝2，所以公差d ＝a 3－a 13－1 ＝2－(－6)2＝4. 2．已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)，则a 6等于(D) A ．16 B ．8 C ．2 2 D ．4 由2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1可知数列{a 2n }是等差数列，且首项为a 21＝1，公差d ＝a 22－a 21＝4 －1＝3. 所以{a 2n }的通项a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2， 所以a n ＝3n －2.所以a 6＝3×6－2＝4. 3．(2017·湖南长沙高三模拟一)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面3节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中的第2节、第3节和第8节竹子的容积之和为(A) A.176升 B.72 升 C.11366升 D.10933 升 设自上至下各节的容积依次为a 1，a 2，…，a n . 依题意有????? a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3， ① a 7＋a 8＋a 9＝4， ② 故由①得a 2＋a 3＝32，由②得a 8＝43 . 故a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝96＋86＝176 (升)． 4．(2015·北京卷)设{a n }是等差数列．下列结论中正确的是(C) A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0 B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0 C ．若0a 1a 3 D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0 因为{a n }是等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3， 当a 2>a 1>0时，得公差d >0，所以a 3>0， 所以a 1＋a 3>2a 1a 3，所以2a 2>2a 1a 3， 即a 2>a 1a 3. 5．(2018·华大新高考联盟教学质量测评)设等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 2016－S 1＝1， 则S 2017＝ 20172015 . 课题：数列（第一课时） 一、教学目标： 知识目标：（1）了解数列的概念，了解数列的分类，了解数列是一种特殊的数列， 会用列表法和图像法表示数列； （2）理解数列的通项公式，会根据通项公式写出数列的前几项，会 根据简单数列的前几项写出数列的通项公式。 能力目标：通过数列概念的归纳概括，初步培养学生的归纳、抽象、概括的能力， 渗透函数思想。 情感目标：通过有关数列的实际应用，激发学生学习数列的积极性。 二、重点：数列的概念，数列的通项公式及其简单应用. 三、难点：根据数列的前几项归纳概括出数列的一个通项公式. 四、教学方法：观察发现、探究合作、启发引导、讲练结合 五、教学手段：多媒体课件、投影仪 六、教学过程： 1、问题情境 （1）庄子说：一尺之棰，日取其半，万世不竭。每次剩下的部分依次是： 1111,,,,24816 （2）某种细胞，如果每个细胞每分钟分类成2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为：1,2,4,8,16,32，┅┅ （3）2012----伦敦奥运,从1984年到2012年,我国共参加了8次奥运会,各次参赛获得的金牌总数依次为：15,5,16,16,28,32,51,38. 问题1：这几组数据有什么共同的特点？ 2、学生活动 都是一列有顺序的数。 特点1：都是一列数，2：有一定的次序 3、建构数学 （1）数列的定义：按照一定次序排成一列的数称为数列； 数列中的每个数都叫做这个数列的项； 各项依次叫做这个数列的第1项（首项）,第2项，…，第n 项，…，如： 数列 2, 4, 8, 16 问题2：① 1，-1,1，-1，……是数列吗？ ② 数列1,2,3,4,5与数列5,4,3,2,1是否是同一个数列？ （2）数列的分类：有穷数列，无穷数列。 问题3：下面三个数列哪些是有穷数列，哪些是无穷数列？ a 4 a 1 a 2 a 3 第六章数列 命题探究 解答过程 (1)设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q.由已知b2+b3=12,得 b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0,解得q=2或q=-3,又因为q>0,所以q=2.所以b n=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8①.由S11=11b4,可得a1+5d=16②,联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得a n=3n-2. 所以,数列{a n}的通项公式为a n=3n-2,数列{b n}的通项公式为b n=2n. (2)设数列{a2n b2n-1}的前n项和为T n,由a2n=6n-2,b2n-1=2×4n-1,有a2n b2n-1=(3n-1)×4n,故T n=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n, 4T n=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1, 上述两式相减,得 -3T n=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1= - - -4-(3n-1)×4n+1 =-(3n-2)×4n+1-8. 得T n=-×4n+1+. 所以,数列{a2n b2n-1}的前n项和为-×4n+1+ §6.1数列的概念及其表示法 考纲解读 分析解读本节内容在高考中主要考查利用a n和S n的关系求通项a n,或者利用递推公式构造等差或等比数列求通项a n,又考查转化、方程与函数、分类讨论等思想方法,在高考中以解答题为主,题目具有一定的综合性,属中高档题.分值为5分或12分. 五年高考 考点数列的概念及其表示 1.(2016浙江,13,6分)设数列{a n}的前n项和为S n.若S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*,则a1=,S5=. 答案1;121 2.(2015江苏,11,5分)设数列{a n}满足a1=1,且a n+1-a n=n+1(n∈N*),则数列前10项的和为. 答案 3.(2013课标全国Ⅰ,14,5分)若数列{a n}的前n项和S n=a n+,则{a n}的通项公式是a n=. 答案(-2)n-1 4.(2015四川,16,12分)设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列. (1)求数列{a n}的通项公式; (2)记数列的前n项和为T n,求使得|T n-1|<成立的n的最小值. 解析(1)由已知S n=2a n-a1, 有a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1(n≥2), 即a n=2a n-1(n≥2). 从而a2=2a1,a3=2a2=4a1. 又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1). 所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2. 所以,数列{a n}是首项为2,公比为2的等比数列. 故a n=2n. (2)由(1)得=, 所以T n=++…+=- - =1-. 由|T n-1|<,得--<,即2n>1000. 因为29=512<1000<1024=210, 所以n≥10. 于是,使|T n-1|<成立的n的最小值为10. 教师用书专用(5—6) 5.(2013安徽,14,5分)如图,互不相同的点A1,A2,…,A n,…和B1,B2,…,B n,…分别在角O的两条边上,所有A n B n相互平行,且所有梯形 A n B n B n+1A n+1的面积均相等.设OA n=a n.若a1=1,a2=2,则数列{a n}的通项公式是. 答案a n=- 6.(2014广东,19,14分)设数列{a n}的前n项和为S n,满足S n=2na n+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15. 数列的概念与简单表示法 [考纲传真]1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数． 【知识通关】 1．数列的有关概念 n n 若数列{a n }的前n 项和为S n ， 则a n ＝??? S 1，n ＝1， S n －S n －1，n ≥2. 4．数列的分类 [ 求数列的最大(小)项，一般可以利用数列的单调性，即用??? a n ≥a n －1， a n ≥a n ＋1.(n ≥2， n ∈N *)或?? ? a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1 (n ≥2，n ∈N *)求解，也可以转化为函数的最值问题或利 用数形结合思想求解． 【基础自测】 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的．( ) (3)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( ) (4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1 n (n ＋1) ，…，下列各数中是此数列中的项的是( ) A .135 B .142 C .148 D .154 B 3．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 A 4．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)n a n －1(n ≥2)，则a 5等于( ) A .32 B .53 C .85 D .23 D 5．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________. 5n －4 通过数列基本概念的学习，谈谈对学生数列基本运算能力的培养 以数列为例，在教学中要做到熟练运算方法，优化思维过程，加强综合运算能力的培养，并把良好的运算品质的培养贯穿其中。 一、熟练基本运算：抓概念与运算 抓概念与运算，从首项和公差与公比入手，是解决等差与等比数列问题的基本途径。 例1．（1）设数列{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为 2 ． （2）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++=1316 ． 二、优化运算思维过程：抓观点与性质 运算能力是一种综合能力，它不可能独立存在和发展，而且与观察能力、注意力、理解能力、记忆力、推理能力、表达能力等相互渗透相互影响，优化运算思维过程以培养学生正确、简洁、有创造性的运算能力与品质，从而逐步形成解决实际问题的能力。在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求． 三、培养综合运算能力：抓联系与渗透 教学中要培养学生从单一运算到复合运算再到综合运算。 （1）抓住通项与前n 项和的联系 （2）抓等差数列与等比数列的组合 （3）抓等差数列或等比数列与其他数学知识如函数、方程、不等式等的组合 例2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数． 解：设这四个数为：2 (),,,a d a d a a d a +-+，则2 ()16212a d a d a a d ?+-+=???+=? 解得：48a d =??=?或96a d =??=-?，所以所求的四个数为：4,4,12,36-；或15,9,3,1． 例3．由正数组成的等比数列{}n a ，若前2n 项之和等于它前2n 项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{}n a 的通项公式． 解：当1q =时，得11211na na =不成立，∴1q ≠， ∴221122331111 (1)11(1)1111n n a q a q q q q a q a q a q a q ?--=?--??+=?? 由①得110 q =，代入②得110a =， ∴21()10 n n a -= 四：强化培养运算品质：抓常规与情感教育 中学生数学基础差，学习动力不足，为难情绪重，因此要重视情感教育，解决好学生“为什么学？学什么？怎样学”问题。帮助学生明确数学学习是学好其他学科的需要，是自身不断发展的需要，才能激发学生学习动机，学习兴趣。其次，教学中要抓好学生的学习纪律，学习态度 。总之，培养学生的运算能力必须分阶段、分层次、有计划的进行，应与其他教学能力的培养相结合，才能使学生运算能力的培养与提高形成可持续发展的态势。 ① ② 数列的概念与简单表示讲义 【知识要点】： 知识点一：数列的概念 ⒈数列的定义：按一定顺序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…，第项，….其中数列的第1项也叫作首项。 3. 数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第项 知识点二：数列的分类 1. 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 2. 根据数列项的大小分： 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。 常数数列：各项相等的数列。 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 知识点三：数列的通项公式与前项和 1. 数列的通项公式 如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 如数列：的通项公式为（）； 的通项公式为（）； 的通项公式为（）； 注意：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式； （2）一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…； 它的通项公式可以是，也可以是. （3）数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. （4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示． § 数列的概念及简单表示法 1． 数列的定义 按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2． 数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 a n ＋1__>__a n 其中n ∈N ＋ 递减数列 a n ＋1__<__a n 常数列 a n ＋1＝a n 按其他标准分类 有界数列 存在正数M ，使|a n |≤M 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有 些项小于它的前一项的数列 3． 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4． 数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 5．已知S n ，则a n ＝??? ?? S 1 ?n ＝1? S n －S n －1 ?n ≥2? . 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达． ( × ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个． ( √ ) (3)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是a n ＝ 1＋?－1? n ＋1 2 . ( × ) (4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对?n ∈N ＋，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n . ( √ ) (5)在数列{a n }中，对于任意正整数m ，n ，a m ＋n ＝a mn ＋1，若a 1＝1，则a 2＝2.( √ ) (6)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝1 2a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项． ( √ ) 2． 设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2 ，则a 8的值为 ( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 答案 A 解析 ∵S n ＝n 2 ，∴a 1＝S 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2 －(n －1)2 ＝2n －1. ∴a n ＝2n －1，∴a 8＝2×8－1＝15. 3． 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10等于 ( ) A ．1 B ．9 C ．10 D ．55 答案 A 解析 ∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，a 1＝1，∴S 1＝1. 可令m ＝1，得S n ＋1＝S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝1. 即当n ≥1时，a n ＋1＝1，∴a 10＝1. 4． (2013·课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋1 3 ，则{a n }的通项公式是a n ＝_____. 答案 (－2) n －1 解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝2 3a n －23 a n －1， 故 a n a n －1 ＝－2，故a n ＝(－2)n －1 . 当n ＝1时，也符合a n ＝(－2)n －1 . 综上，a n ＝(－2) n －1 . 5． (2013·安徽)如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1， B 2，…，B n …分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行， 高一数学必修5数列新容：数列与等差数列 数列的概念与简单表示法 数列的分类： （1）据数列的项数是否有限可分类为有穷数列、无穷数列. （2）据数列的项大小关系可分类为 ①递增数列：从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列; ②递减数列：从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列; ③常数数列：各项相等的数列; ④摆动数列：从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 练习： 1、下列给出数列，试从中发现变化规律，并填写括号的数 （1）()() 1,3,6,10,,21,,??????; （2）()() 3,5,9,17,33,,,??????; （3）() 1,4,9,16,,36,??????. 2.下面数列中递增数列是，递减数列是，常数数列是，摆动数列是 （1）0,1,2,3,??????;（2）82,93,105,119,129,130,132;（3）3,3,3,3,3,??????; （4）100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01; （5）1,1,1,1,1, ---??????;（6精确到1,0.1,0.01,0.001,???的不足近似值与过剩近似值分别构成数列1,1.4,1,1.141,1.414,;2,1.5,1.42,1.415, ????????????. 3.据下列数列的前几项，写出下列数列的一个通项公式 （1）1,3,5,7,9??????; （2）9,7,5,3,1,??????; （3） 2222 21314151 ;,;; 2345 ---- （4） 1111 ,,,, 12233445 ---- ???? . 2021年新高考数学总复习第六章《数列》 数列的概念与简单表示法 1．数列的有关概念 概念含义 数列按照一定顺序排列着的一列数 数列的项数列中的每一个数 数列的通项数列{a n}的第n项a n 通项公式 数列{a n}的第n项a n与n之间的关系能用公式a n＝f(n)表示，这个公式 叫做数列的通项公式 前n项和数列{a n}中，S n＝a1＋a2＋…＋a n叫做数列的前n项和 2.数列的表示方法 列表法列表格表示n与a n的对应关系 图象法把点(n，a n)画在平面直角坐标系中公式法 通项公式把数列的通项使用公式表示的方法 递推公式 使用初始值a1和a n＋1＝f(a n)或a1，a2和a n＋1＝f(a n，a n－1)等 表示数列的方法 3.a n与S n的关系 若数列{a n}的前n项和为S n， 则a n＝ ?? ? ??S1，n＝1， S n－S n－1，n≥2. 4．数列的分类 分类标准类型满足条件 项数 有穷数列项数有限 无穷数列项数无限 项与项间的 大小关系 递增数列a n＋1> a n 其中n∈N* 递减数列a n＋1< a n 常数列a n＋1＝a n 概念方法微思考 1．数列的项与项数是一个概念吗？ 提示不是，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．数列的通项公式a n＝3n＋5与函数y＝3x＋5有何区别与联系？ 提示数列的通项公式a n＝3n＋5是特殊的函数，其定义域为N*，而函数y＝3x＋5的定义域是R，a n＝3n＋5的图象是离散的点，且排列在y＝3x＋5的图象上． 题组一思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(×) (2)所有数列的第n项都能使用公式表达．(×) (3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(√) (4)1，1，1，1，…不能构成一个数列．(×) (5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(×) (6)如果数列{a n}的前n项和为S n，则对?n∈N*，都有a n＝S n－S n－1.(×) 题组二教材改编 2．在数列{a n}中，已知a1＝1，a n＋1＝4a n＋1，则a3＝. 答案21 解析由题意知，a2＝4a1＋1＝5，a3＝4a2＋1＝21. 3．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n＝. 答案5n－4 题组三易错自纠 4．已知a n＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{a n}是递增数列，则实数λ的取值范围是． 答案(－3，＋∞) 解析因为{a n}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有a n＋1>a n，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1)．(*) 因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3. 5．数列{a n}中，a n＝－n2＋11n(n∈N*)，则此数列最大项的值是． 数列的概念与简单表示法 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 第六章数列 §6.1数列的概念与简单表示法 考点梳理 1．数列的概念 (1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的________．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做__________)，排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成__________，其中a n是数列的第n 项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{a n}． (2)通项公式：如果数列{a n}的__________与序号__________之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． (3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数(离散的)，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________． (4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项__________与它的前一项__________ (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． (5)数列的表示方法有__________、__________、__________、__________. 2．数列的分类 (1)数列按项数是有限还是无限来分，分为__________、__________. (2)按项的增减规律分为__________、__________、__________和 __________．递增数列a n＋1______a n ；递减数列a n＋1_____a n；常数列a n＋ 1______a n .递增数列与递减数列统称为__________． 3．数列前n项和S n与a n的关系 已知S n，则a n＝ ? ? ?（n＝1）_________， （n≥2）_________. 自查自纠： 1．(1)项首项a1，a2，a3，…，a n，… (2)第n项n(3)函数值(4)a n a n－1 (5)通项公式法(解析式法) 列表法图象法递推公式法 2．(1)有穷数列无穷数列(2)递增数列递减数列 摆动数列常数列＞＜＝单调数列 3．S1S n－S n－1 典型例题讲练 类型一数列的通项公式 例题1根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2) 2 3 ， 4 15 ， 6 35 ， 8 63 ， 10 99 ，…； 第37讲 等比数列的概念及基本运算 1．(2016·湖北省八校第二次联考)在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝(A) A ．1 B ．±1 C ．2 D ．±2 因为a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，即a 1q 2＝2， 所以a 1>0，又a 2a 3a 4＝a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 21·a 1q 6＝a 21· a 7＝8a 21＝8，所以a 1＝1或a 1＝－1(舍去)，故选A. 2．(2015·新课标卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14 ，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝(C) A ．2 B ．1 C.12 D.18 由题意可得a 3a 5＝a 24＝4(a 4－1)， 所以a 4＝2，所以q 3＝a 4a 1 ＝8，所以q ＝2. 所以a 2＝a 1q ＝12 . 3．(2017·湖南五市十校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的(B) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 若A ＝B ＝0，则S n ＝0，故数列{a n }不是等比数列； 若数列{a n }是等比数列，当q ＝1时，S n ＝A ＋B ，所以a n ＝0(n ≥2)与数列{a n }是等比数 列矛盾，所以q ≠1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ， 所以A ＝－a 11－q ，B ＝a 11－q ，所以A ＝－B ， 因此“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的必要不充分条件． 4．(2018·华大新高考联盟教学质量测评)在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝33，则 a 11＋a 2011a 17＋a 2017 ＝(D) A.29 B.49 C.23 D.89 依题意知等比数列{a n }的公比q ＝a 3a 2＝332 ， 故a 11＋a 2011a 17＋a 2017＝a 11＋a 2011q 6(a 11＋a 2011)＝1q 6＝89 . 5．已知{a n }为等差数列，公差为1，且a 5是a 3与a 11的等比中项，则a 1＝ －1 . 因为a 5是a 3与a 11的等比中项，所以a 25＝a 3·a 11. 数列的概念及简单表示法 一、选择题 1.数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式是a n等于( ) A.（－1）n＋1 2 B.cos nπ 2 C.cos n＋1 2 π D.cos n＋2 2 π 解析令n＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D正确. 答案 D 2.数列2 3 ，－ 4 5 ， 6 7 ，－ 8 9 ，…的第10项是( ) A.－16 17 B.－ 18 19 C.－20 21 D.－ 22 23 解析所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子.很容易归纳出数列{a n}的通项公式a n＝ (－1)n＋1· 2n 2n＋1 ，故a10＝－ 20 21 . 答案 C 3.(2016·保定调研)在数列{a n}中，已知a1＝1，a n＋1＝2a n＋1，则其通项公式a n ＝( ) A.2n－1 B.2n－1＋1 C.2n－1 D.2(n－1) 解析法一由a n＋1＝2a n＋1，可求a2＝3，a3＝7，a4＝15，…，验证可知a n ＝2n－1. 法二由题意知a n＋1＋1＝2(a n＋1)，∴数列{a n＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n＋1＝2n，∴a n＝2n－1. 答案 A 4.数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n 等于( ) A.2n －1 B.n 2 C. （n ＋1）2 n 2 D. n 2 （n －1）2 解析 设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2， 当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2 （n －1）2. 答案 D 5.数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －3，若a 1＝2，则a 8－a 4＝( ) A.7 B.6 C.5 D.4 解析 依题意得(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)，即a n ＋2－ a n ＝2，所以a 8－a 4＝(a 8－a 6)＋(a 6－a 4)＝2＋2＝4. 答案 D 二、填空题 6.若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋1a n ，a 8＝34 21，则a 5＝________. 解析 借助递推关系，则a 8递推依次得到a 7＝ 2113，a 6＝138，a 5＝85 . 答案 8 5 7.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________. 解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝???4，n ＝1， 2n ＋1，n ≥2. 答案 ???4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2. 8.(2017·北京海淀期末)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ≠0(n ∈N *)，又 a n a n ＋1＝S n ，则a 3－a 1＝________. 解析 因为a n a n ＋1＝S n ，所以令n ＝1得a 1a 2＝S 1＝a 1，即a 2＝1，令n ＝2，得a 2a 3 数列的概念与表示导学案 一、基础知识 引例：按一定次序排列的一列数 （1）1，2，3，4，5 （2）1，51,41,31,21 （3）,1,1,1,1--…… （4）1，1，1，1，…… （5）1，3，5，4，2 （6）2的精确到1，0.1，0.01，0.001，……的不足近似值排列成一列数 1、概念：（1）数列： 注：①按一定次序排列 ②同一个数在数列中可重复出现 上例中能构成数列的是： 。（1）与（5）相同吗？ （2）项： （3）项的序号： 2、表示：数列的一般形式为： ，简化为 。 例：,41,31,21, 1…,1,n …简记为： 1，3，5，7，…12-n ，…简记为 注：}{n a 与n a 的区别： 3、数列与函数的关系： 4、数列的通项公式： 作用：①以序号代n 可求数列各项；②可验证某数是否是数列中的项 注：①通项公式有时不存在；②一个数列的通项公式形式可能不唯一。 5、递推公式： 6、分类： 二、例题解析 例1、根据}{n a 的通项公式，写出它的前5项。 （1）1+=n n a n （2）n a n n ?-=)1( 例2、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数 （1）1，2，3，4； （2）1，3，5，7； （3）5 15,414,313,2122222----； 例3、已知：}{n a 中，11=a ，以后各项由111-+ =n n a a 给出，写出这个数列的前5项。 三、课后练习 1、根据}{n a 的通项公式，写出它的前5项： （1）1)1(5+-?=n n a （2）1 122++=n n a n 2、根据通项公式，写出它的第7项与第10项 （1）)2(+=n n a n （2）32+-=n n a 3、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数。 （1）1，2，3，4 （2）2，4，6，8 （3）161,81,41,21-- （4）5141.4131,3121,211---- 4、写出下面数列}{n a 的前5项 （1）)2(35 11≥+==-n a a a n n （2）)2(2211≥==-n a a a n n 数列的概念及其表示方法 一、学习目标 1．了解数列的概念及其表示方法；理解数列通项公式的有关概念； 2．给出数列的通项公式，会写出数列的前几项；给出简单数列的前几项，会写出它的一个通项公式； 3．通过独立思考、小组合作来提升获取知识的能力，增强团结协作的意识，养成善于观察、归纳、类比、联想等良好的思维品质． 二、学习重点与难点 学习重点：数列的概念及其通项公式. 学习难点：用函数的观点理解数列的概念. 三、学习过程 活动一：创设情境 1. 同学们，以下四个问题蕴含着四列数，你能写出来吗？ （1）国际象棋的传说：每格棋盘上的麦粒数排成一列数: . （2）古语：如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为: . （3）童谣：一只青蛙，一张嘴，两只眼睛，四条腿，这句童谣中蕴含的一列数为: . （4）人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出它每隔83年出现一次，则从出现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为: . 2. 同学们，你能说说上述几列数有什么共同特点吗？ 活动二：数列的概念及其理解 1. 数列的定义：__________________________________________________. 数列的项： __________________________________________________. 2. 数列的分类（按项数分）：__________________________________________________. 思考1：1．数列1，2，3，4，5.与数列5，4，3，2，1.相同吗？ 2．金，木，水，火，土.是数列吗？ 3．数列1，2，3，4，5.与数列1，2，3，4，5，… 相同吗？ 3. 数列的表示方法： 数列的一般形式可以写成 . 其中1a 是数列的第 项（或称为 ），2a 是数列的第 项，…， n a 是数列的第 项. 有时，我们把上面的数列简记为 . 思考2：1.此处的n a 与{}n a 有何区别？ 2.数列中的项和集合中的元素有何区别? 活动三：探索数列与函数的关系 国际象棋每格棋盘上的麦粒数: 序号n 1 2 3 4 ... 64 项 a n 1 2 22 23 ... 263 请回答： 1.这个数列中，对每一个项的序号n 都有唯一的项 a n 与之对应吗？ 2.一般数列中，对每一个项的序号n 存在唯一的项a n 与之对应？ 数列的极限及其运算法则 学习要求： 1．理解数列极限的概念。正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想 2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．能运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力． 3．掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列的极限 4. 掌握无穷等比数列各项的和公式. 学习材料： 一、基本知识 1.数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞ =，读作“当n 趋向 于无穷大时，n a 的极限等于a ” “n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞ =有时也记作：当n →∞时，n a →a ． 理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项n a 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项 n a 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大n a 越来越接近于a ；另一方面，n a 不是一般地趋近 于a ，而是“无限”地趋近于a ，即n a a -随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限： （1）01 lim =∞→n n （2）C C n =∞ →lim （C 是常数） （3）lim 0n n a →∞ = (a 为常数1a <)，当1a =时，lim 1n n a →∞ =；当1a =-或1a >时，lim n n a →∞ 不存在。 3. 数列极限的运算法则: 与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 特别：若C 为常数，则lim()lim n n n n C a c a CA →∞ →∞ ==g g 推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情，若{}n a ，{}n b ，{}n c 有极限，则 n n n n n n n n n c b a c b a ∞ →∞→∞→∞→++=++lim lim lim )(lim第36讲 等差数列的概念及基本运算
数列的概念与简单表示法(含 解析)
等差数列的概念及基本运算
数列的概念及表示
数列的概念及其表示法
数列的概念与简单表示法
数列基本运算
数列的概念与简单表示讲义
数列的概念及简单表示方法
数列的概念与简单表示法
数列的概念与简单表示法
数列的概念与简单表示法
等比数列的概念及基本运算
数列的概念及简单表示法
数列的概念与表示(一)
数列的概念及其表示方法
数列的极限及运算法则
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