5.1 平面向量的概念及运算（一）（2课时）
1. 向量的概念：①定义 ②表示 ③模 ④零向量 ⑤共线向量 ⑥相等向量
2. 向量加减运算：
①几何运算（三角形和平形四边形法则）AB BC AC += ②
代
数
运
算
：
11221212(,)(,)(,)x y x y x x y y ±=±±
3. 向量坐标：(,)a x y xi yj ==+
4. 平面向量基本定理：给定不共线向量1e 和2e 1122a e e λλ=+则（结果唯一）
5. 数乘向量：(,)(,)a x y x y λλλλ?==?
?方向模
6. 向量共线：1221//0a b a b x y x y λ?=?-=
7. 三点共线：1PA PB PC αβαβ=++=且 8三角形的“四心”与向量
1. 关于重心G ，有重心公式：1
()3
OG OA OB OC =
++ 坐标)3
,3(
C
B A
C B A y y y x x x G ++++，并有性质=++；
2. 关于垂心H ，有性质?=?=?；
3. 关于外心O ，有性质||||||OC OB OA ==；
结论：O 、H 、G 三点共线且OG OH 3=；此线称为欧拉（Euler ）线。（如何
证明？）
4. 关于内心I ，经常涉及内角平分线的研究，如|
||
|(
AC AB AI +
=λ。
如： ①已知O ，N ，P 在ABC ?所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA ?=?=?，则点O ，N ，P 依次是ABC ?的 （A ）重心 外心 垂心 （B ）重心 外心 内心
（C ）外心 重心 垂心 （D ）外心 重心 内心 ②在四边形ABCD 中，AB =DC =（1，1），113BA BC BD BA
BC
BD
+
=
，则四边
形ABCD 的面积是
③设斜ABC △的外接圆圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，
)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 。
④ O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
AB AC OP OA AB AC λ??
?=++ ???
，[)0,λ∈+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ?的（ ）
A 、外心
B 、内心
C 、重心
D 、垂心
例1、(安徽13) 在四面体O-ABC 中，,,,OA a OB b OC c D ===为BC 的中点，E 为
AD 的中点，则OE = （用a ，b ，c 表示）
解析：在四面体O －ABC 中，,,,OA a OB b OC c D ===为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =11
()22
OA AE OA AD OA AO OD +=+
=++ =11111()24244
OA OB OC a b c ++=++。 (2012·湖南)如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为
P ，且AP ＝3，则·＝________. 答案 18
例2：||2||1OA OB OC OA OB ==与和夹角分别为3045,|OC|=4OA OB 和，用和表
示OC
解法一：（解三角形）
4sin105sin 45sin 30
x y
???
== 1
612222
y
∴
==+
4x y ?=?∴?=??(232)(2622)OC OA OB ∴=-+-
解法二：（建系）A （2
，0），B
，2)C 设OC
xOA yOB =+
(2,0)2)x y
∴+=
222x y x y y ?+=??=??∴?
=??=即解法三：（内积运算）
22
(:x y OA OC xOA yOA OB OB OC xOA OB yOB
=+??=+??∴???=?+?设OC OA OB
点评向量运算双向性) 例3.△ABC 中，M 是BC 边的中点，N 在AC 上，2,:.AN NC AM PM =与BN 交于P,求AP
12121212121
1212
1,,,(),()
22
2
(),23212312223
e e AP AM AM e e AP e e BP e e e BN e e BP BN
e e e e λ
λλμλλμμλ
μλμ====+=+∴=+-=-∴=??
-+=-+ ????-=-??∴??=??解法一:设AB AC 设即24:4:1
5AP PM λ∴=∴=
1
:(()
2
3
,,24
3
124
45
AM AM AB AC AP AB AN B P N λλ
λλ
λλ==+∴=+∴
+=∴=
解法二三点共线结论)设AP 三点共线
2:()//,4:1AP AN NC
MQ CA PM MQ MQ
===解法三平面几何则
解法四：（坐标法）
例4、（江西理15）如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，
AC nAN =，则m n +的值为
2 ．
解析：由MN 的任意性可用特殊位置法：当MN 与BC 重合时知m=1，n=1，故m+n=2，填2
变式练习 ①ABC ?中H 为BC 边上任一点,M 为AH 中点,若
AH AB AC λμ=+则=+μλ
2
1 ②ABC ?中G 为重心过G 的直线交AB,AC 分别与P,Q ,若,AB mAP AC nAQ ==则m+n= 3
练习：ABC ?中，O 、H 分别为外心，垂心，
()OH m OA OB OC =++,求m =
解法一：（求值法）设ABC ?为Rt ?
0OH OA OB OC =+= 1OA mOA m ∴=∴=
法二：（几何法）作OD BC
AE BC ⊥⊥
B
A
O
N
M
//1
=2
1
2
()
1
()()
2112
AH OD
AH OD
OD OB OC AH OB OC OH OA AH OH m OA OB OC OA OB OC m OA OB OC m m λλλλ∴=?∴==+=++∴++=++=∴=设等腰OBC 中，（+）
（+）
又1
m ??∴=???
解法三：连OH 交AO 于G ，则G 为ABC ?重心
//||||21
||||2()()1
AH OD AHG DOG
AH AG OD GD AH OD OB OC OA AH m OA OB OC OA OB OC m OA OB OC m ∴??∴
==∴==++=++++=++∴=由得
例5.如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，则
x ·y
x ＋y
的值为( ) A ．3 B.13 C ．2
D.12
解析：选B (特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底面BC 的直线，易得
x ·y x ＋y ＝1
3
. 例6．(2012·吉林四平质检)若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM ＝AB ＋3AC ，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )
A.1
5 B.25C.35
D.45
解析：选 C 设AB 的中点为D ， 由5AM ＝AB ＋3AC ，
得3AM －3AC ＝2AD －2AM ，即3CM ＝2MD ，如图所示，
故C ，M ，D 三点共线，且MD ＝3
5CD ，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比
为35，则△ABM 与△ABC 的面积比为35
. 例7、（全国2理12）设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若
FC FB FA ++=0，则|FA|+|FB|+|FC|=
(A)9
(B) 6
(C) 4
(D) 3
解．设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FC FB FA ++=0，则F 为△ABC 的重心，∴ A 、B 、C 三点的横坐标的和为F 点横坐标的3倍，即等于3，
∴ |FA|+|FB|+|FC|=(1)(1)(1)6A B C x x x +++++=，选B 。
变式练习1设G 为ABC ?的重心，且 0sin 35sin 40sin 56=++GC C GB B GA A 则
?=∠60_____B
例8：△OAB 中，OM ：OA=1：3，ON ：OB=1：4，线段AN 与BM 交于点P ，设
,,,,.OA a OB b OP xa yb x y ===+求
8
11
8
()
11
38132.111141111
AN OP OA AP OA OA ON OA OB OA OB ∴????∴=∴=+=+-+=+?=+解法二：作OH//BM,交AN 延长线于H,APM AHO AP=2PH 而BPN OHN PN=3NH
AP
例9如图平面内有三个向量,OA OB ，OC 其中,OA OB 夹角为?
120，,OA OC 夹角为
?30，且1=OA ，1=OB ，32=OC ，若OB OA OC μλ+=则
4__________=+μλ。
例10如图 AB 是圆O 的直径，CD 是圆上两点，若?=∠?=∠45,60ABD CBA 且
BC y OA x CD +=则3
3_________-
=+y x
课堂练习
1已知0,31==
=OB OA OB OA 点C 在AOB ∠内，且 30=∠AOC ，设
n m +=则
=n
m
--------3— 2.如图在ABC ?中P NC 31=是BN 上一点，若m 11
2
+=则实数m=--------113
3. 在ABC ?中,过中线AD 的中点E 的任意条一条直线分别交AC AB ,于N M ,若
AC y AN AB x AM ==,，则y x +4的最小值是----- --------4
9
4．已知非零向量满足??+AC AB =0,21
=AC AB 则ABC ?是 等 边三角形。
5 。已知
ABC
是平面上不共线三点，动点
P
满足
?? ?+++=COSC AC COSB AB OP λ2，()()+∞∈,0λ，则动点的轨迹一定通
过ABC ?的————————————————外心。
6在ABC ?所在的平面内有一点P ，满足AB PC PB PA =++，则PBC ?与ABC ?的面 积之比为---------------- 3
2
第二章平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念 教学设计 一、内容和内容解析 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何和三角函数的一种工具，它有着丰富的现实背景和物理背景。向量是刻画位置的重要数学工具，在诸如卫星定位、飞船设计等领域有着广泛的应用。向量也是刻画物理量——力、位移、速度、加速度、动量、电场强度这些物理量的数学工具，它体现了数学和物理的天然联系。向量的学习有助于学生认识数学和实际生活以及物理学科的紧密联系，体会向量在刻画和解决实际问题中的作用，从中感受数学的应用价值。在教学中需要引导学生对现实原型的观察分析和比较，得出抽象的数学模型，所以本节内容是渗透“数学抽象”很好的载体。在本节中，学生将了解平面向量丰富的实际背景，理解平面向量的意义，能用向量的语言和方法表达和解决数学和物理中的一些问题。 本节课是一节概念课，在向量基本概念的形成过程中，需要将学生已有的旧知识作为新知识的固着点和生长点，在探究向量的几何表示时让学生经历以物理中学习力的图示，位移的表示，速度的表示为起点，归纳并确定向量的几何表示以及符号表示，而在探索向量间的特殊关系时，引导学生借助图形进行，这样不仅使研究有序，同时更锻炼学生的直观想象能力，有助于感受向量集数与形于一身的特性。通过类比学习数量的过程，让学生自然的获得新知识的探究方向，在基本概念的学习中，要让学生体验概念的生成过程，获得这些概念的“基本思路”即获得数学研究对象，认识数学新对象的基本方法，用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径。 二、目标和目标解析 1. 通过对平面向量概念的抽象概括，体验数学概念的形成过程，了解平面向量的实际背景； 2. 理解平面向量的意义和两个向量相等的含义； 3. 理解平面向量的几何表示和基本要素，会用有向线段表示向量，会判断零向量，单位向量，能做一个向量和已知向量相等，能根据图形判定向量是否是平
2．3．1平面向量基本定理（教学设计） [教学目标] 一、知识与能力： 1．掌握平面向量基本定理； 2．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 二、过程与方法： 体会数形结合的数学思想方法；培养学生转化问题的能力. 三、情感、态度与价值观： 培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题． 教学重点：平面向量基本定理，向量的坐标表示；平面向量坐标运算 教学难点：平面向量基本定理． 一、复习回顾： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa = 2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa . 二、师生互动，新课讲解： 思考：给定平面内任意两个向量e 1,e 2，请作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2，平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢？. 在平面内任取一点O ，作OA =e 1，OB =e 2，OC =a ，过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N . 由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM =λ1e 1，ON =λ2e 2. 由于OC OM ON =+，所以a =λ1e 1+λ2e 2，也就是说任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式. 1． 平面向量基本定理 （1）定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使得
第二章 平面向量 1.向量和差作图全攻略 两个非零向量的和差作图，对同学们是一个难点，这里对其作图方法作出细致分析，以求尽快掌握. 一、向量a 、b 共线 例1.如图，已知共线向量a 、b ，求作a ＋b . (1)a 、b 同向； (2)a 、b 反向，且|a |＞|b |； (3)a 、b 反向，且|a |＜|b |. 作法.在与a 平行的同一条直线上作出三个向量OA →＝a ，AB →＝b ，OB → ＝a ＋b ，具体作法是：当a 与b 方向相同时，a ＋b 与a 、b 的方向相同，长度为|a |＋|b |；当a 与b 方向相反时，a ＋b 与a 、b 中长度长的向量方向相同，长度为||a |－|b ||.为了直观，将三个向量中绝对值最大的向量沿与a 垂直的方向稍加平移，然后分别标上a ，b ，a ＋b .作图如下： 例2.如图，已知共线向量a 、b ，求作a －b . (1)a 、b 同向，且|a |＞|b |； (2)a 、b 同向，且|a |＜|b |； (3)a 、b 反向. 作法.在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA → ＝a －b .事实上a －b 可看作是a ＋(－ b )，按照这个理解和a ＋b 的作图方法不难作出a －b ，作图如下： 二、向量a 、b 不共线 如果向量不共线，可以应用三角形法则或平行四边形法则作图.
例3.如图，已知向量a 、b . 求作：(1)a ＋b ；(2)a －b . 作法1.(应用三角形法则) (1)一般情况下，应在两已知向量所在的位置之外任取一点O . 第一步：作OA → ＝a ，方法是将一个三角板的直角边与a 重合，再将直尺一边与三角板的另一直角边重合，最后将三角板拿开，放到一直角边过点O ，一直角边与直尺的一边重合的位置，在此基础上取|OA →|＝|a |，并使OA → 与a 同向. 第二步：同第一步方法作出AB →＝b ，一定要保证方向相同且长度相等.(此处最易错的是把AB → 作成与b 的方向相反.) 第三步：作OB →，即连接OB ，在B 处打上箭头，OB → 即为a ＋b . 作图如下： (2)第一步：在平面上a ，b 位置之外任取一点O ； 第二步：依照前面方法过O 作OA →＝a ，OB → ＝b ； 第三步：连接AB ，在A 处加上箭头，向量BA → 即为a －b . 作图如下： 点评.向量加法作图的特点是“首尾相接，首尾连”；向量减法作图的特点是“共起点，连终点，箭头指被减”. 作法2.(应用平行四边形法则) 在平面上任取一点A ，以点A 为起点作AB → ＝a ， AD → ＝b ，以AB ，AD 为邻边作?ABCD ，则AC →＝a ＋b ，DB → ＝a －b .作图如下：
第五章 平面向量 第一教时 教材：向量 目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。 过程： 一、开场白：课本P93（略） 实例：老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去， 问：猫能否追到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。 二、 提出课题：平面向量 1．意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量 等 注意：1?数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大 小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 2?从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学 体系，用以研究空间性质。 2． 向量的表示方法： 1?几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫） 2?字母表示法：可表示为（印刷时用黑体字） P95 例 用1cm 表示5n mail （海里） 3． 模的概念：向量 记作：|| 模是可以比较大小的 4． 两个特殊的向量： 1?零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。 注意与0的区别 2?单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？ 答：不是。因为零上零下也只是大小之分。 例：与是否同一向量？ A B A(起点) B （终点） a
答：不是同一向量。 例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。 三、 向量间的关系： 1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 记作：∥∥ 规定：与任一向量平行 2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：= 规定：= 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。 = = = 例：（P95）略 变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个） 变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在） 变式三：与向量共线的向量有哪些？（,,） 四、 小结： 五、 作业：P96 练习 习题5.1 第二教时 教材：向量的加法 目的：要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作 几个向量的和向量。能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向 量计算。 过程： 六、复习：向量的定义以及有关概念 强调：1?向量是既有大小又有方向的量。长度相等、方向相同的向量相等。 2?正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何 向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。 七、 提出课题：向量是否能进行运算？ 5．某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：=+ a b c A B C
2.1平面向量的实际背景及基本概念 【学习目标！1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区 别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念. ET问题导学-------------------------- 知识点一向量的概念 思考i在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？答案面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向 思考2两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？ 答案数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小 梳理向量与数量 （1）向量：既有大小，又有方向的量叫做向量 （2）数量：只有大小，没有方向的量称为数量. 知识点二向量的表示方法 思考1向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？ 答案可以用一条有向线段表示. 思考2 0的模长是多少？ 0有方向吗？ 答案 0的模长为0,方向任意. 思考3单位向量的模长是多少？ 答案单位向量的模长为1个单位长度. 梳理（1）向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示.带有方向的线段叫做有向线段, 它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示. 以A为起点、B为终点的有向线段记作X B ⑵向量的字母表示：向量可以用字母a, b , c，…表示（印刷用黑体a, b, c,书写时用 b , c). ⑶向量AB勺大小，也就是向量AB勺长度（或称模），即有向线段AB勺长度，记作|AB.长度为 0的向量叫做零向量，记作 0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量 . 知识点三相等向量与共线向量
2. 3.1 平面向量基本定理 教学目标： （1）了解平面向量基本定理； （2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量 解决实际问题的重要思想方法； （3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 教学过程： 一、 复习引入： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa = 2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa . 二、讲解新课： 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ 2使 a =λ11e +λ22e . 探究： (1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被 a ，1e ，2e 唯一确定的数量 三、讲解范例：
例1 已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e . 例2 如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且=a ， =b ，用a ，b 表示，，和 例3已知 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：+++=4 例4（1）如图，，不共线，=t (t ∈R)用，表示. （2）设OA 、OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且 (1)()OP t OA tOB t R =-+∈.求证：A 、B 、P 三点共线. 例5 已知 a =2e 1-3e 2，b = 2e 1+3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c =2e 1-9e 2，问是否存在这样的实数,d a b λμλμ=+、使与c 共线. 四、课堂练习：见教材 五、小结（略） 六、课后作业（略）： 七、板书设计（略） 八、教学反思
第二章平面向量章末小结 【本章知识体系】 - 1 -
2 【题型归纳】 专题一、平面向量的概念及运算 包含向量的有关概念、加法、减法、数乘。向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算。利用向量证明三点共线时，应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线． 1、1.AB →＋AC →－BC →＋BA →化简后等于( ) A ．3A B → B.AB → C.BA → D.CA → 2、在平行四边形ABCD 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，则下列运算正确的是( ) A ．a ＋b ＋c ＋d ＝0 B ．a －b ＋c －d ＝0 C ．a ＋b －c －d ＝0 D ．a －b －c ＋d ＝0 3、已知圆O 的半径为3，直径AB 上一点D 使AB →＝3AD →，E 、F 为另一直径的两个端点， 则DE →·DF →＝( ) A ．－3 B ．－4 C ．－8 D ．－6 4、如图，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则在以a ， b 为基底时，AC →可表示为________，在以a ， c 为基底时，AC →可表示为 ________． 5、下列说法正确的是( ) A ．两个单位向量的数量积为1 B ．若a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，则b ＝c C ．AB →＝OA →－OB → D ．若b⊥c ，则(a ＋c )·b ＝a ·b 专题二、平面向量的坐标表示及坐标运算 向量的坐标表示及运算强化了向量的代数意义。若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标，解题过程中，常利用向量相等，则其坐标相同这一原则。 6、已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 7、设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则d ＝( ) A ．(2,6) B ．(－2,6) C ．(2，－6) D ．(－2，－6) 8、已知a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，c 满足a ·c ＝0，且|a |＝|c |，b ·c >0，则c ＝________. 专题三、平面向量的基本定理 平面向量的基本定理解决了所有向量之间的相互关系，为我们研究向量提供了依据。 9、已知AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，设AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →等于( ) A.43a ＋23b B.23a ＋43 b C.23a －43b D ．－23a ＋43 b
2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 第25讲 平面向量的概念及运算 一．课标要求： （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示； （2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 二．命题走向 本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。 预测2013年高考： （1）题型可能为1道选择题或1道填空题； （2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。 三．要点精讲 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点 的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜ ＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量）
第二章 平面向量 1 向量和差作图全攻略 两个非零向量的和差作图，对同学们是一个难点，这里对其作图方法作出细致分析，以求尽快掌握. 一、向量a 、b 共线 例1 如图，已知共线向量a 、b ，求作a ＋b . (1)a 、b 同向； (2)a 、b 反向，且|a |＞|b |； (3)a 、b 反向，且|a |＜|b |. 作法 在与a 平行的同一条直线上作出三个向量OA →＝a ，AB →＝b ，OB → ＝a ＋b ，具体作法是：当 a 与 b 方向相同时，a ＋b 与a 、b 的方向相同，长度为|a |＋|b |；当a 与b 方向相反时，a ＋b 与a 、b 中长度长的向量方向相同，长度为||a |－|b ||.为了直观，将三个向量中绝对值最 大的向量沿与a 垂直的方向稍加平移，然后分别标上a ，b ，a ＋b .作图如下： 例2 如图，已知共线向量a 、b ，求作a －b . (1)a 、b 同向，且|a |＞|b |； (2)a 、b 同向，且|a |＜|b |； (3)a 、b 反向. 作法 在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA → ＝a －b .事实上a －b 可看作是a ＋(－ b )，按照这个理解和a ＋b 的作图方法不难作出a －b ，作图如下： 二、向量a 、b 不共线 如果向量不共线，可以应用三角形法则或平行四边形法则作图.
例3 如图，已知向量a 、b . 求作：(1)a ＋b ；(2)a －b . 作法1 (应用三角形法则) (1)一般情况下，应在两已知向量所在的位置之外任取一点O . 第一步：作OA → ＝a ，方法是将一个三角板的直角边与a 重合，再将直尺一边与三角板的另一直角边重合，最后将三角板拿开，放到一直角边过点O ，一直角边与直尺的一边重合的位置，在此基础上取|OA →|＝|a |，并使OA → 与a 同向. 第二步：同第一步方法作出AB →＝b ，一定要保证方向相同且长度相等.(此处最易错的是把AB → 作成与b 的方向相反.) 第三步：作OB →，即连接OB ，在B 处打上箭头，OB → 即为a ＋b . 作图如下： (2)第一步：在平面上a ，b 位置之外任取一点O ； 第二步：依照前面方法过O 作OA →＝a ，OB → ＝b ； 第三步：连接AB ，在A 处加上箭头，向量BA → 即为a －b . 作图如下： 点评 向量加法作图的特点是“首尾相接，首尾连”；向量减法作图的特点是“共起点，连终点，箭头指被减”. 作法2 (应用平行四边形法则) 在平面上任取一点A ，以点A 为起点作AB → ＝a ， AD → ＝b ，以AB ，AD 为邻边作?ABCD ，则AC →＝a ＋b ，DB → ＝a －b .作图如下：
平面向量的概念 【教学目标】 知识目标： （1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念； （2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念． 能力目标： 通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力． 【教学重点】 向量的线性运算． 【教学难点】 已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件． 【教学设计】 从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念． 向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a ＞b ”没有意义，而“︱a ︱＞︱b ︱”才是有意义的. 教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则. 向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a -b =a +(-b )，它可以通过几何作图的方法得到，即a -b 可表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点. 实数λ乘以非零向量a ，是数乘运算，其结果记作λa ，它是一个向量，其方向与向量a 相同，其模为a 的λ倍．由此得到λ?=a b a b ∥．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a 、b ”与“0λ≠ ”等条件. 【教学过程】 【新知识】 在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等． 平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A 为起点，B 为终点的向量记作AB ．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a ；手写时应在字母上面加箭头，记作a ． 图7－2 a A B
必修4第二章 平面向量 2．1．1 向量的概念与几何表示 【内容分析】 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，它也是解决一些数学问题的工具.向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。向量与代数、三角、几何均有密切的联系与交汇，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，在数学和物理学科中具有广泛的应用和极其重要的地位，也是高考的必考点. 【学习目标】 1.通过物理学中力的分析等实例，知道向量的实际背景，能能举例说明向量的概念； 2.会用几何法表示向量，掌握向量的模，能举例说出零向量、单位向量、平行向量概念的含义； 3.通过对向量的学习，使同学们初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别，掌握对向量与数量的识别能力，培养同学们认识客观事物与数学本质的能力. 【学习重点】理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、平行向量的概念，会用几何法表示向量. 【难点提示】平面向量概念的理解以及平行向量、相等向量的区别和联系. 【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材7479P 结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备； 2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达. 【学习过程】 一、学习准备 1.请同学们回顾一下，从小学到现在你们学过或知道哪些度量单位、度量方法？ 2.我们见过的线段的长度、物体的重量、水的温度、任意角的弧度等有哪些特点？ 3.思考：如图2.1.1-1，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东 追去，请问猫能否追到老鼠吗？为什么？ 4.生活中还存在着与长度、温度不同特征的“量”吗？ 图2.1.1-2中的AB 属于什么“两”呢？这就是本节课要研 究的问题！ 二、学习探究 1.向量的物理背景与概念 阅读探究 请同学们结合“学习准备”的问题，仔细阅读课 本P72-74页，可知在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一 些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等. 还有一些量，如我们在物理中所学习的位移、弹力、速度以及上面 图2.1.1-2的AB 等量，它们有怎样的特点呢？ A B C D 图2.1.1-1
2．3.1平面向量基本定理 1.平面向量基本定理 2．向量的夹角
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面向量的一组基底e 1，e 2一定都是非零向量．( ) (2)在平面向量基本定理中，若a ＝0，则λ1＝λ2＝0.( ) (3)在平面向量基本定理中，若a ∥e 1，则λ2＝0；若a ∥e 2，则λ1 ＝0.( ) (4)表示同一平面内所有向量的基底是唯一的．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× 2．做一做 (1)设e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是( ) A ．e 1，e 2 B ．e 1＋e 2,3e 1＋3e 2 C ．e 1,5e 2 D ．e 1，e 1＋e 2 答案 B 解析 ∵3e 1＋3e 2＝3(e 1＋e 2)， ∴两个向量共线，不能作为基底． (2)(教材改编P 94向量夹角的定义)在锐角三角形ABC 中，关于向量夹角的说法正确的是( ) A.AB →与BC → 的夹角是锐角 B.AC →与AB → 的夹角是锐角 C.AC →与BC → 的夹角是钝角 D.AC →与CB → 的夹角是锐角 答案 B 解析 AB →与BC →的夹角是钝角，AC →与AB →的夹角是锐角，AC →与BC →
的夹角是锐角，AC →与CB → 的夹角是钝角．故选B. (3)若向量a ，b 的夹角为30°，则向量－a ，－b 的夹角为( ) A ．60° B ．30° C ．120° D ．150° 答案 B 解析 将向量移至共同起点，则由对顶角相等可得向量－a ，－b 的夹角也是30°. (4)在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，则向量AB →，BC → 的夹角为________． 答案 135° 解析 将向量移至共同起点，由向量的夹角的定义知AB →，BC → 夹角为135°. 探究1 正确理解基底的概念 例1 设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB → ，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．③④ 解析 ①AD →与AB →不共线；②DA →＝－BC →，则DA →与BC →共线；③CA → 与DC →不共线；④OD →＝－OB →，则OD →与OB → 共线． 由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．
§ 平面向量的实际背景及基本概念 1、数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：； ④向量的大小――长度称为向量的模，记作||. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别： （1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段．．．．． 的起点无关．．．．． . 7、共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．． . 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. A(起点) B （终点） a
6．1 平面向量的概念 问题导学 预习教材P2－P4的内容，思考以下问题： 1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？ 2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？ 3．两个向量(向量的模)能否比较大小？ 4．如何判断相等向量或共线向量？向量AB →与向量BA → 是相等向量吗？ 1．向量的概念及表示 (1)概念：既有大小又有方向的量． (2)有向线段 ①定义：具有方向的线段． ②三个要素：起点、方向、长度． ③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →． ④长度：线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB → |. (3)向量的表示 ■名师点拨 (1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素．
(2)用有向线段表示向量时，要注意AB → 的方向是由点A 指向点B ，点A 是向量的起点，点 B 是向量的终点． 2．向量的有关概念 (1)向量的模(长度)：向量AB →的大小，称为向量AB →的长度(或称模)，记作|AB → |． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系 (1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a ，b 是平行向量，记作a ∥b . 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a ． (2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a ，b 是相等向量，记作a ＝b . ■名师点拨 (1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量，长度大的向量较大．( ) (2)如果两个向量共线，那么其方向相同．( ) (3)向量的模是一个正实数．( ) (4)向量就是有向线段．( ) (5)向量AB →与向量BA → 是相等向量．( ) (6)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( ) (7)零向量是最小的向量．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× (7)× 已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( ) A ．也可以用MN → 表示 B ．方向是由M 指向N C ．起点是M D ．终点是M 答案：D 已知点O 固定，且|OA → |＝2，则A 点构成的图形是( ) A ．一个点 B ．一条直线
§2.3.1平面向量基本定理 高一（ ）班 姓名： 上课时间： 【目标与导入】 1、学习平面向量基本定理及其应用； 2、学会在具体问题中适当选取基底，使其他向量能够用基底来表达。 【预习与检测】 1、点C 在线段AB 上，且35 AC AB --→ --→ = ，AC BC λ--→--→=,则λ等于（ ） A 、23 B 、32 C 、-23 D 、-32 2、设两非零向量12,e e →→不共线，且12k e e →→+与12e k e →→ +共线，则k 的值为（ ）。 .1.1.1.0A B C D -± 3、已知向量12,e e → → ，作出向量1223OA e e → → =+与 122(3)OB e e → →=+-。 两个向量相加与物理学中的两个力合成相似，如果与力的分解类比，上述所作的OA 分解成两个向量：在1e → 方向上的____与在2e → 方向上的______，OB 则分解成_____与_____。 4、阅读课本P93—94，了解平面向量基本定理：如果 12 ,e e →→ 是同一平面内的两个_______ 向量，那么对于这一平面内的______向量a → ，有且只有一对实数12,λλ， 使_____________， 其中不共线的向量 12 ,e e → →叫做表示这一平面内所有向量的一组__________。 5、已知两个非零向量,a b →→，作,O A a O B b →→→→==，则()0180A O B θθ∠=?≤≤?叫做向量a → 与 b → 的__________，若0θ=?,则a →与b →_______；若180θ=?,则a →与b → __________；若 90θ=?,则a → 与b → _______，记作______。 【精讲与点拨】 如图所示，在平等四边形ABCD 中，AH=HD ，MC= 1 4 BC ，设,AB a AD b →→→→==，以,a b →→ 为基底表示,,AM MH MD →→ 。 C 2 e → 1 e → A B
2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》导学案 【学习目标】 1．了解平面向量基本定理； 2．理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法； 3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 【导入新课】 复习引入： 1． 实数与向量的积 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa .（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时，λa 与a 方向相同；λ<0时，λa 与a 方向相反；λ=0时，λa =0. 2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λ b . 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa . 新授课阶段 一、平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e . 探究： (1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量. 二、平面向量的坐标表示 如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为
基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得 yj xi a += (1) 1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作 ),(y x a = (2) 2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x . 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=. 如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 三、平面向量的坐标运算 （1）若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=， b a -),(2121y y x x --=.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=，即 b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=. （2）若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=. 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. AB =OB -OA =( x 2，y 2) -(x 1，y 1)= (x 2- x 1，y 2- y 1). （3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即 ),(y x a λλλ=.
教学设计 向量的加法 一、高考统览 平面向量在高考中的考查内容主要集中在三个方面：一是向量的基本概念，二是向量的坐标运算，三是向量的数量积，其中向量的数量积及其应用是考查的重点。从试题形式上看，该部分主要以选择题、填空题的形式出现。另外，平面向量具有几何与代数形式的双重性，是中学数学知识网络的重要交汇点，它与三角函数、解析几何、平面几何都能够整合在一起，在高考中以解答题为主，要予以高度重视。 二、教学目标 1．知识与技能 掌握向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；掌握向量加法的运算律，并会用它们实行向量计算。 使学生经历向量加法法则的探究和应用过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移水平，增强学生的数学应用意识和创新意识。 3．情感态度与价值观 注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心。 三、教学重点、难点 1、重点：向量加法的两个法则及其应用； 2、难点：对向量加法定义的理解。 突破难点的关键是抓住实例，借助多媒体动画演示，持续渗透数形结合的思想，使学生从感性理解升华到理性理解。 教学方法 结合学生实际，主要采用“问题探究”式教学方法。通过创设问题情境，使学生对向量加法有一定的感性理解；通过设置一条问题链，引导学生在自主学习与合作交流中经历知识的形成过程；通过层层深入的例题与习题的配置，引导学生积极思考，灵活掌握知识，使学生从“懂”到“会”到“悟”，提升思维品质，
力求把传授知识与培养水平融为一体。 采用计算机辅助教学，通过直观演示体现形、动、思于一体的教学效果，优化课堂结构，提升教学质量。 四、教学过程
篇一：平面向量概念教案 平面向量概念教案 一．课题：平面向量概念 二、教学目标 1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。 2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。 3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣 三．教学类型：新知课 四、教学重点、难点 1、重点：向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念。 2、难点：向量的概念及对平行向量的理解。 五、教学过程 （一）、问题引入 1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？ 2、在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？ 3、在物理中，像这种既有大小、又有方向的量叫做矢量。 在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，没有方向的量叫数量。 （二）讲授新课 1、向量的概念 练习1 对于下列各量： ①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功⑨体积⑩温度 其中，是向量的有：②③④⑤ 2、向量的几何表示 请表示一个竖直向下、大小为5n的力，和一个水平向左、大小为8n的力（1厘米表示1n）。思考一下物理学科中是如何表示力这一向量的？ （1）有向线段及有向线段的三要素 （2）向量的模 （4）零向量，记作＿＿＿＿； （5）单位向量 练习2 边长为6的等边△abc中，＝＿＿，与相等的还有哪些？ 总结向量的表示方法： 1）、用有向线段表示。 2）、用字母表示。 3、相等向量与共线向量 （1）相等向量的定义 （2）共线向量的定义 六．教具：黑板 七．作业 八．教学后记 篇二：平面向量的实际背景及基本概念教学设计 平面向量的实际背景及基本概念教学设计