2.1平面向量的实际背景及基本概念
【学习目标!1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量,掌握向量与数量的区
别.2.会用有向线段作向量的几何表示,了解有向线段与向量的联系与区别,会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念,会辨识图形中这些相关的概念.
ET问题导学--------------------------
知识点一向量的概念
思考i在日常生活中有很多量,如面积、质量、速度、位移等,这些量有什么区别?答案面积、质量只有大小,没有方向;而速度和位移既有大小又有方向
思考2两个数量可以比较大小,那么两个向量能比较大小吗?
答案数量之间可以比较大小,而两个向量不能比较大小
梳理向量与数量
(1)向量:既有大小,又有方向的量叫做向量
(2)数量:只有大小,没有方向的量称为数量.
知识点二向量的表示方法
思考1向量既有大小又有方向,那么如何形象、直观地表示出来?
答案可以用一条有向线段表示.
思考2 0的模长是多少? 0有方向吗?
答案 0的模长为0,方向任意.
思考3单位向量的模长是多少?
答案单位向量的模长为1个单位长度.
梳理(1)向量的几何表示:向量可以用一条有向线段表示.带有方向的线段叫做有向线段,
它包含三个要素:起点、方向、长度,如图所示.
以A为起点、B为终点的有向线段记作X B
⑵向量的字母表示:向量可以用字母a, b , c,…表示(印刷用黑体a, b, c,书写时用
b , c).
⑶向量AB勺大小,也就是向量AB勺长度(或称模),即有向线段AB勺长度,记作|AB.长度为
0的向量叫做零向量,记作 0;长度等于1个单位的向量,叫做单位向量 .
知识点三相等向量与共线向量
思考1已知A B为平面上不同两点,那么向量AB和向量BAf等吗?它们共线吗?
答案因为向量昭和向量BA方向不同,所以二者不相等?又表示它们的有向线段在同一直线
上,所以两向量共线.
思考2向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗?
答案不相同,由相等向量定义可知,向量可以任意移动?由于任意一组平行向量都可以移
动到同一直线上,所以平行向量也叫做共线向量?因此共线向量所在的直线可以平行,也可
以重合?
思考3若a// b, b// c,那么一定有a// c吗?
答案不一定?因为当b= 0时,a, c可以是任意向量?
梳理⑴相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
⑵平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量
①记法:向量a平行于b,记作a//b.
②规定:零向量与任一向量平行?
(3)共线向量:由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上,所以平行向量也叫做共线向量?也就是说,平行向量与共线向量是等价的,因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆?
类型一向量的概念
例i下列说法正确的是( )
A.向量AB与向量BA勺长度相等
B.两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同
C.零向量没有方向
D.任意两个单位向量都相等
答案 A
解析两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的方向不一定相同,终点也不一定相同;零向量的方向不确定,并不是没有方向;任意两个单位向量只有长度相等,方向不一定相同,故B, C, D都错误,A正确?故选A.
反思与感悟解决向量概念问题一定要紧扣定义,对单位向量与零向量要特别注意方向问
题?
跟踪训练1下列说法正确的有?
(1)若| a| = | b|,则a= b或a=—b;⑵ 向量AB^CD是共线向量,贝U A B C D四点必在同一条直线上;
⑶向量ABW BA 是平行向量. 答案⑶
解析(1)错误.| a | = | b |仅说明a 与b 的模相等,不能说明它们方向的关系 .
(2)
错误.共线向量即平行向量,只要方向相同或相反,并不要求两个向量 AB &必须在同一
直线上,因此点 A B 、G D 不一定在同一条直线上?
⑶ 正确?向量AB 和BA 是长度相等,方向相反的两个向量 ?
类型二共线向量与相等向量
例2如图所示,△ ABG 勺三边均不相等,E 、F 、D 分别是AG AB BC 的中点?
(1)写出与EF 共线的向量;
⑵ 写出与EF 的模大小相等的向量;
(3)
写出与EF 相等的向量?
解⑴因为E F 分别是AC AB 的中点, 1
所以EF 綊j BC 又因为D 是BC 的中点,
所以与 吝共线的向量有F^E BD DB D C CD , B C , C B
⑵ 与&模相等的向量有F E, E3D, DB D C , C D ⑶ 与EF 相等的向量有C D
反思与感悟
(i)非零向量共线是指向量的方向相同或相反
相等的向量一定共线?
跟踪训练2 如图所示,O 是正六边形 ABCDE 的中心?
(1)
与0A 勺模相等的向量有多少个?
(2)是否存在与OA 长度相等、方向相反的向量?若存在,有几个?
⑶与0A 共线的向量有哪些
?
? (2)共线的向量不一定相等,但
解(1)与0A勺模相等的线段是六条边和六条半径(如OB,而每一条线段可以有两个向量,
所以这样的向量共有 23个.
⑵ 存在.由正六边形的性质可知,BC// AO/ EF,所以与OA勺长度相等、方向相反的向量有
X Q 5D F E BC 共 4 个.
⑶ 由⑵ 知,BC/ OA/ EF,线段OD AD与0A在同一条直线上,所以与OA共线的向量有EBC
CB X,FE, AO O D DO A D DA 共 9 个.
类型三向量的表示及应用
例3 一辆汽车从A点出发向西行驶了 100 km到达B点,然后又改变方向,向西偏北50°的方向走了 200 km到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100 km到达D点.
(1)作出向量X B B C CD
⑵求|AD.
解⑴向量屁BC CD如图所示.
⑵ 由题意,易知A B W CD方向相反,故A B W A[共线,
???I X B = |CD,
???在四边形ABCD^ , AB綊CD
???四边形ABC曲平行四边形,
? AD= BC, ?I AD = | BC = 200 km.
反思与感悟准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.
跟踪训练3在如图的方格纸上,已知向量 a ,每个小正方形的边长为 1.
(1)试以B为终点画一个向量b,使b= a;
(2)在图中画一个以A为起点的向量c ,使|c|=[ 5 ,并说出向量c的终点的轨迹是什么?
解(1)根据相等向量的定义,所作向量与向量
a 平行,且长度相等(作图略).
⑵ 由平面几何知识可知所有这样的向量 c 的终点的轨迹是以 A 为圆心,半径为:5的圆(作图
1. 下列结论正确的个数是( ) ①温度含零上和零下温度,所以温度是
向量;
②向量的模是一个正实数;
③ 向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量; ④ 若 |a |>| b |,则 a >b . A. 0 B.1 C.2 D.3 答案 B
解析 ①温度没有方向,所以不是向量,故①错;②向量的模也可以为
0,故②错;④向量
不可以比较大小,故④错;③若 a , b 中有一个为零向量,则 a 与b 必共线,故a 与b 不共 线,则应均为非零向量,故③对 ? 2.
下列说法错误的是( )
A. 若 a = 0,则 | a | = 0
B. 零向量是没有方向的
C. 零向量与任一向量平行
D. 零向量的方向是任意的 答案 B
解析 零向量的长度为 0,方向是任意的,它与任何向量都平行,所以 B 是错误的?
3. 如图所示,梯形 ABCD 为等腰梯形,则两腰上的向量 ABW DC 勺关系是(
A .A
B = D
C C .A B >
D C
答案 B 解析| AB 与|DC 表示等腰梯形两腰的长度,故相等 .
4. 如图所示,以1X2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中
⑴写出与XF> AE 相等的向量;
当堂训练
B.| AB = |D Q D.AB^D
C
(2)写出与忌莫相等的向量.
-> -> -> -> -> -> -> ->
解⑴ AF= BE= CD, AE= BD(2) DA CF, FC
厂规律与方法----- -------------------------------- ■]
1.向量是既有大小又有方向的量,从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征,因此借助于向量,我们可以将某些代数问题转化为几何问题,又将几何问题转化为代数问题,故向量能起到数形结合的桥梁作用?
2.共线向量与平行向量是一组等价的概念?两个共线向量不一定要在一条直线上?当然,同一直线上的向量也是平行向量.
3.注意两个特殊向量一一零向量和单位向量,零向量与任何向量都平行,单位向量有无穷多个,起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆
课时作业
一、选择题
1.下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程?其中是向量的有( )
A.2个
B.3 个
C.4个
D.5个
答案 C
解析②③④⑤是向量?
2.下列说法中正确的个数是( )
①任一向量与它的相反向量不相等;②一个向量方向不确定当且仅当模为0;③共线的向量,若起点不同,则终点一定不同;④单位向量的模都相等
A.0
B.1
C.2
D.3
答案 C
3.下列说法正确的是( )
A.若a// b,贝U a与b的方向相同或相反
B.若a / b, b / c,贝U a / c
C.若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等
D.若a= b, b = c,贝U a = c
答案 D
4.如图,在四边形ABC即,若云B= DC则图中相等的向量是( )
A.疋与CB
C .X C 与 B D
D.°与 OC
答案 D
解析 ?/ °B=O
C ???四边形 ABC
D 是平行四边形,??? AC BD 互相平分,??? °O= OC 5.
如图,在菱形 ABCC 中,/ BA* 120° 则以下说法错误的是
( )
A.与AB 相等的向量只有一个(不含AB B ?与AB 勺模相等的向量有 9个(不含AB C.BD 勺模恰为[°勺勺模的:3倍
D .C BI DA 不共线
答案 D
解析 由于AB = D C ,因此与AB 相等的向量只有 D C ,而与AB 的模相等的向量有 D A De Ac , °B °D
°D C A BC , B A 因此选项
B 正确.而 Rt △ AOD 中, ???/
ADO= 30°,A| D O =¥
I DA ,故|DB = _.''3| DA ,因此选项 C 正确.由于CB = DA 因此cB 如图所示,四边形 ABCD CEFG CGHD 是全等的菱形,则下列结论中不一定成 立的是 ( ) A.| = | E F B .A BI °共线 C.B [与 EH 共线 D .°= F G 答案 C 7. 以下命题:①| a |与| b |是否相等与a , b 的方向无关;②两个具有公共终点的向量,一定 是共线向量;③两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;④单位向量都是共线向量 其中,正 B. OB OD 确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C 解析②④错误? 二、填空题 8.在四边形ABCDh若AB= BC a |A B = | A[D,则四边形的形状为. 答案菱形 解析?/ XB=D C ??? AB綊DC ???四边形ABC[是平行四边形, ???|A B = I AD,?四边形ABCD是菱形. 9.给出以下5个条件: ①a = b;②| a| = | b| :③a与b的方向相反;④| a| = 0或| b| = 0:⑤a与b都是单位向量其 中能使a // b成立的是.( 填序号) 答案①③④ 解析相等向量一定是共线向量,故①能使 a / b;方向相同或相反的向量一定是共线向 量,故③能使a / b;零向量与任一向量平行,故④成立 10.如图,若四边形ABCC为正方形,△ BCE为等腰直角三角形,则: \ A (1)____________________________ 图中与AB共线的向量有; ⑵图中与AB相等的向量有__________ ; (3)________________________________ 图中与AB勺模相等的向量有; ⑷图中与ECW等的向量有. 答案⑴ 6C E3E, B A CD EB, A E E A ⑵ D C E3E ⑶ A A BE E B, DC C D X D DA BC CB ⑷BD 三、解答题 11.一辆消防车从A地去B地执行任务,先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地,然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地,从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才 到达B地? rt (1) 画出X D 5C , CB X B (2) 求B 地相对于A 地的位置向量 解 ⑴向量死 DC CB AB 如图所示? ⑵由题意知AD = B e ??? AD 綊BC 则四边形ABCD^平行四边形, ??? AB= DC 贝U B 地相对于A 地的位置向量为“北偏东 60°,长度为6千米” 12.如图,已知A A = B B = C C .求证: c n 1 (2) X B = — , AC=— 厂& 证明(1)??? A X = B A , ??I A X | = | B E? |,且点 // B 目. 又???点 A 不在B E?上,? AA // BB , ?四边形AA B' B 是平行四边形, ? I X B = | A ' ~B ' |. 同理 |AC = 1 &A | , I BC = 1 — &—A |. ? △ ABC2A A ' B ' C'. ⑵?/四边形 AA B ' B 是平行四边形, ? AB// ———A ,且 | AB = | ———A |, ??? AB= ——— .同理可证 AC= A —— . 13.如图的方格纸由若干个边长为 1的小正方形并在一起组成,方格纸中有两个定点 A, B 点 C 为小正方形的顶点,且|AC = '5. (1)画出所有的向量 (2)求|B C|的最大值与最小值. 解(1)画出所有的向量A C如图所示 (2)由(1)所画的图知, ①当点C位于点C或C2时, | B C取得最小值,:12+ 22= :5; ②当点C位于点G或C6时, | B C取得最大值,:42+ 52= 41. 所以| BC的最大值为,41,最小值为.''5. 四、探究与拓展 14.设a o,b o是两个单位向量,则下列结论中正确的是 ①a o= b o;②a o=—b o;③| a o| + | b o| = 2;④a。// b o. 答案③ 15.如图,D, E F分别是正三角形ABC各边的中点 (1)写出图中所示向量与向量D E长度相等的向量; ⑵写出图中所示向量与向量FD相等的向量; (3)分别写出图中所示向量与向量DE FD共线的向量解⑴与6味度相等的向量是EF, FD, AF, FC, BD, 5A S E ⑵ 与FD相等的向量是C E EB (3)与免共线的向量是AC AF, FC;与Pt共线的向量是CE A B CB 第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线 段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值. 平面向量测试题 一、选择题: 1。已知ABCD 为矩形,E 是DC 的中点,且?→?AB =→a ,?→?AD =→b ,则?→ ?BE =( ) (A ) →b +→a 2 1 (B ) →b -→a 2 1 (C ) →a +→b 2 1 (D ) →a -→ b 2 1 2.已知B 是线段AC 的中点,则下列各式正确的是( ) (A ) ?→?AB =-?→?BC (B ) ?→?AC =?→?BC 2 1 (C ) ?→?BA =?→?BC (D ) ?→?BC =?→ ?AC 2 1 3.已知ABCDEF 是正六边形,且?→?AB =→a ,?→?AE =→b ,则?→ ?BC =( ) (A ) )(2 1→→-b a (B ) )(2 1 →→-a b (C ) →a +→b 2 1 (D ) )(2 1→ →+b a 4.设→a ,→b 为不共线向量,?→?AB =→a +2→b ,?→?BC =-4→a -→b ,?→ ?CD = -5→ a -3→ b ,则下列关系式中正确的是 ( ) (A )?→?AD =?→?BC (B )?→?AD =2?→ ?BC (C )?→?AD =-?→ ?BC (D )?→?AD =-2?→ ?BC 5.将图形F 按→ a =(h,k )(其中h>0,k>0)平移,就是将图形F ( ) (A ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (B ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (C ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 (D ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6.已知→a =()1,2 1,→ b =(), 2 22 3- ,下列各式正确的是( ) (A ) 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a (B ) →a ·→b =1 (C ) →a =→b (D ) →a 与→b 平行 7.设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量,且k → 1e +→ 2e 与→ 1e +k → 2e 共线,则k 的值是( ) (A ) 1 (B ) -1 (C ) 1± (D ) 任意不为零的实数 8.在四边形ABCD 中,?→?AB =?→?DC ,且?→?AC ·?→ ?BD =0,则四边形ABCD 是( ) (A ) 矩形 (B ) 菱形 (C ) 直角梯形 (D ) 等腰梯形 9.已知M (-2,7)、N (10,-2),点P 是线段MN 上的点,且?→ ?PN =-2?→ ?PM ,则P 点的坐标为( ) (A ) (-14,16)(B ) (22,-11)(C ) (6,1) (D ) (2,4) 高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法 平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。2021年高中数学-平面向量专题
高中数学平面向量测试题及答案[001]
高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳
高中数学平面向量公式(精选课件)