例谈分式方程的增根与无解
分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此．
分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：
例1 解方程2
344222+=---x x x x ．
例2 解方程
22321++-=+-x x x x ．
例3若方程32x x --=2m x
-无解，则m=——————． 例4当a 为何值时，关于x 的方程223242
ax x x x +=--+①会产生增根？ 若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：
当a 为何值时，关于x 的方程223242
ax x x x +=--+①无解？
练习题： 24. b a a b a b --- 25. 3
24332⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x y y x
26. ()1
302341200431-⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+-⎪⎭⎫ ⎝⎛- 27. ()()222234a a a a -÷-
28. )1(1a a a a -÷- 29. )(22a b b a a
ab a -÷-
30. 先化简,再求值:13)181(++÷+-
-x x x x 其中32=x
解下列方程:
31．x
x x 1512=-+ 32. 22416222-+=--+-x x x x x
用心想一想，解决生活中的实际问题
33. 甲商品每件价格比乙商品贵6元，用90元买得甲商品的件数与用60元买得乙商品的件数相等，求甲、乙两种商品每件价格各是多少元？
分式方程的增根与无解 分式方程的增根： 在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母为0（使整式方程成立，而在分式方程中分母为0），那么这个解叫做原分式方程的增根。 【引例】：解方程2 13222x x x x -=-- 解：去分母，方程两边乘以(2)x x -， 得232x x --=- 解得0x = 检验，当0x =时(2)0x x -= 则0x =为原方程的增根 所以原方程无解. 说明：无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等。 如上题中，不论x 取何值，都不能使原方程两边的值相等，因此原方程无解。 又如对于方程20x =，不论x 取何值也不能使它成立，因此，这个方程也无解。 思考：是不是产生了增根的分式方程就是无解的，而无解的分式方程就一定会产生增根呢？ 比如：方程 22211x x x x x x +-=++，去分母后化为(3)(1)0x x -+=，解得3x =或1x =-，此时，1x =-是原方程的增根，但原方程并不是无解，而是有一个解3x =； 又比如分式方程21122x x =--，如果等式两边乘以最简公分母2(1)x -，去分母后的 整式方程无解，原分式方程无解。此时没有产生增根。而如果交叉相乘相等（即等式两边乘以2 2(1)x -）得到的整式方程的解为1x =，1x =为分式方程的增根。原分式方程无解。 因此分式方程增根的产生与分式方程转化为整式方程的过程有关。在分式方程转化为整式方程的过程中，去分母的方式不一样，得到增根的结果可能不一样。 再比如引例中，如果分式两边乘以公分母2(2)x x -， 得到整式方程为2(2)3(2)2(2)x x x x x ---=-，解得2x =，检验，当2x =时，原分式方程无意义，则2x =为原方程的增根。所以原方程无解。 所以，产生了增根的分式方程不一定无解，而无解的分式方程不一定会产生增根呢。
分式方程的增根与无解的区别 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下： 例1 解方程2 344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．② 解这个方程，得x=2． 经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根． 所以原方程无解． 【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x ＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解． 例2 解方程22321++-=+-x x x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）． 整理得0x ＝8． 因为此方程无解，所以原分式方程无解．
【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根． 例3（2007湖北荆门）若方程 32x x --=2m x -无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ． 解这个方程，得x=3－m ． 因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2， 所以2=3－m ，解得m=1． 故当m=1时，原方程无解． 【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例． 例4当a 为何值时，关于x 的方程223242 ax x x x +=--+①会产生增根？ 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2） 整理得（a －1）x ＝－10 ② 若原分式方程有增根，则x ＝2或－2是方程②的根． 把x ＝2或－2代入方程②中，解得，a ＝－4或6． 【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值． 若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：
(完整)认清“增根”和“无解” 第 1 页 共 1 页 认清“增根”和“无解” 分式方程的增根是由于把分式方程转化为整式方程时,去掉了原分式方程中分母不为0的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围,这样，整式方程的解可能使分式方程的分母为0，分式方程无意义．因此,这个解虽然是变形后整式方程的解，但不是原分式方程的解，即为增根．可见,增根不是原分式方程的解，但却是分式方程去分母后所得整式方程的解． 分式方程无解分两种情况：一是原分式方程化为整式方程后，该整式方程无解；二是分式方程去分母后所得整式方程有解，但该解却是分式方程的增根． 可见，分式方程有增根与无解是完全不相同的,它们既有联系，又有区别．增根是无解的一种特殊情形,分式方程无解应从两个方面考虑． 一、利用分式方程有增根确定字母的值 解题妙招：解决此类问题的一般步骤是:①把分式方程化为整式方程；②求出使最简公分母为0的未知数的值；③把未知数的值分别代入整式方程，求出字母系数的值． 例1 若分式方程11(1)(2) x m x x x -=--+有增根，则m 的值为（ ） A.0或3 B 。1 C.1或2- D.3 解析：方程两边乘（x —1）（x+2)，得x(x+2）-（x-1）（x+2）=m. 解得x=m-2。 令(1)(2)0x x -+=，解得1x =或2x =-． 因为分式方程有增根,将1x =，2x =-分别代入x=m —2，得3m =或0m =． 所以3m =或0m =时，原分式方程有增根．故选A ． 二、利用分式方程无解求字母的值 解题妙招：解决此类问题，一定要从分式方程有增根和整式方程无解两个方面去考虑,以防出现漏解． 例2 若关于x 的分式方程311x a x x --=-无解，则a 的值为 ． 解析：方程两边乘x （x —1），得x(x —a ）-3（x —1)=x(x —1）。化简,得(2)3a x +=． 当整式方程无解时，则20a +=，解得2a =-． 当分式方程有增根时，则最简公分母(1)0x x -=，解得0x =或1x =． ①当0x =时，a 无解；②当1x =时，1a =． 所以当1a =或a=2-时，原分式方程无解．故填1或2-．
分式方程的增根与无解 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念。分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解． 例1 解方程2 344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．② 解这个方程，得x=2． 经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根． 所以原方程无解． 【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x ＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解． 例2 解方程22321++-=+-x x x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）． 整理得0x ＝8． 因为此方程无解，所以原分式方程无解． 【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根． 例3若方程 32x x --=2m x -无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ． 解这个方程，得x=3－m ．
如何正确理解分式方程的增根与无解 在分式方程教学中，我们要知道分式方程的增根与无解的意义是有区别的，分式方程有增根，一定是化简后整式方程的解（或根），分式方程无解不一定是化简后整式方程的解（或根），因而分式方程不一定有增根。 分式方程的增根是指在把分式方程是指把分式方程转化为整式方程时，即在去分母的过程中，因为分母含有未知数的字母，无形中可能使分式两边同时乘以一个为0的数，这样就导致未知数字母的取值范围扩大，使得方程的解可能是整式方程的解，但不一定是原分式方程的解.如果整式方程的解使原分式方程的分母为0，那么为个解（或根）就是分式方程的增根.；如果整式方程的解使原分式方程的分母不为0，那么为个解（或根）就是分式方程的根.所以说，分式方程的增根一定是去分母化简后整式方程的根，且使原分式方程中的分母等于0. 分式方程无解有两种情况：一种是增根使分式方程无解，与上面理由相同；另一种是化简后整式方程无解而导致分式方程无解.我们知道一元一次方程标准形式中0=+b ax ，当0≠a 时，一元一次方程有解（或根）；当0=a ，0≠b 时，左边＝b ，右边＝0，有左边≠右边，从而一元一次方程无解，导致原分式方程无解。 综上所述，可简记为：“分式方程有增根?分母＝0”；“分式方程无解??????00未知数的系数＝ 整式方程无解分母＝分式方程无解”. 例1、 若关于x 的方程x m x x -=--113产生增根，求常数m 的值. 解：去分母，方程两边同乘以)1(-x 得 m x -=-3 分式方程有增根 ∴ 01=-x 解得：1=x 把1=x 代入m x -=-3 有m -=-31 ∴ 2=m 小结：解分式方程有增根一般通过三个步骤，求出字母系数的值：一是先把分式方程化为整式方程；二是求出分母为0时x 的值；三是把x 的值代入整式方程，求出字母系数的值.
谈分式方程的增根与无解 (锦培优林老师) 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．（通过上面总结：无解可以分为两种情况：1、方程本身无解2、有增根） 现举例说明如下： 例1 解方程2344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②
解这个方程，得x=2． 经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．所以原方程无解． 【说明】显然，方程①中未知数x的取值范围是x≠2且x≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，所以x＝2是原方程的增根，原方程无解． 例2 解方程 2 2 3 2 1 + + - = + - x x x x ． 解：去分母后化为x－1＝3－x＋2（2＋x）． 整理得0x＝8． 因为此方程无解，所以原分式方程无解． 【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根． 例3（2007湖北荆门）若方程 3 2 x x - -=2 m x -无解，则m= ——————． 解：原方程可化为 3 2 x x - -=－2 m x-． 方程两边都乘以x－2，得x－3=－m．
例谈分式方程的增根与无解 分式方程是数学中的一种重要的方程形式，它的解法与一般的方程有所不同。在分式方程的解法中，我们常常会遇到增根和无解的情况。本文将以例谈分式方程的增根与无解为题，详细介绍这两种情况的解法。 一、增根的情况 当我们解分式方程时，有时会发现方程的解集中出现了新的解，这种情况就称为增根。增根的出现是由于我们在解方程时所做的化简步骤引入了新的限制条件，从而使得原方程的解集扩大。 例如，考虑以下分式方程： $\frac{2x+1}{x-3}=\frac{3x-2}{x+2}$ 我们可以通过交叉相乘的方法将其化简为： $(2x+1)(x+2)=(3x-2)(x-3)$ 展开后得到： $2x^2+5x+2=3x^2-7x+6$ 移项化简后得到： $x^2-12x+4=0$
解这个方程得到： $x=6\pm\sqrt{32}$ 因此，原方程的解集为： $\{x|x\neq-2,x\neq3,x=6\pm\sqrt{32}\}$ 我们可以发现，原方程的解集中出现了两个新的解$6+\sqrt{32}$和$6-\sqrt{32}$，这就是增根的情况。 二、无解的情况 与增根相反，有时我们解分式方程时会发现方程无解，这种情况就称为无解。无解的出现是由于我们在解方程时所做的化简步骤破坏了原方程的等价性，从而使得原方程无解。 例如，考虑以下分式方程： $\frac{x+1}{x-2}=\frac{x-3}{x+4}$ 我们可以通过交叉相乘的方法将其化简为： $(x+1)(x+4)=(x-3)(x-2)$ 展开后得到： $x^2+5x+4=x^2-x-6$
移项化简后得到： $6x+10=0$ 解这个方程得到： $x=-\frac{5}{3}$ 因此，原方程的解集为： $\{x|x\neq-4,x\neq2,x=-\frac{5}{3}\}$ 我们可以发现，原方程的解集中只有一个解$-\frac{5}{3}$，这就是无解的情况。 总结： 在解分式方程时，我们需要注意增根和无解的情况。增根的出现是由于我们在化简方程时引入了新的限制条件，而无解的出现则是由于我们在化简方程时破坏了原方程的等价性。因此，在解分式方程时，我们需要仔细分析每一步的化简过程，以确保不会出现增根或无解的情况。
分式方程无解和增根的例题 例1、当a为何值时，关于x的方程： 2/（x-2）+ax/（x^2-4）=3/（x+2）会产生增根？ 解：方程两边同时乘以x^2-4得， 2（x+2）+ax=3（x-2）， 整理，得（a-1）x=-10，当a=1时，方程无解， 当a≠1时，x=-10/（a-1）。 所以x=-10/（a-1）就是方程的增根，则有[-10/（m-1）]^2-4=0，即100/（m-1）^2=4，解得m=6或m=-4。 所以当m=6或m=-4时，原方程有增根。 例2、若关于x的方程1/（x^2-x）+（a-5）/（x^2+x）=（a-1）/（x^2-1）有增根x=0，求a的值。分析：在分式方程转化为整式方程时，扩大了未知数的取值范围，所以容易产生增根。增根的检验方法是把所求的根代入到分式方程的最简公分母中，验证分母是否等于0，而已知增根，则说明增根必是整式方程的根。解：∵1/（x^2-x）+（a-5）/（x^2+x）=（a-1）/（x^2-1），方程两边同时乘以x（x^2-1）得：x+1+（a-5）（x-1）=（a-1）x，把x=0代入上式得a=6。 例3、关于x的方程2/（x+1）+5/（1-x）=a/（x^2-1）有增根，求a的值。 解：方程两边同时乘以（x^2-1），得 2（x-1）-5（x+1）=a， 整理，得-3x-7=a，所以x=-（a+7）/3就是原方程的增根，则有[-
（a+7）/3]^2-1=0， 即（a+7）^2=9，解得a=-10或a=-4。 所以当a=-10或a=-4时原方程有增根。 例4、若关于x的分式方程（2x+a）/（x-3）=-1无解，求a的值。 解原方程可化为：2x+a=-（x-3）， 3x=a+3，解得x=（a+3）/3， 因为原分式方程无解，所以x=（a+3）/3是方程的增根，则有（a+3）/3-3=0，解得a=6。 所以当a=6时，原方程无解。
学习必备欢迎下载 分式方程的增根与无解的区别 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后， 常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实 上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程 中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产 生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相 等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下： 2 4 x3 例1解方程2．① x 2x4x 2 解：方程两边都乘以（x+2 ）（ x-2 ），得2（ x+2 ） -4x=3 （ x-2 ）．② 解这个方程，得x=2 ． 经检验：当x=2 时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．
所以原方程无解．
学习必备欢迎下载 【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x≠2 且 x≠-2 ．而在去分母化为方 程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分 母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x＝ 2 ，恰好使公分母为零，所以x ＝ 2 是原方程的增根，原方程无解． x 1 3 x 例2解方程2． x 2 2 x 解：去分母后化为x － 1＝ 3－ x＋ 2（ 2＋ x）． 整理得0x ＝ 8 ． 因为此方程无解，所以原分式方程无解． 【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由 此可见，分式方程无解不一定就是产生增根． 例 3（ 2007湖北荆门）x3=m． 若方程无解，则 m= —————— x22x
分式方程的增根与无解
先把原方程化为。④ （1）若方程④无解，则原方程也无解，方程④化为 ，当，而时，方程④无解，此时 。 （2）若方程④有解，而这个解又恰好是原方程的增根，这时原方程也无解，所以，当方程④的解为时原方程 无解， 代入方程④，得 ，故 。 综合（1）、（2），当或时，原方程无解。 妙用分式方程的增根解题 在解分式方程的过程中，我们还可以利用增根来求分式方程中的待定字母的值.请看下面几例. 例1 若关于x 的方程 1 101 ax x +-=-有增根，则a 的值为__________________. 析解：去分母并整理，得11ax x +=-，因为原方程有增根，增根只能是1x =，将1x =代入去分母后的整式方程，得1a =-. 例2 若关于x 的方程 2233 x m x x -=+--无解，则m 的值是_________. 析解：去分母并整理，得40x m +-=. 解之，得4x m =-. 因为原方程无解，所以4x m =-为方程的增根.又由于原方程的增根为3x =.所以43m -=，1m =. 例3. 已知方程 214x -＋2＝2 k x -有增根，则k ＝______________. 析解：把原方程化成整式方程，得 212(4)(2)x k x +-=-+. 因为原方程有增根，所以增根只能是2x =或2x =-. 将2x =代入212(4)(2)x k x +-=-+，得1 4 k =-； 将2x =-代入212(4)(2)x k x +-=-+，无解.故应填－14 . 练一练： 1. 如果分式方程 11 x m x x =++无解，则m 的值为（ ）. （A ）1 （B ）0 （C ）－1 （D ）－2 2. 如果方程2 211x k x x x ++=--有增根1x =，则k ＝________. 答案：1.C ；2.1； 分式方程的增根及其应用
例谈分式方程的增根与无解 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解； （二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下： 例1 解方程2344222+=---x x x x ．① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．② 解这个方程，得x=2． 经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．
所以原方程无解． 【说明】显然，方程①中未知数x的取值范围是x≠2且x≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根．本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，所以x＝2是原方程的增根，原方程无解． 例2 解方程 2 2 3 2 1 + + - = + - x x x x ． 解：去分母后化为x－1＝3－x＋2（2＋x）． 整理得0x＝8． 因为此方程无解，所以原分式方程无解． 【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根． 例3（2007湖北荆门）若方程 3 2 x x - -=2 m x -无解，则m= ——————． 解：原方程可化为 3 2 x x - -=－2 m x-． 方程两边都乘以x－2，得x－3=－m． 解这个方程，得x=3－m． 因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2， 所以2=3－m，解得m=1．
分式完结版 学生:______________ 一、分式方程的增根与无解 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下： 1、 解方程 2344222+=---x x x x 2、 解方程22321++-=+-x x x x 3、若方程 32x x --=2m x -无解，则m=——————． 4、当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根？ 5、（若将此题“会产生增根”改为“无解”）即：当a 为何值时，关于x 的方程 223242 ax x x x +=--+无解？ 二、分式方程应用题
1、列方程解应用题的步骤： ①；②；③；④；⑤；⑥。 2、某车间加工1200个零件后，采用新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前后每时分别加工多少个零件？ 分析：①设解： ②列表： ③等量关系：；检验：答： 3、知识能力拓展 (1) 甲种原料和乙种原料的单价比是2：3，将价值2000元的甲种原料与价值1000元的乙种原料混合后，单价为9元，求甲的单价。 (2) 两个建筑队共同参与一项建路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ (3) 某次列车平均提速v km/h.用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度是多少？ (4) 一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300支以上，（不包括300支），可以按批发价付款，购买300支以下，（包括300支）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元，如果多购买60支，那么可以按批发价付款，同样需要120元，①这个八年级的学生总数在什么范围内？ ②若按批发价购买6支与按零售价购买5支的付款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？