分式方程无解和增根的区别
1、当分式方程中使分母为零的根为增根，使分母不为零的根不是增根；当方程推出矛盾等式或解出的根全部是增根时，方程无解。
2、增根时，可能还有合理根存在；无解时，没有合理根。
3、无解指在规定范围和条件内，没有任何数可以满足方程；增根是指可以通过方程求出，但是不满足条件只能舍去的解。常见于分式方程。
无解与增根的区别
1、解分式方法是通过去分母把把分式方程转化为整式方程；
2、要求分式方程的根,是先要求出转化后的整式方程的根；
3、验证通过整式方程求出来的根是不是分式方程的根；
4、把通过整式方程求出来的根代入分式方程中,若使分式方程中的分母不为0,则所求出的根也就是分式方程的根,否则便是分式方程增根；
5、于是有结论：分式方程的根一定是化简后的整式方程的根,化简后整式方程的根不一定是分式方程的根,有可能是增根,分式方程无解,就是说化简后的整式方程无解。
(完整)认清“增根”和“无解” 第 1 页 共 1 页 认清“增根”和“无解” 分式方程的增根是由于把分式方程转化为整式方程时,去掉了原分式方程中分母不为0的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围,这样，整式方程的解可能使分式方程的分母为0，分式方程无意义．因此,这个解虽然是变形后整式方程的解，但不是原分式方程的解，即为增根．可见,增根不是原分式方程的解，但却是分式方程去分母后所得整式方程的解． 分式方程无解分两种情况：一是原分式方程化为整式方程后，该整式方程无解；二是分式方程去分母后所得整式方程有解，但该解却是分式方程的增根． 可见，分式方程有增根与无解是完全不相同的,它们既有联系，又有区别．增根是无解的一种特殊情形,分式方程无解应从两个方面考虑． 一、利用分式方程有增根确定字母的值 解题妙招：解决此类问题的一般步骤是:①把分式方程化为整式方程；②求出使最简公分母为0的未知数的值；③把未知数的值分别代入整式方程，求出字母系数的值． 例1 若分式方程11(1)(2) x m x x x -=--+有增根，则m 的值为（ ） A.0或3 B 。1 C.1或2- D.3 解析：方程两边乘（x —1）（x+2)，得x(x+2）-（x-1）（x+2）=m. 解得x=m-2。 令(1)(2)0x x -+=，解得1x =或2x =-． 因为分式方程有增根,将1x =，2x =-分别代入x=m —2，得3m =或0m =． 所以3m =或0m =时，原分式方程有增根．故选A ． 二、利用分式方程无解求字母的值 解题妙招：解决此类问题，一定要从分式方程有增根和整式方程无解两个方面去考虑,以防出现漏解． 例2 若关于x 的分式方程311x a x x --=-无解，则a 的值为 ． 解析：方程两边乘x （x —1），得x(x —a ）-3（x —1)=x(x —1）。化简,得(2)3a x +=． 当整式方程无解时，则20a +=，解得2a =-． 当分式方程有增根时，则最简公分母(1)0x x -=，解得0x =或1x =． ①当0x =时，a 无解；②当1x =时，1a =． 所以当1a =或a=2-时，原分式方程无解．故填1或2-．
分式方程的增根与无解 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念。分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解． 例1 解方程2 344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．② 解这个方程，得x=2． 经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根． 所以原方程无解． 【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x ＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解． 例2 解方程22321++-=+-x x x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）． 整理得0x ＝8． 因为此方程无解，所以原分式方程无解． 【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根． 例3若方程 32x x --=2m x -无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ． 解这个方程，得x=3－m ．
分式方程的增根与无解的区别 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分式方程时，去分母后整式方程的根，使分式方程分母为零的根不是原分式方程的根。而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下： 例1 、解方程2 344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．② 解这个方程，得x=2． 经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根． 所以原方程无解． 【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x ＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解． 例2、 解方程22321++-=+-x x x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）． 整理得0x ＝8． 因为此方程无解，所以原分式方程无解．
【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根． 例3、若方程 32x x --=2m x -无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ． 解这个方程，得x=3－m ． 因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2， 所以2=3－m ，解得m=1． 故当m=1时，原方程无解． 【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例． 例4、当a 为何值时，关于x 的方程223242 ax x x x +=--+①会产生增根？ 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2） 整理得（a －1）x ＝－10 ② 若原分式方程有增根，则x ＝2或－2是方程②的根． 把x ＝2或－2代入方程②中，解得，a ＝－4或6． 【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值．
如何正确理解分式方程的增根与无解 在分式方程教学中，我们要知道分式方程的增根与无解的意义是有区别的，分式方程有增根，一定是化简后整式方程的解（或根），分式方程无解不一定是化简后整式方程的解（或根），因而分式方程不一定有增根。 分式方程的增根是指在把分式方程是指把分式方程转化为整式方程时，即在去分母的过程中，因为分母含有未知数的字母，无形中可能使分式两边同时乘以一个为0的数，这样就导致未知数字母的取值范围扩大，使得方程的解可能是整式方程的解，但不一定是原分式方程的解.如果整式方程的解使原分式方程的分母为0，那么为个解（或根）就是分式方程的增根.；如果整式方程的解使原分式方程的分母不为0，那么为个解（或根）就是分式方程的根.所以说，分式方程的增根一定是去分母化简后整式方程的根，且使原分式方程中的分母等于0. 分式方程无解有两种情况：一种是增根使分式方程无解，与上面理由相同；另一种是化简后整式方程无解而导致分式方程无解.我们知道一元一次方程标准形式中0=+b ax ，当0≠a 时，一元一次方程有解（或根）；当0=a ，0≠b 时，左边＝b ，右边＝0，有左边≠右边，从而一元一次方程无解，导致原分式方程无解。 综上所述，可简记为：“分式方程有增根?分母＝0”；“分式方程无解??????00未知数的系数＝ 整式方程无解分母＝分式方程无解”. 例1、 若关于x 的方程x m x x -=--113产生增根，求常数m 的值. 解：去分母，方程两边同乘以)1(-x 得 m x -=-3 分式方程有增根 ∴ 01=-x 解得：1=x 把1=x 代入m x -=-3 有m -=-31 ∴ 2=m 小结：解分式方程有增根一般通过三个步骤，求出字母系数的值：一是先把分式方程化为整式方程；二是求出分母为0时x 的值；三是把x 的值代入整式方程，求出字母系数的值.
分式方程无解和增根的区别 分式方程无解和增根的区别 1 无解是指在指定的范围和条件内，没有一个数能满足方程。 增根是指可以通过方程找到的解，但只有在不满足条件的情况下才能丢弃。常见于分数方程。 分式方程无解和增根的区别 2 分式方程是方程中的一种，是指分母里含有未知数的有理方程，或者等号左右两边至少有一项含有未知数，该部分知识属于初等数学知识. 以下为解法： ①去分母 方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时。不要忘了改变符号。 (最简公分母：①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂) ②移项 移项，若有括号应先去括号，注意变号，合并同类项，把系数化为1 求出未知数的值; ③验根(解) 在求了未知量的值之后，一定要查根，因为在分数方程转化为积分方程的过程中，未知量的取值范围扩大了，可能导致根增加。
求根时，把积分方程的根代入最简单的公分母。如果最简单的公分母等于0，这个根就是增广根。否则这个根就是原分式方程的根。如果求解的根都是增广根，则原方程无解。 如果分数本身是约分的，也要代入测试。 用分数阶方程解决实际问题时，需要检查得到的解是否符合方程和问题的含义。 一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解. ★注意 (1)注意分母，不要漏掉代数表达式项。 (2)根是去掉分式方程的分母后的积分方程的根，但不是原分式方程的根。 (3)根使最简单的公分母等于0。 (4)分式方程中，如果x为分母，则x应不等于0。
例谈分式方程的增根与无解 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解； （二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下： 例1 解方程2344222+=---x x x x ．① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．② 解这个方程，得x=2． 经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．
所以原方程无解． 【说明】显然，方程①中未知数x的取值范围是x≠2且x≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根．本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，所以x＝2是原方程的增根，原方程无解． 例2 解方程 2 2 3 2 1 + + - = + - x x x x ． 解：去分母后化为x－1＝3－x＋2（2＋x）． 整理得0x＝8． 因为此方程无解，所以原分式方程无解． 【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根． 例3（2007湖北荆门）若方程 3 2 x x - -=2 m x -无解，则m= ——————． 解：原方程可化为 3 2 x x - -=－2 m x-． 方程两边都乘以x－2，得x－3=－m． 解这个方程，得x=3－m． 因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2， 所以2=3－m，解得m=1．
怎样区别分式方程的增根与无解 责旧.蝙辑:王二喜 刘 顿 学习了解分式方程以后,不少同学把增根与无解混为一谈.为了 掌握这两个概念,现举例说明这两个概念的区别和联系. 一 .岔 将分式方程变形为整式方程时,方程两边同乘以一个含有未知 数的整式,并约去分母,可能产生不适合原分式方程的解或根,这种 根称为增根. 如,若方程—+3=有增根,则这个增根一定是=2. 一 二_徭绣罗 解分式方程的关键是去分母将分式方程转化为整式方程.对原分 式方程的解来说,各分式的分母不能为零,而对去分母后得到的整式 方程来说,没有这个限制.因此,解分式方程时,必须检验. 2O09.3 的增根与无解 怎样区剔分式方程 课程_IiI赍源 _ … i庭裔锄辑 分式方程无解有两种情形:一种是将原分式方程两边都乘以最 简公分母,去分母并整理得到的整式方程为ax=b,若a=O,而b≠0,则
此整式方程无解,即原分式方程无解;另一种是化分式方程为整式方程,整式方程的解是原分式方程的增根,此时分式方程无鳃. ,ll 如,若关于的方程一1=0无解,试求n的值. 将原方程去分母转化为(o一1)x+2=O,即(n一1)一2. 当n一1=0时,~Ja=l,此时整式方程无解. 所以当n=1时,原方程无解. 对于方程(.～1)x+2=O,当=1时,原方程无解. 所以当(n一1)×1+2=0时,即o=一1,原方程无解. 所以a为1或一1. 在解本题时,考虑问题要全面,不要只考虑原分式方程有增根的 情形,而忽略了整式方程无解,则原分式方程无解的情况. 一分薅方癌警车麟按哮暴 分式方程有增根,则增根是原分式方程变形后所得整式方程的 根,但不是原分式方程的根,即这个根使最简公分母为0. 如,解分式方程=3一刍,可得x=2,把=2代人(2一),得2一 x=O,即=2使分式方程的分母2一为0.所以x=2不是原方程的解,x=2 是原方程的增根,此方程无解. 在本题中,分式方程有增根,方程无解. 请思考下面两道题: 1.若关于的方程:m无解,求m的值. 2.m为何值时,关于的方程+x2- 4=会产生增根.目I 2OO9.3
辨析分式方程增根与无解 分式方程的增根与无解是分式方程中的两个重要概念，两者既有区别，又有密切的联系.对于分式方程，当分式中分母的值为零时，分式方程无意义，所以分式方程不允许未知数取那些使分母的值为零的值.在分式方程转化为整式方程的变形屮，这种限制被取消了，使原方程中未知数的取值范围扩大了，导致转化后的整式方程的根可能是原方程未知数的允许值范围之外的值，从而产生了不是原方程的根，即分式方程的增根，而分式方程无解有两种情况，其一是变形后的整式方程本身无解；英二是整式方程有解，但这些解使最简公分母的值为零，即为分式方程的增根.现以含有字母参数的分式方程为例，来阐述如何辨析增根与无解的具体问题. 一、己知分式方程有增根，求字母参数 k 1 Y +] 例1若关于X的方程——==有增根，求k的值. X- -% 3兀3x —3 分析解分式方程的一般方法是先去分母，将分式方程转化为整式方程.由于该方程各分母是多项式，以便快速准确地找岀最简公分母，在去分母之前先对各分母分解因式，也便于确定增根，然后将增根依次代入整式方程，便可求得字母系数的值，增根可从分式方程的各分母中直接求得. 解原分式方程变形为 k 1 _ x+\ 兀（兀一1）3x 3（兀一1）
方程两边同乘以3x(z-l),得 3^ - (x - 1) = x(x - 1), 整理得J +2x - (3A + 1) = 0. 由于原方程有增根，所以解这个整式方 程可能得到％=0或% = 1- 把兀=0 代入 %2+2%- (3A： + 1) =0 中， 1 得"-才； % = 1 代入 %2+ 2% - (3A + 1) = 0 中， 2 得= p •, 所以，原方程有增根时：的值为' k二或丘=» 点评对于分式方程增根的问题，将分式方程转化为整式方程，然后将增根依次代入整式方程可求得字母参数的值. 二、已知分式方程无解，求字母参数 例2若关于x的方程兰二丝= 1无解，求a的值. x-2 x 分析关于x的分式方程无解有两种情况：当分式方程的分母X—2 = 0或x=0时，方程出现增根而无解；另外，化分式方程为整式方程，使整式方程无解，从而分式方程无解. 解给方程两边同乘以x (x-2),得 x(x—2a)—3(x—2)=x(x—2), 化简整理为关于x的方程(2a+ l)x=6. 因为分式方程无解，有可能是整式方程无解，也有可能是整式方程有解，但是这解是增根，需要舍去，导致无解.于是， ①当2a+l= 0时，可知方程(2a+l)x=6无解，即&=—丄，原分式方程无解. 2 ②当2a+lH0时，方程(2a+l)x = 6有解，这时x=2或x=0可能是分式方程的增根, 因此， 当x=2 时，(2a+l)X2 = 6,得a=l；
分式方程的“增根”与“无解” 学习了解分式方程以后，我们便知道了“增根”的知识，不少同学对“增根”与“无解”混为一谈，甚至根本无法理解，为了说明这两个概念，现帮助同学们重新定位. 一、增根的概念 将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根. 如，若方程2m x -+3＝12x x +-有增根，则这个增根一定是x ＝2. 二、分式方程增根产生的原因 在解分式方程的关键是要将分式方程转化为整式方程，而转化的关键又是去分母，由于对原分式方程的解来说，它必须使分式方程中各分式分母的值不为零，而对约去分母后得到的整式方程来说，却不要求分母的值非零，因为整式方程中各分母都是已知数，零不能作分母，当所得到的整式方程的某一根使原分式方程中至少有一个分式的分母为零时，即这个分母实际上是去分母时最简公分母的一个因式，那么最简公分母(整式)的值为零，即去分母过程中就相当于在方程两边同时乘以了0，不符合等式性质的要求，所以这个整式方程的根不适合原分式方程，它就是增根，因而，解分式方程时，必须要检验. 三、无解的概念 分式方程无解有两种情形：一是将原分式方程两边都乘以最简公分母，约去分母得到整理后的整式方程为ax ＝b ，此时若a ＝0，而b ≠0，则此整式方程无解，即原分式方程无解；二是化分式方程为整式方程，此整式方程的解是原分式方程增根，此时分式方程无解. 如，若关于x 方程1 1-+x ax －1＝0无解，试求a 的值. 将原方程去分母转化为(a －1)x +2＝0，即(a －1)x ＝－2.此时，一方面，当a －1＝0，即a ＝1时，此时整式方程无解，所以当a ＝1时，原方程无解.另一方面，对于方程(a －1)x +2＝0，当x ＝1时，原方程无解.所以当(a －1)×1+2＝0，即a ＝－1时，原方程无解.所以 a 的值为1或－1. 在解本题时，注意考虑问题要全面，不要只考虑当原分式方程有增根时的情
分式方程的增根与无解 甲：增根是什么？ 乙：增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形中，由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值.比如 例一、解方程：。① 为了去分母，方程两边乘以，得② 由②解得。 甲：原方程的解是。 乙：可是当时，原方程两边的值相等吗？ 甲：这我可没注意，查验一下不就明白了。哟！当时，原方程有的项的分母为0，没成心义，是不是方程变形进程中弄错啦？ 乙：求解进程完全正确，没有任何的过失。 甲：那什么缘故会显现这种情形呢？ 乙：因为原先方程①中未知数x的取值范围是且，而去分母化为整式方程②后，未知数x的取值范围扩大为全部实数。如此，从方程②解出的未知数的值就有可能不是方程①的解。
甲：如此说来，从方程①变形为方程②，这种变形并非能保证两个方程的解相同，那么，如何明白从整式方程②解出的未知数的值是或不是原方程①的解呢？ 乙：很简单，两个字：查验。能够把方程②解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母，看是不是使公分母等于0，若是公分母为0，则说明那个值是增根，不然确实是原方程的解。 甲：那么，那个题中确实是增根了，可原方程的解又是什么呢？ 乙：原方程无解。 甲：啊？！什么缘故会无解呢？ 乙：无解时，方程本身确实是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等，如上题中，不论x取何值，都不能使方程①两边的值相等，因此原方程无解，又如关于方程，不论x取何值也不能使它成立，因此，那个方程也无解。 甲：是不是有增根的分式方程确实是无解的，而无解的分式方程就必然有增根呢？ 乙：不是！有增根的分式方程不必然无解，无解的分式方程也不必然有增根，你看： 例二、解方程， 去分母后化为，解得或，现在，是增根，但原方程并非是无解，而是有一个解，而方程，去分母后化为，原方程尽管无解，但原方程也没有增根。