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逆矩阵的几种求法与解析
矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.
1.利用定义求逆矩阵
定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.
例1 求证: 如果方阵A 满足A K = 0, 那么E-A 是可逆矩阵, 且
（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K
证明 因为E 与A 可以交换, 所以
(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,
因A K = 0 ,于是得
(E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，
因此E-A 是可逆矩阵,且
(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .
同理可以证明(E+ A)也可逆,且
(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K .
由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.
例2 设 A =⎥
⎥
⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡0000
30000020
0010,求 E-A 的逆矩阵.
分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.
解 容易验证
A 2
=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡00000000
00006000
， A 4=0
而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以
(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=
⎥
⎥
⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000
31006210
6211.
2.初等变换法
求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使
（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：
（2） s p p p 21I= A 1-
比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.
用矩阵表示（A I ）−−−
→−初等行变换
为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.
例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡521310132.
解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521
→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001
故 A 1-=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32
/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.
例2 求A=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡987654321.
解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡------107126001463000132
1
→ ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----12100001463000132
1. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.
3.伴随阵法
定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且
A 1-=
A 1⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n
n
n n A A A A A A A A A (212221212111)
其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.
矩阵⎥
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n
n n n A A A A A A
A A A (2122212)
12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A *，于是有A 1-=A 1 A *
.
证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.
充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵
B=
A 1⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n
n
n n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中
AB=⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)
1
22221
11211⨯
A 1⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡nn n
n n n A A A A A A A A A ...............
(2122212)
12111
=
A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ...
.........0...00...0=⎥
⎥
⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)
...1......0...100...01=I
同理可证BA=I.
由此可知，若A 可逆，则A 1-=
A
1 A *
. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.
若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.
4．分块矩阵求逆法
4.1.准对角形矩阵的求逆
命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡221100A A ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--1221
1100A A 证明 因为A =
22
110
0A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.
设A 1-=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡W Z
Y X
，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X
⎥⎦⎤⎢⎣⎡2211
00A A =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡m n
I I 00,
其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 1
11-、A 1
22-分别右乘上面左右两组等式得：
X= A 1
11-，Y=0，Z=0，W= A 1
22-
故 A 21
= ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡--1221
110
0A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：
1
2
1
...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎣
⎡---11
2
1
1...
k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆
命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有
1
221211
0-⎥⎦⎤⎢⎣
⎡A A A =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-----1
221
22121111
110
A A A A A
证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡221211
0A A A
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡2211
0A A 两边求逆得
1
121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 1
221211
0-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--1221
110
0A A 所以 1
221211
-⎥⎦⎤⎢
⎣⎡A A A =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--1221110
0A A =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-----1
221
22121111
110
A A A A A
同理可证
1
2221
110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-----1221
22
211111
110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.
5.恒等变形法
恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
例1 计算（A+4E ）T （4E-A ）1-（16E-A 2）的行列式，其中 A=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-141021001 解 令 )16()4()4(21A E A E E A T --+-=D
D=)16()4()4(21A E A E E A T --+- =)4)(4()4()4(1A E A E A E A E T +--+-
=)4()4(A E A E T ++=2
)4(A E +.
虽然题目中出现了（4E-A ）1-.但是经过化简之后不再出现此式，因此得
D=2
4A E +=22500.
例2 已知 n 阶矩阵A 满足A 2+2A-3E=0.求证：A+4E 可逆并求出A+4E 的逆. 证明 把A 2+2A-3E=0变形为A 2+2A-8E=-5E ，即
（A+4E ）（A-2E ）=-5E ，可得（A+4E ）（-A/5+2E/5）=E ，
所以存在一个矩阵B=-A/5+2E/5，使（A+4E ）B=E ，由定义得A+4E 可逆，且
（A+4E ）1-=B=-A/5+2E/5.
另外，有些计算命题中虽出现逆矩阵，但通过适当的矩阵运算可消去，因而不必急于求出逆矩阵.
6．利用线性方程组求逆矩阵
6.1若n 阶矩阵A 可逆，则A A 1-=E ，于是A 1-的第j 列X j 是线性方程组AX j =E j 的解，j=1,2,…,n, E j 是第j 个分量是1的单位向量.因此，我们可以去解线性方程组AX=B ， 其中B=(b 1,b 2,…,b n )T , 然后在所求的解中把B=(b 1,b 2,…,b n )T 列，分别用
E 1=(1,0,0,…,0)T ， E 2=(0,1,0,…,0)T ，
……， E n =(0,0,0,…,1)T
代替，便可以求得A 1-的第1，2，…n 列，所以A -1
= (X 1,X 2,…,X n ).这种方法在某些时候可能比初等变换法求逆矩阵稍微简一点.下面例子说明该方法的应用. 6.2若n 阶矩阵A 可逆，则A A 1-=E
令A -1
= X=(x 1,x 2,…,x n )T E=B=(b 1,b 2,…,b n )T (x,b 皆为行向量) 则A A 1-=E 变为AX=B
因此，我们可以去解线性方程组AX=B ， 然后把所求的解的公式中的b 1,b 2,…,b n 分别用
b 1=(1,0,0,…,0)， b 2=(0,1,0,…,0)，
......， b n =(0,0,0, (1)
代替，便可以求得x 1,x 2,x 3,x 4,x 5，所以A -1
= X=(x 1,x 2,…,x n )T
例 求矩阵A=⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡300001300001300
0013000013
的逆矩阵.
解 设X=(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)T ,B=(b 1,b 2,b 3,b 4,b 5)T 解方程组 AX=B ，即：
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧==+=+=+=+5
54
543432321
2133333b x b
x x b x x b x x b x x 解得：
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪
⎨
⎧=-=-=+-=+-=-+-=-+-=+-+-=+-+-=-------------------515524154245342315432335
44332215432234255443322115432231451333)3(3333)33(33333)333(333333)3333(3b x b b b b x b b b b b b x b b b b b b b b x b b b b b b b b b b x 然后把B=(b 1,b 2,…,b n )T 列，分别用
E 1=(1,0,0,…,0)T ， E 2=(0,1,0,…,0)T ，
……，
E n =(0,0,0,…,1)T
代入，得到矩阵A 1-的第1，2 ，3，4，5列，分别为
X 1=(13-,0,0,0,0)T , X 2=(-32-,13-,0,0,0)T , X 3=(33-,-32-,13-,0,0)T , X 4=(-34-,33-,-32-,13-,0)T , X 5=(35-,-34-,33-,-32-,13-)T
A 1-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡---------------------121321432154321
30
0003300033300
3333033333.
这种方法特别适用于线性方程组AX=B 比较容易求解的情形，也是很多工程类问题的解决方法.
以上各种求逆方法只是我的一些粗浅的认识，也许有很多的不当之处，我希望我的这篇文章能给大家带来帮助，能帮助我们更快更准地解决好繁琐的求逆矩阵问题.同时，它还是我们更好的学习线性代数的必备基础知识，认真掌握它，可供我们以后继续在数学方面深造打下坚实的基础.但我很希望各位老师和同学给于指导.能使我的这篇文章更加完善和实用.
参考文献
[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数[M ]. 北京: 高等教育
出版社, 2001.
[2] 杨明顺. 三角矩阵求逆的一种方法[J ]. 渭南师范学院学报, 2003.
[3] 丘维声. 高等代数[M ]. 北京: 高等教育出版社,2001.
[4] 杨子胥. 高等代数习题集[M] . 济南:山东科学技术出版社,1984.
[5] 赵树原. 线性代数[M] . 北京:中国人民大学出版社,1997.
[6] 李宗铎. 求逆矩阵的一个方法[ J ] . 数学通报,1983.
[7] 贺福利等. 关于矩阵对角化的几个条件[J ] . 高等函授学报(自然科学
版) ,2004 , (1)
[8] 张禾瑞.郝炳新.高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社.1999.
[9] 王永葆. 线性代数[M].长春：东北大学出版社.2001.
[10] 同济大学遍.线性代数（第二版）. 北京: 高等教育出版社，1982.
[11] 王萼芳，丘维声编，高等代数讲义. 北京大学出版社，1983.
[13] 华东师范大学数学系编.数学分析.人民教育出版社，1980
[14] 杜汉玲求逆矩阵的方法与解析高等函授学报(自然科学版) 第17卷第4期
2004年8月
[15] 苏敏逆矩阵求法的进一步研究河南纺织高等专科学校学报，2004 年第16
卷第2 期
逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且 （E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K 证明 因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K , 因A K = 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ， 因此E-A 是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K . 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K . 由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵. 例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???0000 30000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证
A 2 =????????? ???0000000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???00000000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3= ? ? ?? ? ???????1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. 例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=???? ? ?????521310132. 解 [A I]→??????????100521010310001132→???? ? ?????001132010310100521 → ??????????--3/16/16/1100010310100521→???? ??????-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001
求可逆矩阵的四种方法 可逆矩阵是线性代数中的重要概念，具有很多应用。本文将为大家介绍可逆矩阵的四种求解方法，希望能够对大家的学习有所帮助。 1. 列主元素消元法 列主元素消元法是一种求解可逆矩阵的常见方法。这种方法的基本思想是将矩阵的每一列中绝对值最大的元素作为主元素，通过消元达到求解可逆矩阵的目的。消元的过程中需要遵循一定的规则，如保持主元素所在的列不变等。 2. 求逆矩阵法 求逆矩阵法是另一种常用的方法。这种方法的核心是根据矩阵的伴随矩阵求解矩阵的逆矩阵。求伴随矩阵的过程需要先求出矩阵的行列式，并计算每个元素的代数余子式。最后将代数余子式按照矩阵对应位置构成伴随矩阵即可。逆矩阵的求解需要将伴随矩阵除以矩阵的行列式。 3. 奇异值分解法 奇异值分解法也是求解可逆矩阵的重要方法之一。该方法通过将矩阵进行奇异值分解，从而得到矩阵的逆矩阵。奇异值分解的过程需要求解矩阵的特征值和特征向量，然后将特征向量组成新的矩阵，再将特征值按照从大到小的顺序排列成对角矩阵。最后通过逆矩阵的公式求解得到原矩阵的逆矩阵。
4. LU分解法 LU分解法是一种常用的矩阵分解方法，也可用于求解可逆矩阵。 该方法先将原矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵的乘积，然后通过 求解分解后的矩阵求解原矩阵的逆矩阵。LU分解的过程需要使用高斯-约旦消元法将矩阵化为上三角矩阵和下三角矩阵的乘积的形式，然后 通过回代求解得到原矩阵的逆矩阵。 综上所述，可逆矩阵的求解方法有很多种。通过列主元素消元法、求逆矩阵法、奇异值分解法和LU分解法，我们可以得到矩阵的逆矩阵。这对于线性代数的学习是非常重要的，也为日后的求解问题提供了重 要的基础。
前言 矩阵理论在《线性代数》课程中有着重要的地位,矩阵和数相仿可以运算,特别是乘法和数一样有逆运算,其定义为:对于 n 阶方阵 A,如果存在 n 个阶段 B 使得 AB=BA=E,则 n 个阶方阵 A 为可逆的,B 为 A 的逆矩阵。掌握好求逆矩阵的方法对线性方程组、二次型、线性变换等问题的解决有很大帮助。关于矩阵求逆问题,不同的《线性代数》教材介绍了不同的方法。下面对求逆矩阵方法进行全面论述,并做一步探讨。 1矩阵求逆常见的几种方法 1.1 用伴随矩阵法求逆矩 定理1.1.1：n 阶矩阵)(ij a A =可逆的充要条件0≠A ，而且当)2(≥n 阶矩阵 A 有逆矩阵，* -= A A A 11，其中*A 伴随矩阵。 例1 矩阵⎥⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡---=412112013A 是否可逆？若可逆，求1-A 解：A A ∴≠=05可逆 又511=A ，421=A ，3131=A ，1012=A ，1222=A ，332-=A ，013=A ， 123=A ，133=A ∴* -= A A A 11 例 2 设⎥⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡=543022001A ，*A 是A 的伴随矩阵，求()1-*A 解：1 -* =A A A ，又() k B kB 1 1 --=， 所以
() ( ) ⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡====---*54302200110 110111 11 A A A A A A 且有规律可循。对于三阶以上方阵用该方法逆矩阵,不仅计算量大且易出错,一般不用此种方法。对求出逆矩阵正确与否,一般用E AA A A ==--11来检验是否正确。 1.2 用初等变换法求逆矩阵 定理 1.2.1 如果n 阶方阵A 可逆，则存在有限个初等矩阵，l P P P 21,使得 l P P P A 21=。 如果A 可逆，则1-A 也可逆，由上述定理， 存在初等矩阵l Q Q Q ,,,21 使得l Q Q Q A 211=- 那么A A AA E 11--== 即A Q Q Q E l 21= E Q Q Q A l 211=- 于是我们得到一个求逆矩阵的方法如下： 如果n 阶方阵A 可逆，作一个n n 2⨯的矩阵E A ，然后对此矩阵施以初等行换，使A 化为单位矩阵E 同时化为1-A ，即：E A 1-−−−→−A E 初等行变换 例1 用初等行变换求矩阵⎥⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡=521310132A 的逆矩阵 解： =E A →⎥⎥ ⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100132310521100010001521310132 →⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--20101010091031052 1211010100600310521
求矩阵逆矩阵的常用方法 矩阵逆矩阵是一个非常重要的概念，在许多数学和工程应用中都有广泛的应用。下面介绍了三种求矩阵逆矩阵的常见方法，以及它们的拓展。 方法一：行列式求解法 行列式求解法是最常用的方法之一，它基于矩阵逆矩阵的定义，即矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵与原矩阵相乘的行列式。具体步骤如下: 1. 计算矩阵 A 的行列式; 2. 将行列式乘以矩阵 A 的列向量，得到矩阵 A 的逆矩阵。 方法二：高斯 - 约旦消元法 高斯 - 约旦消元法是一种用于求解矩阵逆矩阵的线性代数算法，它基于矩阵乘法的可逆性。具体步骤如下: 1. 将矩阵 A 分解成阶梯形矩阵; 2. 对阶梯形矩阵的每一列进行高斯 - 约旦消元，得到一个新的矩阵; 3. 将新的矩阵与原矩阵 A 相乘，得到矩阵 A 的逆矩阵。 方法三：奇异值分解法 奇异值分解法是一种用于求解矩阵逆矩阵的非常规方法，它基于矩阵的奇异值分解。具体步骤如下: 1. 将矩阵 A 分解成奇异值分解; 2. 对分解后的矩阵分别进行逆矩阵运算，得到矩阵 A 的逆矩阵。
拓展：矩阵逆矩阵的应用 矩阵逆矩阵在许多数学和工程应用中都有广泛的应用，下面列举了其中的几个应用领域: 1. 信号处理：矩阵逆矩阵在数字信号处理中被用来求解信号的逆变换，即信号的逆变换。 2. 量子力学：矩阵逆矩阵在量子力学中被用作求解系统的能级和波函数。 3. 控制理论：矩阵逆矩阵在控制理论中被用作求解系统的控制器，即控制器的逆矩阵。 4. 统计学：矩阵逆矩阵在统计学中被用于求解协方差矩阵的逆矩阵，即协方差矩阵的逆矩阵。 5. 计算机科学：矩阵逆矩阵在计算机科学中被用于求解矩阵的逆矩阵，即矩阵的逆矩阵。 矩阵逆矩阵是一种非常重要的数学概念，在许多数学和工程应用中都有广泛的应用。了解不同方法求解矩阵逆矩阵的原理和过程，有助于更好地理解和应用矩阵逆矩阵的概念。
E-A) 1= E + A + 2 K1 + … +A (E- A )(E+A + A 2+…+ A K 1)= E-A K (E-A) (E+A+A 2 + …+A K 1)=E， 逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容 ,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷 .逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容 , 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一 .本文将给出几种求逆矩阵的方法 . 1. 利用定义求逆矩阵 定义：设A、B都是n阶方阵,如果存在n阶方阵B使得AB= BA = E,则称A 为可逆矩阵，而称B为A的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证：如果方阵A满足A k= 0,那么EA是可逆矩阵,且 证明因为E与A可以交换，所以 因A K= 0 ,于是得 同理可得( E + A + A 2 + … +A K 1 )(E-A)=E ， 因此E-A是可逆矩阵，且 (E-A) 1 = E + A + A 2 +…+A K 1 同理可以证明 (E+ A) 也可逆,且
E-A 的逆矩阵. (E+ A) 1 = E -A + A 2+…+ (-1 ) K1A K1 . 由此可知，只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E A 的逆矩阵. 例2 设 A = 00 20 00 03 ,求 0003 0000 分析 由于A 中有许多元素为零，考虑A K 是否为零矩阵，若为零矩阵，则可以 采用例2的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证 00 2 0 0 0 0 6 2 00 0 6 3 0 0 0 0 4 A 2 = ■ A 3= ， A 4 =0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 而 (E-A)(E+A+ A 2 + A 3 )=E , 所以 1 1 2 6 1 2 3 0 1 2 6 (E-A) E+A+ A 2 + A . 0 0 1 3 0 0 0 1 2. 初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法 ?如果A 可逆，则A 可通过 初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵R,P 2 , P S 使 （1） p 1 p 2 p s A=I ，用 A 1 右乘上式两端，得： （2） p 1 p 2 p s I= A 1 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单 位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1. 用矩阵表示（ A I ） 为（ I A 1 ），就是求逆矩阵的初等行变换法， 它是实际应用中比较简单的一种方法 .需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初 等
求矩阵逆矩阵的常用方法 介绍 在线性代数中，矩阵逆运算是一个重要的概念。逆矩阵是指对于一个非零矩阵A，存在另一个矩阵B，使得A与B的乘积等于单位矩阵。求矩阵逆矩阵的常用方法有多种，本文将详细探讨其中的三个常见方法：伴随矩阵求逆、初等变换法和特征值法。 伴随矩阵求逆 伴随矩阵求逆是一种常见的求解矩阵逆矩阵的方法。下面给出详细步骤： 1.计算矩阵的行列式，如果行列式为0，则矩阵不可逆。 2.计算矩阵的伴随矩阵，伴随矩阵的定义是原矩阵的代数余子式矩阵的转置矩 阵。 3.将伴随矩阵的元素除以原矩阵的行列式得到逆矩阵。 初等变换法 初等变换法是求解矩阵逆矩阵的另一种常用方法，它通过一系列的初等行变换将原矩阵转换为单位矩阵，同时将单位矩阵通过相同的初等行变换转换为逆矩阵。下面是具体步骤： 1.将原矩阵A和单位矩阵B合并为[A|B]的形式。 2.对[A|B]进行一系列的初等行变换，将A转换为单位矩阵I。 3.将变换后的矩阵记作[A’|B’]，此时B’即为A的逆矩阵。 特征值法 特征值法是求解矩阵逆矩阵的另一种方法，它利用矩阵的特征值和特征向量的性质来求解逆矩阵。下面是具体步骤： 1.计算矩阵A的特征值和特征向量。 2.如果矩阵A的特征值中有0，则矩阵A不可逆。 3.计算矩阵A的特征值的倒数，得到特征值矩阵Λ。 4.计算特征向量的逆矩阵V的转置矩阵。
5.根据矩阵A的逆矩阵公式A^(-1) = VΛ(-1)V T，计算出逆矩阵A^(-1)。 总结 本文介绍了求矩阵逆矩阵的常用方法，包括伴随矩阵求逆、初等变换法和特征值法。其中，伴随矩阵求逆适用于已知矩阵的行列式非零的情况，初等变换法适用于通过一系列初等行变换将原矩阵转换为单位矩阵的情况，而特征值法适用于已知矩阵的特征值和特征向量的情况。不同的方法在不同的情况下具有不同的适用性和计算复杂度，根据具体问题的实际需求选择合适的方法来求解矩阵逆矩阵。 参考资料 1.陈红霞, 邵子涵. 线性代数与线性规划. 清华大学出版社, 201 2. 2.彭丽慧. 数学方程与矩阵变换. 清华大学出版社, 2004. 3.Gilbert Strang. Introduction to Linear Algebra. Wellesley- Cambridge Press, 2016.
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求逆矩阵的若干方法和举例 苏红杏 广西民院计信学院00数本（二）班 [摘 要] 本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面 的读者参考。 [关键词] 逆矩阵 初等矩阵 伴随矩阵 对角矩阵 矩阵分块 多项式等 引 言 在我们学习《高等代数》时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。但是，在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。 定义: n 阶矩阵A 为可逆，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，这里E 是n 阶单位矩阵，此时，B 就称为A 的逆矩阵，记为1-A ，即：1-=A B 方法 一. 初等变换法（加边法） 我们知道，n 阶矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积A=m Q Q Q 21， 从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。即，必有一系列初等矩阵 m Q Q Q 21使 E A Q Q Q m m =-11 （1） 则1-A =E A Q Q Q m m =-11 （2） 把A ，E 这两个n 阶矩阵凑在一起，做成一个n*2n 阶矩阵（A ，E ），按矩阵的分块乘法，（1）（2）可以合并写成 11Q Q Q m m -（A ，E ）=（11Q Q Q m m -，A ，E Q Q Q m m 11 -）=（E ，1-A ） （3） 这样就可以求出矩阵A 的逆矩阵1-A 。 例 1 . 设A= ⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛-012411210 求1-A 。 解：由（3）式初等行变换逐步得到： ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100012010411001210→ ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-100012001210010411 →⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛----123200124010112001→⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛ ----211 23100124 010112001
求解逆矩阵的常用三种方法 逆矩阵是一个矩阵的逆操作，即找到一个矩阵，与原矩阵相乘后得到 单位矩阵。逆矩阵在线性代数中具有重要的应用，比如求解线性方程组、 计算矩阵的行列式等。在实际应用中，常用的求解逆矩阵的方法包括：伴 随矩阵法、初等变换法和分块矩阵法。 第一种方法是伴随矩阵法。对于一个n阶矩阵A，如果它的行列式不 为0，那么它存在逆矩阵。首先计算矩阵A的伴随矩阵，记作Adj(A)，然 后用伴随矩阵除以原矩阵A的行列式，即可得到逆矩阵。具体步骤如下： 1. 计算矩阵A的行列式det(A)； 2. 计算矩阵A的伴随矩阵Adj(A)，其中第i行第j列的元素等于原 矩阵A的代数余子式Aij的行列式乘以(-1)^(i+j)； 3. 将伴随矩阵Adj(A)的每个元素除以原矩阵A的行列式det(A)，得 到逆矩阵A^(-1) = Adj(A)/det(A)。 第二种方法是初等变换法。利用矩阵的初等行变换和初等列变换来求 解逆矩阵。具体步骤如下： 1.将原矩阵A和单位矩阵I进行横向拼接，得到一个增广矩阵[A,I]； 2.对增广矩阵进行行变换，将矩阵A变为单位矩阵I，同时单位矩阵 I经过相同的行变换得到逆矩阵A^(-1)； 3.若矩阵A无法通过行变换变为单位矩阵I，则矩阵A不可逆。 第三种方法是分块矩阵法。将原矩阵A按照其中一种方式进行分块， 然后通过对分块矩阵进行运算来求解逆矩阵。常见的分块矩阵法有Schur 补法和Sherman–Morrison公式法，这里以Schur补法为例进行说明。
1.将原矩阵A分解为分块矩阵，例如A=[B,D;E,F]； 2.利用矩阵分块的性质求解逆矩阵，A^(-1)=[B^(-1)+B^(-1)D(X- F^(-1)E)B^(-1),-B^(-1)DF^(-1);-F^(-1)EB^(-1),F^(-1)+F^(-1)EHF^(-1)]，其中X=(F-EF^(-1)D)^(-1)； 3.若分块矩阵的逆存在，即B可逆、F可逆且B-DF^(-1)E可逆，那么原矩阵A也存在逆矩阵。 以上三种方法都可以用来求解逆矩阵，每种方法在不同情况下具有不同的优势。在实际应用中，根据具体问题的特点和要求选择合适的方法是非常重要的。
. . . . 逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 那么称A为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1求证: 如果方阵A 满足A K= 0, 那么E-A是可逆矩阵, 且 〔E-A〕1-= E + A + A2+…+A1-K 证明因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A2+…+ A1-K)= E-A K, 因A K= 0 ,于是得 (E-A)〔E+A+A2+…+A1-K〕=E， 同理可得〔E + A + A2+…+A1-K〕(E-A)=E， 因此E-A是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A2+…+A1-K. 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A2+…+〔-1〕1-K A1-K. 由此可知, 只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.
例2 设 A =⎥⎥⎥⎥ ⎦ ⎤⎢⎢⎢ ⎢⎣⎡00 00 30000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 假设为零矩阵, 那么可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解容易验证 A 2 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢ ⎢⎣⎡00 00 000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥ ⎦ ⎤⎢⎢⎢ ⎢⎣⎡00 00 00000000600 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3= ⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢ ⎣⎡10 00 310062106211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，那么A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使 〔1〕s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： 〔2〕 s p p p 21I= A 1- 比拟〔1〕〔2〕两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示〔A I 〕−−− →−初等行变换 为〔I A 1-〕，就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比拟简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.
逆矩阵的几种求法与解析（很全很经典）矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA是可逆矩阵, 且 这种方法特别适用于线性方程组AX=B比较容易求解的情形，也是很多工程类问题的解决方法. 以上各种求逆方法只是我的一些粗浅的认识，也许有很多的不当之处，我希望我的这篇文章能给大家带来帮助，能帮助我们更快更准地解决好繁琐的求逆矩阵问题.同时，它还是我们更好的学习线性代数的必备基础知识，认真掌握它，可供我们以后继续在数学方面深造打下坚实的基础.但我很希望各位老师和同学给于指导.能使我的这篇文章更加完善和实用. 参考文献 [1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数[M ]. 北京: 高等教育出版社,2001. [2] 杨明顺. 三角矩阵求逆的一种方法[J ]. 渭南师范学院学报, 2003. [3] 丘维声. 高等代数[M ]. 北京: 高等教育出版社,2001. [4] 杨子胥. 高等代数习题集[M] . 济南:山东科学技术出版社,1984. [5] 赵树原. 线性代数[M] . 北京:中国人民大学出版社,1997.
[6] 李宗铎. 求逆矩阵的一个方法[ J ] . 数学通报,1983. [7] 贺福利等. 关于矩阵对角化的几个条件[J ] . 高等函授学报(自然科学版) ,2004 , (1) [8] 张禾瑞.郝炳新.高等代数[M].北京: 高等教育出版社.1999. [9] 王永葆.线性代数[M].长春：东北大学出版社.2001. [10] 同济大学遍.线性代数（第二版）.北京: 高等教育出版社，1982. [11] 王萼芳，丘维声编，高等代数讲义. 北京大学出版社，1983. [13] 华东师范大学数学系编.数学分析.人民教育出版社，1980 [14] 杜汉玲求逆矩阵的方法与解析高等函授学报(自然科学版)第17卷第4期2004年8月 [15] 苏敏逆矩阵求法的进一步研究河南纺织高等专科学校学报，2004 年第16 卷第2 期
方法2初等变换法：J 注 对于阶数较高 （：；H ）的矩阵，采用初等变 换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简 便.在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换. 分块对角矩阵求逆：对于分块对角 （或次对角）矩阵求逆可套用公式 x-i 其中4 -l ，1均为可逆矩阵. <0 -2 例1已知 解将」分块如下: 5 .求具体矩阵的逆矩阵 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵时，常采用如下一些方法. 1才 方法1 伴随矩阵法： I 对于阶数较低（ 一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求 其逆矩阵. 1 '■■■ ■■元素的位置及符号.特别对于 2阶方阵J 矩阵 如丿，即伴随矩阵具有主对角元互换，次对角元变号”的规律. 注2对分块矩阵 （c 。丿不能按上述规律求伴随矩阵. 方法3 ，求丄
例3设4 系式化简, 解由所给的矩阵关系式得到 ⑷C(E ・C'&)]T = E ，即 A(C-Bf = E A =-2、 1 A J 2] 】 J , 1 丄 ； det J 4} 从而 _2] 5丿, (0 0 :1/3 呷 0 1-1/3 1/3 1 - 2 :o 0 r 2 5 :0 1 丿 b 丿，且4*二E ，试求』“. = —-—J 4T = det A A = 已知 解由题设条件得 * 1/2 -羽吩 “2 1/2 血宀的宀刊 -1 .A 丄/ detj4 1/2 -J312 利用初等变换法求 0 【(CM .由于 0 0 1 2 o: 1 o i o 0 ； 0 1 ! 0 0 1 0 0 0 1 0 其中 而 并求出矩阵」.
0 0 3 1 0 0 0 1 0 0 Q 1丿 0 0 0、 1 0 0 -2 1 0 -3 0 1; 0 0 O'1 1 0 0 -2 1 0 1 _ 2 J 1 A= 0 例4设I <-4 0 0 1 0 -2 -6 应填：(0 -4 -卩 ------ A deti4= ------------ -- -- .1 ，而/ 4，于是 (1 0 03 -2 100 1 - 2 10 1-2 b A=[(C-Byr X 分析在遇到的有关计算时，一般不直接由定义去求J',而是利用」.的重要公式 -6 10 2 4 0 0 0: 1 呂一21 0 10 0 I- 2 1 0 2 1 0:- 3 3 2 1 ! H 一 斗 <1000:1 1 丘一 施 0 1 00 1-2 -> 0010：1 02 1 ! >1 2 r0 0 0: 1 010 0 •-2 -> 00 10' 1 0 0 1 !0 X 0 0 13 22 如此题，由 <-,1 得，「一
矩阵求逆 摘要本文在借鉴参考文献的基础上，对高等代数学这门课程中的一些有关矩阵求逆的内容简要地进行了分析、研究和总结。笔者在参考的各种不同版本的教材中发现，大多教材给出矩阵的求逆的方法无非三种，即：定义法，初等变换法，伴随矩阵法。其中初等变换包括初等行变换和初等列变换。这三种方法虽然在大多情况下都能很好解决问题，但有时候使用这些方法就会显得很繁琐。比如，对于阶数大于4的矩阵我们用初等变换和伴随矩阵就会显得很麻烦，而且容易出错。本文在这里详细讨论了6种逆矩阵的求解方法，首先介绍了常用的那三种矩阵求逆方法，而且对于初等变换法，本文做了进一步的探讨，给出了同时初等行变换与列变换法。然后又介绍了分块矩阵法、分解矩阵法、Hamilton-Caylay定理法等方法，其中分块矩阵法中又包括三角矩阵的分块求逆法和非三角矩阵的分块求逆法。本文对于每一种方法不仅给出了这些方法的理论依据并给出了具体应用，有的还给出了具体方法步骤，就是为了使读者明白各种方法的特点，在使用的时候能够选择合适的方法进行快速解题。 关键字逆矩阵；初等变换；伴随矩阵；分块矩阵；Hamilton-Caylay定理 Six methods to find inverse matrix Abstract In this paper, on the basis of reference, some relevant content of the inverse matrix in the course of higher algebra is analyzed, researched and summarized briefly. There are only three methods of inverse matrix in most different teaching materials referred. The methods are definition method, adjoint matrix method and elementary transformation method. The elementary transformation method Includes elementary row transformation and elementary column transformation. Though the three methods can well solve problem in most
逆矩阵的几种求法与解析 王红斌指导教师:袁晓红 (河西学院数学与应用数学专业2012级3班32号, 甘肃张掖734000) 摘要矩阵在线性代数中有很重要的地位,矩阵理论具有十分丰富的内容,它是学习数学与其他学科的基础,为了更便捷地解决矩阵的逆,本文根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的 方法.主要有定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法与解方程组法,并对部分进行了简要论证. 关键词逆矩阵;分块矩阵;初等变换;伴随矩阵 中图分类号O151.21 Several ways of solution and analysis of Inverse Matrix Wang Hongbin Instructor Yuan Xiaohong (No.32 class 3 of 2012, Specialty of Mathematics and Applied Mathematics, He Xi University, Zhangye, Gansu 734000) Abstract:In order to solve the inverse matrix more convenient, This paper according to the different characteristics of different matrix which simply introduced several methods, there are definition method, adjoint matrix method, elementary transformation method, as well as a brief argumentation on it partly. Keywords: Inverse matrix ;Partitioned matrix;Elementary transformation;Adjoint matrix 1 引言 矩阵是高等代数的主要研究对象之一,在自然科学、工程技术乃至社会科学中均广泛应用.而矩阵的逆矩阵在矩阵理论中又有着重要地位,由于其解法灵活,综合性较强,能力要求较高,解决这类问题,要掌握各数学分支知识,并能综合运用各种数学技能,灵活选择合理的解题方法.在数学上,灵活运用从特殊到一般的思想,可以使很多难以解释的问题得到很好的解决.关于矩阵的逆,在高等代数和线性代数的学习中就有了一定的认识,如何求逆矩阵一直是研究者探讨的问题.本文重点总结了常见的几种求逆矩阵的方法,并对其原理和应用范围进行简单的说明.