1。3 函数的基本性质
1.3。1 单调性及最大（小）值
整体设计
教学分析
在研究函数的性质时，单调性和最值是一个重要内容。实际上,在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出，而本小节内容,正是初中有关内容的深化和提高:给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的,还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法,又有根据定义进行证明的较为严格的方法、最好根据图象观察得出猜想,用推理证明猜想的正确性,这样就将以上两种方法统一起来了.
由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图象，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性质。还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性和最值的理解。
三维目标
1.函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动,体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力。
3.通过实例,使学生体会、理解到函数的最大（小）值及其几何意义，能够借助函数图象的直观性得出函数的最值，培养以形识数的解题意识。
4.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性及重要性,增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性。
重点难点
教学重点：函数的单调性和最值。
教学难点：增函数、减函数、奇函数、偶函数形式化定义的形成.
课时安排
2课时
设计方案（一）
教学过程
第1课时函数的单调性
导入新课
思路1。德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus，1850~1909)，他以自己为实验对象，共做了163次实验,每次实验连续要做两次无误的背诵。经过一定时间后再重学一次，达到及第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试,得到了一些数据.
时间间隔t
0分钟
20分钟
60分钟
8～9小时
1天
2天
一个月
记忆量y(百分比）
100％
58.2％
44.2％
35.8％
33.7％
27.8％
25.4％
21.1％
观察这些数据,可以看出：记忆量y是时间间隔t的函数.当自变量（时间间隔t）逐渐增大时，你能看出对应的函数值（记忆量y）有什么变化趋势吗？描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线）。从左向右看,图象是上升的还是下降的?你能用数学符号来刻画吗？通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识？(可以借助信息技术画图象）
图1-3-1—1
学生：先思考或讨论，回答：记忆量y随时间间隔t的增大而增大；以时间间隔t为x轴,以记忆量y为y轴建立平面直角坐标系,描点连线得函数的草图--艾宾浩斯遗忘曲线如图1-3—1—1所示。
遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律。随着时间的推移，记忆保持量在递减，刚开始遗忘速度最快，我们应利用这一规律,在学习新知识时一定要及时复习巩固，加深理解和记忆。教师提示、点拨，并引出本节课题。
思路2.在第23届奥运会上，中国首次参加就获15枚金牌;在第24届奥运会上，中国获5枚金牌；在第25届奥运会上，中国获16枚金牌;在第26届奥运会上，中国获16枚金牌；在第27届奥运会上，中国获28枚金牌；在第28届奥运会上，中国获32枚金牌。按这个变化趋势,2008年，在北京举行的第29届奥运会上，请你预测一下中国能获得多少枚金牌？学生回答(只要大于32就可以算准确),教师：提示、点拨，并引出本节课题。
推进新课
新知探究
提出问题
①如图1—3—1—2所示为一次函数y=x，二次函数y=x2和y=—x2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律？
图1-3-1—2
②函数图象上任意点P（x,y）的坐标有什么意义？
③如何理解图象是上升的？
④对于二次函数y=x2，列出x,y的对应值表（1）.完成表（1)并体会图象在y轴右侧上升。x
-4
—3
—1
1
2
3
4
f(x)=x2
表(1)
⑤在数学上规定:函数y=x2在区间(0，+∞)上是增函数.谁能给出增函数的定义？
⑥增函数的定义中,把“当x1
⑦增函数的定义中，“当x1 ⑧增函数的几何意义是什么？ ⑨类比增函数的定义，请给出减函数的定义及其几何意义? ⑩函数y=f（x）在区间D上具有单调性，说明了函数y=f（x）在区间D上的图象有什么变化趋势？ 讨论结果:①函数y=x的图象,从左向右看是上升的；函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的。 ②函数图象上任意点P的坐标（x，y）的意义：横坐标x是自变量的取值，纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小. ③按从左向右的方向看函数的图象，意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大。图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大,也就是对应的函数值随着逐渐增大。也就是说从左向右看图象上升，反映了函数值随着自变量的增大而增大。 ④在区间（0,+∞）上，任取x1、x2，且x1〈x2,那么就有y1〈y2,也就是有f(x1) ⑤一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1〈x2时,都有f(x1)〈f（x2)，那么就说函数f（x)在区间D上是增函数。 ⑥可以.增函数的定义：由于当x1 就是说前面是“〈"，后面也是“〈”，步调一致；“当x1〉x2时，都有f（x1)〉f(x2）"都是相同的不等号“>”，也就是说前面是“>",后面也是“〉”，步调一致.因此我们可以简称为:步调一致增函数。 ⑦函数值随着自变量的增大而增大；从左向右看,图象是上升的。 ⑧从左向右看，图象是上升的。 ⑨一般地，设函数f(x）的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1〈x2时，都有f(x1）〉f(x2），那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.简称为：步调不一致减函数。减函数的几何意义:从左向右看，图象是下降的。函数值变化趋势：函数值随着自变量的增大而减小.总结：如果函数y=f（x）在区间D上是增函数（或减函数)，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f（x)的单调递增(或减）区间. ⑩函数y=f(x)在区间D上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大（减小），几何意义：从左向右看，图象是上升（下降）的。 应用示例 思路1 例1如图1-3-1—3是定义在区间［－5，5］上的函数y=f（x)，根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数? 图1—3—1—3 活动:教师提示利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生。图象上升则在此区间上是增函数,图象下降则在此区间上是减函数。 解：函数y=f(x）的单调区间是［-5,2)，［—2，1），[1,3)，[3,5]。其中函数y=f(x）在区间［-5,2),［1，3）上是减函数，在区间［—2，1),［3,5］上是增函数. 点评:本题主要考查函数单调性的几何意义,以及图象法判断函数单调性。图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题。如果解答题中给出了函数的图象，通常用图象法判断单调性.函数的图象类似于人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性. 图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步:观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间. 变式训练 课本P32练习1、3。 例2物理学中的玻意耳定律p=（k为正常数）告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减少时，压强p将增大。试用函数的单调性证明。 活动：学生先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时,教师再提示，及时纠正学生解答过程出现的问题,并标出关键的地方，以便学生总结定义法的步骤。体积V减少时,压强p将增大是指函数p=是减函数；刻画体积V减少时，压强p将增大的方法是用不等式表达.已知函数的解析式判断函数的单调性时，常用单调性的定义来解决. 解：利用函数单调性的定义只要证明函数p=在区间(0,+∞)上是减函数即可. 点评：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性. 定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步：在所给的区间上任取两个自变量x1和x2，通常令x1〈x2；第二步：比较f（x1)和f（x2）的大小，通常是用作差比较法比较大小,此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；第三步:再归纳结论.定义法的步骤可以总结为：一“取(去)”、二“比"、三“再(赛）”，因此简称为：“去比赛”. 变式训练 课本P32练习4。 思路2 例1（1）画出已知函数f（x）=-x2+2x+3的图象; （2）证明函数f(x)=-x2+2x+3在区间(—∞，1］上是增函数； （3）当函数f(x）在区间(—∞，m］上是增函数时，求实数m的取值范围。 图1-3-1-4 解：（1）函数f(x）=-x2+2x+3的图象如图1—3—1—4所示. (2)设x1、x2∈(-∞,1］，且x1〈x2，则有 f（x1）—f（x2）=(—x12+2x1+3）—（-x22+2x2+3) =(x22—x12）+2(x1-x2） =(x1-x2）(2—x1-x2）。 ∵x1、x2∈（—∞，1］，且x1 ∴2-x1-x2>0.∴f（x1）—f（x2）〈0.∴f(x1）〈f（x2)。 ∴函数f（x）=—x2+2x+3在区间（-∞,1］上是增函数。 (3）函数f(x）=—x2+2x+3的对称轴是直线x=1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间(—∞,m]位于对称轴的左侧时满足题意,则有m≤1，即实数m的取值范围是(—∞,1］。 点评：本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用.讨论有关二次函数的单调性问题时，常用数形结合的方法，结合二次函数图象的特点来分析；二次函数在对称轴两侧的单调性相反；二次函数在区间D上是单调函数，那么二次函数的对称轴不在区间D内。 判断函数单调性时，通常先画出其图象，由图象观察出单调区间，最后用单调性的定义证明。判断函数单调性的三部曲： 第一步，画出函数的图象，观察图象，描述函数值的变化趋势; 第二步，结合图象来发现函数的单调区间； 第三步，用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论。 函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的必考内容之一.因此应理解单调函数及其几何意义，会根据定义判断、证明函数的单调性，会求函数的单调区间,能综合运用单调性解决一些问题，会判断复合函数的单调性.函数的单调性及函数的值域、不等式等知识联系极为密切，是高考命题的热点题型。 变式训练 已知函数f(x）是R上的增函数,设F（x)=f(x)—f(a—x). (1)用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数； (2)证明函数y=F（x）的图象关于点（，0)成中心对称图形. 活动：（1）本题中的函数解析式不明确即为抽象函数，用定义法判断单调性的步骤是要按格式书写；（2）证明函数y=F（x）的图象上的任意点关于点(,0）的对称点还是在函数y=F(x)的图象上即可. 解：（1）设x1、x2∈R，且x1 F(x1）-F（x2)=[f（x1)—f（a-x1）］—[f(x2）-f（a-x2）] =［f(x1）-f（x2)］+［f(a—x2)—f(a—x1）]. 又∵函数f（x）是R上的增函数，x1 ∴f(x1）〈f（x2）,f（a-x2) ∴［f(x1)-f（x2）]+［f（a-x2）-f（a—x1)]<0。 ∴F（x1) （2）设点M（x0,F（x0））是函数F(x)图象上任意一点，则点M（x0，F（x0)）关于点(，0) 的对称点M′（a—x0,—F（x0)）. 又∵F(a-x0)=f（a—x0）—f(a—(a-x0）) ＝f(a—x0）—f（x0) ＝-[f（x0)—f(a—x0)］ =-F（x0)， ∴点M′(a—x0，-F（x0））也在函数F（x)图象上, 又∵点M（x0,F(x0)）是函数F（x)图象上任意一点， ∴函数y=F(x)的图象关于点（，0)成中心对称图形. 例2（1）写出函数y=x2—2x的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？ (2）写出函数y=｜x|的单调区间及其图象的对称轴,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？ 图1-3—1-5 (3）定义在［-4,8]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，y=f(x)的部分图象如图1-3-1—5所示，请补全函数y=f（x）的图象，并写出其单调区间，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点? （4）由以上你发现了什么结论？试加以证明。 活动:学生先思考，再回答，教师适时点拨和提示： （1）画出二次函数y=x2—2x的图象，借助于图象解决;(2)类似于（1）;（3）根据轴对称的含义补全函数的图象,也是借助于图象写出单调区间;（4）归纳函数对称轴两侧对称区间上的单调性的异同来发现结论，利用轴对称的定义证明. 解:(1)函数y=x2—2x的单调递减区间是(—∞,1）,单调递增区间是（1,+∞）；对称轴是直线x=1;区间(—∞，1）和区间(1,+∞）关于直线x=1对称，而单调性相反. (2)函数y=｜x｜的单调递减区间是(—∞，0),单调递增区间是(0，+∞）;对称轴是y轴即直线x=0;区间(—∞,0）和区间（0，+∞)关于直线x=0对称，而单调性相反. (3)函数y=f(x),x∈［-4，8］的图象如图1-3—1—6。 图1—3-1—6 函数y=f(x)的单调递增区间是［-4，-1］,[2,5］；单调递减区间是［5,8］，［-1,2］;区间［—4，—1]和区间［5，8］关于直线x=2对称，而单调性相反,区间［—1,2］和区间［2，5］关于直线x=2对称，而单调性相反. （4）可以发现结论：如果函数y=f（x)的图象关于直线x=m对称，那么函数y=f（x)在直线x=m两侧对称单调区间内具有相反的单调性。证明如下： 不妨设函数y=f（x）在对称轴直线x=m的右侧一个区间[a，b］上是增函数，区间［a，b］关于直线x=m的对称区间是［2m-b，2m—a］。 由于函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称，则f（x)=f(2m—x)。 设2m-b≤x1 f（x1)-f（x2）=f（2m-x1)—f（2m—x2). 又∵函数y=f(x)在［a,b］上是增函数，∴f(2m-x1）—f(2m-x2）〉0。 ∴f（x1）—f(x2)〉0。∴f(x1)〉f(x2）。 ∴函数y=f(x)在区间[2m-b,2m—a］上是减函数. ∴当函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间［a,b］上是增函数时,其在［a,b］关于直线x=m的对称区间［2m—b，2m—a］上是减函数，即单调性相反. 因此有结论：如果函数y=f（x）的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性. 点评：本题通过归纳-—猜想——证明得到了正确的结论，这是我们认识世界发现问题的主要方法，这种方法的难点是猜想，突破路径是寻找共同的特征.本题作为结论记住，可以提高解题速度。图象类似于人的照片，看见人的照片就能估计这个人的身高、五官等特点，同样根据函数的图象也能观察出函数的性质特征。这需要有细致的观察能力。 变式训练 函数y=f(x)满足以下条件: ①定义域是R; ②图象关于直线x=1对称； ③在区间［2,+∞）上是增函数. 试写出函数y=f(x)的一个解析式f（x)=（只需写出一个即可,不必考虑所有情况)。 活动：根据这三个条件，画出函数y=f(x）的图象简图（只要能体现这三个条件即可），再根据图象简图，联系猜想基本初等函数及其图象和已有的解题经验写出。 解：定义域是R的函数解析式通常不含分式或根式，常是整式；图象关于直线x=1对称的函数解析式满足:f（x）=f（2—x），基本初等函数中有对称轴的仅有二次函数，则由①②想到了二次函数;结合二次函数的图象，在区间[2，+∞)上是增函数说明开口必定向上,且正好满足二次函数的对称轴直线x=1不在区间［2,+∞）内，故函数的解析式可能是y=a(x—1）2+b （a〉0)。 结合二次函数的图象和性质，可知这三条都可满足开口向上的抛物线，故有： 形如y=a(x-1)2+b(a>0），或为y=a｜x—1｜+b（a〉0）等都可以,答案不唯一。 知能训练 课本P32练习2. 【补充练习】 1.利用图象法写出基本初等函数的单调性。 解:①正比例函数：y=kx（k≠0） 当k>0时，函数y=kx在定义域R上是增函数;当k<0时，函数y=kx在定义域R上是减函数. ②反比例函数：y=（k≠0） 当k〉0时,函数y=的单调递减区间是（-∞,0）,（0,+∞)，不存在单调递增区间；当k<0时，函数y=的单调递增区间是(-∞,0)，(0，+∞），不存在单调递减区间。 ③一次函数：y=kx+b(k≠0) 当k>0时,函数y=kx+b在定义域R上是增函数；当k<0时，函数y=kx+b在定义域R上是减函数. ④二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0） 当a〉0时,函数y=ax2+bx+c的单调递减区间是（-∞,]，单调递增区间是[，+∞)； 当a<0时，函数y=ax2+bx+c的单调递减区间是［，+∞），单调递增区间是(-∞，］. 点评：以上基本初等函数的单调性作为结论记住,可以提高解题速度. 2.已知函数y=kx+2在R上是增函数,求实数k的取值范围。 答案：k∈(0，+∞)。 3.二次函数f(x)=x2-2ax+m在(-∞，2）上是减函数，在（2，+∞)上是增函数，求实数a的值。答案：a=2. 4.2005年全国高中数学联赛试卷，8已知f(x）是定义在（0，+∞)上的减函数,若f(2a2+a+1）〈f（3a2-4a+1）成立，则a的取值范围是______. 分析:∵f(x）的定义域是(0,+∞)， ∴解得a〈或a>1. ∵f（x）在（0，+∞)上是减函数, ∴2a2+a+1>3a2-4a+1。∴a2—5a<0. ∴0 答案：(0,）∪（1,5） 点评：本题实质是解不等式,但是这是一个不具体的不等式，是抽象不等式.解及函数有关的抽象不等式时，常用的技巧是利用函数的单调性“剥掉外衣”,转化为整式不等式。 拓展提升 问题:1。画出函数y=的图象,结合图象探讨下列说法是否正确？ (1)函数y=是减函数；（2)函数y=的单调递减区间是(—∞，0)∪(0,+∞). 2.对函数y=,取x1=—1 3.通过上面两道题,你对函数的单调性定义有什么新的理解? 解答:1。(1）是错误的，从左向右看,函数y=的图象不是下降的. （2)是错误的，函数y=的单调递减区间是(-∞,0)，(0，+∞）。这表示在区间（—∞，0）∪（0,+∞)即定义域上是减函数，在定义域上函数y=的图象，从左向右看不是下降的，因此这是错误的。 2.不对.这个过程看似是定义法，实质上不是.定义中x1、x2是在某区间内任意取的两个值,不能用特殊值来代替。 3.函数单调性定义中的x1、x2必须是任意的，应用单调性定义解决问题时，要注意保持其任意性。 点评：函数的单调性反映了函数在其定义域的子集上的性质，是函数的“局部性质”；函数y=f(x)在区间（a,b)和（b,c）上均是增（减）函数，那么在区间(a，b）∪（b，c）上的单调性不能确定。 课堂小结 本节学习了：①函数的单调性；②判断函数单调性的方法：定义法和图象法。 活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价. 引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结. 作业 课本P39习题1。3A组2、3、4。 设计感想 “函数单调性”是一个重要的数学概念,以往的教学方法一般是由教师讲解为主,在单调性的定义教学中，往往缺少从定性的描述到定量表示的思维过程,即缺少“意义建构".本设计致力于展示概念是如何生成的。在概念的发生、发展中，通过层层设问，调动学生的思维，突出培养了学生的思维能力,体现了教师是用教材教，而不是教教材. 本节课是函数单调性的起始课,采用教师启发引导,学生探究学习的教学方法,通过创设情境，引导探究，师生交流,最终形成概念，获得方法。本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学,为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识。考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔。 设计方案(二) 教学过程 第1课时函数的单调性 导入新课 思路1。 为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况，数学兴趣小组研究了2002年到2006年每年这一天的天气情况，如图1-3-1-7是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图. 图1—3—1-7 问题：观察图1-3-1-7，能得到什么信息？ (1)当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻； （2）在某时刻的温度； （3)某些时段温度升高，某些时段温度降低. 引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考回答。教师：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的.归纳：用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大或变小。 思路2。如图1—3—1—8所示,观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： 图1—3—1-8 随x的增大，y的值有什么变化？ 引导学生回答，点拨提示，引出课题。 设计意图:创设情景，引起学生兴趣。 推进新课 新知探究 提出问题 问题①:分别作出函数y=x+2，y=-x+2，y=x2,y=的图象，并且观察自变量变化时,函数值的变化规律。 如图1—3-1—9所示： 图1-3-1-9 问题②：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 设计意图:从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识：直观感知. 问题③：如图1—3-1-10是函数y=x+(x>0）的图象，能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？ 图1-3—1-10 设计意图:使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性。 问题④：如何从解析式的角度说明f（x)=x2在［0，+∞)上为增函数? 设计意图：把对单调性的认识由感性上升到理性的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习作好铺垫. 问题⑤：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗？ 设计意图：让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识。 活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 引导方法及过程:问题①:引导学生进行分类描述图象是上升的、下降的（增函数、减函数)， 同时明确函数的图象变化(单调性）是对定义域内某个区间而言的,是函数的局部性质。 问题②:这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识。 学生的困难是难以确定分界点的确切位置. 问题③：通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究。 问题④:对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析，使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x1、x2。 问题⑤：师生共同探究：利用不等式表示变大或变小，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义。 归纳总结：1。函数单调性的几何意义：如果函数y=f(x)在区间D上是增（减）函数，那么在区间D上的图象是上升的(下降的）。 2。函数单调性的定义：略.可以简称为步调一致增函数，步调相反减函数. 讨论结果：①（1)函数y=x+2，在整个定义域内y随x的增大而增大；函数y=-x+2，在整个定义域内y随x的增大而减小.（2）函数y=x2，在[0，+∞)上y随x的增大而增大，在(—∞，0)上y随x的增大而减小.(3)函数y=，在(0,+∞)上y随x的增大而减小，在(—∞,0）上y随x 的增大而减小。 ②如果函数f（x）在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f(x）在该区间上为增函数；如果函数f(x）在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数。 ③不能。 ④(1）在给定区间内取两个数，例如2和3，因为22<32，所以f(x)=x2在［0,+∞）上为增函数. （2)仿(1)，取多组数值验证均满足,所以f(x）=x2在［0，+∞)上为增函数. （3）任取x1、x2∈［0，+∞),且x1〈x2,因为x12—x22=（x1+x2)（x1-x2）<0,即x12 ⑤略 应用示例 思路1 例1课本P29页例1。 思路分析:利用函数单调性的几何意义。学生先思考或讨论，再回答. 点评:本题主要考查函数单调性的几何意义。 图象法求函数单调区间的步骤: ①画函数的图象; ②观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间。 图象法的难点是画函数的图象，常见画法有描点法和变换法. 答案:略. 变式训练 课本P32练习4。 例2课本P32页例2。 思路分析:按题意，只要证明函数p=在区间（0，+∞）上是减函数即可，用定义证明. 点评：本题主要考查函数的单调性。 利用定义证明函数f(x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤：(定义法） ①任取x1、x2∈D，且x1〈x2; ②作差f（x1）－f（x2)； ③变形（通常是因式分解和配方）; ④定号（即判断差f（x1)－f（x2）的正负）； ⑤下结论(即指出函数f(x）在给定的区间D上的单调性）。 易错分析：错取两个特殊值x1、x2来证明。 答案:略。 变式训练 判断下列说法是否正确: ①已知f（x)=，因为f（-1) ②若函数f(x）满足f（2） ③若函数f（x)在区间(1，2］和(2，3)上均为增函数,则函数f（x)在区间（1,3）上为增函数。 ④因为函数f（x）=在区间(-∞,0)和（0，+∞）上都是减函数,所以f(x）=在（-∞,0）∪(0,+∞)上是减函数。 活动:教师强调以下三点后,让学生判断。 1。单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性. 2.有的函数在整个定义域内单调（如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数),有的函数根本没有单调区间(如常函数）. 3.函数在定义域内的两个区间A、B上都是增（或减)函数，一般不能认为函数在A∪B上是增（或减）函数. 答案：这四个判断都是错误的。 思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 证明一个命题成立时，需要有严格的逻辑推理过程,而否定一个命题只需举一个反例即可。也就是说，只要找到两个特殊的自变量,不符合定义就行. 思路2 例1证明函数f(x）=x+在（2,+∞）上是增函数。 思路分析:利用单调性的定义证明.可以利用信息技术,先画出函数的图象，体会一下再证明。点评：本题主要考查函数的单调性. 引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论。 答案：略。 变式训练 证明函数f（x）=x在［0，+∞）上是增函数. 思路分析：此函数是一个具体的函数，用定义法证明. 思考：除了用定义外，如果证得对任意的x1、x2∈（a，b),且x1≠x2有分f（x2)—f（x1)x2—x1式〉0，能断定函数f(x）在区间(a，b)上是增函数吗? 活动:引导学生分析这种叙述及定义的等价性。让学生尝试用这种等价形式证明函数f(x)=x 在［0,+∞）上是增函数. 讨论结果：能。 例2用计算机画出函数y=的图象，根据图象指出单调区间，并用定义法证明. 思路分析：在图象上观察在哪个区间函数图象是上升的，在哪个区间函数图象是下降的，借助于单调性的几何意义写出单调区间，再用定义证明. 教师画出图象,学生回答，如果遇到障碍，就提示利用函数单调性的几何意义写出单调区间. 点评：讨论函数单调性的三部曲： 第一步，画函数的图象; 第二步，借助单调性的几何意义写出单调区间； 第三步,利用定义加以证明。 答案：略. 变式训练 画出函数y=的图象,根据图象指出单调区间. 活动：教师引导学生利用变换法（也可以用计算机)画出图象，根据单调性的几何意义写出单调区间，再利用定义法证明。 答案:略. 知能训练 课本P32练习2. 拓展提升 试分析函数y=x+的单调性. 活动：先用计算机画出图象，找出单调区间，再用定义法证明。 答案：略. 课堂小结 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结。 （1）概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性。 （2）证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论. （3)数学思想方法：数形结合. （4)函数单调性的几何意义是:函数值的变化趋势，即图象是上升的或下降的。 设计感想 本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发引导,学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识. 考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解,同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔. 作业:课本P39习题1。3A组2、3、4.
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