2013年浙江省各地市数学中考压轴题解析汇编【2013·浙江宁波·26题】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（-4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD。过P、D、B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ 交⊙Q于点F，连结EF，BF。（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时，①求证：∠BDE=∠ADP；②设DE=x，DF=y，请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F 为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由。解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+b，将点A∵EF=DE=OE+OD=2+OD ∴OH=2+OD 13（0，4）、B（4，0）代入得：OD=2+OD=4 ∵OB=OH+HB=2+OD+解得
∴OD=，即点D坐标为（0，）
∴直线AB的函数解析式为y=-x+4 由此可求得直线CD的解析式为y=x+ 33（2）① ∵B（4，0），C （-4，0）∴OB=OC=4 联立直线AB解析式可求得，点P坐标为（2，2）∴OD是BC的垂直平分线∴∠BDE=∠CDE ② 当BD∶BF=1∶2时，如图②。∵∠CDE=∠ADP(对顶角) ∴∠BDE=∠ADP 过点F作FH⊥x轴于H。② 连接EP。与①同
理可证Rt△BHF∽Rt△DOB ∵∠BDE=∠BAD+∠DBP
则∴FH=8，HB=2OD ∠ADP=∠DPE+∠DEP，且∠BDE=∠ADP OBODBD∴∠BAD+∠DBP=∠DPE+∠DEP 连接EB。与(2)同理可证得DE=EF ∵∠DBP=∠DEP ∴∠DPE=∠BAD ∵FH=OD+DE=OD+EF=OD+OH=OD+OB+HB
=OD+OB+2OD=3OD+OB ∵∠DPE=∠DFE ∴∠DFE=∠BAD 44∵OA=OB ∴∠BAD=∠OBA=45°，即点D坐标为（0，-）∴8=3OD+4，得OD=33∴∠DFE=45°14由此可求得直线CD的解析式为y=-x- ∵DF是⊙Q的直径∴∠DEF=90°33∴△DEF是等腰直角三角形联立直线AB解析式可求得，点P坐标为（8，-4）22∴DF=DE，即y=x 综上，存在满足题述条件的Rt△BDF，点P坐标（3）① 当BD∶BF=2∶1时，如图①。为（2，2）或（8，-4）过点F作FH⊥x轴于H，则∠BFH+∠FBH=90°
yyAA∵DF是⊙Q的直径∴∠DBF=90°HBxC∴∠OBD+∠FBH=90°∴∠OBD=∠FBH PODD∴Rt△BHF∽Rt△DOB
BxPHCO FHHBBF11QQ∴∴FH=2，HB=OD OBODBD22FEEF易证四边形OEFH是矩形∴OE=FH=2，EF=OH 图①图②
2013年浙江省各地市数学中考压轴题解析汇编【2013·浙江绍兴·24题】抛物线y=(x-3)(x+1)与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点。（1）求点B及点D的坐标；（2）连接BD，CD，抛物线的对称轴与x 轴交于点E。① 若线段BD上一点P，使∠DCP=∠BDE，求点P
的坐标；② 若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐标。解：（1）由y=(x-3)(x+1)=0得，x=3或-1 322∴FM=FH=m，CH=m ∵点A在点B左侧2∴点B坐标为（3，0）222-∵y=(x-3)(x+1)=x2x-3=(x-1)-4 ∴OF=OC+CH-FH=3-m 2∴点D坐标为（1，-4）（2）① 取点C 关于直线DE的对称点H，连接CH322∴点M坐标为（m，m-3）22交DE于F，连接DH，延长CP交DH于Q，过点Q作QK⊥DE于K。72代入抛物线解析式，解得m=或0(舍去) 2易证，△CDH是等腰直角三角形，且CD= 9∵∠DCP=∠BDE ∴Rt△DCQ∽Rt△EDB ∴点M坐标为（，）∴由EB=2，DE=4得DQ= EBDE2 (ii) 当MN⊥CD，且点N在DC的延长线上时，连接MN交y轴于H，过点M作MF⊥y轴于F。易证，△KDQ是等腰直角三角形
∴点Q坐标为（，）∴KD=KQ=与(i)同理可得，点M坐标为（m，m-3）则直线CQ的解析式为y= 32代入抛物线解析式，解得m=5或0(舍去) 易得，直线BD的解析式为y=2x-6 ∴点M坐标为（5，12）联立两式解得，点P坐标为（，）故，点M坐标为（5，12）或（，）39② 当点M在对称轴左侧时，∠CMN=∠BDE＜45°，y则∠MCN＞45°，而对于抛物线左侧任意一点R，都有FMy∠RCN＜45°，故点M不在对称轴左侧，而在右侧。 (i) 当MN⊥CD，且点N在线段CD上时，延长MN交y轴于H，过点M作MF⊥y轴于F。
xxOEOEABABH∵∠CMN=∠BDE ∴Rt△CMN∽Rt△BDE CNMN FN M∴，即MN=2CN F EBDE HPCCNKQ连接BC，易证BC⊥CD，∠OCB=45°DDH∴△CNH、△MFH是等腰直角三角形设CN=m，则MN=2m，HN=m，HM=3m
2013年浙江省各地市数学中考压轴题解析汇编【2013·浙江温州·24题】如图，在平面直角坐标系轴，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（6，0）、B（0，8），点C的坐标为（0，m），过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴上一动点，连接CD、DE，以CD、DE为边作平行四边形CDEF。（1）当0＜m＜8时，求CE的长（用含m的代数式表示）；（2）当m=3时，是否存在点D，使平行四边形CDEF的顶点F恰好落在y轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得平行四边形CDEF为矩形，请求出所有满足条件的m的值。解：（1）∵CE⊥AB ∴∠BEC=∠BOA=90°易证四边形ODPQ为矩形，则OQ=PD=PC
936∵∠CEB=∠ABO ∴m+(8-m)=(8-m)，得m= ∴△BEC∽△AOB ∴ ② 当m≥8时，OQ＞PC，不存在满
足条件的m。OAAB∵OA=6，OB=8，OC=m ③ 当m=0时，点C与点O重合，如图b，显然满足条件。22OA OB∴AB==10，CB=8-m ④ 当m＜0，且点E与点A重合时，以CE为直3∴CE=(8-m) 径作⊙P必过点O，当点D与点O重合时，平行四边5形CDEF为矩形，如图c。（2）存在。∵∠BAC=90°，AO⊥BC ∵m=3
∴CB=5，CE=3 ∴BE=4 92∵F在y轴上∴DE∥OB
∴OA=OB·OC(射影定理) ∴OC= ∴OD= ∴∴m=-
BEAB5212∴点D坐标为（，0）⑤ 当m＜0，且点E与点A不重合
时，当⊙P与5x轴相切于点D时，平行四边形CDEF为矩形，
如图d。yyBB9F(8-m)，OC=-m 与①同理可得，CQ=50FE9E∴OQ=OC-
CQ=-m-(8-m) C50C93∵OQ=PD=PC ∴-m-(8-m)=(8-m) AAxx1050ODOD96（3）
①当0＜m＜8时，以CE为直径作⊙P，当⊙P解得m= 13与x
轴相切于点D时，平行四边形CDEF为矩形，如综上所述，
m=或0或-或图a。此时，PC=PD=CE=(8-m) 7213210yy y y过点P作
PQ⊥y轴于Q，易证得△PQC∽△BOA BB图a 图b 图 c 图d BB∴CQ=(8-m) ∴F(E)ODAx
E OAAB A50OEEFDPQ9QPPC∴OQ=OC+CQ=m+(8-m) ACAFC OCDODxx50F
2013年浙江省各地市数学中考压轴题解析汇编6【2013·浙江义乌·24题】如图1，已知y=(x＞0)图象上一点P，PA⊥x轴于点A（a，0），点B坐标为
（0，b）x（b＞0），动点M是y轴正半轴上B点上方的点，动点N在射线AP上，过点B作
AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q，连接AQ，取AQ的中点为C。（1）如图2，
连接BP，求△PAB的面积；3（2）当点Q在线段BD上时，若四边形BQNC时菱形，面积为
2，求此时P点的坐标；（3）当点Q在射线BD上时，且a=3，b=1，若以点B、C、N、Q为顶
点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长。 61解：（1）由题意可得，OA=a，AP=
QD ∴N是AD的中点∴CN=a21161110∴S=AP·OA=··a=3 ∴BQ=(BD-BQ) ∴BQ=BD= PAB△22a23
（2）∵DB⊥AB ∴∠∴AQ==2 1∵C是AQ的中点∴BC=CQ=AC
5∴BC=AQ= 2∵四边形BQNC是菱形510∴C=2(BC+BQ)=2+2 □BCNQ∴BC=BQ=CN=QN ② 当Q在
线段BD的延长线上时，如图3b。∴BC=BQ=CQ=CN=QN 1∵BC=CQ=AQ ∴△BCQ、△NCQ是等边
三角形2∴∠AQB=60°∴∠BAQ=30°∴平行四边形BCQN是菱形3∵菱形BQNC的面积为2
∴AQ=2CQ=2BN 3∴BC=BQ=2，AQ=4 ∴∵BN∥AQ ∴DQAQ2∵BQ=NQ，
∠AQB=∠AQN=60°，AQ=AQ ∴△ABQ≌△ANQ ∴DQ=2BD yyB∴∠NAQ=∠BAQ=30°
10∴BQ=BD+DQ=3BD=9 yyB∴∠BAO=30°(E)AAOD∴AQ==2 yOyxxBDE(E)P3AODA205Oxx∴CQ=
(E)QD∴OA=AB=3，即a=3 FPCAODAOxxED2PEP205Q∴C =4CQ=4CFPCQ□BCQN FPCF6CC∵点P在y=图象上，PA⊥x
轴510205F故，该平行四边形的周长为2+2或4 F x yyyy∴点P坐标为（3，2）DQDD BDAB（3）
易证△ABD∽△BOA，则NQ OAOB NMCNQDBPMMBP1010∵OA=3，OB=1 ∴AB=，BD=3 CCBBO① 当Q在
线段BD上时，如图3a。OAxAxOOAAxx图1 图2 图3a 图3b ∵四边形BCNQ是平行四边形∴CN∥QD，CN=BQ ∵C是AQ的中点
2013年浙江省各地市数学中考压轴题解析汇编【2013·浙江衢州·24题】在平面直角坐标系xOy中，过原点
O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC2的平分线
交AB于点D。点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿
射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长
度的速度沿x轴正方向移动。设移动时间为t秒。（1）当点
P移动到点D时，求出此时t的值；（2）当t为何值时，
△PQB为直角三角形；12（3）已知过O、P、Q三点的抛物线
解析式为y=-(x-t)+t（t＞0）。问是否存在某一时刻t，将△PQB
绕某点t旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？
若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由解：（1）∵OD
平分∠AOC ∵将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰
∴∠AOD=45°好都落在抛物线上∴△AOD是等腰直角三角形∴
旋转中心为PQ的中点，此时，四边形PBQB′∴AD=OA=2 为平行
四边形∵P（t，t），Q（2t，0）2∴OD=2 31∴旋转中心坐标为（t，t）∴t=2 22（2）由题意可得，B（6，2），Q（2t，0），P （t，t）∵点B坐标为（6，2）2222222则BQ=(2t-6)+4，
BP=(t-6)+(t-2)，PQ=2t ∴点B′的坐标为（3t-6，t-2）222① 当
∠PQB为直角时，则BP=BQ+PQ 代入抛物线解析式得：12222∴(t-6)+(t-2)=(2t-6)+4+2t 2-(3t-6-t)+t=t-2 t2即t-2t=0 2整
理得：2t-13t+18=0 解得t=0(舍去)或2 9解得t=2或222② 当
∠QPB为直角时，则BQ=BP+PQ 22222∴(2t-6)+4=(t-6)+(t-2)+2t 9故，当t=2或时，将△PQB绕PQ的中点旋转2即8t=0 180°后，三个对应顶点恰好都落在题述的抛物线上解得t=0(舍去) 222③ 当∠PBQ为直角时，则PQ=BQ+BP 2222y∴(t-6)+(t-2)+(2t-6)+4=2t 2即t-10t+20=0 DAB55解得t=5-或5+ P55故，当t=2或5-或5+时，△PQB为直角xOQC三角形（3）存在2013年浙江省各地市数学中考压轴题解析汇编1122【2013·浙江嘉兴&舟山·24题】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=(x-m)-m+m的顶点为A，44与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD。作AE∥x轴，DE∥y轴。（1）当m=2时，求点B的坐标；（2）求DE的长？（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第(3)①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形？1解：（1）∵点B是抛物线与y轴的交点2m+m+4）则点P坐标为（3m，-21122∴当x=0时，y=m-m+m=m 1934422代入①中解析式得-m+m+4=-m+m+4 2162∵m=2 2即m-8m=0，解得m=0或8 ∴点B坐标为（0，2）∵当m=0时，点A、B 重合，故舍去（2）延长EA交y轴于F ∴m=8 ∵DE∥y 轴，AC=AD ∴DE=CF (ii) 当四边形ABPD为平行四边
形时，如图左侧。12易得A（m，-m+m），B（0，m）142同理可得PH=AF=AE=-m，DH= BF=m 412∴BF=m，AF=m 则点P坐标为（m，m+4）411∵AC⊥AB，即∠BAC=90°，AF⊥BC 2代入①中解析式得m+4=-m+m+4 1622∴AF=BF·CF(射影定理) 2即m+8m=0，解得m=0(舍去)或-8 ∴CF=4，即DE=4 ∴m=-8 （3）①∵点D的坐标为（x，y），DE=4 故，当m=±8时，以A、B、D、P为顶点的四边∴点E的坐标为（x，y-4）形是平行四边形12∵A（m，-m+m）是EF的中点，EF∥x轴y4B12∴x=2m，y-4=-m+m 4xO消去m得，y关于x的函数
关系式为：HPD11B2EFA162C②（i）当四边形ABDP为平行四边形时，如图右侧。P过点P作PH⊥DE于H，易证△PDH≌△ABF DHF1EA2∴PH=AF=AE=m，DH=BF=m C4
2013年浙江省各地市数学中考压轴题解析汇编【2013·浙】如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四江湖州·24题
边形OACB是平行四边形，4k sin∠AOB=，反比例函数y=（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F。5x（1）若OA=10，求反比例函数解析式；（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P 为直线EF上的一个动点，连接PA，PO。是否存在这样的点P，
使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由。1解：（1）过点A作AH⊥x轴于H 连接AB，则S=S=OB·AH=12 △AOF△AOB24∵OA=10，sin∠AOB= 533∴OB=3，则AC=3 ∴AH=8，OH=6 ∴点A坐标为（6，8）833∴点C坐标为（5，）∵点A 在反比例函数图象上∴k=6×8=48 348154∴反比例函数解析式为y= 333（3）易得OE=AE=，，OA=OK=EK= x233（2）过点F作y轴的平行线交AC于M，交x轴于N，153① 当∠OPA=90°时，EP=OA=23则四边形AHNM是矩形8∵S=S ∴S=S=12 3当P在OA右侧时，KP=EK+EP=△AOF△OFN△AOFAHNF梯形3kk84设点A坐标为（x，），则AH=，OH=x 33，）∴P（xx33∵AC∥x轴，点F为BC的中点23当P在OA左侧时，KP=EP-EK=∴F为MN的中点MN=AH= ∴FN=，）∴P（222x33k2② 当∠POA=90°时，OK=EK·KP(射影定理) ∴点F坐标为（2x，）∴HN=x 2x16164333则KP=），∴P（-，11kk399∴S=(AH+FN)·HN=x(+)=12 AHNF梯形22x2x③ 当∠OAP=90°时，∠AEP=∠AOB 16AE325∴k=16 ∴反比例函数解析式为y= ∴EP= ∵cos∠AEP=xEP594AH434344∵sin∠AOB=
∴tan∠AOH== 333∴P（，）∴KP=53OH993161433∴·=，得x=2或-2(舍去) yy xx3图①图②8AMACC33）∴点A坐标为（2，3P PKEF P F8324P331∴OH=2，AH=3OHBNBOxx6410∴OA= =33
2013年浙江省各地市数学中考压轴题解析汇编【2013·浙如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称江台州·24题】
这个三角形为“好玩三角形”。（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；3（2）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=。求证：△ABC是“好玩三角形”；2（3）如图2，已知菱形ABCD 的边长为a，∠ABC=2β，点P、Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB—BC和AD—DC向终点C运动，记点P所经过的路程为s。① 当β=45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求
a/s的值；② 当tanβ的取值在什么范围内，点P、Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”，请直接写出tanβ的取值范围。（4）依据(3)的条件，提出一个关于“在点P、Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是…好玩三角形?的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）。解：（1）作线段AB的中垂线，得中点D，以D为圆(ii)当AP边的中线QH与AP相等时，过点Q作1心，AB长为半径画圆，在圆上任取一点C（圆与直线QE⊥AP于E，由QH=AP=AQ得，AE=EH=AP 4AB的交点除外），连接AC、BC、CD，则△ABC是1“好玩三角形” 15∴QE==AP （2）取AC的中点D，连接BD，则BD是△ABC在QE15315AC边上的中线。∵tan∠EPQ= 3由tanA=，设AC=2m，BC=m AK15AC2∴tan∠APK= ∵D是AC的中点∴CD=m 222由(i)得，AK=a-(2a-s)，PK=(2a-s) 2∴BD==2m 22∴BD=AC ∴△ABC是“好玩三角形” 21522∴a-(2a-s)=·(2a-s) 232AAACCE a151H∴
15＜tanβ＜2时，点P、Q在运② 由①KDBDO s102BDBDOKQPQQPKPHABDAB
可知，当C图1图2CC3动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形” （3）① 由题意知，菱形ABCD是正方形，且△APQ15是等腰三角形(AP=AQ)。当点P在AB上时，△APQ（4）若0＜tanβ＜，点P、Q在运动过程中，使3是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”。得△APQ成为“好玩三角形”的个数为2；(i)当PQ边的中线与PQ相等时，连接AC、BD15若＜tanβ＜2，点P、Q在运动过程中，使得交于点O，AC交PQ于点K，则AK是△APQ的中线3由题意易得，PC=QC=2a-s △APQ成为“好玩三角形”的个数为1；22则PQ=(2a-s)，CK=(2a-s) 若tanβ＞2，点P、Q在运动过程中，使得△APQ2成为“好玩三角形”的个数为0；222∵AC=a ∴AK=a-(2a-s) 152若tanβ=或2，点P、Q在运动过程中，使得3∵AK=PQ △APQ成为“好玩三角形”的个数有无数个。a32∴a-(2a-s)=(2a-s)，得s42
2013年浙江省各地市数学中考压轴题解析汇编【2013·浙江丽水&金华·24题】如图1，点A是x轴正半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E，点D是点A关于直线CF的对称点，连结AC，BC，CD，设点A的横坐标为t。（1）当t=2时，求CF的长；（2）①当t为何值时，点C落在线段BD上？②设△BCE的面积为S，求S与t之间的函数关
系式；（3）如图2，当点C与点E重合时，△CDF沿x轴左右
平移得到△C?D?F?，再将A、B、C?、D?为顶点的四边形沿
C?F?剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙
的图形恰好是三角形，请直接写出所有符合上述条件的点C?的
坐标。yyyy’E(C)’E(C)CCCBB’E(C)CBBEEKMxCxO’’D(F)DAFxxO’’AFDFDFOAFDADO’’AFD(F)(D)K图1
图2a图2b 图2c解：（1）
∵∠BAC=90°55解得t=2-2或-2-2(舍去) ∴∠OAB+∠FAC=90°
5∴当t=2-2时，点C落在线段BD上∵∠OAB+∠OBA=90°
∴∠OBA=∠FAC t② 当点C与点E重合时，=4，得t=8
2∴Rt△OAB∽Rt△FCA 当0＜t≤8时，点C在点E下方
∴tOAAB由①可得，BE=OF=t+2，CE=EF-CF=4-2∵M
是AB的中点，AC=AM 11t132∴AB=2AC
∴S=BE·CE=(t+2)( 4-)= 22242∵当t=2时，OA=2 当t＞
8时，点C在点E上方∴CF=1 t-4 此时，BE=t+2，CE=CF-
EF=（2）①由△OAB∽△FCA得
OAOBAB2∴S=BE·CE=(t+2)(-4)= ∵OA=t，OB=4
22242t（3）当点C与点E重合时，t=8，AF=FD=2 ∴CF=，AF=2
2① 如图2a，当点F?与点D重合时，AF?=C?F?，使∵点D、A
关于直线CF的对称，CF⊥x轴得△C?F?D?≌△AF?K，拼成
△BC?K，此时，点C?坐∴DF=AF=2 标为（12，4）
∴OD=OA+AF+DF=t+4 ② 如图2b，当F?与点A重合时，
△AC?B≌△∵点C落在线段BD上AC?O，拼成△OC?D?，此时，
点C?坐标为（8，4）∴△CFD∽△BOD ③ 如图2c，当BC?=F?D?=2时，△BC?K≌△D?F?K，∴拼成△AC?F?，
此时，点C?坐标为（2，4）DFODt2∴·(t+4)=8，即2
2013年浙江省各地市数学中考压轴题解析汇编【2013·杭州·23题】如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积为S. 1（1）求证：∠APE=∠CFP；S（2）设四边形CMPF的面积为S，CF=x，y=。12S2① 求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；② 当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值。解：（1）过点P作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H。
∵AC是正方形ABCD的对角线
∴y== 22xxxS∴∠HPC=∠HCP=45°2∵∠EPF=45°∵点F在BC边上，点E在AB边上，且∠EPF=45°∴∠APE+∠HPF=180°-∠EPF-∠HPC=90°∴2≤x≤4 ∵∠PHF=90°112∵y= x2∴∠CFP+∠HPF=90°11∴∠APE=∠CFP ∴当，即x=2时，y有最大值，最大值为1 x2（2）①∵P是正方形ABCD的对称中心，边长为4 ② 因为两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，2∴PH=GP=2，AP=CP=2 要使其关于点P 成中心对称，则两块阴影部分图形还要关于直线BD成轴对称，
此时BE=BF 1∵CF=x ∴S=CF·PH=x PFC△2∴AE=CF ∴S=2S=2x 82PFC△22则=x，得x=2或-2(舍去) x∵∠APE=∠CFP，∠PAE=∠PCF=45°∴△APE∽△CFP 2∴x=2 AEAP=∴8888CPCF2∴y==2-2
2== ∴AE=CFxx NAD18AE·GP= ∴S=APE△2x1PMG∵S=AB·BC=8 ABC△28E∴S=S-S-S=8--x BFPEABC APE PFC四边形△△△x16BCFH∴S=2S=16--2x 1BFPE四边形x
专业资料整理分享 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是
列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：
2020年中考数学压轴题精选解析 中考压轴题分类专题三——抛物线中的等腰三角形 基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或 抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为底时（即PA PB =）：点P 在AB 的垂直平分线上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ； 利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式； 将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为腰时，分两类讨论： ①以A ∠为顶角时（即AP AB =）：点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。 ②以B ∠为顶角时（即BP BA =）：点P 在以B 为圆心以 AB 为半径的圆上。 利用圆的一般方程列出A e (或B e )的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形 基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或 抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用圆的一般方程列出M e 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）： 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出PA （或PB ）的斜率 k ；进而求出PA （或PB ）的解析式； 将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 所需知识点： 一、 两点之间距离公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()2 21221y y x x PQ -+-= 。 二、 圆的方程： 点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-= 22，得到方程☆：()()22 2 R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。 三、 中点公式： 四、 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++22 2121y y ,x x 。 五、 任意两点的斜率公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则直线PQ 的斜率： 2 12 1x x y y k PQ --= 。 中考压轴题分类专题五——抛物线中的四边形 基本题型：一、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上， 或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为平行四边形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为边时 （2）AB 为对角线时 二、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对 称轴上），若四边形ABPQ 为距形，求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边互相垂直 （2）对角线相等 三、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对 称轴上），若四边形ABPQ 为菱形，求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边相等 （2）对角线互相垂直
中考数学压轴题十大类型 目录 第一讲中考压轴题十大类型之动点问题 1 第二讲中考压轴题十大类型之函数类问题7 第三讲中考压轴题十大类型之面积问题13 第四讲中考压轴题十大类型之三角形存在性问题19 第五讲中考压轴题十大类型之四边形存在性问题25 第六讲中考压轴题十大类型之线段之间的关系31 第七讲中考压轴题十大类型之定值问题38 第八讲中考压轴题十大类型之几何三大变换问题44 第九讲中考压轴题十大类型之实践操作、问题探究50 第十讲中考压轴题十大类型之圆56 第十一讲中考压轴题综合训练一62 第十二讲中考压轴题综合训练二68
第一讲 中考压轴题十大类型之动点问题 一、知识提要 基本方法： ______________________________________________________; ______________________________________________________; ______________________________________________________． 二、精讲精练 1. （2011吉林）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD =90°，CE ⊥AD 于点E ， AD =8cm ，BC =4cm ，AB =5cm ．从初始时刻开始，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，运动速度均为1cm/s ，动点P 沿A -B -C -E 方向运动，到点E 停止；动点Q 沿B -C -E -D 方向运动，到点D 停止，设运动时间为x s ，△P AQ 的面积为y cm 2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题： （1） 当x =2s 时，y =_____ cm 2；当x =9 2 s 时，y =_______ cm 2． （2）当5 ≤ x ≤ 14时，求y 与x 之间的函数关系式． （3）当动点P 在线段BC 上运动时，求出15 4 y S 梯形ABCD 时x 的值． （4）直接写出在整个．．运动过程中，使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值．
2018年全国各地中考数学压轴题汇编（浙江专版） 选择、填空 一．选择题（共18小题） 1．（2018?杭州）如图，已知点P是矩形ABCD内一点（不含边界），设∠PAD=θ1，∠PBA=θ2，∠PCB=θ3，∠PDC=θ4，若∠APB=80°，∠CPD=50°，则（） A．（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）=30°B．（θ2+θ4）﹣（θ1+θ3）=40°C．（θ1+θ2）﹣（θ3+θ4）=70°D．（θ1+θ2）+（θ3+θ4）=180°2．（2018?宁波）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为（） A．πB．πC．πD．π3．（2018?嘉兴）如图，点C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB=BC，△AOB的面积为1，则k的值为（） A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2018?杭州）如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2（） A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2 C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2D．若2AD＜AB，则3S1＜2S2 5．（2018?宁波）如图，平行于x轴的直线与函数y=（k1＞0，x＞0），y=（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（） A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4 6．（2018?杭州）四位同学在研究函数y=x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现﹣1是方程x2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时，y=4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（） A．甲B．乙C．丙D．丁7．（2018?温州）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（）
我选的中考数学压轴题 100题精选 【001】如图，已知抛物线2(1)33y a x =-+（a ≠0）经过点(2)A -，0， 抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． x y M C D P Q O A B
【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着PQ 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QBBCCP 于点E ．点PQ 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点PQ 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围） （3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接．． 写出t 的值． A C B P Q E D 图16
2020中考数学压轴题100题精选 （附答案解析） 【001 】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+（a ≠0）经过点 (2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结 BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．
【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t 秒（t＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S 与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C 成 为直角梯形？若能，求t （4）当DE经过点C 时，请直接 图16 【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
一、函数与几何综合的压轴题 1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交 于E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵ DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 图① 图②
方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得0 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直
中考数学压轴题解析二十 103．（2017黑龙江省龙东地区，第25题，8分）在甲、乙两城市之间有一服务区，一辆客车从甲地驶往乙地，一辆货车从乙地驶往甲地．两车同时出发，匀速行驶，客车、货车离服务区的距离y1（千米），y2（千米）与行驶的时间x（小时）的函数关系图象如图1所示． （1）甲、乙两地相距千米． （2）求出发3小时后，货车离服务区的路程y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式． （3）在客车和货车出发的同时，有一辆邮政车从服务区匀速去甲地取货后返回乙地（取货的时间忽略不计），邮政车离服务区的距离y3（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图线如图2中的虚线所示，直接写出在行驶的过程中，经过多长时间邮政车与客车和货车的距离相等？ 【答案】（1）480；（2）y2=40x﹣120；（3）1.2或4.8或7.5小时． 【分析】（1）根据图1，根据客车、货车离服务区的初始距离可得甲乙两地距离； （2）根据图象中的数据可以求得3小时后，货车离服务区的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式； （3）分三种情况讨论，当邮政车去甲地的途中会有某个时间邮政车与客车和货车的距离相等；当邮政车从甲地返回乙地时，货车与客车相遇时，邮政车与客车和货车的距离相等；货车与客车相遇后，邮政车与客车和货车的距离相等． ． 106．（2017山东省莱芜市，第22题，10分）某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元． （1）改网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？ （2）根据消费者需求，网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋，且甲 种口罩的数量大于乙种口罩的4 5，已知甲种口罩每袋的进价为22.4元，乙种口罩每袋的 进价为18元，请你帮助网店计算有几种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？ 【答案】（1）该网店甲种口罩每袋的售价为25元，乙种口罩每袋的售价为20元；（2）该网店购进甲种口罩227袋，购进乙种口罩273袋时，获利最大，最大利润为1136.2元．【分析】（1）分别根据甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元，得出等式组成方程求出即可； （2）根据网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋，甲种口罩的数量大
近年来中考数学压轴题大集合 【一】函数与几何综合的压轴题 1.〔2004安徽芜湖〕如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 假如有一抛物线通过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 假如AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，如今AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解]〔1〕 〔本小题介绍二种方法，供参考〕 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB ' '''== 又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC ' ' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ' '=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D 〔1，0〕，A 〔-2，-6〕，得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B 〔-2，0〕，C 〔1，-3〕，得BC 直线方程：y =-x -2② 联立①②得 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标〔0，-2〕，即E 点在y 轴上 〔2〕设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A 〔-2，-6〕，C 〔1，-3〕 E 〔0，-2〕三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 〔3〕〔本小题给出三种方法，供参考〕 由〔1〕当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同〔1〕可得：1E F E F AB DC ''+=得：E ′F =2 图①
一、中考数学压轴题 1．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4cm ，BE ＝5cm ，点E 是AD 边上的一点，AE 、DE 分别长acm ．bcm ，满足(a －3)2＋|2a ＋b －9|＝0．动点P 从B 点出发，以2cm/s 的速度沿B→C→D 运动，最终到达点D ，设运动时间为t s ． （1）a ＝______cm ，b ＝______cm ； （2）t 为何值时，EP 把四边形BCDE 的周长平分？ （3）另有一点Q 从点E 出发，按照E→D→C 的路径运动，且速度为1cm/s ，若P 、Q 两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t 为何值时，△BPQ 的面积等于6cm 2． 2．在平面直角坐标系中，抛物线2 4y mx mx n =-+（m >0）与x 轴交于A ，B 两点，点B 在点A 的右侧，顶点为C ，抛物线与y 轴交于点D ，直线CA 交y 轴于E ，且 :3:4??=ABC BCE S S ． （1）求点A ，点B 的坐标； （2）将△BCO 绕点C 逆时针旋转一定角度后，点B 与点A 重合，点O 恰好落在y 轴上， ①求直线CE 的解析式； ②求抛物线的解析式． 3．如图1，抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点E 是BD 上方抛物线上的一点，连接AE 交DB 于点F ，若AF=2EF ，求出点E 的坐标． （3）如图3，点M 的坐标为（ 3 2 ，0），点P 是对称轴左侧抛物线上的一点，连接MP ，将MP 沿MD 折叠，若点P 恰好落在抛物线的对称轴CE 上，请求出点P 的横坐标．
中考数学压轴题精选精析 37.（09年黑龙江牡丹江）28．（本小题满分8分） 如图， 在平面直角坐标系中，若、的长是关于的一元二 次方程的两个根，且 （1）求的值． （2）若为轴上的点，且求经过、两点的直线的解析式，并判断与是否相似？ （3）若点在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点使以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理 由． （09年黑龙江牡丹江28题解析）解：（1）解得 ·············································································· 1分 在中，由勾股定理有 ········································································ 1分 （2）∵点在轴上， ········································································ 1分 ABCD 6AD =，OA OB x 2 7120x x -+=OA OB >．sin ABC ∠E x 16 3 AOE S = △，D E AOE △DAO △M AB F ，A C F M F 2 7120x x -+=1243x x ==，OA OB >43OA OB ∴==，Rt AOB △225AB OA OB =+=4 sin 5 OA ABC AB ∴∠= =E x 163 AOE S = △11623AO OE ∴?=8 3 OE ∴= 880033E E ????∴- ? ????? ，或，x y A D B O C 28题图
一、函数与几何综合的压轴题 1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于 E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. ~ [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） ' 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵ DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 图① 图②
方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得0 2x y =??=-? 》 ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） E （0，-2）三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? （ = 1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直
一、中考数学压轴题 1．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝ 1 3 ，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由． 2．如图，已知抛物线y ＝2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-（），B 33,0（）两点，与y 轴交于点C 0,3（）． （1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标； （2）在抛物线的对称轴上找到点P ，使得PAC 的周长最小，并求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过点 D 作D E //PC 交x 轴于点E ．设CD 的长为m ，问当m 取何值时， PDE ABMC 1 S S 9 =四边形． 3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线239 334 y x x = --x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点 C ． （1）过点C 的直线5 334 y x = -x 轴于点H ，若点P 是第四象限内抛物线上的一个动
点，且在对称轴的右侧，过点P 作//PQ y 轴交直线CH 于点Q ，作//PN x 轴交对称轴于点N ，以PQ PN 、为邻边作矩形PQMN ，当矩形PQMN 的周长最大时，在y 轴上有一动点K ，x 轴上有一动点T ，一动点G 从线段CP 的中点R 出发以每秒1个单位的速度沿R K T →→的路径运动到点T ，再沿线段TB 以每秒2个单位的速度运动到B 点处停止运动，求动点G 运动时间的最小值： （2）如图2， 将ABC ?绕点B 顺时针旋转至A BC ''?的位置， 点A C 、的对应点分别为A C ''、，且点C '恰好落在抛物线的对称轴上，连接AC '．点E 是y 轴上的一个动点，连 接AE C E '、， 将AC E ?'沿直线C E '翻折为A C E ?''， 是否存在点E ， 使得BAA ?'为等腰三角形?若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图1，正方形CEFG 绕正方形ABCD 的顶点C 旋转，连接AF ，点M 是AF 中点． （1）当点G 在BC 上时，如图2，连接BM 、MG ，求证：BM =MG ； （2）在旋转过程中，当点B 、G 、F 三点在同一直线上，若AB =5，CE =3，则MF = ； （3）在旋转过程中，当点G 在对角线AC 上时，连接DG 、MG ，请你画出图形，探究DG 、MG 的数量关系，并说明理由． 5．“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数．其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x ，十位上和个位上的数字之和为y ，如果x y =，那么称这个四位数为“和平数”． 例如：1423，14x =+，23y =+，因为x y =，所以1423是“和平数”． （1）直接写出：最小的“和平数”是________，最大的“和平数”是__________； （2）求同时满足下列条件的所有“和平数”：
2015年中考数学压轴题十大类型 目录 第一讲中考压轴题十大类型之动点问题 1 第二讲中考压轴题十大类型之函数类问题 7 第三讲中考压轴题十大类型之面积问题 13 第四讲中考压轴题十大类型之三角形存在性问题 19 第五讲中考压轴题十大类型之四边形存在性问题 25 第六讲中考压轴题十大类型之线段之间的关系 31 第七讲中考压轴题十大类型之定值问题 38 第八讲中考压轴题十大类型之几何三大变换问题 44 第九讲中考压轴题十大类型之实践操作、问题探究 50 第十讲中考压轴题十大类型之圆 56 第十一讲中考压轴题综合训练一 62 第十二讲中考压轴题综合训练二 68
第一讲 中考压轴题十大类型之动点问题． 1. （2008河北）如图，在Rt ABC △中，∠C=90°，AB =50，AC =30， D ， E ， F 分别是AC ，AB ， B C 的中点．点P 从点D 出发沿折线DE -EF -FC -CD 以每秒7个单位长的速度匀速运动；点 Q 从点 B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK AB ⊥，交折线B C -CA 于 点G ．点P Q ，同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P Q ，运动的时间是t 秒（0t >）． （1）D F ，两点间的距离是 ； （2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值．若不能，说明理由； （3）当点P 运动到折线EF FC -上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值； （4）连结PG ，当PG AB ∥时，请直接．．写出t 的值． 2. （2011山西太原）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形．直线l 经过O 、C 两点．点A 的坐标为(8，0)，点B 的坐标为(11，4)，动点P 在线段OA 上从点O 出发以每秒1个单位的速度向点A 运动，同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿A →B →C 的方向向点C 运动，过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线O -C -B 相交于点M ．当P 、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒(0t >)，△MPQ 的面积为S ． （1）点C 的坐标为________，直线l 的解析式为__________． （2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围． （3）试求题(2)中当t 为何值时，S 的值最大，并求出S 的最大值． （4）随着P 、Q 两点的运动，当点M 在线段CB 上运动时，设PM 的延长线与直线l 相交于点N ．试探究：当t 为何值时，△QMN 为等腰三角形？请直接写出t 的值． 3. （的B 备用图 F E D C B A
压轴汇编 1. 某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在 点)(k k k y x P ，处，其中11=x ，11=y ，当k ≥2时， ??? ??? ? ---+=----+=--]52[]51[])5 2[]51([5111k k y y k k x x k k k k ，[a ]表示非负实数a 的整数部分，例如[2.6]=2，[0.2]=0。按此方案，第2009棵树种植点的坐标为 A.（5，2009） B.（6，2010） C.（3，401） D （4，402） 2. 以正方形ABCD 的BC 边为直径作半圆O , 过点D 作直线切半圆于点F , 交AB 边于点E . 则三角形ADE 和直角梯形EBCD 周长之比为 (A) 3:4 (B) 4:5 (C) 5:6 (D) 6:7 3. 设1x ，2x 是关于x 的方程02 =++q px x 的两根，11+x ，12+x 是关于x 的方程 02=++p qx x 的两根，则p ，q 的值分别等于（ ） （A ）1，-3 （B ）1，3 （C ）-1，-3 （D ）-1，3 4. 如图，在Rt ΔABC 中，AF 是斜边上的高线，且BD=DC=FC=1，则AC 的长为 （A ）32 （B ）3 （C ）2 （D ）3 3 4 4 5 5.如图,在等腰Rt ABC V 中,AC=BC,以斜边AB 为一边作等边ABD V ,使点C,D 在AB 的同侧;再以CD 为一边作等边CDE V ,使点C,E 落在AD 的异侧.若AE=1,则CD 的长为 ( ) (A)31- (B) 31 2- (C)62- (D) 62 -
一．解答题（共30小题） 1．（顺义区）如图，直线l 1：y=kx+b平行于直线y=x﹣1，且与直线l 2 ： 相交于点P（﹣1，0）． （1）求直线l 1、l 2 的解析式； （2）直线l 1 与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运 动，到达直线l 2上的点B 1 处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l 1 上的 点A 1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l 2 上的点B 2 处后，又改为垂 直于x轴的方向运动，到达直线l 1上的点A 2 处后，仍沿平行于x轴的方向运动，… 照此规律运动，动点C依次经过点B 1，A 1 ，B 2 ，A 2 ，B 3 ，A 3 ，…，B n ，A n ，… ①求点B 1，B 2 ，A 1 ，A 2 的坐标； ②请你通过归纳得出点A n 、B n 的坐标；并求当动点C到达A n 处时，运动的总路径 的长？ 2．（莆田）如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=1，OC=2，点D在边OC上且OD=． （1）求直线AC的解析式； （2）在y轴上是否存在点P，直线PD与矩形对角线AC交于点M，使得△DMC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）抛物线y=﹣x2经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点D和点E（点E在y轴的正半轴上），且△ODE沿DE折叠后点O落在边AB上O′处．
3．（资阳）已知Z 市某种生活必需品的年需求量y 1（万件）、供应量y 2（万件）与价格x （元/件）在一定范围内分别近似满足下列函数关系式：y 1=﹣4x+190，y 2=5x ﹣170．当y 1=y 2时，称该商品的价格为稳定价格，需求量为稳定需求量；当y 1＜y 2时，称该商品的供求关系为供过于求；当y 1＞y 2时，称该商品的供求关系为供不应求． （1）求该商品的稳定价格和稳定需求量； （2）当价格为45（元/件）时，该商品的供求关系如何？为什么？ 4．（哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（﹣3，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式； （2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位/秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值． 5．（桂林）如图已知直线L ：y=x+3，它与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B 两点． （1）求点A 、点B 的坐标． （2）设F 为x 轴上一动点，用尺规作图作出⊙P，使⊙P 经过点B 且与x 轴相切于点F （不写作法，保留作图痕迹）． （3）设（2）中所作的⊙P 的圆心坐标为P （x ，y ），求y 关于x 的函数关系式． （4）是否存在这样的⊙P，既与x 轴相切又与直线L 相切于点B ？若存在，求出圆心P 的坐标；若不存在，请说明理由．
第一讲 中考压轴题十大类型之动点问题 1. （2011吉林）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD =90°，CE ⊥AD 于点E ， AD =8cm ，BC =4cm ，AB =5cm ．从初始时刻开始，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，运动速度均为1cm/s ，动点P 沿A -B -C -E 方向运动，到点E 停止；动点Q 沿B -C -E -D 方向运动，到点D 停止，设运动时间为x s ，△P AQ 的面积为y cm 2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题： （1） 当x =2s 时，y =_____ cm 2；当x =9 2 s 时，y =_______ cm 2． （2）当5 ≤ x ≤ 14时，求y 与x 之间的函数关系式． （3）当动点P 在线段BC 上运动时，求出15 4 y S 梯形ABCD 时x 的值． （4）直接写出在整个．．运动过程中，使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值．
D C B A 2. （2007河北）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC =50，AD =75，BC =135．点 P 从点B 出发沿折线段BA -AD -DC 以每秒5个单位长的速度向点C 匀速运动；点Q 从点C 出发沿线段CB 方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q 向上作射线QK ⊥BC ，交折线段CD -DA -AB 于点E ．点P 、Q 同时开始运动，当点P 与点C 重合时停止运动，点Q 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当点P 到达终点C 时，求t 的值，并指出此时BQ 的长； （2）当点P 运动到AD 上时，t 为何值能使PQ ∥DC ？ （3）设射线QK 扫过梯形ABCD 的面积为S ，分别求出点E 运动到CD 、DA 上时，S 与t 的关系式； （4）△PQE 能否成为直角三角形？若能，写出t 的取值范围；若不能，请说明理由． 备用图 3. （2008河北）如图，在Rt ABC △中，∠C=90°，AB =50，AC =30，D ，E ，F 分 别是AC ，AB ，B C 的中点．点P 从点D 出发沿折线DE -EF -FC -CD 以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q 从点B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK AB ⊥，交折线BC -CA 于点G ．点P Q ，同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P Q ，运动的时间是t 秒（0t >）． （1）D F ，两点间的距离是 ； （2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值．若不能，说明理由； （3）当点P 运动到折线EF FC -上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值； （4）连结PG ，当PG AB ∥时，请直接．． 写出t 的值．