全国各地中考数学压轴题汇编完整版
目录
一、图象信息
二、一元二次方程
三、反比例函数
四、二次函数
五、概率
六、三角形
七、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形
八、圆
九、综合型问题
十、动态综合型问题
一、图象信息
1．甲、乙两车在连通A 、B 、C 三地的公路上行驶，甲车从A 地出发匀速向C 地行驶，同时乙车从C 地出发匀速向B 地行驶，到达B 地并在B 地停留1小时后，按原路原速返回到C 地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距B 地的路程y （千米）与行驶时间x （小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象回答下列问题：
（1）求甲、乙两车的速度，并在图中（ ）内填上正确的数； （2）求乙车从B 地返回到C 地的过程中，y 与x 之间的函数关系式；
（3）当甲、乙两车行驶到距B 地的路程相等时，甲、乙两车距B 地的路程是多少？
2．有一批物资，先用火车从M 地运往距M 地180千米的火车站，再由汽车运往N 地．甲车在驶往N 地的途中发生故障，司机马上通知N 地，并立即检查和维修．N 地在接到通知后第12分钟时，立即派乙车前往接应．经过抢修，甲车在乙车出发第8分钟时修复并继续按原速行驶，两车在途中相遇．为了确保物资能准时运到N 地，随行人员将物资全部转移到乙车上（装卸货物时间和乙车掉头时间忽略不计），乙车按原速原路返回，并按预计时间准时到达N 地．下图是甲、乙两车离N 地的距离y （千米）与时间x （小时）之间的函数图象。请结合图象信息解答下列问题： （1）请直接在坐标系中的（ ）内填上数据；
（2）求直线CD 的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）求乙车的行驶速度．
3．如图1，某容器由A 、B 、C 三个长方体组成，其中A 、B 、C 的底面积分别为25cm 2、10cm 2、5cm 2，C 的容积是容器容积的 1
4
（容器各面的厚度忽略不计）．现以速度v （单位：cm 3/s ）均匀地向容器注水，直
至注满为止．图2是注水全过程中容器的水面高度h （单位：cm ）与注水时间t （单位：s ）的函数图象． （1）求A 的高度h A 及注水的速度v ；
（2）求注满容器所需时间及容器的高度．
)
（
4．如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽中的水匀速注人乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y （厘米）与注水时间x （分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）图2中折线ABC 表示_______槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE 表示_______槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点B 的纵坐标表示的实际意义是__________________________；
（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？ （3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积； （4）若乙槽中铁块的体积为112立方厘米，求甲槽底面积（壁厚不计）．
5．小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2400m 的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96m /min 的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留2 min 后沿原路以原速返回．设他们出发后经过t min 时，小明与家之间的距离为s 1 m ，小明爸爸与家之间的距离为s 2 m ，图中折线OABD 、线段EF 分别表示s 1、s 2与t 之间函数关系的图象。 （1）求s 2与t 之间的函数关系式；
（2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？
6．因长期干旱，甲水库蓄水量降到了正常水位的最低值．为灌溉需要，由乙水库向甲水库匀速供水，20h 后，甲水库打开一个排灌闸为农田匀速灌溉，又经过20h ，甲水库打开另一个排灌闸同时灌溉，再经过40h ，乙水库停止供水．甲水库每个排灌闸的灌溉速度相同，图中的折线表示甲水库蓄水量Q （万m 3）与时间t （h ）之间的函数关系． 求：（1）线段BC 的函数表达式； （2）乙水库供水速度和甲水库一个排灌闸的灌溉速度； （3）乙水库停止供水后，经过多长时间甲水库蓄水量又 降到了正常水位的最低值？
甲槽
乙槽 图1 图2
)
Q (
7．小华观察钟面（图1），了解到钟面上的分针每小时旋转360度，时针毎小时旋转30度．他为了进一步探究钟面上分针与时针的旋转规律，从下午2 :
00开始对钟面进行了一个小时的观察．为了探究方便，他
将分针与分针起始位置OP （图2）的夹角记为y 1，时针与OP 的夹角记为y 2度（夹角是指不大于平角的角），旋转时间记为t 分钟．观察结束后，利用获得的数据绘制成图象（图3），并求出y 1与t 的函数关系式：
y 1＝?
????6t （0≤t ≤30）－6t ＋360（30＜t ≤60）
请你完成：
（1）求出图3中y 2与t 的函数关系式；
（2）直接写出A 、B 两点的坐标，并解释这两点的实际意义； （3）若小华继续观察一个小时，请你在图3中补全图象．
8．周六上午8∶00小明从家出发，乘车1小时到郊外某基地参加社会实践活动，在基地活动2.2小时后，因家里有急事，他立即按原路以4千米/小时的平均速度步行返回，同时他的爸爸开车从家出发沿同一路线接他，在离家28千米处与小明相遇，接到小明后保持车速不变，立即按原路返回．设小明离开家的时间为x 小时，小名离家的路程y （干米）与x （小时）之间的函数图象如图所示．
（1）小明去基地乘车的平均速度是______千米/小时，爸爸开车的平均速度是______千米/小时； （2）求线段CD 所表示的函数关系式；
（3）小明能否在12∶00前回到家？若能，请说明理由；若不能，请算出12∶00时他离家的路程．
9．由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每部降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元． （1）今年甲型号手机每部售价为多少元？
（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20部，请问有几种进货方案？
（3）若乙型号手机的售价为1400元，为了促销，公司决定每售出一部乙型号手机，返还顾客现金a 元，
图1
图2
图3 )
x (小时)
10．星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成 ．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x 米．
（1）若平行于墙的一边的长为y 米，直接写出y 与x 之间的函数关系式及其自变量x 的取值范围； （2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；
（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出x 的取值范围．
11
（1）若某用户六月份用水量为18吨，求其应缴纳的水费；
（2）记该用户六月份用水量为x 吨，缴纳水费为y 元，试列出y 与x 的函数式；
（3）若该用户六月份用水量为40吨，缴纳水费y 元的取值范围为70≤y ≤90，试求m 的取值范围．
12．在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度． （1）实验操作：
在平面直角坐标系中描出点P 从点O 出发，平移1次后，2次后，3次后可能到达的点，并把相应点的坐标填写在表格中：
（2）观察发现：
任一次平移，点P 可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移1次后在函数________________的图象上；平移2次后在函数________________的图象上……由此我们知道，平移n 次后在函数________________的图象上．（请填写相应的解析式）
（3）探索运用：
点P 从点O 出发经过n 次平移后，到达直线y ＝x 上的点Q ，且平移的路径长不小于50，不超过56，求点Q 的坐标．
13．某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠墙（墙的长度不限），另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD ．已知木栏总长为120米，设AB 边的长为x 米，长方形ABCD 的面积为S 平方米．
（1）求S 与x 之间的函数关系式，当x 为何值时，S 取得最值（请指出是最大值还是最小值）？并求出这个最值；
墙
18米 苗圃园
O 1到AB 、BC 、AD 的距离与O 2到CD 、BC 、AD 的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当（1）中S 取得最值时，请问这个设计是否可行？若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由．
14．王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔．已知第一条边长为a 米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米． （1）请用a 表示第三条边长；
（2）问第一条边长可以为7米吗？请说明理由，并求出a 的取值范围；
（3）能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法；若不能，请说明理由．
15．李明在小岛上的A 处，上午8时测得在A 的北偏东60o的D 处有一艘轮船，9时20分测得该船航行到北偏西60o的C 处，9时40分测得该船到达位于A 正西方5千米的港口B 处，如果该船始终保持匀速直线运动，求：
（1）A 、C 之间的距离； （2）轮船的航行速度．
16．长江沿岸的甲乙两港相距300千米，甲港在乙港的上游，满载货物的货轮从乙港出发，到达甲港卸货后，再空载返回乙港，货轮离开乙港的路程s （千米）随时间t （小时）的变化关系如图所示．已知货轮空载时在静水中的速度比满载时在静水中的速度快5千米/小时． （1）求长江水流速度及货轮空载时在静水中的速度； （2）若货轮在距甲港90千米时接到警报，将有台风影响航道安全，预报再过4小时此段航道将有暴风雨，为了安全，货船必须在4小时之内进入甲港避风．现决定从甲港派出一艘大马力的动力拖轮，遇到货轮后，将其快速拖到甲港．动力拖轮拖着货轮在静水中的速度，是它们分别在静水中速度的平均值．动力拖轮在静水中速度是40千米/小时．问：能否在规定时间内将货轮拖到甲港？请说明理由．
17．在海岸上A 处，发现北偏东45°方向、距离为 3－1海里的B 处有一走私船．在A 处北偏西75°方向、距离为2海里的C 处的我方缉私艇奉命以每小时103海里的速度向走私船追去，这时走私船正以每
)
走私船？并求出所需时间．（结果保留根号）
18．李明在进行投篮训练，他从距地面高1.55米处的O点向篮圈中心A点投出一球，球的飞行路线为抛物线，当球达到距地面最高点3.55米时，球移动的水平距离为2米．以O点为坐标原点，建立直角坐标系（如图所示），测得OA与水平方向OB的夹角为30°，A、B两点相距1.5米．
（1）求篮球飞行路线所在抛物线的解析式；
（2）判断李明这一投能否把球从O点直接投入篮圈A点（排除篮板球），如果能，请说明理由；如果不能，那么李明应向前或向后移动多少米，才能投入篮圈A点？（结果保留根号）
O
二、一元二次方程
1．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边长为5．
（1）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．
2．已知△ABC的三边长为a、b、c，关于x的方程x2－2(a＋b)x＋c2＋2ab＝0有两个相等的实数根，又sin A、sin B是关于x的方程(m＋5)x2－(2m－5)x＋m－8＝0的两个实数根．
（1）求m的值；
（2）若△ABC的外接圆面积为25π，求△ABC的内接正方形的边长．
3．已知关于x的方程x2－(m＋n＋1)x＋m＝0（n≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β．
（1）试用含有α、β的代数式表示m和n；
（2）求证：α≤1≤β；
（3）若点P（α，β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（1，2），B（1
2，1），C（1，
1），问是否存在点P，使m＋n＝5
4？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．请阅读下列材料：
问题：已知方程x2＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝y 2．
把x＝y
2代入已知方程，得(
y
2)
2
＋
y
2－1＝0．
化简，得y2＋2y－4＝0．
故所求方程为y2＋2y－4＝0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）；
（1）已知方程x2＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：___________________；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
5．已知关于x的一元二次方程x2－2x－a2－a＝0（a＞0）．
（1）证明这个方程的一个根比2大，另一个根比2小；
（2）如果当a＝1，2，3，…，2011时，对应的一元二次方程的两个根分别为α1、β1，α2、β2，α3、β3，…，
α2011、β2011，求1
α1＋
1
β1＋
1
α2＋
1
β2＋
1
α3＋
1
β3＋…＋
1
α2011＋
1
β2011的值．
6．已知关于x的一元二次方程x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca＝0，且a＞b＞c＞0．（1）若方程有实数根，求证：a，b，c不能构成一个三角形的三边长；
（2）若方程有实数根x0，求证：b＋c＜x0＜a；
（3）若方程的实数根为6和9，求正整数a，b，c的值．
7．已知方程x2＋2ax＋a－4＝0有两个不同的实数根，方程x2＋2ax＋k＝0也有两个不同的实数根，且其两根介于方程x2＋2ax＋a－4＝0的两根之间，求k的取值范围．
8．已知关于x的方程x2－4|x|＋3＝k．
（1）当k为何值时，方程有4个互不相等的实数根？
（2）当k为何值时，方程有3个互不相等的实数根？
（3）当k为何值时，方程有2个互不相等的实数根？
（4）是否存在实数k，使得方程只有1个实数根？若存在，求k的值和方程的根；若不存在，请说明理由．
9．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4x2＋4(m－1)x＋m2＝0的两个非零实数根，则x1与x2能否同号？若能同号，请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由．
10．已知α、β为关于x的方程x2－2mx＋3m＝0的两个实数根，且(α－β)2＝16，如果关于x的另一个方程x2－2mx＋6m－9＝0的两个实数根都在α和β之间，求m的值．
11．已知a为实数，且关于x的二次方程ax2＋(a2＋1)x－a＝0的两个实数根都小于1，求这两个实数根的最大值．
12．求实数a的取值范围，使关于x的方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0
（1）有两个实根x1、x2，且满足0＜x1＜1＜x2＜4；
（2）至少有一个正根．
13．已知x1、x2是方程x2－mx－1＝0的两个实数根，满足x1＜x2，且x2≥2．
（1）求m的取值范围；
（2）若x2＋m
x1－m＋
x1＋m
x2－m＝2，求m的值．
14．已知关于x的方程x2－(m－2)x－m2
4＝0（m≠0）
（1）求证：这个方程总有两个异号实根；
（2）若这个方程的两个实根x1、x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1、x2．
15．已知△ABC的一边长为5，另两边长恰是方程2x2－12x＋m＝0的两个根，求m的取值范围．
16．已知：α，β（α＞β）是一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根，设s1＝α＋β，s2＝α2＋β2，…，
s n＝αn＋βn．根据根的定义，有α2－α－1＝0，β2－β－1＝0，将两式相加，得(α2＋β2)－(α＋β)－2＝0，于是，得s2－s1－2＝0．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）利用配方法求α，β的值，并直接写出s1，s2的值；
（2）猜想：当n≥3时，s n，s n-1，s n-2之间满足的数量关系，并证明你的猜想的正确性；
（3）根据（2）中的猜想，求(1＋5
2
)8＋(1－5
2
)8的值．
17．已知方程(x－1)(x2－2x＋m)＝0的三个实数根恰好构成△ABC的三条边长．（1）求实数m的取值范围；
（2）当△ABC为直角三角形时，求m的值和△ABC的面积．
三、反比例函数
5
3
（2）设动点P 的坐标为P （a ，b ）（－2＜AE 、EF 、BF
3．如图，在△OAB 中，OA ＝OB ，点A 坐标为（－33，3），点B 在x 轴负半轴上． （1）将△OAB 沿x 轴向右平移a 个单位后，点A 恰好落在反比例函数y ＝
63
x
的图象上，求a 的值； （2）将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）． ①当α＝30°时，点B 恰好落在反比例函数y ＝
k
的图象上，求k 的值； ②点A 、B
4．如图，△AOB 为等腰直角三角形，斜边OB 在x 轴上，一次函数y ＝3x －4的图象经过点A ，交y 轴于点C ，反比例函数y ＝
k
x
（x ＞0）的图象也经过点A ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过O 点作（3）若点P 是x 存在，求点Q
5．如图，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象交反比例函数y ＝
4－2m
x
（x ＞0）图象于点A 、B ，交x 轴于点C ． （1）求的m 的取值范围； （2）若点A 的坐标是（2，－4），且
BC
AB
＝
1
3
，求m 的值和一次函数的解析式； （3）在（2）的条件下，设点P 是一次函数图象上的第一、四象限．．．．．．内的动点，点Q 是反比例函数图象上的动点，过点P 作PP 1⊥x 轴于P 1，PP 2⊥y 轴于P 2；过点Q 作QQ 1⊥x 轴于Q 1，QQ 2⊥y 轴于Q 2．设点P
的横坐标为x ，请直接写出．．．．使四边形PP 1OP 2的面积小于四边形QQ 1OQ 2的面积的x 的取值范围．
6．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1过A （1
B （0，2）且与x 轴平行，
直线l 1与l 2相交于点P ．点E 为直线l 2上一点，反比例函数y ＝
k
x
（k ＞0）的图象过点E 且与直线l 1相交
于点F ．
（1）若点E 与点P 重合，求k 的值；
（2）连接OE 、OF 、EF ．若k ＞2，且△OEF 的面积为△PEF 的面积的2倍，求点E 的坐标；
（3）是否存在点E 及y 轴上的点M ，使得以点M 、E 、F 为顶点的三角形与△PEF 全等？若存在，求点E 的坐标，若不存在，请说明理由．
7．如图，已知直线l 经过点A （1，0），且与曲线y ＝
m
x
（x ＞0）交于点B （2，1）．过点P （p ，p －1)（p
＞1）作x 轴的平行线分别交曲线y ＝
m x （x ＞0）和y ＝－
m
x
（x ＜0）于M 、N 两点．
（1）求m 的值及直线l 的解析式；
（2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；
（3）是否存在实数p ，使得S △p 的值；若不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P 是反比例函数y ＝
6
x
（x ＞0）图象上的任意一点，以P
为圆心，PO 为半径的圆与x 、y 轴分别交于点A 、B ． （1）判断P 是否在线段AB 上，并说明理由； （2）求△AOB 的面积；
（3）Q 是反比例函数y ＝
6
x
（x ＞0）图象上异于点P 的另一点，请以Q 为圆心，QO 半径画圆与x 、y 轴
分别交于点M 、N ，连接AN 、MB
（备用图1）
（备用图2）
9．如图，将—矩形OABC 放在直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，点E 是边AB 上的—个动点（不与点A 、B 重合），过点E 的反比例函数y ＝
k
x
（x ＞0）的图象与边BC 交于点F ．
（1）若△OAE 、△OCF 的面积分别为S （2）若OA ＝2，OC ＝4，问当点E
10．如图，已知抛物线y ＝(
3－m
)x
2＋2(
m －3
)x ＋4m －m
2
的顶点A 在双曲线y ＝
3 x
上，直线y ＝mx ＋b 经过
点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ． （1）求直线AB 的解析式；
（2）将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°，与x 轴交于点D ，与y 轴交与点E ，求sin ∠BDE 的值；
（3）过点B 作x 轴的平行线与双曲线交于点F ，点M 在直线BF 上，且到抛物线的对称轴的距离为6．若点N 在直线BF 上，直接写出使得∠AMB ＋∠ANB ＝45°的点N 的坐标．
11
B 两点，过点A 作A
C ∥x 轴，过点B 作BC ∥y 轴，AC 与BC 交于点C ，AC 与y 轴交于点M ，BC 与x 轴交于点N ，若∠BAC ＝60°，AB ＝4．
（1）求m 、k 的值；
（2）将一把三角尺的直角顶点放在原点O 处，绕着点O 旋转三角尺，三角尺的两直角边分别交射线CA 、射线BC 于点P 、Q ，设点P 的横坐标为x ，PQ 的长为L ，当点P 在边AC 上运动时，求L 与x 的函数关系式；
（3）当△PQC 的面积为
3
时，求点P 的坐标．
12
＝k
x在第三象限的交点为
（1）求a、m、k的值；
（2）以BC
13．已知一次函数y＝2x＋
坐标为x2，且x1－x2＝2．
（1）求k的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）若一条开口向下的抛物线经过A、B两点，并在过点A且与OB平行的直线上截得的线段长为13，求抛物线的解析式．
14．如图，已知A 、B 两点的坐标分别为A （0，2
3），B （2，0）直线AB 与反比例函数y ＝
m
x
的图象交与点C 和点D （－1，a ）．
（1）求直线AB 和反比例函数的解析式； （2）求∠ACO 的度数；
（3）将△OBC 绕点O 逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB ′C ′，当α为多少度时OC ′⊥AB ，并求此时线段AB ′
的长．
15．在矩形AOBC 中，OA ＝4y 轴，建立如图所示的平面直
角坐标系．F 是边BC y ＝
k
x
（k ＞0）的图象与AC
边交于点E ．
（1）若点E 的坐标为（2，4）（2）设点P 是（1P 的坐标；
（3）是否存在这样的点F ，使得将△OF 的长；若不存在，请说明理由．
16．如图，矩形ABCD 的顶点A 在坐标原点，顶点B 坐标为（－2，1），顶点C 在y 轴上． （1）求顶点D 的坐标； （2）将矩形ABCD 绕点O 顺时针旋转，使点D 落在x 轴的点G 处，得到矩形AEFG ，EF 与AD 交于点M ，过点M 的反比例函数图象交FG 于点N ，求△AMN 的面积；
（3）求证：△AMN 是直角三角形．
17．如图，已知反比例函数y ＝
m
x
（m 是常数，m ≠0），一次函数y ＝ax ＋b （a 、b 为常数，a ≠0），其中一
次函数与x 轴，y 轴的交点分别是A （－4，0），B （0，2）． （1）求一次函数的关系式；
（2）反比例函数图象上有一点P 满足：①P A ⊥x 轴；②PO ＝
17（O 为坐标原点），求反比例函数的关系式；
（3）求点P 关于原点的对称点Q 的坐标，判断点Q 是否在该反比例函数的图象上．
18．如图，已知反比例函数y ＝
m
x
（m ＞0）的图象与一次函数y ＝－x ＋b 的图象分别交于A （1，3）、B 两
点．
（1）求m 、b 的值； （2）若点M 是反比例函数图象上的一动点，直线MC ⊥x 轴于C ，交直线AB 于点N ，MD ⊥y 轴于D ，NE ⊥y 轴于E ．设四边形MDOC 、NEOC
19．如图，已知函数y ＝
6
x
（x ＞0）的图象与一次函数y ＝kx ＋b 的图象交于点A （1，m ），B （n ，2）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将一次函数y ＝kx ＋b 的图象沿x 轴负方向平移a （a ＞0）个单位长度得到新图象，求这个新图象与函数y ＝
6
x
（x ＞0）的图象只有一个交点M 时a 的值及交点M 的坐标．
20．如图，一次函数的图象与反比例函数y 1＝－
3
x
（x ＜0）的图象相交于A 点，与y 轴、x 轴分别相交于B 、
C 两点，且C （2，0）．当x ＜－1时，一次函数值大于反比例函数值，当x ＞－1时，一次函数值小于反比例函数值．
（1）求一次函数的解析式；
（2）设函数y 2＝
a x （x ＞0）的图象与y 1＝－
3 x （x ＜0）的图象关于y 轴对称，在y 2＝
a
x
（x ＞0）的图象上
取一点P （P 点的横坐标大于2），过P 作PQ ⊥x 轴，垂足为Q ，若四边形BCQP 的面积等于2，求P 点的
坐标．
21．如图，已知二次函数y ＝ax
2
＋2x ＋c （a ＞0）图象的顶点M 在反比例函数y ＝
3
x
的图象上，且与x 轴相交于A 、B 两点．
（1）若二次函数图象的对称轴为x ＝－
1
2
，试求a 、c 的值； （2）在（1）的条件下，求线段AB 的长；
（3）若二次函数图象的对称轴与x 轴的交点为N ，当NO ＋MN 取最小值时，试求二次函数的解析式．
22．如图，一次函数y ＝k
x ＋4的图象与反比例函数y ＝
m
x
（x ＞0，m ＞0）的图象交于A 、B 两点，与x 轴、
y 轴分别交于C 、D 两点． （1）求证：AC ＝BD ；
（2）若△COD 的面积是△AOB 的面积的
2
倍，求k 与m 之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数k 和m ，使得以AB 为直径的圆经过点P （2，0）？若存在，求出k
23．已知一次函数y ＝－
1
2
x ＋b 的图象与反比例函数y ＝
6
x
（x ＞0）的图象交于A 、B 两点，与x 轴、y 轴分别交于C 、D 两点．
（1）如图1，若AB ＝2AC ，求b 的值；
（2）在（1）的条件下，将一块直角三角板的直角顶点P 放在反比例函数y ＝
6
x
（x ＞0）图象的AB 段上滑
动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB 分别交于Q 、R 两点．设点P 的横坐标为x ，QR 的长为L ，求L 关于x 的函数关系式，并求L 的最大值；
（3）如图2，过点A 作直线AE ∥x 轴，交y 轴于点E ；过点B 作直线BF ∥y 轴交x 轴于点F ，交直线AE 于点G ．当四边形AE
24．如图，已知反比例函数y ＝
k
x
的图象经过A （－1，a ）、B （2，a ＋33）两点，点C 的坐标为（－1，0）． （1）求反比例函数的解析式； （2）在反比例函数y ＝
k
x
的图象上求点D ，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是梯形．
25．如图，在平面直角坐标系中，双曲线y ＝
k
x
过点A （－4，1），点P 是双曲线上一动点（不与A 重合），过点A 和P 分别向两坐标轴作垂线，垂足分别为B 、C 和D 、E ． （1）求k 、S △ADC 及S △PDC 的值；
（2）判断AP 和DC 的位置关系，并说明理由；
（3）若点P 在双曲线上运动时，探索以A 、P 、C 、D 能，请直接写出所有满足条件的点P
26．已知关于x 的一元二次方程(
a －1
)x
2
＋( 2－3a
)x ＋3（1）求证：当a 取不等于1（2）若m ，n （m ＜n ）是此方程的两根，且1 m ＋ 1 n ＝ 4
3
坐标原点O 关于直线l 的对称点O ′ 在反比例函数y ＝
k
x
的图象上，求反比例函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，将直线l 绕点A 逆时针旋转θ角（0°＜θ＜90°），得到直线l ′，l ′ 交y 轴于点P ，
过点P 作x 轴的平行线，与（2）中的反比例函数图象交于点Q ，当四边形APQO ′ 的面积为9－
33
2
时，求θ角的大小．
27．在平面直角坐标系中，一次函数y ＝－
1
2
x ＋5的图象交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，交直线y ＝x －1于点C ，过点A 作y 轴的平行线交直线y ＝x －1于点D ，点E 为线段AD 上一点，且tan ∠DCE ＝
1
2
．动点P
从原点O 出发沿OA 边向点A 匀速运动，同时，动点Q 从B 点出发沿BO 边向原点O 匀速运动，点P 与
（1）求点E的坐标；
（2）在整个运动过程中，是否存在这样的实数m，使得△PQD为直角三角形．若存在，求m的值；若不存在，请说明理由；
（3）反比例函数y＝k
x的图象经过点C，R为
y＝
k
x图象上一点，在整个运动过程中，若以P、Q、E、R
为顶点的四边形是平行四边形，求R点的坐标．
2020 挑战压轴题中考数学 精讲解读篇 因动点产生的相似三角形问题 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点． （1）求直线AB的函数表达式； （2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值． 2．如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC 交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F． （1）求证：AH=BD； （2）设BD=x，BE?BF=y，求y关于x的函数关系式； （3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE与△FBG相似时，求BD的长度．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2． （1）求直线AB的表达式； （2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1的值； （3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE时，请直接写出满足条件的所有k2的值． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点G． （1）当点E是BD的中点时，求tan∠AFB的值； （2）CE?AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE?AF的值；如果变化，请说明理由； （3）当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长．
中考数学压轴题100题精选【含答案】 【001 】如图，已知抛物线 2 (1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为 ()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若O C O B =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1 个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围） （3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；
题型一选择题压轴题 类型一选择几何压轴题 1?如图，四边形ABCD是平行四边形，ZBCD=I20o , AB = 2, BC = 4,点E是直线BC上的点，点F是直线CD上的点，连接AF, AE, EF,点M, N分别是AF, EF 的中点，连接MW则MN的最小值为（） 2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点0, AB = 4, AC = 2√TT,若直线1满足：①点A到直线1的距离为2；②直线1与一条对角线平行；③直线1与菱形ABCD的边有交点，则符合题意的直线1的条数为（） 3?如图，在四边形ABCD 中，AD/7BC, AB=CD, AD = 2, BC = 6, BD = 5.若点P 在四边形ABCD的边上，则使得APBD的面积为3的点P的个数为（） -√3 （第2（第3
4?如图，点M是矩形ABCD的边BC, CD上的动点，过点B作BN丄AM于点P,交
矩形ABCD 的边于点N,连接DP.若AB=4, AD = 3,则DP 的长的最小值为（ ) A. √T3-2 5?如图，等腰直角三角形ABC 的一个锐角顶点A 是。（）上的一个动点，ZACB= 90° ,腰AC 、斜边AB 分别交Oo 于点E, D,分别过点D, E 作OO 的切线，两线 交于点F,且点F 恰好是腰BC 上的点，连接O C, （）D, OE.若Θ0的半径为2,则 OC 的长的最大值为（ ） 6.如图，在矩形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 在AD 边上，点M, N 分别是 CD, BC 边上的动点?若AB=AF 二2, AD 二3,则四边形EFMN 周长的最小值是（ ） 7.如图，OP 的半径为1,且点P 的坐标为（3, 2）,点C 是OP 上的一个动点, 点A, B 是X 轴上的两点，且OA=OB, AC 丄BC,则AB 的最小值为（ ） √TT √T3 C. √5+l +√13 √2+2√5 ÷√5 √2+1 O B （第5 （第6 （第7（第8
目录 第一部分函数图象中点的存在性问题 1.1 因动点产生的相似三角形问题 例1 上海市中考第24题 例2 苏州市中考第29题 例3 黄冈市中考第25题 例4 义乌市中考第24题 例5 临沂市中考第26题 例6 苏州市中考第29题 1.2 因动点产生的等腰三角形问题 例1 上海市虹口区中考模拟第25题 例2 扬州市中考第27题 例3 临沂市中考第26题 例4 湖州市中考第24题 例5 盐城市中考第28题 例6 南通市中考第27题 例7 江西省中考第25题 1.3 因动点产生的直角三角形问题 例1 山西省中考第26题 例2 广州市中考第24题 例3 杭州市中考第22题 例4 浙江省中考第23题 例5 北京市中考第24题 例6 嘉兴市中考第24题 例7 河南省中考第23题 1.4 因动点产生的平行四边形问题 例1 上海市松江区中考模拟第24题 例2 福州市中考第21题 例3 烟台市中考第26题 例4 上海市中考第24题 例5 江西省中考第24题 例6 山西省中考第26题 例7 江西省中考第24题 1.5 因动点产生的梯形问题 例1 上海市松江中考模拟第24题 例2 衢州市中考第24题 例4 义乌市中考第24题
例5 杭州市中考第24题 例7 广州市中考第25题 1.6 因动点产生的面积问题 例1 苏州市中考第29题 例2 菏泽市中考第21题 例3 河南省中考第23题 例4 南通市中考第28题 例5 广州市中考第25题 例6 扬州市中考第28题 例7 兰州市中考第29题 1.7 因动点产生的相切问题 例1 上海市杨浦区中考模拟第25题 例2 河北省中考第25题 例3 无锡市中考第28题 1.8 因动点产生的线段和差问题 例1 天津市中考第25题 例2 滨州市中考第24题 例3 山西省中考第26题 第二部分图形运动中的函数关系问题 2.1 由比例线段产生的函数关系问题 例1 宁波市中考第26题 例2 上海市徐汇区中考模拟第25题 例3 连云港市中考第26题 例4 上海市中考第25题 2.2 由面积公式产生的函数关系问题 例1 菏泽市中考第21题 例2 广东省中考第22题 例3 河北省中考第26题 例4 淮安市中考第28题 例5 山西省中考第26题 例6 重庆市中考第26题 第三部分图形运动中的计算说理问题 3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 例1 南京市中考第26题 例2 南昌市中考第25题 3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题 例1 上海市黄浦区中考模拟第24题 例2 江西省中考第24题
2020中考数学压轴题100题精选 （附答案解析） 【001 】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+（a ≠0）经过点 (2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结 BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．
【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t 秒（t＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S 与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C 成 为直角梯形？若能，求t （4）当DE经过点C 时，请直接 图16 【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
中考数学压轴题解题技巧 数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。 函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。 几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。 解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。 一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。 二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。 三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。 解中考压轴题技能技巧： 一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。
全国各地中考数学解答题压轴题解析2
2011年全国各地中考数学解答题压轴题解析（2） 1．（湖南长沙10分）如图，在平面直角坐标系中，已知 点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边， 在其一侧作等边三角线APQ。当点P运动到原点O处时， 记Q得位置为B。 （1）求点B的坐标； （2）求证：当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值； （3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。 【答案】解：（1）过点B作BC⊥y轴于点C， ∵A(0,2)，△AOB为等边三角形， ∴AB=OB=2，∠BAO=60°， ∴BC=3，OC=AC=1。即B（ 3 1，）。 （2）不失一般性，当点P在x轴上运动（P不与O重合）时， ∵∠PAQ==∠OAB=60°，∴∠PAO=∠QAB， 在△APO和△AQB中，∵AP=AQ，∠PAO=∠QAB，AO=AB，∴△APO≌△AQB总成立。 ∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立。 ∴当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值90°。 （3）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上， ∴AO与BQ不平行。
①当点P 在x 轴负半轴上时，点Q 在点B 的下方， 此时，若AB∥OQ ，四边形AOQB 即是梯形， 当AB∥OQ 时，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°。 又OB=OA=2，可求得BQ=3。 由（2）可知，△APO≌△AQB ，∴OP=BQ=3， ∴此时P 的坐标为（3 0-， ）。 ②当点P 在x 轴正半轴上时，点Q 在点B 的上方， 此时，若AQ∥OB ，四边形AOQB 即是梯形， 当AQ∥OB 时，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°。 又AB= 2，可求得BQ=23， 由（2）可知，△APO≌△AQB ，∴OP=BQ=23， ∴此时P 的坐标为（23 0， ）。 综上所述，P 的坐标为（3 0-， ）或（23 0，）。 【考点】等边三角形的性质，坐标与图形性质；全等三角形的判定和性质，勾股定理，梯形的判定。 【分析】（1）根据题意作辅助线过点B 作BC⊥y 轴于点C ，根据等边三角形的性质即可求出点B 的坐标。 （2）根据∠PAQ═∠OAB=60°，可知∠PAO=∠QAB ，得出△APO≌△AQB 总成立，得出当点P 在x 轴上运动（P 不与Q 重合）时，∠ABQ 为定值90°。 （3）根据点P 在x 的正半轴还是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可得出结果。 2.（湖南永州10分）探究问题：
资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 2017年中考数学选择题压轴题汇编（1） 2a的解为正数，且使关于的分式方程y的不等（2017重庆）若数a使关于x1．4?? x?11?xy?2y???1?23的解集为y，则符合条件的所有整数a的和为（）式组 2???????0y?2a? A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【解析】①解关于x的分式方程，由它的解为正数，求得a的取值范围． 2a 4??x?11?x去分母，得2－a＝4（x－1） 去括号，移项，得4x＝6－a 6?a 1，得x＝系数化为46?a6?a≠1，解得a且a≠2；6?，且，∴x≠1∵x且00?? 44②通过求解于y的不等式组，判断出a的取值范围． y?2y???1?32 ?????0y?2a?解不等式①，得y；2???a；解不等式②，得y ∵不等式组的解集为y，∴a；2??2??③由a且a≠2和a，可推断出a的取值范围，且a≠2，符合条件的所有整数6?a6??2?2??a为－2、－1、0、1、3、4、5，这些整数的和为10，故选A．2．（2017内蒙古赤峰）正整数x、y满足（2x－5）（2y－5）＝25，则x＋y等于（）A．18或10 B．18 C．10 D．26 【答案】A， 【解析】本题考查了分解质因数，有理数的乘法法则和多项式的乘法，能列出满足条件的等式是解题的关键． 由两数积为正，则这两数同号．∵25＝5×5＝（－5）×（－5）＝1×25＝（－1）×（－25）只供学习与交流． 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 又∵正整数x、y满足（2x－5）（2y－5）＝25， ∴2x－5＝5，2y－5＝5或2x－5＝1，2y－5＝25 解各x＝5，y＝5或x＝3，y＝15． ∴x＋y＝10或x＋y＝18． 故选A. x?a?0?3．（2017广西百色）关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则正数a?2x?3a?0?的最小值是（） 2 D．．1 B．2 CA． 3 3B. 【答案】3a3a＜x≤a，因为该解集中至少5个整数解，所以a比至少【解析】不等式组的解集为??223a+5，解得a≥2 a≥．大5，即?2111122＝n－m－2，则－的值等于（4．（2017四川眉山）已知m＋n ）44mn1D．－ 1 C．B0 ．－A．1 4C 【答案】11112222，m＋1)n＋(－1)m＝0，从而＝－2即1)1)由题意，【解析】得(m＋m＋＋(n－n ＋＝0，(24421111 ＝－1．＝n2，所以－＝－2nm2－端午节前夕，在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙．（2017聊城）5之前的函数关系式如图所示，下列两队与时间500米的赛道上，所划行的路程(min)my()x 说法错误的是（）到达终点．乙队比甲队提前A0.25min 时，此时落后甲队．当乙队划行B110m15m
压轴题 1、已知,在平行四边形O ＡＢC 中,O Ａ=５，AB ＝4，∠OCA=90°,动点P 从O 点出发沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动,同时动点Ｑ从A 点出发沿射线ＡB 方向以每秒1个单位的速度移动.设移动的时间为ｔ秒. (１）求直线AC 的解析式; (2)试求出当t 为何值时,△O ＡC 与△PAQ 相似; （3)若⊙P 的半径为 58，⊙Q 的半径为2 3 ；当⊙P 与对角线AC 相切时，判断⊙Q 与直线AC 、B Ｃ的位置关系,并求出Q 点坐标。 解:(１）42033 y x =- + （２)①当0≤ｔ≤2．5时,Ｐ在O Ａ上，若∠OAQ ＝9０°时， 故此时△OA Ｃ与△PAQ 不可能相似. 当ｔ>2．5时,①若∠APQ=90°，则△A ＰQ ∽△ＯCA ， ∵t>2．5,∴ 符合条件. ②若∠A ＱP=９0°，则△APQ ∽△∠OA Ｃ， ∵t>2.5，∴ 符合条件.
综上可知,当 时，△O ＡC 与△APQ 相似． （３)⊙Q 与直线ＡＣ、B Ｃ均相切，Q 点坐标为（ 10 9 ,5 31） 。 ２、如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为ｘ轴,ＯC 所在的直线为ｙ轴，建立平面直角坐标系.已知OA ＝3,ＯC =2，点E 是AB 的中点，在ＯA 上取一点D ，将△BD Ａ沿ＢD 翻折,使点A 落在BC 边上的点F 处． (1)直接写出点E 、F 的坐标； (2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式; (3)在x 轴、ｙ轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形ＭNF Ｅ的周长最小？如果存在，求出周长的最小值;如果不存在，请说明理由. 解：（1)(31)E ，;(12)F ，.(２）在Rt EBF △中,90B ∠=, 2222125EF EB BF ∴=+=+=. 设点P 的坐标为(0)n ，,其中0n >， 顶点(1 2)F ，， ∴设抛物线解析式为2 (1)2(0)y a x a =-+≠. ①如图①，当EF PF =时，22 EF PF =,2 2 1(2)5n ∴+-=. 解得10n =（舍去）;24n =．(04)P ∴，．24(01)2a ∴=-+.解得2a =. ∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+ （第2题）
第一部分函数图象中点的存在性问题 §1．1因动点产生的相似三角形问题 例1 2014 年衡阳市中考第 28 题 例2 2014 年益阳市中考第 21 题 例3 2015 年湘西州中考第 26 题 例4 2015 年张家界市中考第 25 题 例5 2016 年常德市中考第 26 题 例6 2016 年岳阳市中考第 24 题 例 72016年上海市崇明县中考模拟第25 题 例 82016年上海市黄浦区中考模拟第26 题 §1．2因动点产生的等腰三角形问题 例9 2014 年长沙市中考第 26 题 例10 2014 年张家界市第 25 题 例11 2014 年邵阳市中考第 26 题 例12 2014 年娄底市中考第 27 题 例13 2015 年怀化市中考第 22 题 例14 2015 年长沙市中考第 26 题 例15 2016 年娄底市中考第 26 题 例 162016年上海市长宁区金山区中考模拟第25 题例 172016年河南省中考第 23 题
§1．3因动点产生的直角三角形问题 例19 2015 年益阳市中考第 21 题 例20 2015 年湘潭市中考第 26 题 例21 2016 年郴州市中考第 26 题 例22 2016 年上海市松江区中考模拟第 25 题 例23 2016 年义乌市绍兴市中考第 24 题 §1．4因动点产生的平行四边形问题 例24 2014 年岳阳市中考第 24 题 例25 2014 年益阳市中考第 20 题 例26 2014 年邵阳市中考第 25 题 例27 2015 年郴州市中考第 25 题 例28 2015 年黄冈市中考第 24 题 例29 2016 年衡阳市中考第 26 题 例 302016年上海市嘉定区宝山区中考模拟中考第24 题例 312016年上海市徐汇区中考模拟第 24 题 §1．5因动点产生的面积问题 例32 2014 年常德市中考第 25 题 例33 2014 年永州市中考第 25 题
目 录 2.1 由比例线段产生的函数关系问题 例1 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题 例2 2012年连云港市中考第26题 例3 2010年上海市中考第25题 例1 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sin B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O 是边AB 上的动点． （1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系； （2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长； （3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域． 图1 图2 图3 动感体验 请打开几何画板文件名“12徐汇25”，拖动点O 在AB 上运动，观察△OMP 的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以体验到，点O 和点P 可以落在对边的垂直平分线上，点M 不能． 请打开超级画板文件名“12徐汇25”， 分别点击“等腰”按钮的左部和中部，观察三个角度的大小，可得两种等腰的情形．点击“相切”按钮，可得y 关于x 的函数关系． 思路点拨 1．∠B 的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱． 2．分三种情况探究等腰△OMP ，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单． 3．探求y 关于x 的函数关系式，作△OBN 的边OB 上的高，把△OBN 分割为两个具有公共直角边的直角三角形． 满分解答
（1） 在Rt △ABC 中，AC ＝6，53sin =B ， 所以AB ＝10，BC ＝8． 过点M 作MD ⊥AB ，垂足为D ． 在Rt △BMD 中，BM ＝2，3sin 5MD B BM ==，所以65 MD =． 因此MD ＞MP ，⊙M 与直线AB 相离． 图4 （2）①如图4，MO ≥MD ＞MP ，因此不存在MO ＝MP 的情况． ②如图5，当PM ＝PO 时，又因为PB ＝PO ，因此△BOM 是直角三角形． 在Rt △BOM 中，BM ＝2，4cos 5BO B BM ==，所以85BO =．此时425 OA =． ③如图6，当OM ＝OP 时，设底边MP 对应的高为OE ． 在Rt △BOE 中，BE ＝32，4cos 5BE B BO ==，所以158BO =．此时658 OA =． 图5 图6 （3）如图7，过点N 作NF ⊥AB ，垂足为F ．联结ON ． 当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON ＝x ＋y ． 在Rt △BNF 中，BN ＝y ，3sin 5B =，4cos 5B =，所以35NF y =，45 BF y =． 在Rt △ONF 中，4105 OF AB AO BF x y =--=--，由勾股定理得ON 2＝OF 2＋NF 2． 于是得到22243()(10)()55 x y x y y +=--+． 整理，得2505040 x y x -=+．定义域为0＜x ＜5． 图7 图8 考点伸展 第（2）题也可以这样思考： 如图8，在Rt △BMF 中，BM ＝2，65MF =，85 BF =．
中考数学压轴题解题技巧及训练完整版 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
中考数学压轴题解题技巧 （完整版） 数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。 函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。 几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x 的值。 解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。 一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。 二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。 三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。 解中考压轴题技能技巧： 一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停
20XX 年全国各地中考数学压轴题精选 1、（黄石市20XX 年）（本小题满分9分）已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，点1 O 在⊙2O 上，C 为⊙2O 上一点（不与A ，B ，1O 重合） ，直线CB 与⊙1O 交于另一点D 。 （1）如图（8），若 AC 是⊙2O 的直径，求证：AC CD =； （2）如图(9)，若C 是⊙1O 外一点，求证：1O C AD ⊥； （3）如图（10），若C 是⊙1O 内一点，判断（2）中的结论是否成立。 2、（黄石市20XX 年）（本小题满分10分）已知二次函数 2248y x mx m =-+- （1）当2x ≤时，函数值 y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围。 （2）以抛物线 2248y x mx m =-+-的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接 正三角形 AMN （M ，N 两点在抛物线上） ，请问：△AMN 的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。 （3）若抛物线 2248y x mx m =-+-与x 轴交点的横坐标均为整数，求整数m 的值。
3、（20XX 年广东茂名市）如图，⊙P 与y 轴相切于坐标原点O （0，0） ，与x 轴相交于点A （5，0），过点A 的直线AB 与 y 轴的正半轴交于点B ，与⊙P 交于点C ． （1）已知AC=3，求点Ｂ的坐标； （４分） （2）若AC=a , D 是O Ｂ的中点．问：点O 、P 、C 、D 四点是否在同一圆上？请说明 理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为1O ，函数 x k y = 的图象经过点1O ，求k 的值（用含a 的代数式表示）． 4、庆市潼南县20XX 年）如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ ACB =90,AC =BC ,OA =1，OC =4，抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物 线的顶点为D ． （1）求b ,c 的值； （2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的 垂线 交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标； （3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛 物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由. 第3题图 χ y
年中考数学选择题压轴题汇编
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2
3 2017年中考数学选择题压轴题汇编（1） 1．（2017重庆）若数a 使关于x 的分式方程2411a x x +=--的解为正数，且使关于y 的不等式组()213220y y y a +?->???-≤? 的解集为y 2<-，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．10 B ．12 C ． 14 D ．16 【答案】A 【解析】①解关于x 的分式方程，由它的解为正数，求得a 的取值范围． 2411a x x +=-- 去分母，得2－a ＝4（x －1） 去括号，移项，得 4x ＝6－a 系数化为1，得x ＝ 64a - ∵x 0>且x≠1，∴64a -0>，且64 a -≠1，解得a 6<且a≠2； ②通过求解于y 的不等式组，判断出a 的取值范围． ()213220y y y a +?->???-≤? 解不等式①，得y 2<-； 解不等式②，得y ≤a ； ∵不等式组的解集为y 2<-，∴a 2≥-； ③由a 6<且a≠2和a 2≥-，可推断出a 的取值范围26a -≤<，且a≠2，符合条件的所有整数a 为－2、－1、0、1、3、4、5，这些整数的和为10，故选A ． 2．（2017内蒙古赤峰）正整数x 、y 满足（2x －5）（2y －5）＝25，则x ＋y 等于（ ） A ．18或10 B ．18 C ．10 D ．26 【答案】A ， 【解析】本题考查了分解质因数，有理数的乘法法则和多项式的乘法，能列出满足条件的等式是解题的关键． 由两数积为正，则这两数同号．∵25＝5×5＝（－5）×（－5）＝1×25＝（－1）×（－25）
中考数学压轴题的解题攻略 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想 纵观最近几年各地的中考压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。 2、以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想 直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图形。因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想。例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得。3、利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想 分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新
的热点。 4、综合多个知识点，运用等价转换思想 任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想，初中数学中的转换大体包括由已知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识之间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题，转换的思路更要得到充分的应用。中考压轴题所考察的并非孤立的知识点，也并非个别的思想方法，它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此有的考生对压轴题有一种恐惧感，认为自己的水平一般，做不了，甚至连看也没看就放弃了，当然也就得不到应得的分数，为了提高压轴题的得分率，考试中还需要有一种分题、分段的得分策略。 5、分题得分：中考压轴题一般在大题下都有两至三个小题，难易程度是第(1)小题较易，第(2)小题中等，第(3)小题偏难，在解答时要把第(1)小题的分数一定拿到，第(2)小题的分数要力争拿到，第(3)小题的分数要争取得到，这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性。 其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技 巧,“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基
k 第一部分 函数图象中点的存在性问题 1.1 因动点产生的相似三角形问题 1.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°． （1）求这条抛物线的表达式； （2）连结OM ，求∠AOM 的大小； （3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标． 图1 2.如图1，已知抛物线211(1)444 b y x b x = -++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ． （1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说 明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任 意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由． 图1
3.如图1，已知抛物线的方程C1： 1 (2)() y x x m m =-+-(m＞0)与x轴交于点B、C，与y 轴交于点E，且点B在点C的左侧． （1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE的面积； （3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标； （4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 图1 4.如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）． （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标； （2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标； （3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 图1 图2
全国各地中考数学解答题压轴题解析4
2011年全国各地中考数学解答题压轴题解析（4） 1.（福建福州14分）已知，如图，二次函数223y ax ax a =+-(0)a ≠图象的顶点为H ，与x 轴交于A 、B 两点 （B 在A 点右侧），点H 、B 关于直线l ：3 3y x =+对称． （1）求A 、B 两点坐标，并证明点A 在直线l 上； （2）求二次函数解析式； （3）过点B 作直线BK∥AH 交直线l 于K 点，M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连接HN 、NM 、MK ，求HN+NM+MK 和的最小值． 【答案】解：（1）依题意，得2230ax ax a +-=(0)a ≠，解得x 1=﹣3，x 2=1， ∵B 点在A 点右侧，∴A 点坐标为（﹣3，0），B 点坐标为（1，0）。 ∵直线l ：3 3y x =+， 当x =﹣3时，()3 330y =+-=，∴点A 在直线l 上。 （2）∵点H 、B 关于过A 点的直线l ：3 3y x =+对称，∴AH=AB=4。 过顶点H 作HC⊥AB 交AB 于C 点， 则AC=1 2AB=2，HC=224223-=。 ∴顶点H （－1，23）。 代入二次函数解析式，解得3 2a =-， ∴二次函数解析式为233 3 3y x x =--+。 （3）直线AH 的解析式为333y x =+，直线BK 的解析式为33y x =-，
由33333y x y x =+=-???，解得32x y ==???。∴K （3，32）。则BK=4。 过点K 作直线AH 的对称点Q ，连接QK ，交直线AH 于E ，过 点K 作KD⊥AB ，垂足为点D 。 ∵点H 、B 关于直线AK 对称， ∴HN+MN 的最小值是MB ， 。 且QM=MK ，QE= KE= KD=32 ，AE⊥QK 。 ∴BM+MK 的最小值是BQ ，即BQ 的长是HN+NM+MK 的最小值。 ∵BK∥AH ，∴∠BKQ=∠HEQ=90°。由勾股定理得QB=8。 ∴HN+NM+MK 的最小值为8。 【考点】二次函数综合题，解一元二次方程，轴对称的性质，解二元一次方程组，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理。 【分析】（1）解出方程2230ax ax a +-=(0)a ≠，即可得到A 点坐标和B 点坐 标；把A 的坐标代入直线l 即可判断A 是否在直线上。 （2）根据点H 、B 关于过A 点的直线l ： 33y x =+对称，得出AH=AB=4，过顶点H 作HC⊥AB 交AB 于C 点，求出AC 和HC 的长，得出顶点H 的坐标，代入二次函数解析式，求出a ，即可得到二次函数解析式。 （3）解方程组33333y x y x =+=-???，即可求出K 的坐标，根据点H 、B 关于直线AK 对 称，得出HN+MN 的最小值是MB ，过点K 作直线AH 的对称点Q ，连接QK ，交直线AH 于E ，得到BM+MK 的最小值是BQ ，即BQ 的长是HN+NM+MK 的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案。
题型一 选择题压轴题 类型一 选择几何压轴题 1．如图，四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD ＝120°，AB ＝2，BC ＝4，点E 是直线BC 上的点，点F 是直线CD 上的点，连接AF ，AE ，EF ，点M ，N 分别是AF ，EF 的中点，连接MN ，则MN 的最小值为（ ） B.√?1 C.√32 －√ （第1题） （第2题） 2.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝4，AC ＝2√11，若直线l 满足：①点A 到直线l 的距离为2；②直线l 与一条对角线平行；③直线l 与菱形ABCD 的边有交点，则符合题意的直线l 的条数为（ ） 3.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，AD ＝2，BC ＝6，BD ＝5.若点P 在四边形ABCD 的边上，则使得△PBD 的面积为3的点P 的个数为（ ） （第3题） （第4题） 4.如图，点M 是矩形ABCD 的边BC ，CD 上的动点，过点B 作BN ⊥AM 于点P ，交矩形ABCD 的边于点N ，连接DP.若AB ＝4，AD ＝3，则DP 的长的最小值为（ ） A. √13?2 B.√13?42 C.32 5.如图，等腰直角三角形ABC 的一个锐角顶点A 是⊙O 上的一个动点，∠ACB ＝90°，腰AC 、斜边AB 分别交⊙O 于点E ，D ，分别过点D ，E 作⊙O 的切线，两线交于点F ，且点F 恰好是腰BC 上的点，连接OC ，OD ，OE.若⊙O 的半径为2，则
OC的长的最大值为（） √2＋1 C.√5＋1 （第5题）（第6题） 6.如图，在矩形ABCD中，点E是AB的中点，点F在AD边上，点M，N分别是CD，BC边上的动点.若AB＝AF=2，AD=3，则四边形EFMN周长的最小值是（） +√13√2+2√5 +√5 7.如图，⊙P的半径为1，且点P的坐标为（3，2），点C是⊙P上的一个动点，点A，B是x轴上的两点，且OA=OB，AC⊥BC，则AB的最小值为（） √11√13 （第7题）（第8题） 8.如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC，CD上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（） °°°° 9.如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，点P是AB边上一点，BP=3，点Q是CD边上的一动点.将四边形APQD沿直线PQ折叠，点A的对应点为点A′.当C A′的长度最小时，CQ的长为（） D.13 2