角平分线的判定教案
【篇一：角平分线的性质与判定教学设计】
角平分线的性质与判定教学设计
教材：人教版教材八年级（上）11.3. 执教：【教学目标】
1．使学生掌握角平分线的性质定理和判定定理，并会用两个定理解
决有关简单问题．
2．通过引导学生参与实验、观察、比较、猜想、论证的过程，使学
生体验定理的发现及证明的过程，提高思维能力．
【教学重点】角平分线的性质定理和判定定理的探索与应用．【教
学难点】角平分线判定定理的证明与应用【教学方法】启发探究式．【教学过程】一、复习引入： 1．角平分线的定义：
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫这个角的平分线．数学语言：
如图1，∵ oc是∠aob的平分线， 1
∴∠1=∠2（或∠aob=2∠1=2∠2或∠1=∠2= ∠aob）．图1
2
2．角平分线的画法：
你能用什么方法作出∠aob的平分线oc？（可由学生任选方法画出oc）．可以用量角器量或用折纸的方法
3．如果手头只有圆规和直尺，纸又不能折该怎么办呢？
如图2，是一个角平分仪，其中om=on,md=nd。
将点o放在角的顶点,om和on沿着角的两边放
下,沿od画一条射线oe,oe就是角平分线，你能说明它的道理吗?
4．学生通过角平分仪的演示，小组合作想出尺规作角平分线的方法。
5. 平分平角∠aob
1）通过上面的步骤，得到射线oc以后，把它反向延长得到直线cd，直线cd与直线ab是什么关系？
2）结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点
作这条直线的垂线的方法。
6. 创设探究角平分线性质的情境：
（拼法1）（拼法2）（拼法3）选择第一种拼法提出问题：
（1） p是∠doe平分线上一点，pd、pe与∠doe的边有怎样的位
置关系？（2）点p到∠doe两边的距离可以用哪些线段来表示？（3）pd、pe有怎样的数量关系？二、探究新知：
（一）探索并证明角平分线的性质定理： 1．实验与猜想：
引导学生任意画出一个角的平分线，并在角平分线上任取一点，作出到角两边的距离．通过度量、观察并比较，猜想它们有怎样的数量关系？引导学生用语言阐述自己的观点，得出猜想：
命题1 在角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等． 2．证明与应用：（学生独立书写过程）
已知：如图4，oc是∠aob的平分线，p为oc上任意一点，
pd⊥oa于d，pe⊥ob于e．求证：pd＝pe．(证明过程略
)
图4
由此得到：
定理1 在角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等．（角平分线的性质定理）数学语言：
如图4，∵ p是∠aob的平分线oc上一点， pd⊥oa于d，
pe⊥ob于e，
∴ pd＝pe．练习
（1）判断正误，并说明理由：
①如图5，②如图6，
∵ p是∠aob的平分线∵ pd⊥oa于d，
oc上任意一点， pe⊥ob于e，∴ pd＝pe．∴ pd＝pe．
图5 图6
图7 定理1说明：
“在角平分线上的点”都具有“到角的两边距离相等”的性质，即角平分线上没有不具备此性质的点．那么，反过来会怎么样呢？(引出逆命题)
（二）探索并证明角平分线的判定定理： 1、写出逆命题
命题2 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平
分线上． 2．证明与应用：（学生自己完成）
已知：如图8， pd⊥oa于d，pe⊥ob于e，pd＝pe．
求证：点p在∠aob的平分线上．（证明过程略）
图8
由此得到：定理2 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．（角平分线的判定定理）数学语言：
如图8，∵ pd⊥oa于d，pe⊥ob于e，pd＝pe，∴点p在
∠aob的平分线上．练习
1、如图9，已知△abc中，d是bc上一点，且de⊥ab，df⊥ac，de=df 求证：∠1＝∠2
图9
2、如图 10，在直线l上找出一点p，使得p到∠aob的两边oa、
ob 的距离相等
定理2说明：具有“到角的两边距离相等”性质的点，无一例外都在“角的平分线上”（不会漏掉一个具有这样性质的点）．师生共同小
结两个定理的区别与联系：
两个定理互为逆定理．它们的应用不同，定理1用于证明两条线段
相等，定理2用于证明两个角相等．
三、综合应用：
已知：如图11，∠1＝∠2，cd⊥ab于d，be⊥ac于e，be、cd
交于点o．求证：oc=ob．证明：∵∠1＝∠2，
cd⊥ab，be⊥ac，
∴ oe=od（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
在△eoc和△dob中，∠3＝∠4（对顶角相等）， oe=od（已证），∴ oc=ob（全等三角形对应边相等）．题目拓展
若∠1＝∠2与oc=ob互换，怎么证明？
四、师生共同总结：
图11
1．通过本节课的实验、观察、比较、猜想、论证，得出了角平分线
的性质定理和判定定理．并学会了运用在角平分线上任意选取一点
的方法证明角平分线性质定理．
2．我们知道了能够运用角平分线的性质定理和判定定理证明两条线
段相等或两个角相等．
3．通过把实际问题转化为数学问题，可以培养我们应用数学的意识．【篇二：角平分线教案设计】
人教版八年级上册第十二章
12.3角平分线的性质
一、教材分析：本节课主要探究角平分线的性质与判定，而角平分
线的性质对学生后期的三角形的全等起到很重要的作用，学生可以
利用角平分线的性质和判定探索问题中的线段的数量关系与三角形
全等的证明，实现承上启下的作用。
二、学情分析：学生刚刚经历了三角形的全等证明，对证明线段的
长度关系有了探索的方向，本节课主要通过动手实践，摸索角平分
线的性质与判定，再利用三角形全等的证明来求证角平分线的性质与判定，进而了解和掌握角平分线的性质与判定。
三、教学目标：①知识技能：了解角平分线的画法，了解和掌握角平分线的性质，理解角平分线的判定。
②数学思考：经历角平分线的作法的实践活动，理解角平分线的性质和角平分线的判定。
③问题解决：作角平分线，运用角平分线的性质与判定解决实际应用中的全等证明。
④情感态度：在合作探究中体验数学知识来源于生活，在学习过中中体验成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，培养严谨的科学态度。
三、教学重点与难点：①教学重点：理解如何作角的平分线（尺规作图），角平分线的性质及运用。
②教学难点：作角平分线中注意为什么要大于线段长的一半，由角平分线的性质得出角平分线的判定。
四、课时安排：1课时。
五、教学方法：合作探究法、引导法。
六、教学过程：
（一）：交流预习：预习教材p48-50的内容，展示收获。（教师巡视，师友相互交流，将自己的收获与师傅或学友分享）
（二）互助探究：探究①角平分线的画法。
教师用课件展示思考1（教材p48）：师友利用预习的知识加以说明，两组师友展示画法并说明：
（教师在师傅的讲解时突出强调为什么要大于de）
探究②角平分线上的点到角两边的距离的关系。
教师展示课件教材思考2（p48）
12
师友互助，展示结果并讲解：
（教师补充：这题我们先应确定已知条件是什么，求证是什么。）已知：点c在∠aob的角平分线上，,求证：cd=ce.
证明： oc平分∠aob，
∴∠doc=∠eoc, cd⊥oa,ce⊥ob,∴∠cdo=∠ceo=90?, 在?doc 与?eoc中，∠doc=∠eoc(已求)
∠cdo=∠ceo(已求)
oc=oc （公共边）
∴?doc??eoc（aas）
∴cd=ce
师友共同总结这一结论：
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
此时让师友总结证明几何命题的步骤：1、明确命题中的已知和求证；
2、根据题意画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3、经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。
探究角平分线的判定。
公路
教师展示课件教材思考3（p49）
师友共同探讨，教师巡视，加以引导。
展示师友比较优秀的做法并总结：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上教师引导学生
找出已知条件和求证，并让师友合作探讨，给出证明。选取一组师
友的结果并展示：
已知：如图，qd⊥oa,qe⊥ob,点d、e为垂足，qd=qe,求证： s
点q在∠aob的平分线上。
证明： qd⊥oa,qe⊥ob（已知）
∴∠qdo=∠qeo=90?(垂直的定义)
在rt?qdo与rt?qeo中，qo=qo（公共边）
qd=qe（已知）
∴rt?qdo?rt?qeo(hl)
∴∠qod=∠qoe
∴点q在∠aob的平分线上。
教师引导师友总结：
在角的内部到角两边相等的点在角的角平分线上。
（突出强调数学符号形式）数学符号语言表示为：
qd⊥oa,qe⊥ob，qd=qe
∴点q在∠aob的平分线上
（三）分层提高：教师利用课件展示练习：
如图，已知?abc的外角∠cbd的角平分线和∠bce的角平分线相
交于点f，求证：点f在∠dae的角平分线上。
学友在师傅的指导下，师友共同完成本题，教师巡堂，帮助有困难
的
师友，然后展示较好的作业。
师友作业展示如下：
证明：过f作fg⊥ae交ae于点g,fh⊥ad交ad于点h，fm⊥bc交bc于点m， f在∠bce的平分线上，fg⊥ae，fm⊥bc，∴fg=fm
又 f在∠cbd的平分线上，fh⊥ad，fm⊥bc，
∴fm=fh
∴fg=fh
∴点f在∠dae的角平分线上。
（四）总结归纳：本节课你有哪些收获？你还有什么困惑？通过本
次课的学习，你会勾画知识框图吗？你还想学习什么内容？（师友
共同完成，学友回答，师傅可作补充）
（五）巩固反馈：（师友合作探讨交流）
如图，?abc的角平分线bm,cn相交于点p，
求证：点p到三边ab,bc,ac的距离相等。
（请两组师友加以证明，完成过程）
【篇三：角平分线的判定教学设计与教学反思】
12.3 角的平分线的性质（2）
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解角的平分线的判定定理；
2.会利用角的平分线的判定进行证明与计算.
（二）过程与方法
在探究角的平分线的判定定理的过程中,进一步发展学生的推理证明
意识和能力.
（三）情感、态度与价值观
在探究作角的平分线的判定定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,
获得解决问题的成功体验.
二、教学重点、难点重点：角的平分线的判定定理的证明及应用；
难点：角的平分线的判定.
三、教法学法
自主探索,合作交流的学习方式.
四、教学过程（一）引入新课
问题1 如图，要在s 区建一个广告牌p，使它到两条高速公路的距
离相等，离两条公路交叉处500 m，请你帮忙设计一下，这个广告
牌p 应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？（1）．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪
一个性质可以
角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
①推导
已知：点p是∠mon内一点，pa⊥om于a，pb⊥on于b，且pa
＝pb．求证：点p在∠mon的平分线上．
证明：连结op
在rt△pao和rt△pbo中，
∴rt△pao≌rt△pbo（hl）
∴∠1＝∠2
∴op平分∠mon
即点p在∠mon的平分线上．
②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）
如图所示，∵pa⊥om，pb⊥on，pa＝pb
∴∠1＝∠2（op平分∠mon）
【典型例题】
例如图所示，已知△abc的角平分线bm，cn相交于点p，那么ap 能否平分∠bac？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？
分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来
解答，因此要作出点p到三边的垂线段．
解：ap平分∠bac．
结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距
离相等．理由：过点p分别作bc，ac，ab的垂线，垂足分别是e、f、d．
∵bm是∠abc的角平分线且点p在bm上，
∴pd＝pe（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．
同理pf＝pe，∴pd＝pf．
∴ap平分∠bac（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）．
（三）展示点评
练习：第2题
（四）课堂小结
请你说说本届课的收获与困惑.
（五）当堂检测（满分100分）
1.到角的两边距离相等的点在
2.到三角形三边的距离相等的点是三角形（）
a.三条边上的高线的交点；
b. 三个内角平分线的交点；
c.三条边上的中线的交点；
d.以上结论都不对。
4.已知:bd⊥am于点d,ce⊥an于点e,bd,ce交点f,cf=bf,求证:点f在∠a的平分线上.
e b n a
（六）作业
习题12.3 3、7
（七）教学反思
4．角平分线（一） 一、学生知识状况分析 本节在学习了直角三角形全等的判定定理、线段的垂直平分线的性质和判定定理的基础上，进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论.学生已经经历了构造一个命题的逆命题的过程，因此比较容易用类比的方法构造角平分线性质定理的逆命题。 二、教学任务分析 学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，并构造其命题，进一步讨论三角形三个内角平分线的性质．本节课的教学目标为： 1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理． 2.进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力． 3.经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。 教学难点： 正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：探究新知；第三环节：巩固练习；第四环节：随堂练习；第五环节：课时小结；第六环节：课后作业 1：情境引入 我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下： 从折纸过程中，我们可以得出CD=CE， 即角平分线上的点到角两边的距离相等． 你能证明它吗? 2：探究新知 （1）引导学生证明性质定理 请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在 全班进行交流． 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P 2 1 E D C P O B A
在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E． 求证：PD=PE． 证明：∵∠1=∠2，OP=OP， ∠PDO=∠PEO=90°， ∴△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)． (教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导) 我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分线的性质定理。(用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．（2）你能写出这个定理的逆命题吗? 我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题． 引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线性质定理的逆命题： 在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上． 它是真命题吗? 你能证明它吗? 没有加“在角的内部”时，是假命题． (由学生自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导) 证明如下： 已知：在么AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在么AOB的角平分线上． 证明：PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠ PEO=90°． 在Rt△ODP和Rt△OEP中 OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL定理)． ∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)． 逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。 3.巩固练习 综合利用角平分线的性质和判定、直角三角形的相关性质解决问题。进一步发展
12.3角的平分线的性质（第2课时） 教学目标： 知识与技能： 1、掌握角平分线判定定理的内容、证明及应用 2、会运用角平分线判定定理证明一射线是角的平分线，并且能判断一个点在一个角的平分线上。 过程与方法： 让学生通过自主探索，运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的重要结论。 情感、态度、价值观： 1、培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验， 2、培养学生团结合作精神 教学重点：角平分线判定定理的运用 教学难点：角平分线判定定理的证明 教学过程： 一、复习 1、角的平分线性质定理的内容是什么？其中题设、结论是什么？ 2、角平分线性质定理的作用是证明什么？ 3、填空如图： ∵OC平分∠AOB， ∴AC=BC（角平分线性质定理） 二、新课 1、逆向思维探求角平分线的判定定理 问：把角平分线性质定理的题设、结论交换后，得出什么命题？它正确？如何证明？ 指出：以上问题是我们今天所要解决的重点。 2、证明上面提问得出的猜想： 如果一个点到角的两边的距离相等，那么这个点在角的平分线上。 已知：PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE 求证：点P在∠AOB的平分线上 分析： ∠AOP=∠BOP 直角△DOP≌直角△EOP （PD⊥OA，PE⊥OB）
PD=PE PO=PO 证明：（学生板书） 3、引导学生得出角平分线判定定理： 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 4、理解角平分线是到角的两边距离相等的点的集合 （1）角平分线上任意一点到角的两边的距离都相等（即在角平分线上找不到一个到角的两边的距离不相等的点） （2）在角的内部，到角的两边距离相等的点都在这个角的平分线上。（即在角的内部找不到一个到角两边距离相等，而不在角的平分线上的点）即：角平分线上的点是到角两边距离相等的点，或者说到角两边距离相等的点也是角平分线上的点 由此得：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 3、定理的应用 （1）现有一条题目，两位同学分别用两种方法证明，问他们的做法正确？那一种方法好？ 已知：，CA⊥OA于A，BC⊥OB于B，AC=BC 求证： OC平分∠AOB 证法1：∵CA⊥OA，BC⊥OB ∴∠A=∠B 在△AOC和△BOC中 OA =OB ∴△AOC≌△BOC（HL） ∴∠AOC=∠BOC∴OC平分∠AOB 证法2：∵CA⊥OA于A，BC⊥OB于B， AC=BC ∴OC平分∠AOB（角平分线判定定理） 指出：在已知一定条件下，证角平分线不再用三角形全等后角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。 （2）例已知：如图，AD、BE是△ABC的两个角平分线，AD、BE相交于O点求证：O在∠C的平分线上 分析：作辅助线“过O作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N， OG⊥AB于G”。要证“O在∠C的平分线上”必须证“OM= ON”。而由“AD、BE是△ABC的两个角平分线”、“OM⊥BC， ON⊥A，OG⊥AB”所以“OG=ON，OG=OM”得“OM=ON”。 此题目得证。 证明：过O作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，OG⊥AB于G ∵OM⊥BC，ON⊥AC，OG⊥AB，AD、BE是△ABC的两个角平分线
3．9角的平分线教学目标 1．掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用．2．理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题．3．渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。教学重点和难点角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点．性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点．教学过程设计一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明1，复习引入课题．（1）提问关于直角三角形全等的判定定理．（2）让学生用量角器画出图3－86中的∠AOB的角平分线OC．2．画图探索角平分线的性质并证明之．（1）在图3－86中，让学生在角平分线OC上任取一点P，并分别作出表示Ｐ点到∠AOB两边的距离的线段PD，PE．（2）这两个距离的大小之间有什么关系？为什么？学生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知识进行证明，得出定理．（3）引导学生叙述角平分线的性质定理（定理1），分析定理的条件、结论，并根据相应图形写出表达式． 3．逆向思维探求角平分线的判定定理．（1）让学生将定理1的条件、结论进行交换，并思考所得命题是否成立？如何证明？请一位同学叙述证明过程，得出定理2——角平分线的判定定理．（2）教师随后强调定理1与定理2的区别：已知角平分线用性质为定理1，由所给条件判定出角平分线是定理2．（3）教师指出：直接使用两个定理不用再证全等，可简化解题过程．4．理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合．（1）角平分线上任意一点（运动显示）到角的两边的距离都相等（渗透集合的纯粹性）．（2）在角的内部，到角的两边距离相等的点（运动显示）都在这个角的平分线上（而不在其它位置，渗透集合的完备性）．由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合．二、应用举例、变式练习练习1填空：如图3－86（1）∵OC平分∠AOB，点P 在射线OC上，PD⊥OA于DPE⊥OB于E．∴（角平分线的性质定理）．（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ OP 平分∠AOB（）例1已知：如图3－87（a）， ABC的角平分线BD和CE交于F．（l）求证：F到AB，BC和 AC边的距离相等；（2）求证：AF平分∠BAC；（3）求证：三角形中三条内角的平分线交于一点，而且这点到三角形三边的距离相等；（4）怎样找△ABC内到三边距离相等的点？（5）若将“两内角平分线BD，CE交于F”改为“△ABC的两个外角平分线BD，CE交于F，如图387（b），那么（1）～（3）题的结论是否会改变？怎样找△ABC外到三边所在直线距离相等的点？共有多少个？说明：（1）通过此题达到巩固角平分线的性质定理（第（1）题）和判定定理（第（2）题）的目的．（2）此题提供了证明“三线共点”的一种常用方法：先确定两条直线交于某一点，再证明这点在第三条直线上。（3）引导学生对题目的条件进行类比联想（第（5）题），观察结论如何变化，培养发散思维能力．练习2已知△ABC，在△ABC内求作一点P，使它到△ABC三边的距离相等．练习 3已知：如图 3－88，在四边形 ABCD中， AB＝AD， AB ⊥BC，AD⊥DC．求证：点 C在∠DAB的平分线上．例2已知：如图 3－ 89，OE平分∠AOB，EC⊥OA 于 C，ED⊥OB于 D．求证：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD．分析：证明第（1）题时，利用“等角的余角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平分线的性质定理得到 OC＝OD．这样处理，可避免证明两个三角形全等．练习4 课本第54页的练习.说明：训练学生将生活语言翻译成数学语言的能力．三、互逆命题，互逆定理的定义及应用1．互逆命题、互逆定理的定义．教师引导学生分析角平分线的性质，判定定理的题设、结论，使学生看到这两个命题的题设和结论正好相反，得出互逆命题、互逆定理的定义，并举出学过的互逆命题、互逆定理的例子．教师强调“互逆命题”是两个命题之间的关系，其中任何一个做为原命题，那么另一个就是它的逆命题．2．会找一个命题的逆命题，并判定它是真、假命题．例3写出下列命题的逆命题，并判断（1）～（5）中原命题和它的逆命题是真命题还是假命题：（1）两直线平行，同位角相等；（2）直角三角形的两锐角互余；（3）对顶角相等；（4）全等三角形的对应角相等；（5）如果|x|＝|y|，那么x＝y；（6）等腰三角形的两个底角相等；（7）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．说明：注意逆命题语言的准确描述，例如第（6）题的逆命题不能说成是“两底角相等的三角形是等腰三角形”．3．理解互逆命题、互逆定理的有关结论．例4 判断下列命题是否正确：（1）错误的命题没有逆命题；（2）每个命题都有逆命题；（3）一个真命题的逆命题一定是正确的；（4）一个假命题的逆命题一定是错误的；（5）每一个定理都一定有逆定理．通过此题使学生理解互逆命题的真假性关系及互逆定理的定义．四、师生共同小结1．角平分线的性质定理与判定定理的条件内容分别是什么？2．三角形的角平分线有什么性质？怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？3．怎样找一个命题的逆命题？原命题与逆命题是否同真、同假？五、作业课本第55页第3，5，6，7，8，9题．课堂教学设计说明本教学设计需2课时完成．角平分
《角平分线的性质定理及其逆定理》教学设计 教学设计思想： 通过前面的学习已经探究出角平分线上的点所具有的性质，本节学习对这个性质进行证明.让学生完成对三角形全等的判定公理的推论的证明，进而应用这个公理完成对角平分线性质定理的证明，对于平分线的性质定理的逆定理仿照上节课处理线段垂直平分线逆命题的思路，引导学生解决与定理和逆定理的有关问题.对于尺规作角平分线，要让学生明白每步做法的依据.最后通过例题的学习来巩固这些知识点. 教学目标： 知识与技能： 总结角平分线的性质定理及其逆定理的证明并能灵活应用它们进行有关的计算和证明； 说出用尺规作角平分线的依据； 能够熟练地按照证明的格式和步骤对一些命题进行证明. 过程与方法： 经历用尺规作角平分线的过程； 经历寻找证明、作图思路的过程，进一步发展推理证明意识和能力； 情感态度价值观： 通过观察、类比、对比、归纳等方法尝试从不同角度分析问题，形成不同的策略； 愿意动手操作，并和同伴交流，形成不同意见. 教学重点和难点： 重点是角平分线的性质定理和逆定理的证明及其应用； 难点是角平分线的性质定理和逆定理的应用. 解决办法：通过例题的学习，分析出解题的思路，总结出做题的方法. 教学方法： 启发引导、小组讨论 课时安排： １课时 教具学具准备： 投影仪或电脑、三角板 教学过程设计： （一）角平分线的性质定理 我们已经探究出角平分线上的点所具有的性质，怎样对这个性质进行证明呢？
角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 证明角平分线的性质定理时，我们将用到三角形全等判定公理的推论： 推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）. 做一做 证明三角形全等判定公理的推论. 注：让学生独立按照证明的格式完成对“AAS”定理的证明，作为证明本节定理的依据. 证明略. 利用上面你已经证明的推论，可以对角平分线的性质定理给出如下的证明. 已知：如下图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD=PE. 证明：∴OC是∠AOB的平分线(已知)， ∴∠1=∠2(角平分线的定义). ∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)， ∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义). 在△PDO和△PEO中， ∠PDO=∠PEO (已证)， ∠1＝∠2(已证)， OP＝OP(公共边)， ∴△PDO≌△PEO (AAS). ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等). （二）角平分线性质定理的逆定理 做一做 1.请写出角平分线性质定理的逆命题. 2.请根据逆命题的内容，画出图形，并结合图形，写出已知和求证.
《角平分线》教案 第1课时 教学目标 知识与技能： 1、掌握用尺规作已知角的平分线的方法； 2、理解角的平分线的性质并能初步运用． 过程与方法： 通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力． 情感态度与价值观： 培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情． 教学难重点 教学重点： 掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用． 教学难点： 1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解； 2、对于性质定理的运用． 教学过程 一、创设情景 生活中有很多数学问题： 小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连． 问题1：怎样修建管道最短？ 问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画来看一看． 二、探究体验 要研究角的平分线的性质我们必须会画角的平分线，工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线．出示仪器模型，介绍仪器特点（有两对边相等），将A点放在角的顶点处，AB和AD沿角的两边放下，过AC画一条射线AE，AE即为∠BAD的平分线． 学生口述，用三角形全等的方法证明AE是∠BAD的平分线．
O B 多媒体展示实验过程． 把简易平分角的仪器放在角的两边时，平分角的仪器两边相等，从几何作图角度怎么画？BC=DC ，从几何作图角度怎么画？ 让学生用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕． 问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？ 问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？ 如图：按照折纸的顺序画出角及折纸形成的三条折痕．让学生分组讨论、交流，再利用几何画板软件验证结论，并用文字语言阐述得到的性质．（角的平分线上的点到角两边的距离相等） 结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程．教师归纳，强调定理的条件和作用． 三、合作交流 判断正误，并说明理由： （1）如图1，P 在射线OC 上，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，则PE=PF ． （2）如图2，P 是∠AOB 的平分线OC 上的一点，E 、F 分别在OA 、OB 上，则PE=PF ． （3）如图3，在∠AOB 的平分线OC 上任取一点P ，若P 到OA 的距离为3cm ，则P 到OB 的距离边为3cm ． 让学生运用本节课所学的知识回答课前引例中的问题： 问题：引例中两条管道的长度有什么关系？理由是什么？ 四、例题讲解 例：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD=CD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ．求证：EB=FC ． A O B P E F 图2 图3 A B P E A O B P E F 图1
12.3 《角的平分线的性质》教案设计 （第1课时） 利川市忠路镇初级中学钟金荣 教案目标 知识与技能： 1、掌握用尺规作已知角的平分线的方法； 2、理解角的平分线的性质并能初步运用。 过程与方法： 通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力。 情感态度与价值观： 培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情。 教案重点： 掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。 教案难点： 1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解； 2、对于性质定理的运用。 教案过程： 一、创设情景
学生结合导学案，独立思考，小组交流完成。 二、探究体验 探究一 学生在导学案上完成，请一名学生板书到黑板上。探究二：
结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程．教师归纳，强调定理的条件和作用．
三、合作交流 判断正误，并说明理由： （1）如图1，P 在射线OC 上，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，则PE =PF ． （2）如图2，P 是∠AOB 的平分线OC 上的一点，E 、F 分别在OA 、OB 上，则 PE =PF ． （3）如图3，在∠AOB 的平分线OC 上任取一点P ，若P 到OA 的距离为3cm ，则P 到OB 的距离边为3cm ． A O B P E 图2 图3 A B P E A O B P E F 图1
四、完成导学案练习 1．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，AB ＝5， CD ＝2. 求：（1）点D 到AB 的距离； （2）△ABD 的面积. 2 五、课堂小结 六、作业 教材第51页第2、3题 七、板书设计： 12.3 角的平分线的性质
《角平分线性质定理及逆定理》教学设计课题16.3角平分线性质定理及逆定理 教材分析 本节课是在学生学习了角平分线的概念和全等三角形的基础上进行教学的，它主要学习角平分线的性质定理及其逆定理。同时角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的思路，并为今后在圆一章学习内心作好知识准备。因此它既是对前面所学知识的应用，又是为后续学习作铺垫,具有举足轻重的作用，因此本节课在教材中占有非常重要的地位。 学情分析 角平分线的定义和性质，学生在初一的时候有所了解，但对角平分线性质的了解，是通过折纸得到的。而本节课是要求学生在此基础上，对角平分线的性质定理和判定定理进行严密的推理证明，是要求学生把感性认知上升到理性思维的水平。 教学目标1、知识与技能：理解和掌握角平分线性质定理及其逆定理，并能利用它们进行证明和计算。 2、过程与方法：了解角平分线性质定理及其逆定理在生活、生产中的应用并在探索角平分线的性质定理及其逆定理中发展几何直觉。 3、情感态度与价值观目标：在探讨角平分线性质定理及逆定理过程中，培养学生探讨问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。 教学 重点 角平分线的性质定理及逆定理的证明及运用。 教学 难点 灵活应用角平分线的性质定理及逆定理解决问题。 教学 方法 动手操作、小组合作、多媒体、导学案导学 教学过程设计 教学内容教学方式设计意图 一、复习导入 1、角平分线：从一个的顶点引出一 条，把这个角分成两个 的角，这条 _ 叫做这个角的角平分 线。 2、点到直线的距离：从______外一点到 这条直线的_________长度，叫点到直线的距离。板书标题，课件出示学习目标、 学习重点、难点，找学生研读。 提问学生 1、角平分线的定义是什么？ 2、点到直线的距离是什么？ 板书： C O A 通过角的定义你也可以从中 得到哪些角的数量关系? 明确本课 学习目标 复习旧知， 引入新课。激 发学生学习 兴趣和求知 欲。
1.3角平分线的性质 一、教材分析：本节课主要探究角平分线的性质与判定，而角平分线的性质对学生后期的三角形的全等起到很重要的作用，学生可以利用角平分线的性质和判定探索问题中的线段的数量关系与三角形全等的证明，实现承上启下的作用。 二、学情分析：学生刚刚经历了三角形的全等证明，对证明线段的长度关系有了探索的方向，本节课主要通过动手实践，摸索角平分线的性质与判定，再利用三角形全等的证明来求证角平分线的性质与判定，进而了解和掌握角平分线的性质与判定。 三、教学目标： ①知识技能：了解角平分线的画法，了解和掌握角平分线的性质，理解角平分线的判定。 ②数学思考：经历角平分线的作法的实践活动，理解角平分线的性质和角平分线的判定。 ③问题解决：作角平分线，运用角平分线的性质与判定解决实际应用中的全等证明。 ④情感态度：在合作探究中体验数学知识来源于生活，在学习过中中体验成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，培养严谨的科学态度。四、教学重点与难点：①教学重点：理解如何作角的平分线（尺规作图），角平分线的性质及运用。
②教学难点：作角平分线中注意为什么要大于线段长的一半，由角平分线的性质得出角平分线的判定。 五、课时安排：1课时。 六、教学方法：合作探究法、引导法。 七、教学过程： （一）：交流预习：预习教材P28-29的内容，展示收获。（教师巡视，师友相互交流，将自己的收获与师傅或学友分享） （二）互助探究：探究①角平分线的画法。 教师用课件展示思考1（教材P48）：师友利用预习的知识加以说明，两组师友展示画法并说明： 1） （教师在师傅的讲解时突出强调为什么要大于DE 2 探究②角平分线上的点到角两边的距离的关系。 教师展示课件教材思考2（P28）
12.3 《角的平分线的性质》教学设计 （第1课时） 授课教师： 教学目标 知识与技能： 1、掌握用尺规作已知角的平分线的方法； 2、理解角的平分线的性质并能初步运用。 过程与方法： 通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力。 情感态度与价值观： 培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情。 教学重点： 掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。 教学难点： 1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解； 2、对于性质定理的运用。 教学过程： 一、创设情景 生活中有很多数学问题： 小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P 点，要从P 点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连。 问题1：怎样修建管道最短？ 问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画来看一看。 二、探究体验 要研究角的平分线的性质我们必须会画角的平分线，工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线。出示仪器模型，介绍仪器特点（有两对边相等），将A 点放在角
的顶点处，AB 和AD 沿角的两边放下，过AC 画一条射线AE ，AE 即为∠BAD 的平分线。 学生口述，用三角形全等的方法证明AE 是∠BAD 的平分线。 多媒体展示实验过程。 把简易平分角的仪器放在角的两边时，平分角的仪器两边相等，从几何作图角度怎么画？BC =DC ，从几何作图角度怎么画？ 让学生用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕。 问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？ 问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？ 如图：按照折纸的顺序画出角及折纸形成的三条折痕．让学生分组讨论、交流，再利用几何画板软件验证结论，并用文字语言阐述得到的性质．（角的平分线上的点到角两边的距离相等） 结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程．教师归纳，强调定理的条件和作用． 三、合作交流 判断正误，并说明理由： （1）如图1，P 在射线OC 上，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，则PE =PF ． （2）如图2，P 是∠AOB 的平分线OC 上的一点，E 、F 分别在OA 、OB 上，则PE =PF ． （3）如图3，在∠AOB 的平分线OC 上任取一点P ，若P 到OA 的距离为3cm ，则P 到OB 的距离边为3cm ． 让学生运用本节课所学的知识回答课前引例中的问题： 问题：引例中两条管道的长度有什么关系？理由是什么？ 四、例题讲解 O B A O B P E 图2 图3 A O B P E A O B P E F 图1
12.3 角的平分线的性质(1) 教学内容 本节课首先介绍作一个角的平分线的方法，然后用三角形全等证明角平分线的性质定理． 教学目标 1．知识与技能 通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理． 2．过程与方法 经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法． 3．情感、态度与价值观 激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力． 重、难点与关键 1．重点：领会角的平分线的两个互逆定理． 2．难点：两个互逆定理的实际应用． 3．?关键：可通过学生折纸活动得到角平分线上的点到角的两边的距离相等的结论．利用全等来证明它的逆定理． 教具准备 投影仪、制作如课本图11．3─1的教具． 教学方法 采用“问题解决”的教学方法，让学生在实践探究中领会定理． 教学过程 一、创设情境，导入新课 【问题探究】（投影显示） 如课本图11．3─1，是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线，你能说明它的道理吗？ 【教师活动】首先将“问题提出”，然后运用教具（如课本图11．3─1?）直观地进行讲述，提出探究的问题． 【学生活动】小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”课本图11．3─1判定法，可以说明这个仪器的制作原理． 【教师活动】 请同学们和老师一起完成下面的作图问题． 操作观察： 已知：∠AOB ． 求法：∠AOB 的平分线． 作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，交OA 于M ，交OB 于N ．（2）分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C ．（3）作射线OC ，射线OC?即为所求（课本图11．3─2）． 【学生活动】动手制图（尺规），边画图边领会，认识角平分线的定义；同时在实践操作中感知． 【媒体使用】投影显示学生的“画图”． 【教学形式】小组合作交流． 二、随堂练习，巩固深化 课本P19练习． 【学生活动】动手画图，从中得到：直线CD 与直线AB 是互相垂直的． 【探研时空】（投影显示） 如课本图11．3─3，将∠AOB 对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ 【教师活动】操作投影仪，提出问题，提问学生． 【学生活动】实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB 的平分线OC ，第二次折叠形成的两条折痕PD 、PE 是角的平分线上一点到∠AOB 两边的距离，这两个距离相等．” 论证如下： 1 2
角平分线 【教学目标】 1．知识与技能： 掌握角平分线的性质定理和判定定理，能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题。 2．过程与方法： 让学生通过自主探索，运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的重要结论，并体会感性认识与理性认识之间的联系与区别。 3．情感、态度与价值观： 通过认识的升华，使学生进一步理解数学，也使学生关注数学、热爱数学。 【教学重难点】 1．重点： 角平分线的性质定理和判定定理，能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题。 2．难点 灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题。 【教学过程】 一、创设情景，导入新课 角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 如图，点P是∠AOB的角平分线OC上的任一点，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，将∠AOB沿OC对折你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程。 二、师生互动，探究新知 在学生交流发言的基础上，老师板书：角平分线的性质定理，即角平分线上的点到角两边的距离相等。几何推理为：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴PD=PE。教师指出条件中不能漏掉PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E。 教师指出：角平分线是一条射线，那么这个逆定理应如何表述？学生讨论并发言。在学生发言基础上教师归纳总结，并板书：角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上。
三、随堂练习，巩固新知 1．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，则PC与PD的大小关系是（）。 A．PC>PD； B．PC=PD； C．PC
几何专题2：角平分线的性质定理和判定定理 一、 知识点(抄一遍)： 1. 角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线. 2. 角平分线的性质定理： 角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等. 3. 角平分线的判定定理： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 二、 专题检测题 1. 证明角平分线的性质定理. （注意：证明文字性命题的三个步骤：①根据题意，画出图形；②写出已知和求证；③写出证明过程.） 2. 证明角平分线的判定定理. 3. 定理的几何语言表示 （1）角平分线的性质定理： ∵ ， ∴ . （2）角平分线的判定定理： ∵ ， ∴ . 4. 已知：如图所示，BN 、CP 分别是∠ABC 、∠ACB 的角平分线，BN 、CP 相交于O 点，连接AO ，并延长交BC 于M 求证：AM 是∠BAC 的角平分线. 5. 如图，已知BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，点E ，F 为垂足，D 是BE 与CF 的交点，AD 平分∠BAC. 求证：BD=CD. B
6. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC. AD 是∠CAB 的平分线. 求证：AB=AC+CD. 7. 如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB. 8. 如图,已知P 是∠AOB 平分线上的一点.PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是点C ，D ，CD 与OP 交于点M. 求证：（1）∠PCD=∠PDC ； （2）OP 是CD 的垂直平分线； （3）OC=OD. O
几何专题2：角平分线的性质定理和判定定理答案 1. 证明角平分线的性质定理. 已知：如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上， PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E 求证: PD=PE 证明：∵OC 平分∠ AOB ∴ ∠1= ∠2 ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ∴∠PDO= ∠PEO 在△PDO 和△PEO 中 ∠PDO= ∠PEO ∠1= ∠2 OP=OP ∴△PDO ≌ △PEO(AAS) ∴PD=PE 2. 证明角平分线的判定定理. 已知：如图,PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，点D 、E 为垂足，PD ＝PE ． 求证：点P 在∠AOB 的平分线上 证明: 经过点P 作射线OC ∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴ ∠PDO ＝∠PEO ＝90° 在Rt △PDO 和Rt △PEO 中 PO ＝PO PD=PE ∴ Rt △PDO ≌Rt △PEO （HL ） ∴ ∠ POD ＝∠POE ∴点P 在∠AOB 的平分线上. 3. 定理的几何语言表示 （1）角平分线的性质定理： ∵ OP 平分∠AOB ，DP ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴ DP=EP. （2）角平分线的判定定理： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD ＝PE ． ∴ OP 平分∠AOB ． O O
《角平分线》教案 教学目标： 一、知识与技能 1. 证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理． 2. 能够证明三角形三边垂直平分线交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等. 3. 经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形和垂线． 二、过程与方法 经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识． 三、情感、态度与价值观 学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．培养学生积极探索证明思路的意识. 教学重点： 线段垂直平分线的性质定理和判定定理的推证以及应用. 教学难点： 垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用 教学过程： 一、导入新课 提出问题：你还记得角平分线上的点有什么性质吗? 学生回忆回答：角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 思考：你能证明这一结论吗?结合我们前面学习的定理的证明方法，你能写出这个性质的证明过程吗？----引出本课课题：角平分线. 二、新课学习 （一）证明角平分线的性质和判定定理 1. 证明角平分线的性质 师生共同分析，写出已知、求证和证明过程： 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂
足分别为D，E. 求证：PD = PE. 证明：∵∠1=∠2，OP=OP， ∠PDO=∠PEO=90°， ∴△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等) 归纳： 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 几何语言： ∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD = PE. 2.想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 学生分析，说出逆命题并判定： 如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上． 这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点． 思考：此命题填加什么条件可变为真命题呢？ 学生讨论归纳： 在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上． 提出问题：你能证明这个命题吗？ 学生分析命题，自主写出已知、求证和证明过程： 已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，求证：点P在∠AOB的平分线上． 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90°． 在Rt△ODP和Rt△OEP中 OP=OP，PD=PE
第2课时角平分线的判定 一、教学目标 （一）知识与技能 1.了解角的平分线的判定定理； 2.会利用角的平分线的判定进行证明与计算. （二）过程与方法 在探究角的平分线的判定定理的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力. （三）情感、态度与价值观 在探究作角的平分线的判定定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验. 二、教学重点、难点 重点：角的平分线的判定定理的证明及应用； 难点：角的平分线的判定. 三、教法学法 自主探索,合作交流的学习方式. 四、教学过程 温故知新 1、写出命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题. 1、写出命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题. （一）复习、回顾 1. 角平分线的作法（尺规作图） ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点； ②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P； ③过点P作射线OP，射线OP即为所求． 2. 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． ①推导 已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，
垂足分别为点A、点B． 求证：PA＝PB． 证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON ∴∠PAO＝∠PBO＝90° ∵OC平分∠MON ∴∠1＝∠2 在△PAO和△PBO中， ∴△PAO≌△PBO ∴PA＝PB ②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等） 如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON， ∴PA＝PB． （二）合作探究 角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． ①推导 已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上． 证明：连结OP
角平分线的性质定理教案 慧光中学：王晓艳 教学目标：（1）掌握角平分线的性质定理； （2）能够运用性质定理证明两条线段相等； 教学重点：角平分线的性质定理及它的应用。 教学难点：角平分线定理的应用； 教学方法：引导学生发现、探索、研究问题，归纳结论的方法 教学过程： 一，新课引入： 1．通过复习线段垂直平分线的性质定理引出角平分线上的点具有什么样的特点 操作：（1）画一个角的平分线； （2）在这条平分线上任取一点P，画出P点到角两边的距离。 （3）说出这两段距离的关系并思考如何证明。 2．定理的获得： A、学生用文字语言叙述出命题的内容，写出已知，求证并给予证明， 得出此命题是真命题，从而得到定理，并写出相应的符号语言。 B、分析此定理的作用:证明两条线段相等； 应用定理所具备的前提条件是：有角的平分线，有垂直距离。 3．定理的应用 二．例题讲解： 例1：已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A内一点，PB=PC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。 求证：PE=PF （此题已知中有垂直，缺乏角平分线这个条件）
例2：已知：如图，⊙O与∠MAN的边AM交于点B、C，与边AN交于点 E、F， 圆心O在∠MAN的角平分线AQ上。 求证：BC=EF （此题已知中有角平分线，缺乏垂直这个条件） 三：课堂小结： ①应用角平分线的性质定理所具备的前提条件是：有角的平分线，有垂 直距离; ②若图中有角平分线,,可尝试添加辅助线的方法:向角的两边引垂线段.四：巩固练习 1．已知：如图，△ABC中，D是BC上一点，BD=CD，∠1=∠2求证：AB=AC 分析：此题看起来简单，其实不然。题中虽然有三个条件（∠1= ∠2；BD=CD，AD=AD），但无法证明△ABD ≌△ACD，所以必须添加一些线帮助解题。
12.3 《角的平分线的性质》教案 台前县吴坝镇中学李桂香 一、教学背景的分析 1、教学内容 本节课是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的。内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用。作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础。因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用。同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律。 2、学生 刚进入八年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导。根据学生的认知特点和接受水平，我把第一课时的教学任务定为：掌握角平分线的画法及会用角平分线的性质定理解题，同时为下节判定定理的学习打好基础。 3、教学环境 利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索某种数学情境，在这种情境下，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律。 4、教学重点、难点 本节课的教学重点为：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。教学难点是：1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；2、对于性质定理的运用。 教学难点突破方法：（1）利用多媒体动态显示角平分线性质的本质内容，在学生脑海中加深印象，从而对性质定理正确使用；（2）通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题；（3）通过多媒体创设具有启发性的问题情境，使学生在积极的思维状态中进行学习。 二、教学目标的确定
1．4 角平分线 第1课时 角平分线 1．复习角平分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理；(重点) 2．能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题．(难点) 一、情境导入 问题：在S 区有一个集贸市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路． 问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？ 二、合作探究 探究点一：角平分线的性质定理 【类型一】 应用角平分线的性质定理证明线段相等 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD ＝DF .求证：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB . 解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，即CD ＝DE .再根据Rt △CDF ≌Rt △EBD ，得CF ＝EB ；(2)利用角平分线的性质证明△ADC 和△ADE 全等得到AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行证明． 证明：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .在Rt △DCF 和Rt △DEB 中，∵? ????BD ＝DF ， DC ＝DE ，∴Rt △CDF ≌Rt △EBD (HL)．∴CF ＝EB ； (2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴CD ＝DE .在△ADC 与△ADE 中，
∵? ????CD ＝DE ，AD ＝AD ， ∴△ADC ≌△ADE (HL)，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB . 方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在应用时一定要注意是两条“垂线段”相等． 【类型二】 角平分线的性质定理与三角形面积的综合运用 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4， 则AC 的长是( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 解析：过点D 作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∴S △ABC ＝12×4×2＋1 2 ×AC ×2＝7，解得AC ＝3.故选D. 方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出 线段的长度是常用的方法． 【类型三】 角平分线的性质定理与全等三角形的综合运用 如图所示，D 是△ABC 外角∠ACG 的平分线上的一点．DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，垂 足分别为E ，F .求证：CE ＝CF . 解析：由角平分线上的性质可得DE ＝DF ，再利用“HL ”证明Rt △CDE 和Rt △CDF 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可． 证明：∵CD 是∠ACG 的平分线，DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，∴DE ＝DF .在Rt △CDE 和Rt △CDF 中，∵? ??? ?CD ＝CD ，DE ＝DF ，∴Rt △CDE ≌Rt △CDF (HL)，∴CE ＝CF . 方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据， 可作为判定三角形全等的条件． 探究点二：角平分线的判定定理 【类型一】 角平分线的判定 如图，BE ＝CF ，DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC ，求证： AD 是∠BAC 的平分线．