4. 同底数幂的加减运算法则 :实际是合并同类项
5. 同底数幂的乘法与除法 ;a m ? a n =a m+n ; a m ÷a n =a m －
n
6. 积的乘方与幂的乘方 :(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn
1
7.
负指数幂 : a -p = 1p
a 0=1
a p
8. 乘法公式与因式分解 :平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2- b 2 ;(a ±b) 2= a 2
±2ab+b 2
一、考点、热点
知识点一：分式的定义
A
一般地，如果 A ， B 表示两个整数，并且 B 中含有字母，那么式子 A
叫做分式， A 为分 B
子， B 为分母。
知识点二：与分式有关的条件
① 分式有意义：分母不为 0（ B 0） ②分式无意义：分母为 0（ B 0）
知识网络】
分式
主要公式】
a
2.异分母加减法则 :b
a
a bc da ac ac
bd b
c
3.分式的乘法与除法 :b
? d
a c ac a
bc da a ac c b d ? d a c
0,c 0 ; bd
ac
③分式值为0 ：分子为0 且分母不为0（）
B0
A 0 A 0 ④分式值为正或大于0 ：分子分母同号（
或）
B 0 B 0 ⑤分式值为负或小于0 ：分子分母异号（
或）
B 0 B 0
⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1 ：分子分母值互为相反数（A+B=0 ）
知识点三：分式的基本性质
分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0 的整式，分式的值不变。字母表示： A A?C，A A C，其中A、B、C是整式，C 0。
B B ?
C B B C 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即
A A A A
B B B B
注意：在应用分式的基本性质时，要注意C 0 这个限制条件和隐含条件B 0。
知识点四：分式的约分
定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。
知识点四：最简分式的定义一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
知识点五：分式的通分
①分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分
母分式，叫做分式的通分。
②分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
确定最简公分母的一般步骤：
Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；
Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；
Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。
知识点六分式的四则运算与分式的乘方
① 分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表
示为：a ?c a?c
b d b? d
分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为
a c a d a?d
b d b
c b ?c
②分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子
a n
a n
b b n
③分式的加减法则：
同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为
a b a b
c c c
异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为 a c ad bc b d bd
整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是 分母为 1 的分式，再通分。
④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序 先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，
谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的， 也要注意灵活，提高解题质量。 注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要
随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。 加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式） 。
知识点六整数指数幂
① 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的
法则对对负整数指数幂一样适用。即
m n m n
★ a a a m mn
★ a a
★
ab n a n b n ★a m a n a m n （ a 0）
★ a a n
★a
n
1 （ a 0 ）
★
n
★a n
n
（ a 0 ）
b
b
n
a
n
★a 0 1 （ a 0） （任何不等于零的数的零次幂都等于 1） 其中 m ，n 均为整数。 科学记数法
若一个数 x 是 0 7个0 若一个数x 是x>10 的数则可以表示为a 10n（1 a 10，即a 的整数部分只有一位，n 为整数） 的形式，n 的确定n= 比整数部分的数位的个数少1。如120 000 000= 1.2 108 9 个数字 知识点七分式方程的解的步骤 ⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程） ⑵解整式方程，得到整式方程的解。 ⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中： 如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。 产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。 知识点八列分式方程 基本步骤 ① 审—仔细审题，找出等量关系。 ② 设—合理设未知数。 ③ 列—根据等量关系列出方程（组） ④ 解—解出方程（组） 。注意检验 ⑤ 答—答题。 二、典型例题 一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义 题型二：考查分式有意义的条件 例 2】当 x 有何值时，下列分式有意义 题型三：考查分式的值为 0 的条件 例 3】当 x 取何值时，下列分式的值为 0. 题型四：考查分式的值为正、负的条件 【例 4】（1）当 x 为何值时，分式 4 为正； 8x （2）当 x 为何值时，分式 5 x 2 为负； 3 （x 1） 2 例 1】下列代数式中： x ,12x y, a b ,x y ab xy 1 xy xy ，是分式的有： 1） x 4 （2） x4 3x x 2 3） 2 2 （ 4） x 2 1 6x |x| 3 1） x1 x3 | x| 2 x 2 4 2 x 2x 3 2 x 5x 6 2) 3)当 x 为何值时，分式 x 2 为非负数. x3 练习： 1．当 x 取何值时，下列分式有意义： 2．当 x 为何值时，下列分式的值为零： 3．解下列不等式 (1) |x x|1 2 0 (2)x 2x 2x 5 3 0 二) 分式的基本性质及有关题型 1．分式的基本性质： 2．分式的变号法则： A A M A M B B M B M a a a a b b b b 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数 例 1 】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数 12 xy 23 11 xy 34 1) 1 6| x| 3 2) 3x (x 1) 2 1 1) 5 | x 1| x4 2) 25 x 2 x 2 6x 5 0.2a 0.03b 0.04a b 1) 题型二：分数的系数变号 例2 】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号 1) x x y y(2) a a b（3）a xy ab b 题型三：化简求值题 【例3】已知： 1 15，求2x 3xy 2y的值. x y x 2xy y 提示：整体代入，① x y 3xy ，②转化出 1 1 xy 例4】已知：x 1x2，求x2x12的值. 例5】若| x y 1| (2x 3)20，求4x12y的值. 练习： 1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数 12 2．已知： x 1 3 ，求 4 x 2 的值 . x x 4 x 2 1 1 1 3 ，求 2a 3ab 2b 的值 . a b b ab a 4．若 a 2 2a b 2 6b 10 0，求32a a 5b b 的值. 0.03x 0.2y 0.08x 0.5y 2) 0.4a 3b 5 1 a 1 b 4 10 3．已知： 、（三）分式的运算 1．确定最简公分母的方法： ①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂 . 2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数； ②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂 . 题型一：通分 【例 1 】将下列各式分别通分 . （1） c , b , a ； （2） a , b ； （ ） 2ab ,3a 2c , 5b 2c ； （ ） a b 2b 2a ； 题型二：约分 2 22 2 【例 2】约分：（1） 16x 3 y ； （2） n m ； （3） x 2 x 2 20xy mn x x 6 5．如果 1 x 2，试化简 |x 2 x 2| x 1 |x | |x 1| x 3） 1 , x , 2 x 2 x ,1 2x x 2 ,x 2 x 2 4） 2, 1 2a 题型四：化简求值题 【例 4 】先化简后求值 2 (1)已知： x 1，求分子 1 2 8 [( x 4 1) (1 1 )] 的值； x 4 4 x 2 x 题型三：分式的混合运算 【例 3 】计算： 22 (1) (a c b )3 ( c ab )2 (b a c )4； c ab a 2) 3a ( x 3 (x 2 y 2 ) y x 2 ( )2 ； yx m 2n n 2 m n m m n n m 2 5) 1 x 1 x 2x 4x 3 8x 7 1 x 4 x 8 6) 1 (x 1)( x 1) 1 ( x 1)(x 3) 1 ( x 3)( x 5) a 2 3a 1 0，试求 (a 2 a 1 2)(a a 1)的值. 题型五：求待定字母的值 练习： 1．计算 2)已知： xy 23 ，求 xy 2yz 3xz 22 xy 2 的值； z 例 5 】若 1 3x x 2 1 M x1 x N 1 ，试求 M,N 的值. 1) 2a 5 2(a 1) a1 2(a 1) 2a 3 2(a 1) 2 b 2 2ab ba 3) a b c a 2b 3c b 2c a b c b c a c a b 2b 2 a b ； 3)已知： 4ab 5) (a b a4ab b)(a b 4ab a b ) ； 1 2 ； x 1 x 2 ； 7) 1 (x 2)(x 3) 21 (x 1)(x 3) (x 1)(x 2) 2．先化简后求值 1) 2 a 1 a 4 2 a 2 a2 2a 1 a211 ，其中a满足a2 a 0. x 2 y 2 2)已知x: y 2:3，求(x y) [(x xy x y) ( y) 3] 的值. 3．已知：5x 4 (x 1)(2x 1) A x1 2x B 1，试求A、B的值 4．当 a 为何整数时，代数式399a 805 的值是整数，并求出这个整数值 a2 （四）、整数指数幂与科学记数法 题型一：运用整数指数幂计算 【例1】计算：（1）（a2）3（bc 1）32）(3x3y2z 1) (5xy 2z3) 35 3)[((a a b b)) 23((a a b b))54]24)[(x y)3 (x 22 y) 2 ]2 (x y) 题型二：化简求值题 例2 】已知x x 1 5 ，求（1）x2x 2的值；（2）求x4x 4的值.题型三：科学记数法的计算 例 3 】计算： 3 2 2 3 2 2 3 (1) (3 10 3) (8.2 10 2)2；(2)(4 10 3)2 (2 10 2)3 . 2 2 2 4) [4(x y)2(x y) 2]2 [2(x y) 1(x y)] 2 练习： 1．计算：(1)(13 15) (51)2 | 13| (1 3)0 ( 0.25) 2007 42008 1 3 2 2 2 3 2) (3 m n ) (m n) 3） 2 2 2 2 (2ab 2) 2 (a 2 b)2 3 2 3 2 (3a b ) (ab ) 实用标准 2．已知x25x 1 0，求（1）x x 1，（2）x2x 2的值. 第二讲分式方程（一）分式方程题型分析 题型一：用常规方法解分式方程 例1 】解下列分式方程 提示易出错点：①分子不添括号②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根题型二：特殊方法解分式方程 例2 】解下列方程 提示：（1）换元法，设x y ；（2）裂项法， x1 例3 】解下列方程组 111 xy2 (1) z3 zx4 (2) (3) 1） x1 2） x3 0 ；（3 ） x1 x1 x 2 5x x3 x5 4x 1）x x1 4x 4 4； 2) x x76x 9 x 10 x 6 x 8 x 9 x 5 题型三：求待定字母的值 例4】若关于x 的分式方程 x 23 1 x m 3 有增根，求 m 的值. 题型四：解含有字母系数的方程 【例 6】解关于 x 的方程 x a c （c d 0） b x d 提示：（1） a, b, c, d 是已知数；（2）c d 0. 题型五：列分式方程解应用题 练习： 例 5 】若分式方程 2x a x2 1的解是正数，求 a 的取值范围 . 提示： 2a 0 且 x 2， a 2 且a 4. 1．解下列方程： 1) x1 x1 2x 1 2x 0；2) x3 3) 2x x2 3 x2 x2 x 3 2 xx x2 5) 5x 4 2x 4 2x 5 1 3x 2 2 6) 1 x1 11 x 5 x 2 1 x4 7) x x2 x9 x7 x1 x1 x8 x6 2 ．解关于x 的方程： 1) 2 2 b(b 2a)；(2) a1b a x 1 b b x(a b) . 3．如果解关于x的方程x k22x x2 会产生增根，求k 的值. 4．当k为何值时，关于x的方程x x 32(x 1)k(x 2) 1的解为非负数. 《分式》典型例题分析 《分式》复习提纲 考点1. 分式的概念 1、下列各有理式 π y y x y x y x x y xy y x x x ,31),(23,,53,81,4, 23,822++-+---中，分式的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 考点2. 分式的意义 分式： B A (A ，B 都是整式，且B 中含有字母，B ≠0) ① 分式有意义? ；② 分式无意义? ；③ 分式值为零? 1、若分式 3 2 -x 有意义，则x__________ 2、 要使分式 ) 5)(32(23-+-x x x 有意义，则（ ） A. x ≠2 3 - B. x ≠5 C. x ≠23-且x ≠5 D. x ≠2 3 -或x ≠5 3、 当a 为任意有理数时，下列分式一定有意义的是（ ） A ． 112++a a B. 12+a a C. 112++a a D. 21 a a + 4、分式 3 24 x x +-当x 时有意义；当x 时分式没有意义；当x 时分式的值为零。 5、当x 时，分式2 5 2++x x 的值是零；当x 时，分式242--x x 的值是零； 当x 时，分式 x x -+22 的值是零 考点3、最简公分母、最简分式 1、分式 ac b bc a ab c 3,2,2 --的最简公分母是 ；分式1 3x ，11x x +-，225(1)xy x -的最简公分母为________ 2、下列分式中是最简分式的是（ ） A. 122+x x B. x 24 C. 1 12 --x x D. 11--x x 3、下列分式中是最简分式的是（ ） A. 2 2 2) (y x y x -- B. 2x xy - C. xy x y x ++2 D. 22-+x x 考点4、分式的基本性质 1. 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。 （1）y x y x 3 22132 21-+； （2）b a b a -+2.05.03.0 2、把分式xy y x +中的分子、分母的x 、y 同时扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大2倍 B. 缩小为原来的2 1 C. 不变 D. 缩小为原来的4 1 3、约分（1）4 3 22016xy y x -= ；（2）4 4422+--x x x = 4、通分（1）b a 21，2 1ab ； （2）y x -1，y x +1； （3）221y x -，xy x +21. 考点5、计算 1、(1)222222x b yz a z b xy a ÷= ；（2）49 3222--?+-x x x x = ；（3）43222)1.().()( ab a b b a --= (4) x x x x x x 36299622 2+-÷-+- （5）ab a b a a b a b a --+-2224. （6） 22212(1)441x x x x x x x -+÷+?++- 分式知识点总结和题型归纳 （一）分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义: 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件 分式有意义：分母不为0（0B ≠） 分式无意义：分母为0（0B =） 【例1】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）1 2 2-x （4） 3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件 分式值为0：分子为0且分母不为0（?? ?≠=0 B A ） 【例1】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2）4 2||2--x x （3）6 53222----x x x x 【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4 |1|5+--x x （2） 5 6252 2+--x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件 分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或???<<00B A ） 分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或???><0 B A ） （1）当x 为何值时，分式x -84 为正； （2）当x 为何值时，分式2 )1(35-+-x x 为负； （2）当x 为何值时，分式32 +-x x 为非负数. 题型五：考查分式的值为1，-1的条件 分式值为1：分子分母值相等（A=B ） 分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 【例1】若 2 2 ||+-x x 的值为1，-1，则x 的取值分别为 （二）分式的基本性质及有关题型 1．分式的基本性质： M B M A M B M A B A ÷÷= ??= 2．分式的变号法则：b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数 【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1）y x y x 4 1313221+- （2） b a b a +-04.003.02.0 题型二：分数的系数变号 【例1】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）y x y x --+- （2）b a a --- （3）b a --- 题型三：化简求值题 【例1】 已知：511=+y x ，求y xy x y xy x +++-2232的值 【例2】 已知：21=-x x ，求2 21 x x +的值. 【例3】 若0)32(|1|2=-++-x y x ，求y x 241 -的值. 【例4】 已知：311=-b a ，求a ab b b ab a ---+232的值. 《分式的乘除法》典型例题 例1 下列分式中是最简分式的是（） A ．264a b B ．b a a b --2)(2 C ．y x y x ++22 D ．y x y x --2 2 例2 约分 （1）36)(12)(3a b a b a ab -- （2）44422 -+-x x x （3）b b 2213432-+ 例3 计算（分式的乘除） （1）22563ab cd c b a -?- （2）42 2 643mn n m ÷- （3）2 33344222++-?+--a a a a a a （4）2 22 22222b ab a b ab b ab b ab a +-+÷-++ 例4 计算 （1）)()()(432 2xy x y y x -÷-?- （2）x x x x x x x --+?+÷+--36)3(446222 例5 化简求值 22232232b ab b a b b a ab a b a b +-÷-+?-，其中3 2=a ，3-=b . 例6 约分 （1）3286b ab ； （2）2 22322xy y x y x x -- 例7 判断下列分式，哪些是最简分式？不是最简分式的，化成最简分式或整式. （1）44422-+-x x x ； （2）36 ) (4)(3a b b a a --； （3）22 2y y x -； （4）882122++++x x x x 例8 通分： （1）223c a b ， ab c 2-，cb a 5 （2）a 392 -， a a a 2312---，652+-a a a 参考答案 例1 分析：（用排除法）4和6有公因式2，排除A ．2)(a b -与)(b a -有公因式)(b a -，排除B ，22y x -分解因式为))((y x y x -+与)(y x -有公因式)(y x -，排除D. 故选择C. 解 C 例2 分析（1）中分子、分母都是单项式可直接约分.（2）中分子、分母是多项式，应该先分解因式，再约分.（3）中应该先把分子、分母的各项系数都化为整数，把分子、分母中的最高次项系数化为正整数，再约分. 解：（1）36)(12)(3a b a b a ab --)4()(3)()(3333-?--?-=b a a b b a b a a 3)(4 1b a b --= （2）4 4422-+-x x x )2)(2()2(2-+-=x x x 22+-=x x （3）原式2123486)22 1(6)3432(b b b b -+=?-?+=312482-+-=b b b b b b 634)12)(12(3)12(4-=-++-= 例3 分析（1）可以根据分式乘法法则直接相乘，但要注意符号.（2）中的除式是整式，可以把它看成1 64 mn .然后再颠倒相乘，（3）（4）两题都需要先分解因式，再计算. 解：（1）22563ab cd c b a -?-2253)6(ab c cd b a ?--=b ad 52= （2）422643mn n m ÷-7 43286143n m mn n m -=?-= （3）原式)2)(1)(3)(1()3)(2)(2(++----+=a a a a a a a 1 22--=a a （4）原式)()()()(2b a b a b b a b b a -+÷-+=2 2 22))((b b a b b a b a -=-+= 说明：（1）运算的结果一定要化成最简分式；（2）乘除法混合运算，可将除 一、选择题 1. （广东珠海）若分式 b a a ＋2的a 、b 的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值 （ ） A ．是原来的20倍 B ．是原来的10倍 C ． 是原来的10 1 倍 D ．不变 2. 计算-22+（-2）2-（- 12）-1的正确结果是（ ） A 、2 B 、-2 C 、6 D 、10 3. （四川遂宁）下列分式是最简分式的（ ） Ａ． a 22 B ． a 2 C ． 2 2b a + D ． 2 22ab a - 5.（丽江）计算10 ()(12 -+= ． 6. （江苏徐州）0132--= ． 7. （江苏镇江常州）计算：－(－ 12)＝ ；︱－12︱＝ ； 01()2-= ；11 ()2 --= ． 8. （云南保山）计算101 ()(12 -+= . 9. （北京）计算：?-++?--)2(2730cos 2)2 1(1π． 10. 计算：|-3|+20110×2-1． 11. （重庆江津区）下列式子是分式的是（ ） A 、 2 x B 、 1x x + C 、2x y + D 、x π 12. （四川眉山）化简m m n m n -÷-2)(的结果是（ ） A ．﹣m ﹣1 B ．﹣m+1 C ．﹣mn+m D ．﹣mn ﹣n 13．（南充）若分式1 2 x x -+的值为零，则x 的值是（ ） A 、0 B 、1 C 、﹣1 D 、﹣2 14. （四川遂宁）下列分式是最简分式的（ ） Ａ． b a a 232 B ． a a a 32- C ． 2 2b a b a ++ D ． 2 22b a ab a -- 15. （浙江丽水）计算111 a a a - --的结果为（ ） A 、 1 1 a a +- B 、1 a a - C 、﹣1 D 、2 17. （天津）若分式21 1 x x -+的值为0，则x 的值等于 ． 18. （郴州）当x= 时，分式 的值为0． 20. （北京）若分式 x 的值为0，则x 的值等于 ． 21. （福建省漳州市）分式方程 2 11 x =+的解是（ ） A 、﹣1 B 、0 C 、1 D 、3 2 22. （黑龙江省黑河）分式方程 11x x --= ()() 12m x x -+有增根，则m 的值为（ ） A 、0和3 B 、1 C 、1和﹣2 D 、3 23. （新疆建设兵团）方程2x ＋1 1－x ＝4的解为 ． 24. （天水）如图，点A 、B 在数轴上，它们所对应的数分别是﹣4与 22 35 x x +-，且点A 、B 到原点的距离相等．则x = ． 25. （海南）方程 2 +x x ＝3的解是 ． （2）解分式方程一定注意要验根． 26. （湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田）化简)2()24 2( 2+÷-+-m m m m 的结果是 A ．0 B ．1 C ．—1 D ．（m ＋2）2 分式精华练习题 一．解答题 1．计算： （1）（2）（﹣2m2n﹣2）2?（3m﹣1n3）﹣3 2．计算：3．化简：．4．化简：5．计算：． 6．化简?（x2﹣9）7．计算：． 8．计算：+．9．计算：（1）；（2）．10．． 11．计算：12．计算：﹣a﹣1． 13．计算： （1）（2）14．计算：a﹣2+15．计算：．16．化简：，并指出x的取值范围．17．17．已知ab=1，试求分式：的值．18．计算：﹣19．计算：20．化简 21．计算： 22．化简： 23．计算：（1）；（2）．24．化简： 25．化简：．26化简： 27．计算：28．计算：（）÷．29．化简．30．计算：﹣x﹣2） 1.在下列方程中，关于x 的分式方程的个数（a 为常数）有（ ） ①0432212=+-x x ②.4=a x ③.;4=x a ④.;1392=+-x x ⑤;62 1 =+x ⑥ 21 1=-+-a x a x . A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2. 关于x 的分式方程15 m x =-，下列说法正确的是（ ） A ．方程的解是5x m =+ B ．5m >-时，方程的解是正数 C ．5m <-时，方程的解为负数 D ．无法确定 3.方程x x x -=++-13 15112 的根是（ ） A.x =1 B.x =-1 C.x =8 3 D.x =2 4.,04 412=+-x x 那么x 2的值是（ ） A.2 B.1 C.-2 D.-1 5.下列分式方程去分母后所得结果正确的是（ ） A. 11211-++=-x x x 去分母得，1)2)(1(1-+-=+x x x ； B. 1255 52=-+-x x x ，去分母得，525-=+x x ； C.242222-=-+-+-x x x x x x ，去分母得，)2(2)2(2 +=+--x x x x ； D. ,1 1 32-=+x x 去分母得，23)1(+=-x x ； 6. .赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完.当他读了一半书时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x 页，则下面所列方程中，正确的是( ) A. 21140140-+x x =14 B.21280280++x x =14 C.21 140 140++x x =14 D. 21 1010++x x =1 7.若关于x 的方程 01 11=----x x x m ，有增根，则m 的值是（ ） A.3 B.2 C.1 D.-1 8.若方程 ,) 4)(3(1 243+-+=++-x x x x B x A 那么A 、B 的值为（ ） A.2，1 B.1，2 C.1，1 D.-1，-1 9.如果,0,1≠≠= b b a x 那么=+-b a b a （ ） A.1-x 1 B.11+-x x C.x x 1- D.1 1 +-x x 10.使分式442-x 与6 52 632 2+++-+x x x x 的值相等的x 等于（ ） A.-4 B.-3 C.1 D.10 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 满足方程 22 11-=-x x 的x 的值是___ 12. 当x =____时，分式x x ++51的值等于2 1. 13.分式方程 02 22=--x x x 的增根是 . 14. 一汽车从甲地开往乙地，每小时行驶v 1千米，t 小时可到达，如果每小时多行驶v 2千米，那么可提前到达________小时. 15. 农机厂职工到距工厂15千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走40分钟后，其余人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车速度为自行车速度的3倍，若设自行车的速度为x 千米/时，则所列方程为 . 16.已知,54=y x 则=-+2 22 2y x y x . 17.=a 时，关于x 的方程 5 3 221+-=-+a a x x 的解为零. 18.飞机从A 飞到B 的路程S ’、速度是,1v ，返回的速度是2v ，往返一次的平均速度是 . 19.当=m 时，关于x 的方程 3 1 3292 -=++-x x x m 有增根. 20. 某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m 的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路x m ，则根据题意可得方程 . 三、解答题（共5大题，共60分） 21. .解下列方程 (1)x x x --=+-34231 (2) 2123442+-=-++-x x x x x （3）21124 x x x -=--． 22. 有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成；现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定日期多少天？ 24.小兰的妈妈在供销大厦用12.50元买了若干瓶酸奶，但她在百货商场食品自选室内发现，同样的酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜0.2元钱，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果用去18.40元钱，买的瓶数比第一次买的瓶数多 5 3 倍，问她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶？ 第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) ４.幂的运算法则 【主要公式】１.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3．分式的乘法与除法：b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= ４.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法；a m ● a n =a m+ｎ; ａm ÷ a n =ａm －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = ａm b ｎ , （a m ) ｎ = a ｍn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解：平方差与完全平方式 (ａ+b ）(a-b ）= a 2 - b ２ ;(ａ±b ）2= a ２±2a ｂ+ｂ2 （一)、分式定义及有关题型 题型一:考查分式的定义 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有： ． 题型二:考查分式有意义的条件 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 (1) 44+-x x ?(2)2 32+x x (3） 1 22-x （4） 3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件 【例３】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1)3 1+-x x (2) 4 2 ||2--x x ?（3)653 222----x x x x 题型四:考查分式的值为正、负的条件 【例4】（1)当x 为何值时，分式 x -84 为正； （２)当x 为何值时,分式2 )1(35-+-x x 为负； (３）当x 为何值时,分式 3 2 +-x x 为非负数. 练习: 1．当x 取何值时,下列分式有意义： （1) 3 ||61 -x (2） 1 )1(32++-x x ??（3) x 111+ 2．当x 为何值时，下列分式的值为零： (1）4 |1|5+--x x (2) 5 6252 2+--x x x 3．解下列不等式 (１） 01 2 ||≤+-x x （2) 03 252 >+++x x x (二）分式的基本性质及有关题型 1．分式的基本性质: M B M A M B M A B A ÷÷=??= 2．分式的变号法则： b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一:化分数系数、小数系数为整数系数 【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数． (1)y x y x 4 1313221+- (2) b a b a +-04.003.02.0 题型二:分数的系数变号 【例２】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）y x y x --+-? (2）b a a --- ?（３)b a --- 题型三:化简求值题 【例3】已知： 511=+y x ,求 y xy x y xy x +++-2232的值． 提示:整体代入,①xy y x 3=+，②转化出 y x 1 1+． 一．解答题 1．计算： （1）（2）（﹣2m2n﹣2）2?（3m﹣1n3）﹣3 2．计算： 3．化简：． 4．（2007?双柏县）化简： 5．（2006?襄阳）计算：． 6．（2005?江西）化简?（x2﹣9） 7．（2007?北京）计算：． 8．（2005?宜昌）计算：+． 9．（2001?吉林）计算：（1）；（2）．10．（2001?常州）． 11．计算： 12．计算：﹣a﹣1． 13．计算： （1）（2） 14．计算：a﹣2+ 15．计算：． 16．化简：，并指出x的取值范围． 17．已知ab=1，试求分式：的值． 18．计算：﹣ 19．（2010?新疆）计算： 20．（2009?太原）化简： 21．（2009?上海）计算：． 22．（2009?眉山）化简： 23．（2009?江苏）计算：（1）；（2）． 24．（2009?东营）化简： 25．（2008?白银）化简：． 26．（2007?南昌）化简： 27．（2007?巴中）计算： 28．（2006?宜昌）计算：（）÷ ． 29．（2006?十堰）化简：． 30．（2006?南充）计算：﹣x ﹣2） 31．（2015?眉山）计算： 1 121222-+÷+--x x x x x x 32．（2015?宜昌）化简：12 1 122 2++-+-x x x x 33．（2015?厦门）计算：12 1++++x x x x 34．（2015?柳州）计算：a a a 1 1+- 35．（2015?佛山）计算：4 8 222---x x 36．（2015?福州）化简：2 22222)(b a ab b a b a +-++ 37．（2015?宜宾）化简：1 )1111(222--÷---a a a a a 38．（2015?青岛）化简：n n n n n 1 )12(2-÷++ 39．（2015?重庆）化简：1 22 )1112(2 ++-÷+-+-x x x x x x 40．（2015?泸州）化简：)11 1(1 22 2+-÷++m m m m 41．（2015?扬州）化简：)11 11(12---+÷-a a a a a 42．（2015?滨州）化简：)3 1 31(96262 +--÷+--m m m m m 43．（2015?广西）化简：2 1 )12(22-÷-+a a a a 44．（2015?连云港）化简：m m m m +-÷++224 )111( 45．（2015?成都）化简：2 1 )412(2+-÷ -++a a a a a 46．（2015?重庆）计算：y y y y y y ++-÷+--2 29 6)181( 47．（2015?南京）计算：b a a a b a b a +÷---)12(222 《分式》复习提纲 考点1. 分式的概念 1、下列各有理式 π y y x y x y x x y xy y x x x ,31),(23,,53,81,4,23,822++-+---中，分式的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 考点2. 分式的意义 分式：B A (A ， B 都是整式，且B 中含有字母，B ≠0) ① 分式有意义? ；② 分式无意义? ；③ 分式值为零? 1、若分式3 2-x 有意义，则x__________ 2、 要使分式) 5)(32(23-+-x x x 有意义，则（ ） A. x ≠23- B. x ≠5 C. x ≠23-且x ≠5 D. x ≠2 3-或x ≠5 ? 3、 当a 为任意有理数时，下列分式一定有意义的是（ ） A ． 112++a a B. 12+a a C. 112++a a D. 21a a + 4、分式324 x x +-当x 时有意义；当x 时分式没有意义；当x 时分式的值为零。 5、当x 时，分式2 52++x x 的值是零；当x 时，分式242--x x 的值是零； 当x 时，分式x x -+22 的值是零 考点3、最简公分母、最简分式 1、分式ac b b c a ab c 3,2,2--的最简公分母是 ；分式13x ，11x x +-，225(1)xy x -的最简公分母为________ 2、下列分式中是最简分式的是（ ） A. 122+x x B. x 24 C. 1 12--x x D. 11--x x 3、下列分式中是最简分式的是（ ） { A. 2 2 2)(y x y x -- B. 2x xy - C. xy x y x ++2 D. 22-+x x 考点4、分式的基本性质 1. 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。 分式 知识点一：分式的定义 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子， B 为分母。 知识点二：与分式有关的条件 1、分式有意义：分母不为0（0B ≠） 2、分式值为0：分子为0且分母不为0（???≠=0 0B A ） 3、分式无意义：分母为0（0B =） 4、分式值为正或大于0：分子分母同号（?? ?>>00 B A 或? ??<<00B A ） 5、分式值为负或小于0：分子分母异号（?? ?<>00B A 或???><00B A ） 知识点三：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：C B C ??=A B A ，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 B B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 知识点四：分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然 后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 知识点四：最简分式的定义 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 知识点五：分式的通分 ① 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的 同分母分式，叫做分式的通分。 ② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。 最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 确定最简公分母的一般步骤： Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数； Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。 注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。 知识点六：分式的四则运算与分式的乘方 1、分式的乘除法法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：d b c a d c b a ??=? 分式除以分式：式子表示为 c c ??=?=÷b d a d b a d c b a 2、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子n n n b a b a =?? ? ?? 3、 分式的加减法则： 分式的运算 例1、下列分式a bc 1215，a b b a --2 )(3，) (222b a b a ++，b a b a +-22中最简分式的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 例2.计算：3234)1(x y y x ? a a a a 2122)2(2+?-+ x y xy 2 2 63)3(÷ 41441)4(222--÷+--a a a a a 例3、 若4 32z y x ==,求222z y x zx yz xy ++++的值. 例4、计算 （1）3 3 22）（c b a - （2） 43222)()()(x y x y y x -÷-?- （3）2 33 2 )3()2(c b a b c a - ÷- （4）232222)()()(x y xy xy x y y x -?+÷- 例5计算：1 814121111842+-+-+-+--x x x x x 练习：1.计算：8 87 4432284211x a x x a x x a x x a x a --+-+-+-- 例6.计算：20 18119171531421311?+?++?+?+?Λ 练习1、()()()()()() ()() 1011001 431 321 211 +++ ++++ +++ ++x x x x x x x x Λ 例7、已知 2 1)2)(1(12++-=+-+x B x A x x x ,求A. B 的值。 计算下列各题: （1）2 222223223x y y x y x y x y x y x ----+--+ （2）11 11322+-+--+a a a a . 分式考点及典型例题分析 1、分式的定义： 例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、π xy 3、y x +3、m a 1+中分式的个数为（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 . ⑴275x x -+； ⑵ 123 x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹222xy x y +. （2）下列式子，哪些是分式？ 5a -； 234x +；3y y ； 78x π+；2x xy x y +-；145 b -+. 2、分式有，无意义，总有意义： （1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解； （2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解； 注意：（12 +x ≠0） 例1：当x 时，分式 51-x 有意义； 例2：分式x x -+212中，当____=x 时，分式没有意义 例3：当x 时，分式112-x 有意义。 例4：当x 时，分式12+x x 有意义 例5：x ，y 满足关系 时，分式x y x y -+无意义； 例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A ． 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5x x - 例7：使分式2+x x 有意义的x 的取值围为（ ）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2 分式知识点总结和题型归纳 （一）分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义: 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件 分式有意义：分母不为0（0B ≠） 分式无意义：分母为0（0B =） 【例1】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- （2）使分式 53-+x x ÷79 -+x x 有意义的x 应满足 . （3）若分式3 21 +-x x 无意义，则x= . 题型三：考查分式的值为0的条件 分式值为0：分子为0且分母不为0（? ??≠=00 B A ） 【例1】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2） 4 2 ||2 --x x （3） 6 5322 2----x x x x 【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4 |1|5+--x x （2） 5 62522+--x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件 分式值为正或大于0：分子分母同号（?? ?>>00B A 或???<<00 B A ） 分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或? ??><00 B A ） （1）当x 为何值时，分式x -84为正； （2）当x 为何值时，分式2 )1(35-+-x x 为负； 讲义编号： ______________ 副校长/组长签字：签字日期： 【考纲说明】 掌握分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行约分和通分，本部分在中考中通常会以选择题的形式出现，占3--4分。 【趣味链接】 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，3小时后相遇. 尔后两人都用原来速度继续前进，结果甲达到B地比乙达到A地早1小时21分.已知甲每小时比乙多走1千米，求甲、乙两人的速度。 【知识梳理】 分式 1.分式的概念：形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式.其中，A叫分式的分子，B叫分式的分母. 2.分式有意义的条件：因为两式相除的除式不能为零，即分式的分母不能为零，所以，分式有意义的条件是：分式的分母必须不等于零，即B≠0，分式有意义. 3．分式的值为零的条件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可. 有理式 有理式的分类：有理式 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示为：（其中M≠0） 约分和通分 1．分式的约分：把一个分式的分子与分母中的公因式约去叫约分. 2．分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分. 最简分式与最简公分母： 约分后，分式的分子与分母不再有公因式，我们称这样的分式为最简分式.取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母. 【经典例题】 【例1】不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（? ） A．10 B．9 C．45 D．90 【例2】下列等式：①=-;②=;③=-; ④=-中,成立的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【例3】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（? ） A． B． C． D． 【例4】分式，，，中是最简分式的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二讲分式方程 【知识要点】 1.分式方程的概念以及解法 ; 2.分式方程产生增根的原因 3.分式方程的应用题 【主要方法】 1. 分式方程主要是看分母是否有外未知数; 2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程; 方程两边同乘以最简公分母 3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系, 恰当地设末知数 . 题型一：用常规方法解分式方程 解下列分式方程 （ 1） 1 3 （ 2） 2 1 x 1 x x 3 x （ 3）x 1 4 1 （ 4） 5 x x 5 x 1 x2 1 x 3 4 x 题型二：特殊方法解分式方程解下列方程 （1）x4x 4 4 ；（2）x 7 x 9 x 10 x 6 x 1 x x 6 x 8 x 9 x 5 （3） 1 1 1 1 x 2 x 5 x 3 x 4 1 题型三：求待定字母的值 （ 1）若关于 x 的分式方程 2 1 m 有增根，求 m 的值 . x 3 x 3 （ 2）若分式方程 2 x a 1 的解是正数，求 a 的取值范围 . x 2 （ 3）若分式方程 x 1 m 无解，求 m 的值。 x 2 2 x （ 4）若关于 x 的方程 x k 2 x 不会产生增根，求 k 的值。 x 1 x 2 1 x 1 （ 5）若关于 x 分式方程 1 k x 2 3 有增根，求 k 的值。 x 2 x 2 4 题型四：解含有字母系数的方程 解关于 x 的方程 (1 ) x a c (c d 0) （2） 1 1 2 (b 2a) ； b x d a x b 2 1a1 b （ 3）(a b) . 题型五：列分式方程解应用题 一、工程类应用性问题 1、一项工程，甲、乙、丙三队合做 4 天可以完成，甲队单独做 15 天可以完成，乙队单独做 12 天可以完成，丙队单独做几天可以完成？ 2、某市为治理污水，需要铺设一段全长3000 米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城 市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30 天完成了任务，实际每天铺设多长管道？ 二、行程中的应用性问题 2、甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车 的平均速度是普通快车平均速度的 1.5 倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早 4h 到达乙地，求两车的平均速度． 3 分式的化简 一、比例的性质： ⑴比例的基本性质：a c ad bc b d =?=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=?? 交换内项 交换外项 同时交换内外项 ⑶反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c =?= ⑷合比性：a c a b c d b d b d ±±=?=，推广：a c a kb c kd b d b d ±±=?=（k 为任意实数） ⑸等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a b d n b +++=+++（...0b d n +++≠） 二、基本运算 分式的乘法：a c a c b d b d ??=? 分式的除法：a c a d a d b d b c b c ?÷=?=? ( 乘方：()n n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ?=?=?个 个 n 个 ＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +?=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数) ⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1 n n a a -= (0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 】 知识点睛中考要求 分式的加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b c c c +±= 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bc b d bd bd bd ±±=±= ， 分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算． 结果以最简形式存在. 一、分式的化简求值 【例1】 先化简再求值： 2 11 1x x x ---，其中2x = 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2010年，湖南郴州 ） 【解析】原式()()111x x x x x =---()11 1x x x x -==- 当2x =时，原式11 2x == 【答案】1 2 【例2】 已知：22 21()111 a a a a a a a ---÷?-++，其中3a = 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】22 222 1(1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷ ?=-=--++- 【答案】4- 【例3】 ！ 【例4】 先化简，再求值： 22144 (1)1a a a a a -+-÷ --，其中1a =- 【考点】分式的化简求值 例题精讲 分式的知识点及典型例题分析 1、分式的定义： 例：下列式子中，y x +15、8a 2 b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、 21、212+x 、πxy 3、y x +3、m a 1 +中分式的个数为（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 . ⑴ 275x x -+； ⑵ 1 23 x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹22 2xy x y +. ⑵ 下列式子，哪些是分式？ 5a -； 2 34x +；3y y ； 78x π+；2x xy x y +-；145 b -+. 2、分式有、无意义： （1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解； （2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解； 例1：当x 时，分式5 1 -x 有意义； 例2：分式 x x -+21 2中，当____=x 时，分式没有意义； 例3：当x 时，分式1 1 2-x 有意义； 例4：当x 时，分式1 2+x x 有意义； 例5：x ，y 满足关系 时，分式 x y x y -+无意义； 例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A ． 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5 x x - 例7：使分式 2 +x x 有意义的x 的取值范围为（ ） A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2《分式》典型例题分析
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