专题一数论
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数论知识包括数的奇偶性、质数、合数、数的整除、余数的性质、数位的含义、平均数、分解因数、平方数、倍数与因数。
1.数的奇偶性
奇数+奇数=偶数奇数+偶数=奇数偶数+偶数=偶数
奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数奇数×偶数=偶数
奇数个奇数相加=奇数偶数个奇数相加=偶数
（只要式子中含有偶数，那么相乘结果就是偶数）
2.数的整除，常见的数的整除特征
（1）2：个位是偶数；
（2）3：各个数位之和是3的倍数；
（3）5：个位是 0或5；
（4）4、25：后两位可以被4（25）整除；
（5）8、125：后三位可以被8（125）整除；
（6）9：各个数位之和是9的倍数；
（7）11：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(以大减小)是11的倍数；
3.余数的性质
（1）余数的可加性：和的余数等于余数的和；
（2）余数的可减性：差的余数等于余数的差；
（3）余数的可乘性：积得余数等于余数的积；
4.质数与合数
(1)质数：一个数除了1和它本身以外，没有其他的因数，这样的数统称质数。
(2)合数：一个数除了1和它本身以外，还有其他的因数，这样的数统称合数。
5.约数与倍数
公因数短除法到一个不能除为止，公倍数除到海枯石烂为止，因数有限个，倍数无穷多。如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。自然数a1，a2，…，an的最大公约数通常用符号（a1，a2，…，an）表示，例如，（6，9，15）=3。
6．质因数与分解质因数
（1）如果一个质数是某个数的约数，那么就是说这个质数是这个数的质因数。
（2）把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如，把42分解质因数，即是42=2×3×7。其中2、3、7叫做42的质因数。
又如，50=2×5×5，2、5都叫做50的质因数。
7.要注意以下几条：
（1）1既不是质数，也不是合数。
（2）质数有无限多个，最小的质数是2。
（3）在质数中只有2是偶数，其余的质数全是奇数。
（4）合数有无限多个。最小的合数是4。
（5）每个合数至少有三个约数：1、它本身、其他约数。例如，8的约数除1和8外，还有2、4，所以8是合数。
抛砖引玉
【例1】下列各数中，（）同时是3和5的倍数．
A．18 B．102 C．45
【例2】能同时被2、3、5整除的最小两位数是，能同时被2、3整除的最小三位数是，最大三位数是．
【例3】2309至少加上是3的倍数，至少减去才是5的倍数。
【例4】三个连续偶数的和是90，这三个数分别是、、．
【例5】养鸡场一天收160千克鸡蛋，每18千克鸡蛋装一箱，可以装多少箱？还剩多少千克？
【例6】甲数是36，甲、乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是。
【例7】两个整数A、B的最大公约数是C，最小公倍数是D，并且已知C不等于1，也不等于A或B，C+D=187，那么A+B等于多少？
【例8】140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。2002除以这个自然数的余数是 .
【例9】甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。
【例10】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.
沙场点兵
1.从0、1、5、7四个数中任选三个数组成一个三位数，这个数既是2的倍数，又是3的倍数，还是5的倍数，这样的三位数有（）个。
A．2 B．3 C．4
2.一列队伍，从第一个人向后按1至6顺序循环报数，最后一个人报的是3，这支队伍的人数一定是（）的倍数。
A．2 B．3 C．5 D．6
3.三个连续偶数的和是120，其中最大的一个数是．
4.同学们献爱心捐款，有五名同学共捐了410元，他们的捐款数恰好是5个连续的偶数，这
五名同学各捐了多少钱？
5.一根绳子长21米，剪8米做一根长跳绳，剩下的每2米做一根短跳绳．可以做多少根短跳绳？还剩下多少米？
实战演练
1.（2016?广州）一个两位数除以5余3，除以7余5，这个两位数最大是（）
A．72 B．37 C．33 D．68
2.（2016?长沙）某同学在计算一道除法时，误将除数35写成53，所得的商是35余12，正确的商与余数的和是．
3.（2016?东莞）三个连续奇数的和是645．这三个奇数中，最小的奇数是．
4.（2017?漳州）既能被2整除，又能被3整除的最大两位数是，既能被3整除，又能被5整除的最小三位数是．
5.（2017?枞阳县）列式计算：一个数除以99，商是10，余数是整数，这个数最大是多少？
6.（2017?德化县）学校进行团体操表演，每行站20人，正好站24排．如果要站成16排，那么每行需要站多少人？
7.用10以内的质数组成一个最大的三位数，它既含有约数2，又是3的倍数，这个数是____。
8. a、b、c为三个自然数，且a>b>c，它们除以13的余数分别是2，9，11，那么（a+b+c）(a-b)(b-c)除以13的余数是_______
9. 一个整数各个数位上的数字之和是17，而且各个数位上的数字都不相同，符合条件的最小数是（），最大数是（）
10.有一组连续的三个正整数，从小到大依次排列，第一个数是5的倍数；第二个数是7的倍数；第三个数是9的倍数；则这组数中最小的正整数为__________。
11.有一堆苹果，三个三个地数、四个四个地数、五个五个地数都余2个，这堆苹果最少有（）个.
12.用长为45厘米、宽为30厘米的一批瓷砖，铺成一个正方形，至少需要瓷砖的块数为（）。
13.有一些长6厘米，宽4厘米，高8厘米的长方体木块，如果用这些木块组成一个正方体，则至少需要这种木块（）块。