高二数学上学期第一次月考试题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷
一、单选题
1．（5分）给出下列语句：
①一个平面长3m，宽2m；
②平面内有无数个点，平面可以看成点的集合；
③空间图形是由空间的点、线、面所构成的．
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（5分）下列几何体中轴截面是圆面的是（）
A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．圆台
3．（5分）四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影（阴影部分）效果L K C的投影中，与字母N属同一种投影的有（）
如图，则在字母,,
L K C
A．,L K B．,B C C．K D．,,
4．（5分）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面下面、左面、右面”表示，图是一个正方体的表面展开图（图中数字写在正方体的外表面上），若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（）
A．1 B．7 C．快D．乐
5．（5分）当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（）
A ．三点确定一平面
B ．不共线三点确定一平面
C ．两条相交直线确定一平面
D ．两条平行直线确定一平面
6．（5分）已知AB ∥PQ ，BC ∥QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于（ ） A ．30° B．30°或150° C．150° D．以上结论都不对
7．（5分）下列四个几何体的三视图中，只有正视图和侧视图相同的几何体是（ ）
A ．②
B ．①
C ．①④
D ．②④
8．（5分）如图，四棱锥P ABCD -，AC
BD O =，M 是PC 的中点，直线AM 交平面
PBD 于点N ，则下列结论正确的是（ ）
A ．,,,O N P M 四点不共面
B ． ,,,O N M D 四点共面
C ． ,,O N M 三点共线
D ． ,,P N O 三点共线
9．（5分）下图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等。相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，则在图中，圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为（ ） A ．3﹕2,1﹕1 B ．2﹕3,1﹕1 C ．3﹕2,3﹕2
D ．2﹕3,3﹕2
10．（5分）把由函数||y x =的图像和直线2y =围成的图形绕x 轴旋转360°，所得旋转体的体积为（ ） A ．
83
π
B ．
103
π
C ．
63
π D ．
323
π
11．（5分）在长方体''''ABCD A B C D -中，若23AB AD ==，'2CC =，则二面角
'C BD C --的大小为（ ）
A ．30
B ．45
C ．60
D ．90
12．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一如图所示的堑堵111ABC A B C -，AC BC ⊥，12A A =，当堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为
82
3
π时，则阳马11B A ACC -体积的最大值为( ) A ．2
B ．4
C ．
23 D ．43
第II 卷
二、填空题
13．（5分）已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如下图所示的直观图，其中''''1B O C O ==， 3
''2
A O =
,则原△ABC 的面积为_______
14．（5分）直三棱柱ABC －的六个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝
90°,221=AA ，则球O 的表面积为________．
15．（5分）设αβ，为互不重合的平面，m n ，为互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若m n ⊥，n 是平面α内任意的直线，则m α⊥； ②若m n n m αβαβα⊥=?⊥，，，，则n β⊥；
③若m n n m α
βα=?⊥，，，则αβ⊥；
④若m m n ααβ⊥⊥，，∥，则n ∥β. 其中真命题的序号为____________.
16．（5分）如图所示，P 是ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段
PA PB PC
，，于A B C
'''
，，，若:2:3
PA AA
''=，则A B C
ABC
S
S
'''
?
?
=________.
三、解答题
17．
（10分）已知α、β、γ是三个平面，且c
αβ
?=，a
βγ=，b
αγ
?=，且a b O
=
．求证：a、b、c三线共点．
18．（12分）长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E、F、G分别是DD1
、AB、CC1的中点．求异面直线A1E与GF所成角的大小．
19．（12分）如图，在三棱柱111
ABC A B C
-中，AB AC
=，11
A C BC
⊥，
11
AB BC
⊥，D，E分别是1
AB和BC的中点.
求证：（1）//
DE平面
11
ACC A；（2）AE⊥平面
11
BCC B.
20．（12分）如图所示的多面体中,四边形ABCD是菱形、BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，
3
BAD π∠=
.
（1）求证：平面//BCF 平面AED ；
（2）若BF BD a ==，求四棱锥A BDEF -的体积.
21．（12分）如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是矩形，点E 在棱PC 上(异于点P ，)C ，平面ABE 与棱PD 交于点F
()1求证：//AB EF ；
()2若AF EF ⊥，求证：平面PAD ⊥平面ABCD ．
22．（12分）已知四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=AD=1，BC=2，又PB ⊥平面ABCD ，且PB=1，点E 在棱PD 上且BE PD ⊥ ．
（1）求证：BE ⊥PC ；
（2）求直线CD 与平面PAD 所成角的大小； （3）求二面角A ﹣PD ﹣B 的大小
参考答案
1．B 2．C 3．A 4．B 5．B 6．B
7．D 8．D 9．C 10．D 11．A 12．D 13．3 14． 15．①②. 16．
4
25
17.证明：∵a b O
?=，∴O a
∈，O b
∈，
又∵a
βγ
?=，b
αγ
?=，∴Oβ
∈，Oα
∈，
∵c
αβ
?=，∴O c
∈，
∴a，b，c三线共点．
18．解：连接B1G，EG，B1F，CF.
∵E、G是棱DD1、CC1的中点，
∴A1B1∥EG，A1B1=EG.
∴四边形A1B1GE是平行四边形．
∴B1G∥A1E.
∴∠B1GF(或其补角)就是异面直线A1E与GF所成的角．在Rt△B1C1G中，B1C1＝AD＝1，C1G＝AA1＝1，
∴B1G＝.
在Rt△FBC中，BC＝BF＝1，
∴FC ＝.
在Rt △FCG 中，CF ＝，CG ＝1，
∴FG ＝
.
在Rt △B 1BF 中，BF ＝1，B 1B ＝2， ∴B 1F ＝
，在△B 1FG 中，B 1G 2
＋FG 2
＝B 1F 2
，
∴∠B 1GF ＝90°.
因此异面直线A 1E 与GF 所成的角为90°. 19．
证明：（1）连接1A B ，在三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB 且11AA BB =， 所以四边形11AA B B 是平行四边形.
又因为D 是1AB 的中点，所以D 也是1BA 的中点.
在1BA C ?中，D 和E 分别是1BA 和BC 的中点，所以1//DE A C .
又因为DE ?平面11ACC A ，1
AC ?平面11ACC A ， 所以//DE 平面11ACC A .
（2）由（1）知1//DE A C ，因为11A C BC ⊥，所以1BC DE ⊥.
又因为11BC AB ⊥，1AB DE D ?=，1AB ，CE ?平面ADE ，所以1BC 平面ADE . 又因为AE ?平面ADE ，所以1AE BC ⊥.
在ABC ?中，AB AC =，E 是BC 的中点，所以AE BC ⊥.
因为1AE BC ⊥，AE BC ⊥，1BC BC B ?=，1BC ，BC ?平面11BCC B ， 所以AE ⊥平面11BCC B .
20．证明：（1）由
是菱形//BC AD ∴
,BC ADE AD ADE ??面面//BC ADE ∴面3分
由
是矩形//BF DE ∴
,BF ADE DE ADE ??面面//BF ADE ∴面
,,BC BCF BF BCF BC BF B 面面???=//BCF ADE 面面∴6分
（2）连接AC ，AC BD O ?=由是菱形，AC BD ∴⊥
由ED ⊥面ABCD ,AC ABCD ?面ED AC ∴⊥
,,ED BD BDEF ED BD D ??=面AO BDEF 面∴⊥， 10分
则AO 为四棱锥A BDEF -的高 由
是菱形，3
BAD π
∠=
，则ABD ?为等边三角形，
由BF BD a ==；则3,AD a AO a ==
2
BDEF S a =，231333A BDEF V a a a -=??=14分 21．证明：（1） 因为四边形ABCD 是矩形，
所以AB//CD ． 又AB 平面PDC ，CD 平面PDC ，
所以AB//平面PDC ， 又因为AB 平面ABE ，平面ABE∩平面PDC ＝EF ，
所以AB//EF ． （2） 因为四边形ABCD 是矩形，
所以AB ⊥AD ． 因为AF ⊥EF ，（1）中已证AB//EF ，
所以AB ⊥AF ， 又AB ⊥AD ，
由点E 在棱PC 上（异于点C ），所以F 点异于点D ，
所以AF∩AD＝A ， AF ，AD 平面PAD ，
所以AB ⊥平面PAD ， 又AB 平面ABCD ， 所以平面PAD ⊥平面ABCD ． 22．证明：（1）BE ⊥PD
由题意知，CF=BF=DF ，∴∠CDB=90°．∴CD ⊥BD 又PB ⊥平面PBD ，∴PB ⊥CD
∵PB ∩BD=B ，∴CD ⊥平面PBD ，∴CD ⊥BE ∵CD ∩PD=D ，∴BE ⊥平面PCD ，∴BE ⊥PC （2）（利用等体积法） 设C 到面PAD 的距离为h ， 则C PAD P ACD V V --=，即1111
121113232
h ?
?=???? ∴22
h =，2
12sin 2
2θ=，=6πθ． ∴直线CD 与平面PAD 所成角为
6
π
． （3）连接AF ，交BD 于点O ，则AO ⊥BD.
∵PB ⊥平面ABCD ，∴平面PBD ⊥平面ABD ，∴AO ⊥平面PBD 过点O 作OH ⊥PD 于点H ，连接AH ，则AH ⊥PD ∴∠AHO 为二面角A ﹣PD ﹣B 的平面角． 在Rt △ABD 中，2 ．在Rt △PAD 中，6PA AD AH PD ?==． 在Rt △AOH 中，sin ∠3
． ∴∠AHO=60°．即二面角A ﹣PD-B 的大小为60°．