第四章 不定积分
前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法．
第1节 不定积分的概念与性质
不定积分的概念
在微分学中，我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分）的问题，例如，变速直线运动中已知位移函数为
()s s t =， 则质点在时刻t 的瞬时速度表示为
()v s t '=．
实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度
%
()v v t =，
求出质点的位移函数
()s s t =．
即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念．
1.1.1原函数
定义1 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有
()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =， 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数．
.
例如，在变速直线运动中，()()s t v t '=，所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数；
再如，(sin )'cos x x =，所以sin x 是cos x 在(,)-∞+∞上的一个原函数．1(ln )'(0),
x x x
=>所以ln x 是
1
x
在(0,)+∞的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢这里我们给出一个充分条件．
定理 1 如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有
()()'=F x f x ．
简言之，连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数，所以初等函数在其定义区间上都有原函数．
定理1的证明，将在后面章节给出. 关于原函数，不难得到下面的结论：
若()()'=F x f x ，则对于任意常数C ，()+F x C 都是()f x 的原函数．也就是说，一个函数如果存在原函数，则有无穷多个．
假设()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，则[()()]0'-≡F x x φ，必有()()φ-F x x =C ,即一个函数的任意两个原函数之间相差一个常数． 《
因此我们有如下的定理：
定理2 若()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，则()()-=F x x C φ（C 为任意常数）．
若()()'=F x f x ，则()+F x C （C 为任意常数）表示()f x 的所有原函数．我们称集合
{}()|F x C C +-∞<<+∞为()f x 的原函数族．由此，我们引入下面的定义．
1.1.2不定积分
定义2 在区间I 上，函数()f x 的所有原函数的全体，称为()f x 在I 上的不定积分， 记作
()d ?f x x ．
其中?称为积分号，()f x 称为被积函数，()d f x x 称为被积表达式，x 称为积分变量． 由此定义，若()F x 是()f x 的在区间I 上的一个原函数，则()f x 的不定积分可表示为
()d ()=+?f x x F x C ．
》
注 （1）不定积分和原函数是两个不同的概念，前者是个集合，后者是该集合中的一个元素．
（2）求不定积分，只需求出它的某一个原函数作为其无限个原函数的代表，再加
上一个任意常数C ．
例1 求2
3d x x ?．
解 因为32()3,'=x x 所以23
3d x x x C =+?．
例2 求sin cos d x x x ?．
解 （1）因为2(sin )2sin cos ,'=x x x 所以21sin cos d sin 2
x x x x C =+?．
（2）因为2(cos )2cos sin ,'=-x x x 所以21
sin cos d cos 2x x x x C =-+?． （3）因为(cos 2)2sin 24sin cos ,'=-=-x x x x 所以
1
sin cos d cos 24
=-+?x x x x C ． 例3 求1d x x
?．
|
解 由于0x >时，1(ln )'=
x x ，所以ln x 是1
x
在(0,)+∞上的一个原函数，因此在(0,)+∞内，1
d ln x x C x
=+?．
又当0x <时，
[]1ln()x x '
-=，所以ln()-x 是1x
在(,0)-∞上的一个原函数，因此在(,0)-∞内，1
d ln()=-+?x x C x ．
综上，1d ln x x C x
=+?．
例4 在自由落体运动中，已知物体下落的时间为t ，求t 时刻的下落速度和下落距离． 解 设t 时刻的下落速度为()=v v t ，则加速度d ()d v
a t g t
==（其中g 为重力加速度）
． 因此
()()d d v t a t t g t gt C ===+??
，
又当0t =时，(0)0=v ，所以0C =．于是下落速度()=v t gt ． 又设下落距离为()=s s t ，则
ds
()dt
=v t ．所以 2
1()()d d 2
===
+??s t v t t gt t gt C ， ,
又当0t =时，(0)0=s ，所以0C =．于是下落距离2
1()2
=
s t gt ． 1.1.3不定积分的几何意义
设函数()f x 是连续的，若()()F x f x '=，则称曲线()y F x =是函数()f x 的一条积分曲线．因此不定积分()d ()f x x F x C =+?在几何上表示被积函数的一族积分曲线．
积分曲线族具有如下特点（如图）：
（1）积分曲线族中任意一条曲线都可由其中某一条平移得到；
（2）积分曲线上在横坐标相同的点处的切线的斜率是相同的，即在这些点处对应的切线都是平行的．
图4-1
例5 设曲线通过点(1,2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程． @
解 设曲线方程()=y f x ，曲线上任一点(,)x y 处切线的斜率d 2d y
x x
=，即()f x 是2x 的一个原函数．因为22d =+?x x x C ，又曲线过(1,2)，所以
21C =+，1C =．
于是曲线方程为
21y x =+．
基本积分公式
由定义可知，求原函数或不定积分与求导数或求微分互为逆运算， 我们把求不定积分的运算称为积分运算．既然积分运算与微分运算是互逆的，那么很自然地从导数公式可以得到相应的积分公式．
例如，因11x μμ+'?? ?+??
=x μ，所以11x x dx C μμ
μ+=
++?
（1μ≠-）． —
类似可以得到其他积分公式，下面一些积分公式称为基本积分公式． ①d k x kx C =+?（k 是常数）; ②1
d 1
x x x C μμ
μ+=++?（1μ≠-）;
③1d ln x x C x
=+?; ④sin d cos x x x C =-+?; ⑤cos d sin x x x C =+?; ⑥22
1
d sec d tan cos x x x x C x
==+??; ⑦22
1
d csc d cot sin x x x x C x
==-+?
?; ⑧sec tan d sec x x x x C =+?; ⑨csc cot d csc x x x x C =-+?;
:
⑩2
1d arctan C 1x x x =++?，2
1
d cot 1x arc x C x -=++?; ?
arcsin x x C =+，arccos x x C =+?;
?e d e x x x C =+?; ?d ln x
x
a a x C a
=+?;
以上13个基本积分公式，是求不定积分的基础，必须牢记．下面举例说明积分公式②的应用．
例6 求不定积分x x ?．
解
x
x ?52
d x x =?512
512
x C +=++7
22
7x C =+． 以上例子中的被积函数化成了幂函数x μ的形式，然后直接应用幂函数的积分公式②求出不定积分．但对于某些形式复杂的被积函数，如果不能直接利用基本积分公式求解，则可以结合不定积分的性质和基本积分公式求出一些较为复杂的不定积分．
不定积分的性质 、
根据不定积分的定义，可以推得它有如下两个性质． 性质1 积分运算与微分运算互为逆运算
（1）()d ()'?
?=???f x x f x 或d ()d ()d ??=??
?f x x f x x ． （2）()d ()'=+?F x x F x C 或d ()()=+?F x F x C 性质2 设函数()f x 和()g x 的原函数存在，则
[]()()d ()d ()d +=+???f x g x x f x x g x x ．
易得性质2对于有限个函数的都是成立的．
性质3 设函数()f x 的原函数存在，k 为非零的常数，则
()d =?kf x x ()d ?k f x x ．
由以上两条性质，得出不定积分的线性运算性质如下：
]
[]()()d ()d ()d +=+???kf x lg x x k f x x l g x x ．
例7
求2
3d 1?
?
+??x x
． 解
23d 1??
+?x x
213d 21x x x =-+? 3arctan x =2arcsin x -C +．
例8 求221d (1)
+++?x x x x x ．
解 原式=22(1)d (1)+++?x x x x x 21
1d 1x x x ??=+ ?+??
?3arctan 3x x x C =-++． 例9 求2e d x x x ?．
解 原式(2e)d x
x =?
1(2e)ln 2e
x
C =+2e 1ln 2x x C =
++．
例10 求1
d 1sin x x
+?
．
(
解
1
d 1sin x x +?()()1sin d 1sin 1sin x
x x x -=
+-?21-sin d cos x x x =?
2(sec sec tan )d =-?
x x x x tan sec x x C =-+．
例11 求2tan d x x ?． 解
2tan d x x ?
=2(sec 1)d tan -=-+?
x x x x C ．
注 本节例题中的被积函数在积分过程中，要么直接利用积分性质和基本积分公式，要么将函数恒等变形再利用积分性质和基本积分公式，这种方法称为基本积分法．此外，积分运算的结果是否正确，可以通过它的逆运算（求导）来检验，如果它的导函数等于被积函数，那么积分结果是正确的，否则是错误的．
下面再看一个抽象函数的例子：
例12 设22(sin )cos '=f x x ，求()f x
解 由222(sin )cos 1sin '==-f x x x ，可得()1'=-f x x ， 从而21()2
=-+f x x x C ．
/
习题4-1
1．求下列不定积分．
（1）41
d x x
?； （2）x ?
； （3）
； （4）()2d ax b x -?；
（5）22d 1x x x +?； （6）4223
d 1x x x x +++?；
（7）
x ； （8）2
2d 1x x
?
?
+??； （9）32e d x x x
??- ??
?
?； （10）()
2
2
d 1
x x
x
+?；
（11）x ；
（12）2tan d x x ?； （13）2sin d 2
x x ?；
（14）cos 2d cos sin x x
x x
-?
；
（15）21cos d 1cos 2x
x x
++?； （16）()sec sec tan d x x x x +?
；
、
（17）2352d 3x x
x
x ?-??；
（18）x ．
2．已知某产品产量的变化率是时间t 的函数，()=+f t at b （a ，b 为常数）．设此产品
的产量函数为()p t ，且(0)0=p ，求()p t ．
3．验证
12arcsin(21)arccos(12)=-+=-+x C x C 3C =． 4．设33()d f x x x C '=+?，求()f x
第2节 换元积分法和不定积分法
换元积分法
上一节介绍了利用基本积分公式与积分性质的直接积分法，这种方法所能计算的不定积分是非常有限的．因此，有必要进一步研究不定积分的求法．这一节，我们将介绍不定积分的最基本也是最重要的方法——换元积分法，简称换元法．其基本思想是：利用变量替换，使得被积表达式变形为基本积分公式中的形式，从而计算不定积分． 换元法通常分为两类，下面首先讨论第一类换元积分法．
$
2.1.1第一类换元积分法
定理1 设()f u 具有原函数，()=u x ?可导，则有换元公式
()
[()]()d ()d =??'=??
??u x f x x x f u u ???． （4.2.1）
证明 不妨令()F u 为()f u 的一个原函数,则[]()
()d ()=??
=+?
??u x f u u F x C ??．由不定积分
的定义只需证明([()])[()]()''=F x f x x ???，利用复合函数的求导法则显然成立．
注 由此定理可见，虽然不定积分[()]()d '?f x x x ??是一个整体的记号，但从形式上看，被积表达式中的d x 也可以当做自变量x 的微分来对待．从而微分等式()d d '=x x u ?可以方便地应用到被积表达式中．
例1 求33e d x x ?． 解
3333e d e (3)d e d(3)x x x x x x x '=?=?
??e d =?
u u e =+u C ，
最后，将变量3u x =代入，即得
"
333e
d e x
x x C =+?．
根据例1第一类换元公式求不定积分可分以下步骤:
（1）将被积函数中的简单因子凑成复合函数中间变量的微分； （2）引入中间变量作换元；
（3）利用基本积分公式计算不定积分； （4）变量还原．
显然最重要的是第一步——凑微分，所以第一类换元积分法通常也称为凑微分法．
例2 求()99
45d x x +?．
解 被积函数99
45（）
+x 是复合函数，中间变量45=+u x ，45（）=4'+x ，这里缺少了中间变量u 的导数4，可以通过改变系数凑出这个因子：
99
999911
(45)
d (45)(45)d (45)d(45)44'+=?+?+=++???x x x x x x x
.
991d 4=?u u 1001001(45)4100400
+=?+=+u x C C ． 例3 求2
2
d x
x x a +?． 解
22
1
x a
+为复合函数，22u x a =+是中间变量，且222x a x '+=（）， 22
222222221111d ()d d()22'=?+=++++???x x x a x x a x a x a x a
22
1111d ln ln()222
=
=+=++?u u C x a C u ． 对第一类换元法熟悉后，可以整个过程简化为两步完成．
例4 求x ?．
解 3
22211
)(1)23
=--=--+?x x x C ．
注 如果被积表达式中出现()d +f ax b x ，-1()d ?m m f x x x ，通常作如下相应的凑微分：
1
()d ()d()+=
++f ax b x f ax b ax b a
， ！
111
()d ()d()-+=
?++n n n n f ax b x x f ax b ax b a n
． 例5 求1
d (12ln )
x x x +?
．
解 因为1d d ln x x x =，亦即11d d(1+2ln )2
x x x =，所以
1111
d d ln d(1+2ln )(12ln )12ln 212ln x x x x x x x
==+++??? 1
ln 1+2ln 2
x C =
+． 例6 求arctan 2
2d 1x
x x +?．
解 因为
2
1
d d arctan 1x x x =+，所以 arctan arctan arctan 222d 2d arctan ln 21x x x
x x C x ==++??．
例7 求x ．
解
x =
：
x C ==-?．
在例4至例7中，没有引入中间变量，而是直接凑微分．下面是根据基本微分公式推导出的常用的凑微分公式．
① x
=
②
2
11d d x x x =-． ③1
d dln x x x
=． ④e d de x x x =．
⑤ cos d d sin x x x =． ⑥ sin d d cos x x x =-． ⑦22
1
d sec d d tan cos ==x x x x x
． ⑧
22
1
d csc d d cot sin =-=-x x x x x
． |
d(arcsin )d(arccos )x x x ==-．
⑩
2
1
d d(arctan )d(arccot )1x x x x ==-+． 在积分的运算中，被积函数有时还需要作适当的代数式或三角函数式的恒等变形后，再用凑微分法求不定积分．
例8 求22
1
d x a x +?
．
解 将函数变形
222
2
11
1.
1a x a x a =+??+ ???
，由d d x x a a
=，所以得到
22
1
d x a x +?2
111d
arctan 1x x
C a
a a a
x a ==+??+ ???
?
． 例9
求x ． 解
1
x x x a
a ??=
=
??? arcsin
x
C a
=+． 例10 求tan d x x ?．
！
解
tan d x x ?=sin d d cos ln cos cos cos x x x
x C x x
-==-+?
?．
同理，我们可以推得cot d ln sin x x x C =+?．
例11 求3sin d x x ?． 解
3
222sin
d sin sin d sin dcos (1-cos )dcos x x x x x x x x x ==-=-????
31
cos cos 3
x x C =-++．
例12 求23sin cos d x x x ?． 解
2
32222sin
cos d sin cos cos d sin cos dsin x x x x x x x x x x ==???
2224sin (1sin )dsin (sin sin )dsin x x x x x x =-=-??
3511
sin sin 35
x x C =-+． .
例13 求2sin d x x ?． 解
2
1cos 211
sin d d sin 2224
x x x x x x C -==-+??
． 例14 求sec d x x ?．
解
12211sec d d cos d cos d sin d sin cos 1sin x x x x x x x x x x
--====-??
??? 1sin 1ln ln sec tan 2sin 1
x C x x C x +=
+=++-． 同理，我们可以推得csc d ln csc cot x x x x C =--+?．
注 对形如sin cos d m n x x x ?的积分，如果m ，n 中有奇数，取奇次幂的底数（如n 是奇数，则取cos x ）与d x 凑微分，那么被积函数一定能够变形为关于另一个底数的多项式函数，从而可以顺利的计算出不定积分;如果m ，n 均为偶数，则利用倍角（半角）公式降幂，直至将三角函数降为一次幂，再逐项积分．
例15 求sin 2cos3d x x x ?． 解
sin 2cos3d x x x ?
=
11sin 5d sin d 22x x x x -??=11cos5cos 102x x C -++ =11
cos cos52
10
x x C -
+． ，
一般的，对于形如下列形式
sin cos d mx nx x ?， sin sin d mx nx x ?， cos cos d mx nx x ?，
的积分（m n ≠），先将被积函数用三角函数积化和差公式进行恒等变形后，再逐项积分．
例16 求22
1
d x x a -?
． 解 因为 2
2
11111()()2??
==- ?-+-+-??x a x a a x a x a x a
， 所以
221111111d d d d 22????
=-=- ? ?-+-+-??
??????x x x x a x a x a a x a x a x a 111d()d()2x a x a a x a x a ??
=
--+ ?-+??
?? ()11ln ln ln 22x a x a x a C C a a x a
-=
--++=++． ;
这是一个有理函数（形如
()
()
P x Q x 的函数称为有理函数，()P x ，()Q x 均为多项式）的积分，将有理函数分解成更简单的部分分式的形式，然后逐项积分，是这种函数常用的变形方法．下面再举几个被积函数为有理函数的例子．
例17 求23
d 56
x x x x +-+?
．
解 先将有理真分式的分母256x x -+因式分解，得256-+=x x (2)-x (3)-x ．然后利
用待定系数法将被积函数进行分拆．
设
2
323
56x A B x x x x +=+
---+=(3)(2)(2)(3)-+---A x B x x x ， 从而 3(3)(2)+=-+-x A x B x ， 分别将3,2x x ==代入3(3)(2)+=-+-x A x B x 中，易得5
6A B =-??=?
． 故原式=5
6d 23x x x -??+
?--??
?=5ln 26ln 3x x C --+-+． 例18 求33
d 1
x x +?
． 解 由321(1)(1)+=+-+x x x x ， 令
^
323111
A Bx C
x x x x +=+
++-+， 两边同乘以31x +，得
23(1)()(1)=-++++A x x Bx C x ．
令1,x =-得1A =；令0,x =得2C =；令1x =，得1B =-． 所以
32312
111
x x x x x -+=+
++-+． 故
3
22
31
21213d d ln 1d 12111-+--??=+=+- ?++-+-+??
???x x x x x x x x
x x x x =2
221d 1d(1)32ln 122113
24x x x x x x x ?
?- ?
-+??+-+-+??-+
??
???
/
．
2.1.2 第二类换元积分方法
定理2 设()=x t ψ是单调，可导的函数，并且()0'≠t ψ，又设[]()()'f t t ψψ具有原函数，则有换元公式，
[]1()
()d ()()d -=??'=??
??t x f x x f t t t ψψψ，
其中，1()-x ψ是()=x t ψ的反函数．
证明 设[]()()'f t t ψψ的原函数为()t φ．记1()()-??=??x F x φψ
，利用复合函数及反函数求
21=ln 1ln(1).2x x x C +-
-+++
导法则得
[][]d d 1()()()()()d d ()
''=
?=?=='t F x f t t f t f x t x t φψψψψ， 则()F x 是()f x 的原函数．所以
$
11
()
()d ()[()][()]()d --=??'=+=+=????t x f x x F x C x C f t x t ψφψ
ψψ．
利用第二类换元法进行积分，重要的是找到恰当的函数()=x t ψ代入到被积函数中，将被积函数化简成较容易的积分，并且在求出原函数后将1()t x ψ-=还原．常用的换元法主要有三角函数代换法、简单无理函数代换法和倒代换法．
一、三角函数代换法
例19 求22d a x x -?(0)>a ．
解 设ππ
sin ,,22x a t t ??
=∈- ??
?，22cos a x a t -=，d cos d x a t t =，
于是2
2
d a x x -?
=22
2
2
cos cos d cos d sin cos 22
a a a t a t t a t t t t t C ?==++??．
因为 ππsin ,,22
x a t t ??=∈- ??
?
，所以arcsin ,x
t a = 为求出cos t ，利用sin x
t a
=作辅助三角形（图4-2），求得22
cos a x t -=
， 所以
22
2
2
2
221
d d arcsin 22
a x a x x a x x x a x C a -=-=+-+??
．
^
图4-2
例20 求2
2
x a
+(0)>a ．
解 令2ππtan ,,,d sec d 22
x a t t x a t t ??
=∈-= ???
，
22
x a +=21cos sec d sec d ln sec tan t a t t t t t t C a ?==++??． 利用tan x
t a
=作辅助三角形（图4-3），求得 22ππsec ,22x a t t +??
=
∈- ??
?
所以
()
22
22122d ln ln x
x x a c x x a C a a
x a ??
+ ?=+
+=+++ ?+??
?
．
图4-3
~
例21 求2
2
x a
-?
(0)>a ．
解 当x a >时，令πsec ,0,,d sec tan d 2
x a t t x a t t t ??=∈=? ??
?，
22
x a -?
=11cot sec tan d sec d ln sec tan t a t t t t t t t C a
???==++??．
利用cos a
t x
=作辅助三角形（图4-4），求得22
tan x a t -=
， 所以
()
22
22122
ln ln x x a C x x a C a a
x a -=+
+=+-+-?
，1(ln )C C a =-． 当x a <-时，令x u =-则u a >，由上面的结果，得
()()
22221122
22
ln ln u u a C x x a C x a u a =-=+-+=--+-+--?
?
=()
221,(2ln )x x a C C C a ---+=-． 综上，
2222
ln x x a C x a =+-+-?
．
《
图4-4
注 换元：sin x a t =，tan x a t =，sec x a t =±将根号化去．但是具体解题时，要根据被积函数的具体情况，选取尽可能简捷的代换，不能只局限于以上三种代换．
二、简单无理函数代换法 例22 求
．
解 令2
,d d 2
u u x x u u ===，
=d 11d 11u u u u u ?
?=- ?++??
?
?(ln 1ln 1u u C C =-+++． "
例23 求
．
解 被积函数中出现了两个不同的根式，为了同时消去这两个根式，可以作如下代换：
令t =6x t =，5d 6d x t t =，从而
52
232261d 6d 61d (1)11t t t t t t t t t
?
?===-
?+++??
???
6(arctan )t t C C =-+=+．
例24 求x ．
解 为了去掉根式，作如下代换：t =
，则21
1x t =-，22
2d d (1)t x t t =--，从而
22
2222(1)d 2d (1)
t x t t t t t t -=-?=--?? 3
2
322133x t C C x +??
=-+=-+ ???
． 一般的，如果积分具有如下形式
^
（1）(R x x ?，则作变换t =
（2）(R x x ?，则作变换t =p 是m ，n 的最小公倍数；
（3）(R x x ?，则作变换t = 运用这些变换就可以将被积函数中的根数去掉，被积函数就化为有理函数． 三、倒代换法
在被积函数中如果出现分式函数，而且分母的次数大于分子的次数，可以尝试利用倒代换，即令1x t
=，利用此代换，常常可以消去被积函数中分母中的变量因子x ．
例25 求6d (1)
+?
x
x x ．
解 令2
11
,d d x x t t
t ==-
， 6d (1)+?
x x x =52661d d 1111t t t t t t t -
=-+???+ ???
??661d(1)61+=-+?t t 61ln 16t C =-++ 611ln 16C x ??
=-++ ???
． '
例26
求x ．
解 设2
11
,d d ,x x t t
t ==-则 于是
1
22224
1d (1)d ?=-=--????x t a t t t t t , 当0x >时，有
31
2
22
2222
2
223
1()(1)d(1)23-=---=-+?a x x a t a t C a a x ． 0x <时，结果相同．
本例也可用三角代换法,请读者自行求解．
四、指数代换 例27 求2d e (e 1)
+?
x x
x
． -
解 设1e ,d d ,x t x t t
==则 于是
222d 1
d e (e 1)(1)=++??x x x t t t
22111d arctan 1t t C t t t ??=-=--+ ?+??
?--e arctane x x C =--+． 注 本节例题中，有些积分会经常遇到，通常也被当作公式使用．承接上一节的基本
积分公式，将常用的积分公式再添加几个（0a >）：
①tan d ln cos x x x C =-+?;
②cot d ln sin x x x C =+?; ③cscd x ?=ln csc cot x x C -+; ④sec d ln sec tan x x x x C =++?; ⑤22
11d arctan x
x C a a a x =++?;
⑥2
2
1
d x x a
-?
=1ln 2x a C a x a -++; %
⑦
arcsin x
x C a =+>（a 0）
;
⑧(
ln x C =+;
⑨
ln x C =． 例28 求
．
解
=2
arcsin
3
-=+x C ． 例29 求
．
解
=
11
ln(222
=+x C ． 例30 求
解
ln 1=-x C ．
例31 求3
22
d (22)
x x x x -+?． |
解 被积函数为有理函数，且分母为二次质因式的平方，把二次质因式进行配方：
2(1)1x -+，令ππ1tan ,,22??
-=∈- ???
x t t ，则
2222sec x x t -+=，2d sec d x t t =．
所以
332
224(1tan )d sec d (22)sec x t x t t x x t +=?-+??
23
cos (1tan )d t t t =+?
3
(sin cos )d cos t t t t
+=?
3122(sin cos 3sin 3sin cos cos )d t t t t t t t -=+++? 2ln cos cos 2sin cos t t t t t C =--+-+．
图4-5
按照变换ππ1tan ,22x t t ??
-=∈- ???
作（辅助三角形图4-5），则有
@
2
cos 22
t x x =
-+，2
sin 22
t x x =
-+，
于是
32
2221d ln(22)2arctan(1)2(22)22
x x x x x x C x x x x =-++--+-+-+?．
分部积分法
前面我们得到了换元积分法．现在我们利用“两个函数乘积的求导法则”来推导求积分
的另一种基本方法—分部积分法．
定理1 设函数()=u u x ，()=v v x 具有连续的导数，则
d d =-??u v uv v u ．
（4.2.2）
证明 微分公式d()d d =-uv u v v u 两边积分得
）
d d =-??
uv u v v u ，
移项后得
d d =-??u v uv v u ．
我们把公式（4.2.2）称为分部积分公式．它可以将不易求解的不定积分d u v ?转化成另一个易于求解的不定积分d v u ?．
例32 求cos d x x x ?．
解 根据分部积分公式，首先要选择u 和d v ，显然有两种方式，我们不妨先设,cos d d ,u x x x v == 即sin v x =，则
cosd dsin sin sin d sin cos x x x x x x x x x x x C ==-=++???．
采用这种选择方式，积分很顺利的被积出，但是如果作如下的选择： 设cos ,d d ,u x x x v == 即2
12
v x =
，则
2
22111cos d cos d cos sin d 222x x x x x x x x x x =
=-???
， ！
比较原积分cos d x x x ?与新得到的积分
2
1sin d 2x x x ?
，显然后面的积分变得更加复杂难以解出．
由此可见利用分部积分公式的关键是恰当的选择u 和d v ．如果选择不当，就会使原来的积分变的更加复杂．
在选取u 和d v 时一般考虑下面两点: （1）v 要容易求得；
（2）d v u ?要比d u v ?容易求出． 例33 求e d x x x ?．
解 令,e d d ,e x x u x x v v ===,则
e d de e e d e e x x x x x x x x x x x x C ==-=-+?
??
．
例34 求2e d x x x ?．
解 令2,e d d ,e x x u x x v v ===，则利用分部积分公式得
<
22
222e d de
e e d e 2e d x
x
x x x x x x x x x x x x ==-=-????
，
这里运用了一次分部积分公式后，虽然没有直接将积分积出，但是x 的幂次比原来降了一次，
e d x
x x ?显然比2e d x
x x ?容易积出，根据例4.3.2，我们可以继续运用分部积分公式，从而得到
222e d e 2e d e 2de x x x x x x x x x x x x =-=-?
??
2e 2(e e )x x x x x C =--+ 2e (22)x x x C =-++．
注 当被积函数是幂函数与正（余）弦或指数函数的乘积时，幂函数在d 的前面，正（余）弦或指数函数至于d 的后面．
例35 求ln d x x x ?． 解 令ln ,u x =21d d 2
x x x =，2
12
v x =
，则 222111ln d ln d ln d 22x x x x x x x x x x ??==-? ??????2211ln 22x x x C ??=-+ ???
22ln 124
x x x C =-+．
<
在分部积分公式运用比较熟练后，就不必具体写出u 和d v ，只要把被积表达式写成d ?u v 的形式，直接套用分部积分公式即可．
例36 求arctan d x x x ?．
解 22
2211arctan d arctan d arctan d 221x x x x x x x x x x ??==- ?+??
???
2
1(arctan arctan )2
=
-++x x x x C ． 注 当被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积时，对数函数或反三角函数在d 的前面，幂函数至于d 的后面．
下面再来举几个比较典型的分部积分的例子．
例37 求e sin d x x x ?．
解 （法一）e sin d sin de e sin e cos d x x x x x x x x x x ==-???
e sin cos de x x x x =-?
=e sin e cos e sin d x x x x x x x --?，
)
∴
1e
sin d e (sin cos )2
=
-+?x
x
x x x x C ． （法二）x e sin d e d(cos )e (cos )cos d(e )=-=-+???x x x x x x x x =e cos cos e d e cos e dsin x x x x x x x x x -+=-+?? =e cos e sin sin de x x x x x x -+-? =e cos e sin e sin d x x x x x x x -+-?，
∴
1e sin d e (sin cos )2
=
-+?x
x
x x x x C ． 当被积函数是指数函数与正（余）弦函数的乘积时，任选一种函数凑微分，经过两次分部积分后，会还原到原来的积分形式，只是系数发生了变化，我们往往称它为“循环法”，但要注意两次凑微分函数的选择要一致．
例38 求3sec d x x ?． 解
32sec d sec d tan sec tan sec tan d x x x x x x x x x ==?-??
??
3sec tan sec d sec d x x x x x x =?+-??
，
{
34 / 8 第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 一、求下列不定积分： 1．dx x x ? ． 2．?x x dx 2 ． 3．?-dx x 2 )2(． 4．?-dx x x 2 )1( 5．? +++dx x x x 1133224． 6．?+dx x x 2 2 1． 7．??-?dx x x x 3 2532． 8．?-dx x x x )tan (sec sec ． 二、一曲线通过点)3,(2 e 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程． 第二节 换元积分法
35 / 8 一、填空题： 1．=dx )37(-x d ． 2．=xdx )5(2 x d ． 3．=dx x 3 )23(4 -x d ． 4．=- dx e x 2 )1(2 x e d - +． 5．=xdx 23sin )23(cos x d ． 6．=x dx |)|ln 53(x d -． 7． 291x dx + )3(arctan x d ． 8．=-21x xdx )1(2 x d -． 9． ?=dx x x )(')(φφ ． 10．若 ?+=C x F dx x f )()(则?=)()]([x dg x g f ． 二、选择题(单选)： 设)(x f 为 可导函数，则： (A) ()C x f dx x f +='?)2()2(； (B) ()C x f dx x f +=' ?)2(2)2(； (C) ())2()2(x f dx x f =' ?； (D) C x f dx x f +='?)2()2(． 答：( ) 三、求下列不定积分： 1．?-dx x 3 )23(． 2．? -3 32x dx ． 3．? ?xdx x 210 sec tan ． 4．? x x dx cos sin ． 5．? -dx xe x 2 ． 6．dx x x ? -2 32．
第四章 不定积分 习 题 4-1 1.求下列不定积分： （1）解：C x x x x x x x x x +-=-= -??- 25 232 122d )5(d )51( （2）解：?+x x x d )32(2 C x x x ++ ?+ =3 ln 29 6 ln 6 22 ln 24 （3）略. (4) 解：? ??-+ -= +-x x x x x x x d )1(csc d 1 1d )cot 1 1( 2 2 2 2 =C x x x +--cot arcsin (5) 解：?x x x d 2103 C x x x x x x += ==??80 ln 80 d 80 d 810 (6) 解：x x d 2 sin 2 ?=C x x x x ++= -= ?sin 2 12 1d )cos 1(2 1 (7)? +x x x x d sin cos 2cos C x x x x x x x x x x +--=-= +-= ?? cos sin d )sin (cos d sin cos sin cos 2 2 (8) 解：? x x x x d sin cos 2cos 2 2 ?? - = -= x x x x x x x x d )cos 1sin 1( d sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2 C x x +--=tan cot (9) 解： ???-=-x x x x x x x x x d tan sec d sec d )tan (sec sec 2 =C x x +-sec tan (10) 解：},,1max{)(x x f =设?? ? ??>≤≤--<-=1,11,11,)(x x x x x x f 则. 上连续在),()(+∞-∞x f ， )(x F 则必存在原函数，???? ???>+≤≤-+-<+-=1,2 1 11, 1,21)(32212 x C x x C x x C x x F 须处处连续，有又)(x F )2 1(lim )(lim 12 1 21 C x C x x x +- =+-+-→-→ ，,2 1112C C +- =+-即
第八章 1、向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+22 22； （旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））
第四章 不定积分 知识结构图： ???????? ???????????????????????分部积分法第二换元积分法 第一换元积分法直接积分法求不定积分基本公式性质 几何意义定义不定积分原函数 教学目的要求： 1．理解原函数与不定积分的概念，理解两者的关系，理解不定积分与导数的关系；掌握不 定积分的几何意义与基本性质。 2．理解与掌握积分的基本公式，掌握不定积分的基本运算，会熟练地用直接积分法、第一 类换元积分法、第二换元积分法（代数换元）、分部积分法求不定积分。 3．了解不定积分在经济问题中的应用。 教学重点： 1．原函数与不定积分的概念 2．不定积分的性质与基本积分公式 3．直接积分法 4．换元积分法 5．分部积分法 教学难点： 1．不定积分的几何意义 2．凑微分法、分部积分法求不定积分 第一节 不定积分的概念与基本公式 【教学内容】原函数与不定积分的概念、不定积分的几何意义、不定积分的基本性质、不定积分的基本公式。直接积分法求函数的不定积分。 【教学目的】理解原函数与不定积分的概念，理解不定积分的几何意义；理解并掌握不定积分的基本性质；熟练掌握用直接积分法计算一些简单函数的不定积分。 【教学重点】1．原函的概念；2.不定积分的概念；3.不定积分的几何意义；4.不定积分的基本性质；5.不定积分的基本公式；6.直接积分法计算不定积分。 【教学难点】1．理解不定积分的几何意义；2．记忆不定积分公式。 【教学时数】2学时 【教学进程】
一、原函数与不定积分的概念 (一)原函数的概念 前面我们所学的知识是：已知一个函数，求这个函数的导数；在现实生活中往往有：已知一个函数的导数，求原来这个函数的问题， 如：①已知曲线上任意一点p(x,y)处的切线斜率为x k 2=,求此曲线的方程。 ②已知某产品的边际成本MC ，要求该产品总成本的变化规律()C C q =． １．原函数定义 定义4．1 设)(x f 是定义在区间I 内的已知函数．如果存在可导函数)(x F ，使对于任意的I x ∈，都有 )()(x f x F ='或dx x f x dF )()(= 则称函数)(x F 是函数)(x f 的一个原函数。 例1 指出下列函数的原函数: ①x x f cos )(= ②23)(x x f = ③x a x f =)( ④x x f 1)(= 教师将举例分析：如(cos )sin x x '-=，则cos x -是sin x 在R 上的一个原函数。 2()2x x '=，则 2x 是2x 的一个原函数。 教师再问：（1）是否所有的函数都有原函数？什么样的函数才有原函数存在呢？在此， 我们不作讨论．我们只给出一个重要的结论． 结论：如果函数()f x 在某区间上连续，则其原函数一定存在 （2）25x +是不是2 x 在R 上的一个原函数呢？学生回答：是 （3）提出一个函数若存在原函数，则有几个呢？引入 2.原函数个数 定理4．1 如果函数()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C +也是()f x 的原函数，且()f x 的所有原函数都具有()F x C +的形式（C 为任意常数）． (二)不定积分的概念 教师指出：在以上的分析中我们看到一个函数()f x 有原函数存在，则有无数多个，它们都可以表示为()F x C +的形式，我们把它叫做()f x 的不定积分。 １．不定积分定义 定义4．2 如果函数()F x 是()f x 的一个原函数，则称()f x 的全体原函数()F x C +（C 为任意常数）为()f x 的不定积分，记作 C x F dx x f +=?)()(
第四章 不定积分 一、学习要求 1、理解原函数与不定积分的概念及性质。 2、掌握不定积分的第一类换元法、第二类换元法及分部积分法。 二、练习 1．在下列等式中，正确的结果是( C ). A. '()()f x dx f x =? B.()()df x f x =? C. ()()d f x dx f x dx =? D.[()]()d f x dx f x =? 2.若ln x 是函数()f x 的一个原函数，则()f x 的另一个原函数是（ A ）； A. ln ax B.1ln ax a C.ln x a + D.21(ln )2 x 3.设()f x 的一个原函数是2x e -，则()f x ＝（ B ）； A. 2x e - B. 22x e -- C. 24x e -- D. 24x e - 4．'' ()xf x dx =? （ C ）. A.'()xf x C + B. '()()f x f x C -+ C. '()()xf x f x C -+ D. '()()xf x f x C ++. 5 ．将 化为有理函数的积分，应作变换x =（ D ）. A. 3t B. 4 t C. 7 t D. 12 t 6.dx = 1/7 ()73d x -， 2cos 2dx x = 1/2 ()tan 2d x ，2 19dx x =+1/3 ()arctan3d x ； 7. 已知(31)x f x e '-=，则()f x =1 3 3x e c ++. 8.设()f x 是可导函数，则'()d f x x ?为()f x C +. 9.过点(1,2)且切线斜率为34x 的曲线方程为41y x =+ 10.已知()cos xf x dx x C =+?，则()f x =sin x x - 11.求下列不定积分 解: (1) 22 32tan 1tan tan tan 1sin 3 x dx xd x x c x ==+-?? (2) 22arctan 11 x x x x x x x dx e dx de e c e e e e -===++++??? 5 34 2 (3)t a n s e c t a n s e c s e c x x d x x x d x ? =??? 22 2(s e c 1)s e c s e c x x d x =-?? ()642sec 2sec sec sec x x x d x =-+?753121 sec sec sec 753 x x x c = -++
第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！
★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
高等数学第四章不定 积分课后习题详解 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)
思路: 被积函数52 x -=，由积分表中的公式（2）可解。 解：5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?
思路:注意到22222 1111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积 分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★ (9) 思路 = 11172488x x ++==，直接积分。 解 ：715888.15x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解：222222111111()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)211 x x e dx e --?
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题41 1、求下列不定积分: 知识点:直接积分法得练习——求不定积分得基本方法。 思路分析:利用不定积分得运算性质与基本积分公式,直接求出不定积分！★(1) 思路: 被积函数 ,由积分表中得公式(2)可解。 解: ★(2)
思路:根据不定积分得线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - -=-=-=-+???? ★(3) 思路:根据不定积分得线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: ★(4) 思路:根据不定积分得线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: ★★(5) 思路:观察到后,根据不定积分得线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6) 思路:注意到,根据不定积分得线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易瞧出(5)(6)两题得解题思路就是一致得。一般地,如果被积函数为一个有理得假分式,通常先将其分解 为一个整式加上或减去一个真分式得形式,再分项积分。 ★(7) 思路:分项积分。 解:3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-? ????34134（- +-）2 ★(8) 思路:分项积分。 解: 2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x -=-=-+++? ? ★★(9) 思路:？瞧到,直接积分。
第四章 不定积分 前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法． 第1节 不定积分的概念与性质 1.1 不定积分的概念 在微分学中，我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分）的问题，例如，变速直线运动中已知位移函数为 ()s s t =， 则质点在时刻t 的瞬时速度表示为 ()v s t '=． 实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度 ()v v t =， 求出质点的位移函数 ()s s t =． 即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念． 1.1.1原函数 定义1 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有 ()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =， 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数． 例如，在变速直线运动中，()()s t v t '=，所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数； 再如，(sin )'cos x x =，所以sin x 是cos x 在(,)-∞+∞上的一个原函数．1(ln )'(0), x x x =>所以ln x 是 1 x 在(0,)+∞的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件． 定理1 如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有 ()()'=F x f x ． 简言之，连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数，所以初等函数在其定义区间上都有原函数． 定理1的证明，将在后面章节给出. 关于原函数，不难得到下面的结论：
同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???
第4章不定积分 内容概要
课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析： 利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - -=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：315 3 2 2 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质， 将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将
第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 定义：如果在区间I 上，可导函数 ()F x 的导函数为()f x ，即对于任一x I ∈都有 ()()F x f x '=或d ()()d ,F x f x x =则称函数()F x 为()f x （或()d f x x ）在区间I 上的 一个原函数. 例如：因() 22x x '=，故2 x 是2x 的一个原函数. 定理（原函数存在定理）：如果函数 ()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上存在可导函数 ()F x ，使对任一x I ∈都有()().F x f x '=即连续函数必有原函数. 注：①如果()f x 有一个原函数的话，那么()f x 就有无限多个原函数. ②()f x 的任意两个原函数只差一个常数. 定义：在区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x （或()d f x x ）在区间I 上的不定积分，记作()d f x x ?， 其中? 称为积分号， ()f x 称为被积函数，()d f x x 称 为被积表达式， x 称为积分变量. 即()d ().f x x F x C =+? 注：()d f x x ?是()f x 的原函数，故有 d ()d ()d f x x f x x ? ?=???或d ()d ()d ;f x x f x x ??=??? 又因为()F x 是()F x '的原函数，所以有()d ()F x x F x C '=+?或d ()().F x F x C =+? 所以记号? 与d 是互逆的 例：求 d x x ? 解：由于2 2 x x ' ??= ??? ，所以22x 是x 的一个原函数，因此2 d 2 x x x C = +? 例：求1 d x x ? 解：当0x ＞时，有1(ln )x x '= 当0x ＜时，有[]11ln()(1)x x x '-= ?-=-，故ln |1d |x C x x =+? 函数()f x 的原函数的图形称为()f x 的积分曲线.
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 分，共 ?分） ．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ） （?）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （ ）()||f x x = 和 ( )g x = （ ）()f x x = 和 ( )2 g x = （ ）()|| x f x x = 和 ()g x = ．函数( )() 20ln 10 x f x x a x ≠=+?? =? 在0x =处连续，则a = （ ） （?） （ ） 1 4 （ ） （ ） ．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ） （?）1y x =- （ ）(1)y x =-+ （ ）()()ln 11y x x =-- （ ） y x = ．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ） （?）连续且可导 （ ）连续且可微 （ ）连续不可导 （ ）不连续不可微 ．点0x =是函数4 y x =的（ ） （?）驻点但非极值点 （ ）拐点 （ ）驻点且是拐点 （ ）驻点且是极值点
．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ） （?）只有水平渐近线 （ ）只有垂直渐近线 （ ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （ ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 ． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ） （?）1f C x ?? -+ ??? （ ）1f C x ?? --+ ??? （ ）1f C x ?? + ??? （ ）1f C x ?? -+ ??? ． x x dx e e -+?的结果是（ ） （?）arctan x e C + （ ）arctan x e C -+ （ ）x x e e C --+ （ ） ln()x x e e C -++ ．下列定积分为零的是（ ） （?）424arctan 1x dx x π π-+? （ ）44 arcsin x x dx ππ-? （ ）112x x e e dx --+? （ ）()1 2 1 sin x x x dx -+? ?．设()f x 为连续函数，则 ()1 2f x dx '?等于（ ） （?）()()20f f - （ ）()()11102f f -????（ ）()()1 202f f -????（ ）()()10f f - 二．填空题（每题 分，共 ?分） ．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = ．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '= ．21 x y x =-的垂直渐近线有条 ． ()21ln dx x x = +?
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法
1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! )) 1()...(1(...! 2) 1(1)1(2n n x o x n n x x x +---+ +-+ +=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x
2-7 1. 已知y =x 3-x , 计算在x =2处当?x 分别等于1, 0.1, 0.01时的?y 及dy . 解 ?y |x =2, ?x =1=[(2+1)3-(2+1)]-(23-2)=18, dy |x =2, ?x =1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =1=11; ?y |x =2, ?x =0.1=[(2+0.1)3-(2+0.1)]-(23-2)=1.161, dy |x =2, ?x =0.1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.1=1.1; ?y |x =2, ?x =0.01=[(2+0.01)3-(2+0.01)]-(23-2)=0.110601, dy |x =2, ?x =0.01=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.01=0.11. 2. 设函数y =f (x )的图形如图所示, 试在图(a )、(b )、(c )、(d )中分别标出在点x 0的dy 、?y 及?y -d y 并说明其正负. 解 (a )?y >0, dy >0, ?y -dy >0. (b )?y >0, dy >0, ?y -dy <0. (c )?y <0, dy <0, ?y -dy <0. (d )?y <0, dy <0, ?y -dy >0. 3. 求下列函数的微分: (1)x x y 21+=; (2) y =x sin 2x ; (3)12+=x x y ; (4) y =ln 2(1-x ); (5) y =x 2e 2x ;
(6) y=e-x cos(3-x); (6) dy=y'dx=[e-x cos(3-x)]dx=[-e-x cos(3-x)+e-x sin(3-x)]dx =e-x[sin(3-x)-cos(3-x)]dx . (8) dy=d tan2(1+2x2)=2tan(1+2x2)d tan(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)d(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)?4xdx =8x?tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)dx. 4.将适当的函数填入下列括号内,使等式成立:
209 教材习题同步解析 习题4-1 2. 求下列不定积分: (2)x ?; (3)x (4)?x x x d 32; (5) ?x x x d 1 2 ; (11)x x x d )1(13? -+）（; (12)?-x x x d )1(2; (15)x x e e x x d 1? ??? ? ??--; (16)?x e x x d 3; (19)? x x d 2 cos 2; (20)?+x x d 2cos 11; (21)? -x x x x d sin cos 2cos ; (22)?x x x x d sin cos 2cos 2 2; (23)? x x d cot 2; (25)22d 1 x x x +?. (26)?++x x x x d 12322 4. 解 (2)35 222 d 5 x x x x C ==+?? . (3)x C =. (4)C x x dx x x x x += =? ? 3 3373 210 3d . (5) C x x x x x x x +?-==? ?- 132d d 1 252 .
209 (11) x x x d )1(13?-+）（x x x x d 132? ?? ? ??-+-= ?? ? ? - + - =x x x x x x x d d d d 23 21 2 C x x x x +-+-=25 23 35 2 3231. (12) ()? ? +-= -x x x x x x x d 21d 12 2 C x x x x x x x ++-=??? ? ??+-=? -25 232123212152342d 2. (15)C x e x x e x x e e x x x x +-=??? ? ??-=???? ??-? ?--21212d d 1. (16)C e C e e x e x e x x x x x x ++=+= =? ? 1 3ln 3)3ln()3(d )3(d 3. (19)? ?+=x x x x d 2cos 1d 2cos 2 C x x x x ++=+=? )sin (2 1d )cos 1(21. (20)? ?+==+C x x x x x tan 21 d cos 21d 2cos 112. (21)x x x x x x x x x d sin cos sin cos d sin cos 2cos 22?? --=- ? +-=+=C x x x x x cos sin d )sin (cos . (22)222222cos 2cos sin d d cos sin cos sin x x x x x x x x x -=? ? 22 1 1d sin cos x x x ??=- ??? ?C x x +--=tan cot .
《高等数学》不定积分课后习题详解 篇一：高等数学第四章不定积分习题 第四章不 定 积 分 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1．若在区间上 F?(x)?f(x)，则 F(x)叫做 f(x)在该区间上的一个 f(x)的 所有原函数叫做 f(x) 在该区间上的__________。 2．F(x)是 f(x)的一个原函数，则 y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为 d(arcsinx)? 1?x2 dx ,所以 arcsinx 是______的一个原函数。 4．若曲线 y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与 x 成正比例，并且通过点 A(1,6)和 B(2,-9),则该曲线 方程为__________ 。 二．是非判断题 1． 若 f?x?的某个原函数为常数，则 f?x??0.[ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原 函数.[ ] 3． 3 ??f?x?dx???f??x?dx.[ ] ? 4． 若 f?x?在某一区间内不连续，则在这个区间内 f?x?必无原函数. [ ] 5.y?ln?ax?与 y?lnx 是同一函数的原函数.[ ] 三．单项选择题 1．c 为任意常数，且 F'(x)=f(x),下式成立的有 。（A）?F'(x)dx?f(x)+c;（B）?f(x)dx=F(x)+c; （C）?F(x)dx?F'(x)+c;(D) ?f'(x)dx=F(x)+c. 2. F(x)和 G(x)是函数 f(x)的任意两个原函数，f(x)?0，则下式成立的有 。（A）F(x)=cG(x); （B）F(x)= G(x)+c;（C）F(x)+G(x)=c;(D) F(x)?G(x)=c.3．下列各式中是 f(x)?sin|x|的原函数。(A) y??cos|x| ;(B) y=-|cosx|;(c)y=? ?cosx,x?0,cosx?2,x?0; (D) y=? ?cosx?c1,x?0,cosx?c2,x?0. c1、c2 任意常数。 4.F?(x)?f(x),f(x) 为可导函数，且 f(0)=1,又 F(x)?xf(x)?x2，则 f(x)=______.(A) ?2x?1 (B)?x?1 (C)?2x?1(D)?x?1 5.设 f?(sin2x)?cos2x，则 f(x)=________. 1 (A)sinx?sin2x?c;(B)x?1x2?c; (C)sin2x?1sin4x?c;(D)x2?1x4?c; 1 / 30
同济六版高等数学课后答案全集 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A\B 及A\(A\B)的表达式. 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B)C =AC ?BC . . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f(A ?B)=f(A)?f(B); (2)f(A ?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8)x x y 1 arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1); (10) x e y 1 =. 7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x ; (2) f(x)=x , g(x)=2x ; (3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g . (4)f(x)=1, g(x)=sec2x -tan2x . 8. 设 ???? ?≥<=3|| 03|| |sin |)(ππ?x x x x , 求)6(π?, )4(π?, ) 4(π?-, ?(-2), 并作出函数y =?(x)
书后部分习题解答 P21页 3．（3）n n n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim （1,1<x ，)(211n n n x a x x += + 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x n n n n n =??≥+= +221)(211（数列有下界） 又02)(212 1≤-=-+=-+n n n n n n n x x a x x a x x x （因a x n ≥+1） （数列单调减少） 由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞ →lim ，对)(211n n n x a x x += +两边取极限， 得)(21b a b b +=，解得a b =（负的舍去） ，故此数列的极限为a . P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 211) 1()1()]1(1[lim -++--++→x n x n x n x 21 221111)1()1()1()1()1(1lim -++--+-+-+=+++→x n x n x x C x C n n n x 2 ) 1(21+= =+n n C n (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则211) 1()1(lim -++-+→x n x n x n x 2 ) 1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+= +=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ） 书后部分习题解答2 P36页 8.已知当0→x 时，1cos ~1)1(3 12--+x ax ，求常数a .